Baustatik-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2015-10-30T22:58:43Z

Dkappich:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Bemessung Stahlbeton|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Einzeldruckglied

2015-10-30T22:55:48Z

Dkappich:

Einzeldruckglieder sind einzelne Druckglieder wie 
- einzeln stehende, eingespannte Stützen oder 
- gelenkig angeschlossene Stützen in ausgesteiften Gesamtsystemen. 

Weiterhin sind dies auch Druckglieder, die aus einem Gesamtsystem heraus als Einzelbauteil betrachtet werden können wie 
- schlanke, aussteifende Bauteile 
- biegesteif angeschlossene Druckglieder in ausgesteiften Gesamtsystemen [vgl. <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref>].
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren

2015-10-14T20:35:27Z

Dkappich:

Im Gegensatz zum Modellstützenverfahren wird hier die Ausmitte nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] iterativ ermittelt, indem der Krümmungsverlauf über kleinere Stababschnitte ermittelt wird. Die zweifache Integration, näherungsweise numerisch gelöst, der Krümmung κ ergibt die Durchbiegung w, die letztendlich zur Verschiebung der Stabachse führt. 
Die Krümmung ermittelt sich mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}</math>
 

An einem differenziellen Balkenelement wird die Verformung eines Balkens durch Momentenbeanspruchung illustriert: 
[[File:Numerisches Verfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

mit 
h – der Querschnittshöhe 
r – dem Radius von Bogenmittelpunkt zur Schwerachse des Querschnitts 
dx – der infinitesimal kleinsten Länge des differenziellen Balkenelements 
Δdx – der Längenänderung bezogen auf das Balkenelement 
<math>d\varphi </math> - dem differenzielle Winkel zu den Endpunkten der Schwerachse. 

Die Dehnungen jeder einzelnen Längsfaser wachsen proportional mit der Entfernung zum Bogenmittelpunkt, anders bekannt als Bernoulli-Hypothese – das Ebenbleiben der Querschnitte. Der Längenzuwachs von <math>\Delta dx</math> im Verhältnis zur Ausgangslänge <math>dx</math> als dimensionslose Größe ist die Dehnung und nach dem Hooke’schen Gesetz auch folgendermaßen beschrieben 

<math>\frac{\Delta dx}{dx}=\varepsilon =\frac{\sigma }{E}</math>
 
mit 
<math>\varepsilon </math> - der Dehnung 
<math>\sigma </math> - der Spannung 
<math>E</math> - dem Elastizitätsmodul. 

Das gleiche Verhältnis aus gezeigter Dehnung findet sich wiederum bei 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\Delta dx}{dx}</math>
 
mit 
<math>{{z}_{1}}</math> - dem Maß von Schwerachse zu Balkenrand. 

Wenn die Spannung gemäß Festigkeitslehre 

<math>\sigma =\frac{M}{I}\cdot {{z}_{1}}</math>
 
mit 
I – dem Flächenträgheitsmoment 

ist, dann gilt auch 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\sigma }{E}=\frac{M\cdot {{z}_{1}}}{E\cdot I}</math>
 
Hierbei kürzt sich der Abstand <math>{{z}_{1}}</math> heraus und es verbleibt die Krümmung mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}=\frac{M}{E\cdot I}</math>
 
Es ist zu erkennen, dass das Biegemoment der Krümmung der Biegelinie proportional ist, wobei die Biegesteifigkeit EI den Proportionalitätsfaktor darstellt. 
Die Krümmung einfach integriert ergibt den Anstieg der Tangente an der Biegelinie, zweifach integriert ergibt sich die Durchbiegung 

<math>w(x)=-\int{\int{\frac{M(x)}{E\cdot I(x)}dx}}</math>
 
oder auch mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte zu 

<math>w(x)=\int{\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}}dx=\int{\kappa (x)\cdot \overline{M}(x)dx}</math>
 
Bei zu erwartenden Rissen eines Betonbauteils ist die Biegesteifigkeit nicht genau vorherzusagen und mit jedem differenziellem Abschnitt kommt es zu keiner Proportionalität zwischen Moment und Krümmung. 
Die Integration des virtuellen Moments überlagert mit dem tatsächlichen Biegemoment führt zur Ermittlung der Durchbiegung an einer Stelle und wird unter Verwendung der Simpson-Formel bei ausreichenden Stützstellen hinreichend genau angenähert: 

<math>w(x)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+...+2{{y}_{n-2}}+4{{y}_{n-1}}+{{y}_{n}})</math>
 
mit 
<math>\Delta x</math> - der Länge der gleichgroßen Abschnitte 
<math>{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}</math>
 
Es gilt, ein Momenten-Krümmungs-Diagramm mithilfe zweier bekannter Punkte zu erstellen, um auf grafischem Wege den Momenten ihre zugehörige Krümmung zuzuordnen. Dies stellt eine annehmbare Näherung zur eigentlich gekrümmten Momenten-Krümmungs-Linie dar und umgeht so den nichtlinearen Zusammenhang der <math>{{\sigma }_{c}}-{{\varepsilon }_{c}}</math>-Linie. Die Krümmungen selbst können aus dem Dehnungszustand heraus ermittelt werden. 
Der erste Punkt ist die Situation vom Übergang in den Zustand II. Hierbei erfolgt eine plötzliche und entlang des Bauteils variierende Verminderung der Querschnittssteifigkeit. Zu erkennen ist dies an einem nun flacheren Anstieg der Linie. 
Die Krümmung unter dem Rissmoment im ungerissenen Zustand ergibt sich aus geometrischer Lösung der ermittelten Betonstauchung und Stahlzugdehnung. Es werden Mittelwerte der Baustofffestigkeiten angesetzt, um so eine realistischere Darstellung zu erhalten. Das erste Wertepaar im Momenten-Krümmungsdiagramm ergibt sich aus dem Rissbildungsmoment, je nach Größe der Betonzugfestigkeit und des Widerstandsmoments und der resultierenden Krümmung noch im Zustand I. 
Nach Ermittlung der Betondruckspannungen im vollständig gerissenen Zustand unter dem Rissbildungsmoment können die Betonstauchung und die Stahlzugdehnung ermittelt werden. 
Anhand des mechanischen Bewehrungsgrades kann die Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze des Stahls mit Hilfsmitteln wie etwa den Tafeln nach Schmitz ermittelt werden, wohingegen die Stahldehnung unter Berücksichtigung der Zugversteifung des Betons reduziert wird. Die Krümmung ermittelt sich aus demselben geometrischen Zusammenhang wie im Zustand I, das Fließmoment ermittelt sich aus dem inneren Hebelarm und der Stahlzugkraft. 

[[File:Numerisches Verfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 
''Im Bild<ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref> zu sehen: Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betonstahls. Grafische Verdeutlichung der Zugversteifung des Betons als Differenz einer gedachten Kurve eines von Beginn an gerissenen Querschnitts und eines reellen Spannungs-Dehnungsverlaufs.'' 

Mit dem zweiten Wertepaar kann die rissbedingte Reduzierung des Anstiegs im Momenten-Krümmungs-Diagramm dargestellt werden. 
Bei der Verwendung der Simpsonformel sind als Eingangsgrößen das virtuelle Moment an der jeweiligen Stelle x und die grafisch ermittelte Krümmung aus bekanntem Momentenverlauf nötig. 
Die ermittelte Verformung an der Stelle der angesetzten Einheitsgröße dient im Falle der Stahlbetonstütze als Ausmitte nach Theorie II. Ordnung und kann, addiert mit den Anteilen aus planmäßiger und ungewollter Ausmitte, zur Ermittlung der Momentenbeanspruchung genutzt werden. Die Bemessung erfolgt nachfolgend mit bekannten Hilfsmitteln und kann bei Übereinstimmung der erforderlichen Bewehrung mit der im Voraus angesetzten Bewehrung beendet werden. Andernfalls ist die Eingangsbewehrung in die Krümmungsermittlung entsprechend anzupassen und eine, nun mit größerer Steifigkeit, weitere Verformungsberechnung erfolgt. Dieser Vorgang ist günstigerweise rechnergesteuert zu vollführen. Eine Vorbemessung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung würde im Allgemeinen zu sicher bemessen, eine nachträgliche Reduzierung des Bewehrungsgrades ist dann weiterhin mit einem neuen Iterationsschritt verbunden.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren

2015-10-14T20:33:15Z

Dkappich:

Im Gegensatz zum Modellstützenverfahren wird hier die Ausmitte nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] iterativ ermittelt, indem der Krümmungsverlauf über kleinere Stababschnitte ermittelt wird. Die zweifache Integration, näherungsweise numerisch gelöst, der Krümmung κ ergibt die Durchbiegung w, die letztendlich zur Verschiebung der Stabachse führt. 
Die Krümmung ermittelt sich mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}</math>
 

An einem differenziellen Balkenelement wird die Verformung eines Balkens durch Momentenbeanspruchung illustriert: 
[[File:Numerisches Verfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

mit 
h – der Querschnittshöhe 
r – dem Radius von Bogenmittelpunkt zur Schwerachse des Querschnitts 
dx – der infinitesimal kleinsten Länge des differenziellen Balkenelements 
Δdx – der Längenänderung bezogen auf das Balkenelement 
<math>d\varphi </math> - dem differenzielle Winkel zu den Endpunkten der Schwerachse. 

Die Dehnungen jeder einzelnen Längsfaser wachsen proportional mit der Entfernung zum Bogenmittelpunkt, anders bekannt als Bernoulli-Hypothese – das Ebenbleiben der Querschnitte. Der Längenzuwachs von <math>\Delta dx</math> im Verhältnis zur Ausgangslänge <math>dx</math> als dimensionslose Größe ist die Dehnung und nach dem Hooke’schen Gesetz auch folgendermaßen beschrieben 

<math>\frac{\Delta dx}{dx}=\varepsilon =\frac{\sigma }{E}</math>
 
mit 
<math>\varepsilon </math> - der Dehnung 
<math>\sigma </math> - der Spannung 
<math>E</math> - dem Elastizitätsmodul. 

Das gleiche Verhältnis aus gezeigter Dehnung findet sich wiederum bei 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\Delta dx}{dx}</math>
 
mit 
<math>{{z}_{1}}</math> - dem Maß von Schwerachse zu Balkenrand. 

Wenn die Spannung gemäß Festigkeitslehre 

<math>\sigma =\frac{M}{I}\cdot {{z}_{1}}</math>
 
mit 
I – dem Flächenträgheitsmoment 

ist, dann gilt auch 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\sigma }{E}=\frac{M\cdot {{z}_{1}}}{E\cdot I}</math>
 
Hierbei kürzt sich der Abstand <math>{{z}_{1}}</math> heraus und es verbleibt die Krümmung mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}=\frac{M}{E\cdot I}</math>
 
Es ist zu erkennen, dass das Biegemoment der Krümmung der Biegelinie proportional ist, wobei die Biegesteifigkeit EI den Proportionalitätsfaktor darstellt. 
Die Krümmung einfach integriert ergibt den Anstieg der Tangente an der Biegelinie, zweifach integriert ergibt sich die Durchbiegung 

<math>w(x)=-\int{\int{\frac{M(x)}{E\cdot I(x)}dx}}</math>
 
oder auch mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte zu 

<math>w(x)=\int{\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}}dx=\int{\kappa (x)\cdot \overline{M}(x)dx}</math>
 
Bei zu erwartenden Rissen eines Betonbauteils ist die Biegesteifigkeit nicht genau vorherzusagen und mit jedem differenziellem Abschnitt kommt es zu keiner Proportionalität zwischen Moment und Krümmung. 
Die Integration des virtuellen Moments überlagert mit dem tatsächlichen Biegemoment führt zur Ermittlung der Durchbiegung an einer Stelle und wird unter Verwendung der Simpson-Formel bei ausreichenden Stützstellen hinreichend genau angenähert: 

<math>w(x)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+...+2{{y}_{n-2}}+4{{y}_{n-1}}+{{y}_{n}})</math>
 
mit 
<math>\Delta x</math> - der Länge der gleichgroßen Abschnitte 
<math>{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}</math>
 
Es gilt, ein Momenten-Krümmungs-Diagramm mithilfe zweier bekannter Punkte zu erstellen, um auf grafischem Wege den Momenten ihre zugehörige Krümmung zuzuordnen. Dies stellt eine annehmbare Näherung zur eigentlich gekrümmten Momenten-Krümmungs-Linie dar und umgeht so den nichtlinearen Zusammenhang der <math>{{\sigma }_{c}}-{{\varepsilon }_{c}}</math>-Linie. Die Krümmungen selbst können aus dem Dehnungszustand heraus ermittelt werden. 
Der erste Punkt ist die Situation vom Übergang in den Zustand II. Hierbei erfolgt eine plötzliche und entlang des Bauteils variierende Verminderung der Querschnittssteifigkeit. Zu erkennen ist dies an einem nun flacheren Anstieg der Linie. 
Die Krümmung unter dem Rissmoment im ungerissenen Zustand ergibt sich aus geometrischer Lösung der ermittelten Betonstauchung und Stahlzugdehnung. Es werden Mittelwerte der Baustofffestigkeiten angesetzt, um so eine realistischere Darstellung zu erhalten. Das erste Wertepaar im Momenten-Krümmungsdiagramm ergibt sich aus dem Rissbildungsmoment, je nach Größe der Betonzugfestigkeit und des Widerstandsmoments und der resultierenden Krümmung noch im Zustand I. 
Nach Ermittlung der Betondruckspannungen im vollständig gerissenen Zustand unter dem Rissbildungsmoment können die Betonstauchung und die Stahlzugdehnung ermittelt werden. 
Anhand des mechanischen Bewehrungsgrades kann die Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze des Stahls mit Hilfsmitteln wie etwa den Tafeln nach Schmitz ermittelt werden, wohingegen die Stahldehnung unter Berücksichtigung der Zugversteifung des Betons reduziert wird. Die Krümmung ermittelt sich aus demselben geometrischen Zusammenhang wie im Zustand I, das Fließmoment ermittelt sich aus dem inneren Hebelarm und der Stahlzugkraft. 

[[File:Numerisches Verfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 
''Im Bild zu sehen: Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betonstahls. Grafische Verdeutlichung der Zugversteifung des Betons als Differenz einer gedachten Kurve eines von Beginn an gerissenen Querschnitts und eines reellen Spannungs-Dehnungsverlaufs.'' 

Mit dem zweiten Wertepaar kann die rissbedingte Reduzierung des Anstiegs im Momenten-Krümmungs-Diagramm dargestellt werden. 
Bei der Verwendung der Simpsonformel sind als Eingangsgrößen das virtuelle Moment an der jeweiligen Stelle x und die grafisch ermittelte Krümmung aus bekanntem Momentenverlauf nötig. 
Die ermittelte Verformung an der Stelle der angesetzten Einheitsgröße dient im Falle der Stahlbetonstütze als Ausmitte nach Theorie II. Ordnung und kann, addiert mit den Anteilen aus planmäßiger und ungewollter Ausmitte, zur Ermittlung der Momentenbeanspruchung genutzt werden. Die Bemessung erfolgt nachfolgend mit bekannten Hilfsmitteln und kann bei Übereinstimmung der erforderlichen Bewehrung mit der im Voraus angesetzten Bewehrung beendet werden. Andernfalls ist die Eingangsbewehrung in die Krümmungsermittlung entsprechend anzupassen und eine, nun mit größerer Steifigkeit, weitere Verformungsberechnung erfolgt. Dieser Vorgang ist günstigerweise rechnergesteuert zu vollführen. Eine Vorbemessung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung würde im Allgemeinen zu sicher bemessen, eine nachträgliche Reduzierung des Bewehrungsgrades ist dann weiterhin mit einem neuen Iterationsschritt verbunden.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren

2015-10-14T20:32:41Z

Dkappich:

Im Gegensatz zum Modellstützenverfahren wird hier die Ausmitte nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] iterativ ermittelt, indem der Krümmungsverlauf über kleinere Stababschnitte ermittelt wird. Die zweifache Integration, näherungsweise numerisch gelöst, der Krümmung κ ergibt die Durchbiegung w, die letztendlich zur Verschiebung der Stabachse führt. 
Die Krümmung ermittelt sich mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}</math>
 

An einem differenziellen Balkenelement wird die Verformung eines Balkens durch Momentenbeanspruchung illustriert: 
[[File:Numerisches Verfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

mit 
h – der Querschnittshöhe 
r – dem Radius von Bogenmittelpunkt zur Schwerachse des Querschnitts 
dx – der infinitesimal kleinsten Länge des differenziellen Balkenelements 
Δdx – der Längenänderung bezogen auf das Balkenelement 
<math>d\varphi </math> - dem differenzielle Winkel zu den Endpunkten der Schwerachse. 

Die Dehnungen jeder einzelnen Längsfaser wachsen proportional mit der Entfernung zum Bogenmittelpunkt, anders bekannt als Bernoulli-Hypothese – das Ebenbleiben der Querschnitte. Der Längenzuwachs von <math>\Delta dx</math> im Verhältnis zur Ausgangslänge <math>dx</math> als dimensionslose Größe ist die Dehnung und nach dem Hooke’schen Gesetz auch folgendermaßen beschrieben 

<math>\frac{\Delta dx}{dx}=\varepsilon =\frac{\sigma }{E}</math>
 
mit 
<math>\varepsilon </math> - der Dehnung 
<math>\sigma </math> - der Spannung 
<math>E</math> - dem Elastizitätsmodul. 

Das gleiche Verhältnis aus gezeigter Dehnung findet sich wiederum bei 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\Delta dx}{dx}</math>
 
mit 
<math>{{z}_{1}}</math> - dem Maß von Schwerachse zu Balkenrand. 

Wenn die Spannung gemäß Festigkeitslehre 

<math>\sigma =\frac{M}{I}\cdot {{z}_{1}}</math>
 
mit 
I – dem Flächenträgheitsmoment 

ist, dann gilt auch 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\sigma }{E}=\frac{M\cdot {{z}_{1}}}{E\cdot I}</math>
 
Hierbei kürzt sich der Abstand <math>{{z}_{1}}</math> heraus und es verbleibt die Krümmung mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}=\frac{M}{E\cdot I}</math>
 
Es ist zu erkennen, dass das Biegemoment der Krümmung der Biegelinie proportional ist, wobei die Biegesteifigkeit EI den Proportionalitätsfaktor darstellt. 
Die Krümmung einfach integriert ergibt den Anstieg der Tangente an der Biegelinie, zweifach integriert ergibt sich die Durchbiegung 

<math>w(x)=-\int{\int{\frac{M(x)}{E\cdot I(x)}dx}}</math>
 
oder auch mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte zu 

<math>w(x)=\int{\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}}dx=\int{\kappa (x)\cdot \overline{M}(x)dx}</math>
 
Bei zu erwartenden Rissen eines Betonbauteils ist die Biegesteifigkeit nicht genau vorherzusagen und mit jedem differenziellem Abschnitt kommt es zu keiner Proportionalität zwischen Moment und Krümmung. 
Die Integration des virtuellen Moments überlagert mit dem tatsächlichen Biegemoment führt zur Ermittlung der Durchbiegung an einer Stelle und wird unter Verwendung der Simpson-Formel bei ausreichenden Stützstellen hinreichend genau angenähert: 

<math>w(x)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+...+2{{y}_{n-2}}+4{{y}_{n-1}}+{{y}_{n}})</math>
 
mit 
<math>\Delta x</math> - der Länge der gleichgroßen Abschnitte 
<math>{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}</math>
 
Es gilt, ein Momenten-Krümmungs-Diagramm mithilfe zweier bekannter Punkte zu erstellen, um auf grafischem Wege den Momenten ihre zugehörige Krümmung zuzuordnen. Dies stellt eine annehmbare Näherung zur eigentlich gekrümmten Momenten-Krümmungs-Linie dar und umgeht so den nichtlinearen Zusammenhang der <math>{{\sigma }_{c}}-{{\varepsilon }_{c}}</math>-Linie. Die Krümmungen selbst können aus dem Dehnungszustand heraus ermittelt werden. 
Der erste Punkt ist die Situation vom Übergang in den Zustand II. Hierbei erfolgt eine plötzliche und entlang des Bauteils variierende Verminderung der Querschnittssteifigkeit. Zu erkennen ist dies an einem nun flacheren Anstieg der Linie. 
Die Krümmung unter dem Rissmoment im ungerissenen Zustand ergibt sich aus geometrischer Lösung der ermittelten Betonstauchung und Stahlzugdehnung. Es werden Mittelwerte der Baustofffestigkeiten angesetzt, um so eine realistischere Darstellung zu erhalten. Das erste Wertepaar im Momenten-Krümmungsdiagramm ergibt sich aus dem Rissbildungsmoment, je nach Größe der Betonzugfestigkeit und des Widerstandsmoments und der resultierenden Krümmung noch im Zustand I. 
Nach Ermittlung der Betondruckspannungen im vollständig gerissenen Zustand unter dem Rissbildungsmoment können die Betonstauchung und die Stahlzugdehnung ermittelt werden. 
Anhand des mechanischen Bewehrungsgrades kann die Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze des Stahls mit Hilfsmitteln wie etwa den Tafeln nach Schmitz ermittelt werden, wohingegen die Stahldehnung unter Berücksichtigung der Zugversteifung des Betons reduziert wird. Die Krümmung ermittelt sich aus demselben geometrischen Zusammenhang wie im Zustand I, das Fließmoment ermittelt sich aus dem inneren Hebelarm und der Stahlzugkraft. 

[[File:Numerisches Verfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 
''Im Bild zu sehen: Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betonstahls. Grafische Verdeutlichung der Zugversteifung des Betons als Differenz einer gedachten Kurve eines von Beginn an gerissenen Querschnitts und eines reellen Spannungs-Dehnungsverlaufs.'' 

Mit dem zweiten Wertepaar kann die rissbedingte Reduzierung des Anstiegs im Momenten-Krümmungs-Diagramm dargestellt werden. 
Bei der Verwendung der Simpsonformel sind als Eingangsgrößen das virtuelle Moment an der jeweiligen Stelle x und die grafisch ermittelte Krümmung aus bekanntem Momentenverlauf nötig. 
Die ermittelte Verformung an der Stelle der angesetzten Einheitsgröße dient im Falle der Stahlbetonstütze als Ausmitte nach Theorie II. Ordnung und kann, addiert mit den Anteilen aus planmäßiger und ungewollter Ausmitte, zur Ermittlung der Momentenbeanspruchung genutzt werden. Die Bemessung erfolgt nachfolgend mit bekannten Hilfsmitteln und kann bei Übereinstimmung der erforderlichen Bewehrung mit der im Voraus angesetzten Bewehrung beendet werden. Andernfalls ist die Eingangsbewehrung in die Krümmungsermittlung entsprechend anzupassen und eine, nun mit größerer Steifigkeit, weitere Verformungsberechnung erfolgt. Dieser Vorgang ist günstigerweise rechnergesteuert zu vollführen. Eine Vorbemessung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung würde im Allgemeinen zu sicher bemessen, eine nachträgliche Reduzierung des Bewehrungsgrades ist dann weiterhin mit einem neuen Iterationsschritt verbunden.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Datei:Numerisches Verfahren 2.jpg

2015-10-14T20:28:58Z

Dkappich: Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012

Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2015-10-01T16:43:30Z

Dkappich:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Bemessung Stahlbeton|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele]]

Berechnungsverfahren (S402.de)

2015-10-01T16:34:36Z

Dkappich:

[[File:Berechnungsverfahren_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
'''Verfahren mit Nennkrümmung:''' 
Dieser Nachweis (auch [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Modellstützenverfahren]] genannt) wird üblicherweise bei der Handrechnung verwendet und stellt eine näherungsweise Betrachtung zur Bemessung nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] dar. Hierbei wird die Krümmung einer modellierten Kragstütze im Mittelwert abgeschätzt und mit dem virtuellen Moment multipliziert integriert, um die Kopfverschiebung der Stütze zu ermitteln. Diese zusätzliche Verschiebung führt bei üblicherweise vorhandener Normalkraftbeanspruchung zu einem größeren Moment, für das die Stahlbetonstütze dann wie üblich [[Bemessung Stahlbeton|bemessen]] wird.

'''Numerisches Verfahren:''' 
Hierbei wird die Krümmung nicht vereinfacht wie beim Modellstützenverfahren beschrieben, sondern genauer ermittelt. Dabei ist dieser Vorgang wegen krümmungsbeeinflussender Bewehrung iterativ. Mit ermittelter Krümmung an einzelnen Stellen der Stütze kann nach zweifacher Integration die Biegelinie errechnet und die daraus resultierende zusätzliche Ausmitte bestimmt werden. Auch danach wird dann mit zusätzlichem Moment wie üblich bemessen und bei Übereinstimmung mit der im Voraus angenommen Bewehrung der Iterationsprozess beendet.
Ferner kann das Verfahren im Gegensatz zum Modellstützenverfahren bei beliebiger zweiachsiger Lastausmitte bemessen werden und ist nicht an die Grenzwerte für die dann getrennt betrachtete Modellstütze gebunden. 

Ist der aufstellende Tragwerksplaner nicht durch eventuelle Forderungen des Auftraggebers gebunden, empfiehlt sich das [[Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)|numerische Verfahren]], das im Vergleich zum Verfahren mit Nennkrümmung wegen der genaueren Krümmungsermittlung bewehrungseinsparender bemisst.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung

2015-09-28T17:10:52Z

Dkappich:

Mindestbewehrung ist als solche einzuhalten, um ein Versagen ohne Vorankündigung zur vermeiden. Beim Übergang in den Zustand II wird die Mindestbewehrung zur Aufnahme von Zugkräften herangezogen und es stellt sich vor dem Versagen eine erkennbare Verformung spätestens beim Fließen der Bewehrung ein.

== Stützen ==
=== Längsbewehrung ===
Ein Mindestdurchmesser von 12mm ist aus Gründen der Knicksicherheit und der Montierbarkeit einzuhalten. [vgl. <ref>Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012</ref>] 
Weiterhin gilt 

<math>{{A}_{s,\min }}=0,15\cdot \frac{\left| {{N}_{Ed}} \right|}{{{f}_{y,d}}}</math>

für den Gesamtquerschnitt der Längsbewehrung, wobei jedoch 9% des Betonnettoquerschnitts auch bei Stößen nicht überschritten werden dürfen. Dieser Grenzwert garantiert im Allgemeinen ausreichenden Verbund sowie hohlraumfreies Betonieren und Rüttellücken. 
Für polygonale Stützen ist in jeder Ecke ein Stab anzuordnen, bei welchen mit rundem Querschnitt mindestens 6 Stäbe über den gesamten Umfang verteilt. Ist ein Maximalabstand von 300mm in beiden Fällen überschritten, müssen darüber hinaus weitere Längsstäbe angeordnet werden.

=== Querbewehrung ===

Die Anordnung von Bügeln oder Wendeln hindert die Längsbewehrung am Ausknicken und trägt zum Querdehnungswiderstand und der Querkrafttragfähigkeit bei. 
Der Durchmesser muss mindestens ein Viertel des größten Längsstabs und mindestens 6mm betragen. Der maximale Abstand errechnet sich aus dem kleinsten Wert von 

- 12ø des kleinsten Durchmessers der Längsbewehrung, 
- der kleinsten Querschnittsabmessung der Stütze und 
- 300mm. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2015-09-28T17:10:31Z

Dkappich:

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Es wird vereinfachend gegenüber genaueren Verfahren vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, deren Länge die halbe Knicklänge der ursprünglich zu bemessenen Stütze beträgt und am Stützenkopf frei verschieblich ist. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnitt-größenberechnung aufgenommen.

== Bedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Quer-schnittshöhe in jeweilige Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist es nach wie vor legitim, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach [<ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref>] ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1b.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsannahme auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden [vgl. <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref>]. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Bemessung Stahlbeton#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Modellstützenverfahren.

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref> vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref> oder <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref> Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Datei:Modellstützenverfahren 1b.jpg

2015-09-28T17:10:14Z

Dkappich:

Datei:Modellstützenverfahren 1.jpg

2015-09-28T17:09:27Z

Dkappich: Dkappich lud eine neue Version von „Datei:Modellstützenverfahren 1.jpg“ hoch

Datei:Modellstützenverfahren 1.jpg

2015-09-28T17:07:13Z

Dkappich: Dkappich lud eine neue Version von „Datei:Modellstützenverfahren 1.jpg“ hoch

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2015-09-20T17:16:06Z

Dkappich:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Bemessung Stahlbeton|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2015-09-20T17:14:46Z

Dkappich:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Bemessung Stahlbeton|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2015-09-20T17:13:45Z

Dkappich:

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Es wird vereinfachend gegenüber genaueren Verfahren vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, deren Länge die halbe Knicklänge der ursprünglich zu bemessenen Stütze beträgt und am Stützenkopf frei verschieblich ist. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnitt-größenberechnung aufgenommen.

== Bedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Quer-schnittshöhe in jeweilige Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist es nach wie vor legitim, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach [<ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref>] ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsannahme auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden [vgl. <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref>]. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Bemessung Stahlbeton#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Modellstützenverfahren.

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref> vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref> oder <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref> Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Theorie II. Ordnung

2015-09-20T17:11:01Z

Dkappich:

Die Theorie II. Ordnung beschreibt das Berechnen der Schnittgrößen an verformten Tragwerken. Einwirkungen auf ein System führen bei endlicher Steifigkeit unweigerlich zu Verformungen, deren Einfluss auf die inneren Schnittgrößen bei unwesentlichen Veränderungen vernachlässigt werden kann und eine Berechnung nach Theorie I. Ordnung (also am unverformten System) legitimiert. So erfährt ein ausschließlich einachsig biegebeanspruchter Balken kaum eine Momentenvergrößerung durch Krümmung der Systemachse. Eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung wäre hinfällig. 
Ist der besagte Balken zusätzlich normalkraftbeansprucht, entsteht eine Ausmitte des Normalkraftangriffspunktes zur gekrümmten Schwerachse, wodurch ein weiteres Moment entsteht. Abhängig von der Wirkungsrichtung vergrößert oder verkleinert die Normalkraft das Moment nach Theorie I. Ordnung. Demnach hängt das Zusatzmoment von der Größe der Normalkraft und der Größe der Ausmitte, also weiterführend der Steifigkeit des Bauteils, ab [vgl. <ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref>]. 

[[File:Theorie II. Ordnung 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung

2015-09-20T17:10:23Z

Dkappich:

Mindestbewehrung ist als solche einzuhalten, um ein Versagen ohne Vorankündigung zur vermeiden. Beim Übergang in den Zustand II wird die Mindestbewehrung zur Aufnahme von Zugkräften herangezogen und es stellt sich vor dem Versagen eine erkennbare Verformung spätestens beim Fließen der Bewehrung ein.

== Stützen ==
=== Längsbewehrung ===
Ein Mindestdurchmesser von 12mm ist aus Gründen der Knicksicherheit und der Montierbarkeit einzuhalten. [vgl. <ref>Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012</ref>] 
Weiterhin gilt 

<math>{{A}_{s,\min }}=0,15\cdot \frac{\left| {{N}_{Ed}} \right|}{{{f}_{y,d}}}</math>

für den Gesamtquerschnitt der Längsbewehrung, wobei jedoch 9% des Betonnettoquerschnitts auch bei Stößen nicht überschritten werden dürfen. Dieser Grenzwert garantiert im Allgemeinen ausreichenden Verbund sowie hohlraumfreies Betonieren und Rüttellücken. 
Für polygonale Stützen ist in jeder Ecke ein Stab anzuordnen, bei welchen mit rundem Querschnitt mindestens 6 Stäbe über den gesamten Umfang verteilt. Ist ein Maximalabstand von 300mm in beiden Fällen überschritten, müssen darüber hinaus weitere Längsstäbe angeordnet werden.

=== Querbewehrung ===

Die Anordnung von Bügeln oder Wendeln hindert die Längsbewehrung am Ausknicken und trägt zum Querdehnungswiderstand und der Querkrafttragfähigkeit bei. 
Der Durchmesser muss mindestens ein Viertel des größten Längsstabs und mindestens 6mm betragen. Der maximale Abstand errechnet sich aus dem kleinsten Wert von 

- 20ø des kleinsten Durchmessers der Längsbewehrung, 
- der kleinsten Querschnittsabmessung der Stütze und 
- 400mm. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Querkraftbemessung

2015-09-20T17:09:59Z

Dkappich:

Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung

<math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math>
 
erfüllt. 
Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie. Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen: mit der Betondruckzone als Druckgurt, der Längsbewehrung als Zuggurt, Druckdiagonalen im Beton und gegebenenfalls angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstreben. 

[[File:Querkraftbemessung_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Es sind die Druckdiagonalen unter einem Winkel Θ und die Zugstreben unter einem angeordneten Winkel α nachzuweisen. Dabei kann die aufnehmbare Querkraft durch eine der drei folgenden Werte bestimmt sein: 

- <math>{{V}_{Rd,c}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne rechnerische Querkraftbewehrung (mit Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden) 
- <math>{{V}_{Rd,s}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstrebe (mit Index s für steel). Die aufnehmbare Querkraft ist hierbei begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung 
- <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> der Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Be-tondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.

== Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==

Ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung dennoch zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:

<math>{{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac{1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\ge {{V}_{Rd,c,\min }}</math>
 
mit 

<math>{{C}_{Rdc}}=\frac{0,15}{{{\gamma }_{c}}}</math>

<math>k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}\le 2</math> [mm] 

<math>{{b}_{w}}~</math> - der kleinsten Querschnittsbreite (mit Index w für width) 
d - der statischen Nutzhöhe 
<math>{{f}_{ck}}~</math> - der charakkteristische Betonzylinderdruckfestigkeit 
<math>{{\sigma }_{cp}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}}</math>, Druck hierbei positiv einzusetzen 
<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}\cdot d}\le 0,02</math> 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> bei ständige und vorübergehender Bemessungskombination 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,3~</math> bei außergewöhnlicher Bemessungskombination. 

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein. 
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert. 
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. <ref>Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013</ref>] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte. 
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt. 
Sie formuliert sich zu

<math>{{V}_{Rd,c,\min }}=\left[ \frac{{{\kappa }_{1}}}{{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left( {{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}} \right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}} \right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d</math>

mit 

<math>{{\kappa }_{1}}=0,0525~</math> für <math>d\le 60cm</math> 
<math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math>, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden. 

Auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit <math>b/h>5</math> oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref> verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung. 
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit 

<math>\min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}</math>
 
mit 
α – dem Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen 
<math>\min {{\rho }_{w}}~</math> - dem Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl

[[File:Querkraftbemessung 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

== Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==

Hierbei wird bei vorangegangener Überschreitung von <math>{{V}_{Rd,c}}</math> ist die einzulegende Bügelbewehrung auszurechnen und die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachzuweisen. 
Die Neigung der Druckstreben Θ darf bei der Berechnung von <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> frei gewählt werden, solange sie nicht 45° (cot Θ = 1,0) übersteigt und mindestens 

<math>\cot \Theta =\frac{1,2-1,4\cdot \frac{{{\sigma }_{cp}}}{{{f}_{cd}}}}{1-\frac{{{V}_{Rd,cc}}}{{{V}_{Ed}}}}\le \left\{ \begin{matrix}
3,0\quad f\ddot{u}r\ Normalbeton \\
2,0\quad f\ddot{u}r\ Leichtbeton \\
\end{matrix} \right\}\ge \left\{ \begin{matrix}
1,0\quad f\ddot{u}r\ lotrechte\ B\ddot{u}gel \\
0,58\quad f\ddot{u}r\ geneigte\ B\ddot{u}gel \\
\end{matrix} \right\}</math>

 
mit 
<math>{{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac{1}{3}}\cdot \left( 1-1,2\cdot \frac{{{\sigma }_{cd}}}{{{f}_{cd}}} \right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z</math> 
<math>{{f}_{cd}}~</math> - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit 

eingehalten ist. Bei geneigter Bügelbewehrung ist ein unterer Grenzwert von <math>\cot \Theta =0,58</math> zulässig. 
Vereinfachend kann 

<math>\cot \Theta =1,2~</math> 
- für reine Biegung 
- für Biegung und Längsdruckkraft und 

<math>\cot \Theta =1,0~</math> 
- für Biegung mit Längszugkraft 

angenommen werden. 

Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe ergibt sich zu 

<math>{{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot \frac{\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^\text{2}\Theta }</math>
 
mit

<math>{{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left( 1,1-\frac{{{f}_{ck}}}{500} \right)\le 0,75</math>

Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich zu 

<math>{{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )</math>
 
mit 
<math>{{a}_{sw}}~</math>- der Querbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit 
<math>{{f}_{yd}}~</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und 
z - deminnerer Hebelarm der Kräfte 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Einzeldruckglied

2015-09-20T17:08:20Z

Dkappich:

Einzeldruckglieder sind einzelne Druckglieder wie 
- einzeln stehende, eingespannte Stützen oder 
- gelenkig angeschlossene Stützen in ausgesteiften Gesamtsystemen. 

Weiterhin sind dies auch Druckglieder, die aus einem Gesamtsystem heraus als Einzel-bauteil betrachtet werden können wie 
- schlanke, aussteifende Bauteile 
- biegesteif angeschlossene Druckglieder in ausgesteiften Gesamtsystemen [vgl. <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref>].
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Regelmäßige Rahmen

2015-09-20T17:06:50Z

Dkappich:

Übliche Rahmen sind nach dem Deutschen Ausschuss für Stahlbeton solche, bei denen die Stabkennzahl bei Stützen in aufeinanderfolgenden Geschossen in etwa gleich ist. Das Kriterium 

<math>0,8\le \frac{{{\varepsilon }_{i}}}{{{\varepsilon }_{(i+1)}}}\le 1,25</math>
 
mit 
ε – der Stabkennzahl (mit Index i für Geschoss) 

gilt dabei als einzuhalten. Die Stabkennzahl berechnet sich mit 

<math>\varepsilon ={{l}_{col}}\cdot {{({{N}_{Ed}}/E{{I}_{col}})}^{0,5}}</math>
 
mit 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - der Bemessungsnormalkraft
<math>E{{I}_{col}}</math> - der Stabsteifigkeit. 

Demnach muss sich das Verhältnis aus Belastung und Steifigkeit proportional zur Stützenlänge verhalten [vgl. <ref>Ehrigsen, O., Quast, U.: Knicklängen, Ersatzlängen und Modellstützen. Beton- und Stahlbetonbau 2003, Heft 5, Berlin 2003</ref>].
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Knicklänge/Ersatzstablänge

2015-09-20T17:05:24Z

Dkappich:

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach 

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math> 

mit 

<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)

<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert

<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column). 

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ <ref>Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005</ref> 
Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der Aussteifung des Gesamtsystems bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

β (theoretisch): 2,0 1,0 0,7 0,5 
β (realistisch): 2,2 1,0 0,76 0,59 

Für die Praxis reichen diese 4 Fälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also horizontal beweglichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt. 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung, bedingt durch Rissbildung oder Dehnung, am Fußpunkt. Aus letzterem resultieren für einfache statische Systeme empfohlene Knickbeiwerte, die die theoretischen etwas übersteigen und einer unvermeidlichen Elastizität im Auflager Rechnung tragen. 
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. 
Der Eurocode 2 zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor: 
für unverschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>

für verschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
 
mit 

<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2 
l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen. 

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1): 

<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>

mit 
E – dem Elastizitätsmodul 
<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze 
<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze 
<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistence). 

Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Knicklänge/Ersatzstablänge

2015-09-20T17:03:59Z

Dkappich:

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach 

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math> 

mit 

<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)

<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert

<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column). 

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ <ref>Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005</ref> 
Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der Aussteifung des Gesamtsystems bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

β (theoretisch): 2,0 1,0 0,7 0,5 
β (realistisch): 2,2 1,0 0,76 0,59 

Für die Praxis reichen diese 4 Fälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also horizontal beweglichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. 12]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt. 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung, bedingt durch Rissbildung oder Dehnung, am Fußpunkt. Aus letzterem resultieren für einfache statische Systeme empfohlene Knickbeiwerte, die die theoretischen etwas übersteigen und einer unvermeidlichen Elastizität im Auflager Rechnung tragen. 
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. 
Der Eurocode 2 zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor: 
für unverschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>

für verschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
 
mit 

<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2 
l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen. 

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1): 

<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>

mit 
E – dem Elastizitätsmodul 
<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze 
<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze 
<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistence). 

Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Knicklänge/Ersatzstablänge

2015-09-20T17:03:23Z

Dkappich:

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach 

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math> 

mit 

<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)

<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert

<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column). 

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ [19] 
Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der Aussteifung des Gesamtsystems bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

β (theoretisch): 2,0 1,0 0,7 0,5 
β (realistisch): 2,2 1,0 0,76 0,59 

Für die Praxis reichen diese 4 Fälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also horizontal beweglichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. 12]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt. 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung, bedingt durch Rissbildung oder Dehnung, am Fußpunkt. Aus letzterem resultieren für einfache statische Systeme empfohlene Knickbeiwerte, die die theoretischen etwas übersteigen und einer unvermeidlichen Elastizität im Auflager Rechnung tragen. 
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. 
Der Eurocode 2 zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor: 
für unverschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>

für verschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
 
mit 

<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2 
l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen. 

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1): 

<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>

mit 
E – dem Elastizitätsmodul 
<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze 
<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze 
<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistence). 

Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stabilität (S402.de)

2015-09-20T17:02:42Z

Dkappich:

[[File:Stabilität_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Der Nachweis der Stabilität entspricht einer Berücksichtigung nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] in Hinblick auf die [[Bemessung Stahlbeton|Spannungsbemessung]] im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Ein Stabilitätsversagen ist dann maßgebend für die Tragfähigkeit, wenn die Knicklast (also die Druckbeanspruchung, die zum seitlichen Ausweichen des Bauteils führt) noch vor der Bruchlast des Betons erreicht wird. Entscheidend ist dabei die [[Schlankheit|Schlankheit]]: je gedrungener ein Bauteil ist, desto eher versagt es infolge Spannungsüberschreitungen und je schlanker es ist, umso eher tritt ein Stabilitätsversagen auf [vgl. <ref>Scheerer, S., Proske, D.: Stahlbeton for Beginners, Grundlagen für die Bemessung und Konstruktion, Dresden 2008</ref>].
Die Schlankheit sowie deren Grenzwert wird anhand der eingegebenen Querschnittsabmessungen, einwirkenden Normalkraft und Betondruckfestigkeit vom Programm ermittelt. Kommt es zum Überschreiten der Grenzwerte, werden die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermittelt und in die Biegebemessung einfließen. Demnach ist ein Abwählen der Option „Stabilitätsnachweis führen“ nur dann sinnvoll, wenn die Stütze in beide Richtungen gehalten ist (siehe nachfolgende Abfrage) – ansonsten ermittelt das Modul selbst, wenn die Bauteilverformungen zu vernachlässigen sind.
Ist entlang der Stütze eine der beiden Richtungen derart gehalten, dass ein Ausweichen in diese Querschnittsachse verhindert wird, so resultiert aus der Eingabe das Entfallen des Stabilitätsnachweises. Sollte die Stütze in beide Richtungen nicht ausweichen können, ist der gesamte Stabilitätsnachweis zu deaktivieren. 
Ist eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung maßgebend, so sind die Auswirkungen resultierend aus Kriechen zu berücksichtigen. Nach Eurocode 2 können Kriechauswirkungen vernachlässigt werden, wenn 
- die Endkriechzahl <math>\varphi (\infty ,{{t}_{0}})\le 2</math>, 
- die Schlankheit λ ≤ 75 und 
- das Moment nach Theorie I. Ordnung der Querschnittshöhe in entsprechende Richtung ist. 

Die Prüfung dieser Grenzwerte muss vom Anwender selbst ausgeführt werden und im Falle einer maßgeblichen Kriechauswirkung ist die Endkriechzahl dem Modul zuzuführen. 
Diese kann Bautabellen oder dem Eurocode 2 Abschnitt 3.1.4 entnommen werden. Vorausgesetzt sind dabei Kenntnisse über die Rahmenbedingungen Querschnittswerte, Betongüte und relative Luftfeuchtigkeit, der das Bauteil ausgesetzt ist. 
Weiterhin kann in Hinblick auf den [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Nachweis mit Nennkrümmungen]] der Krümmungsbeiwert c abhängig vom erwarteten Krümmungsverlauf der Modellstütze angegeben werden. Da das Verfahren mit Nennkrümmung sich der tatsächlichen Verformung nur annähert, gibt es hier also die Möglichkeit, diese etwas genauer zu beschreiben. So wird bei konstantem Querschnitt und linearem Momentverlauf ein parabelförmiger Krümmungsverlauf erwartet, wohingegen bei konstantem Momentenverlauf ein Krümmungsbeiwert von 8 anzusetzen ist. In der Literatur wird hier üblicherweise aus vereinfachenden Gründen kein Krümmungsbeiwert von über 10 angenommen oder der Krümmungsbeiwert befindet sich erst gar nicht als Variable in den Formeln diverser Autoren.
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Stab- und Ersatzstablängen (S***.de)

2015-09-20T17:01:29Z

Dkappich:

[[File:Stab-_und_Ersatzstablängen_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die Stablänge des statisch idealisierten Systems wird mit der lichten Höhe der Stahlbetonstütze zuzüglich des Abstandes zum Systemnotenpunkt an den jeweiligen Stabenden beziffert. Im typischen Falle eines aufliegenden Balkens addiert sich oben also zunächst einmal das Maß von Oberkante sichtbarer Stütze zu Schwerpunkt des Balkenquerschnitts hinzu. Dieselbe Maßermittlung trifft auch auf den Fußpunkt zu, wenn es sich hier bei-spielsweise um eine Geschossstütze handelt. Bindet die Stütze allerdings in ein Fundament ein, kann hier im Gegensatz zu vorher beschriebenen Situation von einer theoretisch starren Einspannung ausgegangen werden, deren Knotenpunkt auf der Fundamentoberkante anzunehmen ist.
Sollte von der im Modul berechneten [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] (=Ersatzstablänge) abgewichen werden, um beispielsweise Knickbeiwerte zu verwenden, die eher der Praxis entsprechen [vgl. <ref>Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 2: Schnittgrößen, Gesamtstabilität, Bewehrung und Konstruktion, Brandbemessung, Beispiele, Siegen 2013</ref>] oder um abweichend vom vorgegebenen statischen System elastische Einspannungen zu berücksichtigen, ist es hier möglich, die manuell ermittelte Ersatzstablänge für die jeweilige Querschnittsachse dem Modul vorzugeben.
Entspricht die zu berechnende Stütze einem Einzelstab oder ist Teil eines ausgesteiften Gesamtsystems, wodurch die gehaltenen Stabenden als unverschieblich sind, kann auf das Vorgeben der Ersatzstablängen verzichtet werden, sofern der vorher gewählte Positionstyp der tatsächlichen Lagerung entspricht.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2015-09-19T11:42:45Z

Dkappich:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Bemessung Stahlbeton|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von [4]:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren

2015-09-19T11:41:32Z

Dkappich:

Im Gegensatz zum Modellstützenverfahren wird hier die Ausmitte nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] iterativ ermittelt, indem der Krümmungsverlauf über kleinere Stababschnitte ermittelt wird. Die zweifache Integration, näherungsweise numerisch gelöst, der Krümmung κ ergibt die Durchbiegung w, die letztendlich zur Verschiebung der Stabachse führt. 
Die Krümmung ermittelt sich mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}</math>
 

An einem differenziellen Balkenelement wird die Verformung eines Balkens durch Momentenbeanspruchung illustriert: 
[[File:Numerisches Verfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

mit 
h – der Querschnittshöhe 
r – dem Radius von Bogenmittelpunkt zur Schwerachse des Querschnitts 
dx – der infinitesimal kleinsten Länge des differenziellen Balkenelements 
Δdx – der Längenänderung bezogen auf das Balkenelement 
<math>d\varphi </math> - dem differenzielle Winkel zu den Endpunkten der Schwerachse. 

Die Dehnungen jeder einzelnen Längsfaser wachsen proportional mit der Entfernung zum Bogenmittelpunkt, anders bekannt als Bernoulli-Hypothese – das Ebenbleiben der Querschnitte. Der Längenzuwachs von <math>\Delta dx</math> im Verhältnis zur Ausgangslänge <math>dx</math> als dimensionslose Größe ist die Dehnung und nach dem Hooke’schen Gesetz auch folgendermaßen beschrieben 

<math>\frac{\Delta dx}{dx}=\varepsilon =\frac{\sigma }{E}</math>
 
mit 
<math>\varepsilon </math> - der Dehnung 
<math>\sigma </math> - der Spannung 
<math>E</math> - dem Elastizitätsmodul. 

Das gleiche Verhältnis aus gezeigter Dehnung findet sich wiederum bei 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\Delta dx}{dx}</math>
 
mit 
<math>{{z}_{1}}</math> - dem Maß von Schwerachse zu Balkenrand. 

Wenn die Spannung gemäß Festigkeitslehre 

<math>\sigma =\frac{M}{I}\cdot {{z}_{1}}</math>
 
mit 
I – dem Flächenträgheitsmoment 

ist, dann gilt auch 

<math>\frac{{{z}_{1}}}{r}=\frac{\sigma }{E}=\frac{M\cdot {{z}_{1}}}{E\cdot I}</math>
 
Hierbei kürzt sich der Abstand <math>{{z}_{1}}</math> heraus und es verbleibt die Krümmung mit 

<math>\kappa =\frac{1}{r}=\frac{M}{E\cdot I}</math>
 
Es ist zu erkennen, dass das Biegemoment der Krümmung der Biegelinie proportional ist, wobei die Biegesteifigkeit EI den Proportionalitätsfaktor darstellt. 
Die Krümmung einfach integriert ergibt den Anstieg der Tangente an der Biegelinie, zweifach integriert ergibt sich die Durchbiegung 

<math>w(x)=-\int{\int{\frac{M(x)}{E\cdot I(x)}dx}}</math>
 
oder auch mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte zu 

<math>w(x)=\int{\frac{M(x)\overline{M}(x)}{EI}}dx=\int{\kappa (x)\cdot \overline{M}(x)dx}</math>
 
Bei zu erwartenden Rissen eines Betonbauteils ist die Biegesteifigkeit nicht genau vorherzusagen und mit jedem differenziellem Abschnitt kommt es zu keiner Proportionalität zwischen Moment und Krümmung. 
Die Integration des virtuellen Moments überlagert mit dem tatsächlichen Biegemoment führt zur Ermittlung der Durchbiegung an einer Stelle und wird unter Verwendung der Simpson-Formel bei ausreichenden Stützstellen hinreichend genau angenähert: 

<math>w(x)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+...+2{{y}_{n-2}}+4{{y}_{n-1}}+{{y}_{n}})</math>
 
mit 
<math>\Delta x</math> - der Länge der gleichgroßen Abschnitte 
<math>{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}</math>
 
Es gilt, ein Momenten-Krümmungs-Diagramm mithilfe zweier bekannter Punkte zu erstellen, um auf grafischem Wege den Momenten ihre zugehörige Krümmung zuzuordnen. Dies stellt eine annehmbare Näherung zur eigentlich gekrümmten Momenten-Krümmungs-Linie dar und umgeht so den nichtlinearen Zusammenhang der <math>{{\sigma }_{c}}-{{\varepsilon }_{c}}</math>-Linie. Die Krümmungen selbst können aus dem Dehnungszustand heraus ermittelt werden. 
Der erste Punkt ist die Situation vom Übergang in den Zustand II. Hierbei erfolgt eine plötzliche und entlang des Bauteils variierende Verminderung der Querschnittssteifigkeit. Zu erkennen ist dies an einem nun flacheren Anstieg der Linie. 
Die Krümmung unter dem Rissmoment im ungerissenen Zustand ergibt sich aus geometrischer Lösung der ermittelten Betonstauchung und Stahlzugdehnung. Es werden Mittelwerte der Baustofffestigkeiten angesetzt, um so eine realistischere Darstellung zu erhalten. Das erste Wertepaar im Momenten-Krümmungsdiagramm ergibt sich aus dem Rissbildungsmoment, je nach Größe der Betonzugfestigkeit und des Widerstandsmoments und der resultierenden Krümmung noch im Zustand I. 
Nach Ermittlung der Betondruckspannungen im vollständig gerissenen Zustand unter dem Rissbildungsmoment können die Betonstauchung und die Stahlzugdehnung ermittelt werden. 
Anhand des mechanischen Bewehrungsgrades kann die Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze des Stahls mit Hilfsmitteln wie etwa den Tafeln nach Schmitz ermittelt werden, wohingegen die Stahldehnung unter Berücksichtigung der Zugversteifung des Betons reduziert wird. Die Krümmung ermittelt sich aus demselben geometrischen Zusammenhang wie im Zustand I, das Fließmoment ermittelt sich aus dem inneren Hebelarm und der Stahlzugkraft. 
Mit dem zweiten Wertepaar kann die rissbedingte Reduzierung des Anstiegs im Momenten-Krümmungs-Diagramm dargestellt werden. 
Bei der Verwendung der Simpsonformel sind als Eingangsgrößen das virtuelle Moment an der jeweiligen Stelle x und die grafisch ermittelte Krümmung aus bekanntem Momentenverlauf nötig. 
Die ermittelte Verformung an der Stelle der angesetzten Einheitsgröße dient im Falle der Stahlbetonstütze als Ausmitte nach Theorie II. Ordnung und kann, addiert mit den Anteilen aus planmäßiger und ungewollter Ausmitte, zur Ermittlung der Momentenbeanspruchung genutzt werden. Die Bemessung erfolgt nachfolgend mit bekannten Hilfsmitteln und kann bei Übereinstimmung der erforderlichen Bewehrung mit der im Voraus angesetzten Bewehrung beendet werden. Andernfalls ist die Eingangsbewehrung in die Krümmungsermittlung entsprechend anzupassen und eine, nun mit größerer Steifigkeit, weitere Verformungsberechnung erfolgt. Dieser Vorgang ist günstigerweise rechnergesteuert zu vollführen. Eine Vorbemessung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung würde im Allgemeinen zu sicher bemessen, eine nachträgliche Reduzierung des Bewehrungsgrades ist dann weiterhin mit einem neuen Iterationsschritt verbunden.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2015-09-19T11:40:02Z

Dkappich:

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Es wird vereinfachend gegenüber genaueren Verfahren vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist [vgl. 12]. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, deren Länge die halbe Knicklänge der ursprünglich zu bemessenen Stütze beträgt und am Stützenkopf frei verschieblich ist. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnitt-größenberechnung aufgenommen.

== Bedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Quer-schnittshöhe in jeweilige Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist es nach wie vor legitim, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach [3] ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsannahme auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden [vgl. 2]. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Bemessung Stahlbeton#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Modellstützenverfahren.

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach [12] vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in [18] oder [10] Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Querkraftbemessung

2015-09-19T11:35:59Z

Dkappich:

Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung

<math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math>
 
erfüllt. 
Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie. Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen: mit der Betondruckzone als Druckgurt, der Längsbewehrung als Zuggurt, Druckdiagonalen im Beton und gegebenenfalls angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstreben. 

[[File:Querkraftbemessung_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Es sind die Druckdiagonalen unter einem Winkel Θ und die Zugstreben unter einem angeordneten Winkel α nachzuweisen. Dabei kann die aufnehmbare Querkraft durch eine der drei folgenden Werte bestimmt sein: 

- <math>{{V}_{Rd,c}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne rechnerische Querkraftbewehrung (mit Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden) 
- <math>{{V}_{Rd,s}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstrebe (mit Index s für steel). Die aufnehmbare Querkraft ist hierbei begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung 
- <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> der Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Be-tondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.

== Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==

Ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung dennoch zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:

<math>{{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac{1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\ge {{V}_{Rd,c,\min }}</math>
 
mit 

<math>{{C}_{Rdc}}=\frac{0,15}{{{\gamma }_{c}}}</math>

<math>k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}\le 2</math> [mm] 

<math>{{b}_{w}}~</math> - der kleinsten Querschnittsbreite (mit Index w für width) 
d - der statischen Nutzhöhe 
<math>{{f}_{ck}}~</math> - der charakkteristische Betonzylinderdruckfestigkeit 
<math>{{\sigma }_{cp}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}}</math>, Druck hierbei positiv einzusetzen 
<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}\cdot d}\le 0,02</math> 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> bei ständige und vorübergehender Bemessungskombination 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,3~</math> bei außergewöhnlicher Bemessungskombination. 

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein. 
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert. 
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. 7] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte. 
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt. 
Sie formuliert sich zu

<math>{{V}_{Rd,c,\min }}=\left[ \frac{{{\kappa }_{1}}}{{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left( {{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}} \right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}} \right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d</math>

mit 

<math>{{\kappa }_{1}}=0,0525~</math> für <math>d\le 60cm</math> 
<math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math>, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden. 

Auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit <math>b/h>5</math> oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ [2] verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung. 
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit 

<math>\min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}</math>
 
mit 
α – dem Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen 
<math>\min {{\rho }_{w}}~</math> - dem Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl

[[File:Querkraftbemessung 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

== Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==

Hierbei wird bei vorangegangener Überschreitung von <math>{{V}_{Rd,c}}</math> ist die einzulegende Bügelbewehrung auszurechnen und die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachzuweisen. 
Die Neigung der Druckstreben Θ darf bei der Berechnung von <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> frei gewählt werden, solange sie nicht 45° (cot Θ = 1,0) übersteigt und mindestens 

<math>\cot \Theta =\frac{1,2-1,4\cdot \frac{{{\sigma }_{cp}}}{{{f}_{cd}}}}{1-\frac{{{V}_{Rd,cc}}}{{{V}_{Ed}}}}\le \left\{ \begin{matrix}
3,0\quad f\ddot{u}r\ Normalbeton \\
2,0\quad f\ddot{u}r\ Leichtbeton \\
\end{matrix} \right\}\ge \left\{ \begin{matrix}
1,0\quad f\ddot{u}r\ lotrechte\ B\ddot{u}gel \\
0,58\quad f\ddot{u}r\ geneigte\ B\ddot{u}gel \\
\end{matrix} \right\}</math>

 
mit 
<math>{{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac{1}{3}}\cdot \left( 1-1,2\cdot \frac{{{\sigma }_{cd}}}{{{f}_{cd}}} \right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z</math> 
<math>{{f}_{cd}}~</math> - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit 

eingehalten ist. Bei geneigter Bügelbewehrung ist ein unterer Grenzwert von <math>\cot \Theta =0,58</math> zulässig. 
Vereinfachend kann 

<math>\cot \Theta =1,2~</math> 
- für reine Biegung 
- für Biegung und Längsdruckkraft und 

<math>\cot \Theta =1,0~</math> 
- für Biegung mit Längszugkraft 

angenommen werden. 

Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe ergibt sich zu 

<math>{{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot \frac{\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^\text{2}\Theta }</math>
 
mit

<math>{{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left( 1,1-\frac{{{f}_{ck}}}{500} \right)\le 0,75</math>

Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich zu 

<math>{{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )</math>
 
mit 
<math>{{a}_{sw}}~</math>- der Querbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit 
<math>{{f}_{yd}}~</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und 
z - deminnerer Hebelarm der Kräfte 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Druckglieder - Bemessung

2015-09-19T11:34:54Z

Dkappich:

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Für die Bemessung von Druckgliedern werden bevorzugt Interaktionsdiagramme als Bemessungshilfsmittel herangezogen. Diese Interaktionsdiagramme gelten für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Biegung und Längskraft, wobei die Bewehrung aus der Beziehung zwischen Moment und Normalkraft ermittelt wird.
Druckglieder werden bei meist wechselseitig wirkenden Momenten üblicherweise symmetrisch bewehrt. Das Interaktionsdiagramm beruht auf den Identitätsbeziehungen: die einwirkenden Schnittgrößen entsprechen den Widerständen. Beim überdrückten Querschnitt (nur Druckspannungen und eine außerhalb des Querschnitts liegende Dehnungs-Nulllinie) eines horizontal gelagerten Balkens ergäbe dies

<math>\Sigma H=0:{{N}_{Ed}}=-\left| {{F}_{cd}} \right|-\left| {{F}_{s1d}} \right|-\left| {{F}_{s2d}} \right|</math>

(der einwirkenden Normalkraft wirkt die Betondruckkraft und die Stahldruckkraft der beiden Bewehrungslagen oben und unten entgegen) 

und

<math>\Sigma M=0:{{M}_{Ed}}=\left| {{F}_{cd}} \right|\cdot \frac{h}{2-a}-\left| {{F}_{s1d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{1}}}+\left| {{F}_{s2d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{2}}}</math>

(dem einwirkenden Moment wirken die Betondruckkraft und die Stahlkräfte jeweils multipliziert mit ihren Hebelarmen entgegen). 

[[File:Bemessung Stahlbeton 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Mit <math>{{F}_{cd}}={{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}</math>

dem Völligkeitsbeiwert <math>{{\alpha }_{v}}=1-\frac{16}{189}\cdot (\left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2){}^\text{2}</math>

<math>{{F}_{s1d}}={{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|</math>

und <math>{{F}_{s2d}}={{A}_{s2}}\cdot \left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>

ergibt sich

<math>{{N}_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|-{{A}_{s2\cdot }}\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>
 
Bezogen auf die Betonfestigkeit und die Abmessungen erhält man

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\rho }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{cd}}}-{{\rho }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{cd}}}</math>
 
mit der bezogenen Normalkraft

<math>{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}</math> und den Längsbewehrungsgraden <math>{{\rho }_{i}}=\frac{{{A}_{si}}}{b\cdot h}</math>

Der mechanische Bewehrungsgrad als Verhältnis von der Bewehrung aufnehmbaren Normalkraft zu der von dem Beton aufnehmbaren Normalkraft beschreibt sich zu

<math>{{\omega }_{i}}={{\rho }_{i}}\cdot \frac{{{f}_{yd}}}{{{f}_{cd}}}</math>

Eingesetzt in die Gleichung für die bezogene Normalkraft ergibt sich

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\omega }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}-{{\omega }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}</math>

So gilt außerdem mit dem auf Abmessung und Betonfestigkeit bezogenen Moment <math>{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> und der Gleichung oben aus <math>\Sigma M=0</math>

<math>{{\mu }_{Ed}}={{\alpha }_{v}}\cdot \left( \frac{1}{2}-{{k}_{a}} \right)-{{\omega }_{1}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{1}}}{h} \right)+\omega 2\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{2}}}{h} \right)</math>

mit 

<math>{{k}_{a}}=\frac{6}{7}\cdot \frac{441-64\cdot {{\left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}^{2}}}{756-64\cdot \left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}</math>

<math>{{\varepsilon }_{c2}}~</math> - der Betonstauchung am oberen Bauteilrand. 

Vereinfachend sind für die Bemessung mit dem Interaktionsdiagramm die Eingangsgrößen <math>{{\mu }_{Ed}}~</math> und <math>{{\nu }_{Ed}}~</math> notwendig. Außerdem gilt es, die richtige Tafel in Abhängigkeit von <math>\frac{{{d}_{i}}}{h}</math> zu wählen oder gegebenenfalls zu interpolieren. Der damit ermittelte mechanische Bewehrungsgrad ist gleichmäßig auf die Bewehrungslagen zu verteilen. 
Es ist darauf zu achten, dass die Normalkraft situationsabhängig sowohl günstig als auch ungünstig einwirken kann. Die zugehörigen Bemessungskombinationen sind demnach beide zu verwenden, um für beide Fälle die Bewehrungsmenge zu ermitteln und dann selbstverständlich die größere anzuordnen. 
Bei [[Schlankheit|gedrungenen]] Stützen besteht bei mittiger Druckbelastung keine Knickgefahr und es genügt ein vereinfachter Nachweis ohne Berücksichtigung der Einwirkungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. 
Die Bemessung [[Schlankheit|schlanker]] Stützen erfordert eine weiterführende Betrachtung in Hinblick auf den Schnittgrößenzuwachs. 
Mittig gedrückte Stützen ohne Momentenbeanspruchung sind stets mit einer Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}=\max \{h/30;20mm\}~</math> anzusetzen. Demnach ist von einer Momentenbeanspruchung auszugehen. Bei schlanken Stützen, die ohnehin nach Theorie II. Ordnung zu bemessen sind, gilt diese Bestimmung nicht.

== Unbewehrte Druckglieder ==

Als unbewehrt gelten Stützen, wenn sie einen Bewehrungsgrad kleiner der [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] aufweisen. Es gilt eine maximal zulässige Betongüte von C35/45. 
Ab einer Schlankheit von <math>\lambda \ge 8,5</math> sind unbewehrte Druckbauteile stets als schlank anzusehen (bei zweiseitig gehaltenen Druckglieder auch <math>{{l}_{col}}/h<2,5</math>), eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung ist also üblicherweise erforderlich.
Es gelten folgende Bedingungen für die Ausführung unbewehrter Stützen oder Wände: 
- <math>\lambda \le 85</math> und 
- <math>{{l}_{w}}/{{h}_{w}}\le 25</math> für Pendelstützen und zweiseitig gehaltene Wände. 

Die [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] des Druckglieds berechnet sich wie gehabt:

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{w}}</math>
 
mit 
<math>{{l}_{w}}</math> - der Länge des Druckglieds und 
β – dem Knickbeiwert. 

Als Duktilitätskriterium gilt eine Höchstausmitte von <math>{{e}_{d}}<0,4h</math>, ermittelt aus der maßgebenden Einwirkungskombination und den berücksichtigten Zusatzausmitten der Imperfektion und der Theorie II. Ordnung. Dadurch wird nie ein Versagen ohne Vorankündigen eintreten. 
Der Nachweis wird geführt mit

<math>{{N}_{Rd,\lambda }}=b\cdot h\cdot {{f}_{cd,pl}}\cdot \Phi </math>

mit 
<math>\Phi =1,14\cdot (1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h})-0,02\cdot \frac{{{l}_{0}}}{h}</math> 
<math>0\le \Phi \le 1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h}</math> 
<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}~</math> 
<math>{{f}_{cd,pl}}={{\alpha }_{cc,pl}}\cdot {{f}_{ck}}/{{\gamma }_{c}}</math> 
<math>{{\alpha }_{cc,pl}}=0,7~</math> 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> 
<math>{{e}_{0}}</math> - der Ausmitte nach Theorie I. Ordnung 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte, es darf angenommen werden: <math>{{e}_{i}}=\frac{{{l}_{0}}}{400}</math>

Der Faktor <math>\varphi </math> berücksichtigt hierbei auf vereinfachende Art und Weise die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung.

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch zweiachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Die Bemessung erfolgt bei zu vernachlässigender Einwirkung nach Theorie II. Ordnung mit einem ähnlichen Interaktionsdiagramm wie für einachsige Biegung. Die bezogenen Schnittgrößen sind wie bekannt 

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{1}}=\max \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{2}}=\min \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{Ed,y}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,y}} \right|}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{Ed,z}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,z}} \right|}{b{}^\text{2}\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\end{array}</math>

Weitere Eingangsgrößen sind das Verhältnis von <math>\frac{{{d}_{1}}}{h}</math> und <math>\frac{{{b}_{1}}}{b}</math>, wobei <math>{{b}_{1}}~</math> das Pendant zu <math>{{h}_{1}}~</math> in die andere Querschnittsrichtung darstellt. Nach Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades gilt es diesen gleichmäßig auf die für das Interaktionsdiagramm erstellte Bewehrungsanordnung zu verteilen.

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Druckglieder - Bemessung

2015-09-19T11:33:14Z

Dkappich:

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Für die Bemessung von Druckgliedern werden bevorzugt Interaktionsdiagramme als Bemessungshilfsmittel herangezogen. Diese Interaktionsdiagramme gelten für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Biegung und Längskraft, wobei die Bewehrung aus der Beziehung zwischen Moment und Normalkraft ermittelt wird.
Druckglieder werden bei meist wechselseitig wirkenden Momenten üblicherweise symmetrisch bewehrt. Das Interaktionsdiagramm beruht auf den Identitätsbeziehungen: die einwirkenden Schnittgrößen entsprechen den Widerständen. Beim überdrückten Querschnitt (nur Druckspannungen und eine außerhalb des Querschnitts liegende Dehnungs-Nulllinie) eines horizontal gelagerten Balkens ergäbe dies

<math>\Sigma H=0:{{N}_{Ed}}=-\left| {{F}_{cd}} \right|-\left| {{F}_{s1d}} \right|-\left| {{F}_{s2d}} \right|</math>

(der einwirkenden Normalkraft wirkt die Betondruckkraft und die Stahldruckkraft der beiden Bewehrungslagen oben und unten entgegen) 

und

<math>\Sigma M=0:{{M}_{Ed}}=\left| {{F}_{cd}} \right|\cdot \frac{h}{2-a}-\left| {{F}_{s1d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{1}}}+\left| {{F}_{s2d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{2}}}</math>

(dem einwirkenden Moment wirken die Betondruckkraft und die Stahlkräfte jeweils multipliziert mit ihren Hebelarmen entgegen). 

[[File:Bemessung Stahlbeton 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Mit <math>{{F}_{cd}}={{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}</math>

dem Völligkeitsbeiwert <math>{{\alpha }_{v}}=1-\frac{16}{189}\cdot (\left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2){}^\text{2}</math>

<math>{{F}_{s1d}}={{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|</math>

und <math>{{F}_{s2d}}={{A}_{s2}}\cdot \left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>

ergibt sich

<math>{{N}_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|-{{A}_{s2\cdot }}\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>
 
Bezogen auf die Betonfestigkeit und die Abmessungen erhält man

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\rho }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{cd}}}-{{\rho }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{cd}}}</math>
 
mit der bezogenen Normalkraft

<math>{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}</math> und den Längsbewehrungsgraden <math>{{\rho }_{i}}=\frac{{{A}_{si}}}{b\cdot h}</math>

Der mechanische Bewehrungsgrad als Verhältnis von der Bewehrung aufnehmbaren Normalkraft zu der von dem Beton aufnehmbaren Normalkraft beschreibt sich zu

<math>{{\omega }_{i}}={{\rho }_{i}}\cdot \frac{{{f}_{yd}}}{{{f}_{cd}}}</math>

Eingesetzt in die Gleichung für die bezogene Normalkraft ergibt sich

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\omega }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}-{{\omega }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}</math>

So gilt außerdem mit dem auf Abmessung und Betonfestigkeit bezogenen Moment <math>{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> und der Gleichung oben aus <math>\Sigma M=0</math>

<math>{{\mu }_{Ed}}={{\alpha }_{v}}\cdot \left( \frac{1}{2}-{{k}_{a}} \right)-{{\omega }_{1}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{1}}}{h} \right)+\omega 2\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{2}}}{h} \right)</math>

mit 

<math>{{k}_{a}}=\frac{6}{7}\cdot \frac{441-64\cdot {{\left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}^{2}}}{756-64\cdot \left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}</math>

<math>{{\varepsilon }_{c2}}~</math> - der Betonstauchung am oberen Bauteilrand. 

Vereinfachend sind für die Bemessung mit dem Interaktionsdiagramm die Eingangsgrößen <math>{{\mu }_{Ed}}~</math> und <math>{{\nu }_{Ed}}~</math> notwendig. Außerdem gilt es, die richtige Tafel in Abhängigkeit von <math>\frac{{{d}_{i}}}{h}</math> zu wählen oder gegebenenfalls zu interpolieren. Der damit ermittelte mechanische Bewehrungsgrad ist gleichmäßig auf die Bewehrungslagen zu verteilen. 
Es ist darauf zu achten, dass die Normalkraft situationsabhängig sowohl günstig als auch ungünstig einwirken kann. Die zugehörigen Bemessungskombinationen sind demnach beide zu verwenden, um für beide Fälle die Bewehrungsmenge zu ermitteln und dann selbstverständlich die größere anzuordnen. 
Bei [[Schlankheit|gedrungenen]] Stützen besteht bei mittiger Druckbelastung keine Knickgefahr und es genügt ein vereinfachter Nachweis ohne Berücksichtigung der Einwirkungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. 
Die Bemessung [[Schlankheit|schlanker]] Stützen erfordert eine weiterführende Betrachtung in Hinblick auf den Schnittgrößenzuwachs. 
Mittig gedrückte Stützen ohne Momentenbeanspruchung sind stets mit einer Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}=\max \{h/30;20mm\}~</math> anzusetzen. Demnach ist von einer Momentenbeanspruchung auszugehen. Bei schlanken Stützen, die ohnehin nach Theorie II. Ordnung zu bemessen sind, gilt diese Bestimmung nicht.

== Unbewehrte Druckglieder ==

Als unbewehrt gelten Stützen, wenn sie einen Bewehrungsgrad kleiner der Mindestbewehrung aufweisen. Es gilt eine maximal zulässige Betongüte von C35/45. 
Ab einer Schlankheit von <math>\lambda \ge 8,5</math> sind unbewehrte Druckbauteile stets als schlank anzusehen (bei zweiseitig gehaltenen Druckglieder auch <math>{{l}_{col}}/h<2,5</math>), eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung ist also üblicherweise erforderlich.
Es gelten folgende Bedingungen für die Ausführung unbewehrter Stützen oder Wände: 
- <math>\lambda \le 85</math> und 
- <math>{{l}_{w}}/{{h}_{w}}\le 25</math> für Pendelstützen und zweiseitig gehaltene Wände. 

Die Knicklänge des Druckglieds berechnet sich wie gehabt:

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{w}}</math>
 
mit 
<math>{{l}_{w}}</math> - der Länge des Druckglieds und 
β – dem Knickbeiwert. 

Als Duktilitätskriterium gilt eine Höchstausmitte von <math>{{e}_{d}}<0,4h</math>, ermittelt aus der maßgebenden Einwirkungskombination und den berücksichtigten Zusatzausmitten der Imperfektion und der Theorie II. Ordnung. Dadurch wird nie ein Versagen ohne Vorankündigen eintreten. 
Der Nachweis wird geführt mit

<math>{{N}_{Rd,\lambda }}=b\cdot h\cdot {{f}_{cd,pl}}\cdot \Phi </math>

mit 
<math>\Phi =1,14\cdot (1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h})-0,02\cdot \frac{{{l}_{0}}}{h}</math> 
<math>0\le \Phi \le 1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h}</math> 
<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}~</math> 
<math>{{f}_{cd,pl}}={{\alpha }_{cc,pl}}\cdot {{f}_{ck}}/{{\gamma }_{c}}</math> 
<math>{{\alpha }_{cc,pl}}=0,7~</math> 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> 
<math>{{e}_{0}}</math> - der Ausmitte nach Theorie I. Ordnung 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte, es darf angenommen werden: <math>{{e}_{i}}=\frac{{{l}_{0}}}{400}</math>

Der Faktor <math>\varphi </math> berücksichtigt hierbei auf vereinfachende Art und Weise die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung.

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch zweiachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Die Bemessung erfolgt bei zu vernachlässigender Einwirkung nach Theorie II. Ordnung mit einem ähnlichen Interaktionsdiagramm wie für einachsige Biegung. Die bezogenen Schnittgrößen sind wie bekannt 

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{1}}=\max \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{2}}=\min \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{Ed,y}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,y}} \right|}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{Ed,z}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,z}} \right|}{b{}^\text{2}\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\end{array}</math>

Weitere Eingangsgrößen sind das Verhältnis von <math>\frac{{{d}_{1}}}{h}</math> und <math>\frac{{{b}_{1}}}{b}</math>, wobei <math>{{b}_{1}}~</math> das Pendant zu <math>{{h}_{1}}~</math> in die andere Querschnittsrichtung darstellt. Nach Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades gilt es diesen gleichmäßig auf die für das Interaktionsdiagramm erstellte Bewehrungsanordnung zu verteilen.

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Druckglieder - Bemessung

2015-09-19T11:32:50Z

Dkappich:

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Für die Bemessung von Druckgliedern werden bevorzugt Interaktionsdiagramme als Bemessungshilfsmittel herangezogen. Diese Interaktionsdiagramme gelten für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Biegung und Längskraft, wobei die Bewehrung aus der Beziehung zwischen Moment und Normalkraft ermittelt wird.
Druckglieder werden bei meist wechselseitig wirkenden Momenten üblicherweise symmetrisch bewehrt. Das Interaktionsdiagramm beruht auf den Identitätsbeziehungen: die einwirkenden Schnittgrößen entsprechen den Widerständen. Beim überdrückten Querschnitt (nur Druckspannungen und eine außerhalb des Querschnitts liegende Dehnungs-Nulllinie) eines horizontal gelagerten Balkens ergäbe dies

<math>\Sigma H=0:{{N}_{Ed}}=-\left| {{F}_{cd}} \right|-\left| {{F}_{s1d}} \right|-\left| {{F}_{s2d}} \right|</math>

(der einwirkenden Normalkraft wirkt die Betondruckkraft und die Stahldruckkraft der beiden Bewehrungslagen oben und unten entgegen) 

und

<math>\Sigma M=0:{{M}_{Ed}}=\left| {{F}_{cd}} \right|\cdot \frac{h}{2-a}-\left| {{F}_{s1d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{1}}}+\left| {{F}_{s2d}} \right|\cdot \frac{h}{2-{{d}_{2}}}</math>

(dem einwirkenden Moment wirken die Betondruckkraft und die Stahlkräfte jeweils multipliziert mit ihren Hebelarmen entgegen). 

[[File:Bemessung Stahlbeton 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Mit <math>{{F}_{cd}}={{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}</math>

dem Völligkeitsbeiwert <math>{{\alpha }_{v}}=1-\frac{16}{189}\cdot (\left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2){}^\text{2}</math>

<math>{{F}_{s1d}}={{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|</math>

und <math>{{F}_{s2d}}={{A}_{s2}}\cdot \left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>

ergibt sich

<math>{{N}_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}\cdot h\cdot b\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot \left| {{\sigma }_{s1d}} \right|-{{A}_{s2\cdot }}\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|</math>
 
Bezogen auf die Betonfestigkeit und die Abmessungen erhält man

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\rho }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{cd}}}-{{\rho }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{cd}}}</math>
 
mit der bezogenen Normalkraft

<math>{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}</math> und den Längsbewehrungsgraden <math>{{\rho }_{i}}=\frac{{{A}_{si}}}{b\cdot h}</math>

Der mechanische Bewehrungsgrad als Verhältnis von der Bewehrung aufnehmbaren Normalkraft zu der von dem Beton aufnehmbaren Normalkraft beschreibt sich zu

<math>{{\omega }_{i}}={{\rho }_{i}}\cdot \frac{{{f}_{yd}}}{{{f}_{cd}}}</math>

Eingesetzt in die Gleichung für die bezogene Normalkraft ergibt sich

<math>{{\nu }_{Ed}}=-{{\alpha }_{v}}-{{\omega }_{1\cdot }}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}-{{\omega }_{2}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}</math>

So gilt außerdem mit dem auf Abmessung und Betonfestigkeit bezogenen Moment <math>{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> und der Gleichung oben aus <math>\Sigma M=0</math>

<math>{{\mu }_{Ed}}={{\alpha }_{v}}\cdot \left( \frac{1}{2}-{{k}_{a}} \right)-{{\omega }_{1}}\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s1d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{1}}}{h} \right)+\omega 2\cdot \frac{\left| {{\sigma }_{s2d}} \right|}{{{f}_{yd}}}\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{{{d}_{2}}}{h} \right)</math>

mit 

<math>{{k}_{a}}=\frac{6}{7}\cdot \frac{441-64\cdot {{\left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}^{2}}}{756-64\cdot \left( \left| {{\varepsilon }_{c2}} \right|-2 \right)}</math>

<math>{{\varepsilon }_{c2}}~</math> - der Betonstauchung am oberen Bauteilrand. 

Vereinfachend sind für die Bemessung mit dem Interaktionsdiagramm die Eingangsgrößen <math>{{\mu }_{Ed}}~</math> und <math>{{\nu }_{Ed}}~</math> notwendig. Außerdem gilt es, die richtige Tafel in Abhängigkeit von <math>\frac{{{d}_{i}}}{h}</math> zu wählen oder gegebenenfalls zu interpolieren. Der damit ermittelte mechanische Bewehrungsgrad ist gleichmäßig auf die Bewehrungslagen zu verteilen. 
Es ist darauf zu achten, dass die Normalkraft situationsabhängig sowohl günstig als auch ungünstig einwirken kann. Die zugehörigen Bemessungskombinationen sind demnach beide zu verwenden, um für beide Fälle die Bewehrungsmenge zu ermitteln und dann selbstverständlich die größere anzuordnen. 
Bei [[Schlankheit|gedrungenen]] Stützen besteht bei mittiger Druckbelastung keine Knickgefahr und es genügt ein vereinfachter Nachweis ohne Berücksichtigung der Einwirkungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. 
Die Bemessung [[Schlankheit|schlanker]] Stützen erfordert eine weiterführende Betrachtung in Hinblick auf den Schnittgrößenzuwachs. 
Mittig gedrückte Stützen ohne Momentenbeanspruchung sind stets mit einer Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}=\max \{h/30;20mm\}</math> anzusetzen. Demnach ist von einer Momentenbeanspruchung auszugehen. Bei schlanken Stützen, die ohnehin nach Theorie II. Ordnung zu bemessen sind, gilt diese Bestimmung nicht.

== Unbewehrte Druckglieder ==

Als unbewehrt gelten Stützen, wenn sie einen Bewehrungsgrad kleiner der Mindestbewehrung aufweisen. Es gilt eine maximal zulässige Betongüte von C35/45. 
Ab einer Schlankheit von <math>\lambda \ge 8,5</math> sind unbewehrte Druckbauteile stets als schlank anzusehen (bei zweiseitig gehaltenen Druckglieder auch <math>{{l}_{col}}/h<2,5</math>), eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung ist also üblicherweise erforderlich.
Es gelten folgende Bedingungen für die Ausführung unbewehrter Stützen oder Wände: 
- <math>\lambda \le 85</math> und 
- <math>{{l}_{w}}/{{h}_{w}}\le 25</math> für Pendelstützen und zweiseitig gehaltene Wände. 

Die Knicklänge des Druckglieds berechnet sich wie gehabt:

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{w}}</math>
 
mit 
<math>{{l}_{w}}</math> - der Länge des Druckglieds und 
β – dem Knickbeiwert. 

Als Duktilitätskriterium gilt eine Höchstausmitte von <math>{{e}_{d}}<0,4h</math>, ermittelt aus der maßgebenden Einwirkungskombination und den berücksichtigten Zusatzausmitten der Imperfektion und der Theorie II. Ordnung. Dadurch wird nie ein Versagen ohne Vorankündigen eintreten. 
Der Nachweis wird geführt mit

<math>{{N}_{Rd,\lambda }}=b\cdot h\cdot {{f}_{cd,pl}}\cdot \Phi </math>

mit 
<math>\Phi =1,14\cdot (1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h})-0,02\cdot \frac{{{l}_{0}}}{h}</math> 
<math>0\le \Phi \le 1-\frac{2{{e}_{tot}}}{h}</math> 
<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}~</math> 
<math>{{f}_{cd,pl}}={{\alpha }_{cc,pl}}\cdot {{f}_{ck}}/{{\gamma }_{c}}</math> 
<math>{{\alpha }_{cc,pl}}=0,7~</math> 
<math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> 
<math>{{e}_{0}}</math> - der Ausmitte nach Theorie I. Ordnung 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte, es darf angenommen werden: <math>{{e}_{i}}=\frac{{{l}_{0}}}{400}</math>

Der Faktor <math>\varphi </math> berücksichtigt hierbei auf vereinfachende Art und Weise die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung.

== Symmetrisch bewehrte Bauteile durch zweiachsige Biegung und Längskraft beansprucht ==

Die Bemessung erfolgt bei zu vernachlässigender Einwirkung nach Theorie II. Ordnung mit einem ähnlichen Interaktionsdiagramm wie für einachsige Biegung. Die bezogenen Schnittgrößen sind wie bekannt 

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{1}}=\max \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{2}}=\min \{{{\mu }_{Ed,y}};{{\mu }_{Ed,z}}\}\\{{\mu }_{Ed,y}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,y}} \right|}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}\\{{\mu }_{Ed,z}}=\frac{\left| {{M}_{Ed,z}} \right|}{b{}^\text{2}\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}\end{array}</math>

Weitere Eingangsgrößen sind das Verhältnis von <math>\frac{{{d}_{1}}}{h}</math> und <math>\frac{{{b}_{1}}}{b}</math>, wobei <math>{{b}_{1}}~</math> das Pendant zu <math>{{h}_{1}}~</math> in die andere Querschnittsrichtung darstellt. Nach Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades gilt es diesen gleichmäßig auf die für das Interaktionsdiagramm erstellte Bewehrungsanordnung zu verteilen.

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Knicklänge/Ersatzstablänge

2015-09-19T11:31:05Z

Dkappich:

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. 18]. Sie bestimmt sich nach 

<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math> 

mit 

<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)

<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert

<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column). 

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ [19] 
Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der Aussteifung des Gesamtsystems bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

β (theoretisch): 2,0 1,0 0,7 0,5 
β (realistisch): 2,2 1,0 0,76 0,59 

Für die Praxis reichen diese 4 Fälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also horizontal beweglichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. 12]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt. 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung, bedingt durch Rissbildung oder Dehnung, am Fußpunkt. Aus letzterem resultieren für einfache statische Systeme empfohlene Knickbeiwerte, die die theoretischen etwas übersteigen und einer unvermeidlichen Elastizität im Auflager Rechnung tragen. 
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. 
Der Eurocode 2 zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor: 
für unverschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>

für verschiebliche Rahmen: 

<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
 
mit 

<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2 
l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen. 

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1): 

<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>

mit 
E – dem Elastizitätsmodul 
<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze 
<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze 
<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistence). 

Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms: 

[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

Schlankheit

2015-09-19T11:29:01Z

Dkappich:

Die Schlankheit eines Druckbauteils hat einen maßgebenden Einfluss auf die Stabilität. Sie ist abhängig von den Bauteilabmessungen und der Lagerung und dient zur Einschätzung vom Einfluss der Verformungen auf die Tragfähigkeit eines druckbeanspruchten Bauteils. Mit Grenzwerten der Schlankheit kann entweder ein Stabilitäts- oder Querschnittsversagen vorausgesagt werden, dargestellt in folgendem Diagramm: 

[[File:Schlankheit 1.png|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 
Ein Querschnittsversagen bedeutet hierbei ein Überschreiten der zulässigen Materialspannungen, wohingegen das Stabilitätsversagen durch den Verlust der Standsicherheit, in diesem Falle also durch seitliches Ausweichen, gekennzeichnet ist. 
Linie 1 beschreibt ein geradliniges Ansteigen der Normalkraft und des (aus einer Ausmitte resultierenden) Moments. Am Schnittpunkt der geschwungenen Linie sind die Materialspannungen überschritten und es kommt zum Querschnittsversagen. Die Linie entspricht einem Druckglied mit geringer Schlankheit, oft beschrieben als „gedrungen“. Zusätzliche Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] sind unwesentlich klein und führen zu keinem nennenswerten Zuwachsen der Verformungen. 
Bei Linie 2 ist ein mäßig schlankes Bauteil gezeigt, mit gleicher Ausmitte und Normalkraftbelastung wie bei Linie 1 und 3. Ein Ansteigen des Moments kann bei geringfügiger Zunahme der Normalkraft beobachtet werden: die aufnehmende Vertikallast wird kleiner, da die Ausmitte nach Theorie II. Ordnung stetig wächst. Dennoch kommt es zu einem Materialversagen, im Gegensatz zu Linie 1 aber bereits bei weniger Normalkrafteinwirkung. 
Bei Linie 3 ist das Druckglied so schlank, dass die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung für größeren Momentenzuwachs sorgen und das Bauteil noch vor Erreichen der Materialgrenzen ausweicht, also ein Stabilitätsversagen resultierend aus beanspruchungsbedingter Abnahme der Steifigkeit eintritt. 
Die Schlankheit berechnet sich mit 

<math>\lambda =\frac{{{l}_{0}}}{i}</math>
 
mit 
<math>{{l}_{0}}</math> – der [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] 
i - dem Trägheitsradius des ungerissenen Betonquerschnitts.
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]

S402.de Stahlbetonstütze

2015-09-19T11:28:00Z

Dkappich:

'''S402.de Stahlbeton-Stütze, Nennkrümmungsverfahren und numerisches Verfahren nach DIN EN 1992-1-1:2011-01'''

Diese Seite gibt eine Übersicht zu bestehenden Seiten im Zusammenhang mit dem mb-Statikmodul und zu theoretischen sowie angewendeten Informationen.

== Eingabe ==

=== System ===
*[[Positionstyp (S402.de)|Positionstyp]] 
*[[Stab- und Ersatzstablängen (S402.de)|Stab- und Ersatzstablängen]] 
*[[Verschieblichkeit in y/z-Richtung (S402.de)|Verschieblichkeit in y/z-Richtung]] 

=== Einwirkungen ===
*[[Projektweite Einwirkungen (S402.de)|Projektweite Einwirkungen]] 
*[[Positionsbezogene Einwirkungen (S402.de)|Positionsbezogene Einwirkungen (charakteristische Lasten)]] 
*[[Kombinationen (S402.de)|Kombinationen (Bemessungslasten)]] 

=== Wind ===
*[[Windlastermittlung (S402.de)|Windlastermittlung]] 

=== Belastungen ===
*[[Eigengewicht (S402.de)|Eigengewicht]] 
*[[Lastabtrag aus vorhandenen Positionen(S402.de)|Lastabtrag aus vorhandenen Positionen]] 
*[[Lasteingabe (S402.de)|Lasteingabe]] 

=== Material/Querschnitt ===
*[[Werkstoff (SXXX.de)|Werkstoff]] 
*[[Festigkeitsklasse Normalbeton/Leichtbeton (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beton]] 
*[[Festigkeitsklasse Betonstahl (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beztonstahl]] 
*[[Querschnittstyp (S402.de)|Querschnittstyp]] 
*[[Querschnitt (S402.de)|Querschnitt]] 
*[[Achsabstand der Längsbewehrung (S402.de)|Achsabstand der Längsbewehrung]] 

=== Bewehrung ===
*[[Anordnung (S402.de)|Anordnung]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Bewehrungswahl]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Längs- und Querbewehrung]] 

=== Nachweise ===
*[[Berechnungsverfahren (S402.de)|Berechnungsverfahren]] 
*[[Grenzzustand der Tragfähigkeit (S402.de)|Grenzzustand der Tragfähigkeit]] 
*[[Querkraftbemessung (S402.de)|Querkraftbemessung]] 
*[[Mindestbewehrung (S402.de)|Mindestbewehrung]] 
*[[Mindestbewehrung für (S402.de)|Mindestbewehrung für]] 
*[[Bewehrungsgrad (S402.de)|Bewehrungsgrad]] 
*[[Stabilität (S402.de)|Stabilität]] 
*[[Brandfall (S402.de)|Brandfall]] 
*[[Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (S402.de)|Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit]] 

=== Ausgabe ===

== Grundlagen ==

==== Grundlagen zur Schlankheit ====
Informationen findet man auf der Seite [[Schlankheit|Schlankheit]].

==== Berechnung der Knicklänge ====
Informationen findet man auf der Seite [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge/Ersatzstablänge]].

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Informationen findet man auf der Seite [[Berechnung der statischen Nutzhöhe|Berechnung der statischen Nutzhöhe]].

==== Berechnung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung (Modellstützenverfahren) ====
Informationen findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)]].

==== Berechnung mit dem numerischen Verfahren ====
Informationen findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)|Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)]].

==== Bemessung von durch Biegung und Längskraft beanspruchter Bauteile ====
Informationen findet man auf der Seite [[Bemessung Stahlbeton|Bemessung Stahlbeton]].

==== Bestimmungen zur Mindestbewehrung ====
Informationen findet man auf der Seite [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]].

==== Bemessung der Querkrafttragfähigkeit ====
Informationen findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung|Querkraftbemessung]].

==== Nachweisführung zum Brandschutz ====
Informationen findet man auf der Seite [[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutz Stahlbeton]].

== Beispiele ==

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Statische Nutzhöhe (Bsp.)|Statische Nutzhöhe (Bsp.)]] 

==== Bemessung nach Theorie I. Ordnung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 
und auf der Seite [[Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 

==== Berechnung der Querkrafttragfähigkeit ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung (Bsp.)|Querkraftbemessung (Bsp.)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Tafel) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Tafel)|Brandschutznachweis Methode A (Tafel)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Gleichung) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Gleichung)|Brandschutznachweis Methode A (Gleichung)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode B ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode B|Brandschutznachweis Methode B]] 

==== Berechnung der Knicklänge ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Knicklänge (Bsp.)|Knicklänge (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit Verfahren mit Nennkrümmung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Bsp.)|Modellstützenverfahren (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit numerischer Integration ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)|Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)]] 

==Quellen==

*DIN 1045: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton 
*DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken 
*Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013 
*Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012 
*Ehrigsen, O., Quast, U.: Knicklängen, Ersatzlängen und Modellstützen. Beton- und Stahlbetonbau 2003, Heft 5, Berlin 2003 
*Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 2: Schnittgrößen, Gesamtstabilität, Bewehrung und Konstruktion, Brandbemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Heydel, G., Krings, W., Herrmann, H.: Stahlbeton im Hochbau nach Eurocode 2, Einführung und Anwendungsbeispiele, Berlin 1995 
*Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012 
*Licht, P.: Bemessung stabförmiger Bauteile unter Längsdruck nach DIN 1045-1, In: mb-news Nr. 4/2004, Seite 64-68 
*Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012 
*Mehlhorn, G., Fehling, E., Jahn, T., Kleinhenz, A.: Bemessung von Betonbauten im Hoch- und Industriebau, Kassel 2002 
*Minnert, J.: Stahlbeton-Projekt: 5-geschossiges Büro- und Geschäftshaus, Konstruktion und Berechnung nach Eurocode 2, Ehringshausen 2014 
*Prüser, H.: Konstruieren im Stahlbetonbau 2: Stabmodelle, Regeldetails, Gebrauchstauglichkeit, Oldenburg 2011 
*Scheerer, S., Proske, D.: Stahlbeton for Beginners, Grundlagen für die Bemessung und Konstruktion, Dresden 2008 
*Stoelhorst, D., Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein e.V.: Eurocadcrete: Studienbuch, Dezember 2005 
*Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010 
*Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005 

{{Seiteninfo(mb)
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft|
|Modul-Version = 2015.070}}

[[Kategorie:MB-AEC Baustatik-Module|402]]

Brandfall (S402.de)

2015-09-19T11:26:35Z

Dkappich:

[[File:Brandfall_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Der Nachweis der [[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutzsicherheit]] wird vom Modul mit dem vereinfachten Nachweis mit Tabellen des Eurocode 2-1-2 geführt, das vereinfachte oder allgemeine Rechenverfahren steht nicht zur Verfügung. Der Eurocode stellt 2 Methoden A und B zur Ermittlung des Feuerwiderstands von Stahlbetonstützen. Alternativ dazu kann die Branddauer auch direkt mit einer Gleichung berechnet werden. 
Die Feuerwiderstandsklasse ist nach den Kriterien der Musterbauordnung entsprechend der Gebäudeklasse zu wählen. Das Kürzel R bezieht sich dabei auf die Tragfähigkeit, die für n Minuten der Beflammung erhalten bleiben muss, um in dieser Feuerwiderstandsklasse eingeordnet zu werden. 
Weiterhin ist die Kenntnis über eventueller Brandschutzverkleidungen oder abgrenzender Bauteile nötig, um nach Anzahl der beflammten Seiten zu unterscheiden.
Im Brandfall kann die Bemessungslast als mit dem Reduktionsfaktor multiplizierte Bemessungslast bei Normaltemperatur angenommen werden. Der Reduktionsfaktor kann dabei vereinfacht und auf der sicheren Seite mit 0,7 oder aber genau, abhängig vom Verhältnis der maßgebenden veränderlichen zur ständigen Einwirkung, ermittelt werden. 
Der vereinfachte Nachweis mit den Tabellen des Eurocode 2 ist nur bei Normalbeton anwendbar, kann unabhängig von der Art der Zuschläge im Beton geführt werden und liegt stets auf der sicheren Seite gegenüber den Rechenverfahren [vgl. 8]. 

<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
*Nur ausgesteifte Stützen können mit Methoden A und B bemessen werden, keine ver-schieblichen. Letzteres trifft demnach auf Kragstützen zu.</div> 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Stabilität (S402.de)

2015-09-19T11:25:50Z

Dkappich:

[[File:Stabilität_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Der Nachweis der Stabilität entspricht einer Berücksichtigung nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] in Hinblick auf die [[Bemessung Stahlbeton|Spannungsbemessung]] im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Ein Stabilitätsversagen ist dann maßgebend für die Tragfähigkeit, wenn die Knicklast (also die Druckbeanspruchung, die zum seitlichen Ausweichen des Bauteils führt) noch vor der Bruchlast des Betons erreicht wird. Entscheidend ist dabei die [[Schlankheit|Schlankheit]]: je gedrungener ein Bauteil ist, desto eher versagt es infolge Spannungsüberschreitungen und je schlanker es ist, umso eher tritt ein Stabilitätsversagen auf [vgl. 16].
Die Schlankheit sowie deren Grenzwert wird anhand der eingegebenen Querschnittsabmessungen, einwirkenden Normalkraft und Betondruckfestigkeit vom Programm ermittelt. Kommt es zum Überschreiten der Grenzwerte, werden die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung ermittelt und in die Biegebemessung einfließen. Demnach ist ein Abwählen der Option „Stabilitätsnachweis führen“ nur dann sinnvoll, wenn die Stütze in beide Richtungen gehalten ist (siehe nachfolgende Abfrage) – ansonsten ermittelt das Modul selbst, wenn die Bauteilverformungen zu vernachlässigen sind.
Ist entlang der Stütze eine der beiden Richtungen derart gehalten, dass ein Ausweichen in diese Querschnittsachse verhindert wird, so resultiert aus der Eingabe das Entfallen des Stabilitätsnachweises. Sollte die Stütze in beide Richtungen nicht ausweichen können, ist der gesamte Stabilitätsnachweis zu deaktivieren. 
Ist eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung maßgebend, so sind die Auswirkungen resultierend aus Kriechen zu berücksichtigen. Nach Eurocode 2 können Kriechauswirkungen vernachlässigt werden, wenn 
- die Endkriechzahl <math>\varphi (\infty ,{{t}_{0}})\le 2</math>, 
- die Schlankheit λ ≤ 75 und 
- das Moment nach Theorie I. Ordnung der Querschnittshöhe in entsprechende Richtung ist. 

Die Prüfung dieser Grenzwerte muss vom Anwender selbst ausgeführt werden und im Falle einer maßgeblichen Kriechauswirkung ist die Endkriechzahl dem Modul zuzuführen. 
Diese kann Bautabellen oder dem Eurocode 2 Abschnitt 3.1.4 entnommen werden. Vorausgesetzt sind dabei Kenntnisse über die Rahmenbedingungen Querschnittswerte, Betongüte und relative Luftfeuchtigkeit, der das Bauteil ausgesetzt ist. 
Weiterhin kann in Hinblick auf den [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Nachweis mit Nennkrümmungen]] der Krümmungsbeiwert c abhängig vom erwarteten Krümmungsverlauf der Modellstütze angegeben werden. Da das Verfahren mit Nennkrümmung sich der tatsächlichen Verformung nur annähert, gibt es hier also die Möglichkeit, diese etwas genauer zu beschreiben. So wird bei konstantem Querschnitt und linearem Momentverlauf ein parabelförmiger Krümmungsverlauf erwartet, wohingegen bei konstantem Momentenverlauf ein Krümmungsbeiwert von 8 anzusetzen ist. In der Literatur wird hier üblicherweise aus vereinfachenden Gründen kein Krümmungsbeiwert von über 10 angenommen oder der Krümmungsbeiwert befindet sich erst gar nicht als Variable in den Formeln diverser Autoren.
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Mindestbewehrung (S402.de)

2015-09-19T11:22:52Z

Dkappich:

[[File:Mindestbewehrung_(S402.de).jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Um auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] nach Eurocode 2 zu verzichten, gibt es hier wie auch in den anderen Modulen die Möglichkeit, diese in der Ausgabe nicht anzuordnen. Beim üblichen Gebrauch des Moduls ist diese Option zur Tragwerksplanung jedoch nicht nötig.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Querkraftbemessung (S402.de)

2015-09-19T11:22:17Z

Dkappich:

[[File:Querkraftbemessung_(S402.de).jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Die [[Querkraftbemessung|Querkraftbemessung]] erfolgt (entgegen des Verweises des Hilfetextes) nach dem Eurocode 2 Abschnitt 6.2, wobei Bauteile bei der Bemessung an sich nicht differenziert betrachtet werden, sondern lediglich bei der Anordnung der Mindestquerkraftbewehrung. Dementsprechend wird bei der Abfrage nach der Art des Bauteils die Anordnung der sich voneinander unterscheidenden [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrungen]] zwischen Biegebauteil und Druckglied zur Auswahl gestellt. Die dritte Möglichkeit erlaubt es, den kleineren Mindestbewehrungsgrad der beiden zu wählen. Sinnvollerweise sollte aber auf der sicheren Seite liegend genau der größere gewählt werden.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Berechnungsverfahren (S402.de)

2015-09-19T11:21:03Z

Dkappich:

[[File:Berechnungsverfahren_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
'''Verfahren mit Nennkrümmung:''' 
Dieser Nachweis (auch [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Modellstützenverfahren]] genannt) wird üblicherweise bei der Handrechnung verwendet und stellt eine näherungsweise Betrachtung zur Bemessung nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] dar. Hierbei wird die Krümmung einer modellierten Kragstütze im Mittelwert abgeschätzt und mit dem virtuellen Moment multipliziert integriert, um die Kopfverschiebung der Stütze zu ermitteln. Diese zusätzliche Verschiebung führt bei üblicherweise vorhandener Normalkraftbeanspruchung zu einem größeren Moment, für das die Stahlbetonstütze dann wie üblich [[Bemessung Stahlbeton|bemessen]] wird.

'''Numerisches Verfahren:''' 
Hierbei wird die Krümmung nicht vereinfacht wie beim Modellstützenverfahren beschrieben, sondern genauer ermittelt. Dabei ist dieser Vorgang wegen krümmungsbeeinflussender Bewehrung iterativ. Mit ermittelter Krümmung an einzelnen Stellen der Stütze kann nach zweifacher Integration die Biegelinie errechnet und die daraus resultierende zusätzliche Ausmitte bestimmt werden. Auch danach wird dann mit zusätzlichem Moment wie üblich bemessen und bei Übereinstimmung mit der im Voraus angenommen Bewehrung der Iterationsprozess beendet.
Ferner kann das Verfahren im Gegensatz zum Modellstützenverfahren bei beliebiger zweiachsiger Lastausmitte bemessen werden und ist nicht an die Grenzwerte für die dann getrennt betrachtete Modellstütze gebunden. 

Ist der aufstellende Tragwerksplaner nicht durch eventuelle Forderungen des Auftraggebers gebunden, empfiehlt sich das [[Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)|numerische Verfahren]], das im Vergleich zum Verfahren mit Nennkrümmung wegen der genaueren Krümmungsermittlung die Bewehrung wirtschaftlicher ermittelt.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Anordnung (S402.de)

2015-09-19T11:18:47Z

Dkappich:

[[File:Anordnung_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Je nach Einwirkung kann die Bewehrung unterschiedlich angeordnet werden. Die vom nationalen Anhang des Eurocode 2 vorgeschriebene [[Mindestbewehrung|Mindestanzahl]] von einem Stab je Ecke beim Rechteck- oder 6 Stäbe verteilt beim Kreisquerschnitt wird unabhängig der Anordnungswahl vom Modul berücksichtigt.
 
 
'''In jeder Ecke gleich''' 
Ist die Stütze zentrisch nur auf Druck belastet, reicht für den Stabilitäts- und Spannungsnachweis eine Anordnung von Längsstäben in jeder Ecke und Bügel.
 
 
'''Über den Umfang verteilt''' 
Kann die Stütze in beide Achsen ausknicken und wird in beide Richtungen biegebeansprucht, wird die Bewehrung über den gesamten Umfang verteilt.
 
 
'''Oben, unten gleich''' 
Wenn die Stütze in eine Richtung gegen Ausknicken gehalten ist, kann die Längsbewehrung nur an den beiden anderen Seiten bei Biegebeanspruchung angeordnet werden. In jeder Querschnittsecke ist nach Eurocode 2 weiterhin mindestens ein Stab anzuordnen.
 
 
'''Oben, unten gleich und rechts, links gleich''' 
Unterscheiden sich die Momente in beiden Querschnittsachsen wesentlich und sind beide Richtungen nicht gegen Ausknicken gehalten, können aus wirtschaftlichen Gründen die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich bewehrt werden.
 
 
Es ist zu beachten, dass das Modul bei der Ausgabe der erforderlichen Bewehrung keine konstruktiv vorgeschriebene Höchstabstände berücksichtigt und bei größeren Quer-schnittsabmessungen dem Ergebnis noch Stäbe hinzuzufügen sind, um einen maximalen Abstand von s = 30cm der Längsbewehrung einzuhalten.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Achsabstand der Längsbewehrung (S402.de)

2015-09-19T11:17:02Z

Dkappich:

[[File:Achsabstand_der_Längsbewehrung_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]
[[File:Achsabstand_der_Längsbewehrung_(S402.de)_2.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Maß von Bauteilaußenkante zur Schwerachse der Längsbewehrung ist für beide Querschnittsachsen zu wählen. Es ist abhängig von den Stab- und Bügeldurchmessern und der [[Betondeckung c nom nach EC2-1-1|Betondeckung]], die wiederum nach Brandschutz- und Verbundanforderungen und den Expositionsklassen gewählt wird. Ein gleiches Maß in beide Richtungen muss nicht unbedingt typisch sein. Unterschiedliche Achsabstände können beispielsweise aus der Notwendigkeit der größeren [[Statische Nutzhöhe|statischen Nutzhöhe]] bei Biegebeanspruchung in einer Richtung resultieren. Dabei kann dann aber gegebenenfalls zusätzliches Brandschutzmaterial zu den beiden Seiten erforderlich werden, um die geringere Betondeckung zu kompensieren.
Das einzugebende Maß hier ist nicht mit der Betondeckung zu verwechseln. Den Achsabstand zu bestimmen, setzt die Kenntnis des Stabdurchmessers der Längsbewehrung und der Bügelbewehrung voraus, hier muss also vorbemessen werden. Sollte dann am Ende eine größere Bewehrung als vorher angenommen erforderlich sein, darf nicht vergessen werden, hier wieder den Achsabstand (Betondeckung + Bügeldurchmesser +0,5*Stabdurchmesser) anzupassen. Wäre es hier möglich, direkt das Maß der manuell ermittelten Betondeckung einzutragen, fiele diese Unbequemlichkeit weg.
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Verschieblichkeit in y/z-Richtung (S***.de)

2015-09-19T11:06:06Z

Dkappich:

‎[[File:Verschieblichkeit_in_yz-Richtung_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die Stütze als Teil eines Gesamtsystems kann in beide Richtungen als verschieblich definiert werden. Eine Kragstütze ist per Definition ohnehin am Kopf verschieblich, eine Einstellung hier würde stets dieselben Ergebnisse hervorbringen. Auch bei der Pendelstütze hat die Einstellung der Verschieblichkeit keinen Einfluss.
Eine manuell vorgegebene [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] beinhaltet bei der Berechnung bereits die Berücksichtigung eines ausgesteiften Gesamtsystems, sodass die Deklaration der Verschieblichkeit hier nur einen Einfluss auf den [[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutznachweis]] hat.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Verschieblichkeit in y/z-Richtung (S***.de)

2015-09-19T11:05:49Z

Dkappich:

‎[[File:Verschieblichkeit_in_yz-Richtung_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die Stütze als Teil eines Gesamtsystems kann in beide Richtungen als verschieblich definiert werden. Eine Kragstütze ist per Definition ohnehin am Kopf verschieblich, eine Einstellung hier würde stets dieselben Ergebnisse hervorbringen. Auch bei der Pendelstütze hat die Einstellung der Verschieblichkeit keinen Einfluss.
Eine manuell vorgegebene [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] beinhaltet bei der Berechnung bereits die Berücksichtigung eines ausgesteiften Gesamtsystems, sodass die Deklaration der Verschieblichkeit hier nur einen Einfluss auf den |[[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutznachweis]] hat.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Stab- und Ersatzstablängen (S***.de)

2015-09-19T11:05:02Z

Dkappich:

[[File:Stab-_und_Ersatzstablängen_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die Stablänge des statisch idealisierten Systems wird mit der lichten Höhe der Stahlbetonstütze zuzüglich des Abstandes zum Systemnotenpunkt an den jeweiligen Stabenden beziffert. Im typischen Falle eines aufliegenden Balkens addiert sich oben also zunächst einmal das Maß von Oberkante sichtbarer Stütze zu Schwerpunkt des Balkenquerschnitts hinzu. Dieselbe Maßermittlung trifft auch auf den Fußpunkt zu, wenn es sich hier bei-spielsweise um eine Geschossstütze handelt. Bindet die Stütze allerdings in ein Fundament ein, kann hier im Gegensatz zu vorher beschriebenen Situation von einer theoretisch starren Einspannung ausgegangen werden, deren Knotenpunkt auf der Fundamentoberkante anzunehmen ist.
Sollte von der im Modul berechneten [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge]] (=Ersatzstablänge) abgewichen werden, um beispielsweise Knickbeiwerte zu verwenden, die eher der Praxis entsprechen [vgl. 8] oder um abweichend vom vorgegebenen statischen System elastische Einspannungen zu berücksichtigen, ist es hier möglich, die manuell ermittelte Ersatzstablänge für die jeweilige Querschnittsachse dem Modul vorzugeben.
Entspricht die zu berechnende Stütze einem Einzelstab oder ist Teil eines ausgesteiften Gesamtsystems, wodurch die gehaltenen Stabenden als unverschieblich sind, kann auf das Vorgeben der Ersatzstablängen verzichtet werden, sofern der vorher gewählte Positionstyp der tatsächlichen Lagerung entspricht.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

Positionstyp (S***.de)

2015-09-19T11:04:03Z

Dkappich:

[[File:Positionstyp_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die Wahl zwischen Pendel- und Kragstütze gibt dem Anwender die Möglichkeit, keine weiteren Berechnungen zu den [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Ersatzstablängen]] vornehmen zu müssen, da bei diesen beiden Auswahlmöglichkeiten die dazugehörigen Knickbeiwerte den klassischen Eulerfällen entnommen werden.
Die Eulerfälle 3 und 4 sowie elastische Einspannungen sind in der Form nicht auswählbar, können aber in Bezug auf die Stabilitätsnachweise durch Vorgabe der Ersatzstablänge in der nächsten Abfrage imitiert werden. Allerdings entsprechen die vom Programm ermittelten Schnittgrößen dann natürlich dem am Anfang gewählten System, sodass die übrigen Berechnungen nicht als Nachweis herangezogen werden können. Letztendlich bedeutet das also, dass nur Pendel-und Kragstützen mit dem Modul im vollen Umfang nachgewiesen werden können.

==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

S402.de Stahlbetonstütze

2015-09-19T11:01:24Z

Dkappich:

'''S402.de Stahlbeton-Stütze, Nennkrümmungsverfahren und numerisches Verfahren nach DIN EN 1992-1-1:2011-01'''

Diese Seite gibt eine Übersicht zu bestehenden Seiten im Zusammenhang mit dem mb-Statikmodul und zu theoretischen sowie angewendeten Informationen.

== Eingabe ==

=== System ===
*[[Positionstyp (S402.de)|Positionstyp]] 
*[[Stab- und Ersatzstablängen (S402.de)|Stab- und Ersatzstablängen]] 
*[[Verschieblichkeit in y/z-Richtung (S402.de)|Verschieblichkeit in y/z-Richtung]] 

=== Einwirkungen ===
*[[Projektweite Einwirkungen (S402.de)|Projektweite Einwirkungen]] 
*[[Positionsbezogene Einwirkungen (S402.de)|Positionsbezogene Einwirkungen (charakteristische Lasten)]] 
*[[Kombinationen (S402.de)|Kombinationen (Bemessungslasten)]] 

=== Wind ===
*[[Windlastermittlung (S402.de)|Windlastermittlung]] 

=== Belastungen ===
*[[Eigengewicht (S402.de)|Eigengewicht]] 
*[[Lastabtrag aus vorhandenen Positionen(S402.de)|Lastabtrag aus vorhandenen Positionen]] 
*[[Lasteingabe (S402.de)|Lasteingabe]] 

=== Material/Querschnitt ===
*[[Werkstoff (SXXX.de)|Werkstoff]] 
*[[Festigkeitsklasse Normalbeton/Leichtbeton (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beton]] 
*[[Festigkeitsklasse Betonstahl (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beztonstahl]] 
*[[Querschnittstyp (S402.de)|Querschnittstyp]] 
*[[Querschnitt (S402.de)|Querschnitt]] 
*[[Achsabstand der Längsbewehrung (S402.de)|Achsabstand der Längsbewehrung]] 

=== Bewehrung ===
*[[Anordnung (S402.de)|Anordnung]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Bewehrungswahl]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Längs- und Querbewehrung]] 

=== Nachweise ===
*[[Berechnungsverfahren (S402.de)|Berechnungsverfahren]] 
*[[Grenzzustand der Tragfähigkeit (S402.de)|Grenzzustand der Tragfähigkeit]] 
*[[Querkraftbemessung (S402.de)|Querkraftbemessung]] 
*[[Mindestbewehrung (S402.de)|Mindestbewehrung]] 
*[[Mindestbewehrung für (S402.de)|Mindestbewehrung für]] 
*[[Bewehrungsgrad (S402.de)|Bewehrungsgrad]] 
*[[Stabilität (S402.de)|Stabilität]] 
*[[Brandfall (S402.de)|Brandfall]] 
*[[Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (S402.de)|Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit]] 

=== Ausgabe ===

== Grundlagen ==

==== Berechnung der Knicklänge ====
Informationen findet man auf der Seite [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge/Ersatzstablänge]].

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Informationen findet man auf der Seite [[Berechnung der statischen Nutzhöhe|Berechnung der statischen Nutzhöhe]].

==== Berechnung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung (Modellstützenverfahren) ====
Informationen findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)]].

==== Berechnung mit dem numerischen Verfahren ====
Informationen findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)|Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)]].

==== Bemessung von durch Biegung und Längskraft beanspruchter Bauteile ====
Informationen findet man auf der Seite [[Bemessung Stahlbeton|Bemessung Stahlbeton]].

==== Bestimmungen zur Mindestbewehrung ====
Informationen findet man auf der Seite [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]].

==== Bemessung der Querkrafttragfähigkeit ====
Informationen findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung|Querkraftbemessung]].

==== Nachweisführung zum Brandschutz ====
Informationen findet man auf der Seite [[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutz Stahlbeton]].

== Beispiele ==

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Statische Nutzhöhe (Bsp.)|Statische Nutzhöhe (Bsp.)]] 

==== Bemessung nach Theorie I. Ordnung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 
und auf der Seite [[Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 

==== Berechnung der Querkrafttragfähigkeit ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung (Bsp.)|Querkraftbemessung (Bsp.)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Tafel) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Tafel)|Brandschutznachweis Methode A (Tafel)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Gleichung) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Gleichung)|Brandschutznachweis Methode A (Gleichung)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode B ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode B|Brandschutznachweis Methode B]] 

==== Berechnung der Knicklänge ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Knicklänge (Bsp.)|Knicklänge (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit Verfahren mit Nennkrümmung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Bsp.)|Modellstützenverfahren (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit numerischer Integration ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)|Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)]] 

==Quellen==

*DIN 1045: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton 
*DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken 
*Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013 
*Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012 
*Ehrigsen, O., Quast, U.: Knicklängen, Ersatzlängen und Modellstützen. Beton- und Stahlbetonbau 2003, Heft 5, Berlin 2003 
*Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 2: Schnittgrößen, Gesamtstabilität, Bewehrung und Konstruktion, Brandbemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Heydel, G., Krings, W., Herrmann, H.: Stahlbeton im Hochbau nach Eurocode 2, Einführung und Anwendungsbeispiele, Berlin 1995 
*Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012 
*Licht, P.: Bemessung stabförmiger Bauteile unter Längsdruck nach DIN 1045-1, In: mb-news Nr. 4/2004, Seite 64-68 
*Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012 
*Mehlhorn, G., Fehling, E., Jahn, T., Kleinhenz, A.: Bemessung von Betonbauten im Hoch- und Industriebau, Kassel 2002 
*Minnert, J.: Stahlbeton-Projekt: 5-geschossiges Büro- und Geschäftshaus, Konstruktion und Berechnung nach Eurocode 2, Ehringshausen 2014 
*Prüser, H.: Konstruieren im Stahlbetonbau 2: Stabmodelle, Regeldetails, Gebrauchstauglichkeit, Oldenburg 2011 
*Scheerer, S., Proske, D.: Stahlbeton for Beginners, Grundlagen für die Bemessung und Konstruktion, Dresden 2008 
*Stoelhorst, D., Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein e.V.: Eurocadcrete: Studienbuch, Dezember 2005 
*Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010 
*Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005 

{{Seiteninfo(mb)
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft|
|Modul-Version = 2015.070}}

[[Kategorie:MB-AEC Baustatik-Module|402]]

S402.de Stahlbetonstütze

2015-09-19T10:58:58Z

Dkappich:

'''S402.de Stahlbeton-Stütze, Nennkrümmungsverfahren und numerisches Verfahren nach DIN EN 1992-1-1:2011-01'''

Diese Seite gibt eine Übersicht zu bestehenden Seiten im Zusammenhang mit dem mb-Statikmodul und zu theoretischen sowie angewendeten Informationen.

== Eingabe ==

=== System ===
*[[Positionstyp (S402.de)|Positionstyp]] 
*[[Stab- und Ersatzstablängen (S402.de)|Stab- und Ersatzstablängen]] 
*[[Verschieblichkeit in y/z-Richtung (S402.de)|Verschieblichkeit in y/z-Richtung]] 

=== Einwirkungen ===
*[[Projektweite Einwirkungen (S402.de)|Projektweite Einwirkungen]] 
*[[Positionsbezogene Einwirkungen (S402.de)|Positionsbezogene Einwirkungen (charakteristische Lasten)]] 
*[[Kombinationen (S402.de)|Kombinationen (Bemessungslasten)]] 

=== Wind ===
*[[Windlastermittlung (S402.de)|Windlastermittlung]] 

=== Belastungen ===
*[[Eigengewicht (S402.de)|Eigengewicht]] 
*[[Lastabtrag aus vorhandenen Positionen(S402.de)|Lastabtrag aus vorhandenen Positionen]] 
*[[Lasteingabe (S402.de)|Lasteingabe]] 

=== Material/Querschnitt ===
*[[Werkstoff (SXXX.de)|Werkstoff]] 
*[[Festigkeitsklasse Normalbeton/Leichtbeton (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beton]] 
*[[Festigkeitsklasse Betonstahl (SXXX.de)|Festigkeitsklasse Beztonstahl]] 
*[[Querschnittstyp (S402.de)|Querschnittstyp]] 
*[[Querschnitt (S402.de)|Querschnitt]] 
*[[Achsabstand der Längsbewehrung (S402.de)|Achsabstand der Längsbewehrung]] 

=== Bewehrung ===
*[[Anordnung (S402.de)|Anordnung]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Bewehrungswahl]] 
*[[Bewehrungswahl (S402.de)|Längs- und Querbewehrung]] 

=== Nachweise ===
*[[Berechnungsverfahren (S402.de)|Berechnungsverfahren]] 
*[[Grenzzustand der Tragfähigkeit (S402.de)|Grenzzustand der Tragfähigkeit]] 
*[[Querkraftbemessung (S402.de)|Querkraftbemessung]] 
*[[Mindestbewehrung (S402.de)|Mindestbewehrung]] 
*[[Mindestbewehrung für (S402.de)|Mindestbewehrung für]] 
*[[Bewehrungsgrad (S402.de)|Bewehrungsgrad]] 
*[[Stabilität (S402.de)|Stabilität]] 
*[[Brandfall (S402.de)|Brandfall]] 
*[[Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (S402.de)|Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit]] 

=== Ausgabe ===

== Grundlagen ==

==== Berechnung der Knicklänge ====
Informationen findet man auf der Seite [[Knicklänge/Ersatzstablänge|Knicklänge/Ersatzstablänge]].

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Informationen findet man auf der Seite [[Berechnung der statischen Nutzhöhe|Berechnung der statischen Nutzhöhe]].

==== Berechnung mit dem Verfahren mit Nennkrümmung (Modellstützenverfahren) ====
Informationen findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)|Modellstützenverfahren (Verfahren mit Nennkrümmung)]].

==== Berechnung mit dem numerischen Verfahren ====
Informationen findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)|Numerisches Verfahren (Stahlbetonstütze)]].

==== Bemessung von durch Biegung und Längskraft beanspruchter Bauteile ====
Informationen findet man auf der Seite [[Bemessung Stahlbeton|Bemessung Stahlbeton]].

==== Bestimmungen zur Mindestbewehrung ====
Informationen findet man auf der Seite [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]].

==== Bemessung der Querkrafttragfähigkeit ====
Informationen findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung|Querkraftbemessung]].

==== Nachweisführung zum Brandschutz ====
Informationen findet man auf der Seite [[Brandschutz Stahlbeton|Brandschutz Stahlbeton]].

== Beispiele ==

==== Berechnung der statischen Nutzhöhe ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Statische Nutzhöhe (Bsp.)|Statische Nutzhöhe (Bsp.)]] 

==== Bemessung nach Theorie I. Ordnung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei einachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 
und auf der Seite [[Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)|Bemessung bei zweiachsiger Biegung und Längskraft (Bsp.)]] 

==== Berechnung der Querkrafttragfähigkeit ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Querkraftbemessung (Bsp.)|Querkraftbemessung (Bsp.)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Tafel) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Tafel)|Brandschutznachweis Methode A (Tafel)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode A (Gleichung) ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode A (Gleichung)|Brandschutznachweis Methode A (Gleichung)]] 

==== Führen des Brandschutznachweises Methode B ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)#Methode B|Brandschutznachweis Methode B]] 

==== Berechnung der Knicklänge ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Knicklänge (Bsp.)|Knicklänge (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit Verfahren mit Nennkrümmung ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Modellstützenverfahren (Bsp.)|Modellstützenverfahren (Bsp.)]] 

==== Nachweisführung mit numerischer Integration ====
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite [[Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)|Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)]] 

==Quellen==

*DIN 1045: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton 
*DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken 
*Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013 
*Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012 
*Ehrigsen, O., Quast, U.: Knicklängen, Ersatzlängen und Modellstützen. Beton- und Stahlbetonbau 2003, Heft 5, Berlin 2003 
*Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 2: Schnittgrößen, Gesamtstabilität, Bewehrung und Konstruktion, Brandbemessung, Beispiele, Siegen 2013 
*Heydel, G., Krings, W., Herrmann, H.: Stahlbeton im Hochbau nach Eurocode 2, Einführung und Anwendungsbeispiele, Berlin 1995 
*Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012 
*Licht, P.: Bemessung stabförmiger Bauteile unter Längsdruck nach DIN 1045-1, In: mb-news Nr. 4/2004, Seite 64-68 
*Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012 
*Mehlhorn, G., Fehling, E., Jahn, T., Kleinhenz, A.: Bemessung von Betonbauten im Hoch- und Industriebau, Kassel 2002 
*Minnert, J.: Stahlbeton-Projekt: 5-geschossiges Büro- und Geschäftshaus, Konstruktion und Berechnung nach Eurocode 2, Ehringshausen 2014 
*Prüser, H.: Konstruieren im Stahlbetonbau 2: Stabmodelle, Regeldetails, Gebrauchstauglichkeit, Oldenburg 2011 
*Scheerer, S., Proske, D.: Stahlbeton for Beginners, Grundlagen für die Bemessung und Konstruktion, Dresden 2008 
*Stoelhorst, D., Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein e.V.: Eurocadcrete: Studienbuch, Dezember 2005 
*Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010 
*Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005 

{{Seiteninfo(mb)
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = in Bearbeitung|
|Modul-Version = 2015.070}}

[[Kategorie:MB-AEC Baustatik-Module|402]]