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Mitwirkende Plattenbreite

2022-12-12T20:58:36Z

FFaerber:

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 1.1.png|right|thumb|500px|Idealer Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt die Zugkräfte auf. Im Biegedruckbereich wirkt beim monolithischen Plattenbalken neben dem Balkenquerschnitt auch ein bestimmter Bereich der Platte mit und nimmt die Druckspannungen auf. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da verschiedene Faktoren einen Einfluss auf die Größe haben:
<ul>
*Querschnittsabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
**Einzellasten
**gleichmäßig verteilte Lasten
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen

</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Näherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt und eine genaue Berechnung oft nicht wirtschaftlicher im Vergleich zur Nutzung der Näherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite vorwiegend bei der Biegebemessung von Plattenbalken. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt bei sonst gleichen Bedingungen
* zu einer Erhöhung der aufnehmbaren Druckkraft in der Druckzone
* zu einer Vergrößerung des Hebelarmes der inneren Kräfte und damit zu einer Verringerung der erforderlichen Biegebewehrung (Auswirkung eher gering) 
Des Weiteren wird die mitwirkende Plattenbreite als Grundlage für die Ermittlung der Anschlussbewehrung für den [[Anschluss von Druck-und Zuggurten]] verwendet. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt hier zu einer Erhöhung der Menge und Länge der Anschlussbewehrung. 
Darüber hinaus wird die mitwirkende Plattenbreite als Basis für die mögliche Verteilungsbreite der Biegezugbewehrung in den Gurten von Plattenbalken über Zwischenauflagern verwendet.

=== Berechnung nach Eurocode 2-1-1===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende einseitige Plattenbreite (rechts/links)
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt. 
Die Ermittlung des Abstandes der Momentennullpunkte erfolgt vereinfacht nach den Formeln in der angegebenen Darstellung.
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.1.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, deren Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, bezüglich der mitwirkenden Plattenbreite werden folgend kurz zusammengefasst.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.1.png|right|thumb|300px|Schubspannung T (Darstellung nach ''Brendel'')<ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, wenn der Plattenbalken für die Berechnung als Gesamtquerschnitt betrachtet werden soll. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller ist.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 2.1.png|right|thumb|400px|Realer und idealer Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden.
Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (σmax), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Über die Stegbreite bw findet keine Änderung der Dehnung der obersten Faser statt, εx bleibt demnach in dem Bereich konstant. Bei der idealisierten Spannungsfigur soll die Summe der realen Druckspannungen gleich der Summe der idealisierten Druckspannungen entsprechen. Hierfür wird die Spannung (σmax) über dem Steg als Grundgröße verwendet. Zusätzlich zu dem Ansatz für Flächenlasten gibt es auch Ansätze, den idealisierten Spannungskörper für die mitwirkende Plattenbreite als Volumen darzustellen, demnach also eine Volumengleichheit herzustellen. Folgende Formel behandelt eine Flächengleichheit für eine Stegseite nach ''Leonhardt''. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 

:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \int_0^{b_1} \sigma_x {dx_1} </math> 

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref name = "Brendel1960"/>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung dem Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Diese Schubkraft beansprucht die Platte vereinfacht als Scheibe, vertikale Schubkräfte werden hier vernachlässigt. <ref name = "Leonhardt"/> 
Bei kompakten Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je filigraner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre <ref>Marguerre, K.: Über die Beanspruchung von Plattenträgern. Stahlbau (1952) </ref> darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|250px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Wie es die Abbildung zeigt, kann der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken mittels Zug- und Druckspannungstrajektorien dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Bei verteilter Last nimmt die Mitwirkung der Platte bei zunehmender Beanspruchung zu. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Plastizierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.1.png|right|thumb|250px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager (oben) und bei Einzellasten (unten) (Darstellung nach ''Schleeh'')<ref Name= "Schleeh1973"> Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900 </ref>]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Dies wird auch als Einschnürung bezeichnet, also eine Spannung, die sich aufgrund von Schubverzerrungen und Materialeigenschaften zunächst entwickeln muss. Grund dafür ist auch der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref name = "Schleeh1973" /> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsarbeiten von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name = "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen Unterschied, ob es sich um einen einfachen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System, sodass die Wirkungsweise und der Kraftverlauf (siehe oben) umfassend erforscht sind.

==== Kragarm====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm (Darstellung nach ''Tulke'')<ref>Tulke, J.: Berechnung monolithischer Decken-Balken-Systeme: Umsetzung in einer webbasierten Umgebung. Berlin, TU Berlin, Diplomarbeit, 2001 </ref>]]

Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom realen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die Mitwirkung der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.1.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die umgelagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt. 
Aufgrund der Werkstoffeigenschaften von Beton gelten für den ungerissenen Zustand der Biegezugzone dieselben Gesetzmäßigkeiten wie in der Druckzone. Im Zustand I wirkt der Beton somit auch im Zugbereich mit. <ref> Zilch, K.; Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau (2010) </ref>

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4 b_i</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Die Abbildung zeigt jeweils für einen Einzelbalken und eine Balkenreihe die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Balkenmitte, wobei die Diagramme jeweils eine kleine sowie eine große effektive Stützweite darstellen. Zusätzlich werden verschiedene Plattendicken berücksichtigt. Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.1.png|left|thumb|800px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken (links) und Balkenreihen (rechts) (angelehnt an ''Brendel'') <ref name="Brendel1960" />]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen.<ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref> 
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Für konkrete Berechnungsergebnisse mit Hilfe dieser Formel - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Geschichtliche Entwicklung und normative Regeln]].
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei der Berechnung mit finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch zu aufwendig ist. Außerdem hat die exakte Ermittlung der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref>

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Die Genauigkeit der Berechnung spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt wird. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann eine genauere Berechnung wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref>

==Quellen==
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung!
}}

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.1.png

2022-12-12T20:56:51Z

FFaerber:

bezogene mitwirkende Plattenbreite

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.1.png

2022-12-12T20:56:06Z

FFaerber:

Durchlaufträger

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.1.png

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FFaerber:

Einschnürungen

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 2.1.png

2022-12-12T20:53:51Z

FFaerber:

Idealisierter Spannungskörper

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.1.png

2022-12-12T20:52:37Z

FFaerber:

Schub

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 4.1.png

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FFaerber:

Momentennulldurchgänge

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 1.1.png

2022-12-12T20:47:25Z

FFaerber:

Idealisierter Spannungsverlauf

Mitwirkende Plattenbreite - Geschichtliche Entwicklung und normative Regeln

2022-12-12T18:20:11Z

FFaerber: Die Seite wurde neu angelegt: „Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 0.png|right|thumb|300px|Historische Abbildung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite aus <ref> Pu…“

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 0.png|right|thumb|300px|Historische Abbildung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite aus <ref> Pucher, A: Lehrbuch des Stahlbetonbaues - Grundlagen und Anwendungen im Hoch- und Brückenbau</ref> ]]
Diese Seite zeigt die Zusammenfassung der geschichtlichen Entwicklung der mitwirkenden Plattenbreite sowie den Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts und dem dem Eurocode. Zusätzlich werden Berechnungsvarianten aus Normen außerhalb des Eurocodes und eine FE-Berechnung vorgestellt und verglichen.
 

==Geschichtliche Entwicklung bis zum Eurocode==
Die folgende Auflistung gibt einen kurzen Überblick über die geschichtlichen Entwicklung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite. Für eine Übersicht zur Problematik un zu den Berechnungsgrundlagen - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite]].

====1906====
Erste Erwähnung im "Eisenbetonbau" als anwendbarer Leitsatz nach ''Mörsch'' <ref>Mörsch E.: Der Eisenbetonbau: Seine Theorie und Anwendung. Stuttgart, 1906</ref>
 
:<math>b_{eff} = \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff}</math>
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|} 

====1918====
Erste Normung innerhalb der 1918 veröffentlichten "Deutschen Industrie Norm" nach ''Frank.'' In der Norm ist nicht geregelt, für welchen Fall man welche Formel wählt. Es handelt sich um grobe, unbegründete Abschätzungen. <ref>Frank, W.: Eisenbetonbau: Kurzgefasstes Lehrbuch unter besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Praxis. 2. vollständig umgearbeitete Auflage. Stuttgart : Verlag von Konrad Wittwer, 1914</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff} bzw. \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff}; b \right) </math>
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 

====1943====
''Timoshenko's'' Elastizitätstheorie führt zur "strengen Theorie des Plattenbalkens", die mittels AIRYscher Spannungsfunktion berechnet werden kann. Die Berechnung ist jedoch sehr umständlich, daher gelten fortan die deutschen Bestimmungen nach ''Schleicher'' <ref>Schleicher, Ferdinand: Taschenbuch für Bauingenieure. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1955. – ISBN 978–3–642–88349–1</ref>

:<math>b_{eff}={min}
\begin{cases}
b_w + 2 \cdot b_s + 12 \cdot h_f \\
b_w + 18 \cdot h_f \\
l_{eff}/2 \\
b
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| bs... || Breite der Vouten
|-
| hf... || Plattendicke
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 
====1960====
''Brendel'' fasst im Jahr 1960 das Wissen um die mitwirkende Plattenbreite kompakt zusammen. Der Fachartikel "Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch" ist noch heute von großer Bedeutung. Lässt man FE-Methoden außen vor, sind die Betrachtungen aus 1960 in Kombination mit den sich darauf beziehenden Untersuchungen von ''Leonhardt'' die umfassendsten Näherungen. So lässt sich die bezogenen mitwirkende Plattenbreite (<math>b_{eff}/b_i</math>) über die Verhältnisse <math>h_f/h</math> und <math>b_i/l_0</math> bestimmen.
:<math>b_{eff} = b_w + b_1 + b_2 </math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 1.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> ]]

Hieraus ergibt sich dann mithilfe der Tabelle der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite, die angenäherte mitwirkende Plattenbreite. Über die Berücksichtigung der Plattendicke wird hier auch die Biegesteifigkeit der Platte einbezogen. Zudem wird mittels l0 die Art des Systems in Form der Momentennulldurchgänge einberechnet. 
Auch einschnürungserzeugende Einzellasten werden erstmals über einen Abminderungsfaktor η berücksichtigt. Aus der Tabelle ist abzulesen, dass die Einschnürung vor allem bei kleinen Stützweiten einen Einfluss hat und abgemindert werden muss. <ref>Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In:
Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref> <ref>Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6</ref> Je größer die Stützweite im Verhältnis zur Plattenbreite ist, desto kleiner ist der zu berücksichtigende Einfluss der Einschnürung. Dieses Tragverhalten wird später auch von ''Schleeh'' anhand von Vergleichsberechnungen genauer erklärt und belegt. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>
{|class="wikitable"
|+ Abminderungsfaktor η für konzentrierte Einzellasten
|-
| bi / l0 || 2,0 || 1,0 || 0,8 || 0,6 || 0,4 || 0,2 || 0,1
|-
| η || 0,6 || 0,61 || 0,62 || 0,63 || 0,65 || 0,7 || 0,9
|}

==== 1978 ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 2.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Breite im Stützbereich(S) und Feldbereich(F) nach DIN 1075 (angelehnt an ''Grasser'')]]

In der DIN 1075 für Betonbrücken aus dem Jahr 1978 ist die Elastizitätstheorie Grundlage der Berechnung. Der Plattenbalken wird demnach in Platte und Balken unterteilt. Dabei wird die Annahme getroffen, dass an den Verbindungsstellen zwischen Platte und Balkenwerden nur Schubkräfte übertragen werden können. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900</ref> Diese Längsdruckspannungen nehmen dann nach Scheibentheorie mit Abstand zum Balken ab. Die DIN 1075 unterscheidet dabei zwei Fälle:

: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} < 0,3 </math> -> Die Platte darf über die gesamte Breite als mittragend angesetzt werden. 
: 2. <math> \cfrac{b}{l_0} \ge 0,3 </math> -> Ermittlung der mittragenden Plattenbreite mittels folgender Formel: 

::<math> b_{eff} = \rho _{F} \cdot b </math>wobei:
:{|
|-
| <math>\rho _{F}</math>... || Beiwert für den Feldbereich (siehe Diagramm)
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 

====1980 - heute ====
Ab 1980 machen vor allem die computergestützten Berechnungsmethoden mittels finiten Elementen große Fortschritte. Auch hier handelt es sich bei den bisher vorliegenden Berechnungen um Annäherungen, da verschiedene Einflussfaktoren, wie der Einfluss der Bewehrung und Rissbildung, dabei nicht berücksichtigt werden. Die FE-Berechnungen sind dabei sehr genau und kommen vor allem bei Sonderbauten zum Einsatz. <ref>Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45</ref> <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>

==Berechnung außerhalb des Eurocodes==
Die Regeln zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite variieren in den Normen der verschiedenen Ländern der Welt. Viele orientieren sich dabei am Eurocode, einige am ACI, andere Länder nutzen veraltete Näherungsmethoden. Folgend sollen einige aktuelle Formeln aus Normen aller Welt vorgestellt werden.

===USA – ACI 318-19 <ref>ACI 318-19: Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} ; 16 \cdot h_f + b_w ; b \right) </math>

=== Canada – CSA A23.3-04 <ref>CSA A23.3-04: Design of concrete structures. Mississauga, Ont. : Canadian Standard Association, 2004 (CSA standard). – ISBN 1–55397–559–6</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{2}{5} \cdot l_{eff} + b_w ; 24 \cdot h_f + b_w ; b \right)</math>

===Neuseeland – NZS 3101-2006 <ref>NZS 3101.1&2:2006: Concrete Structures Standard - Code of Practise for the Design of Concrete Structures. Wellington, 2006</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} + b_w; 16 \cdot h_f + b_w; 2 \cdot h + b_w; b \right)</math>

=== Großbritannien – BS 8110-1:1997 <ref>BS 8110-1:1997: Structural use of concrete. Code of practice for design and construction. 2nd ed. London : British Standards Institution, 2007 (British standard). – ISBN 9780580598937</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{5} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

=== Indien – IS 456-2000 <ref>IS 456:2000 Indian Standard: Plain and Reinforced Concrete - Code of Practise. New Delhi : Bureau of Indian Standards, 2007</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{6} \cdot l_0 + 6 \cdot h_f + b_w; b \right)</math>

=== Japan – JSCE 2007 <ref>JSCE 2007:15: Standard Specifications for Concrete Structures: "Design". To-
kio : Japan Society of Civil Engineers, 2010</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

==Vergleichsrechnungen==
===Methodik===
Zur besseren Beurteilung der verschiedenen Berechnungsvarianten wird eine Vergleichsrechnung zwischen den historischen Methoden und den aktuellen Normen aller Welt durchgeführt. Dabei soll dargestellt werden, inwieweit sich die verschiedenen Annäherungsformeln mit denen aus dem Eurocode und der FE-Berechnung decken und welche Abweichungen es gibt. Es wird jeweils das Innenfeld eines Durchlaufträgers von Plattenbalken mit unterschiedlichen Abmessungen des normalen Hochbaus betrachtet, der mit einer konstanten Streckenlast belastet wird. Beim Vergleich der Ergebnisse wird die bezogene mitwirkende Plattenbreite <math>\cfrac{b_{eff}}{b}</math> (y-Achse) dem Verhältnis zwischen der maximalen Plattenbreite zur Stützweite <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math> (x-Achse) gegenübergestellt. Da nicht jede Norm <math>l_0</math> als Anhaltspunkt für die Berechnung enthält, werden die Momentennulldurchgänge für die jeweiligen Fälle separat berechnet. 
Die Querschnittsabmessungen ergeben sich aus den dimensionslosen Parametern <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math>. Auf diese Weise können möglichst viele Parameter innerhalb einer Berechnung berücksichtigt werden und Fehler würden deutlicher abzulesen sein. Für die nach FE-Methode wurde eine Forschungsarbeit von ''Utku und Aygar'' genutzt. <ref> Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings) </ref>
 Die drei betrachteten Querschnitte haben folgende Abmessungen:

{| class="wikitable"
|+ Abmessungen der Querschnitte
|-
! Fall !! Q1 !! Q2 !! Q3
|-
| <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math> || 10 || 15 || 20
|-
| <math>\cfrac{b_w}{h}</math> || 0,75 || 0,7 || 0,65
|-
| <math>\cfrac{h_f}{h}</math> || 0,4 || 0,3 || 0,2
|}

===Vergleich Eurocode/FE-Berechnung mit historischen Regelungen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 3.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 4.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 5.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Vergleich Eurocode/FE-Berechnung mit aktuellen Normen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 6.png|Aktueller Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 7.png|Aktueller Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 8.png|Aktueller Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Auswertung===
Die Auswertung der Vergleichsberechnungen ergibt, dass die Regelungen nach aktuellen Normen bis auf kleine Ausnahmen gegenüber der FE-Berechnung sehr auf der sicheren Seite liegen. Die Ergebnisse der Normen unterscheiden sich selbst nur wenig voneinander, liegen jedoch auch verglichen zum Eurocode sehr auf der sicheren Seite. 
====Zahlenbeispiel====
Als Beispiel wird der Unterschied der Bewehrungsmenge für einen symmetrischen Plattenbalken (Fall 3) als Einfeldträger zwischen dem Eurocode und der NZS-Norm berechnet. Als Belastung wird 1000kNm angenommen. 
Querschnitt und System: 
:<math>l_{eff} = 1000 cm</math> 
:<math>b_w = 32,5 cm</math> 
:<math> h_f = 10 cm</math> 
:<math> h = 50 cm</math> 
:<math>l_0 = 700 cm</math> 
:<math>b = 600 cm</math> 

Eurocode: 
:<math>b_{eff} = 286 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{286cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,106</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 8,8</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,1108</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,1108 \cdot 286cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,5cm^2</math> 

NZS: 
:<math>b_{eff} = 132,5 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{132,5cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,23</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 4</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,234</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,234 \cdot 135cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,3cm^2</math> 

Vergleich: Die Längsbewehrung in der Biegezugzone würde nach beiden Normen etwa dasselbe Ergebnis ergeben. Der große Unterschied zwischen den Ergebnissen ist, dass nach der neuseeländischen Norm zusätzlich eine Bewehrung in der Biegedruckzone nötig wird.

==Quellen==
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung!
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Mitwirkende Plattenbreite

2022-12-12T18:17:45Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt die Zugkräfte auf. Im Biegedruckbereich wirkt beim monolithischen Plattenbalken neben dem Balkenquerschnitt auch ein bestimmter Bereich der Platte mit und nimmt die Druckspannungen auf. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da verschiedene Faktoren einen Einfluss auf die Größe haben:
<ul>
*Querschnittsabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
**Einzellasten
**gleichmäßig verteilte Lasten
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen

</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Näherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt und eine genaue Berechnung oft nicht wirtschaftlicher im Vergleich zur Nutzung der Näherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite vorwiegend bei der Biegebemessung von Plattenbalken. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt bei sonst gleichen Bedingungen
* zu einer Erhöhung der aufnehmbaren Druckkraft in der Druckzone
* zu einer Vergrößerung des Hebelarmes der inneren Kräfte und damit zu einer Verringerung der erforderlichen Biegebewehrung (Auswirkung eher gering) 
Des Weiteren wird die mitwirkende Plattenbreite als Grundlage für die Ermittlung der Anschlussbewehrung für den [[Anschluss von Druck-und Zuggurten]] verwendet. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt hier zu einer Erhöhung der Menge und Länge der Anschlussbewehrung. 
Darüber hinaus wird die mitwirkende Plattenbreite als Basis für die mögliche Verteilungsbreite der Biegezugbewehrung in den Gurten von Plattenbalken über Zwischenauflagern verwendet.

=== Berechnung nach Eurocode 2-1-1===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende einseitige Plattenbreite (rechts/links)
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt. 
Die Ermittlung des Abstandes der Momentennullpunkte erfolgt vereinfacht nach den Formeln in der angegebenen Darstellung.
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, deren Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, bezüglich der mitwirkenden Plattenbreite werden folgend kurz zusammengefasst.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T (Darstellung nach ''Brendel'')<ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, wenn der Plattenbalken für die Berechnung als Gesamtquerschnitt betrachtet werden soll. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller ist.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und idealer Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (σmax), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 

:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref name = "Brendel1960"/>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung dem Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre <ref>Marguerre, K.: Über die Beanspruchung von Plattenträgern. Stahlbau (1952) </ref> darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|250px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Wie es die Abbildung zeigt, kann der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken mittels Zug- und Druckspannungstrajektorien dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Bei verteilter Last nimmt die Mitwirkung der Platte bei zunehmender Beanspruchung zu. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Plastizierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager (oben) und bei Einzellasten (unten) (Darstellung nach ''Schleeh'')<ref Name= "Schleeh1973"> Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900 </ref>]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref name = "Schleeh1973" /> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsarbeiten von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name = "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen Unterschied, ob es sich um einen einfachen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System, sodass die Wirkungsweise und der Kraftverlauf (siehe oben) umfassend erforscht sind.

==== Kragarm====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|200px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm (Darstellung nach ''Tulke'')<ref>Tulke, J.: Berechnung monolithischer Decken-Balken-Systeme: Umsetzung in einer webbasierten Umgebung. Berlin, TU Berlin, Diplomarbeit, 2001 </ref>]]

Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom realen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die Mitwirkung der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die umgelagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt. 
Aufgrund der Werkstoffeigenschaften von Beton gelten für den ungerissenen Zustand der Biegezugzone dieselben Gesetzmäßigkeiten wie in der Druckzone. Im Zustand I wirkt der Beton somit auch im Zugbereich mit. <ref> Zilch, K.; Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau (2010) </ref>

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4 b_i</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Die Abbildung zeigt jeweils für einen Einzelbalken und eine Balkenreihe die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Balkenmitte, wobei die Diagramme jeweils eine kleine sowie eine große effektive Stützweite darstellen. Zusätzlich werden verschiedene Plattendicken berücksichtigt. Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|800px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken (links) und Balkenreihen (rechts) (angelehnt an ''Brendel'') <ref name="Brendel1960" />]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen.<ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref> 
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Für konkrete Berechnungsergebnisse mit Hilfe dieser Formel - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Geschichtliche Entwicklung und normative Regeln]].
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei der Berechnung mit finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch zu aufwendig ist. Außerdem hat die exakte Ermittlung der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref>

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Die Genauigkeit der Berechnung spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt wird. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann eine genauere Berechnung wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref>

==Quellen==
<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung!
}}

Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

2022-12-12T18:05:39Z

FFaerber:

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 0.png

2022-12-12T17:38:19Z

FFaerber:

aus Adolf Pucher: Lehrbuch des Stahlbetonbaues (1953)

Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

2022-12-11T18:19:04Z

FFaerber:

Diese Seite zeigt die Zusammenfassung der geschichtlichen Entwicklung der mitwirkenden Plattenbreite sowie den Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts und dem dem Eurocode. Zusätzlich werden Berechnungsvarianten aus Normen außerhalb des Eurocodes und eine FE-Berechnung vorgestellt und verglichen.
 

==Geschichtliche Entwicklung bis zum Eurocode==
Die folgende Auflistung gibt einen kurzen Überblick über die geschichtlichen Entwicklung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite. Für eine Übersicht zur Problematik un zu den Berechnungsgrundlagen - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite]].

====1906====
Erste Erwähnung im "Eisenbetonbau" als anwendbarer Leitsatz nach ''Mörsch'' <ref>Mörsch E.: Der Eisenbetonbau: Seine Theorie und Anwendung. Stuttgart, 1906</ref>
 
:<math>b_{eff} = \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff}</math>
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|} 

====1918====
Erste Normung innerhalb der 1918 veröffentlichten "Deutschen Industrie Norm" nach ''Frank.'' In der Norm ist nicht geregelt, für welchen Fall man welche Formel wählt. Es handelt sich um grobe, unbegründete Abschätzungen. <ref>Frank, W.: Eisenbetonbau: Kurzgefasstes Lehrbuch unter besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Praxis. 2. vollständig umgearbeitete Auflage. Stuttgart : Verlag von Konrad Wittwer, 1914</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff} bzw. \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff}; b \right) </math>
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 

====1943====
''Timoshenko's'' Elastizitätstheorie führt zur "strengen Theorie des Plattenbalkens", die mittels AIRYscher Spannungsfunktion berechnet werden kann. Die Berechnung ist jedoch sehr umständlich, daher gelten fortan die deutschen Bestimmungen nach ''Schleicher'' <ref>Schleicher, Ferdinand: Taschenbuch für Bauingenieure. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1955. – ISBN 978–3–642–88349–1</ref>

:<math>b_{eff}={min}
\begin{cases}
b_w + 2 \cdot b_s + 12 \cdot h_f \\
b_w + 18 \cdot h_f \\
l_{eff}/2 \\
b
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| leff... || Effektive Stützweite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| bs... || Breite der Vouten
|-
| hf... || Plattendicke
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 
====1960====
''Brendel'' fasst im Jahr 1960 das Wissen um die mitwirkende Plattenbreite kompakt zusammen. Der Fachartikel "Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch" ist noch heute von großer Bedeutung. Lässt man FE-Methoden außen vor, sind die Betrachtungen aus 1960 in Kombination mit den sich darauf beziehenden Untersuchungen von ''Leonhardt'' die umfassendsten Näherungen. So lässt sich die bezogenen mitwirkende Plattenbreite (<math>b_{eff}/b_i</math>) über die Verhältnisse <math>h_f/h</math> und <math>b_i/l_0</math> bestimmen.
:<math>b_{eff} = b_w + b_1 + b_2 </math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 1.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> ]]

Hieraus ergibt sich dann mithilfe der Tabelle der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite, die angenäherte mitwirkende Plattenbreite. Über die Berücksichtigung der Plattendicke wird hier auch die Biegesteifigkeit der Platte einbezogen. Zudem wird mittels l0 die Art des Systems in Form der Momentennulldurchgänge einberechnet. 
Auch einschnürungserzeugende Einzellasten werden erstmals über einen Abminderungsfaktor η berücksichtigt. Aus der Tabelle ist abzulesen, dass die Einschnürung vor allem bei kleinen Stützweiten einen Einfluss hat und abgemindert werden muss. <ref>Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In:
Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref> <ref>Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6</ref> Je größer die Stützweite im Verhältnis zur Plattenbreite ist, desto kleiner ist der zu berücksichtigende Einfluss der Einschnürung. Dieses Tragverhalten wird später auch von ''Schleeh'' anhand von Vergleichsberechnungen genauer erklärt und belegt. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>
{|class="wikitable"
|+ Abminderungsfaktor η für konzentrierte Einzellasten
|-
| bi / l0 || 2,0 || 1,0 || 0,8 || 0,6 || 0,4 || 0,2 || 0,1
|-
| η || 0,6 || 0,61 || 0,62 || 0,63 || 0,65 || 0,7 || 0,9
|}

==== 1978 ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 2.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Breite im Stützbereich(S) und Feldbereich(F) nach DIN 1075 (angelehnt an ''Grasser'')]]

In der DIN 1075 für Betonbrücken aus dem Jahr 1978 ist die Elastizitätstheorie Grundlage der Berechnung. Der Plattenbalken wird demnach in Platte und Balken unterteilt. Dabei wird die Annahme getroffen, dass an den Verbindungsstellen zwischen Platte und Balkenwerden nur Schubkräfte übertragen werden können. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900</ref> Diese Längsdruckspannungen nehmen dann nach Scheibentheorie mit Abstand zum Balken ab. Die DIN 1075 unterscheidet dabei zwei Fälle:

: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} < 0,3 </math> -> Die Platte darf über die gesamte Breite als mittragend angesetzt werden. 
: 2. <math> \cfrac{b}{l_0} \ge 0,3 </math> -> Ermittlung der mittragenden Plattenbreite mittels folgender Formel: 

::<math> b_{eff} = \rho _{F} \cdot b </math>wobei:
:{|
|-
| <math>\rho _{F}</math>... || Beiwert für den Feldbereich (siehe Diagramm)
|-
| b... || Tatsächlich vorhandene Plattenbreite
|} 

====1980 - heute ====
Ab 1980 machen vor allem die computergestützten Berechnungsmethoden mittels finiten Elementen große Fortschritte. Auch hier handelt es sich bei den bisher vorliegenden Berechnungen um Annäherungen, da verschiedene Einflussfaktoren, wie der Einfluss der Bewehrung und Rissbildung, dabei nicht berücksichtigt werden. Die FE-Berechnungen sind dabei sehr genau und kommen vor allem bei Sonderbauten zum Einsatz. <ref>Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45</ref> <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>

==Berechnung außerhalb des Eurocodes==
Die Regeln zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite variieren in den Normen der verschiedenen Ländern der Welt. Viele orientieren sich dabei am Eurocode, einige am ACI, andere Länder nutzen veraltete Näherungsmethoden. Folgend sollen einige aktuelle Formeln aus Normen aller Welt vorgestellt werden.

===USA – ACI 318-19 <ref>ACI 318-19: Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} ; 16 \cdot h_f + b_w ; b \right) </math>

=== Canada – CSA A23.3-04 <ref>CSA A23.3-04: Design of concrete structures. Mississauga, Ont. : Canadian Standard Association, 2004 (CSA standard). – ISBN 1–55397–559–6</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{2}{5} \cdot l_{eff} + b_w ; 24 \cdot h_f + b_w ; b \right)</math>

===Neuseeland – NZS 3101-2006 <ref>NZS 3101.1&2:2006: Concrete Structures Standard - Code of Practise for the Design of Concrete Structures. Wellington, 2006</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} + b_w; 16 \cdot h_f + b_w; 2 \cdot h + b_w; b \right)</math>

=== Großbritannien – BS 8110-1:1997 <ref>BS 8110-1:1997: Structural use of concrete. Code of practice for design and construction. 2nd ed. London : British Standards Institution, 2007 (British standard). – ISBN 9780580598937</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{5} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

=== Indien – IS 456-2000 <ref>IS 456:2000 Indian Standard: Plain and Reinforced Concrete - Code of Practise. New Delhi : Bureau of Indian Standards, 2007</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{6} \cdot l_0 + 6 \cdot h_f + b_w; b \right)</math>

=== Japan – JSCE 2007 <ref>JSCE 2007:15: Standard Specifications for Concrete Structures: "Design". To-
kio : Japan Society of Civil Engineers, 2010</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

==Vergleichsrechnungen==
===Methodik===
Zur besseren Beurteilung der verschiedenen Berechnungsvarianten wird eine Vergleichsrechnung zwischen den historischen Methoden und den aktuellen Normen aller Welt durchgeführt. Dabei soll dargestellt werden, inwieweit sich die verschiedenen Annäherungsformeln mit denen aus dem Eurocode und der FE-Berechnung decken und welche Abweichungen es gibt. Es wird jeweils das Innenfeld eines Durchlaufträgers von Plattenbalken mit unterschiedlichen Abmessungen des normalen Hochbaus betrachtet, der mit einer konstanten Streckenlast belastet wird. Beim Vergleich der Ergebnisse wird die bezogene mitwirkende Plattenbreite <math>\cfrac{b_{eff}}{b}</math> (y-Achse) dem Verhältnis zwischen der maximalen Plattenbreite zur Stützweite <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math> (x-Achse) gegenübergestellt. Da nicht jede Norm <math>l_0</math> als Anhaltspunkt für die Berechnung enthält, werden die Momentennulldurchgänge für die jeweiligen Fälle separat berechnet. 
Die Querschnittsabmessungen ergeben sich aus den dimensionslosen Parametern <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math>. Auf diese Weise können möglichst viele Parameter innerhalb einer Berechnung berücksichtigt werden und Fehler würden deutlicher abzulesen sein. Die drei betrachteten Querschnitte haben folgende Abmessungen:

{| class="wikitable"
|+ Abmessungen der Querschnitte
|-
! Fall !! Q1 !! Q2 !! Q3
|-
| <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math> || 10 || 15 || 20
|-
| <math>\cfrac{b_w}{h}</math> || 0,75 || 0,7 || 0,65
|-
| <math>\cfrac{h_f}{h}</math> || 0,4 || 0,3 || 0,2
|}

===Vergleich Eurocode/FE-Berechnung mit historischen Regelungen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 3.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 4.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 5.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Vergleich Eurocode/FE-Berechnung mit aktuellen Normen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 6.png|Aktueller Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 7.png|Aktueller Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 8.png|Aktueller Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Auswertung===
Die Auswertung der Vergleichsberechnungen ergibt, dass die Regelungen nach aktuellen Normen bis auf kleine Ausnahmen gegenüber der FE-Berechnung sehr auf der sicheren Seite liegen. Die Ergebnisse der Normen unterscheiden sich selbst nur wenig voneinander, liegen jedoch auch verglichen zum Eurocode sehr auf der sicheren Seite. 
====Zahlenbeispiel====
Als Beispiel wird der Unterschied der Bewehrungsmenge für einen symmetrischen Plattenbalken (Fall 3) als Einfeldträger zwischen dem Eurocode und der NZS-Norm berechnet. Als Belastung wird 1000kNm angenommen. 
Querschnitt und System: 
:<math>l_{eff} = 1000 cm</math> 
:<math>b_w = 32,5 cm</math> 
:<math> h_f = 10 cm</math> 
:<math> h = 50 cm</math> 
:<math>l_0 = 700 cm</math> 
:<math>b = 600 cm</math> 

Eurocode: 
:<math>b_{eff} = 286 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{286cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,106</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 8,8</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,1108</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,1108 \cdot 286cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,5cm^2</math> 

NZS: 
:<math>b_{eff} = 132,5 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{132,5cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,23</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 4</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,234</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,234 \cdot 135cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,3cm^2</math> 

Vergleich: Die Längsbewehrung in der Biegezugzone würde nach beiden Normen etwa dasselbe Ergebnis ergeben. Der große Unterschied zwischen den Ergebnissen ist, dass nach der neuseeländischen Norm zusätzlich eine Bewehrung in der Biegedruckzone nötig wird.

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite

2022-12-11T15:38:42Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt die Zugkräfte auf. Im Biegedruckbereich wirkt beim monolithischen Plattenbalken neben dem Balkenquerschnitt auch ein bestimmter Bereich der Platte mit und nimmt die Druckspannungen auf. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da verschiedene Faktoren einen Einfluss auf die Größe haben:
<ul>
*Querschnittsabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
**Einzellasten
**gleichmäßig verteilte Lasten
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen

</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Näherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt und eine genaue Berechnung oft nicht wirtschaftlicher im Vergleich zur Nutzung der Näherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite vorwiegend bei der Biegebemessung von Plattenbalken. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt bei sonst gleichen Bedingungen
* zu einer Erhöhung der aufnehmbaren Druckkraft in der Druckzone
* zu einer Vergrößerung des Hebelarmes der inneren Kräfte und damit zu einer Verringerung der erforderlichen Biegebewehrung (Auswirkung eher gering) 
Des Weiteren wird die mitwirkende Plattenbreite als Grundlage für die Ermittlung der Anschlussbewehrung für den [[Anschluss von Druck-und Zuggurten]] verwendet. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt hier zu einer Erhöhung der Menge und Länge der Anschlussbewehrung. 
Darüber hinaus wird die mitwirkende Plattenbreite als Basis für die mögliche Verteilungsbreite der Biegezugbewehrung in den Gurten von Plattenbalken über Zwischenauflagern verwendet.

=== Berechnung nach Eurocode 2-1-1===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende einseitige Plattenbreite (rechts/links)
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt. 
Die Ermittlung des Abstandes der Momentennullpunkte erfolgt vereinfacht nach den Formeln in der angegebenen Darstellung.
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, deren Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, bezüglich der mitwirkenden Plattenbreite werden folgend kurz zusammengefasst.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T (Darstellung nach ''Brendel'')<ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, wenn der Plattenbalken für die Berechnung als Gesamtquerschnitt betrachtet werden soll. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller ist.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und idealer Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (σmax), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 

:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref name = "Brendel1960"/>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung dem Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre <ref>Marguerre, K.: Über die Beanspruchung von Plattenträgern. Stahlbau (1952) </ref> darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|250px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Wie es die Abbildung zeigt, kann der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken mittels Zug- und Druckspannungstrajektorien dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Bei verteilter Last nimmt die Mitwirkung der Platte bei zunehmender Beanspruchung zu. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Plastizierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager (oben) und bei Einzellasten (unten) (Darstellung nach ''Schleeh'')<ref Name= "Schleeh1973"> Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900 </ref>]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref name = "Schleeh1973" /> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsarbeiten von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name = "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen Unterschied, ob es sich um einen einfachen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System, sodass die Wirkungsweise und der Kraftverlauf (siehe oben) umfassend erforscht sind.

==== Kragarm====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|200px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm (Darstellung nach ''Tulke'')<ref>Tulke, J.: Berechnung monolithischer Decken-Balken-Systeme: Umsetzung in einer webbasierten Umgebung. Berlin, TU Berlin, Diplomarbeit, 2001 </ref>]]

Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom realen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die Mitwirkung der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die umgelagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt. 
Aufgrund der Werkstoffeigenschaften von Beton gelten für den ungerissenen Zustand der Biegezugzone dieselben Gesetzmäßigkeiten wie in der Druckzone. Im Zustand I wirkt der Beton somit auch im Zugbereich mit. <ref> Zilch, K.; Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau (2010) </ref>

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4 b_i</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Die Abbildung zeigt jeweils für einen Einzelbalken und eine Balkenreihe die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Balkenmitte, wobei die Diagramme jeweils eine kleine sowie eine große effektive Stützweite darstellen. Zusätzlich werden verschiedene Plattendicken berücksichtigt. Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|800px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken (links) und Balkenreihen (rechts) (angelehnt an ''Brendel'') <ref name="Brendel1960" />]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen.<ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref> 
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Für konkrete Berechnungsergebnisse mit Hilfe dieser Formel - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]].
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei der Berechnung mit finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch zu aufwendig ist. Außerdem hat die exakte Ermittlung der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref>

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Die Genauigkeit der Berechnung spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt wird. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann eine genauere Berechnung wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref>

==Quellen==
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung!
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Mitwirkende Plattenbreite

2022-12-11T15:38:00Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt die Zugkräfte auf. Im Biegedruckbereich wirkt beim monolithischen Plattenbalken neben dem Balkenquerschnitt auch ein bestimmter Bereich der Platte mit und nimmt die Druckspannungen auf. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da verschiedene Faktoren einen Einfluss auf die Größe haben:
<ul>
*Querschnittsabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
**Einzellasten
**gleichmäßig verteilte Lasten
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen

</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Näherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt und eine genaue Berechnung oft nicht wirtschaftlicher im Vergleich zur Nutzung der Näherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite vorwiegend bei der Biegebemessung von Plattenbalken. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt bei sonst gleichen Bedingungen
* zu einer Erhöhung der aufnehmbaren Druckkraft in der Druckzone
* zu einer Vergrößerung des Hebelarmes der inneren Kräfte und damit zu einer Verringerung der erforderlichen Biegebewehrung (Auswirkung eher gering) 
Des Weiteren wird die mitwirkende Plattenbreite als Grundlage für die Ermittlung der Anschlussbewehrung für den [[Anschluss von Druck-und Zuggurten]] verwendet. Eine Vergrößerung der mitwirkenden Plattenbreite führt hier zu einer Erhöhung der Menge und Länge der Anschlussbewehrung. 
Darüber hinaus wird die mitwirkende Plattenbreite als Basis für die mögliche Verteilungsbreite der Biegezugbewehrung in den Gurten von Plattenbalken über Zwischenauflagern verwendet.

=== Berechnung nach Eurocode 2-1-1===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende einseitige Plattenbreite (rechts/links)
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt. 
Die Ermittlung des Abstandes der Momentennullpunkte erfolgt vereinfacht nach den Formeln in der angegebenen Darstellung.
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, deren Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, bezüglich der mitwirkenden Plattenbreite werden folgend kurz zusammengefasst.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T (Darstellung nach ''Brendel'')<ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, wenn der Plattenbalken für die Berechnung als Gesamtquerschnitt betrachtet werden soll. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller ist.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und idealer Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (σmax), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 

:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 

Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref name = "Brendel1960"/>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung dem Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre <ref>Marguerre, K.: Über die Beanspruchung von Plattenträgern. Stahlbau (1952) </ref> darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|250px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Wie es die Abbildung zeigt, kann der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken mittels Zug- und Druckspannungstrajektorien dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Bei verteilter Last nimmt die Mitwirkung der Platte bei zunehmender Beanspruchung zu. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Plastizierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager (oben) und bei Einzellasten (unten) (Darstellung nach ''Schleeh'')<ref Name= "Schleeh1973"> Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900 </ref>]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref name = "Schleeh1973" /> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsarbeiten von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name = "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen Unterschied, ob es sich um einen einfachen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System, sodass die Wirkungsweise und der Kraftverlauf (siehe oben) umfassend erforscht sind.

==== Kragarm====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|200px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm (Darstellung nach ''Tulke'')<ref>Tulke, J.: Berechnung monolithischer Decken-Balken-Systeme: Umsetzung in einer webbasierten Umgebung. Berlin, TU Berlin, Diplomarbeit, 2001 </ref>]]

Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom realen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die Mitwirkung der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die umgelagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt. 
Aufgrund der Werkstoffeigenschaften von Beton gelten für den ungerissenen Zustand der Biegezugzone dieselben Gesetzmäßigkeiten wie in der Druckzone. Im Zustand I wirkt der Beton somit auch im Zugbereich mit. <ref> Zilch, K.; Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau (2010) </ref>

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4 b_i</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Die Abbildung zeigt jeweils für einen Einzelbalken und eine Balkenreihe die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Balkenmitte, wobei die Diagramme jeweils eine kleine sowie eine große effektive Stützweite darstellen. Zusätzlich werden verschiedene Plattendicken berücksichtigt. Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|800px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken (links) und Balkenreihen (rechts) (angelehnt an ''Brendel'') <ref name="Brendel1960" />]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen.<ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref> 
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Für konkrete Berechnungsergebnisse mit Hilfe dieser Formel - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]].
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei der Berechnung mit finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch zu aufwendig ist. Außerdem hat die exakte Ermittlung der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref>

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Die Genauigkeit der Berechnung spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt wird. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann eine genauere Berechnung wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref>

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite

2022-12-04T17:43:12Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Querschnittsabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
**Einzellasten
**gleichmäßig verteilte Lasten
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen

</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Näherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass das Ergebnis auf der sicheren Seite liegt und eine genaue Berechnung oft nicht wirtschaftlicher im Vergleich zur Nutzung der Näherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite vorwiegend bei der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 

=== Berechnung nach Eurocode 2-1-1===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende einseitige Plattenbreite (rechts/links)
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene einseitige Plattenbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt. 
Die Ermittlung des Abstandes der Momentennullpunkte erfolgt vereinfacht nach den Formeln in der angegebenen Darstellung.
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, deren Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, bezüglich der mitwirkenden Plattenbreite werden folgend kurz zusammengefasst.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, wenn der Plattenbalken für die Berechnung als Gesamtquerschnitt betrachtet werden soll. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller ist.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und ideeller Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (σmax), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung dem Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|300px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />


=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Bei verteilter Last ist in allen betrachteten Versuchsreihen eine einwandfreie zunehmende Mitwirkung bei zunehmender Beanspruchung zu erkennen. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Platzierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung der nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager(oben) und bei Einzellasten(unten)]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsarbeiten von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen unterschied, ob es sich um einen einzelnen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt, da sich die Platte im Falle einer Balkenreihen gegenseitig abstützen kann.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System für Versuche und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkungsweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|150px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm]]
==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die Mitwirkung der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4b</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|600px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken und Balkenreihen (angelehnt an ''Brendel'')]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen.<ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref> 
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Für konkrete Berechnungsergebnisse mit Hilfe dieser Formel - siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]].
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei der Berechnung mit finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch zu aufwendig ist. Außerdem hat die exakte Ermittlung der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref>

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Die Genauigkeit der Berechnung spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt wird. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann eine genauere Berechnung wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref>

==Quellen==
<references />
 

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}}

Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

2022-11-20T19:05:09Z

FFaerber: /* Potenzial */

Geschichtliche Entwicklung der Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite und Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts, dem Eurocode, der Berechnung in anderen Ländern und einer FE-Berechnung.
 
 

==Geschichtliche Entwicklung bis zum Eurocode==
Die folgende Auflistung dient einem Überblick über die geschichtlichen Entwicklung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite. Die Formeln entsprechen keiner aktuell geltenden Norm und werden in der Vergleichsrechnung mit dargestellt. Es handelt sich jeweils um Annäherungsformeln, die einerseits das Problem möglichst genau darstellen sollen, andererseits aber für den täglichen Gebrauch entwickelt wurden. Der Kompromiss, dass die Ergebnisse nicht immer die wirtschaftlichste Lösung darstellen, wurde und wird auch heute im normalen Hochbau hingenommen.

====1906====
Erste Erwähnung im "Eisenbetonbau" als anwendbarer Leitsatz nach ''Mörsch'' <ref>Mörsch E.: Der Eisenbetonbau: Seine Theorie und Anwendung. Stuttgart, 1906</ref>
 
:<math>b_{eff} = \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff}</math>

====1918====
Erste Normung innerhalb der 1918 veröffentlichten "Deutschen Industrie Norm" nach ''Frank.'' <ref>Frank, W.: Eisenbetonbau: Kurzgefasstes Lehrbuch unter besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Praxis. 2. vollständig umgearbeitete Auflage. Stuttgart : Verlag von Konrad Wittwer, 1914</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff} bzw. \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff}; b \right) </math>

====1943====
''Timoshenko's'' Elastizitätstheorie führt zur "strengen Theorie des Plattenbalkens", die mittels AIRYscher Spannungsfunktion berechnet werden kann. Die Berechnung ist jedoch sehr umständlich, daher gelten fortan die deutschen Bestimmungen nach ''Schleicher'' <ref>Schleicher, Ferdinand: Taschenbuch für Bauingenieure. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1955. – ISBN 978–3–642–88349–1</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( b_w + 2 \cdot b_s + 12 \cdot h_f; b_w + 18 \cdot h_f; \cfrac{l_{eff}}{2}; b \right) </math>

====1960====
''Brendel'' fasst im Jahr das Wissen um die mitwirkende Plattenbreite kompakt zusammen. Der Fachartikel "Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch" ist noch heute von großer Bedeutung. Lässt man FE-Methoden außen vor, sind die Betrachtungen aus 1960 in Kombination mit den sich darauf beziehenden Untersuchungen von ''Leonhardt'' die genausten Näherungen. So lässt sich die bezogenen mitwirkende Plattenbreite (<math>b_{eff}/b_i</math>) über die Verhältnisse <math>h_f/h</math> und <math>b_i/l_0</math> bestimmen.
:<math>b_{eff} = b_w + b_1 + b_2 </math> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 1.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite (nach Leonhardt)]]

Hieraus ergibt sich dann mithilfe der Tabelle der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite, die angenäherte mitwirkende Plattenbreite. Über die Berücksichtigung der Plattendicke wird hier auch die Biegesteifigkeit der Platte einbezogen. Zudem wird die Art des Systems einberechnet. 
Auch einschnürungserzeugende Einzellasten werden erstmals über einen Abminderungsfaktor η berücksichtigt. Aus der Tabelle ist abzulesen, dass die Einschnürung vor allem bei kleinen Stützweiten einen Einfluss hat und abgemildert werden muss. <ref>Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In:
Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref> <ref>Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6</ref> Je größer die Stützweite im Verhältnis zur Plattenbreite ist, desto kleiner ist der zu berücksichtigende Einfluss der Einschnürung. Dieses Tragverhalten wird später auch von ''Schleeh'' aufgezeigt. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>
{|class="wikitable"
|+ Abminderungsfaktor η für konzentrierte Einzellasten
|-
| bi / l0 || 2,0 || 1,0 || 0,8 || 0,6 || 0,4 || 0,2 || 0,1
|-
| η || 0,6 || 0,61 || 0,62 || 0,63 || 0,65 || 0,7 || 0,9
|}

==== 1978 ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 2.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Breite im Stützbereich(S) und Feldbereich(F) nach DIN 1075 (angelehnt an ''Grasser'']]

In der DIN 1075 für Betonbrücken aus dem Jahr 1978 ist die Elastizitätstheorie Grundlage der Berechnung. Der Plattenbalken wird demnach getrennt betrachtet, sodass an den Verbindungsstellen zwischen Platte und Balken nur Schubkräfte übertragen werden können. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900</ref> Diese Längsdruckspannungen nehmen dann nach Scheibentheorie mit Abstand zum Balken ab. Die DIN 1075 unterscheidet dabei zwei Fälle:

: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} < 0,3 </math> -> Die Platte darf über die gesamte Breite als mittragend angesetzt werden. 
: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} \ge 0,3 </math> -> Ermittlung der mittragenden Plattenbreite mittels folgender Formel: 

::<math> b_{eff} = \rho _{F} \cdot b </math>

====1980 - ====
Ab 1980 machen vor allem die computergestützten Berechnungsmethoden mittels finiten Elementen große Fortschritte. Auch hier handelt es sich bei der Berechnung um Annäherungen und bis heute gilt der Plattenbalken als eines der schwierigsten Probleme im Stahlbetonbau. Die FE-Berechnungen sind dabei sehr genau, allerdings auch aufwendig und kommen vor allem bei Sonderbauten zum Einsatz. <ref>Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45</ref> <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>

==Berechnung außerhalb des Eurocodes==
Die Normen zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite variieren in den verschiedenen Ländern der Welt. Viele orientieren sich dabei am Eurocode, einige am ACI, andere Länder nutzen veraltete Näherungsmethoden. Folgend sollen einige aktuelle Formeln aus Normen aller Welt vorgestellt werden.

===USA – ACI 318-19 <ref>ACI 318-19: Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} ; 16 \cdot h_f + b_w ; b \right) </math>

=== Canada – CSA A23.3-04 <ref>CSA A23.3-04: Design of concrete structures. Mississauga, Ont. : Canadian Standard Association, 2004 (CSA standard). – ISBN 1–55397–559–6</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{2}{5} \cdot l_{eff} + b_w ; 24 \cdot h_f + b_w ; b \right)</math>

===Neuseeland – NZS 3101-2006 <ref>NZS 3101.1&2:2006: Concrete Structures Standard - Code of Practise for the Design of Concrete Structures. Wellington, 2006</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} + b_w; 16 \cdot h_f + b_w; 2 \cdot h + b_w; b \right)</math>

=== Großbritannien – BS 8110-1:1997 <ref>BS 8110-1:1997: Structural use of concrete. Code of practice for design and construction. 2nd ed. London : British Standards Institution, 2007 (British standard). – ISBN 9780580598937</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{5} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

=== Indien – IS 456-2000 <ref>IS 456:2000 Indian Standard: Plain and Reinforced Concrete - Code of Practise. New Delhi : Bureau of Indian Standards, 2007</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{6} \cdot l_0 + 6 \cdot h_f + b_w; b \right)</math>

=== Japan – JSCE 2007 <ref>JSCE 2007:15: Standard Specifications for Concrete Structures: "Design". To-
kio : Japan Society of Civil Engineers, 2010</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

==Vergleichsrechnungen==
===Methodik===
Zur besseren Beurteilung der verschiedenen Berechnungsvarianten, wird eine Vergleichsrechnung zwischen den geschichtlichen Methoden und den aktuellen Normen aller Welt durchgeführt. Dabei soll dargestellt werden, ob sich die verschiedenen Annäherungsformeln mit denen aus dem Eurocode und der FE-Berechnung decken und welche Abweichungen es gibt. Es werden jeweils das Innenfeld eines Durchlaufträgers von mehreren Plattenbalken des normalen Hochbaus betrachtet, die mit einer konstanten Streckenlast belastet werden. Übliche Vorgehensweise beim Vergleich der Ergebnisse ist die Nutzung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite <math>\cfrac{b_{eff}}{b}</math> (y-Achse) und dem Verhältnis zwischen der maximalen Plattenbreite zur Stützweite <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math> (x-Achse). Da nicht jede Norm <math>l_0</math> als Anhaltspunkt für die Berechnung enthält, werden die Momentennulldurchgänge in den jeweiligen Berechnungen separat berechnet. 
Die Querschnitt ergeben sich aus den dimensionslosen Parametern <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math>. Auf diese Weise können möglichst viele Parameter innerhalb einer Berechnung berücksichtigt werden und Fehler würden deutlicher abzulesen sein. Die drei betrachteten Querschnitte haben folgende Abmessungen:

{| class="wikitable"
|+ Abmessungen der Querschnitte
|-
! Fall !! Q1 !! Q2 !! Q3
|-
| <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math> || 10 || 15 || 20
|-
| <math>\cfrac{b_w}{h}</math> || 0,75 || 0,7 || 0,65
|-
| <math>\cfrac{h_f}{h}</math> || 0,4 || 0,3 || 0,2
|}

===Geschichtlicher Vergleich===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 3.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 4.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 5.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Vergleich aktueller Normen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 6.png|Aktueller Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 7.png|Aktueller Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 8.png|Aktueller Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Auswertung===
Die Auswertung des Vergleichs ergibt, dass die aktuellen Normen bis auf kleine Ausnahmen gegenüber der FE-Berechnung sehr auf der sicheren Seite liegen. Die Ergebnisse der Normen unterscheiden sich selbst nur wenig voneinander, liegen jedoch auch verglichen zum Eurocode sehr auf der sicheren Seite. Ein Einsparpotenzial liegt damit allein schon unter Betrachtung der Normen vor. 
====Potenzial====
Als Beispiel wird der Unterschied der Bewehrungsmenge für einen symmetrischen Plattenbalken (Fall 3) als Einfeldträger zwischen dem Eurocode und der NZS-Norm berechnet. Als Belastung wird 1000kNm angenommen. 
Querschnitt und System: 
:<math>l_{eff} = 1000 cm</math> 
:<math>b_w = 32,5 cm</math> 
:<math> h_f = 10 cm</math> 
:<math> h = 50 cm</math> 
:<math>l_0 = 700 cm</math> 
:<math>b = 600 cm</math> 

Eurocode: 
:<math>b_{eff} = 286 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{286cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,106</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 8,8</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,1108</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,1108 \cdot 286cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,5cm^2</math> 

NZS: 
:<math>b_{eff} = 132,5 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{132,5cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,23</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 4</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,234</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,234 \cdot 135cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,3cm^2</math> 

Vergleich: Die Längsbewehrung in der Biegezugzone würde nach beiden Normen etwa dasselbe Ergebnis ergeben. Der große Unterschied zwischen den Ergebnissen ist, dass nach der neuseeländischen Norm zusätzlich eine Bewehrung in der Biegedruckzone nötig wird.

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-20T16:06:00Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende Plattenbreite je Steg
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene Gurtbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 

=== System ===
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, werden folgend betrachtet.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, da es sich beim Plattenbalken bei der heutigen Konstruktionsweise um ein monolithisches Gebilde handelt. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und ideeller Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (%sigma;max), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|300px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />


=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Bei verteilter Last ist in allen betrachteten Versuchsreihen eine einwandfreie zunehmende Mitwirkung bei zunehmender Beanspruchung zu erkennen. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Platzierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung der nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager(oben) und bei Einzellasten(unten)]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen unterschied, ob es sich um einen einzelnen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt, da sich die Platte im Falle einer Balkenreihen gegenseitig abstützen kann.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkungsweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|150px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm]]
==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die mitwirkende Eigenschaft der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4b</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|600px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken und Balkenreihen (angelehnt an ''Brendel'')]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen. <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Das Ergebnis dieser Berechnung finden in [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]] Anwendung.
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref> Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-20T16:05:01Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende Plattenbreite je Steg
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene Gurtbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 

=== System ===
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu anderen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in den Normen impliziert werden. Die wichtigsten dieser wissenschaftlichen Erkenntnisse, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, werden folgend betrachtet.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird, da es sich beim Plattenbalken bei der heutigen Konstruktionsweise um ein monolithisches Gebilde handelt. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und ideeller Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen, durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen, in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg (%sigma;max), die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft in den Betrachtungen unbeachtet, was dazu führt, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegen. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|300px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />


=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Bei verteilter Last ist in allen betrachteten Versuchsreihen eine einwandfreie zunehmende Mitwirkung bei zunehmender Beanspruchung zu erkennen. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Rissbildung und Platzierung haben einen positiven Effekt auf die mitwirkende Plattenbreite, sodass die Berechnung der nach dem Eurocode, der nur für ungerissene Druckgurte gilt, auf der sicheren Seite liegt. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager(oben) und bei Einzellasten(unten)]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Auch bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. Eine Einzellast, die über mehr als ein Zehntel der effektiven Stützweite aufgeteilt ist, erzeugt außerdem auch keine signifikante Einschnürung mehr. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen unterschied, ob es sich um einen einzelnen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt, da sich die Platte im Falle einer Balkenreihen gegenseitig abstützen kann.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkungsweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|150px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm]]
==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die mitwirkende Eigenschaft der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4b</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. Der Abbildung ist zusätzlich zu entnehmen, in welcher Hinsicht sich ein größeres Verhältnis der Plattendicke zur Gesamthöhe auf die Mitwirkung auswirkt. Je dicker die Platte in diesem Verhältnis ist, desto größer ist der Einfluss der Biegesteifigkeit auf das Gesamtsystem. Hier wird mit die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt.
<ref name= "Brendel1960" /> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|thumb|600px|Die bezogene mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte für Einzelbalken und Balkenreihen (angelehnt an ''Brendel'')]]
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen. <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Das Ergebnis dieser Berechnung finden in [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]] Anwendung.
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref> Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-13T17:47:01Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]

 
Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
wobei:
:{|
|-
| beff... || Mitwirkende Plattenbreite
|-
| beff,i... || Mitwirkende Plattenbreite je Steg
|-
| bi... || Tatsächlich vorhandene Gurtbreite
|-
| bw... || Stegbreite
|-
| l0... || Wirksame Stützweite (Abstand der Momentennullpunkte)
|} 

=== System ===
[[File:Mitwirkende Plattenbreite 4.png|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 
Für kurze Kragarme (<math> l_3/l_2 < 0,3 </math>) gilt <math> l_0 = 1,5 \cdot l_3 </math>, ansonsten <math> l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3 </math>. <ref>Fingerloos, Frank: Der Eurocode 2 für Deutschland - Erläuterungen und Hintergründe. In: Beton- und Stahlbetonbau 105 (2010), Nr. 7, S. 406–420. – ISSN 00059900</ref>

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png|right|thumb|300px|Schubspannung T]]

Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|400px|Realer und ideeller Druckspannungsverlauf im Plattenbalken ]]
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====

[[File:Mitwirkende Plattenbreite 6.png|thumb|right|300px|Kraftverlauf in der Platte und im Balken]]

Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. 
Welchen Einfluss die Dicke der Platte hat lässt sich aus folgender Grafik ablesen. Verglichen wird die bezogene mitwirkende Plattenbreite für jeweils einen einen Einzelbalken und eine Balkenreihe. Dabei wird die Stützweite und die Plattendicke variiert. Auffallend ist, dass vor allem bei großen Stützweiten die Dicke der Platte zu einem größeren mitwirkenden Effekt führt. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png|right|thumb|200px|Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite am Auflager(oben) und bei Einzellasten(unten)]]
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Je nach Art des Systems bildet sich die Mitwirkung innerhalb der Platte unterschiedlich aus. Zu unterscheiden sind Einzelträger, Durchlaufträger und Kragarme. Nach dem Eurocode gehen diese anhand der Momentennulldurchgänge über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. Auch macht es einen unterschied, ob es sich um einen einzelnen Plattenbalken oder eine Balkenreihe handelt, da sich die Platte im Falle einer Balkenreihen gegenseitig abstützen kann.

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png|right|thumb|150px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite am Kragarm]]
==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheiden sich nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist. Wie bei einer Einzellast oder im Auflagerbereich muss sich die mitwirkende Eigenschaft der Platte zunächst einmal einstellen.

==== Durchlaufträger====
[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png|right|thumb|250px|Prinzipieller Verlauf der mitwirkenden Plattenbreite bei Durchlaufträgern]]
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

====Einfluss eines Endquerträgers====
Kommt die Bauweise mit einem Endquerträger zum Einsatz, so entlastet dieser den Endquerrand der mitwirkenden Plattenbreite nur zu etwa 50%. ''Schleeh'' kommt bei seinen Untersuchungen zum Ergebnis, dass ein Endquerträger nur dann sinnvoll auszubilden wäre, wenn Spannungs-Dehnungs-Spitzen im Randbereich der Platte abgemindert werden müssen. Ein Randquerträger ist demnach erst ab einem Verhältnis von <math>l_{eff} \le 4b</math> sinnvoll, da bei einem größeren Verhältnis die Platte ohnehin in Gänze zur Mitwirkung hinzugezogen wird. <ref>Schleeh, W.: Die Bedeutung des Endquerträgers beim Plattenbalken. In: Beton- und Stahlbetonbau 72 (1977), Nr. 4, S. 85–91. – ISSN 00059900</ref>

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um bis zu 15%. <ref name= "Brendel1960" />

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png|left|tumb|600px|test]] 
 

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen. <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Das Ergebnis dieser Berechnung finden in [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]] Anwendung.
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref> Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung!
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Datei:Mitwirkende Plattenbreite 10.png

2022-11-13T17:26:24Z

FFaerber:

bezogene mitwirkende Plattenbreite

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 9.png

2022-11-13T16:50:44Z

FFaerber:

Mitwirkende Plattenbreite bei Durchlaufträgern

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 8.png

2022-11-13T16:50:16Z

FFaerber:

mitwirkende Plattenbreite am Kragarm

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 7.png

2022-11-13T16:49:32Z

FFaerber:

Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 6.png

2022-11-13T16:44:57Z

FFaerber:

Kraftverlauf im Plattenbalken

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 5.png

2022-11-13T16:44:22Z

FFaerber:

Schub

Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

2022-11-13T16:38:49Z

FFaerber:

Geschichtliche Entwicklung der Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite und Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts, dem Eurocode, der Berechnung in anderen Ländern und einer FE-Berechnung.
 
 

==Geschichtliche Entwicklung bis zum Eurocode==
Die folgende Auflistung dient einem Überblick über die geschichtlichen Entwicklung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite. Die Formeln entsprechen keiner aktuell geltenden Norm und werden in der Vergleichsrechnung mit dargestellt. Es handelt sich jeweils um Annäherungsformeln, die einerseits das Problem möglichst genau darstellen sollen, andererseits aber für den täglichen Gebrauch entwickelt wurden. Der Kompromiss, dass die Ergebnisse nicht immer die wirtschaftlichste Lösung darstellen, wurde und wird auch heute im normalen Hochbau hingenommen.

====1906====
Erste Erwähnung im "Eisenbetonbau" als anwendbarer Leitsatz nach ''Mörsch'' <ref>Mörsch E.: Der Eisenbetonbau: Seine Theorie und Anwendung. Stuttgart, 1906</ref>
 
:<math>b_{eff} = \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff}</math>

====1918====
Erste Normung innerhalb der 1918 veröffentlichten "Deutschen Industrie Norm" nach ''Frank.'' <ref>Frank, W.: Eisenbetonbau: Kurzgefasstes Lehrbuch unter besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Praxis. 2. vollständig umgearbeitete Auflage. Stuttgart : Verlag von Konrad Wittwer, 1914</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( \cfrac{1}{3} \cdot l_{eff} bzw. \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff}; b \right) </math>

====1943====
''Timoshenko's'' Elastizitätstheorie führt zur "strengen Theorie des Plattenbalkens", die mittels AIRYscher Spannungsfunktion berechnet werden kann. Die Berechnung ist jedoch sehr umständlich, daher gelten fortan die deutschen Bestimmungen nach ''Schleicher'' <ref>Schleicher, Ferdinand: Taschenbuch für Bauingenieure. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1955. – ISBN 978–3–642–88349–1</ref>
 
:<math>b_{eff} = min \left( b_w + 2 \cdot b_s + 12 \cdot h_f; b_w + 18 \cdot h_f; \cfrac{l_{eff}}{2}; b \right) </math>

====1960====
''Brendel'' fasst im Jahr das Wissen um die mitwirkende Plattenbreite kompakt zusammen. Der Fachartikel "Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch" ist noch heute von großer Bedeutung. Lässt man FE-Methoden außen vor, sind die Betrachtungen aus 1960 in Kombination mit den sich darauf beziehenden Untersuchungen von ''Leonhardt'' die genausten Näherungen. So lässt sich die bezogenen mitwirkende Plattenbreite (<math>b_{eff}/b_i</math>) über die Verhältnisse <math>h_f/h</math> und <math>b_i/l_0</math> bestimmen.
:<math>b_{eff} = b_w + b_1 + b_2 </math> 

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 1.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite (nach Leonhardt)]]

Hieraus ergibt sich dann mithilfe der Tabelle der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite, die angenäherte mitwirkende Plattenbreite. Über die Berücksichtigung der Plattendicke wird hier auch die Biegesteifigkeit der Platte einbezogen. Zudem wird die Art des Systems einberechnet. 
Auch einschnürungserzeugende Einzellasten werden erstmals über einen Abminderungsfaktor η berücksichtigt. Aus der Tabelle ist abzulesen, dass die Einschnürung vor allem bei kleinen Stützweiten einen Einfluss hat und abgemildert werden muss. <ref>Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In:
Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref> <ref>Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6</ref> Je größer die Stützweite im Verhältnis zur Plattenbreite ist, desto kleiner ist der zu berücksichtigende Einfluss der Einschnürung. Dieses Tragverhalten wird später auch von ''Schleeh'' aufgezeigt. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>
{|class="wikitable"
|+ Abminderungsfaktor η für konzentrierte Einzellasten
|-
| bi / l0 || 2,0 || 1,0 || 0,8 || 0,6 || 0,4 || 0,2 || 0,1
|-
| η || 0,6 || 0,61 || 0,62 || 0,63 || 0,65 || 0,7 || 0,9
|}

==== 1978 ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 2.png|right|thumb|450px|Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Breite im Stützbereich(S) und Feldbereich(F) nach DIN 1075 (angelehnt an ''Grasser'']]

In der DIN 1075 für Betonbrücken aus dem Jahr 1978 ist die Elastizitätstheorie Grundlage der Berechnung. Der Plattenbalken wird demnach getrennt betrachtet, sodass an den Verbindungsstellen zwischen Platte und Balken nur Schubkräfte übertragen werden können. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900</ref> Diese Längsdruckspannungen nehmen dann nach Scheibentheorie mit Abstand zum Balken ab. Die DIN 1075 unterscheidet dabei zwei Fälle:

: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} < 0,3 </math> -> Die Platte darf über die gesamte Breite als mittragend angesetzt werden. 
: 1. <math> \cfrac{b}{l_0} \ge 0,3 </math> -> Ermittlung der mittragenden Plattenbreite mittels folgender Formel: 

::<math> b_{eff} = \rho _{F} \cdot b </math>

====1980 - ====
Ab 1980 machen vor allem die computergestützten Berechnungsmethoden mittels finiten Elementen große Fortschritte. Auch hier handelt es sich bei der Berechnung um Annäherungen und bis heute gilt der Plattenbalken als eines der schwierigsten Probleme im Stahlbetonbau. Die FE-Berechnungen sind dabei sehr genau, allerdings auch aufwendig und kommen vor allem bei Sonderbauten zum Einsatz. <ref>Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45</ref> <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>

==Berechnung außerhalb des Eurocodes==
Die Normen zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite variieren in den verschiedenen Ländern der Welt. Viele orientieren sich dabei am Eurocode, einige am ACI, andere Länder nutzen veraltete Näherungsmethoden. Folgend sollen einige aktuelle Formeln aus Normen aller Welt vorgestellt werden.

===USA – ACI 318-19 <ref>ACI 318-19: Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} ; 16 \cdot h_f + b_w ; b \right) </math>

=== Canada – CSA A23.3-04 <ref>CSA A23.3-04: Design of concrete structures. Mississauga, Ont. : Canadian Standard Association, 2004 (CSA standard). – ISBN 1–55397–559–6</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{2}{5} \cdot l_{eff} + b_w ; 24 \cdot h_f + b_w ; b \right)</math>

===Neuseeland – NZS 3101-2006 <ref>NZS 3101.1&2:2006: Concrete Structures Standard - Code of Practise for the Design of Concrete Structures. Wellington, 2006</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_{eff} + b_w; 16 \cdot h_f + b_w; 2 \cdot h + b_w; b \right)</math>

=== Großbritannien – BS 8110-1:1997 <ref>BS 8110-1:1997: Structural use of concrete. Code of practice for design and construction. 2nd ed. London : British Standards Institution, 2007 (British standard). – ISBN 9780580598937</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{5} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

=== Indien – IS 456-2000 <ref>IS 456:2000 Indian Standard: Plain and Reinforced Concrete - Code of Practise. New Delhi : Bureau of Indian Standards, 2007</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{6} \cdot l_0 + 6 \cdot h_f + b_w; b \right)</math>

=== Japan – JSCE 2007 <ref>JSCE 2007:15: Standard Specifications for Concrete Structures: "Design". To-
kio : Japan Society of Civil Engineers, 2010</ref>===
:<math> b_{eff} \le min \left( \cfrac{1}{4} \cdot l_0 + b_w; b \right)</math>

==Vergleichsrechnungen==
===Methodik===
Zur besseren Beurteilung der verschiedenen Berechnungsvarianten, wird eine Vergleichsrechnung zwischen den geschichtlichen Methoden und den aktuellen Normen aller Welt durchgeführt. Dabei soll dargestellt werden, ob sich die verschiedenen Annäherungsformeln mit denen aus dem Eurocode und der FE-Berechnung decken und welche Abweichungen es gibt. Es werden jeweils das Innenfeld eines Durchlaufträgers von mehreren Plattenbalken des normalen Hochbaus betrachtet, die mit einer konstanten Streckenlast belastet werden. Übliche Vorgehensweise beim Vergleich der Ergebnisse ist die Nutzung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite <math>\cfrac{b_{eff}}{b}</math> (y-Achse) und dem Verhältnis zwischen der maximalen Plattenbreite zur Stützweite <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math> (x-Achse). Da nicht jede Norm <math>l_0</math> als Anhaltspunkt für die Berechnung enthält, werden die Momentennulldurchgänge in den jeweiligen Berechnungen separat berechnet. 
Die Querschnitt ergeben sich aus den dimensionslosen Parametern <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math>. Auf diese Weise können möglichst viele Parameter innerhalb einer Berechnung berücksichtigt werden und Fehler würden deutlicher abzulesen sein. Die drei betrachteten Querschnitte haben folgende Abmessungen:

{| class="wikitable"
|+ Abmessungen der Querschnitte
|-
! Fall !! Q1 !! Q2 !! Q3
|-
| <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math> || 10 || 15 || 20
|-
| <math>\cfrac{b_w}{h}</math> || 0,75 || 0,7 || 0,65
|-
| <math>\cfrac{h_f}{h}</math> || 0,4 || 0,3 || 0,2
|}

===Geschichtlicher Vergleich===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 3.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 4.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 5.png|Geschichtlicher Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Vergleich aktueller Normen===
<gallery widths=500px heights=500px>
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 6.png|Aktueller Vergleich - Fall 1: (<math>l_{eff}/h = 10</math>; <math>b_{w}/h = 0,75</math>; <math>h_{f}/h = 0,4</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 7.png|Aktueller Vergleich - Fall 2: (<math>l_{eff}/h = 15</math>; <math>b_{w}/h = 0,70</math>; <math>h_{f}/h = 0,3</math>)
File:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 8.png|Aktueller Vergleich - Fall 3: (<math>l_{eff}/h = 20</math>; <math>b_{w}/h = 0,65</math>; <math>h_{f}/h = 0,2</math>)
</gallery>

===Auswertung===
Die Auswertung des Vergleichs ergibt, dass die aktuellen Normen bis auf kleine Ausnahmen gegenüber der FE-Berechnung sehr auf der sicheren Seite liegen. Die Ergebnisse der Normen unterscheiden sich selbst nur wenig voneinander, liegen jedoch auch verglichen zum Eurocode sehr auf der sicheren Seite. Ein Einsparpotenzial liegt damit allein schon unter Betrachtung der Normen vor. 
====Potenzial====
Als Beispiel wird der Unterschied der Bewehrungsmenge für einen symmetrischen Plattenbalken (Fall 3) als Einfeldträger zwischen dem Eurocode und der NZS-Norm berechnet. Als Belastung wird 800kNm angenommen. 
Querschnitt und System: 
:<math>l_{eff} = 1000 cm</math> 
:<math>b_w = 32,5 cm</math> 
:<math> h_f = 10 cm</math> 
:<math> h = 50 cm</math> 
:<math>l_0 = 700 cm</math> 
:<math>b = 600 cm</math> 

Eurocode: 
:<math>b_{eff} = 286 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{286cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,106</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 8,8</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,1108</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,1108 \cdot 286cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,5cm^2</math> 

NZS: 
:<math>b_{eff} = 132,5 cm</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{100000kNcm}{132,5cm \cdot 44cm^2 \cdot 1,7kN/cm^2}</math> 
:<math>\mu_{Eds}=0,23</math> 
:<math>b_{eff}/b_w = 4</math> 
:<math>h_{f}/d = 0,2</math> 
:<math>\omega = 0,234</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} )</math> 
:<math>A_{s}=\cfrac{1}{43,5} (0,234 \cdot 135cm \cdot 44cm \cdot 1,7kN/cm^2 )</math> 
:<math>A_{s}=54,3cm^2</math> 
==Quellen==
<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung!
}}

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 8.png

2022-11-13T14:53:02Z

FFaerber:

Aktueller Vergleich Fall 3

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 7.png

2022-11-13T14:52:42Z

FFaerber:

Aktueller Vergleich Fall 2

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 6.png

2022-11-13T14:52:24Z

FFaerber:

Aktueller Vergleich Fall 1

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 5.png

2022-11-13T14:51:51Z

FFaerber:

Geschichtlicher Vergleich

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 4.png

2022-11-13T14:51:20Z

FFaerber:

Geschichtlicher Vergleich

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 3.png

2022-11-13T14:38:10Z

FFaerber:

Vergleichsrechnung Geschichte

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 2.png

2022-11-13T14:24:38Z

FFaerber:

Bestimmung der mitwirkenden Plattenbreite im Feld- und Stützbereich nach DIN 1075

Datei:Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung 1.png

2022-11-13T14:19:31Z

FFaerber:

Tabelle zur Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite nach Brendel

Datei:Mitwirkende Plattenbreite 4.png

2022-11-09T17:13:32Z

FFaerber:

System

Datei:MitwirkendePlattenbreite3.png

2022-11-09T15:53:08Z

FFaerber: Querschnitt eines Plattenbalken mit Parameterbezeichnung nach Eurocode und ideeller Spannungsverteilung

== Beschreibung ==
Querschnitt eines Plattenbalken mit Parameterbezeichnung nach Eurocode und ideeller Spannungsverteilung

Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-09T15:19:56Z

FFaerber:

[[Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png|right|thumb|500px|Ideeller Spannungsverlauf]]
 
Die mitwirkende Plattenbreite ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
 
=== System ===
[[File:Zusatzangaben Plattenbalken 2.PNG|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===
Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Nach dem Eurocode geht das System über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. (siehe oben)

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheidet nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist.

==== Durchlaufträger====
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um etwa 15%. <ref name= "Brendel1960" />

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen. <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Das Ergebnis dieser Berechnung finden in [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]] Anwendung.
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref> Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung!
}}

Datei:MitwirkendePlattenbreite2.png

2022-11-09T15:10:40Z

FFaerber:

ideeller Spannungsverlauf

Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-08T20:23:05Z

FFaerber:

[[File:MitwirkendePlattenbreite1.jpg|right|thumb|400px|Ideeller Spannungsverlauf (Test]]
 
Die mitwirkende Plattenbreite ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
 
=== System ===
[[File:Zusatzangaben Plattenbalken 2.PNG|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===
Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Nach dem Eurocode geht das System über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. (siehe oben)

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheidet nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist.

==== Durchlaufträger====
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um etwa 15%. <ref name= "Brendel1960" />

== Computerbasierte FE-Berechnung==
Die computerbasierte Finite-Elemente-Methode ermöglicht es, Tragwerke computergestützt zu analysieren, die vorher einer Berechnung nicht zugänglich waren. Erste Ergebnisse liefern Arbeiten von Loo & Sutandi aus 1986, die feststellten, dass sich alle Normen weiterentwickelten, nur die Annahme zur mitwirkenden Plattenbreite hätte sich seit 34 Jahren nicht geändert, obwohl die Berechnungsmethoden in der Zeit sehr verfeinert wurden. Für die Methode wird der Plattenbalken in kleine (finite) Elemente unterteilt - die linearen 8-Knoten-Elemente, wobei jeder Knoten 3 Freiheitsgrade erhält. In alle Knoten werden sechs Kraftkomponenten, drei Normalkräfte und drei Querkräfte, eingerechnet. Über diese Methode erhielt zum ersten Mal die Plattendicke einen Einfluss auf die mitwirkende Plattenbreite. <ref> Loo, Y.-C ; Sutani ; T.D.: Effective flange width formulas for T-beams. In: Concrete International. Design and Construction 8 (1986), Nr. 2, S. 40–45 </ref> 
Utku und Aygar haben eine FE-Berechnung für einen Plattenbalken mit dem Computerprogramm SAP2000 durchgeführt. Der Plattenbalken kann aufgrund seiner Symmetrie geviertelt werden. Das Viertel wird in 400 Quader mit jeweils 8 Knoten (lineare 8-Knoten-Elemente) aufgeteilt, wobei die Unterteilung innerhalb der Platte filigraner gewählt wird, da hier die Ergebnisse von größerer Bedeutung sind. Für jeden Knoten werden die Lagerbedingungen sowie der E-Modul vom Beton und die Querkontraktionszahl definiert. Bei Belastung mit einer konstanten Streckenlast lässt sich für verschiedene Abmessungen mittels Regressionsanalyse eine bezogene mitwirkende Plattenbreite in Abhängigkeit der Verhältnisse <math>\cfrac{b}{l_{eff}}</math>, <math>\cfrac{l_{eff}}{h}</math>, <math>\cfrac{b_w}{h}</math> und <math>\cfrac{h_f}{h}</math> bestimmen. <ref>Utku, M. ; Aygar, A.: Investigation of Effective Flange Width Formulas for T-Beams. In: Topping, B.H.V. (Hrsg.) ; Bittnar, Z. (Hrsg.): Proceedings of the Sixth International Conference on Computational Structures Technology, Civil-Comp PressStirlingshire, UK, 2002 (Civil-Comp Proceedings)</ref>
<math>\cfrac{b_{eff}}{b} = 0,9450 - 0,4630 \cdot \cfrac{b}{l_{eff}} + 0,0016 \cdot \cfrac{l_{eff}}{h} + 0,0222 \cdot \cfrac{b_w}{h} + 0,1810 \cdot \cfrac{h_f}{h}</math>

Das Ergebnis dieser Berechnung finden in [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]] Anwendung.
 
Auch in aktueller Literatur wird darauf verwiesen, dass es sich beim Plattenbalken um ein ausgesprochen komplexes, dreidimensionales Problem handelt. Hartmann und Katz verweisen darauf, dass es sich auch bei den finiten Elementen um eine Näherungsmethode handelt, die noch viel zu aufwendig ist und die exakte Ermittlung an der Spannungen für die Bewehrungswahl kaum einen Einfluss hat. Mögliche Modellansätze für Plattenbalken sind folgende:
<ul>
* Faltwerkmodelle
** Platte und Balken als Faltwerk (Schalenmodell)
** Platte als Faltwerk, Unterzug als exzentrischer Balken oder Platte
* Plattenmodelle
** Platte als Platte und Unterzug als exzentrischer Balken
** Platte mit zentrischem Balken
</ul>
Für den Vergleich der Ansätze wird hier auf weiterführende Literatur verwiesen. <ref Name="Hartmann"> Hartmann, F.; & Katz, C.: Statik Mit Finiten Elementen (2. Aufl.), Springer (2019), S. 313-320</ref> Hier wird jedoch für Anwendungszwecke im FEM-Programm empfohlen, das Modell exzentrischer Balken am Faltwerk zu wählen, also die Steifigkeit des Unterzugs um den Anteil aus der gesamten Ausmitte e zu erhöhen und dabei die Normalkraftverformungen in der Platte über einen FE-Scheibenansatz zu berücksichtigen.

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im Laufe des letzten Jahrhunderts entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

2022-11-08T20:22:34Z

FFaerber: Die Seite wurde neu angelegt: „ Geschichtliche Entwicklung der Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite und Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts, dem Eu…“

Mitwirkende Plattenbreite

2022-11-01T21:21:12Z

FFaerber:

[[File:MitwirkendePlattenbreite1.jpg|right|thumb|400px|Ideeller Spannungsverlauf (Test]]
 
Die mitwirkende Plattenbreite ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reelle Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Annäherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein.
 
 

==Einleitung==
Im Stahlbetonbau hat sich in den letzten hundert Jahren vor allem die monolithische Bauweise vom Plattenbalken als besonders leistungsfähig und wirtschaftlich herausgestellt. Plattenbalken sind Balken mit einem T-förmigen Querschnitt. In der Biegezugzone des Balkens befindet sich die Längsbewehrung und nimmt den Zug auf. Da bei Plattenbalken wegen der Bügel- und Mattenbewehrung von einem monolithischen Querschnitt ausgegangen werden kann, wird neben der Oberseite des Balkens auch eine bestimmte Breite der Platte für die Aufnahme der Druckspannungen im Biegedruckbereich hinzugezogen. Diese Breite wird als mitwirkende Plattenbreite (beff) bezeichnet. Eine genaue Berechnung ist äußerst umständlich, da neben der technischen Biegelehre auch die Elastizitätstheorie beachtet werden muss. Folgende Faktoren haben einen Einfluss:
<ul>
*Systemabmessungen
**Dicke der Platte
**Höhe des Balkens
*Schub- und Biegesteifigkeit der Platte
*Art der Belastung
*Art des Systems
**Spannweite
**Abstand zwischen den Stegen
*usw.
</ul>
Der Eurocode 2 enthält eine Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite, die für den normalen Hochbau ausreichend genaue Ergebnisse darstellt. Ausreichend genau bedeutet hier, dass eine genaue Berechnung oft unwirtschaftlich im Vergleich zur Nutzung der Annäherungsformel wäre.

== Berechnungsgrundlagen==

=== Anwendung===
Gebrauch findet die mitwirkende Plattenbreite in der Biegebemessung von Plattenbalken. In der Vorbemessung führt eine große mitwirkende Breite zu einem kleineren μEds, was wiederum über Tabellenwerte zu einem kleineren ω führt.

:<math>\mu_{Eds}=\cfrac{M_{Eds}}{b_{eff} \cdot d^2 \cdot f_{cd}}</math> 

Bei der Bewehrungswahl führt eine größere mitwirkende Plattenbreite sowie ein kleineres ω anschließend zu weniger erforderlicher Bewehrung. 

:<math>A_{s}=\cfrac{1}{f_{yd}} (\omega \cdot b_{eff} \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed})</math> 
Ein genauer Berechungsablauf wird in [[Mitwirkende Plattenbreite (Bsp.)]] aufgezeigt.

=== Berechnung nach Eurocode 2===
Für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit, darf die mitwirkende Plattenbreite wie folgt ermittelt werden:
:<math>b_{eff}=\sum b_{eff,i} + b_{w}\le b</math> 
 
:mit: 
 
:<math>b_{eff,i}={min}
\begin{cases}
0{,}2 \cdot b_{i} + 0{,}1 \cdot l_{0} \\
0{,}2 \cdot l_{0} \\
b_{i}
\end{cases}</math> 
 
=== System ===
[[File:Zusatzangaben Plattenbalken 2.PNG|rahmenlos|tumb|650px|Eingabefeld]] 

== Wissenschaftlicher Hintergrund==
Die Forschung zur mitwirkenden Plattenbreite hat bereits zum Anfang des 20. Jahrhunderts begonnen (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) und sich von sehr groben Formeln zu einer Näherungsberechnung entwickelt, die viele Faktoren berücksichtigt. Jedoch ist der Zweck dieser Näherung eben dieser - ein kompliziertes System vereinfacht darzustellen. Einige Faktoren sind heute innerhalb der Näherung klar definiert und zu einigen gibt es umfassende wissenschaftliche Arbeiten, dessen Erkenntnisse jedoch nur teilweise in der Norm erwähnt werden. Es ist allerdings unausweichlich, die wichtigsten Faktoren, die die mitwirkende Plattenbreite beeinflussen, zu betrachten.

=== Berechnung nach Scheibentheorie===
Die Scheibentheorie befasst sich mit der Berechnung von Spannungen und Verformungen innerhalb von Scheibenelementen. Nach der Theorie wird ein Plattenbalken in zwei Plattenelemente und den Balken aufgeteilt, die jeweils einzeln betrachtet werden. Dabei wird davon ausgegangen, dass an der Verbindungsfuge eine definierbare Schubspannung T übertragen wird. Die Scheibe wird als dünnes, ebenes Tragelement betrachtet, welches nur in seiner Ebene beansprucht wird. Biegebeanspruchungen und somit auch alle orthogonal zur Platte stehenden Spannungen werden vernachlässigt, demnach werden nur Spannungen in der Mittelebene der Platte betrachtet. Die genaue Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite erfolgt mittels AIRY'scher Spannungsfunktion, die über Randbedingungen gelöst werden kann. Ein Beispiel liefert hier Literatur von Hake <ref>Hake, Erwin ; Meskouris, Konstantin: Statik der Flächentragwerke: Einführung mit vielen durchgerechneten Beispielen. 2., korr. Aufl. Berlin : Springer, 2007 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 978–3–540–72623–4</ref>. Der Aufwand ist jedoch groß, sodass eine Berechnung nach technischer Biegelehre meist sinnvoller wird.

=== Berechnung nach technischer Biegelehre===
Bei der Biegespannungsermittlung nach technischer Biegelehre wird eine konstante Spannungsverteilung über die Querschnittsbreite vorausgesetzt. Um diesen Zustand beim Plattenbalken zu erreichen, wird ein Ersatzsystem definiert, bei dem die tatsächlichen durch das Mittragen der Platte entstehenden Längsdruckspannungen in einen idealisierten Spannungskörper umgelagert werden. Wichtig hierbei ist die Betrachtung der maximal auftretenden Spannung direkt über dem Steg, die bei Gleichlast maßgebend für den restlichen Verlauf ist. Da über der Stegbreite bw keine Änderung der Dehnung der obersten Faser bemerkbar ist, εx also in dem Bereich konstant bleibt, kann für den restlichen idealisierten Körper, außerhalb des Stegbereiches, diese Größe als maßgebend betrachtet werden. 
:<math>b_{eff,1} \cdot {max} \sigma_x = \sum \sigma_x {dx} </math> 
Der Flächeninhalt der realen Spannungen soll demnach dem der idealisierten Spannungen mit der vorgegebenen Höhe max σx entsprechen. Aus der Idealisierung geht eine Veränderung der Spannungsnulllinie hervor. Im reellen Fall nähert sich diese mit steigendem Abstand zum Steg an die Platte an. Zur korrekten Anwendung der technischen Biegelehre hat die Spannung durch Benutzung der maßgebenden Höhe max σx an jeder Stelle denselben Abstand zur Nulllinie. Hierdurch verkleinert sich folglich der innere Hebelarm der Kräfte, was zu einer höheren Sicherheit der Näherungsmethode führt. <ref Name= "Brendel1960">Brendel, G.: Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch. In: Beton- und Stahlbetonbau 55 (1960), Nr. 8, S. 177–185. – ISSN 00059900</ref>

=== Schub- und Biegesteifigkeit der Platte===
Dass die sich vom Steg entfernenden Bereiche der Platte mit steigender Entfernung vom Mitwirken entziehen, hat seinen Ursprung in der Schub- und Biegesteifigkeit der Platte. Letztere bleibt oft unbeachtet, was dazu führen kann, dass die Ergebnisse zu sehr auf der sicheren Seite liegend sind. Einen Ansatz bietet Brendel mit der Unterteilung von beff in die jeweiligen Anteile, die in der Platte durch Schubfestigkeit (beff,s) und durch die Biegesteifigkeit (beff,b) mitwirken. <ref name = "Brendel1960"/>

==== Schubsicherer Verbund====
Eine schubsichere Verbindung zwischen der Platte und dem Balken wird heute mittels Bügeln und ausreichender Bewehrung gewährleistet. Dabei wird der Schubübertrag als so groß angenommen, dass der Plattenbalken als monolithisch angesehen werden darf. Durch diese Verbindung erfahren beide Bauteile an der Anschlussstelle bei Biegung dieselben Längsdehnungen. Während der Belastung auf Biegung kommt es im Zustand II, also bei der Überschreitung der Betonzugfestigkeit innerhalb der Biegezugzone, zu Betondruckstreben zwischen den Rissen und zu Zugstreben der Anschlussbewehrung. Begleiterscheinung von Biegung ist immer eine Längsschubkraft τ. Diese wirkt in horizontaler Richtung in der Verbindungsfuge zwischen Platte und Balken und wurde bereits mit T definiert. Vertikal wirkende Schubkräfte sind vernachlässigbar gering. <ref Name = "Leonhardt"> Leonhardt, Fritz ; Mönnig, Eduard: Vorlesungen über Massivbau. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1973. – ISBN 978–3–540–06488–6 </ref> 
Bei vollen Querschnitten ist der Einfluss der Schubkräfte verschwindend gering, je dünner die Querschnitte, desto präsenter sind sie. Der mittragende Anteil aus Schubkräften beff,s ergibt sich aus den an der Fuge übertragenden Spannungen, die jedoch mit dem Abstand zum Steg innerhalb der Platte aufgrund von Schubverzerrungen abnehmen. Zusätzlich entzieht sich die Platte umso mehr der Mitwirkung, umso größer das Verhältnis zwischen der Plattenbreite zur effektiven Spannweite ist. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref>

==== Biegesteifigkeit der Platte====
Da sich durch die Spannungsübertragung an der Verbindungsfuge auch Biegemomente übertragen, wird die Platte neben der Schubsteifigkeit auch auf seine Biege- steifigkeit beansprucht. Die Größe vom Biegemoment steigt proportional zu dem Verhältnis der Plattendicke zur Steghöhe. Nach Marguerre darf beff,b bei Plattenbreiten bis zu einem Viertel der Stützweite über die gesamte Breite als wirkend angenommen werden. Die Bewehrungsführung verursacht zumeist eine größere Biegesteifigkeit quer zur Stützweite, was zur Folge hat, dass der wirksame Bereich von beff,b in Wirklichkeit größer ist. Ein größeres Verhältnis von Stützweite zu Stegbreite führt dazu, dass sich das Trägheitsmoment stärker auf den Gesamtquerschnitt auswirkt. beff,b ist demnach vor allem bei gedrungeneren Stegen Beachtung zu schenken. <ref name = "Brendel1960" />

=== Kräfteverlauf===
Der Kräfteverlauf innerhalb von Plattenbalken kann mittels Zug- und Druckspannungstrajektoren dargestellt werden. <ref name="Leonhardt" /> Eine logische Schlussfolgerung aus den vorherigen Betrachtungen ist, dass sich das Mitwirken der Platte mit steigender Belastung erhöht. Je nach System und Bewehrungsmenge wird die maximal mögliche mitwirkende Breite kurz vor dem Versagen voll ausgenutzt. Die Gründe dafür sind zum einen die Werkstoffeigenschaften von Beton, der im Druckbereich bei ständiger Beanspruchung nichtlineare Kriecherscheinungen aufweist, und zum anderen jene von Stahl, der nach Überschreiten der Fließgrenze stärkere Dehnungserscheinungen hat. Die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite nach dem Eurocode gilt für ungerissene Druckgurte und liegt demnach auf der sicheren Seite. <ref Name="Peil">Peil, U.: Mitwirkende Plattenbreite - Eine Richtigstellung. In: Beton- und Stahlbetonbau 74 (1979), Nr. 10, S. 243–246. – ISSN 00059900</ref>

==== Auflager====
Bei allen vorherigen Betrachtungen wird von frei aufliegenden Auflagern ausgegangen. Im Auflagerbereich muss sich das Mitwirken der Platte zunächst einstellen, wie in vorheriger Abbildung zu erkennen ist. Grund dafür ist der Spannungsverlauf, der durch die Biegesteifigkeit der Platte entsteht.

==== Einzellasten====
Bei Einzellasten kommt es zu einer Einschnürung der mitwirkenden Plattenbreite. Diese nimmt demnach im Bereich von konzentrierten Einzellasten ab. Die Größe der Einschnürung ist nach Schleeh abhängig von dem Verhältnis der Plattenbreite zur Spannweite (<math>{b}/{l_{eff}}</math>). Je kleiner das Verhältnis, desto geringer fällt die Einschnürung in Breite und Länge aus. Für bestimmte Systeme kommt es hier zu der Besonderheit, dass eine Einzellast in Feldmitte die Einschnürung aus den Auflagerungen abmindert. <ref>Schleeh, W.: Die mitwirkende Plattenbreite aus der Sicht neuer Erkenntnisse. In: Beton- und Stahlbetonbau 68 (1973), Nr. 7, S. 175–179. – ISSN 00059900</ref> Kritik gibt es hier jedoch von Chwalla</> hinsichtlich der konzentrierten Einzellasten aus der Theorie. Diese kommen so in der Praxis nicht vor. <ref>Chwalla, E.: Die Formeln zur Berechnung der "voll mitwirkenden Breite" dünner Gurt- und Rippenplatten. In: Stahlbau (1936), Nr. 10, S. 73</ref> Forschungsanstrengeungen von Brendel ergeben, dass sich die Einschnürung mit größeren Belastungen verkleinert. <ref name= "Brendel1960" />

=== Art des Systems===
Nach dem Eurocode geht das System über den Faktor l0 in die Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite mit ein. (siehe oben)

==== Einfeldträger====
Der Einfeldträger ist aufgrund der einfachen Herstellungsvariante das meistgenutzte System und kommt hauptsächlich für Versuchsabläufe zum Einsatz. Die Wirkweise ist demnach umfassend erforscht und der Kraftverlauf (siehe oben) wird aus diesem hergeleitet.

==== Kragarm====
Die Regelungen für den Kragarm nach Eurocode <math>l_0 = 0,15 \cdot l_2 + l_3</math> unterscheidet nach analytischen Ergebnissen bei sehr kurzen Kragarmen stark vom reellen Zustand, weshalb die Regelung mit <math>l_0 = 1,5 \cdot l_{eff,3}</math> erweitert wird, wobei der kleinere beider Werte maßgebend ist.

==== Durchlaufträger====
Über den Zwischenauflagern von Durchlaufträgern ist der obere Bereich des Plattenbalkens auf Zug beansprucht, der üblicherweise über die verlagerte Zugbewehrung aufgenommen wird. Im Eurocode wird dieser Bereich mit der Lage der Momentennulldurchgänge berücksichtigt, wobei <math>l_0 = 0, 85 \cdot l_1</math> für Randfelder und <math>l_0 = 0,7 \cdot l_2</math> für Mittelfelder gilt.

==== Balkenreihe====
Bei einer Aneinanderreihung von Plattenbalken in Querrichtung ist die Querverformung im Gegensatz zum Einzelbalken innerhalb der Platte durch das angrenzende System senkrecht zur Balkenstützweite behindert. Aus diesem Grund erhöht sich die mitwirkende Breite bei Balkenreihen im Gegensatz zu einzelnen Balken nach Brendel um etwa 15%. <ref name= "Brendel1960" />

== Computerbasierte FE-Berechnung==

== Fazit==
Die Annäherungsformel für die mitwirkende Plattenbreite soll auf möglichst einfache Art und Weise möglichst viel Faktoren berücksichtigen. Sie wurde im laufe des letzten Jahrhundert entwickelt und durch viele wissenschaftliche Arbeiten verbessert. In vielen Ländern außerhalb des Eurocodes werden genau dieselben oder ähnliche Ansätze zur Berechnung vorgeschlagen, einige davon wesentlich ungenauer als im Eurocode. (siehe [[Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung]]) 

Vergleicht man die verschiedenen Berechnungsmethoden miteinander, lässt sich schließen, dass alle hinreichend genaue Ergebnisse liefern. Die Genauigkeit bei Plattenbalken spielt zudem keine sehr große Rolle, da sich der Hebelarm der inneren Kräfte und damit die erforderliche Bewehrung mit der Größe der mitwirkenden Breite kaum ändert und die Biegedruckzone bei Plattenbalken fast nie ausgenutzt ist. Lediglich bei Sonderbauten oder Optimierungsaufgaben kann die Berechnung mittels Finiten-Elementen präzisere und somit wirtschaftlichere Ergebnisse liefern. <ref>Grasser, E. ; Moosecker, W.: Hilfsmittel zur näherungsweisen Bestimmung der mitwirkenden Breite von Plattenbalken im Stahlbetonbau. In: Beton- und Stahlbetonbau 77 (1982), Nr. 6, S. 164–167. – ISSN 00059900 </ref> Der Mehraufwand durch die Computerberechnung wird sich in den kommenden Jahren durch den Fortschritt der technischen Möglichkeiten dabei minimieren.

==Quellen==
<references />
 

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