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Momenten-Krümmungs-Beziehungen

2026-04-01T08:41:42Z

Gbolle:

Die Momenten Krümmungs-Beziehungen beschreiben den Zusammenhang zwischen dem einwirkenden Moment und der dadurch auftretenden Krümmung.
[[File:Momenten-Krümmungs-Beziehungen_1.jpg|right|thumb|500px|trilineare Momenten-Krümmungs-Beziehungen<ref name="DAfStb600">Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Erläuterungen zu DIN EIN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2); DAfStb Heft 600</ref>]]
 
=Allgemeines=
Im Zustand I ist der Zusammenhang zwischen Momenten und Krümmungen linear. Durch die Rissbildung kommt es zu einer schlagartigen Zunahme der Krümmungen. Im Zustand II sind die Krümmungen wieder annähernd linear. Die [[Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Zugversteifung)|Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]] hat maßgeblich Einfluss auf die Größe der Krümmungen; durch diese nimmt die Stahldehnung zwischen den Rissen und somit auch die mittlere Krümmung deutlich ab <ref name="zilch06">Zilch,K., Zehetmaier,G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau; 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>.

Nach Überschreitung der Streckgrenze nimmt das Moment kaum noch, die Krümmungen allerdings noch deutlich zu bevor schlussendlich das Versagen des Bauteils eintritt und die Momenten-Krümmungs-Linie endet. Die maximal erreichbare Krümmung ist abhängig vom Grenzbewehrungsgrad. Dies ist der Punkt, an dem das Versagen vom Stahl- zum Betonversagen wechselt. Die maximale erreichbare Krümmung tritt beim Grenzbewehrungsgrad auf, darüber bzw. darunter nehmen die Krümmungen ab, da nicht die maximal mögliche Betonstauchung bzw. Stahldehnung aktiviert wird. Der Grenzbewehrungsgrad ist abhängig von der Querschnittsgeometrie und der Betonfestigkeit.

Die Momenten-Krümmungs-Beziehungen lassen sich vereinfachend durch einen trilinearen Verlauf darstellen <ref name="DAfStb600"></ref>. Die kennzeichnenden Punkte sind dabei das Rissmoment, das Biegemoment bei Erreichen der Fließgrenze und das Bruchmoment. Für jeden Querschnitt mit abweichender Geometrie oder Bewehrungsmenge sind eigene Momenten-Krümmungs-Beziehungen zu berechnen.

In der Regel erfordern Nachweise im Zusammenhang mit den Momenten-Krümmungs-Beziehungen realitätsnahe Ergebnisse. Aufgrund dessen werden in der Regel die rechnerischen Mittelwerte der Festigkeiten für die Ermittlung der Momenten-Krümmungs-Beziehungen verwendet.

<math>f_{cR}=0,85\cdot\alpha_{cc}\cdot f_{ck}</math>

<math>f_{yR}=1,1\cdot f_{yk}</math>

<math>f_{tR}=1,05\cdot f_{yR}</math> (für B500A)

<math>f_{tR}=1,08\cdot f_{yR}</math> (für B500B)

wobei:
:{|
|-
| <math> f_{cR} </math> … || rechnerischer Mittelwert der Betondruckfestigkeit
|-
| <math> f_{ck} </math> … || charakteristische Betondruckfestigkeit
|-
| <math> f_{yR} </math> … || rechnerischer Mittelwert der Festigkeit an der Streckgrenze des Stahls
|-
| <math> f_{yk} </math> … || charakteristischer Wert der Festigkeit an der Streckgrenze des Stahls
|-
| <math> f_{tR} </math> … || rechnerischer Mittelwert Zugfestigkeit des Stahls
|-
| <math> \alpha_{cc}=0,85 </math> … || Faktor zur Berücksichtigung von Langzeiteinwirkungen
|}</li>

=Berechnung=

==Erstrissbildung==

Das Rissbildungsmoment kann mit der gewohnten Gleichung ermittelt werden

<math>M_{cr}=\frac{f_{ctm}\cdot I_I}{z_{I,c1}}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> M_{cr} </math> … || Rissbildungsmoment
|-
| <math> f_{ctm} </math> … || mittlere Zugfestigkeit
|-
| <math> I_I </math> … || Flächenträgheitsmoment im Zustand I
|-
| <math> z_{I,c1} </math> … || Schwerachsenabstand bis zum Zugrand
|}</li>

Die erforderlichen Dehnungen lassen sich mit den folgenden Gleichungen ermitteln:

<math>\varepsilon_{c1,cr1}=\frac{f_{ctm}}{E_{cm}}</math>

<math>\varepsilon_{c2,cr1}=-\varepsilon_{c1,cr1}\cdot\frac{z_{I,c2}}{z_{I,c1}}</math>

<math>\varepsilon_{s,cr1}=\varepsilon_{c1,cr1}\cdot\frac{d-z_{I,c2}}{z_{I,c1}}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_{c1,cr1} </math> … || Betondehnung am Zugrand im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
|-
| <math> \varepsilon_{c2,cr1} </math> … || Betondehnung am Druckrand im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
|-
| <math> \varepsilon_{s,cr1} </math> … || Stahldehnung im ungerissenen Zustand unter Rissschnittgrößen bei Erreichen von fctm
|-
| <math> E_{cm} </math> … || mittleres Elastizitätsmodul
|-
| <math> z_{I,c2} </math> … || Schwerachsenabstand bis zum Druckrand
|-
| <math> d </math> … || statische Nutzhöhe
|}</li>

Die Krümmung am Punnkt der Erstrissbildung kann mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden:

<math>\kappa_I=\frac{\mid \varepsilon_{s,cr1}\mid+\mid\varepsilon_{c2,cr1}\mid}{d}=\frac{\mid \varepsilon_{c1,cr1}\mid+\mid\varepsilon_{c2,cr1}\mid}{h}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_I </math> … || Krümmung unter dem Rissbildungsmoment im ungerissenen Zustand
|-
| <math> h </math> … || Bauteilhöhe
|}</li>

==Krümmung im gerissenen Zustand bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls==

Das Streckgrenzenmoment ergibt sich, wenn bei der Biegebemessung die Stahldehnung der Dehnung an der Streckgrenze entspricht. Da den gewöhnlichen Bemessungshilfsmitteln (vgl. [[Biegebemessung (einachsige Biegung)|Biegebemessung]]) nicht die Dehnung an der Streckgrenze zugrunde liegt, sondern die bei Erreichen der Zugfestigkeit, sind diese Hilfsmittel für die Ermittlung des Streckgrenzenmoments nicht geeignet. Entweder ist eine iterative Berechnung ohne Bemessungshilfsmittel durchzuführen (vgl. [[Biegebemessung (einachsige Biegung)|Biegebemessung]]) oder es [[Streckgrenzenmoment/ Tafeln nach Schmitz|sind spezielle Bemessungstafeln zu verwenden z.B. die von Schmitz]].

[[File:Tafel-nach-Schmitz-3.png|right|thumb|400px|Ermittlung des Streckgrenzenmoments nach Schmitz<ref name="schmitz02">Schmitz: Statik - in Stahlbetonbau aktuell 2002
</ref>]]

Die Gleichungen für die Ermittlung des Moments an der Streckgrenze und die Betonstauchung sind der beigefügten Tafel zu entnehmen. Die Stahldehnung ergibt sich mithilfe der folgenden Gleichungen:

<math>\varepsilon_{sy}=\frac{f_{yR}}{E_s}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_{sy} </math> … || Stahldehung bei Erreichend der Streckgrenze
|-
| <math> E_s </math> … || Elastizitätsmodul des Stahls
|}</li>

Die Krümmung kann mithilfe der folgenden Gleichung ermitelt werden:

<math>\kappa_y=\frac{\mid \varepsilon_{sy}\mid+\mid\varepsilon_{cy}\mid}{d}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_y </math> … || Krümmung an der Streckgrenze
|-
| <math> \varepsilon_{cy} </math> … || Betonstauchung bei Erreichend der Streckgrenze
|}</li>

Soll die [[Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Zugversteifung)|Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]] berücksichtigt werden ergibt sich die Kümmung mithilfe der folgenden Gleichung.

<math>\kappa_y=\frac{\mid \varepsilon_{sm}\mid+\mid\varepsilon_{cy}\mid}{d}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_{sm} </math> … || mittlere Stahldehnung unter Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen
|}</li>

Die Gleichungen für die Ermittlung von εsm sind der Seite zur Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen zu entnehmen.

==Krümmung im gerissenen Zustand unter den Bruchschnittgrößen==

Das Bruchmoment und die dazugehörige Dehnung können mithilfe der [[Biegebemessung (einachsige Biegung)|ω-Tafeln]] oder iterativ ermittelt werden. Als Festigkeit für die Bewehrung ist die Zugfestigkeit zu verwenden.

<math>\kappa_t=\frac{\mid \varepsilon_{st}\mid+\mid\varepsilon_{ct}\mid}{d}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_t </math> … || Krümmung unter den Bruchschnittgrößen
|-
| <math> \varepsilon_{st} </math> … || Stahldehnung unter den Bruchschnittgrößen
|-
| <math> \varepsilon_{ct} </math> … || Betonstauchung unter den Bruchschnittgrößen
|}</li>

Bzw. bei Berücksichtigung der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen:

<math>\kappa_y=\frac{\mid \varepsilon_{sm}\mid+\mid\varepsilon_{ct}\mid}{d}</math>

==Aufstellen der Momenten-Krümmungs-Beziehungen==

Im letzten Schritt werden nun die zuvor ermittelten Wertepaare aus Krümmung und Moment in ein Diagramm eingezeichnet und anschließend linear miteinander verbunden. Aus diesem Diagramm lässt sich nun für den betrachteten Querschnitt die Krümmung für jedes beliebige Moment ablesen.

[[Momenten-Krümmungs-Beziehungen (Bsp.)|Beispiel zu den Momenten-Krümmungs-Beziehungen]]

=Quellen=
<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Spannungsrisskorrosion

2025-11-19T20:30:16Z

Gbolle:

[[File:spannungsrisskorrosion5.jpg|right|thumb|250px|infolge Spannungsrisskorrosion zunächst angerissener und später gebrochener Spanndraht]]Die Spannungsrisskorrosion ist eine Sonderform der [[Korrosion]], welche bei gleichzeitigem Vorhandensein eines Angriffsmittels und einer mechanischen Zugkraft bei empfindlichen Stählen auftreten kann. Von Spannungsrisskorrosion sind vor allem Spannbetonbauteile betroffen, welche vor 1990 hergestellt wurden.

=Allgemeines=

Durch die Spannungsrisskorrosion kommt es zu keiner Beeinträchtigung der Zugfestigkeit des Stahls, allerdings nehmen die Verformungskennwerte und somit auch die Duktilität stark ab.

Die Spannungsrisskorrosion stellt eine größere Gefahr dar als andere Korrosionsformen, da sie mit geringem Masseverlust und ohne erkennbare Mengen an Korrosionsprodukten unbemerkt im Bauteilinneren voranschreiten und zu einem spröden Versagen ohne Ankündigung führen kann. Das Versagen ist auch viele Jahre nach der Errichtung nicht auszuschließen <ref Name = "hampel10">Hampel, T. et al "Untersuchung des Gefährdungspotentials älterer Spannbetonbrücken infolge Spannungsrisskorrosion in Mecklenburg Vorpommern". In: Tagungsband zum 20. Dresdener Brückenbausymposium - Planung, Bauausführung, Instandsetzung und Ertüchtigung von Brücken (2010), S. 255-267</ref>.

In vielen Fällen lassen sich Schäden infolge von Spannungsrisskorrosion auf eine mangelhafte Bauausführung zurückführen (z.B. Verpressfehler oder zu geringe Betondeckung), zu hohe äußere Einwirkungen oder Bauwerksschädigungen zurückführen <ref Name = "nürnberger95">Nürnberger, U., Korrosion und Korrosionsschutz im Bauwesen, Band 1 (1995)</ref>. Es sind aber auch Schadensfälle aufgetreten, in denen keine Ursache für die Spannungsrisskorrosion ermittelt werden konnte <ref Name = "wilcke18">Wilcke, M. et al "Betoflux - Stand der Technik in der Spannstahlbruchortung", In: Fachtagung Bauwerksdiagnose (2018)</ref>.

Die folgenden Voraussetzungen müssen für die Entstehung von Spannungsrisskorrosion erfüllt sein:
<ul>
<li>
'''Vorhandensein einer Zugspannung''' (z.B. durch äußere Belastungen, Eigenspannungen oder innerer Druck infolge einer Wasserstoffanreicherung)
<li>
'''Anwesenheit eines Angriffsmittels''' (Haupteinflussfaktoren: Feuchtangebot, Temperatur, Anwesenheit von Promotoren, pH-Wert, Menge an gelöstem Wasserstoff)
<li>
'''Empfindlichkeit des Stahls gegenüber Spannungsrisskorrosion''' (abhängig von der chemischen Zusammensetzung, dem Herstellungsprozess, der Form der Nachbehandlung und Zugfestigkeit des Stahls)
</ul>

Ist eine der drei Bedingungen nicht erfüllt, findet auch keine Spannungsrisskorrosion statt. Es reicht dementsprechend eine der drei Bedingungen auszuschalten, um Spannungsrisskorrosion zu verhindern.

Das Vorhandensein von Zugspannungen lässt sich im Stahl- und Spannbetonbau nicht vermeiden, da es die Grundidee dieser Technologie ist. Auch die Anwesenheit von Angriffsmitteln kann nicht ausgeschlossen werden, da bereits eine geringe korrosive Vorschädigung, die mit bloßem Auge nicht erkennbar ist, ausreichen kann, um Spannungsrisskorrosion auszulösen. Solche korrosiven Vorschädigungen können während des Transports, der Lagerung oder des Einbaus entstehen und sind unter baupraktischen Bedingungen nicht mit absoluter Sicherheit auszuschließen. Hierbei ist vor allem die Zeit zwischen dem Vorspannen und dem Verpressen von Spanngliedern gefährlich, da in diesem Zeitraum bereits große Zugspannungen vorhanden sind in Kombination mit einer hohen Luftfeuchtigkeit und fehlendem Korrosionsschutz <ref Name = "wilhelm14">Wilhelm, T. "Wasserstoffinduzierte Spannungsrisskorrosion. Ein Beitrag zur Beurteilung der Zuverlässigkeit von Spannbetonbrücken mit Henningsdorfer Spannstahl", Dissertation, Technische Universität Dresden (2014)</ref>.

Da weder das Vorhandensein einer Zugkraft noch das eines Angriffsmittels ausgeschlossen werden kann, ist die einzige Möglichkeit Spannungsrisskorrosion zuverlässig zu verhindern, den Einsatz empfindlicher Spannstähle zu vermeiden. Dies wurde in den 1970iger Jahren durch die Verschärfung der Zulassungsvoraussetzungen für Stähle erreicht <ref Name = "dineniso15630">DIN EN ISO 15630-3 " Stähle für die Bewehrung und das Vorspannen von beton -Prüfverfahren - Teil 3: Spannstähle" (2008)</ref><ref Name = "DIBT">DIBT - Deutsches Institut für Bautechnik "Richtlinie für Zulassungs- und Überwachungsprüfung für Spanstähle" (2004)</ref>. Bei Stählen, die nach 1990 verbaut wurden, kann davon ausgegangen werden, dass bei Einhaltung aller Vorschriften und unter baupraktischen Bedingungen keine Gefährdung durch Spannungsrisskorrosion besteht <ref Name = "hampel10"></ref>.

[[File:Spannungsrisskorrosion 1.png|right|thumb|500px|Liste der als gefährdet eingestuften Spannstähle<ref Name = "HandlungsanweisungSpannungsrisskorrosion"></ref>]]

Ob Bauwerke, die vor 1990 errichtet wurden, spannungsrisskorrosionsgefährdet sind, ist abhängig davon, ob ein empfindlicher Stahl verbaut wurde. Eine Liste der als gefährdet eingestuften Stähle kann der Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion <ref Name = "HandlungsanweisungSpannungsrisskorrosion">Bundesministerium für Verkehr, Bau und Stadtentwicklung "Handlungsanweisung zur Überprüfung und Beurteilung von älteren Brückenbauwerken, die mit vergütetem spannungsrisskorrosionsgefährdetem Spannstahl erstellt wurden (Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion)" (2011)</ref> entnommen werden. Da die Ursache für die höhere Empfindlichkeit bestimmter Spannstähle gegenüber Spannungsrisskorrosion noch nicht abschließend geklärt werden konnte <ref Name = "nürnberger95"></ref>, erfolgt die Einstufung anhand von bekannten Schadensfällen mit dem jeweiligen Stahl. Außerdem können auch Stähle, deren Zusammensetzung der von empfindlichen Stählen gleicht als gefährdet eingestuft werden.

Es sei angemerkt, dass nicht alle Chargen der als gefährdet eingestuften Stähle tatsächlich gefährdet sind. Der Anteil der tatsächlich gefährdeten Stähle an der Gesamtproduktion ist jedoch unbekannt <ref Name = "lingemann10"></ref>. Selbst innerhalb eines Spannglieds kann die Empfindlichkeit differieren <ref Name = "wild21"></ref>.

=Arten der Spannungsrisskorrosion=
==Anodische und Kathodische Spannungsrisskorrosion==
===Anodische Spannungsrisskorrosion===

[[File:Spannungsrisskorrosion 2.png|right|thumb|300px|Schädigungsmechanismus der anodische Spannungsrisskorrosion]]

Bei der anodischen Spannungsrisskorrosion (teilweise auch verformungsinduzierte Spannungsrisskorrosion) ist die Korrosion in Form einer extremen örtlichen Metallauflösung der dominierende Faktor für das Versagen <ref Name = "böhni75"></ref>. Sie wird durch elektrolytische Auflösungsprozesse an der Metalloberfläche initiiert <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

Voraussetzung für die anodische Spannungsrisskorrosion ist die Anwesenheit eines spezifisch wirkenden Angriffsmittels (z. B. Nitrate, Sulfate, Chloride) in Verbindung mit einem für das Medium und diese Korrosionsart anfälligen Stahl sowie das Vorhandensein einer Zugspannung. Die Zugspannung muss dabei über der materialspezifischen Grenzzugspannung liegen <ref Name = "lingemann10"></ref>.

Üblicherweise tritt die anodische Spannungsrisskorrosion bei Stählen auf, die an der Phasengrenzfläche zwischen Metall und Angriffsmittel mit einer Passivschicht oder einer sonstigen schützenden Deckschicht bedeckt sind. Ausgangspunkt ist eine lokale Schädigung dieser Passivschicht <ref Name = "wild21"></ref>.

Die Rissbildung erfolgt interkristallin als elektrochemischer Prozess durch Herabsetzung der Grenzflächenenergie und Herauslösen der Korngrenzensubstanzen zwischen den Kristallen, infolge der Einwirkung oberflächenaktiver Agenzien wie Chloriden, Sulfaten oder Nitraten stattfinden. Außerdem ist auch eine transkristalline Rissausbreitung als physikalischer Prozess beim Auftreten von Zugspannungen über der Grenzzugspannung möglich <ref Name = "wild21"></ref>.

Bei planmäßiger Verarbeitung und planmäßigem Einbau der Stähle sowie fehlerfreiem Verpressen ist die anodische Spannungsrisskorrosion im Spannbetonbau nahezu ausgeschlossen, da das Zusammentreffen aller erforderlichen Randbedingungen unwahrscheinlich ist <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Im Vergleich zur kathodischen Spannungsrisskorrosion spielt die anodische in der Baupraxis daher nur eine untergeordnete Rolle.

===Kathodische Spannungsrisskorrosion===

[[File:Spannungsrisskorrosion 3.png|right|thumb|300px|Schädigungsmechanismus der kathodischen Spannungsrisskorrosion]]

Bei der kathodischen Spannungsrisskorrosion (auch Wasserstoffversprödung oder wasserstoffinduzierte Spannungsrisskorrosion) ist die mechanische Belastung der dominierende Faktor für das Versagen <ref Name = "böhni75">Böhni, H. "Risskorrosionserscheinungen bei Spannstählen", IN: Schweizerische Bauzeitung, Jahrgang 93, Heft 39 (1975), S. 603-606</ref>. Sie ist im Vergleich zur anodischen Spannungsrisskorrosion die häufigere Ausprägung der Spannungsrisskorrosion im Bauwesen, da für ihre Auslösung kein spezifisch wirkendes Angriffsmittel erforderlich ist <ref Name = "wild21"></ref>. Allgemein lässt sich feststellen, dass hochfeste Stähle eher zu einer kathodischen Spannungsrisskorrosion neigen <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Die Grenze liegt dabei ca. zwischen 1000-1200 MPa <ref Name = "nürnberger95"></ref>.

Voraussetzung für die Entstehung der wasserstoffinduzierten Spannungsrisskorrosion ist die Anwesenheit einer Zugspannung und adsorbierbarem Wasserstoff in Verbindung mit einem gegenüber Spannungsrisskorrosion empfindlichen Stahl <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Der Wasserstoff muss in atomarer Form vorliegen, um adsorbiert werden zu können <ref Name = "moersch05"></ref>. Die Wasserstoffaufnahme allein löst noch keine Schädigung aus, erst unter der gleichzeitigen Einwirkung von mechanischen Belastungen findet eine Versprödung statt <ref Name = "riecke73"></ref>.

Zur Bildung von Wasserstoff kommt es im Rahmen des aus Elektroneutralitätsbedingungen erforderlichen kathodischen Teilschritts der Korrosion. In sauren bis neutralen Umgebungen bildet er sich als Korrosionswasserstoff, in stark alkalischen Umgebungen durch Wasserzersetzung <ref Name = "wilhelm14"></ref>; teilweise ist die Aufnahme von Wasserstoff auch im Rahmen metallurgischer Prozesse bei der Stahlherstellung möglich <ref Name = "wild21"></ref>. Bereits eine geringe Korrosionsreaktion ohne gut sichtbare Korrosionsprodukte, beispielsweise infolge einer vermeintlich harmlosen Feuchtigkeitseinwirkung, kann bei stark empfindlichen Stählen ausreichen, um die kritische Wasserstoffkonzentration zu erreichen <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

:{|
|-
|Korrosionswasserstoff<math>\qquad\qquad\qquad</math>||<math>2H_3O^++2Fe+2e^-\leftrightarrow 2FeH_{ad}+2H_2O</math>
|-
|Wasserzersetzung||<math>2H_2O+2Fe+2e^-\leftrightarrow 2FeH_{ad}+2OH^-</math>
|}

Der im Rahmen elektrochemischer Prozesse gebildete atomare Wasserstoff wird zunächst vom Metall adsorbiert. Für die Menge an adsorbierbarem Wasserstoff ist die Geschwindigkeit der Oxidation und der Reduktion entscheidend <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Außerdem nimmt sie mit steigender Wasserstoffkonzentration im Medium, steigendem pH-Wert, abnehmendem Sauerstoffgehalt und zunehmender Menge an Promotoren zu <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

Der adsorbierte atomare Wasserstoff kann im Folgenden entweder zu unschädlichem molekularem Wasserstoff, welcher die Stahloberfläche wieder verlässt, rekombinieren, unter Sauerstoffzutritt zu Wasser oxidieren oder vom Stahl absorbiert werden <ref Name = "wild21"></ref>. Wasserstoff diffundiert bevorzugt in plastifizierte Bereiche etwa an der Rissspitze, wegen der Aufweitung des Gefüges in diesen Bereichen <ref Name = "isecke83">Isecke, B. "Neuartige Korrosionsprobleme an Bündelspanngliedern mit nachträglichem Verbund", In: Bautechnik, Jahrgang 60, Heft 1(1983)</ref>. Hierdurch kommt es an der Rissspitze zu einer erhöhten Wasserstoffkonzentration, welche in Verbindung mit erhöhten inneren Drücken im Gefüge zu einem unterkritischen Risswachstum führen kann. Unterkritisches Risswachstum meint solches ohne Überschreitung der äußeren Spannungen. Die Rissausbreitung ist daher unabhängig von den äußeren Spannungen und somit in jedem Bauteilbereich möglich <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

:{|
|-
|Rekombination zu molekularem Wasserstoff<math>\qquad</math>||<math>2FeH_{ad}\leftrightarrow 2Fe+H_2</math>
|-
| ||<math>FeH_{ad}+H^++e^-\leftrightarrow Fe+H_2</math>
|-
| Oxidation zu Wasser ||<math>1/2O_2+2H_{ad}\leftrightarrow H_2O</math>
|-
| Absorption des Wasserstoffs||<math>H_{ad}\leftrightarrow H_{ab}</math>
|}

Bisher wurde noch kein Modell entwickelt, welches den Schädigungsablauf der wasserstoffinduzierten Spannungsrisskorrosion vollumfänglich beschreiben kann. Im Folgenden sollen die gängigsten Theorien kurz vorgestellt werden:
<ul>
<li>
'''Drucktheorie:''' Laut der Drucktheorie folgt die Rissbildung durch Spannungsrisskorrosion, aus der mit einer Volumenvergrößerung verbundenen Rekombination des absorbierten atomaren Wasserstoffs zu molekularem Wasserstoff in Gitterfehlstellen im Metallgefüge, z. B. Poren oder Mikrorissen <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Hierdurch steigt der innere Gasdruck im Metallgefüge, was in Verbindung mit einer mechanischen Belastung zur Entstehung von Zugkräften und einer Überschreitung der Bindungskräfte zwischen benachbarten Atomen, einer Aufsprengung des Metallgefüges und schlussendlich zur Rissbildung führt <ref Name = "wild21"></ref>.
<li>
'''Adsorptionstheorie:''' Die Adsorptionstheorie besagt, dass die Adsorption von atomarem Wasserstoff an der Rissspitze zu der Reduktion der für das Risswachstum erforderlichen Spannungen führt, wodurch ein unterkritisches Risswachstum möglich ist <ref Name = "wild21"></ref>. Die Adsorptionstheorie eignet sich nicht als alleinige Erklärung für die Wasserstoffversprödung, es findet eher eine Beschreibung der Rissausbreitung statt <ref Name = "wild21"></ref>.
<li>
'''Versetzungstheorie:''' Die Versetzungstheorie besagt, dass die Anreicherung von Wasserstoffatomen an Versetzungen, Einschlüssen und Verunreinigungen zu einer Behinderung der Versetzungsbewegungen und des Verformungsvermögens führt <ref Name = "wild21"></ref>, wodurch ein Sprödbruch begünstigt wird. Diese Theorie beschreibt weniger die Rissbildung, sondern mehr den Prozess der Anreicherung des Wasserstoffs <ref Name = "wild21"></ref>, kann dadurch aber eine Erklärung für verzögerte Spannstahlbrüche liefern <ref Name = "moersch05"></ref>.
<li>
'''Dekohäsionstheorie:''' Die Dekohäsionstheorie ist die Theorie, welche das Prinzip der Wasserstoffversprödung für die hochfesten Spannstähle am besten beschreibt <ref Name = "wild21"></ref>. Sie beruht auf einer interstitiellen Einlagerung von atomarem Wasserstoff im Stahlgefüge, welche infolge elektrochemischer Wechselwirkungen zwischen Wasserstoff und Metallatomen zu einer Verringerung der Bindungskräfte im Metallgefüge führt <ref Name = "moersch05"></ref>. Die Bindungskräfte zwischen den Atomen nehmen dabei mit steigender Wasserstoffkonzentration ab <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Notwendige Bedingung hierfür ist die Überschreitung einer kritischen Wasserstoffkonzentration. Diese ist werkstoffabhängig und nimmt mit zunehmender Zugspannung ab. Nach jeder Teilrissbildung muss wieder die kritische Wasserstoffkonzentration für einen weiteren Rissfortschritt überschritten werden. Ist das erforderliche Elektrolyt nur periodisch vorhanden, kann sich die Rissausbreitung über mehrere Jahre erstrecken <ref Name = "hampel10"></ref>. Der eingelagerte Wasserstoff führt zu einer lokalen Zunahme der Fließspannungen, wodurch Spannungsspitzen nicht mehr durch plastische Verformungen abgebaut werden können <ref Name = "lingemann10"></ref>. Dies führt zu einem verformungsarmen, spröden Versagen.
</ul>

==Klassische und nichtklassische Spannungsrisskorrosion==

Hinsichtlich der Art der Beanspruchung kann zwischen klassischer und nichtklassischer Spannungsrisskorrosion unterschieden werden. Klassische Spannungsrisskorrosion entsteht unter statischer Beanspruchung, nichtklassische unter einer Schwingung mit geringer Amplitude oder einer kritischen Dehnungsgeschwindigkeit. Die kritische Dehnungsgeschwindigkeit hat hierbei einen oberen und einen unteren Grenzwert <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Die klassische Spannungsrisskorrosion ist die häufigere Spannungsrisskorrosion-Form im Spannbetonbau <ref Name = "nürnberger95"></ref>.

Teilweise wurde beobachtet, dass Stähle, welche unter stetiger Belastung duktil versagten, unter einer kritischen Dehnungsgeschwindigkeit ein sprödes Versagen aufwiesen <ref Name = "wilhelm14"></ref>, d.h. Stähle, die nicht empfindlich gegenüber klassischer Spannungsrisskorrosion sind, können dennoch eine Empfindlichkeit gegenüber nichtklassischer Spannungsrisskorrosion aufweisen.

=Schädigungsmechanismus=

Der Schädigungsablauf der Spannungsrisskorrosion lässt sich in drei Bereiche aufteilen:

<ul>
<li>
'''Inkubationsphase (Rissbildung)'''
<li>
'''Rissausbreitung'''
<li>
'''Reißphase'''
</ul>

In der Inkubationsphase bilden sich Anrisse, dies geschieht häufig in Korrosionsnarben, welche im Rahmen einer korrosiven Vorschädigung entstanden sind. Wenn bereits Anrisse vorhanden sind, z.B. aufgrund der Herstellung, des Transports, der Lagerung oder des Einbaus, entfällt die Inkubationsphase. Im Folgenden breiten sich die Anrisse weiter aus. Wenn die verbleibende Querschnittsfläche nicht mehr ausreicht, um die einwirkenden Kräfte aufzunehmen, kommt es zum Sprödbruch.

Die Dauer der einzelnen Phasen kann stark variieren. Der genaue zeitliche Verlauf der Spannungsrisskorrosion und die Schädigungshäufigkeit ist unbekannt <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Generell ist die Rissausbreitungsphase länger als die Inkubationsphase <ref Name = "lingemann10"></ref>. Die Dauer der Rissausbreitungsphase und somit auch die Standzeit ist dabei abhängig von dem umgebenden Medium und kann wenige Tage bis einige Jahre dauern <ref Name = "lingemann10">Lingemann, J. "Zum Ankündigungsverhalten von älteren Brückenbauwerken bei Spannstahlausfällen infolge von Spannungsrisskorrosion" Dissertation, Technische Universität München (2010)</ref>.

Nach dem ordnungsgemäßen Verpressen kann wegen der alkalischen Umgebung davon ausgegangen werden, dass keine neuen Risse mehr entstehen können. Die Rissausbreitung ist aber unter Umständen dennoch möglich, da die vorhandenen Risse eventuell nicht repassiviert werden, sodass sich der pH-Wert in diesen in einem sauren bis neutralen Bereich befindet und die Wasserstoffbildung weiterhin möglich bleibt <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Durch dieses Phänomen können auch Schadensfälle erklärt werden, bei denen kein vorhandenes Elektrolyt identifiziert werden konnte <ref Name = "engell78">Engell, H. "Korrosionserscheinungen und Werkstofffragen bei Stahl- und Spannbetonbauwerken", In: Stahl und Eisen, jahrgang 98, Heft 13 (1978), S. 637-641</ref>. Die Korrosionsbedingungen im Riss sind unabhängig von den Umgebungsbedingungen außerhalb des Risses und lassen sich nur schwer beeinflussen <ref Name = "moersch05"></ref>.

[[File:Spannungsrisskorrosion 4.png|right|thumb|300px|interkristalline (oben) bzw. transkristalline (unten) Rissbildung]]

Hinsichtlich der Rissausbildung kann zwischen transkristallinen und interkristallinen Rissen unterschieden werden. Interkristalline Risse führen an den Korngrenzen entlang; sie entstehen durch eine Schwächung oder Auflösung der Bindungskräfte im Gefüge. Transkristalline Risse führen durch die Körner hindurch; sie entstehen rein mechanisch bei dominierender Einwirkung von Zugspannungen <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

Die Bruchfläche ist in der Regel senkrecht zur Beanspruchungsrichtung ausgerichtet <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Im Rahmen der Spannungsrisskorrosion kommt es zu verformungsarmen, spröden Brüchen ohne wesentliche Brucheinschnürung <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Die Bruchfläche eines Stahls, der wegen Spannungsrisskorrosion versagt hat, kann in eine dunkle, linsenförmige Anriss- und eine mattgraue Restbruchfläche unterschieden werden <ref Name = "wild21"></ref>. Die Anrissfläche ist dabei interkristallin und breitet sich von den Anrissen ausgehend halbelliptisch aus. Wenn die verbleibende Querschnittsfläche nicht mehr ausreicht, um die Spannungen aufzunehmen, führt dies zu einem transkristallinen Restbruch <ref Name = "nürnberger95"></ref>. In der Regel nimmt die Anrissfläche ca. 10-20% des Bruchquerschnitts ein <ref Name = "nürnberger97"></ref>. In einem Bruchquerschnitt können mehrere Anrisse vorhanden sein <ref Name = "wilhelm14"></ref>.

=Einflussfaktoren=

==Mechanische Belastung==
Für die Schädigung infolge Spannungsrisskorrosion muss eine kritische Spannung überschritten werden. Mit steigender Wasserstoffkonzentration im Gefüge nimmt die kritische Zugspannung, welche zu einer Schädigung führt, ab <ref Name = "moersch05"></ref>. Umgekehrt gilt, dass mit steigender Zugspannung die kritische Wasserstoffkonzentration abnimmt. Das Verhältnis von Zugspannung zur kritischen Wasserstoffkonzentration folgt einer Exponentialfunktion <ref Name = "moersch05"></ref>.

Bei entsprechend hoher Wasserstoffkonzentration können auch sehr kleine Zugspannungen Schädigungen auslösen; teilweise liegen sie sogar unter den zulässigen Spannungen im GZG. In manchen Schadensfällen reichten herstellungsbedingte Eigenspannungen oder Spannungen infolge zu kleiner Spannstahlhaspeln für die Entstehung von Spannstahlbrüchen aus <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Das Versagen der Bewehrung infolge von Spannungsrisskorrosion ist dementsprechend nicht auf hochbeanspruchte Bereiche begrenzt. Allgemein gilt, dass das Gefährdungspotential mit steigender Zugspannung zunimmt <ref Name = "wild21"></ref>.

Auch das Verhältnis der Spannung zur Zugfestigkeit hat einen Einfluss auf die Spannungsrisskorrosionsgefährdung <ref Name = "wild21"></ref>. Dabei sind hochausgenutzte niedrigfeste Stähle weniger gefährdet als niedrigausgenutzte hochfeste Stähle. Die Standzeit von spannungsrisskorrosionsgefährdeten Stählen ist umgekehrt zur dritten Potenz der vorhandenen Spannung <ref Name = "stolte68">Stolte, E. "Über die Spannungsrisskorrosion an Spannstählen", In: Beton- und Stahlbetonbau, Jahrgang 63, Heft 5 (1968), S. 116-118</ref>.

<math>t_{SPRK}=\frac{C}{\sigma^3\cdot f_t^9}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> t_{SPRK} </math> … || Standzeit im Korrosionsversuch
|-
| <math> C </math> … || Konstante für die Werkstoffbeständigkeit im betreffenden Medium
|-
| <math> \sigma </math> … || Zugspannung aus mechanischer Belastung
|-
| <math> f_t </math> … || Zugfestigkeit
|}</li>

==Umgebungsbedingungen==
===Feuchtigkeit===

Feuchtigkeit begünstigt korrosive Vorschädigungen wie z.B. Mulden- oder Lochkorrosion, welche als Ausgangspunkt für die Spannungsrisskorrosion bzw. die Entstehung von atomarem Wasserstoff dienen.

===Promotoren===

Unter Anwesenheit von Promotoren steigt die spannungsrisskorrosionsgefährdung, da eine korrosive Vorschädigung sowie die Wasserstoffaufnahme begünstigt wird <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Relevante Promotoren sind etwa Chloride und Sulfate <ref Name = "wild21"></ref>, diese können durch defekte Hüllrohre, Abdichtungen oder Fahrbahnübergangskonstruktionen eindringen. Außerdem ist das Eindringen von Promotoren auch durch chlorid- oder sulfathaltige Absetzwässer während des Betoniervorgangs möglich <ref Name = "wild21"></ref>. Früher waren Promotoren teilweise auch Ausgangsstoffe des Einpressmörtels, z.B. chloridhaltige Zemente, Chloride, welche zur Verbesserung der Fließfähigkeit dienten, oder Calciumchloride, welche als Erhärtungsbeschleuniger verwendet wurden <ref Name = "wild21"></ref>. Bereits eine geringe Menge an Promotoren ist ausreichend, um die Spannungsrisskorrosionsgefährdung signifikant zu erhöhen <ref Name = "nürnberger95"></ref>.

===pH-Wert===

Mit steigendem pH-Wert nimmt die Spannungsrisskorrosionsgefährdung ab. Nach ordnungsgemäßem Verpressen befindet sich der Spannstahl in einer alkalischen Umgebung, wodurch die Bildung neuer Anrisse ausgeschlossen werden kann. Es besteht die Möglichkeit, dass in Rissen auch nach dem Verpressen weiterhin ein niedriger pH-Wert vorhanden ist, wodurch eine Rissausbreitung nicht auszuschließen ist.

===Verpressmörtel===

Von besonderer Bedeutung für die Spannungsrisskorrosionsgefährdung sind die Materialien, welche direkten Kontakt zu den Spanngliedern haben. Dies ist vor allem der Verpressmörtel. Entscheidend für die Vermeidung von Spannungsrisskorrosion ist, dass keine Fehlstellen bzw. Hohlräume im Verpressmörtel vorhanden sind, da nur durch fehlerfreies Verpressen eine alkalische Umgebung (pH-Wert=12,5-13,9 <ref Name = "holst08">Holst, A. "Korrosionsmonitoring und Bruchortung vorgespannter Zugglieder in Bauwerken", Heft 573, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton (2008)</ref>) sichergestellt werden kann. Auch hier sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Möglichkeit besteht, dass trotz Verpressen keine Repassivierung im Riss stattfindet. Die Verwendung von promotorhaltigen Zementen ist zu vermeiden und unter Berücksichtigung der aktuellen Normung auch nicht mehr zulässig <ref Name = "dinen447">DIN EN 447 "Einpressmörtel für Spannglieder - Allgemeine Anforderungen" (2017)</ref>.

===Menge adsorbierbaren Wasserstoffs===

Für die Rissausbreitung bei der wasserstoffinduzierten Spannungsrisskorrosion ist eine ausreichende Konzentration an atomarem Wasserstoff erforderlich. Dieser wird in der Regel bereits vor dem Verpressen aufgenommen <ref Name = "moersch05"></ref>, z.B. durch eine korrosive Vorschädigung <ref Name = "wilhelm14"></ref>. Bereits eine Vorschädigung infolge von Kondenswasser kann ausreichen, um wasserstoffinduzierten Spannungsrisskorrosion auszulösen. Auch ein Eindringen nach dem Verpressen ist möglich, wenn kein ausreichender Korrosionsschutz gegeben ist, beispielsweise durch eine ungenügende Betondeckung, eine hohe Betonporosität oder Verpressfehler <ref Name = "moersch05"></ref>.

Die für den Rissfortschritt erforderliche Wasserstoffmenge ist abhängig von dem verwendeten Stahl und der Höhe der Belastung. So findet die Rissbildung beispielsweise bei patentiert gezogenen Stählen bei größeren Wasserstoffmengen als bei vergüteten statt <ref Name = "riecke73">Riecke, E. "Über den wasserstoffinduzierten Sprödbruch hochfester Stähle", In: Archiv für das Eisenhüttenwesen, Jahrgang 44, Heft 9 (1983)</ref>.

==Empfindlichkeit des Spannstahls==

===Festigkeit===

Mit steigender Festigkeit nimmt die kritische Wasserstoffkonzentration, welche zu Spannungsrisskorrosion führt, ab <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Aufgrund dessen sind höherfeste Stähle anfälliger für wasserstoffinduzierte Spannungsrisskorrosion als niedrigfestere. Mit zunehmender Festigkeit nimmt bei identischem Herstellungsverfahren die Spannungsrisskorrosionsgefährdung zu. Ab ca. 1200 N/mm² steigt die Spannungsrisskorrosionsgefährdung deutlich, besonders gefährdet sind Stähle mit Festigkeiten >1700 N/mm² <ref Name = "wild21"></ref>.

===Querschnittgeometrie===

Rechteckige und ovale Spannstähle weisen eine höhere Gefährdung auf als runde. Dies liegt einerseits an der größeren Mantelfläche, über welche mehr Wasserstoff aufgenommen werden kann, und andererseits an der höheren Anrissgefahr, welche sich aus dem schlechteren Kerbfall der zumeist gerippten, rechteckigen und ovalen im Vergleich zu den glatten, runden Spannstähle ergibt <ref Name = "wild21"></ref>.

===Chemische Zusammensetzung der Spannstähle===

In der Regel weisen empfindliche Stähle einen hohen Kohlenstoff- und einen niedrigen Chromanteil sowie ein bestimmtes Mangan-Silizium-Verhältnis auf <ref Name = "hampel10"></ref>, allerdings handelt es sich hierbei nicht um eine notwendige Bedingung für eine höhere Empfindlichkeit von Spannstählen <ref Name = "bauer11">Bauer, T. et al. "Zur Schadensverteilung des durch Spannungsrisskorrosion geschädigten vergüteten Spannstahls bei Brückenbauwerken", In: Bautechnik, Jahrgang 88, Heft 3 (2011), S. 151-159</ref>. Die Beobachtung abschnittsweiser unterschiedlicher Spannungsrisskorrosionsgefährdungen innerhalb eines Spannglieds widerspricht einem größeren Einfluss der chemischen Zusammensetzung auf die Spannungsrisskorrosion.

===Gefüge===

Sind die Korn- und Phasengrenzflächen senkrecht zur Zugbeanspruchung ausgerichtet, begünstigt dies die Rissausbreitung infolge Spannungsrisskorrosion; sind sie hingegen in Richtung der Zugbeanspruchung ausgerichtet, ist kein Risswachstum möglich <ref Name = "wild21"></ref>. Hieraus resultiert eine höhere Spannungsrisskorrosionsempfindlichkeit von vergüteten Spannstählen und eine höhere Beständigkeit von kaltgezogenen <ref Name = "wild21"></ref>. Stähle mit grobkörnigem Gefüge sind empfindlicher als feinkörnige. Hinsichtlich des Gefüges nimmt die Empfindlichkeit mit folgenden Gefügeausbildungen zu: austenitisch-perlitisch-ferritisch-bainitisch martensitisch <ref Name = "nürnberger95"></ref>. Eine große Anzahl an Gitterfehlstellen, z. B. Versetzungen, Fremdatome, Leerstellen und Höhlräume begünstigt die Wasserstoffaufnahme und sorgt somit für eine Erhöhung der Spannungsrisskorrosionsgefährdung <ref Name = "moersch05">Moersch, J. "Zur wasserstoffinduzierten Spannungsrisskorrosion von hochfesten Spannstählen - Untersuchungen zur Dauerhaftigkeit von Spannbetonbauteilen", Heft 563, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton (2005)</ref>. Mit steigenden Kohäsionskräften zwischen den Atomen nimmt die Spannungsrisskorrosionsgefährdung ab.

===Oberflächenzustand===

Je mehr Anrisse und Risskeime vorhanden sind, desto wahrscheinlicher ist die Entstehung von Spannungsrisskorrosion <ref Name = "wilhelm14"></ref>, da hierdurch die Wahrscheinlichkeit steigt, dass nicht alle Risse nach dem Verpressen repassiviert werden.

===Herstellungsprozess===

Der Herstellungsprozess beeinflusst maßgeblich die Menge und Art der Gefügeschwachstellen. Durch den Einfluss der Gefügeschwachstellen auf den Prozess der Wasserstoffaufnahme besteht ein direkter Zusammenhang zwischen Herstellungsprozess und Spannungsrisskorrosionsgefährdung. Die Anzahl an Gitterfehlstellen kann ein Indikator für die Empfindlichkeit eines Stahls sein, da mit zunehmender Anzahl die erforderliche Wasserstoffmenge für die wasserstoffinduzierte Spannungsrisskorrosion abnimmt <ref Name = "rehm82">Rehm, G. und Nürnberger, U. "Neue Methoden zur Beurteilung des Spannungsrisskorrosionsverhaltens von Spannstählen", In: Betonwerk + Fertigteil-Technik Heft 5 (1982), S. 287-294</ref>. Allgemein ist feststellbar, dass vergütete Spannstähle gefährdeter sind als warmgewalzte oder kaltgezogene <ref Name = "wild21">Wild, M. R. "Zur Beurteilung des Zustands von Brücken bei Spannstahlausfällen infolge von Spannungsrisskorrosion", Dissertation, Technische Universität München (2021)</ref>.

===Bauweise===

Auch die Bauweise hat einen Einfluss auf die Spannungsrisskorrosionsgefährdung; so bieten z.B. die in der Segementbauweise erforderlichen Fugen eine zusätzliche Angriffsmöglichkeit für Korrosion. Außerdem kann bei Verwendung metallischer Hüllrohre an der Kontaktstelle von Spannstahl und Hüllrohr ein Belüftungselement entstehen <ref Name = "nürnberger97">Nürnberger, U. "Einflüsse von Werkstoff un Verarbeitung auf die Spannungsrisskorrosion von Spannstählen", In: Materials und Corrosion Jahrgang 48 (1997), S. 602-612</ref>. Auch die Spann- und Verankerungstechnik kann die Spannungsrisskorrosionsgefährdung erhöhen.

=Umgang mit von Spannungsrisskorrosion betroffenen Brücken=

Bei Bauwerken, bei deren Errichtung empfindliche Spannstähle gemäß der Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion verwendet wurden, kann ein Versagen infolge von Spannungsrisskorrosion nicht ausgeschlossen werden. Da in der Zeit, in der ein Großteil der Brückenbauwerke in Spannbetonbauweise errichtet wurde, der Einsatz der als gefährdet eingestuften Spannstähle noch zulässig bzw. deren Gefährdung nicht bekannt war, sind auch heute noch einige spannungsrisskorrosionsgefährdete Bauwerke in Betrieb.

Der Eigentümer, dem die Verkehrssicherungspflicht obliegt, ist dafür verantwortlich, dem Nutzer ein ausreichend sicheres Bauteil zur Verfügung zu stellen.

Das grundsätzliche Ziel besteht also darin, innerhalb eines angemessenen Zeitraums die durch durch Spannungsrisskorrosion betroffenen und gefährdeten Brücken zurückzubauen und durch neue schadenfreie Brückenbauwerke zu ersetzen. Wegen der hohen Anzahl an betroffenen Brücken, dem hohen finanziellen und personellen Aufwand und der hohen Auslastung des Verkehrsnetzes in Verbindung mit fehlenden Ausweichstrecken und nicht zuletzt wegen des hohen damit verbundenen Ressourcenverbrauchs ist dies jedoch nicht bei allen Brücken sofort möglich, sodass sie trotz der prinzipiellen Spannungsrisskorrosionsgefährdung weiter genutzt werden müssen. Bei der konkreten Bewertung der einzelnen Brücken muss in vielerlei Richtung differenziert werden, so z. B. im Hinblick auf eine latente Spannungsrisskorrosiongefährdung oder eine nachgewiesene Spannungsrisskorrosionsschädigung.

Eine Möglichkeit der Spannungsrisskorrosion entgegenzuwirken ist nicht bekannt <ref Name = "bolle17">Bolle, G., Mertzsch, O. und Marx, S. "Messtechnische dauerüberwachung zur Absicherung der Restnutzungsdauer eines spannungsrisskorrosionsgefährdeten Brückenbauwerks", In: Beton- und Stahlbetonbau, Jahrgang 112, Heft 2 (2017), S. 75-84</ref>, die Sicherstellung einer ausreichenden Sicherheit für den Nutzer muss dementsprechend auf andere Weise erfolgen. In der Regel wird eine ausreichende Sicherheit durch den Nachweis einer ausreichenden Versagensankündigung sichergestellt.

Der erste Schritt, um eine ausreichende Versagensankündigung zu realisieren ist in der Regel der [[Riss-vor-Bruch-Kriterium (Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion)|Nachweis Riss-vor-Bruch]] gemäß der Handlungsanweisung Spannungsrisskorrosion <ref Name = "HandlungsanweisungSpannungsrisskorrosion"></ref>. Mit diesem Nachweis wird rechnerisch sichergestellt, dass auch unter Beachtung der Schädigung durch Spannungsrisskorrosion rechtzeitig vor dem Versagen die Rissbildung einsetzt.

Gelingt dieser Nachweis nicht, sind andere Maßnahmen erforderlich:
<ul>
<li>
'''Durchführung zusätzlicher Materialuntersuchungen:''' Mögliche Untersuchungen sind beispielsweise die Untersuchung der Spannstähle auf Anzeichen für Spannungsrisskorrosion in Form etwa von Anrissen oder korrosiven Vorschädigungen. Die Aussagefähigkeit dieser Untersuchungen ist allerdings begrenzt, da aus statischen Gründen die Spannglieder nicht auf der gesamten Länge freigelegt und untersucht werden können. Wird nur eine Stichprobe untersucht, kann Spannungsrisskorrosion auch dann nicht vollständig ausgeschlossen werden, wenn keine Anzeichen gefunden wurden, da es sich bei der Spannungsrisskorrosion um ein lokales Phänomen handelt und sich die Bedingungen für Spannungsrisskorrosion innerhalb weniger Dezimeter innerhalb eines Spannglieds ändern können. Eine weitere Möglichkeit ist die Untersuchung der Betoneigenschaften. Durch Feststellung einer geringeren Betonzugfestigkeit sind die Nachweisbedingungen günstiger.
<li>
'''Einschränkung der Verkehrslast:''' Die Einschränkung der Verkehrslast ist, wenn möglich zu vermeiden, da die Auslastung des Verkehrsnetzes zu hoch ist und zu wenige Alternativrouten zur Verfügung stehen.
<li>
'''Ersatzneubau:''' Ein Ersatzneubau ist aus finanziellen Gründen und wegen fehlender Planerkapazität nicht immer sofort möglich. Ein Ersatzneubau ist außerdem zu vermeiden, da er ökologische Nachteile im Vergleich zur Weiternutzung des Bestands mit sich bringt.
<li>
'''Verstärkungsmaßnahmen:''' Bei der Durchführung von [[Verstärkungsmaßnahmen]] ist die Sinnhaftigkeit von selbigen zu hinterfragen. Durch die Verstärkung wird nämlich nur das Ankündigungsverhalten, nicht aber die Tragsicherheit bei Spanngliedschädigungen erhöht <ref Name = "albertin07">Albertin-Hummel, U. und Brandt, B. "Besonderheiten bei der Beurteilung des Ankündigungsverhaltens von Spannbetonbrücken nach dem Riss-vor-Bruch-Kriterium", In: Beton- und Stahlbetonbau, Jahrgang 102, Heft 9 (2007), S. 607-614</ref>. Wenn nach der Verstärkung ein auffälliger Riss auftritt, ist trotz der Verstärkung ein Ersatzneubau erforderlich, sodass die Wirtschaftlichkeit einer Verstärkung von Spannungsrisskorrosionsgefährdeten Brücken fraglich ist <ref Name = "lingemann10"></ref>.
<li>
'''Monitoring:''' Mithilfe eines [[Structural Health Monitoring (SHM)|Monitorings]] können Zustandsänderungen auch ohne die Entstehung von Rissen detektiert werden, sodass auch bei einem nicht erfüllten Nachweis Riss-vor-Bruch eine Versagensankündigung stattfindet. Auch wenn der Nachweis erfüllt ist, kann ein Monitoring sinnvoll sein, da bei Verwendung alternativer Versagensankündigungen Zustandsveränderungen bei einem geringeren Schädigungsgrad erkannt werden können. Mögliche Monitoringverfahren zur Bruchdetektion sind beispielsweise die [[Schallemissionsanalyse]], die [[magnetische Streufeldmessung]], die [[elektromagnetische Resonanzmessung]] und [[Durchstrahlungsverfahren]]. Alle zuvor genannten Verfahren weisen Einschränkungen bei der Bruchdetektion auf. Es ist noch kein Verfahren bekannt, mit dem Brüche in jeder Art von Bauteil zuverlässig erkannt werden können.
</ul>

=Quellen=

<references/>

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|Status = Seite geprüft, inhaltlich OK}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

2025-11-18T15:13:49Z

Gbolle: /* Wirkungsbereich der Bewehrung */

== Allgemeines ==
Risse entstehen im Betonbauteil, wenn die Betonzugfestigkeit durch eine Last- oder Zwangsbeanspruchung oder eine Kombination beider überstiegen wird. Die Breite dieser Risse muss begrenzt werden, um die Gebrauchstauglichkeit und die Dauerhaftigkeit des Bauteils weiterhin zu gewährleisten. Die Anforderungen an die Gebrauchstauglichkeit beinhalten das Erscheinungsbild, die Dichtheit und die Nutzungsfähigkeit eines Bauteils, bei der Dauerhaftigkeit ist insbesondere der Korrosionsschutz der Bewehrung von Bedeutung. Neben der Begrenzung der Rissbreite ist eine ausreichende Betondeckung von weitaus größerer Bedeutung für die Einhaltung der Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und die Gebrauchstauglichkeit.<ref name = "Q1"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref>

== zulässige Rissbreite ==
Die zulässige Rissbreite wmax stellt den Grenzwert dar und ist von der Art der Konstruktion (Stahl- oder Spannbeton) und vom Anwendungsbereich, also von der Expositionsklasse abhängig. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Rissbreite nicht nur für die Nutzung, sondern auch für die Bauphase des Bauwerks gilt und somit die Expositionsklasse entsprechend anzupassen ist. Die Grenzwerte, welche durch die DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q2"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> empfohlen werden, sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. Für horizontale Flächen, die mit Chloriden beansprucht werden, beispielsweise in Parkhäusern, reichen die angegebenen Grenzwerte nicht aus und es sollten höhere Anforderungen definiert werden.
<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4 a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2 b),c)
|style="text-align: center;" |0,2 b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3 d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"| a) Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b) Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c) Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d) Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}

Die entstehenden Risse sind nach der voranstehenden Norm mit einer Mindestbewehrung in ihrer Breite zu begrenzen, sodass die Grenzwerte nicht überschritten werden. Bei folgenden Bauteilen kann die Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung entfallen: <ref name = "Q1"> </ref> 
* Innenbauteile zu denen Feuchtigkeit keinen Zugang hat (Expositionsklasse XC1)
* Bauteile ohne Korrosionsgefahr bei denen breite Risse mit z.B. einer Abdeckung geschützt werden
* biegebeanspruchte Platten mit einer Gesamtdicke von maximal 20cm, die nur unwesentlich durch zentrischen Zug beansprucht sind, bei denen eine Mindestbewehrung nach DIN EN 1992-1-1 angeordnet ist und bei denen keine zusätzlichen Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und das Erscheinungsbild gestellt werden
 

== Vorgang der Rissbildung ==
Die Rissbildung kann in zwei Zustände unterschieden werden, die Erstrissbildung und das abgeschlossene Rissbild. Bei der Erstrissbildung entsteht beim Überschreiten der Betonzugfestigkeit ein Einzelriss, der im Wirkungsbereich der Mindestbewehrung mit hoher Wahrscheinlichkeit die zulässige Rissbreite nicht übersteigt. Durch die Begrenzung der Rissbreite kann die volle Zwangskraft jedoch nicht nur durch diesen einen Riss abgebaut werden. Daher entstehen weitere Risse bis die Zwangskraft vollständig abgebaut ist.
<ref name = "Q1"> </ref>
 
Bei der Rissbildung wird die freiwerdende Zugkraft, die im Beton zum Riss führt, vom Stahlquerschnitt aufgenommen. Von den Rissufern beginnend wird diese Kraft vom Stahl wieder in den Beton eingeleitet. Da die Zwangsschnittgröße durch den Riss teilweise abgebaut wird, übersteigen die Spannungen im Beton zunächst nicht wieder die Betonzugfestigkeit. Erst wenn die Zwangsspannung und damit auch die Zugspannung im Beton weiter ansteigt und die Betonzugfestigkeit überschreitet, entsteht der nächste Riss. Das abgeschlossene Rissbild ist erreicht, wenn die Zwangsbeanspruchung vollständig abgebaut ist und die Zugfestigkeit im Betonquerschnitt nicht mehr überschritten wird.
 
Der Rissabstand ergibt sich aus der Einleitungslänge, also der Länge, über welche die Kraft aus dem Stahl in den Beton eingeleitet wird. Bei einer geringen Beanspruchung entspricht der maximale Rissabstand der doppelten Einleitungslänge. Steigt die Beanspruchung an, verringert sich der Rissabstand auf die Größe der Einleitungslänge.
<ref name = "Q3"> </ref>
 
Außerhalb des Wirkungsbereiches der Bewehrung laufen die entstehenden Einzelrisse zu Sammelrissen zusammen. Da die Breite dieser Sammelrisse größer als der vorgegebene Maximalwert ist, muss die Mindestbewehrung über die gesamte Höhe der Zugzone am Bauteilrand verteilt werden. Bei gegliederten Querschnitten muss die Bewehrung zusätzlich für die Teilquerschnitte einzeln ermittelt werden.
 
Dabei ist sowohl die frühe Rissbildung durch den Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme als auch die späte Rissbildung aus einer Überlagerung aus Last- und Zwangsbeanspruchungen zu berücksichtigen. Auch der Einfluss einer möglichen Überfestigkeit des Betons bei der Rissbildung infolge des [[Zwangsarten#Unterscheidung in früher und späten Zwang | späten Zwangs]] darf nicht vernachlässigt werden. Daher wird bei der Ermittlung der Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ein Mindestwert der Betonzugfestigkeit von fct,eff = 3,0 N/mm2 vorgegeben.
<ref name = "Q1"> </ref>
 
Nach DIN EN 1992-1-1 darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Zwangsspannung σct,d erfolgen, wenn die Zwangsspannung kleiner als die Rissschnittgröße, also die Spannung, die zum Riss führt, ist. Empfehlungen aus dem „Lohmeyer Stahlbetonbau“<ref name = "Q1"> </ref> zur Ermittlung der Zwangsspannung werden auf der Seite „[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchungen]]“ gegeben.

 

== Ermittlung der Mindestbewehrung ==

Die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreiten erfolgt nach der DIN EN 1992-1-1 <ref name = "Q2"></ref>. 
Entsteht ein Riss im Stahlbetonbauteil wird die Zugkraft, welche zum Riss geführt hat, frei und muss vom Stahlquerschnitt aufgenommen werden. Aufgrund der Gleichgewichtsbedingungen, die im Bauteil herrschen, lässt sich daraus folgende Beziehung ableiten.
::<math> F_S \ge F_{ct,eff} </math>
:::{|
|<math> F_S </math> || Zugkraft, die vom Stahlquerschnitt aufgenommen werden kann
|-
|<math> F_{ct,eff} </math> || Zugkraft im Beton zum Zeitpunkt der Rissbildung
|}
::mit
::<math> F_S = \sigma_S \cdot A_s </math>
:::{|
|<math> \sigma_S </math> || Absolutwert der maximal zulässigen Stahlspannung
|-
|<math> A_s </math> || Querschnittsfläche der Bewehrung
|}
::und
::<math> F_{ct,eff} = f_{ct,eff} \cdot A_{ct} </math>
:::{|
|<math> f_{ct,eff} </math> || wirksame Betonzugfestigkeit
|-
|<math> A_{ct} </math> || auf Zug belasteter Betonquerschnitt
|}
::ergibt sich die Beziehung
::<math> \sigma_S \cdot A_s \ge f_{ct,eff} \cdot A_{ct} </math>.
Unter Berücksichtigung der nachfolgend erklärten Beiwerte ergeben sich nach Umstellen der obigen Beziehung folgende Gleichungen für die Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung zwangsbeanspruchter Bauteile.
 
*dünnere Bauteile:
::<math> A_{s,min} = \cfrac{k \cdot k_c \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
:::{|
|<math> A_{s,min} </math> || Mindestquerschnittsfläche der Betonstahlbewehrung innerhalb der Zugzone
|-
|<math> k </math> || Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Betonzugspannungen (z.B. Eigenspannungen) und weiteren risskraftreduzierenden Einflüssen
|-
|<math> k_c </math> || Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Spannungsverteilung innerhalb des Querschnitts vor der Erstrissbildung sowie der Änderung des inneren Hebelarmes
|}
*dickere Bauteile:
::<math> A_{s,min} = \cfrac{A_{c,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} \ge \cfrac{k \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
:::{|
|<math> A_{c,eff} </math> || Wirkungsbereich der Bewehrung
|-
|<math> f_{yk} </math> || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
Da in der Norm keine genaue Abgrenzung zwischen dünnen und dicken Bauteilen vorgenommen wird, müssen die Ergebnisse beider Gleichungen verglichen werden. Maßgebend ist der geringere Wert, da es sich um eine Mindestbewehrung handelt. Mit dem Zusatzkriterium
:: <math> \cfrac{k \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
wird das Fließen der Bewehrung bei der Rissbildung verhindert.
 
Kann durch eine genauere Berechnung nachgewiesen werden, dass weniger Bewehrung nötig ist, sollte diese verringerte Mindestbewehrung eingelegt werden.
 

=== wirksame Zugfestigkeit fct,eff ===
Mit der wirksamen Betonzugfestigkeit wird die Zugfestigkeit im Beton zum Zeitpunkt der Rissbildung berücksichtigt. 
Wird die Zwangsbeanspruchung durch das Abfließen der Hydratationswärme erzeugt, wird also der frühe Zwang in der Berechnung angenommen, darf ein verringerter Wert der Betonzugfestigkeit angenommen werden. In Abhängigkeit von der Zeit, bis zu der die Hydratationswärme aus dem Bauteil abgeflossen ist, darf sie wie folgt abgemindert werden, wenn kein genauerer Nachweis gefordert wird.
* nach 3 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} </math>

* nach 5 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} </math>

*nach 7 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,85 \cdot f_{ctm} </math>
Je dicker das Bauteil ist, desto länger dauert das Abfließen der Hydratationswärme. Vereinfacht kann angenommen werden, dass dieser Vorgang bei einer Querschnittsdicke von h ≤ 30cm ca. 3 Tage und bei einer Querschnittsdicke von h > 80cm ca. 7 Tage dauert. 
Die früher verwendete Abminderung auf die Hälfte der Betonzugfestigkeit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,50 \cdot f_{ctm} </math>
fordert teilweise einen erheblichen Mehraufwand in der Bauausführung, z.B durch die Verwendung von Betonen mit niedriger Wärmeentwicklung und einer aufwendigen Nachbehandlung, der die Wirtschaftlichkeit der Stahleinsparung aufhebt. Neben dem Mehraufwand spielt hierbei auch die regionale Verfügbarkeit der Betonsorten eine Rolle.<ref name = "Q4"> Fingerloos, F.; Hegger, J.: Erläuterungen zur Änderung des deutschen Nationalen Anhangs zu Eurocode 2 (DIN EN 1992-1-1/NA/A1:2015-12). Beton- und Stahlbetonbau 111 (2016), Heft 1, S. 2-8 </ref> 
Wird zur Ermittlung der Mindestbewehrung der späte Zwang maßgebend, muss von der mittleren Betonzugfestigkeit, mindestens aber einer Zugfestigkeit von
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} \ge 3 N/mm^2 </math>
:::{|
|<math> f_{ctm} </math> || Mittelwert der Betonzugfestigkeit
|}
ausgegangen werden.

=== Beiwert k ===

Mit dem Beiwert k werden nichtlinear verteilte Spannungen, zum Beispiel Eigenspannungen, und Einflüsse berücksichtigt, die die Zwangsschnittgröße im Bauteilquerschnitt verringern. Für Zwangsbeanspruchungen, die vom Bauteil selbst hervorgerufen werden, z.B. Eigenspannungen infolge des Abfließens der Hydratationswärme, dürfen folgende Faktoren angenommen werden.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || für Querschnitte mit h ≤ 0,3m
|-
|<math> k = 0,5 </math> || für Querschnitte mit h ≥ 0,8m
|}
Zwischenwerte dürfen interpoliert werden. Für h ist die kleinere Querschnittsabmessung zu wählen. 
Wird die Beanspruchung durch einen Zwang außerhalb des Bauteils hervorgerufen, z.B. durch eine Verformungsbehinderung oder eine Auflagersenkung, und entstehen keine Eigenspannungen im Bauteilquerschnitt, kann der Beiwert mit folgendem Wert angenommen werden.
::<math> k = 1,0 </math>

=== Beiwert kc ===

Der Beiwert kc berücksichtigt den Einfluss der Spannungsverteilung im auf Zug belasteten Betonquerschnitt vor der Rissbildung und der Änderung des Hebelarmes der inneren Kräfte bei der Rissbildung (Übergang von Zustand I in den Zustand II). 
Bei reinem Zug wird
::<math> k_{c} = 1,0 </math>,
da der Bauteilquerschnitt ausschließlich auf Zug beansprucht wird, eine konstante Spannungsverteilung im Querschnitt herrscht und sich der Hebelarm der inneren Kräfte beim Übergang in den Zustand II nicht ändert. 
Bei einer Biegebeanspruchung mit oder ohne Normalkraft ermittelt sich der Beiwert nach folgenden Formeln.
*für Rechteckquerschnitte und Stege von Hohlkasten- oder T-Querschnitten:
::<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math>
:::{|
| <math> \sigma_c </math> || Betonspannungen auf Höhe der Schwerelinie des (Teil-) Querschnittes im Zustand I, ermittelt unter der Einwirkungskombination, die am Querschnitt zur Rissbildung führt
|-
| || Druckspannungen erhalten ein positives Vorzeichen
|-
| || <math> \sigma_c = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h} </math>
|-
| || NEd ist die Normalkraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, die auf den untersuchten Teil des Querschnittes wirkt (Druckkraft positiv)
|-
| || b ist die Querschnittsbreite
|-
| || h ist die Querschnittshöhe
|-
| <math> k_1 </math> || Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkung von Normalkräften auf die Spannungsverteilung
|-
| <math> h^* = h </math> || für h < 1,0m
|-
| <math> h^* = 1,0 </math> || für h ≥ 1,0m
|}
*für Gurte von Hohlkasten- und T-Querschnitten:
::<math> k_c = 0,9 \cdot \cfrac{F_{cr}}{A_{ct}\cdot f_{ct,eff}} \ge 0,5 </math>
:::{|
| <math> F_{cr} </math> || Betrag der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Rissbildung infolge des mit fct,eff berechneten Rissmomentes
|}
Der Beiwert k1 berücksichtigt die Auswirkung der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung.
::{|
|<math> k_1 = 1,5 </math> || NEd ist eine Druckkraft
|-
|<math> k_1 = \cfrac{2 \cdot h^*}{3 \cdot h} </math> || NEd ist eine Zugkraft
|}

=== Ermittlung des Grenzdurchmessers ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> </ref>]]

Weicht die vorhandene Betonzugfestigkeit von der Zugfestigkeit, die für die Tabellen und Formeln der DIN EN 1992-1-1 als Bezugswert gilt, ab, muss der Stabdurchmesser der verwendeten Bewehrung angepasst werden. Hierfür werden die nachfolgenden Formeln verwendet.
*für Biegung
:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>
:::{|
| <math> \varnothing_S^* </math> || Grenzdurchmesser
|-
| <math> \varnothing_S </math> || Durchmesser der Bewehrung
|-
| <math> h-d = d_1 </math> || Abstand der Schwerpunktlage der Bewehrung zum gezogenen Bauteilrand
|-
| <math> h_{cr} </math> || Höhe der Zugzone unmittelbar vor der Rissbildung (siehe dazu auch das nebenstehende Bild)
|-
| <math> f_{ct,0} </math> || Bezugswert der Betonzugfestigkeit
|-
| || fct,0 = 2,9 N/mm2
|}

*für zentrischen Zug
::<math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>

*für eine Lastbeanspruchung
::<math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d) \cdot b \cdot f_{ct,0}}{\sigma_S \cdot A_S} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>
Der jeweils vordere Teil der Bedingung wird für größere Querschnittsdicken maßgebend, der hintere Teil für dünnere Querschnitte. Es ist jeweils immer der kleinere Wert des Grenzdurchmessers für die weitere Berechnung zu wählen. 
Wird mehr als ein Stabdurchmesser bei der Bewehrung verwendet, wird zunächst der äquivalente Stabdurchmesser gebildet.
:: <math> \varnothing_{eq} = \cfrac{n_1 \cdot \varnothing_1^2 + n_2 \cdot \varnothing_2^2}{n_1 \cdot \varnothing_1 + n_2 \cdot \varnothing_2} </math>
Bei Stabbündeln mit weniger als drei Stäben sollte als Eingangsgröße ein Vergleichsdurchmesser ermittelt werden.
:: <math> \varnothing_n =\varnothing \cdot \sqrt{n} </math>

===zulässige Stahlspannung in der Bewehrung ===
Bei der Erstrissbildung muss der Bewehrungsstahl die freiwerdende Zugkraft des Betons aufnehmen, ohne sich plastisch zu verformen, sonst verbreitert sich der Erstriss und es entstehen keine weiteren Risse. Die maximal zulässige Stahlspannung ist vom Grenzdurchmesser abhängig und lässt sich entweder aus der folgenden Tabelle ablesen oder anhand der nachfolgenden Formel ermitteln.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center;" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center;" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center;" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,eff}}{\varnothing_S^*}} </math>
:::{|
| <math> w_k = w_{max} </math> ||zulässige Rissbreite
|-
| <math> E_S </math> || Elastizitätsmodul des Stahls
|-
|<math> \varnothing_S^* </math> || Grenzdurchmesser der Bewehrung
|}
Mit
:: <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
und
:: <math> f_{ct,eff} = 2,9 N/mm^2 </math>
ergibt sich die zulässige Stahlspannung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{3,48 \cdot 10^6 \cdot w_k}{\varnothing_S^*}} </math>.

=== Wirkungsbereich der Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 2.jpeg|300px|thumb|right|Wirkungsbereich der Bewehrung <ref name = "Q2"> </ref>]]
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 3.jpeg|300px|thumb|right|Vergrößerung der Höhe hc,ef des Wirkungsbereiches der Bewehrung bei zunehmender Bauteildicke bei einer Beanspruchung durch zentrischen Zug <ref name = "Q2"> </ref>]]

Bei der Rissbildung muss die Zugkraft aus dem Betonquerschnitt, welche zum Riss führt, von der Bewehrung aufgenommen werden. Nach dem Riss wird die vom Stahlquerschnitt aufgenommene Zugkraft über den Verbund in den Beton eingeleitet. Der Bereich in dem dies geschieht, wird als Einleitungslänge bezeichnet. 
Bei dünneren Bauteilen sind die Betonzugspannungen am Ende der Einleitungslänge nahezu gleichmäßig über den Querschnitt verteilt und es kann ein weiterer Trennriss entstehen. 
Da bei Bauteilen größerer Dicke die Bewehrung zu weit auseinander liegt, verteilt sich die Spannung am Ende der Einleitungslänge nicht gleichmäßig über den Querschnitt. Die Trennrisse haben somit einen größeren Abstand als bei dünneren Bauteilen, jedoch bilden sich im Bereich der Krafteinleitung vom Stahl in den Beton Sekundärrisse aus, die nicht durch den gesamten Querschnitt verlaufen. Diese Sekundärrisse benötigen zur Entstehung eine geringere Kraft als die Trennrisse und bauen gleichzeitig die Zugkraft infolge des Zwangs ab. Berücksichtigt wird der Einfluss der Sekundärrissbildung in dickeren Bauteilen einerseits bei der Ermittlung des Grenzdurchmesser und andererseits bei der Ermittlung des Wirkungsbereiches der Bewehrung.<ref name = "Q3"> </ref> 
Die nebenstehenden Bilder zeigen die Lage des Wirkungsbereiches der Bewehrung in unterschiedlichen Querschnitten und eine Funktion für den Vergrößerungsfaktor zur Ermittlung von hc,ef.

:: <math> A_{c,eff} = b \cdot h_{c,ef} </math>

:::{|
| <math> A_{c,eff} </math> || Wirkungsbereich der Bewehrung
|-
| <math> b </math> || Querschnittsbreite
|-
| || b = 100 cm/m bei Platten und Scheiben
|-
| <math> h_{c,ef} </math> || Wirkungstiefe der Bewehrung
|}

*Biegung <ref name = "Q5"> Albert, A. (Hrsg.): Schneider. Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen. 22.Auflage 2016 </ref>

::{|
| <math> 0 \le \cfrac{h}{d_1} < 10: </math> || <math> h_{c,ef} = 2,5 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> 10 \le \cfrac{h}{d_1} < 60: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,05 \cdot h + 2,0 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} \ge 60: </math> || <math> h_{c,ef} = 5,0 \cdot d_1 </math>
|}

*Zentrischer Zug <ref name = "Q5"> </ref>
::{|
| <math> 0 \le \cfrac{h}{d_1} < 5,0: </math> || <math> h_{c,ef} = 2,5 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> 5,0 \le \cfrac{h}{d_1} < 30: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,10 \cdot h + 2,0 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} \ge 30: </math> || <math> h_{c,ef} = 5,0 \cdot d_1 </math>
|}

:::{|
| <math> h </math> || Querschnittshöhe
|-
| <math> d_1 </math> || Abstand der Schwerelinie der Bewehrung zum gezogenen Bauteilrand
|}

==Abschätzen der erforderlichen Bewehrung==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q1"> </ref> ]]

Zur Abschätzung der erforderlichen Bewehrung können die Diagramme von Meyer & Meyer, welche auf der ehemaligen DIN 1045-1 basieren, herangezogen werden. Auch wenn diese DIN heute in die DIN EN 1992-1-1 (Eurocode 2) einbezogen wurde, dürfen die Diagramme noch verwendet werden. 
Die abgeschätzte Bewehrungsmenge weicht nur geringfügig von der rechnerisch ermittelten Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ab. Größere Abweichungen stellen sich erst bei einer sehr geringen Betondeckung von cv = 2cm oder sehr großen Stabdurchmessern ein. 
Die Diagramme gelten jeweils nur für die angegebenen Bezugswerte. Somit ist eine Umrechnung der abgelesenen Bewehrung zur Anpassung auf die vorhandene Situation nötig.<ref name = "Q1"> </ref>

::<math> a_{s1,erf} = a_{s1,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta _{ct,vorh} \cdot c_{vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta _{ct,Diagr} \cdot c_{Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} </math>

Hierfür muss zusätzlich der Festigkeits-Zeitbeiwert βct wie folgt ermittelt werden.

:: <math> \beta_{ct} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} </math>

:::{|
| <math> \sigma_{ct,d} </math> || Bemessungswert der Betonzugspannungen
|}

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Betonstahlmatten

2025-11-11T13:52:32Z

Gbolle:

[[File:betonstahlmatten1.jpg|right|thumb|350px|Betonstahlmatten]]
Betonstahlmatten sind Drahtgitter aus verschweißten Stäben aus Betonstahl, die als Bewehrung in flächigen Stahlbetonbauteilen, wie zum Beispiel Bodenplatten, Decken oder Wänden eingesetzt werden. 

==Allgemeines==
Betonstahlmatten werden werksmäßig vorgefertigt. Hierbei handelt es sich um eine flächige Bewehrungsform, die üblicherweise für flächige Bauteile verwendet wird. Genau wie beim normalen Betonstabstahl ist die Oberfläche der Betonstahlmatten profiliert beziehungsweise gerippt.<ref name = "Q1">Dieter Rußwurm, Eckhart Fabritius. Bewehren von Stahlbetontragwerken. Institut für Stahlbetonbewehrung e.V., S. 20, 2002</ref> 
Weiterhin haben Betonstahlmatten durch die dünnen Stabdurchmesser, einen relativ geringen Bewehrungsgrad als eine Bewehrung aus Betonstabstahl.

Darüber hinaus weisen Betonstahlmatten '''technische Vorteile''' auf:

* Die angeschweißten Querstäbe wirken wie Widerhaken und erhöhen somit die Verbundwirkung zwischen Beton und Stahl;

* Die Verankerungslängen fallen aufgrund der Querstäbe kürzer aus;

* Ein kleinerer Stabdurchmesser sowie die dadurch resultierende enge Stabanordnung, bieten beispielsweise Vorteile im Bezug auf die Rissbreitenbeschränkung

Es wird zwischen "Lagermatten" sowie "Nichtlagermatten" unterschieden. Die erstgenannte Gruppe definiert sich über einen festgelegten sowie standardisierten Mattenaufbau. Folglich ist es möglich, diesen Mattentyp bestellerunabhängig zu fertigen und diese direkt beim Betonstahlhändler abzurufen.
Dem Gegenüber stehen die Nichtlagermatten, welche bauwerksbezogen sind und deshalb nach den Angaben des Bestellers gefertigt werden.<ref name = "Q2">René Conchon, Markus Aldejohann. Stahlbetonbau in Beispielen Teil 2. Bundesanzeiger Verlag, Köln, S. 1-2, 2016</ref> 

==Aufbau==
Eine Betonstahlmatte besteht aus Drahtscharen, die jeweils rechtwinklig zueinander stehen und durch elektrische Widerstandspunktschweißung scherfest miteinander verbunden sind.<ref name = "Q1" </ 

Unabhängig von der statischen Tragrichtung wird die Mattenlänge ''L'' stets als die längere Abmessung definiert. In der Regel sind diese zwischen ''4,00 m'' bis ''14,00 m'' lang. Die kurze Seite ist zwischen ''1,85 m'' und ''2,80 m'' breit und frei wählbar.<ref name = "Q2" </ 

==weitere Informationen==

Weitere Informationen zum detaillierten Aufbau, zur Bezeichnung und Handhabung von Betonstahlmatten sowie zum aktuellen Lagermatten-Programm usw. finden Sie hier:
 
 
https://www.isb-ev.de/wp-content/uploads/2019/10/ISB-Bewehren_von_Stahlbetontragwerken.pdf
 
 
https://www.isb-ev.de/wp-content/uploads/2018/04/ISB_Lagermattenprogramm_web-1.pdf

=Quellen=
<references />
 

{{Seiteninfo
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Betonstahlmatten

2025-11-11T13:51:44Z

Gbolle:

[[File:betonstahlmatten1.jpg|right|thumb|500px|Betonstahlmatten]]
Betonstahlmatten sind Drahtgitter aus verschweißten Stäben aus Betonstahl, die als Bewehrung in flächigen Stahlbetonbauteilen, wie zum Beispiel Bodenplatten, Decken oder Wänden eingesetzt werden. 

==Allgemeines==
Betonstahlmatten werden werksmäßig vorgefertigt. Hierbei handelt es sich um eine flächige Bewehrungsform, die üblicherweise für flächige Bauteile verwendet wird. Genau wie beim normalen Betonstabstahl ist die Oberfläche der Betonstahlmatten profiliert beziehungsweise gerippt.<ref name = "Q1">Dieter Rußwurm, Eckhart Fabritius. Bewehren von Stahlbetontragwerken. Institut für Stahlbetonbewehrung e.V., S. 20, 2002</ref> 
Weiterhin haben Betonstahlmatten durch die dünnen Stabdurchmesser, einen relativ geringen Bewehrungsgrad als eine Bewehrung aus Betonstabstahl.

Darüber hinaus weisen Betonstahlmatten '''technische Vorteile''' auf:

* Die angeschweißten Querstäbe wirken wie Widerhaken und erhöhen somit die Verbundwirkung zwischen Beton und Stahl;

* Die Verankerungslängen fallen aufgrund der Querstäbe kürzer aus;

* Ein kleinerer Stabdurchmesser sowie die dadurch resultierende enge Stabanordnung, bieten beispielsweise Vorteile im Bezug auf die Rissbreitenbeschränkung

Es wird zwischen "Lagermatten" sowie "Nichtlagermatten" unterschieden. Die erstgenannte Gruppe definiert sich über einen festgelegten sowie standardisierten Mattenaufbau. Folglich ist es möglich, diesen Mattentyp bestellerunabhängig zu fertigen und diese direkt beim Betonstahlhändler abzurufen.
Dem Gegenüber stehen die Nichtlagermatten, welche bauwerksbezogen sind und deshalb nach den Angaben des Bestellers gefertigt werden.<ref name = "Q2">René Conchon, Markus Aldejohann. Stahlbetonbau in Beispielen Teil 2. Bundesanzeiger Verlag, Köln, S. 1-2, 2016</ref> 

==Aufbau==
Eine Betonstahlmatte besteht aus Drahtscharen, die jeweils rechtwinklig zueinander stehen und durch elektrische Widerstandspunktschweißung scherfest miteinander verbunden sind.<ref name = "Q1" </ 

Unabhängig von der statischen Tragrichtung wird die Mattenlänge ''L'' stets als die längere Abmessung definiert. In der Regel sind diese zwischen ''4,00 m'' bis ''14,00 m'' lang. Die kurze Seite ist zwischen ''1,85 m'' und ''2,80 m'' breit und frei wählbar.<ref name = "Q2" </ 

==weitere Informationen==

Weitere Informationen zum detaillierten Aufbau, zur Bezeichnung und Handhabung von Betonstahlmatten sowie zum aktuellen Lagermatten-Programm usw. finden Sie hier:
 
 
https://www.isb-ev.de/wp-content/uploads/2019/10/ISB-Bewehren_von_Stahlbetontragwerken.pdf
 
 
https://www.isb-ev.de/wp-content/uploads/2018/04/ISB_Lagermattenprogramm_web-1.pdf

=Quellen=
<references />
 

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Datei:Betonstahlmatten1.jpg

2025-11-11T13:49:07Z

Gbolle: Bild von Dabinielson auf Pixabay

== Beschreibung ==
Bild von Dabinielson auf Pixabay

Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T16:05:09Z

Gbolle: /* Vorbereitende Berechnung */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h = 35/75 cm
* d = 70 cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4 ⌀ 25 (As,vorh = 19,64 cm²)
* C 20/25
* εcs = 0,4 ‰
* φ (∞,t0) = 2,0

=Festigkeiten=

:<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

Über den effektiven Elastizitätsmodul wird das Kriechen in der Berechnung berücksichtigt.

:<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

:<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2,0}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

:<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

:<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

:<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

:<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

:<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

:<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

:<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

:<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

:<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

:<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

:<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

:<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

:<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
|-
|Spalte 6|| Verteilungsbeiwert || <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
|-
|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
|-
|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
|-
|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
|-
|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
|-
|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = in Bearbeitung|}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T15:52:55Z

Gbolle: /* Vorbereitende Berechnung */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h = 35/75 cm
* d = 70 cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4 ⌀ 25 (As,vorh = 19,64 cm²)
* C 20/25
* εcs = 0,4 ‰
* φ (∞,t0) = 2,0

=Festigkeiten=

:<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

:<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

:<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2,0}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
|-
|Spalte 6|| Verteilungsbeiwert || <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
|-
|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
|-
|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
|-
|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
|-
|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
|-
|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

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Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T15:50:55Z

Gbolle: /* Festigkeiten */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h = 35/75 cm
* d = 70 cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4 ⌀ 25 (As,vorh = 19,64 cm²)
* C 20/25
* εcs = 0,4 ‰
* φ (∞,t0) = 2,0

=Festigkeiten=

:<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
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|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
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|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
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|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
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|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
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|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

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Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T15:50:08Z

Gbolle: /* Aufgabenstellung */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h = 35/75 cm
* d = 70 cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4 ⌀ 25 (As,vorh = 19,64 cm²)
* C 20/25
* εcs = 0,4 ‰
* φ (∞,t0) = 2,0

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
|-
|Spalte 6|| Verteilungsbeiwert || <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
|-
|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
|-
|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
|-
|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
|-
|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
|-
|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = in Bearbeitung|}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T15:49:08Z

Gbolle: /* Aufgabenstellung */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h = 35/75 cm
* d = 70 cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
* C 20/25
* εcs = 0,4 ‰
* φ (∞,t0) = 2

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
|-
|Spalte 6|| Verteilungsbeiwert || <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
|-
|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
|-
|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
|-
|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
|-
|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
|-
|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

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Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)

2025-11-04T15:46:47Z

Gbolle: /* Aufgabenstellung */

Auf dieser Seite wird die Anwendung der numerischen Integration zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile | direkten Verformungsberechnung]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

=Aufgabenstellung=
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

* leff = 6 m
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
* b/h=35cm/75cm
* d=70cm
* B500A
* Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
* C 20/25
* εcs=0,4‰
* φ (∞,t0)=2

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

=Vorbereitende Berechnung=
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''

<math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math>

<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math>

'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''

<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}=\frac{19,64}{35\cdot75}=0,0075</math>

<math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math>

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}=\frac{0,5+20\cdot0,0075\cdot\frac{70}{75}}{1+20\cdot0,0075}=0,56</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-0,56\right)^2+12\cdot20\cdot0,0075\cdot\left(\frac{70}{75}-0,56\right)^2=1,29</math>

<math>I_{I}=k_I\cdot\frac{b\cdot h^3}{12}=1,29\cdot\frac{35\cdot75^3}{12}=1587304cm^4</math>

<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1587304}{37,5}=9312kNcm</math>

'''Ermittlung der Druckzonenhöhe'''

<math> \rho^{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math>

<math> \rho^{II}\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math>

<math>x=\xi^{II}\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho^{II})^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}\right)</math>

<math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math>

<math>x=29,95cm</math>

=Berechnung=

Der Berechnungsablauf entspricht dem Berechnungsablauf des Näherungsverfahrens mit dem Unterschied, dass die Krümmung nicht nur an einem Punkt sondern an mehreren Stellen ermittelt wird. In diesem Beispiel werden 21 Stützstellen verwendet. Es ist zu beachten, das in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Stützstellen zu verwenden ist. Die Eingangswerten und dementsprechend auch die Berechnungen in Bauteilmitte (Stützstelle 11) stimmen mit der [[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)|Ermittlung der Verformungen beim Näherungsverfahren]] überein, weshalb hier auf ein Zahlenbeispiel für die Ermittlung der einzelnen Werte verzichtet wird. Durch die unterschiedliche Ermittlung (händische Berechnung bzw. Berechnung mit Excel) kann es durch unterschiedliche Rundungen zu leichten Abweichungen zwischen den in der Tabelle dargestellten Werten und jenen die im Rahmen des Beispiels zum Näherungsverfahren ermittelt werden kommen.

Für die Verformungsberechnung ist außerdem das virtuelle Moment an den Stützstellen zu ermitteln, welches sich ergibt, wenn an der Stelle, an der die Verformung berechnet werden soll (bei einem Einfeldträger unter Gleichlast i.d.R. die Bauteilmitte), eine virtuelle Kraft F=1 angreift.

Die Ergebnisse in den einzelnen Spalten ergeben wie folgt:

:{|
|-
|Spalte 2<math>\qquad\qquad</math>|| Anzahl der Stützstellen ||frei wählbar, aber immer ungerade Anzahl; i.d.R. sind 9 Stützstellen ausreichend
|-
|Spalte 3|| einwirkendes Moment || in diesem Beispiel Einfeldträger mit Gleichlast => <math>M_{l=x}=A_v\cdot l-\frac{q\cdot l^2}{2}</math>
|-
|Spalte 4|| Krümmung im Zustand I || <math>\kappa_I = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
|-
|Spalte 5|| Krümmung im Zustand II || <math>\kappa_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
|-
|Spalte 6|| Verteilungsbeiwert || <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>
|-
|Spalte 7|| wahrscheinlicher Wert der Krümmung|| <math>\kappa_m=\zeta\cdot\kappa_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{I}</math>
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|Spalte 8|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I|| <math> \kappa_{cs,I}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
|-
|Spalte 9|| Krümmungen infolge Schwinden im Zustand II|| <math> \kappa_{cs,II}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math>
|-
|Spalte 10|| wahrscheinlicher Wert der Krümmungen infolge Schwinden <math>\qquad</math>|| <math>\kappa_{cs,m}=\zeta\cdot\kappa_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\kappa_{cs,I}</math>
|-
|Spalte 11|| k || ergibt sich aus der Simpsonregel
|-
|Spalte 12|| gesamt Krümmung|| <math>\kappa_{m,tot}=\kappa_{m}+\kappa_{cs,m}</math>
|-
|Spalte 13|| virtuelles Moment || Ansatz eine virtuellen Kraft der Größe 1 an der Stelle an der die Verformung ermittelt werden soll (hier Bauteilmitte - maximale Verformung) => <math>\overline{M}_{l=x}=A_v\cdot l</math> (für den Bereich vom linken Auflager bis zur Bauteilmitte)
|}

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_6.jpg|700px|]]

Das Produkt aus Krümmung und virtuellem Moment wird anschließend mit der Simpsonregel numerisch integriert. Für die numerische Integration wurde in der Tabelle das Produkt aus Krümmung, virtuellem Moment und dem Wert k der sich nach der Simpsonregel ergibt gebildet. Die Summe hieraus kann für den Klammerwert in der Simpsonregel eingesetzt werden.

<math>\Sigma\kappa_{tot}\cdot\overline{M}\cdot k=0,13898 </math>

Das Ergebnis der numerischen Integration ist die Verformung.

<math>w=\frac{0,3}{3}\cdot0,13898 </math>

<math>\underline{\underline{w=0,013898m=1,3898cm}} </math>

=Variation der Anzahl der Stützstellen=

Im Folgenden soll der Einfluss der Anzahl der Stützstellen an diesem Beispiel verdeutlicht werden.

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_7.jpg|150px|Einfluss der Anzahl der Stützstellen auf die Verformungsermittlung]]

Aus den in der Tabelle aufgeführten Werten wird ersichtlich, dass bei geringet Stützstellenanzahl die Verformungen noch stark schwanken. Die Differnz der Verformungen bei unterschiedlicher Stützstellenanzahl nimmt mit zunehmender Anzahl der Stützstellen ab. Außerdem ist zu erkennen, dass die Genauigkeit mit steigender Stützstellenanzahl steigt.

=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=

[[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_numerische_Integration_(Bsp.)_5.jpg|400px|thumb|right|Vergleich des numerischen Verfahrens und des Näherungsverfahrens]]

Im folgenden Bild sind die Verformungen nach dem numerischen und dem Näherungsverfahren bei steigender Belastung dargestellt. Es ist zu erkennen, dass auch mit der Näherungslösung bereits eine gute Lösung erhalten wird.

Außerdem ist zu sehen, dass die Unterschiede zwischen beiden Ansätzen vor allem vor der Erreichung des Rissmoments bestehen und danach abnehmen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Näherungsverfahren nur der höchstbelastete Schnitt in Bauteilmitte betrachtet wird, während beim numerischen Verfahren mehrere Schnitte betrachtet werden. Durch die Betrachtung nur eines Schnitts werden die Verformungen in Bereichen im Zustand I überschätzt werden. Dies hat bei niedriger Belastung einen höheren Einfluss, da sich hier mehr Bereiche im Zustand I befinden.

In der Grafik ist auch zu erkennen, dass das Näherungsverfahren immer auf der sicheren Seite liegende Verformungen ergibt.

<references />
 

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Verformungsnachweis - direkte Berechnung

2025-11-04T15:32:43Z

Gbolle: /* Numerische Integration */

Im Rahmen der Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist auch ein [[Verformungsnachweis]] zu führen. Dieser kann [[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile|indirekt über die Biegeschlankheit]] geführt werden oder über eine direkte Verformungsberechnung. Die direkte Verformungsberechnung ist zwar aufwendiger, ergibt im Vergleich zum indirekten Verformungsnachweis aber genauere Ergebnisse.
 

=Allgemeines=

Grundsätzlich bietet sich die direkte Verformungsberechnung immer dann an, wenn eine genauere Kenntnis der sich ergebenden Verformung erforderlich ist. Die direkte Verformungsberechnung kann vor allem unter folgenden Bedingungen sinnvoll sein:
*schlanke bzw. schwingungsanfällige Bauteile
*hoch ausgenutzte Bauteile
*Decken mit hohen Einzellasten bei gleichzeitiger flächiger Verkehrslast
*Bauteile bei denen Verformungen zum Verlust der Funktionsfähigkeit führen können (z.B. Bauteile unter Maschinen, Flachdächer (Entwässerung))
*Bauteile deren Verformungen Schäden an angrenzenden Bauteilen hervorrufen können (z.B. Risse in Wänden auf dem Bauteil, Schäden Glasfassaden bzw. Schaufenstern)

Im Folgenden wird das numerische Verfahren und das Näherungsverfahren näher erläutert, anschließend wird auf die Durchbiegungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen eingegangen. Alle vorgestellten Verfahren sind gemäß EC 2 zulässig für die direkte Verformungsberechnung.

=Materialkennwerte=

Die Genauigkeit der verwendeten Werkstoffmodelle ist der Genauigkeit der Verformungsberechnung anzupassen. Wird ein genaues Berechnungsmodell verwendet aber die Werkstoffeigenschaften nicht realitätsnah genug beschrieben, entsteht ein hoher Aufwand für ein weniger genaues Ergebnis.

Für das Elastizitätsmodul und die Festigkeitswerte von Beton sind Mittelwerte zu verwenden. Im Bereich von sigma_c<0,4 f_ck kann davon ausgegangen werden, dass sich der Beton linear-elastisch verhält. Da im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit i.d.R. davon ausgegangen werden kann, dass diese Grenze nicht überschritten wird, kann ein linear-elastisches Tragverhalten für den Beton angenommen werden.

Für den Stahl darf eine bilinearen Spannungsdehnungslinie angenommen werden.

=Grundlagen=

==Zusammenhang Belastung - Steifigkeit - Krümmung==

Gemäß den allgemeinen Zusammenhängen der Mechanik sind die Krümmung abhängig von der Belastung und der Steifigkeit:
:<math>\kappa = (1/r) = \frac{M}{EI}</math>

Die Durchbiegung ergibt sich durch zweifache Integration der Krümmung:
:<math>w(x) = \int_{}^{} \int_{}^{} \frac{M(x)}{EI(x)}dx</math>

Die Durchbiegung ist dementsprechend abhängig von der Systemlänge, der Belastung und der Steifigkeit.
Unter Annahme eines zum Krümmungsverlauf affinen Momentenverlaufes lässt sich das Doppelintegral der Krümmung unter zur Hilfenahme des Prinzips der virtuellen Kräfte zu folgendem Ausdruck umstellen:
:<math>w(x) = \int_{}^{} \frac{\overline{M}(x) \cdot M(x)}{EI(x)}dx = \int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx </math>

Die virtuelle Kraft für die Bestimmung der virtuellen Momente ist an der Stelle aufzubringen, an der die Verformung berechnet werden soll.

==Steifigkeit==

Die Verformungen von Stahlbetonbauteilen sind maßgeblich von der Steifigkeit abhängig. Diese wird stark vom Stand der Rissbildung abhängig, im Rahmen des Rissbildungsprozesses kommt es zum Abfall der Steifigkeit. Nimmt die Steifigkeit ab, nehmen die Verformungen zu. Die Steifigkeit eines Bauteils im Zustand II (abgeschlossene Rissbildung) ist geringer als im Zustand I (umgerissen). Näheres zum Prozess der Rissbildung kann der Seite zur [[Biegebemessung_(einachsige_Biegung)|Biegebemessung]] entnommen werden.


[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_1.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Vergleich der wirkenden Belastung und des Rissmomentes zur Beurteilung des Zustandwechsels]]

Die Verformungsberechnung von Stahlbetonbauteilen wird dadurch erschwert, dass sich nicht das ganze Bauteil im Zustand I bzw. II befindet, sodass die Steifigkeiten abschnittsweise differieren. Vereinfachend wird in der Durchbiegungsberechnung bei der Ermittlung der Steifigkeiten nur zwischen dem umgerissenen und dem vollständig gerissenen Zustand unterschieden. Die Steifigkeit während des Rissbildungsprozesses wird vernachlässigt <ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref>.

Durch die Vernachlässigung des Rissbildungsprozesses bei der Berechnung kommt es an der Grenze zwischen dem Bereich im Zustand I und dem im Zustand II zu einem sprunghaften Abfall der Steifigkeit; würde er berücksichtigt werden, fände der Abfall der Steifigkeit kontinuirlich statt. Vernachlässigt man den Rissbildungsprozess wird die Steifigkeit unterschätzt, sodass die Vernachlässigung auf der sichern Seite liegende Ergebnisse ergibt.

<math>\alpha=\zeta\cdot\alpha_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\alpha_I</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \alpha </math> … || untersuchter Dehnungsparameter (Dehnung, Krümmung oder Rotation)
|-
| <math> \alpha_I </math> … || untersuchter Dehnungsparameter im Zustand I
|-
| <math> \alpha_{II} </math> … || untersuchter Dehnungsparameter im Zustand II
|-
| <math> \zeta </math> … || Verteilungsbeiwert zur Berücksichtigung der Rissbildung und der [[Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Zugversteifung)| Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen]]
|}</li>

Für ungerissene Querschnitte ist der Verteilungsbeiwert <math>\zeta=0</math>; für gerissene Querschnitte ergibt er sich nach folgender Gleichung:

<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \beta</math> … || Koeffizient zur Berücksichtigung der Belastungsdauer und der Lastwiederholungen (<math> \beta=1,0</math> bei Kurzzeitbelastung; <math> \beta=0,5</math> bei Langzeitbelastung oder vielen Zyklen wiederholender Belastung)
|-
| <math> \sigma_{sr} </math> … || die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts unter einer Einwirkungskombination, die zur Erstrissbildung führt
|-
| <math> \sigma_s </math> … || die Spannung in der Zugbewehrung bei Annahme eines gerissenen Querschnitts (Spannung im Riss)
|}</li>

Eine Zusammenfassung der Querschnittswerte für den Zustand I und Zustand II lässt sich der Literatur entnehmen <ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 270, 271</ref>.

==Krümmung==

Eine Krümmung entsteht bei unterschiedlichen Dehnungen an der Ober- und Unterkante des Bauteils. Im Zustand I ist sie abhängig von der Betondehnung an der Unterkante und der Betonstauchung an der Oberkante, im Zustand II von der Betonstauchung an der Oberkante und der Dehnung der Zugbewehrung. Für die Krümmungen sind im allgemeinen die gleichen Einflussgrößen maßgebend wie für die Verformungen.

Der Krümmungsverlauf ist affin zum Momentenverlauf. Die Beziehungen zwischen Momenten und Krümmungen lassen sich mithilfe der [[Momenten-Krümmungs-Beziehungen]] beschreiben.

=Statisch bestimmte Systeme=

==Näherungsverfahren nach EC2==

Im Näherungsverfahren wird von einer konstanten Steifigkeit über das gesamte Bauteil ausgegangen. Die Krümmungen im Zustand I und II werden am Punkt der maximalen Belastung ermittelt und auf die gesamte Länge übertragen <ref>Goris, Alfons; Bender, Michél: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1, 6. Überarbeitete und erweiterte Auflage. Berlin: Beuth Verlag GmbH; S. 300ff</ref>. Die Berücksichtigung unterschiedlicher Querschnitte über die Bauteillänge ist mit dem Näherungsverfahren nicht möglich.

Die Verformungsberechnung mithilfe des Näherungsverfahrens läuft folgendermaßen ab:

Im ersten Schritt wird die Krümmung im Zustand I an der Stelle des Maximalmoments ermittelt.

<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_I </math> … || Krümmung im Zustand I
|-
| <math> M_{Ed} </math> … || einwirkendes Moment
|-
| <math> E_{c,eff}</math> … || effektives Elastizitätsmodul (Berücksichtigung des Kriechens)
|-
| <math> I_{I}=k_I\cdot\frac{b*h^3}{12}</math> … || Trägheitsmoment im Zustand I
|-
| <math> k_{I}</math> … || Steifigkeitsbeiwert im Zustand I (vgl. Grafik)
|}</li>

<math>k_I=1+12\cdot\left(0,5-\xi^I\right)^2+12\cdot\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\left(\frac{d}{h}-\xi^I\right)^2</math> (gilt nur für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung)

<math>\xi^I=\frac{0,5+\alpha_e\cdot\rho^I\cdot\frac{d}{h}}{1+\alpha_e\cdot\rho^I}</math>

<math>\rho^I=\frac{A_{s1}}{b\cdot h}</math>

<math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> E_{cm}</math> … || mittleres Elastizitätsmodul
|-
| <math> \phi_{\infty,t_0}</math> … || Kriechzahl
|}</li>
 

Der angegebene Steifigkeitsbeiwert im Zustand I kann entweder mit der angegebene Formel oder mit dem weiter unten folgenden Diagramm ermittelt werden. Hierbei kommt es zu geringen Abweichungen zwischen beiden Varianten, da dem Diagramm nach TROST <ref name="trost69">Trost, H. et al.: Zweckmäßige Ermittlung der Durchbiegung von Stahlbetonträgern; Beton- und Stahlbetonbau 64 (1969), Heft 6</ref> eine vereinfachte Gleichung für <math>k_I</math> zugrunde liegt.

Anschließend wird die Krümmung an der Stelle des maximalen Moments für den vollständig gerissenen Querschnitt ermittelt.

<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_{II} </math> … || Krümmung im Zustand II
|-
| <math> \varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s} </math> … || Stahldehnung im Zustand II
|-
| <math> d</math> … || statische Nutzhöhe
|-
| <math> x</math> … || Druckzonenhöhe im Zustand II
|}</li>

<math>x=\xi\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho_l+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho_l)^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho_l}\right)</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}} </math> … || Verhältnis der Elastizitätsmoduli
|-
| <math> \rho_l=\frac{A_s}{b\cdot d} </math> … || Längsbewehrungsgrad
|-
| <math> A_s</math> … || Bewehrungsquerschnittsfläche
|}</li>

<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}</math>

Darauf folgend kann mithilfe des Verteilungsbeiwerts der wahrscheinliche Wert der Krümmung ermittelt werden. Statt über die Spannungen kann der Verteilungsbeiwert auch mithilfe des einwirkenden Moments und des Rissmoments ermittelt werden.

<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>

<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_s}\right)^2=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \sigma_{sr}=\frac{M_{cr}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}\cdot </math> … || Anrissspannung im Zustand II
|-
| <math> M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I} </math> … || Rissbildungsmoment
|-
| <math> f_{ctm} </math> … || Betonzugfestigkeit
|-
| <math> z_I </math> … || Abstand des Schwerpunkts vom Zugrand
|}</li>

Für nähere Erläuterungen zum Verteilungsbeiwert vgl. oben.

Nach diesen Schritten werden die Krümmungen infolge Schwinden im Zustand I und II ermittelt.

[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_9.jpg|300px|thumb|right|Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II nach TROST<ref name="trost69"></ref>]]

<math> \kappa_{cs}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S}{I} </math>

wobei:
:{|
|-
| <math> \kappa_{cs} </math> … || Krümmung infolge Schwinden
|-
| <math> \varepsilon_{cs} </math> … || Schwindmaß
|-
| <math> S_I=A_s\cdot z_{s1} </math> … || Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand I
|-
| <math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right) </math> … || Flächenmoment 1. Grades der Querschnittsfläche der Bewehrung, bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts im Zustand II
|-
| <math> I_I </math> … || Flächenträgheitsmoment im Zustand I
|-
| <math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I </math> … || Flächenträgheitsmoment im Zustand II
|-
| <math> k_{II} </math> … || Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II (vgl. Grafik)
|}</li>

<math>k_{II}=4\cdot(\xi^{II})^3+12\cdot\alpha_e\cdot \rho^{II}\cdot\left(1-\xi^{II}\right)^2</math>

<math>\xi^{II}=-\alpha_e\cdot\rho^{II}+\sqrt{\left(\alpha_e\cdot\rho^{II}\right)^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho^{II}}</math>

<math>\rho^{II}=\frac{A_{s1}}{b\cdot d}</math>

Mit diesen beiden Werten und dem Verteilungsbeiwert kann der wahrscheinliche Wert der Krümmung infolge Schwinden ermittelt werden.

<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>

[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_7.jpg|300px|thumb|right|Beiwert für die Momentenverteilung<ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref>]]

Im letzten Schritt werden die einzelnen Krümmungsanteile addiert und schlussendlich aus der Gesamtkrümmung die Durchbiegung berechnet.

<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>

<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> w </math> … || Durchbiegung
|-
| <math> k </math> … || Beiwert für die Momentenverteilung (vgl. Grafik)
|-
| <math> l </math> … || Systemlänge
|}</li>

[[Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.)| Beispiel für die Verformungsberechnung mithilfe des Näherungsverfahrens]]

==Numerische Integration==

[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_5.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Krümmungsverlauf nach numerischer Integration]]

[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_3.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Beurteilung des Zustandwechsels anhand der Ordinaten xcr,1;2]]

Die numerische Integration stellt eine weitere Möglichkeit zur Berechnung der Verformungen eines Bauteils dar. Im Rahmen dieses Verfahrens werden die Krümmungen über die Bauteillänge integriert, die Krümmungen in den betrachteten Abschnitten werden mitthilfe der [[Momenten-Krümmungs-Beziehungen]] bestimmt. Der größere Rechenaufwand ermöglicht eine genauere Berücksichtigung der unterschiedlichen Beanspruchung über die Bauteillänge.

Die grundlegende Annahme ist auch hier der Zusammenhang aus Krümmung, Belastung und Steifigkeit des Querschnittes:

<math>w(x) = \int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx</math> (Herleitung siehe oben)

Die Integration kann als numerische Integration mithilfe der Newton-Cotes Formeln erfolgen, dies eignet sich besonders gut für eine computerbasierte Umsetzung. Die gebräuchlichsten Verfahren sind die Trapez- und die Simpsonregel.

Simpsonregel:

<math>w(x)=\int_{}^{}(\overline{M}(x) \cdot \kappa) dx = \frac{\Delta x}{3}\cdot\left(y_0+4y_1+2y_2+....+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n\right)</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> y_n=\kappa_n\cdot\overline{M}_n </math>
|-
| <math> \Delta x </math> … || Länge eines Intervalls
|}</li>

Das Bauteil wird in eine beliebige Anzahl an Intervallen unterteilt, bei Verwendung der Simpsonregel muss die Anzahl der Intervalle gerade bzw. die Anzahl der Stützstellen ungerade sein. Je höher die Anzahl der betrachteten Querschnitte gewählt wird, desto genauer lässt sich die Durchbiegung ermitteln. Für eine genaue Näherung an die Durchbiegung reicht bereits eine Unterteilung in 9 Stützstellen bzw. 8 Intervalle aus. Eine Vergrößerung der Einteilung liefert letztlich nur geringe Verbesserungen, die den erheblich größeren Rechenaufwand nicht rechtfertigen.

Für jeden betrachteten Querschnitt werden die virtuellen Momentenschnittgrößen sowie die Krümmung ermittelt. Die virtuellen Momente sind abhängig vom Ort der Verformungsermittlung und dem statischen System, die Krümmungen von der Belastung (vgl. [[Momenten-Krümmungs-Beziehungen]]).

Bei symmetrischen Systemen mit symmetrischer Belastung ist die Betrachtung einer Bauteilhälfte ausreichend.

Eine Differenzierung zwischen den Zuständen I und II lässt sich über folgenden Ausdruck ermitteln<ref>Strohbusch, Jens: Beitrag zur Verformungsberechnung im Stahlbetonbau mit kritischer Bewertung bestehender Regelungen. Universität Siegen, Fachbereich Bauingenieurwesen, Dissertation, 2010; S. 95</ref>:
:<math>x_{cr} = \frac{l}{2} \pm \sqrt{\frac{l^{2}}{4} - 2 \cdot \frac{M_{cr}}{p_{k}}}</math>
:{|
|-
| Mcr || Rissmoment
|-
| pk || Belastung
|}

Der Ansatz liefert zwei Ordinaten: erstere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand I in den Zustand II; zweitere gibt Aufschluss über den Wechsel von Zustand II in den Zustand I.
 

[[Verformungsnachweis - direkte Berechnung - numerische Integration (Bsp.)| Beispiel für die Verformungsberechnung mithilfe der numerischen Integration]]

=Statisch unbestimmte Systeme=

[[Datei:Durchbiegungsermittlung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_6.png|400px|thumb|right|Prinzipdarstellung: Abhängigkeiten der Krümmungsberechnung statisch unbestimmter Systeme]]

Bei statisch unbestimmten Systemen steht die Schnittgrößenverteilung in einem direkten Zusammenhang mit der Steifigkeitsverteilung. Diese wiederum ist maßgeblich abhängig von der Rissbildung und somit von der Größe der Bereiche im Zustand I bzw. II. Aufgrund dieses Zusammenhangs ist nur eine iterative Berechnung der Durchbiegung möglich.

In einem ersten Schritt können für eine frei wählbare Steifigkeitsverteilung die Schnittgrößen ermittelt werden. Anschließend wird für diese Schnittgrößenverteilung die Größe der Bereiche im Zustand I bzw. II festgelegt und die sich hieraus ergebende Steifigkeitsverteilung mit der angenommenen verglichen. Ist die Differenz zwischen angenommener und berechneter Steifigkeitsverteilung zu groß, wird der Vorgang mit der neuen, berechneten Steifigkeitsverteilung wiederholt.

Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis die Differenz ausreichend gering ist. Das akzeptierte Maß dieser Differenz ist frei wählbar, je kleiner sie ist, desto größer ist die Genauigkeit.

Wenn die Iteration beendet ist, kann die Durchbiegung wie bereits besprochen durch numerische Integration Krümmungen über die Bauteillänge oder mit dem Näherungsverfahren berechnet werden.

Wegen des hohen Aufwands und der Fehleranfälligkeit einer händischen Berechnung bietet sich für die direkte Verformungsberechnung statisch unbestimmter Systeme eine computerbasierte Umsetzung an.

=Quellen=
<references />
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Carbonbeton

2025-10-20T15:14:22Z

Gbolle: /* Allgemeines */

Carbonbeton ist ein Komposit bestehend aus Carbon und Beton. Analog zum Stahlbetonbau werden die Druckkräfte vom Beton und die Zugkräfte von der Bewehrung aufgenommen, welche im Fall des Carbonbetons aus Carbongelegen oder -stäben besteht.
 
 

=Allgemeines=

Aktuell werden in Carbonbetonbauteilen am häufigsten getränkte Carbongelege eingesetzt. Ungetränkte Gelege wurden in den meisten Anwendungsbereichen verdrängt, da getränkte Gelege eine weitaus bessere Zugtragfähigkeit und ein besseres Verbundverhalten aufweisen. Außerdem ist die höhere Formstabilität ein Vorteil, z.B. bei der Herstellung eines Bauteils im Gießverfahren. Es gibt aber auch für ungetränkte Gelege noch sinnvolle Anwendungsbereiche, z.B. bei gekrümmten Bauteilen, da viele Tränkungsmittel die freie Formgebung der Bewehrung verhindern. Carbonstäben werden aktuell aufgrund der ungleichmäßigen Ausnutzung der Einzelfilamente über den gesamten Querschnitt und des schlechten Verbundverhaltens überwiegend bei Forschungsprojekten eingesetzt. Ihr Einsatz in der Baupraxis nimmt aber zu.
Diese Seite konzentriert sich vor allem auf Carbonbetonbauteile unter Verwendung getränkter Carbongelege, bei einem Einsatz ungetränkter Gelege bzw. von Stäben sind deren Besonderheiten hinsichtlich des Tragverhaltens zu beachten.
Im Folgenden werden die Begriffe Carbonbeton und Textilbeton synonym verwendet, da es sich bei den Bauteilen unter Verwendung von Carbongelegen um eine Schnittmenge beider Bauweisen handelt.

=Material=

==Carbon==

===Herstellung===
[[File:Ablauf Herstellung.jpg|right|thumb|300px|Ablaufschema der Herstellung von Carbonfasern]]
Carbonfasern (auch als Filamente bezeichnet) werden mittels kontrollierter Pyrolyse aus einem Vorläuferstoff (Precursor) gewonnen. Als Precursor wird aktuell mit einem Marktanteil von 95\% Polyacrylnitril (PAN) verwendet <ref name = "Q1"> Kirsten, M.; Freudenberg, C.; Cherif, C. "Carbonfaser, der Werkstoff des 21. Jahrhunderts". In: Beton- und Stahlbetonbau Spezial (2015), S. 8-15</ref> ; da PAN ein erdölbasierter Stoff ist, ist die Ökobilanz von Carbonfasern eher mäßig. Aktuell wird an der Verwendung von Lignin als Precursor geforscht; Lignin ist ein nachwachsender Rohstoff, welcher als Abfallprodukt der Holz- und Papierindustrie nahezu unbegrenzt zur Verfügung steht und das Potential hat, die Ökobilanz von Carbonfasern signifikant zu verbessern <ref name = "Q1"></ref>. Außerdem steht Pech als Precursor zur Verfügung, mit welchem Carbonfasern mit höherer Zugfestigkeit hergestellt werden können; allerdings ist die Gewinnung von Carbonfasern aus Pech kostenintensiv, weshalb sie nur in besonderen Fällen verwendet wird <ref name = "Q1"></ref>.

Der Herstellungsprozess läuft wie folgt ab: In einem ersten Schritt wird der Precursor bei 250°C-300°C thermisch stabilisiert, hierbei werden die linearen Polymerketten in thermisch stabilere hexagonale Ringstrukturen umgewandelt. Im nächsten Schritt werden die PAN-Ringe bei 700°C dehydriert und anschließend werden bei 1400°C in einer sauerstoffreichen Umgebung Fremdatome abgespalten, sodass eine fremdatomarme Kohlenstoffstruktur entsteht. In einem weiteren Schritt werden die Carbonfasern im plastischen Bereich des Carbons, d.h. bei über 2400°C , verstreckt, dadurch können die mechanischen Eigenschaften der Fasern signifikant verbessert werden <ref name = "Q1"></ref>. Da die Carbonfasern eine energiearme Oberfläche aufweisen, sodass sich nur ein schwacher Verbund mit der Beton- bzw. Tränkungsmatrix einstellt, wird die Carbonfaser in einem letzten Schritt einer Oberflächenbehandlung unterzogen, z.B. durch Auftrag einer Beschichtung (Schlichte) <ref name = "Q2"> Ehrenstein, G. W. "Faserverbundkunststoffe: Werkstoffe-Verarbeitung-Eigenschaften. 2. Auflage. München; Wien: Hanser, 2006</ref>.

[[File:Carbonbeton3.jpg|right|thumb|300px|Aufbau eines getränkten Rovings]]

Für den Einsatz als Bewehrung werden hunderte bis zehntausende Einzelfilamente mit einem Durchmesser von 5-25µm zu Multifilamentgarnen (nachfolgend Rovings) weitervearbeitet, aus welchen im weiteren Prozess durch Kettwirkmaschinen bi- oder multiaxiale Gelege hergestellt werden <ref name = "Q3"> Kulas, C. H. "Zum Tragverhalten getränkter textiler Bewehrungselemente für Betonbauteile". Dissertation. Rheinisch-Westfälische Technische Universität Aachen, 2013</ref>. Bei den Gelegen wird zwischen Kettrovings (Rovings parallel zur Produktionsrichtung) und Schussrovings (Rovings senkrecht zur Produktionsrichtung) unterschieden, welche abhängig von der Herstellungsart unterschiedliche Eigenschaften aufweisen können. Die Kett- und Schussrovings werden durch den Wirkfaden verbunden.

[[File:Carbonbeton4.jpg|right|thumb|200px|ausgewählte Bindungsarten (oben: Fransenbindung; unten: Trikotbindung)]]

Je nach Lage des Wirkfadens wird in Fransen- und Trikotbindung unterschieden <ref name = "Q3"></ref>. Bei der Fransenbindung wird der Wirkfaden um den Kettroving geführt und sorgt an den Knotenpunkten für die Verbindung von Kett- und Schussroving. Durch den Wirkfaden wird der Schussroving weniger komprimiert als der Kettroving, wodurch eine bessere Durchdringung mit der Beton- bzw. Tränkungsmatrix erreicht wird <ref name = "Q3"></ref>; aus diesem Umstand folgen die teilweise divergierenden Eigenschaften in Kett- und Schussrichtung. Der Kettroving weist meist eine annähernd runde Querschnittsform auf, während die des Schussrovings meist elliptisch ist.

Bei der Trikotbindung wird der Wirkfaden parallel zum Kettroving geführt, und nur an den Knotenpunkten mit dem Kett- und Schussfaden verbunden, beide Rovings weisen eine elliptische Querschnittsform auf <ref name = "Q3"></ref>.

Die Fransenbindung ist die favorisierte Bindungsart für getränkte Textilien, da der Wirkfaden bei der Trikotbindung ein störendes Element beim Tränkungsprozess darstellt. Bei ungetränkten Textilien wird meist die Trikotbindung verwendet, da durch die durch den Wirkfaden vergrößerte Oberfläche ein besserer Verbund mit der Betonmatrix eingegangen wird und die wenig komprimierten Querschnitte eine gute Durchdringung mit den relativ groben Teilchen der Betonmatrix zulassen <ref name = "Q3"></ref>.

===Eigenschaften===

Carbon weist folgende Eigenschaften auf:

-geringe Dichte 
-hohe Anisotropie: hohe Zugfestigkeit, hohe Querdruckempfindlichkeit 
-hohe Bruchdehnungen 
-hohes Elastizitätsmodul 
-Korrosionsbeständigkeit 
-keine Duktilität 
-geringe Kriechneigung

Die Festigkeit und das Elastizitätsmodul der Bewehrung sind abhängig von der Temperatur, welche beim Herstellungsprozess der Fasern erreicht werden. Je nach Anwendungsbereich können die Eigenschaften dementsprechend gesteuert werden. Allgemein lässt sich sagen, dass für ein hohes Elastizitätsmodul hohe Temperaturen nötig sind, während die maximale Zugfestigkeit bei ca. 1300°C erreicht wird <ref name = "Q1"></ref>.

Die erreichbare Zugfestigkeit ist außerdem vom Durchmesser der Einzelfilamente abhängig; mit zunehmendem Durchmesser nimmt die Zugfestigkeit ab, da mehr Oberflächenfehler auftreten<ref name = "Q3"></ref>.

Aufgrund der fehlenden Duktilität findet keine Versagensankündigung durch Vergrößerung der Rissbreiten statt; allerdings sind im Carbonbetonbau aufgrund der großen Bruchdehnungen große Verformungen möglich, bevor das Versagen eintritt, sodass sich ein Versagen solchermaßen ankündigt.

Bei der Herstellung und dem Einbau der Bewehrung ist darauf zu achten, dass die Filamente in möglichst gestreckter Form vorliegen und keine bzw. nur eine geringe Welligkeit aufweisen, denn diese führt dazu, dass bei Belastung erst alle Filamente gestreckt werden müssen, wodurch anfänglich die Zugfestigkeit kleiner ist. Außerdem entstehen beim Geradeziehen der Filamente Umlenkkräfte, welche in Verbindung mit den meist geringen Betondeckungen zu Betonabplatzungen führen können. Die herstellungsbedingte Welligkeit hat sich in den vergangenen Jahren durch Fortschritte im Entwicklungsprozess stark verringert <ref name = "Q4"> Lorenz, E. et al. "Effizienzsteigerung von Textilbeton durch Einsatz textiler Bewehrungen nach dem erweiterten Nähwirkverfahren". In: Beton- und Stahlbetonbau. 106. Heft 1 (2011) S. 21-30 </ref>.

In der Druckzone stellen die druckschlaffen Rovings eine Fehlstelle im Beton dar.

Bei der Querschnittsfläche des Rovings ist in Brutto- und Nettoquerschnittsfläche zu unterscheiden, da sich zwischen den Filamenten Luft bzw. Tränkungsmaterial befindet, welches sich nicht am Lastabtrag beteiligt <ref name = "Q3"></ref>. Die Bruttoquerschnittsfläche wird mit der Feinheit Tt ermittelt, da die Addition der Querschnitte der Einzelfilamente nicht praxistauglich ist. Bei der Feinheit handelt es sich um eine Materialkenngröße aus der Textilindustrie, welche mit der Einheit tex angegeben wird. Mit den folgenden Formeln können die Feinheit und die Nettoquerschnittsfläche der Rovings ermittelt werden.

<math>A_\mathrm{n}=A_\mathrm{F}=\frac{T_\mathrm{t}}{\rho}</math>

<math>T_\mathrm{t}=\frac{m}{l}\left[\frac{g}{km}=tex\right]</math>
[[File:Carbonbeton2.jpg|right|thumb|300px|Spannungs-Dehnungs-Linie von Carbon]]
Die Spannungs-Dehnungs-Linie von Carbon ist linear. Mit zunehmender Länge und Anzahl der Filamente nimmt die Bruchspannung und -dehnung, aufgrund der zunehmenden Fehlstellen ab; dieser Effekt wird nur bis zu einer bestimmten Länge und Anzahl beobachtet, bei weiterer Zunahme der beiden Größen findet dann keine Abminderung mehr statt. Daher wird die mittlere Bruchspannung mithilfe von $\alpha_{eff}$ auf 85\% der mittleren Bruchspannung und- dehnung abgemindert <ref name = "Q5">Rempel, S. "Zur Zuverlässigkeit der Bemessung von biegebeanspruchten Betonbauteilen mit textiler Bewehrung". Dissertation. Rheinisch-Westfälische Technische Universität Aachen,2018</ref>.

==Sekundärbeschichtung/ Tränkung==

Durch die Tränkung werden das Verbund- und Zugtragverhalten signifikant verbessert <ref name = "Q3"></ref><ref name = "Q6">Preinstorfer, P. "Zur Spaltrissbildung von textilbewehrtem Beton". Dissertation. Technische Universität Wien,2019</ref>, da eine Homogenisierung der Verbundeigenschaften innerhalb des Rovings stattfindet, durch welche sich alle Filamente gleichmäßig am Lastabtrag beteiligen.
Als Tränkungsmaterialien werden zumeist polymere Kunststoffe verwendet, die Tränkungsmaterialien mit dem größten Marktanteil sind Epoxidharz (EP), Styrol-Butadien-Copolymere (SB) und Acrylate (ACR). 
Da die geringe Temperaturbeständigkeit oft ein Hindernis beim Einsatz textiler Bewehrungen darstellt wird aktuell an Tränkungen basierend auf mineralischen Bindemitteln geforscht; diese beeinflussen nicht nur das Hochtemperaturverhalten, sondern auch das Verbundtragverhalten der Bewehrung positiv<ref name = "Q7">Schneider, K. et al. " Verbundverhalten mineralisch gebundener und polymergebundener Bewehrungsstrukturen aus Carbonfasern bei Temperaturen bis 500°C". In: Beton- und Stahlbetonbau. 113. Heft 12 (2018), S. 886-894</ref>.

===Herstellung===

Das Aufbringen einer Sekundärbeschichtung ist ein zusätzlicher Schritt nach der Herstellung der Rovings. Sie werden hierbei erst durch eine Wanne mit der in flüssiger Form vorliegenden Tränkungsmatrix geführt. Anschließend wird durch Umlenkrollen die Tränkung in den Roving gequetscht und überflüssiges Material entfernt <ref name = "Q3"></ref>. Abhängig vom Tränkungsmaterial findet die Erhärtung der Matrix als Warm- oder Kalterhärtung statt. Die Kalterhärtung erfolgt bei Raumtemperatur, die Warmerhärtung setzt ab ca. 150°C ein. Mit der Warmerhärtung können in der Regel bessere mechanische Eigenschaften erzielt werden. Um Formprofile herstellen zu können, werden Prepregs verwendet, das sind Textilien, welche erst stark verzögert oder unter Temperaturbeanspruchung erhärten<ref name = "Q6"></ref>. Teilweise ist es auch möglich, die ausgehärtete Tränkung durch Wärmezufuhr wieder formbar zu machen. Bei der Herstellung von Formprofilen kann die Zugfestigkeit abnehmen, da durch den zusätzlichen Prozessschritt Fehlstellen entstehen<ref name = "Q6"></ref>.

===Eigenschaften===

Die Tränkungsmaterialien sollten folgende Eigenschaften aufweisen <ref name = "Q6"></ref>:

-hohe Viskosität, um eine gute Durchdringung zu gewährleisten 
-hohe Kohäsionsfestigkeit für eine hohe Verbundfestigkeit 
-dauerhafte und hohe Temperaturbeständigkeit 

Die gewünschte Steifigkeit ist vom Einsatzbereich abhängig. So werden z.B. für die Verwendung für Formprofile steife Tränkungsmaterialien benötigt, da diese formstabiler sind; bei gekrümmten Bauteilen werden meist weichere Tränkungsmaterialien verwendet, da sich diese besser an die Krümmung anpassen.

Die verschiedenen Tränkungsmaterialien unterscheiden sich stark in ihren Eigenschaften, wegen der unterschiedliche Möglichkeiten ihrer Zusammensetzung können nicht einmal allgemeine Aussagen zu einzelnen Tränkungsmaterialien getroffen werden <ref name = "Q3"></ref>.

==Beton==

Aus den unterschiedlichen Eigenschaften von Carbon und Beton folgen auch unterschiedliche Anforderungen an die Betonmatrix<ref name = "Q8">Schneider, K.; Butler, M.; Mechtcherine, V. "Carbon Concrete Composites C³ - Nachhaltige Bindemittel und Betone für die Zukunft". In: Beton- und Stahlbetonbau. 112, Heft 12 (2017), S. 784-794</ref>. Da aufgrund der Korrosionsbeständigkeit des Carbons keine dauerhaftigkeitsrelevante Betondeckung nötig ist, kann sie auf ein Minimum zur Sicherstellung des Verbunds minimiert werden. Außerdem kann aus demselben Grund der Portlandzementklinkeranteil des Betons verringert werden, was sich positiv auf die Ökobilanz auswirkt; durch einen hinsichtlich des Klinkeranteils optimierten Beton können bis zu 40% der CO2-Emissionen bei der Zementherstellung vermieden werden. Wegen der geringen Abstände der Bewehrungslagen, den geringen Gitteröffnungsweiten der Gelege und der meist filigranen Struktur der Carbonbetonbauteile ist der Größtkorndurchmesser zu begrenzen. Außerdem ist eine hohe Fließfähigkeit anzustreben, um eine gute Verarbeitbarkeit zu gewährleisten.

In der Regel werden selbstverdichtende hochfeste Feinbetone verwendet, welche außerdem eine hohe Packungsdichte aufweisen. Feinbetone bezeichnen Betone, welche aufgrund eines Größtkorndurchmesser von weniger als 4mm laut Norm eigentlich den Mörteln zugeordnet werden müssten, aufgrund ihrer Verwendung als Konstruktionsbeton und ihren den Hochleistungsbetonen gleichenden Eigenschaften aber eher den Betonen zugehörig sind <ref name = "Q9">Lorenz, E.; Schütze, E.; Weiland, S. "Textilbeton - Eigenschaften des Verbundwerkstoffs". In: Beton- und Stahlbetonbau Spezial (2015), S.29-41</ref>. In einigen Forschungsprojekten wurden für die Verwendung als Carbonbeton optimierte Betonzusammensetzungen entwickelt <ref name = "Q8"></ref>.

Carbonbetonbauteile können im Gieß-, Laminier- und Spritzverfahren hergestellt werden.

[[File:Carbonbeton5.jpg|right|thumb|300px|Spannungs-Dehnungs-Linie von Beton]]

Die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons kann wie aus dem Stahlbetonbau bekannt mit dem Parabel-Rechteck-Diagramm beschrieben werden. Auch die Verwendung eines linearen bzw. rechteckförmigen Verlaufs ist ohne Genauigkeitsverluste möglich, durch diese geometrisch einfacheren Verläufe ist eine geschlossene Lösung des Widerstandsmoments möglich<ref name = "Q5"></ref>.

=Langzeitverhalten=

==Dauerhaftigkeit==

Die Carbonfasern verhalten sich inert gegenüber anderen Medien. Bei den verwendeten Tränkungen sind allerdings teilweise Expositionen bekannt, welche zu einer Dauerhaftigkeitsminderung führen, z.B. UV-Strahlung bei einer Epoxidharztränkung<ref name = "Q10"> Curbach, M. et al. "Verstärken mit Carbonbeton". In: BetonKalender. Nachhaltigkeit, Digitalisierung, Instandhaltung (2022), S. 761-804</ref>.
Mit einer Lebensdauer von 200 Jahren sind Carbonbetonbauteile deutlich dauerhafter als Stahlbetonbauteile<ref name = "Q11">Seifert, W.; Lieboldt, M. "Ressourcenverbrauch im globalen Stahlbetonbau und Potentiale der Carbonbetonbauweise. Globale Herausforderungen des Bauwesens". In: Beton- und Stahlbetonbau. 115, Heft 6 (2020), S. 469-478</ref>.

==Dauerstandverhalten==

Bei Beanspruchung durch eine Dauerlast ist keine Abminderung der Festigkeit im Vergleich zur Kurzzeitfestigkeit zu beobachten<ref name = "Q10"></ref>.

==Ermüdungsverhalten==

Bei einer zyklischen Belastung werden mit einer abnehmenden Oberlast mehr Schwingspiele erreicht, selbes gilt bei einer zunehmenden Unterlast bzw. einer abnehmenden Amplitude. Mit steiferen Tränkungen kann eine größere Schwingspielzahl erreicht werden<ref name = "Q12">Wagner, J. "Zum Tragverhalten von Carbonbeton unter Ermüdungsbeanspruchungen ". Dissertation. Technische Universität Dresden, 2021</ref>.

Ein Versagen tritt erst bei einer Oberspannung von 80\% der Bruchspannung auf, ein Einfluss der zyklischen Belastung auf die Resttragfähigkeit ist nicht erkennbar<ref name = "Q12"></ref>.

==Brand-/Hochtemperaturverhalten==

Die Verschlechterung der mechanischen Eigenschaften der Carbonbewehrung ist maßgeblich von der Glasübergangstemperatur TG der Tränkung abhängig; die Glasübergangstemperatur beschreibt die Temperatur, bei welcher die Konsistenz der Tränkung von fest zu gummiartig bzw. zähflüssig wechselt. Es wird empfohlen getränkte Carbongelege nur in Temperaturbereichen unter der Glasübergangstemperatur der Tränkung zu verwenden<ref name = "Q13">Holz, K. "Carbonbeton unter Hochtemperaturbeanspruchung". Dissertation. Technische Universität Dresden, 2021</ref>.

Unter Hochtemperaturbeanspruchung müssen die Zugfestigkeit und die Verbundfestigkeit getrennt voneinander betrachtet werden aufgrund der unterschiedlich starken Ausprägung des Einflusses der Tränkung.

Die erste wesentliche Abnahme der Zugfestigkeit findet bei Überschreitung der Glasübergangstemperatur statt, die Festigkeit entspricht an diesem Punkt ungefähr derjenigen eines ungetränkten Geleges. Anschließend ist die Zugfestigkeit bis zu einer Temperatur von 600°C konstant, ab dieser Temperatur beginnt die Zersetzung der Carbonfasern. Ab 700-800°C ist keine Aufnahme von Kräften mehr möglich<ref name = "Q13"></ref>.

Die Verbundfestigkeit nimmt deutlich schneller ab, da sie maßgeblich von der Tränkung abhängig ist. Aufgrund der Steifigkeitsabnahme der Tränkung beträgt die Verbundfestigkeit schon vor Überschreitung der Glasübergangstemperatur nur noch 50\% derjenigen bei Raumtemperatur. Ab einer Temperatur von ca. 300°C ist keine Übertragung von Verbundkräften mehr möglich<ref name = "Q13"></ref>.

=Verbund=

Bei Carbonbetonbauteilen muss neben dem Verbund zwischen Beton und Roving auch der Verbund der Fasern im Inneren der Rovings betrachtet werden<ref name = "Q3"></ref>.
Wenn keine Tränkung vorhanden ist, dann findet aufgrund der Partikelgröße der Betonmatrix nur ein direkter Verbund mit den äußern Filamenten statt; die inneren Filamente werden nur durch Reibung am Lastabtrag beteiligt und in der Folge wird die Zugfestigkeit erheblich gesenkt. Die Tränkung sorgt für eine Homogenisierung der Verbundeigenschaften über den Rovingquerschnitt, sodass eine bessere Ausnutzung der teuren Carbonfasern stattfindet<ref name = "Q3"></ref>.

Auch der äußere Verbund ist abhängig von der Tränkung. Bei einer ausreichend steifen Tränkung (z.B. Epoxidaharztränkung) wird neben Haft- und Reibverbund auch Formverbund aktiviert; bei ungetränkten Textilien und solchen mit einer weichen Tränkung werden nur Haft- und Reibverbund aktiviert<ref name = "Q14">Lorenz, E. "Endverankerung und Übergreifung textiler Bewehrungen in Betonmatrices". Dissertation. Technische Universität Dresden, 2014</ref>.

==Einflüsse auf den Verbund==

Das Verbundverhalten wird maßgeblich durch die Oberfläche und die Zugfestigkeit der Rovings beeinflusst; je größer die Oberfläche, desto mehr Verbundkräfte können übertragen werden und je höher die Zugfestigkeit, desto mehr Verbundkräfte müssen übertragen werden.

Durch den Wirkfaden werden die Rovings an den Knotenpunkten mehr komprimiert als die Zwischenräume; dadurch entsteht eine Aufweitung in Breitenrichtung, deren Wirkung bei einer ausreichend steifen Tränkung mit der einer Rippe eines Bewehrungsstahls vergleichbar ist. Diese periodische Aufweitung kann beim Abquetschprozess bei der Herstellung der Tränkung noch verstärkt werden und führt dazu, dass Formverbund aktiviert werden kann, was das Verbundverhalten signifikant verbessert<ref name = "Q6"></ref>. Dies ist auch durch den Wirkfaden bei einer steifen Tränkung möglich, dessen Einfluss ist allerdings deutlich geringer als der der Aufweitung<ref name = "Q14"></ref>.

Durch die glatte Oberfläche der getränkten Rovings findet eine Abminderung der über Reibung übertragbaren Verbundkräfte statt.

Bei getränkten Rovings ist keine Abhängigkeit des Verbunds von der Betonzusammensetzung und -güte zu erkennen, da die Zwischenräume zwischen den Fasern bereits mit der Tränkungsmatrix ausgefüllt sind. Auch der Reibverbund wird nicht vom Beton beeinflusst aufgrund dessen geringen Größtkorndurchmessers<ref name = "Q14"></ref>.

Durch Querdruck wird aufgrund der Querdruckempfindlichkeit des Carbons kein positiver Einfluss auf den Verbund festgestellt, Querzug führt wegen der Längsrissbildung zu einer Verschlechterung des Verbundverhaltens<ref name = "Q14"></ref>.

==Verbundspannungs-Schlupf-Beziehungen==

[[File:Carbonbeton6.jpg|right|thumb|300px|trilineare Verbundspannungs-Schlupf-Beziehungen]]

Die Verbundspannungs-Schlupf-Beziehungen (VSB) lassen sich in drei Bereiche einteilen<ref name = "Q15">Naaman, A. et al. "Fiber Pullout and Bond Slip II: Experimental Validation". In: ASCE Journal of Structural Engineering. 117. Heft 9 (1991), S. 2791-2800</ref><ref name = "Q16">Abrishami, H. H.; Mitchell, D. "Analysis of bond stress distributions in pullout specimens". In: ASCE Journal of Structural Engineering. 122. Heft 3 (1996), S. 255-261 </ref>, dabei muss zwischen Textilien mit weicher Tränkung und solchen mit steifer Tränkung unterschieden werden<ref name = "Q14"></ref>.

Mit einer weichen Tränkung z. B. einer solchen mit Styrol-Butadien können nur der Haft- und der Reibverbund aktiviert werden. Im ersten Bereich der VSB steigen die Verbundspannungen linear, der Verbund erfolgt in diesem Bereich über Haftung, die Kräfte werden über Adhäsion übertragen. Wenn die Adhäsionskräfte überschritten werden, löst sich das Textil sukzessive vom Beton, in den betreffenden Bereichen, werden die Kräfte nur noch über Reibung übertragen. In den VSB ist dieser Vorgang durch einen linear fallenden Bereich darstellbar. Im dritten Bereich hat sich das Textil vollkommen vom Beton gelöst, die gesamten Verbundkräfte müssen über Reibung übertragen werden. Der Verlauf der VSB ist horizontal.

Bei Textilien mit einer steifen Tränkung z. B. einer Epoxidharztränkung kann neben dem Haft- und Reibverbund auch der Formverbund aktiviert werden. Die VSB haben den gleichen Verlauf wie bei einer weichen Tränkung, allerdings spielt der Haftverbund keine Rolle mehr aufgrund der deutlich größeren Kräfte, welche über den Formverbund übertragen werden können. Im ersten linear ansteigenden Bereich wird der Formverbund aktiviert, bis die Betonkonsole oder die Rippe versagen; im Textilbetonbau ist meist das Versagen der Rippe maßgebend. Anschließend nehmen die VSB linear ab, bis der Formverbund an allen Stellen versagt hat und Verbundkräfte im dritten horizontalen Bereich nur noch über Reibung übertragen werden können.

=Sicherheitskonzept=

Für den Carbonbetonbau wird das aus dem Stahlbetonbau bekannte Teilsicherheitskonzept verwendet. Die Teilsicherheitsbeiwerte auf der Einwirkungsseite und die für Beton werden aus dem Eurocode 2 übernommen.

Der Teilsicherheitsbeiwert für Carbon wurde auf 1,3 festgelegt<ref name = "Q5"></ref>, der Dauerstandsfaktor ist 1,0.

<math>f_\mathrm{td}=\frac{f_\mathrm{tk}}{\gamma_\mathrm{t}}\cdot\alpha_\mathrm{t}</math>

wobei: 
<table>
<tr>
<td>ftk<td>charakteristische Zugfestigkeit des Textils<td>
<tr>
<td><math>\gamma_\mathrm{t}</math>=1,3 &emsp;<td>Teilsicherheitsbeiwert für Carbon<td>
<tr>
<td><math>\alpha_\mathrm{t}</math>=1,0<td>Dauerstandsfaktor<td>
<tr>
<table>
 
Bei geringen statischen Nutzhöhen von weniger als 60mm, welche im Carbonbetonbau häufig auftreten, ist eine rechnerische Abminderung der statischen Nutzhöhe nötig, um das gewünschte Sicherheitsniveau zu erreichen<ref name = "Q5"></ref>. 
<table>
<tr>
<td><math>d_\mathrm{eff}=\frac{d-4}{0,95}</math>&emsp;&emsp;<td>für d<60mm<td>
<tr>
<td><math>d_{eff}=d</math>&emsp;&emsp;<td>für d>60mm<td>
<tr>
<table> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>deff&emsp;<td>effektive statische Nutzhöhe<td>
<tr>
<td>d<td>statische Nutzhöhe<td>
<tr>
<table>

=Zug=
==Zugtragverhalten==

[[File:Carbonbeton7.jpg|right|thumb|300px|Spannungs-Dehnungs-Linie von Carbonbeton]]

Die Spannungs-Dehnungs-Linie von Carbonbeton lässt sich ähnlich wie die von Stahlbeton in unterschiedliche Zustände einteilen, anders als diese endet sie aber bereits nach Zustand IIb mit einem spröden Bruch<ref name = "Q17">Aveston, J.; Cooper, G.A.; Kelly, A. "Single and multiple fracture" In: The properties of fibre composites. Hrsg. von National Physical Laboratory. 1971. S. 15-26</ref><ref name = "Q18">Ohno, S.; Hannant, D. J. "Modeling the Stress-Strain Response of Continuous Fiber Reinforced Cement Composites". In: ACI Materials Journal. 91. Heft 3 (1994), S. 306-312</ref>.

Im Zustand I (0 bis Punkt A) wurde die Zugfestigkeit des Betons noch nicht überschritten, der Verbundwerkstoff ist dementsprechend ungerissen. Zustand I endet am Punkt A mit der Überschreitung der Zugfestigkeit des Betons und somit der Entstehung des ersten Risses. In diesem Abschnitt entspricht das Elastizitätsmodul des Komposits dem des Betons.

Im Zustand IIa (Punkt A bis Punkt B) setzt sich die Rissbildung fort, der Abstand der Risse wird immer kleiner, bis am Punkt B die Rissbildug abgeschlossen ist, da die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird. Durch die Rissbildung kommt es im Zustand IIa zu einem Steifigkeitsabfall des Verbundwerkstoffs.

Im letzten Bereich der Spannungs-Dehnungs-Linie ist die Rissbildung abgeschlossen, die Spannungszunahmen und die damit einhergehende Dehnungszunahmen des Textils führen allerdings zu einer Aufweitung der Risse. Das Elastizitätsmodul des Komposits entspricht dem des Bewehrungsmaterials, die Spannungs-Dehnungslinie des Verbundwerkstoffs ist wegen der Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen zu der des Carbons parallel verschoben. Aufgrund der durch die Dehnung in Längsrichtung bedingten Querkontraktion kommt es zu einer Ablösung des Textils vom Beton<ref name = "Q3"></ref>. Dieser Vorgang führt im Zustand IIb dazu, dass eine Annäherung der Spannungs-Dehnungslinie des Komposits an die des Carbons stattfinden kann.

Zustand IIb endet am Punkt C mit der Überschreitung der Zugfestigkeit des Carbons ohne Vorankündigung mit einem spröden Bruch, da Carbon nicht plastiziert.

==Einflüsse auf die Zugtragfähigkeit==

Die erreichbare Zugtragfähigkeit ist maßgeblich von der Kombination aus Faser und Tränkung abhängig<ref name = "Q3"></ref>. Mit zunehmender Länge der Rovings treten mehr Fehlstellen auf, was zu einer Abnahme der Zugfestigkeit führt; bei getränkten Rovings ist dieser Effekt allerdings weniger ausgeprägt, da eine Überbrückung der Fehlstellen durch die Tränkung möglich ist<ref name = "Q3"></ref>.

Unter schiefwinkliger Beanspruchung ist eine Abminderung der Zugtragfähigkeit feststellbar, da Querpressungen an den Risskanten zu Filamentschädigungen und einer Konzentration der Spannungen in den äußeren Filamenten führen<ref name = "Q3"></ref>.

==Ingenieurmodell==

Die Zugtragfähigkeit von Carbonbeton kann mit folgender Gleichung berechnet werden<ref name = "Q3"></ref>.

<math> F_\mathrm{t}=A_\mathrm{t,k}\cdot f_\mathrm{t,K}\cdot k_\mathrm{v}\cdot\left(1-\frac{\alpha}{90^\circ}\right)^{2}+A_\mathrm{t,S}\cdot f_\mathrm{t,S}\cdot k_\mathrm{v}\cdot\left(\frac{\alpha}{90^\circ}\right)^{2}</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td><math>A_{t,K}=a_{t,K}\cdot b</math>&emsp;<td>Querschnittsfläche der Kettrovings<td>
<tr>
<td><math>A_{t,S}=a_{t,S}\cdot b</math>&emsp;<td>Querschnittsfläche der Schussrovings<td>
<tr>
<td>at,K bzw. at,S&emsp;<td>Querschnittsfläche der Rovings pro Meter in Kett- bzw. Schussrichtung<td>
<tr>
<td>b&emsp;<td>Bauteilbreite<td>
<tr>
<td>ft,K bzw. ft,S&emsp;<td>Rovingbruchspannung in Kett- bzw. Schussrichtung<td>
<tr>
<td>kv&emsp;<td>Faktor zur Berücksichtigung der Querkontraktion der Rovings<td>
<tr>
<td><td>kv=0,84&emsp;(Zug)<td>
<tr>
<td><td>kv=1,0&emsp; (Biegung)<td>
<tr>
<td><math>\alpha</math><td>Winkel zwischen Kraft- und Kettrichtung<td>
<tr>
<table>

=Biegung=
==Biegetragverhalten==

Bei biegebeanspruchten Bauteilen gelten die selben Zusammenhänge wie bei zugbeanspruchten<ref name = "Q3"></ref>.

==Ingenieurmodell==

[[File:Carbonbeton8.jpg|right|thumb|450px|Prinzipskizze zur Herleitung der iterativen Lösung]]

Die folgenden Annahmen bzw. Bedingungen liegen der Berechnung zugrunde: 

-der Querschnitt bleibt auch im verformten Zustand eben, die Dehnungen sind linear über den Querschnitt verteilt (Hypothese von Bernoulli) 
-es gelten die zuvor vorgestellten Materialgesetze für den Beton und die Carbonbewehrung 
-die Zugfestigkeit des Betons wird nicht angesetzt, die gesamten Zugkräfte müssen von der Bewehrung aufgenommen werden 
-das aufnehmbare Moment wird im Rissquerschnitt, d.h. im Zustand IIb ermittelt 

Der erste Schritt für die iterative Ermittlung der Textilzugkraft und der Betondruckkraft ist die Schätzung der Dehnungen <math>\varepsilon_c</math> und <math>\varepsilon_t</math>. Im Folgenden werden die Textilzugkraft und die Betondruckkraft ermittelt.

<math>F_\mathrm{t}=\sigma_\mathrm{t}\cdot A_\mathrm{t}</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>At&emsp;<td>Querschnittsfläche der Rovings<td>
<tr>
<td><math>\sigma=\varepsilon\cdot E_\mathrm{t}</math>&emsp;<td>Textilspannung<td>
<tr>
<td><math>\varepsilon_\mathrm{t}</math>&emsp;<td>Dehnung des Textils<td>
<tr>
<td>Et&emsp;<td>Elastizitätsmodul des Textils<td>
<tr>
<table>
 
<math>F_c=\alpha_r\cdot b\cdot x\cdot f_c</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td><math>\alpha_r</math>&emsp;<td>Völligkeitsgrad<td>
<tr>
<td>b&emsp;<td>Bauteilbreite<td>
<tr>
<td>x&emsp;<td>Höhe der Betondruckzone<td>
<tr>
<td>fc&emsp;<td>Druckfestigkeit des Betons<td>
<tr>
<table> 
<math>\alpha_r=\left(\begin{matrix}
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c}-\frac{1-\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}}{n+1}&0\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2} \\
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c\cdot(n+1)}&\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2u}\\
\end{matrix}\right)</math>
 
Mit den Kenntnissen der Dehnung können außerdem auch die Höhe der Druckzone und der innere Hebelarm bestimmt werden.
 
<math>x=\frac{\varepsilon_c\cdot d}{\varepsilon_t+\varepsilon_c}</math> 
<math>z=d-a</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>d&emsp;<td>statische Nutzhöhe<td>
<tr>
<td><math>a=\kappa_a\cdot x</math>&emsp;<td>Abstand der inneren Druckkraft<td>
<tr>
<td>x&emsp;<td>Höhe der Betondruckzone<td>
<tr>
<td><math>\kappa_a</math>&emsp;<td>Höhenbeiwert<td>
<tr>
<table> 
<math>\kappa_a=\left(\begin{matrix}
1-\frac{1}{\alpha_R}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_c^2}\cdot\left(\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}-1}{n+1}\right)-\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+2}-1}{n+2}\right)\\
0\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
1-\frac{1}{\alpha_r}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+1)}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+2)}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \\
\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2u}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
\end{matrix}\right)</math> 

Wenn die Bewehrungsmenge bekannt ist und das aufnehmbare Moment gesucht wird, wird die Iteration solange wiederholt, bis sich die inneren Kräfte im Gleichgewicht befinden. 

<math>F_t=F_c</math> 

Das aufnehmbare Moment lässt sich nach Abschluss der Iteration mit folgender Gleichung ermitteln: 
<math>M_{r}=\Sigma( F_{t,i}\cdot z_i)=F_c\cdot z</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>Ft,i&emsp;<td>aufnehmbare Zugkraft der Rovings<td>
<tr>
<td>Fc&emsp;<td>aufnehmbare Druckkraft der Betondruckzone<td>
<tr>
<td>z&emsp;<td>Hebelarm der inneren Kräfte<td>
<tr>
<table> 
Wenn hingegen die Bewehrungsmenge für eine einwirkende Last gesucht ist, ist die Gleichgewichtsbedingung, die erfüllt werden muss, dass einwirkendes und aufnehmbares Moment gleich sind. 
<math>M_R=M_E</math> 
Die erforderliche Bewehrungsmenge lässt sich mit folgender Gleichung berechnen. 
<math>A_t=\frac{F_t}{f_t}</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>Ft&emsp;<td>iterativ ermittelte Textilzugkraft<td>
<tr>
<td>ft&emsp;<td>Textilzugfestigkeit<td>
<tr>
<table>

=Querkraft=
==ohne Querkraftbewehrung==
===Tragverhalten===

[[File:Carbonbeton9.jpg|right|thumb|400px|Gewölbe- bzw. Sprengtragwirkung bei Biegebalken ohne Querkraftbewehrung]]

Das Querkrafttragverhalten von Carbonbetonbauteilen lässt sich wie im Stahlbetonbau durch die Ausbildung einer Sprengtragwirkung bzw. Gewölbewirkung beschreiben<ref name = "Q19">Molter, M. "Zum Tragverhalten von Filamentgarnen in zementgebundener Matrix". Dissertation. Technische Universität Dresden, 2004</ref>, dabei bildet der Beton den Druckbogen und die Bewehrung das Zugband. Die Querkrafttragfähigkeit setzt sich für Carbonbetonbauteile aus folgenden Anteilen zusammen: 

-Lastabtrag über die ungerissene Druckzone 
-Dübelwirkung der Längsbewehrung 

Die Rissreibung bzw. Rissverzahnung spielt aufgrund des geringen Größtkorndurchmessers und der großen Rissbreiten keine Rolle<ref name = "Q20">Voss, S. "Ingenieurmodelle zum Tragverhalten von textilbewehrtem Beton". Dissertation. Rheinisch-Westfälische Technische Universität Aachen, 2008</ref>.

Der Hauptanteil der Querkräfte wird von der ungerissenen Druckzone aufgenommen, deren Tragfähigkeit wird durch die Betondruckzonenhöhe und die Druckfestigkeit des Betons beeinflusst. Die Dübelwirkung spielt nur eine untergeordnete Rolle, bei Balken ist deren Einfluss sogar so gering, das sie vernachlässigt werden kann<ref name = "Q20"></ref>.

Ein weiterer Einfluss auf die Querkrafttragfähigkeit ist die Schubschlankheit; mit ihrer Zunahme wird die Aktivierung der Sprengtragwirkung begünstigt, außerdem kann ein Teil der auflagernahen Einzellasten über den Druckbogen direkt in das Auflager geführt werden<ref name = "Q20"></ref>.

===Ingenieurmodell===

Die Querkrafttragfähigkeit von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung kann mit folgender Gleichung ermittelt werden<ref name = "Q3"></ref>: 
<math>V_{Rm,c}=C_{Rm,c}\cdot\beta\cdot\eta_1\cdot k\cdot\left(\rho_l^\delta\cdot\sigma_t\cdot f_{cm}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot b_{s,eff}\cdot d</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>CRm,c=0,29&emsp;<td>Platten mit h≤60mm<td>
<tr>
<td>CRm,c=0,01&emsp;<td>Balken mit I-Querschnitt<td>
<tr>
<td><math>\beta</math>&emsp;<td>Beiwert zur Berücksichtigung auflagernaher Einzellasten<td>
<tr>
<td><td><math>\beta=\left(\frac{7}{a/d}\right)^{1,5}</math>≥1,0&emsp; rechteckiger Bauteilquerschnitt<td>
<tr>
<td><td><math>\beta=\frac{3}{a/d}</math>≥1,0&emsp; profilierter Bauteilquerschnitt<td>
<tr>
<td><math>\eta_1</math><td>Korrekturfaktor für Leichtbeton nach DIN EN 1992-1-1<td>
<tr>
<td><math>k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}</math>≤2,0&emsp;<td>Maßstabsfaktor (mit d in mm)<td>
<tr>
<td><math>\rho_l=\frac{A_t}{A_c}</math><td>geometrischer Längsbewehrungsgrad<td>
<tr>
<td><math>\delta</math><td>Beiwert zur Berücksichtigung der Dübelwirkung<td>
<tr>
<td><td><math>\delta=2,0</math>&emsp;Platten<td>
<tr>
<td><td><math>\delta=1,0</math>&emsp;Balken<td>
<tr>
<td><math>\sigma=\frac{M_{max}}{z\cdot A_t}</math><td>Textilspannung<td>
<tr>
<td>fcm<td>Mittelwert der Betondruckfestigkeit<td>
<tr>
<td><math>b_{w,eff}=b_w-n\cdot d_t+0,3\cdot\Sigma h_{f,i}</math>&emsp;<td>effektive Stegbreite<ref name = "Q19"></ref><td>
<tr>
<td>d<td>statische Nutzhöhe<td>
<tr>
<table>

==mit Querkraftbewehrung==
===Tragverhalten===

[[File:Carbonbeton10.jpg|right|thumb|300px|Fachwerkmodell zur Beschreibung des Tragverhaltens mit Querkraftbewehrung]]

Für die Beschreibung des Querkrafttragverhaltens mit Querkraftbewehrung lässt sich das Fachwerkmodell heranziehen<ref name = "Q19"></ref>. Die Tragfähigkeit setzt sich dabei aus dem Anteil des Druckgurts, welcher der Tragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung entspricht, und dem Anteil der Zug- bzw. Druckstrebe zusammen, wobei das Minimum der Zug- und Druckstrebe maßgebend ist. Durch die Anordnung der Querkraftbewehrung wird außerdem das Verformungsvermögen gesteigert, was für eine frühzeitige Ankündigung des Versagens vorteilhaft ist<ref name = "Q19"></ref>.

Die Tragfähigkeit der Zugstrebe hängt maßgeblich davon ab, ob die Querkraftbewehrung verankert wird z. B. durch ein Formprofil. Auch bei verankerter Bewehrung wird oft nicht die volle Bruchspannung des Carbons erreicht, da Querzugspannungen im Verankerungsbereich und Querdruckspannungen an der Krümmung des Formprofils zu einem schollenartigen Aufbrechen des Untergurts und zur Bildung von Längsrissen entlang der Krümmung des Formprofils führen, diese haben wiederum ein vorzeitiges Versagen zur Folge. Mit zunehmendem steifigkeitsbezogenem Querkraftbewehrungsgrad konnte ein leichter Anstieg der Ausnutzung der Zugfestigkeit der Querkraftbewehrung festgestellt werden<ref name = "Q3"></ref>.

Die Tragfähigkeit der Druckstrebe ist maßgeblich von der Betondruckfestigkeit und der Stegbreite abhängig. Die Betondruckfestigkeit ist aufgrund von Querzugspannungen und unregelmäßigen Rissverläufen geringer als unter einaxialer Druckbeanspruchung; diese Abminderung wird durch die druckweichen Rovings, die meist vorhandenen Querrovings und die häufig geringen Rissabstände noch vergrößert<ref name = "Q20"></ref>.

===Ingenieurmodell===

Die Querkrafttragfähigkeit von Balken mit Querkraftbewehrung kann mit folgender Gleichung ermittelt werden<ref name = "Q3"></ref>: 

<math>
V_{Rm,f}=min\left\{\begin{matrix}
a_{t,w}\cdot f_{t}\cdot k_\alpha\cdot k_w\cdot z\cdot\cot\beta_r\\
\alpha_c\cdot f_{cm}\cdot b_{w,red}\cdot\frac{z}{\cot\beta_r+\tan\beta_r}\\
\end{matrix}\right.
</math> 
wobei: 
<table>
<tr>
<td>at,w<td>Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung<td>
<tr>
<td>ft<td>Zugfestigkeit der Querkraftbewehrung<td>
<tr>
<td><math>k_\alpha=\left(1-\frac{\alpha}{90}\right)^2</math><td>Abminderungsfaktor infolge schiefwinkliger Beanspruchung mit <math>\alpha=90-\beta_r</math><td>
<tr>
<td><math>k_w=1,81\cdot\omega_v+0,29</math>≤1,0<td>Beiwert zur Begrenzung der Zugfestigkeit der Querkraftbewehrung<td>
<tr>
<td><math>\omega_v=\frac{A_{t,v}\cdot E_t}{A_c\cdot E_c}</math><td>steifigkeitsbezogener Querkraftbewehrungsgrad<td>
<tr>
<td><math>\cot\beta_r=1,0-0,55\cdot\frac{\sigma_x}{f_{ctm}}</math>≤<math>\leq\left\{\begin{matrix}2,15\\a/d\\ \end{matrix}\right.</math>&emsp;<td>Kotangens des Schubrisswinkels<td>
<tr>
<td><math>\sigma=\frac{N}{A}</math><td>Längsspannung<td>
<tr>
<td><math>\alpha_c=0,297</math><td>Abminderungsbeiwert<td>
<tr>
<td><math>b_{w,eff}=b_w-n\cdot d_t+0,3\cdot\Sigma h_{f,i}</math>&emsp;<td>effektive Stegbreite<ref name = "Q19"></ref><td>
<tr>
<table> 
Die Querkrafttragfähigkeit setzt sich aus dem Betontraganteil und dem Fachwerktraganteil zusammen; der Betontraganteil entspricht der Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung<ref name = "Q3"></ref>. 
<math>V_{Rm}=V_{Rm,c}+V_{Rm,f}</math>

=Konstruktionsprinzipien=

Um die statischen und ökologischen Vorteile von Carbonbeton zu nutzen, ist es nicht sinnvoll, die Konstruktionsformen des Stahlbetonbaus eins zu eins zu übernehmen.

Ein großer Vorteil des Carbonbetons im Vergleich zum Stahlbeton ist der, dass keine dauerhaftigkeitsrelevante Betondeckung angeordnet werden muss, sodass deutlich filigranere Strukturen realisiert werden können<ref name = "Q8"></ref>.

[[File:Carbonbeton11.jpg|right|thumb|400px|Vergleich der Zugzonen von Plattenbalken und Trogform]]

Aufgrund der Nutzung von Carbongelegen, welche häufig eine geringe Bewehrungsquerschnittsfläche aufweisen, ist es in der Regel sinnvoll, wenn eine flächige Anordnung der Bewehrung möglich ist<ref name = "Q21">Helbig, T.; et al. "Fuß- und Radwegbrücke aus Carbonbeton in Albstadt-Ebingen. Die weltweit erste ausschließlich carbonfaserbewehrte Betonbrücke". In: Beton- und Stahlbetonbau. 115. Heft 3(2018), S. 218-230</ref>. Um dies zu gewährleisten, sollte die Zugzone eine möglichst große Breite aufweisen, dies ist z.B. bei einer Trogform der Fall. Aufgrund der Möglichkeit der flächigen Anordnung der Bewehrung bietet sich Carbon vor allem als Bewehrungsmaterial für Platten und gekrümmte Bauteile an. Für letztere ist außerdem die leichtere Formbarkeit im Vergleich zum Stahlbeton ein großer Vorteil hinsichtlich des Arbeitsaufwands.

Eine gute Optimierung von Carbonbetonkonstruktionen lässt sich erreichen, wenn nicht jedes Bauteil einzeln betrachtet wird, sondern Bauwerke bzw. Tragstrukturen als Gesamtes<ref name = "Q22">Beckmann, B. et al. "Standortübergreifende Forschung zu Carbonbetonstrukturen im SFB/TRR 280". In: Bautechnik. 98. Heft 3 (2021), S. 232-242.</ref>.

=Anwendungsbereich=

Der Einsatz von Carbonbeton lohnt sich vor allem dort, wo Beton nur zum Schutz der Bewehrung und nicht aus statischen Gründen angeordnet werden muss, wie es z.B. bei Außenbauteilen wie Fassadenplatten<ref name = "Q23">von der Heid, A. C.; Grebe, R. "Perforierte und vollflächige Fassadenplatten aus carbonbewehrtem Beton". In: Bauingenieur. 95. (2020), S. 210-219.</ref> und Brücken<ref name = "Q22"></ref> der Fall ist. Aufgrund der größeren Bewehrungsquerschnitte, die mit Stahl möglich sind, und der damit einhergehenden größeren Tragfähigkeit kann sich Carbonbeton im Innenbereich nur selten gegen Stahlbeton durchsetzen. Neben der Verwendung für Haupttragkonstruktionen kann der dauerhafte Carbonbeton auch als Nebentragkonstruktion zum Schutz für eine weniger dauerhafte Haupttragkonstruktion z.B. aus Holz verwendet werden<ref name = "Q24">Bielak, J.; Will, N.; Hegger, J. "Zwei Praxisbeispiele zur Querkrafttragfähigkeit von Brückenplatten aus Textilbeton". In: Bautechnik. 95. Heft 7 (2020), S. 499-507.</ref>.

Außerdem werden durch den Carbonbeton neue gestalterische Möglichkeiten geschaffen durch seine Filigranität und gute Anpassbarkeit an geschwungene Formen.

Aufgrund des hohen Aufwands und der Anforderungen an die Genauigkeit bei der Herstellung der meist filigranen Carbonbetonbauteilen werden diese häufig als Fertigteile produziert.

=Quellen=

<references/>

{{Seiteninfo
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|Status = in Bearbeitung|}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Verankerungslänge

2025-10-20T14:36:48Z

Gbolle: /* Verankerung am Kragarmende */

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|right]]
Die Verankerungslänge bezeichnet den Abschnitt am Ende eines Bewehrungsstabes, in dem die am Beginn der Verankerungslänge wirkende Zug- oder Druckkraft vollständig über Verbund in den Beton eingeleitet wird. Ziel der Bemessung der Verankerungslänge ist, dass keine Überschreitung der Trägfähigkeit der Betonkonsole und der Zugfestigkeit des Betons in Querrichtung stattfindet.

= Allgemeines=

Endet ein Stab sind die Zugkräfte am Stabende im beton zu verankern. Die Verankerung kann über Verbund oder mechanische Verbindungsmittel z.B. Ankerplatten erfolgen. Die Verankerung über Verbund ist die einfachste und wirtschaftlichste Methode, Verankerungen mit mechanischen Verbindungsmitteln sind nur in Sonderfällen sinnvoll und sollen nicht Thema dieser Seite sein. Die Sicherstellung einer ausreichenden Verankerungslänge gehört zu den notwendigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in den Arbeitsabschnitt "konstruktive Durchbildung der Bewehrung" ein.

== Verbund zwischen Beton und Stahl ==

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Haft-, Reib- und Formverbund, den größten Anteil an der Kraftübertragung hat hierbei der Formverbund. Da bei der Berechnung auch nur der Formverbund berücksichtigt wird, wird auf den Haft- und Reibverbund im folgenden nicht näher eingegangen.

Bei dem genormten Betonstahl wird der Formverbund durch eine Oberflächenprofilierung in Form von Ripppen sichergestellt. Haupteinflussfaktoren auf den Formverbund sind die Form und Neigung der Rippen, die Rippenhöhe und der Rippenabstand. Bei geringen Relativverschiebungen zwischen Bewehrung und Beton stützen sich die Rippen auf dem Beton ab, eine Art Betonkonsole entsteht.

Aufgrund der Anordnung und Form der Rippen findet die Kraftübertragung in Form von ringförmigen schrägen Betondruckstreben statt. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich außerdem Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugspannungen aufgenommen werden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Eine zu geringe Betondeckung oder ein zu geringer Stababstand können Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben und damit die Verbundwirkung beeinträchtigen.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>. Die Tragfähigkeit der Verankerung ist maßgeblich davon abhängig ob die Rissbildung infolge Querzugspannungen im Verankerungsbereich verhindert wird oder nicht <ref Name = "Q2">Zilch,K., Zehetmaier,G., Bemessung im konstruktiven Betonbau, 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>.

Wegen der Querzugspannungen ist im Verankerungsbereich grundsätzlich Querbewehrung anzuordnen. Die in der Norm geforderte Querbewehrung ist in der Regel allerdings bereits durch die Mindestquerbewehrung bei Platten oder die Mindestquerkraftbewehrung bei Balken vorhanden,

== Verbundfestigkeit ==

Die Größe der aufnehmbaren Verbundspannung wird als Verbundfestigkeit bezeichnet. Sie ist abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit des Bewehrungsstabs und der Betonzugfestigkeit. Die Berechnung der Verbundfestigkeit kann mit folgender Gleichung erfolgen, die Gleichung ist nur für Betonstahl nach DIN EN 10080 <ref Name = "Q1">DIN EN 10080, Stahl für die Bewehrung von Beton - Schweißgeeigneter Betonstahl - Allgemeines, Beuth-Verlag, 2005</ref> anwendbar, eine Anwendung für Stäbe mit anderen Eigenschaften z.B. glatte Bewehrungsstäbe ist nicht zulässig.

:<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

wobei:

:{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Teilsicherheitsbeiwert für die Betonfestigkeit
|}

 
[[Datei:Verankerungslänge 11.jpg‎|300px|thumb|Festlegun der Bereiche mit guten und mäßigen Verbundbedingungen nach <ref Name = "Q5"></ref>|right]]

Mit dem Beiwert <math>\eta_1</math> wird die Lage der Bewehrung im Bauteil berücksichtigt. Abhängig von der Lage wird zwischen guten und mäßigen Verbundbedingungen unterschieden. Mäßige Verbundbedigungen entstehen, wenn während des Verdichtens Luft und Wasser im Beton nach oben transportiert werden und sich unter oben liegenden Stäben ansammeln. Nach der Aushärtung des Betons bilden sich hier Poren oder Ablösungen, so dass der Verbund zwischen Beton und Stahl in diesem Bereich beeinträchtigt ist.

Als Stäbe mit guten Verbundbedigungen gelten Stäbe, welche sich während des Betonierens im unteren Bereich (vgl. Grafik) des Bauteils befinden sowie Stäbe mit einer Neigung >45° bezogen auf die Betonierrichtung. Nähere Informationen zu den Verbundbedingungen können der Grafik entnommen werden. Die Werte für <math>\eta_1</math> werden im EC2 <ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref> folgendermaßen definiert:

:{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

Der Beiwert <math>\eta_2</math> berücksichtigt sehr große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von Øs = 32 mm nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen aufgrund der erhöhten Spaltrissgefahr ab. Der Beiwert wird berechnet mit

:{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für Øs ≤ 32 mm
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \varnothing_s)/100</math> || für Øs > 32 mm
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Am einfachsten ist es daher, Tabellen zu benutzen, aus denen die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> bzw. die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar sind.<ref Name = "Schneider">Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>. Da der Beton mit zunehmender Festigkeit spröder wird, wird die Betonzugfestigkeit für die Ermittlung der Verbundfestigkeit auf den Wert für C60/75 begrenzt.

 

==Einflussfaktoren auf die Verankerungslänge==
Im folgenden wird auf Faktoren eingegangen, welche die Verankerungslänge beeinflussen:
 
<li>'''Stabdurchmesser:'''
Mit abnehmendem Stabdurchmesser nimmt die Mantelfläche des Stabs im Verhältnis zur Querschnittsfläche zu. Hierdurch steht eine größere Fläche für die gleiche zu übertragende Zugkraft zur Verfügung, was sich positiv auf die Verankerungslänge auswirkt. Aus Sicht der Verankerungslänge ist es daher sinnvoll mehrere dünnere Stäbe zu verwenden als wenige große.
</ul>
 
<li>'''Stahlspannung:'''
Der Einfluss der Stahlspannung ist ähnlich zu dem des Stabdurchmessers. Mit abnehmender Stahlspannung müssen bei gleicher zur Verfügung stehenden Mantelfläche weniger Zugkräfte in den Beton übertragen werden. Steuern lässt sich die Stahlspannung bei vorgegebener Belastung durch die gewählte Bewehrungsquerschnittsfläche. Mit zunehmender Bewehrungsquerschnittsfläche nimmt die Stahlspannung ab. Eine Vergrößerung der Bewehrungsquerschnittsfläche muss für die Verringerung der Stahlspannung nicht auf der gesamten Stablänge vergrößert werden, sie kann auch nur im Bereich der Verankerungslänge durch die Anordnung einer Zulagebewehrung vergrößert werden.
</ul>
 
<li>'''Betonfestigkeitsklasse:'''
Die Betonfestigkeitsklasse hat über die von ihr abhängige Betonzugfestigkeit Einfluss auf die Verankerungslänge, außerdem steigt durch die steigende Druckfestigkeit auch die Tragfähigkeit der Betonkonsole. Mit zunehmender Zugfestigkeit nimmt die erforderliche Verankerungslänge ab.
</ul>
 
<li>'''Querdruck:'''
Querdruck hat einen positiven Einfluss auf die Verankerungslänge, da hierdurch der Verbund zwischen Beton und Bewehrung erhöht wird. Außerdem können unter Querdruck größere Querzugspannungen durch den Beton aufgenommen werden. Querdruck ist üblicherweise im Auflagerbereich vorhanden.
</ul>
 
<li>'''Querzug:'''
Querzug hat den gegenteiligen Effekt wie Querdruck. Die Verankerungslänge erhöht sich, da sich der Verbund zwischen Bewehrung und Beton verschlechtert und weniger Querzugspannugen infolge der Verankerung aufgenommen werden können.
</ul>
 
<li>'''Lage des Stabs im Bauteil:'''
Auf den Einfluss der Lage des Stabs im Bauteil wurde bereits früher auf dieser Seite genauer eingegangen. In Bereichen mit mäßigen Verbundbedingungen sind kleinere Verankerungslängen erforderlich als in Bereichen mit mäßigen.
</ul>
 
== Kleine Herleitung der Verankerungslänge ==

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der [[Zugkraftdeckung]] die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]

Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt (plastisch deformiert), wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> In der Berechnung wird dieses komplexe Umlagerungsverhalten nicht berücksichtigt und die Verbundspannung wird als über die Verankerungslänge und den Stabumfang konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die zu verankernde Zugkraft <math>F_{sd}</math> kleinergleich der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> multipliziert mit der Mantelfläche des Stabes <math>l_b \cdot u</math> sein muss, also:

:<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabes wird berechnet mit

:<math>u = \pi \cdot \varnothing_s</math>

Die Gleichung für <math>F_{sd}</math> umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

:<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \varnothing_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche <math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \varnothing_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

:<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \varnothing_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \cdot \varnothing_s \cdot f_{bd}} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>
Diese Gleichung wird auch als Grundwert der Verankerungslänge bezeichnet. Wenn im Verankerungsbereich nicht die volle Stahlspannung ausgenutzt wird, darf die Verankerungslänge proportional zum Verhältnis von vorhandener zu erforderlicher Bewehrung reduziert werden. Diese Abminderung wird i.d.R. im Rahmen der Spannungsermittlung berücksichtigt:

:<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ==

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> wird aus dem Grundwert der Verankerungslänge abgeleitet und misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

=== Ersatzverankerungslänge ===
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden; diese misst die Länge vom Ende der Biegeform bis zum Beginn der Verankerungslänge. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist der Regelfall bei der Ermittlung der Verankerungslänge.

 

=== Beiwerte der Verankerungslänge ===

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Die Verankerungslänge kann durch abgebogene Stabenden z.B. Haken, Winkelhaken oder Schlaufen verkürzt werden, da Teile der Zugkraft durch Umlenk-bzw. Kontaktpressung aufgenommen werden <ref Name = "Q2"></ref>. Voraussetzung hierfür ist, dass die entstehenden Spaltzugkräfte infolge der Umlenkung durch den Beton aufgenommen werden können. Ist dies nicht der Fall kann die positive Wirkung von abgebognen Stabenden dennoch angesetzt werden, wenn eine enge Verbügelung im Bereich der Abbiegung angeordnet wird.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Die Verankerung von Druckstäben mit abgebogenem Stabende ist grundsätzlich unzulässig, da die entstehenden Kräfte zu einer Absprengung der Betondeckung führen können. Auch Stäbe mit einem Durchmesser >32mm dürfen nur mit geradem Stabende verankert werden.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Grund hierfür ist, dass eine größere Betondeckung zwar die Entstehung von Spaltrissen verhindert, die Sicherheit gegen Herausziehen der Bewehrung aber nicht erhöht. Würde die Verankerungslänge mit diesem Beiwert reduziert, würde der Versagensfall Herausziehen nicht ausreichend berücksichtigt bzw. unterschätzt. Die Berücksichtigung dieses Bwiwerts liegt somit auf der unsicheren Seite.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Die Anwesenheit angeschweißter Querstäbe hat aus dem gleichen Grund wie die Stabform einen positiven Effekt auf die Verankerungslänge, da Teile der Zugkraft durch Umlenk-bzw. Kontaktpressung aufgenommen werden<ref Name = "Q2"></ref>. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.
 
<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

=== Mindestverankerungslänge ===

Die Mindestverankerungslänge soll sicherstellen, dass trotz Verlegeungenauigkeiten eine ausreichende Verankerungslänge vorhanden ist. Außerdem soll das Maß, um das die Verankerungslänge durch Zulagbewehrung reduziert werden kann, begrenzt werden.

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

= Nachweis-Situationen der Verankerungslänge =

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

== Verankerung am Endauflager ==

Zunächst muss die Randzugkraft, d.h. die Zugkraft am Endauflager bestimmt werden:
::<math>F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}</math>
:::{|
| VEd... || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| al... || [[Versatzmaß]] aus Zugkraftdeckung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
|}
Anschließend kann die erforderliche Bewehrungsmenge und daraus die Stahlspannung ermittelt werden.
::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}</math>
:::{|
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
Mithilfe der zuvor bestimmten Stahlspannung lässt sich die Verankerungslänge über die dafür allgemeingültigen Formeln bestimmen.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

== Verankerung am Zwischenauflager ==

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt i.d.R im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgebend. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

Da es sich hier meistens um Druckstäbe handelt sind abgebogenen Stabenden nicht zulässig.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

== Verankerung außerhalb von Auflagern ==

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der [[Zugkraftdeckung]]. Ab der Stelle an der sie nicht mehr erforderlich sind, sind Stäbe zu verankern. Hier sind erforderliche und vorhandene Bewehrung unmittelbar bekannt.

Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,erf... || Gesamtquerschnittsfläche der Stäbe, welche nicht Abgestuft wurden/ bzw. weiter durchlaufen
|-
| As,vorh... || Gesamtquerschnittsfläche aller vorhandenen Stäbe
|}

Mithilfe der zuvor bestimmten Stahlspannung lässt sich die Verankerungslänge über die dafür allgemeingültigen Formeln bestimmen.

An den Stellen, an welchen nach der Abstufung keine Stäbe und somit auch keine zu verankernden Kräfte mehr vorhanden sind (<math>\sigma_\mathrm{sd} =0</math>), ist die Mindestverankerungslänge maßgebend.

Da außerhalb von Auflagern i.d.R. genügend Platz ist, werden die endenden Stäbe i.d.R. mit geradem Stabende verankert.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

== Verankerung am Kragarmende ==

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|300px|right]]

Für die Ermittlung der Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird im Regelfall nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie mithilfe des [[Versatzmaß | Versatzmaßes]]. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung (Hälfte des Mindestbiegerollendurchmessers) im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> lässt sich mithilfe der folgenden Gleichung ermitteln:

<math>M_{Ed,x_0}=\frac{p_{Ed}\cdot(x_0+a_l)^2}{2}</math>

Die zu verankernde Zugkraft resultiert anschließend aus folgender Gleichung:

<math>F_{sd}=\frac{M_{Ed,x_0}}{z}</math>.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ==

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein [[Verankerung am Einzelfundament (Modell)|eigenes Berechnungsmodell]]. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet. Um für diese Konstruktion die Verankerungslänge zu bestimmen, kann wie beim Kragarmende der Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie durch das Versatzmaß genutzt werden, auch hier beginnt die Verankerungslänge am Beginn der Biegung.

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

 

== Verankerung an Konsolen ==

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung der Zugbewehrung in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an der der Stütze zugewandten Seite der Auflagerplatte beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

= Quellen =

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Biegebemessung (einachsige Biegung)

2025-10-14T13:34:43Z

Gbolle: /* Sicherstellung der Duktilität */

[[File:Biegebemessung1.bmp|right|thumb|300px|Querschnitt unter reiner Biegung]]Ziel der Bemessung bzw. des Nachweises eines [[Überwiegend biegebeanspruchter Querschnitt|überwiegend biegebeanspruchten Bauteils]] ist nachzuweisen, dass der Querschnitt die äußeren Schnittgrößen (MEd und NEd) im Grenzzustand der Tragfähigkeit aufnehmen kann. Bei der '''Bemessung''' wird der zur Aufnahme der einwirkenden Schnittgrößen erforderliche Bewehrungsquerschnitt ermittelt. Beim '''Nachweis''' der Tragfähigkeit eines biegebeanspruchten Bauteils wird für eine gegebene Situation überprüft, ob der Tragwiderstand zur Aufnahme der einwirkenden Schnittgrößen ausreicht. Beides sind unterschiedliche Aufgabenstellungen, die jedoch den gleichen Regeln folgen. Daher wird im Folgenden vereinfacht von Biegebemessung gesprochen. Die Aussagen sind aber in gleicher Weise auf die Nachweisaufgabe übertragbar. 
 

=Tragverhalten=
==Dehnungsbereiche==
Beeinflusst wird die Tragfähigkeit von Biegebauteilen durch die Festigkeiten von Stahl und Beton, durch die aus dem Verhältnis von Längkraft und Biegung resultierenden Dehnungswerten sowie durch die Querschnittsgeometrie (Breite, Höhe und Form der Druckzone, statische Nutzhöhe, Bewehrungsquerschnittsfläche).

Der Verlust an Tragfähigkeit (das Versagen) ergibt sich, wenn die Bruchdehnung der Bewehrung oder des Betons überschritten wird und dementsprechend ein Stahl- oder Betonversagen eintritt. Abhängig von der Beton- und Stahldehnung können dabei fünf Dehnungsbereiche unterschieden werden<ref Name = "Q1">Wommelsdorff,O., Albert,A., Fischer,J., Stahlbetonbau-Bemessung und Konstruktion Teil 1, 11. Auflage, Köln: Bundesanzeiger Verlag, 2017</ref>:

[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)2.png|right|thumb|500px|Dehnungsbereiche]]

<ul>
<li>'''Dehnungsbereich 1:'''
Im gesamten Querschnitt treten ausschließlich Zugdehnungen auf. Die Bewehrung erreicht ihre Bruchdehnung von 25 &permil;, das Versagen findet durch das Reißen der Bewehrung am höher beanspruchten Rand statt. Da vor dem Versagen die Fließgrenze überschritten wird, findet eine Ankündigung des Versagens durch plastische Verformungen und das Entstehen breiter Risse statt.

:<math> \varepsilon_o>0 </math> 
:<math> \varepsilon_u>0 </math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_o </math> … || untere Randspannung
|-
| <math> \varepsilon_u </math> … || obere Randspannung
|}</li>
<li>'''Dehnungsbereich 2:'''
Die Grenzdehnung der Zugbewehrung von 25 &permil; wird erreicht, in der Druckzone sind noch Tragreserven vorhanden. Das Versagen findet durch das Reißen der Zugbewehrung mit Vorankündigung statt.

:<math> \varepsilon_{s1}=\varepsilon_{su} </math> 
:<math> 0>\varepsilon_c>\varepsilon_{c2u} </math></li>
wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_{s1} </math> … || vorhandene Stahldehnung
|-
| <math> \varepsilon_{su} </math> … || Bruchdehnung des Stahls
|-
| <math> \varepsilon_{c} </math> … || vorhandene Betondehnung
|-
| <math> \varepsilon_{c2u} </math> … || Bruchstauchung des Betons
|}</li>
<li>'''Dehnungsbereich 3:'''
Die Fließgrenze des Stahls wird überschritten, seine Bruchdehnung wird aber nicht erreicht. Die Bruchdehnung der Betondruckzone wird erreicht. Das Versagen findet schließlich durch das Versagen der Betondruckzone statt. Trotz des Betonversagens findet eine mehr oder weniger deutliche Versagensankündigung statt, da der Stahl vor dem Bruch plastizieren kann.

:<math> \varepsilon_{su}>\varepsilon_{s1}>\varepsilon_{y} </math> 
:<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li>
wobei:
:{|
|-
| <math> \varepsilon_{y} </math> … || Stahldehnung an der Fließgrenze
|}</li>
<li>'''Dehnungsbereich 4:'''
Der Stahl erreicht die Fließgrenze nicht, die Bruchdehnung des Betons wir überschritten. Die maßgebende Versagensart ist das Betonversagen. Da die Stahldehnung unter der Fließgrenze bleibt, findet keine Vorankündigung des Versagens statt. Da wegen der geringen Stahldehnung nicht die volle Zugfestigkeit des Stahls aktiviert wird, ergibt die Bemessung in diesem Bereich große, unwirtschaftliche Bewehrungsquerschnitte <ref name = "Q2"></ref>.

:<math> \varepsilon_{y}>\varepsilon_{s1}</math> 
:<math> \varepsilon_c=\varepsilon_{c2u} </math></li>
<li>'''Dehnungsbereich 5:'''
Im gesamten Querschnitt treten nur Druckspannungen auf. Das Versagen tritt durch Überschreiten der Tragfähigkeit des Betons ohne Vorankündigung ein. Ein duktiles Verhalten von Druckgliedern kann bei Bedarf auf andere Weise sichergestellt werden (z. B. enge Umschnürung der Längsbewehrung).

:<math> \varepsilon_o<0 </math> 
:<math> \varepsilon_u<0 </math></li>
</ul>
Für überwiegend biegebeanspruchte Bauteile sind die Dehnungsbereiche 2 - 4 relevant. Querschnitt im Dehnungsbereich 1 und 5 sind [[Überwiegend längskraftbeanspruchter Querschnitt|überwiegend längskraftbeansprucht]]. Bei der Bemessung ist stets ein Versagen mit Vorankündigung anzustreben, die Querschnitte sollten sich dementsprechend in den Dehnungsbereichen 2 oder 3 befinden. Bei Querschnitten im Dehnungsbereich 4 wird in der Regel Druckbewehrung zur Herstellung eines duktilen Bauteilverhaltens angeordnet.

==prinzipielles Querschnitts-Tragverhalten==
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)4.png|right|thumb|300px|Dehnungsverteilung im Zustand I und II]]
Unter der Voraussetzung, dass sich der Querschnitt in einem der Dehnungsbereiche 1 bis 3 befindet, können im Tragverhalten von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen wie auch für solche unter Zugbeanspruchung verschiedene Bereiche bzw. Zustände unterschieden werden:

<ul>
<li>'''Zustand I:''' In diesem Zustand ist der Beton noch ungerissen, die Betonzugfestigkeit wurde noch in keinem Punkt überschritten. Der Zustand I endet mit der erstmaligen Überschreitung der Betonzugfestigkeit und somit mit der Entstehung des Erstrisses. Im Zustand I spielt die Bewehrung, wegen der geringen Dehnung, welche auch nur eine geringe Zugspannung im Stahl bewirkt, noch keine besondere Rolle. Für die Ermittlung der Biegesteifigkeit E*I entspricht der E-Modul etwa dem des Betons.</li>
<li>'''Zustand IIa:''' Dies ist der Zustand, in dem die Rissbildung stattfindet. Er endet, wenn die Rissabstände so gering sind, dass die Zugfestigkeit des Betons zwischen den Rissen nicht mehr überschritten wird und sich demzufolge auch keine Risse mehr bilden können. In der Zugzone des Rissquerschnitts beteiligt sich der Beton nicht mehr am Lastabtrag. Die Rissbildung ist mit einem Steifigkeitsabfall verbunden.</li>
<li>'''Zustand IIb:''' Die Rissbildung ist abgeschlossen, bei zunehmender Stahlspannung treten keine neuen Risse mehr auf. Die mit der zunehmenden Stahlspannung verbundenen Stahldehnungen führen zu einer Verbreiterung der vorhandenen Risse. Der Zustand II b endet, wenn die Fließgrenze des Stahls erreicht wird.</li>
<li>'''Zustand III:''' Der Stahl beginnt nach der Überschreitung der Fließgrenze zu plastizieren. Infolge der Verfestigung des Stahls und des Anwachsens des Hebelarms der inneren Kräfte findet noch eine leichte Steigerung der Momententragfähigkeit statt. Der Zustand III endet mit dem Reißen der Bewehrung (Dehnungsbereich 1 und 2) oder des sekundären Versagens der eingeschnürten Betondruckzone (Dehnungsbereich 3).</li>
</ul>

Befindet sich der Querschnitt im Dehnungsbereich 4 gelten die gleichen Beziehungen, abgesehen davon, dass der Zustand III entfällt, da vor dem Erreichen der Fließgrenze des Stahls das Betonversagen stattfindet.

Im Zustand I sind die Spannungen noch linear über den Querschnitt verteilt, eine geschlossene Ermittlung der inneren Schnittgrößen ist daher möglich. Im Zustand II und III sind die Spannungen nicht mehr linear über den Querschnitt verteilt. In der Zugzone wird die Betonspannung gleich Null, da die Bemessung im Rissquerschnitt stattfindet. Außerdem nimmt die Spannungs-Dehnungs-Linie des Betons wegen der höheren Dehnungen einen nichtlinearen (Parabel-Rechteck-förmigen) Verlauf an<ref Name = "Q2">Zilch,K., Zehetmaier,G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau; 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>.

==Sicherstellung der Duktilität==

Um eine ausreichende Versagensankündigung zu garantieren, ist sicherzustellen, dass die bei der Rissbildung freiwerdenden Zugkräfte durch die Zugbewehrung ohne schlagartiges Versagen aufgenommen werden können. Dies wird durch die Anordnung einer [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Robustheitsbewehrung)|Mindestbewehrung]] sichergestellt. Die Mindestbewehrung garantiert also, dass der Querschnitt nicht bei Überschreitung der BetonZUGfestigkeit schlagartig versagt.

Damit der Querschnitt nicht bei Überschreiten der BetonDRUCKfestigkeit schlagartig versagt, ist sicherzustellen, dass die Stahldehnung zum Versagenszeitpunkt über der Fließgrenze liegt (Vorankündigung). Hierfür ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen. Wenn die Betonstauchung am oberen Rand der Bruchstauchung des Betons entspricht, findet eine Erhöhung der aufnehmbaren Betondruckkraft nur noch durch die Vergrößerung der Druckzone statt<ref name = "Q2"></ref>, hierdurch sinkt der Hebelarm der inneren Kräfte. Aufgrund der linearen Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe nimmt außerdem mit steigender Druckzonenhöhe x die Dehnung der Zugbewehrung ab. Wenn die Stahldehnung der Zugbewehrung dabei unter die Fließgrenze fällt, kommt es zu unwirtschaftlichen Bemessungsergebnissen und zu einem Versagen ohne Vorankündigung.

Der theoretische Wert der bezogenen Druckzonenhöhe, bei dem die Dehnung der Zugbewehrung die Fließgrenze noch geradeso erreicht, beträgt ξ = x/d = 0,617. Gemäß DIN EN 1992-1-1/NA 5.4<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> sollte ξ ≤ 0,45 (normalfester Beton) und ξ ≤ 0,35 (hochfester Beton) betragen, damit noch eine angemessene Plastizierung der Bewehrung stattfinden kann. Die beiden letztgenannten Begrenzungen für ξ gelten für Durchlaufträger mit annähernd gleichem Stützweitenverhältnis, für Rahmenriegel und alle sonstigen Bauteile, die vorwiegend auf Biegung beansprucht sind.

Um die bezogene Druckzonenhöhe zu begrenzen, gibt es drei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ergibt sich durch Erhöhung der Betonfestigkeit, die zweite besteht in einer Verbreiterung der Druckzone (vgl. [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Plattenbalken|Plattenbalken]]) und die dritte wird durch die Anordnung von Druckbewehrung gebildet (vgl. [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Druckbewehrung|Druckbewehrung]]).

=Bemessungsgrundlagen=
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)3.png|right|thumb|300px|Darstellung der relevanten Kräfte und geometrischen Größen für die Bemessung]]
Die Biegebemessung von Bauteilen im Grenzzustand der Tragfähigkeit erfolgt im Zustand II im Rissquerschnitt<ref Name = "Q4"></ref>. Eine Mitwirkung des Betons auf Zug ist ausgeschlossen. Eine geschlossene Lösung ist wegen der Nichtlinearität im Zustand II nicht mehr möglich. Aus demselben Grund ist auch die getrennte Bemessung für Normalkräfte und Momente mit späterer Superposition der Beanspruchungen ausgeschlossen, da das Superpositionsgesetz bei den vorweg genannten Annahmen nicht mehr gilt<ref name = "Q2"></ref>.

==Transformation der äußeren Schnittgrößen==
In der Regel ist es sinnvoll, die äußeren Schnittgrößen M und N auf die Schwerelinie der Bewehrung zu beziehen. Auf diese Weise können später die gleichen Bemessungshilfsmittel für alle möglichen Kombinationen von Längskraft und Biegung angewendet werden. Verschiebt man also die Normalkraft für die Bemessung gedanklich aus der Schwerachse des Querschnitts in die Schwerelinie der Bewehrung, dann ist dies auch durch eine Korrektur des einwirkenden Moments zu berücksichtigen.

:<math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math> 
wobei: 

:{|
|-
| <math> M_{Eds} </math> … || auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
|-
| <math> z_{s1}</math> … || Abstand der Schwerachse der Bewehrung von der Schwerachse des Querschnitts
|}</li>

==Vorbemessung==
Da für die Bemessung die [[Statische_Nutzhöhe|statische Nutzhöhe]] bekannt sein muss, welche wiederum abhängig von der Geometrie und Anordnung der Bewehrung ist, ist eine Vorbemessung der Bewehrung erforderlich. Diese kann z. B. mit den folgenden Näherungsformeln erfolgen.

:<math>A_{s,est}=\frac{M_{Eds,est}}{f_{yd}\cdot z_{est}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> A_{s,est} </math> … || geschätzte Querschnittsfläche der Bewehrung
|-
| <math> M_{Eds,est} </math> … || geschätztes, auf die Schwerelinie der Bewehrung bezogenes Bemessungsmoment
|-
| <math> f_{yd} </math> … || Bemessungswert der Stahlfestigkeit
|-
| <math> z_{est} </math> … || geschätzter Hebelarm der inneren Kräfte
|}</li>
mit:

:<math>M_{Eds,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> z_{s1,est} </math> … || geschätzter Abstand der Schwerelinie der Bewehrung von der Schwerachse des Querschnitts
|}</li>
Anhaltswerte für <math>z_{est}</math> und <math>z_{s1,est}</math> können wie folgt angenommen werden:

<table>
<tr>
<td>Platten und Balken</td>
<td><math>\qquad\qquad\qquad z_{est}=0,75\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
<td><math>\qquad\qquad\qquad z_{s1,est}=0,4\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
</tr>
<tr>
<td>Plattenbalken</td>
<td><math>\qquad\qquad\qquad z_{est}=0,80\cdot h\qquad\qquad\qquad</math></td>
<td><math>\qquad\qquad\qquad z_{s1,est}=0,8\cdot z_{I,c1}\qquad\qquad\qquad</math></td>
</tr>
</table>
wobei:
:{|
|-
| <math> h </math> … || Querschnittshöhe
|-
| <math> z_{I,c1}</math> … || Abstand der Schwerelinie des Querschnitts vom Zugrand im Zustand I
|}</li>

Es ist zu beachten, dass alle Größen mit dem Index (est) im Zuge der späteren "richtigen" Bemessung neu zu ermitteln sind, da es sich bei den im Rahmen der Vorbemessung ermittelten Werten um Schätzwerte handelt. Ergibt sich nach der Bemessung eine Abweichung der tatsächlichen statischen Nutzhöhe von der aus der Vorbemessung, so ist die Bemessung mit der neuen statischen Nutzhöhe zu wiederholen. Darauf kann verzichtet werden, wenn die statisch Nutzhöhe größer wird, da das Bemessungsergebnis dann auf der sicheren Seite liegt.

==Grundsätzliche Annahmen==

[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)5.png|right|thumb|200px|lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt, starrer Verbund (Annahmen 1 und 2)]]Die folgenden Annahmen werden der Biegebemessung zugrunde gelegt<ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref>:
# Die Hypothese von Bernoulli gilt, d. h. dass angenommen wird, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind (Ebenbleiben der Querschnitte). Diese Annahme gilt für schlanke Bauteile (<math>l/h\geq</math>2 bzw. für Kragträger <math>l_k/h\geq1</math>), nicht erfüllt ist sie in Bereichen mit konzentrierter Lasteinleitung (z. B. unter Einzellasten oder im Auflagerbereich). Für Bereiche in denen nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Dehnungen linear über den Querschnitt verteilt sind, müssen andere Bemessungsverfahren verwendet werden z. B. [[Stabwerkmodelle als Bemessungshilfen für den GZT|Stabwerkmodelle]].
# Zwischen der Bewehrung und dem Beton wird starrer Verbund vorausgesetzt, d. h. die Dehnung der Bewehrung entspricht der der angrenzenden Betonfaser.
# Die Bemessung erfolgt im Rissquerschnitt, d. h. die Zugfestigkeit des Betons wird in der Bemessung nicht angesetzt.
# [[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)11.png|right|thumb|400px|Annahmen für die Materialkennlinie des Betons (Annahme 4)]]Für die rechnerischen Annahmen zur Spannungsdehnungslinie (Materialkennlinie) des Betons gelten die dargestellten Zusammenhänge. Prinzipiell können drei verschiedene Näherungen für den Spannungsverlauf in der Druckzone angewendet werden: das Parabel-Rechteck-Diagramm, die bilineare Materialkennlinie und der Spannungsblock. Die allermeisten Bemessungshilfsmittel beruhen auf dem Parabel-Rechteck-Diagramm. Die Verwendung des Spannungsblocks erlaubt eine direkte (geschlossene) Berechnung ohne die Anwendung von Bemessungshilfsmitteln, da im Unterschied zu den beiden anderen Materialkennlinien die Lage der resultierenden Betondruckkraft unveränderlich ist.
# [[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)12.png|right|thumb|250px|Annahmen für die Materialkennlinie des Stahls (Annahme 5)]]Für die Spannungsdehnungslinie (Materialkennlinie) des Stahls gibt es ebenfalls zwei Näherungen, die jeweils einen bilinearen Verlauf abbilden. Bei der vereinfachten Materialkennlinie erfolgt nach Überschreitung der Streckgrenze keine Zunahme der Festigkeit mehr (horizontaler Ast). Bei der genaueren Materialkennlinie kann die Festigkeit abhängig von der erreichten Stahldehnung εs1 linear bis zur Zugfestigkeit gesteigert werden (geneigter Ast). Die Grenzdehnung des Stahls liegt bei εud = 25 &permil; (normalduktiler Stahl) bzw. 50 &permil; (hochduktiler Stahl).

Die Ermittlung des Bauteilwiderstands erfolgt durch Variation der Dehnungsebenen, bis sich innere und äußere Schnittgrößen im Gleichgewicht befinden. Da dies ein iterativer Prozess ist, der bei einer Handrechnung einen hohen Aufwand bedeutet, werden i. d. R. Bemessungshilfsmittel verwendet. Diese Bemessungshilfsmittel beruhen in der Regel auf allgemeingültigen bezogenen Parametern, die für jede konkrete Dehnungsverteilung auch mit einem konkreten Wert angegeben werden können. Typische bezogene Parameter sind z. B.:
:{|
|-
| <math> \mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>… || bezogenes Moment
|-
| <math> \nu_{cd}=\frac{F_{cd}}{b\cdot d\cdot f_{cd}}</math> … || bezogene Betondruckkraft
|-
| <math> \xi=\frac{x}{d}</math> … || bezogene Höhe der Betondruckzone
|-
| <math> \zeta=\frac{z}{d}</math> … || bezogener Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| <math> \omega=\frac{A_{s}}{b\cdot d}\cdot \frac{f_{yd}}{f_{cd}}</math>… || mechanischer Bewehrungsgrad
|}
Die [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Bemessungshilfsmittel|Bemessungshilfsmittel]] können gängigen Tabellenwerken z. B. Schneider Bautabellen<ref Name = "Q4">Albert,A., Bautabellen fü Ingenieure, Auflage 26, Bundesanzeigerverlag, 2024</ref> entnommen werden.

==Druckbewehrung==

Gelangt ein Querschnitt bei der Bemessung in den Dehnungsbereich 4 bzw. überschreitet die bezogene Betondruckzonenhöhe einen Wert von ξ = 0,45 (normalfester Beton) bzw. ξ = 0,35 (hochfester Beton), dann muss (sofern keine anderen Maßnahmen getroffen werden) Druckbewehrung angeordnet werden, um eine angemessene Duktilität zu gewährleisten.
Durch die Anordnung einer Druckbewehrung wird die Druckzone des Querschnitts verstärkt und die Druckzonenhöhe reduziert. Auf diese Weise kann die Bewehrung bei steigender Belastung zunächst wieder ausreichend plastizieren, bevor es zum Versagen kommt.
Durch die Anordnung der Druckbewehrung wird der Beton in der Druckzone in einem geringen Teilbereich verdrängt, d. h. die Fläche der Betondruckzone wird um den Anteil der Querschnittsfläche der Bewehrung reduziert. Dieser Einfluss ist (zumindest bei normalfestem Beton) gering und wird daher bei der Bemessung in der Regel vernachlässigt <ref name = "Q2"></ref>.
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)7.png|right|thumb|300px|Bemessung von Querschnitten mit Druckbewehrung durch Aufteilung des einwirkenden Moments auf zwei gedachte Querschnittsanteile]]
Bei der Bemessung von Querschnitten mit Druckbewehrung wird die Dehnungslinie auf den letzten zulässigen Verlauf zurückgeführt (für normalfesten Beton ξlim = 0,45 ≙ lim μEds = 0,296). Danach wird der Gesamtquerschnitt gedanklich in zwei Querschnittsanteile aufgeteilt (siehe Abbildung). Der erste Querschnittsanteil ist bei der vorliegenden Dehnungsverteilung gerade noch ohne Druckbewehrung tragfähig, kann jedoch nur einen Teil des einwirkenden Moments (lim MEds) aufnehmen. Der zweite Querschnittsanteil besteht aus zusätzlicher Zug- und Druckbewehrung und dient zur Aufnahme des Restmoments ΔMEds.
Die Bestimmungsgleichungen können dann wie folgt angegeben werden:

:<math>lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2\cdot f_{cd}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> lim\ M_{Eds} </math> … || vom Querschnitt ohne Druckbewehrung aufnehmbares Moment (für ξlim)
|-
| <math> lim\ \mu_{Eds}</math> … || bezogenes Moment für <math> lim\ M_{Eds} </math>
|}</li>

:<math>A_{s1,lim\ M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{lim\ M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> A_{s1,lim\ M} </math> … || Querschnittsfläche der Zugbewehrung für Querschnittsanteil 1
|-
| <math> z</math> … || Hebelarm der inneren Kräfte (mit ζlim)
|}</li>

Das Restmoment ΔMEds, welches vom Querschnittsanteil 2 aufgenommen werden muss, ergibt sich dann wie folgt:

:<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}</math>

Da für den Querschnittsanteil 2 die gleiche Dehnungsverteilung gilt und außerdem die Wirkungslinien der resultierenden Zug- und Druckkraft bekannt sind (Schwerachsen der Bewehrungslagen), können die zusätzlichen Bewehrungsquerschnitte wie folgt bestimmt werden:

:<math>A_{s1,\Delta M}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> A_{s1,\Delta M} </math> … || Querschnittsfläche der zusätzlichen Zugbewehrung für ΔMEds
|-
| <math> d_2 </math> … || Abstand der Schwerelinie der Druckbewehrung vom gedrückten Rand
|}</li>

und

:<math>A_{s2}=\frac{1}{-\sigma_{s2}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> A_{s2} </math> … || Querschnittsfläche der Druckbewehrung
|-
| <math>\sigma_{s2} </math> … || Stahlspannung der Druckbewehrung
|}</li>

Während das Erreichen der Streckgrenze in der Zugbewehrung durch die zugrunde liegende Dehnungsverteilung sichergestellt ist (also σs1 = fyd), muss für die Druckbewehrung noch geprüft werden, ob diese (abhängig von der Lage zum oberen Rand) die Streckgrenze auch erreicht. Wenn für -σs2 ein Wert < fyd ermittelt wird, dann darf auch nur mit dieser geringeren Spannung gerechnet werden.

:<math>-\sigma_{s2}=\frac{ \xi_{lim}-\frac{d_{2}}{d}}{ \xi_{ lim } }*0,0035*E_{s}\leq f_{yd}</math>

Die gesamte Querschnittsfläche der Zugbewehrung ergibt sich durch die Addition beider Anteile As1.

:<math>A_{s1}=A_{s1,lim\ M}+A_{s1,\Delta M}</math>

wobei:
:{|
|-
| <math> A_{s1} </math> … || Gesamt-Querschnittsfläche der Zugbewehrung
|}</li>

Um ein frühzeitiges Ausknicken der Druckbewehrung zu vermeiden, ist diese ausreichend zu umbügeln (vgl. DIN EN 1992-1-1 9.1.2.1<ref name = "Q5"></ref>). In der Regel ist durch die ohnehin erforderliche Querkraftbewehrung eine ausreichende Umbügelung gegeben.
Für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung stehen [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung|Bemessungshilfsmittel]] zur Verfügung, bei denen direkt Beiwerte für die Zug- und Druckbewehrung angegeben sind<ref name = "Q4"></ref>. Es können auch die [[Biegebemessung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile (einachsige Biegung)#Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung|Bemessungshilfsmittel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung]] verwendet werden, dabei ist dann das einwirkende Moment auf die oben beschriebenen Querschnittsanteile aufzuteilen.

==Plattenbalken==

[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)8.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie in der Platte]]
Da bei Plattenbalken nur die stegnahen Bereiche vollständig mitwirken und sich die Platte mit zunehmendem Abstand zum Steg der aufgezwungenen Verformung entzieht, muss im Vorfeld der Bemessung die [[Mitwirkende Plattenbreite| mitwirkende Plattenbreite]] bestimmt werden. Mit diesem Modell wird die komplexe Form der Druckspannungsverteilung zu einer Spannungsverteilung mit über die Breite konstantem Verlauf vereinfacht.

Bei der Bemessung von Plattenbalken können abhängig von der Lage der Spannungsnulllinie unterschiedliche Fälle unterschieden werden.
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)9.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie im Steg (positive Momente)]]
Ist die Druckzonenhöhe kleiner als die Höhe der Platte befindet sich die gesamte Druckzone in der Platte und ist somit rechteckförmig (<math> \xi<h_f/d</math>). Die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite (Breite der Druckzone) anzusetzen.
Übersteigt die Druckzonenhöhe die Plattenhöhe, ist die Druckzone nicht mehr rechteckförmig (<math> \xi>h_f/d</math> (wobei <math>h_f</math>...Plattenhöhe)). Dies muss in der Bemessung berücksichtigt werden. Für diesen Fall stehen gesonderte Bemessungshilfsmittel zur Verfügung.
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)10.png|right|thumb|250px|Lage der Spannungsnulllinie im Steg (negative Momente)]]
In Bereichen mit negativen Momenten befindet sich die Druckzone im Steg. Es ergibt sich eine rechteckförmige Druckzone, die Bemessung kann wie für Rechteckquerschnitte durchgeführt werden, als Querschnittsbreite ist die Stegbreite (Breite der Druckzone) anzusetzen. Wenn die bezogene Druckzonenhöhe ξ wie von der Norm gefordert auf einen Wert von 0,45 begrenzt wird, kann der Vergleich der Steghöhe mit der Druckzonenhöhe entfallen, da die Steghöhe in der Regel größer als die Plattenhöhe ist und dadurch von vornherein davon ausgegangen werden kann, dass die Druckzone ganz im Steg liegt.

=Bemessungshilfsmittel=
Im Folgenden werden das allgemeine Bemessungsdiagramm, das <math>\omega</math>-Verfahren und das <math>k_d</math>-Verfahren vorgestellt. Alle zugrunde liegenden Tafeln und Diagramme finden sich in üblichen Tabellenbüchern (z. B. <ref name = "Q4"></ref>). Anschließend findet man auch noch eine Herleitung der Bestimmungsgleichungen für die Biegebemessung mit einem parabel-rechteckförmigen Spannungsverlauf in der Druckzone (iterative Lösung) und mit dem vereinfachten rechteckförmigen Spannungsblock (geschlossene Lösung).
==Allgemeines Bemessungsdiagramm==
[[File:Biegebemessung(einachsige Biegung)6.png|right|thumb|250px|Allgemeines Bemessungsdiagramm]]
Das allgemeine Bemessungsdiagramm stellt die Beziehungen zwischen den verschiedenen bezogenen Parametern μEds, νcd, ξ, ζ sowie den Dehnungswerten εs1 und εc2 in grafischer Form dar. Alle Werte wurden dabei über dem bezogenen Moment μEds aufgetragen, da dieses häufig als Eingangswert für die Bemessung verwendet wird. Da es sich beim allgemeinen Bemessungsdiagramm um ein Bemessungshilfmittel mit dimensionslosen Werten handelt, kann es für unterschiedliche Beton- und Stahlfestigkeiten verwendet werden. Für hochfesten Beton gibt es allerdings gesonderte Diagramme, da hier die Materialkennlinien in ihrer mathematischen Beschreibung von der des normalfesten Betons abweichen.
Bei diesem Bemessungshilfsmittel ist die Genauigkeit der Bemessungsergebnisse auf die Ablesegenauigkeit beschränkt.

===Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung===
Abgelesen werden können die Stahldehnung εs1, die Betonstauchung εc2, die bezogene Druckzonenhöhe ξ und der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte ζ.

Mithilfe der Stahldehnung εs1 lässt sich die Stahlspannung σsd für die genauere Materialkennlinie ermitteln.

:<math>\sigma_{sd}=\frac{\left( f_{td}-f_{yd} \right)\cdot\left( \epsilon_{s1}-\epsilon_{yd} \right)}{ \epsilon_{ud}-\epsilon_{yd}}+f_{yd}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> f_{td} </math> … || Bemessungswert der Stahlzugfestigkeit (für einen B500A = 45,6 kN/cm²)
|-
| <math> f_{yd} </math> … || Bemessungswert der Stahlfestigkeit an der Streckgrenze (für einen B500A = 43,5 kN/cm²)
|-
| <math> \epsilon_{s1} </math> … || Stahldehnung nach Tafel
|-
| <math> \epsilon_{yd} </math> … || Bemessungswert der Stahldehnung an der Streckgrenze (für einen B500A = 2,17 &permil;)
|-
| <math> \epsilon_{ud} </math> … || Bruchdehnung der Bewehrung (für einen B500A = 25 &permil;)
|-
| <math>\sigma_{sd} </math> … || Bemessungswert der Stahlspannung der Zugbewehrung
|}</li>

Bei Anwendung der vereinfachten Materialkennlinie des Bewehrungsstahls (horizontaler Ast) gilt

:<math> \sigma_{sd}=f_{yd} </math> 

Unter Verwendung der ermittelten Stahlspannung kann in einem nächsten Schritt die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden.

:<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{\zeta\cdot d}+N_{Ed}\right)</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \zeta </math> … || bezogener Hebelarm der inneren Kräfte nach Tafel
|}</li>
[[Biegebemessung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagramm (Bsp.)|Beispiel]]

===Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung===
Verwendet man für die Ermittlung des Grenzmoments lim MEds das bezogene Grenzmoment lim μEds, dann ist auch die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung möglich. Gedanklich wird hier die theoretische [[Biegebemessung (einachsige Biegung)#Druckbewehrung|Aufteilung in zwei Teilquerschnitte]] nachvollzogen. Zusätzlicher Eingangswert ist das Verhältnis <math>d_2/d</math>, zusätzlicher Ablesewerte ist die Stauchung der Druckbewehrung.
Die Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsflächen erfolgt mit den folgenden Gleichungen:

:<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>

:<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \sigma_{s2d} </math> … || Bemessungswert der Stahlspannung der Druckbewehrung (für εs2 nach Tafel)
|}</li>
[[Biegebemessung mit dem allgemeinen Bemessungsdiagramm (Bsp.)|Beispiel]]

==<math>\omega</math>-Verfahren==

Das <math>\omega</math>-Verfahren stellt die tabellarische Umsetzung des allgemeinen Bemessungsdiagramms dar. Die Ablesewerte können entweder auf der sicheren Seite liegend aufgerundet oder interpoliert werden. Durch die Interpolation werden genauere Ergebnisse im Vergleich zum allgemeinen Bemessungsdiagramm erzielt.

Bei der Bemessung ist der Eingangswert das bezogene Moment μEds. Da alle Eingangswerte dimensionslos sind, kann das <math>\omega</math>-Verfahren auch für andere Stähle als B500 verwendet werden, allerdings sind die angegebenen Stahlspannungen dann nicht mehr gültig.

Zusätzlich zu den anderen bezogenen Größen wird der mechanische Bewehrungsgrad ω eingeführt. Dieser wird für die Ermittlung der Bewehrung verwendet. Für die Nachweisführung bestehender Stahlbetonbauteile wird die Tafel in ungekehrter Richtung benutzt (Eingangswert ω, Ablesewert μEds).

Bei der Verwendung des <math>\omega</math>-Verfahrens ist darauf zu achten, dass es unterschiedliche Tafeln für normalfeste und hochfeste Betone gibt.

===Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung===
Neben dem mechanischen Bewehrungsgrad können auch die bezogene Betondruckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte, die Betonstauchung und die Stahldehnung abgelesen werden. Außerdem können auch die Stahlspannungen abgelesen werden, die sich für einen B500 ergeben (genauere und vereinfachte Materialkennlinie).

:<math>A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\omega\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \omega </math> … || mechanischer Bewehrungsgrad
|}</li>
[[Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.)| Beispiel]]

===Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung===
Für die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Zusätzliche Eingangswerte sind das Verhältnis <math>d_2/d</math> und die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe (im Standardfall ξlim = 0,45).

Außerdem müssen für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls unterschiedliche Tafeln verwendet werden.

Abgelesen werden können der mechanische Zugbewehrungsgrad und der mechanische Druckbewehrungsgrad, mit welchen die Ermittlung der Querschnittsfläche der Druck- und Zugbewehrung möglich ist. Für den Fall, dass die Spannung in der Druckbewehrung die Streckgrenze nicht erreicht, kann trotzdem mit fyd gerechnet werden. Die Verringerung der rechnerischen Spannung ist im Tafelwert ω2 enthalten.

:<math>A_{s1}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math>

:<math>A_{s2}=\frac{1}{f_{yd}}\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)</math>

[[Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.)| Beispiel]]

===Plattenbalkenquerschnitte===
Auch für Plattenbalkenquerschnitte stehen gesonderte Bemessungstafeln zur Verfügung. Diese sind grundsätzlich zu verwendet, wenn die Druckzone des Plattenbalkens nicht rechteckförmig ist, können aber auch für Plattenbalken mit einer rechteckförmigen Druckzone verwendet werden.

Für unterschiedliche Stahlsorten und Teilsicherheitsbeiwerte des Stahls müssen unterschiedliche Tafeln verwendet werden. Außerdem wird hier nur die vereinfachte Spannungs-Dehnungslinie des Stahls verwendet.

Eingangswerte sind neben dem bezogenen Moment das Verhältnis der Plattenhöhe zur statischen Nutzhöhe und das von mitwirkender Plattenbreite zu Stegbreite. Ablesewert ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>\omega</math>.

Die Anordnung von Druckbewehrung in Plattenbalken kann mit diesem Bemessungshilfsmittel nicht berücksichtigt werden.

Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt wie gewohnt mit <math>\omega</math>. Die für die Bemessung verwendete Querschnittsbreite ist die mitwirkende Plattenbreite.

:<math>A_{s1}=\frac{1}{f{yd}}\cdot\left(\omega_1\cdot b_f\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> b_f </math> … || mitwirkende Plattenbreite
|}</li>
[[Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.)| Beispiel]]

==<math>k_d</math>-Verfahren==
Bei dem <math>k_d</math>-Verfahren handelt es sich um ein dimensionsgebundenes Verfahren, bei der Ermittlung von kd und As1 ist daher unbedingt auf die Verwendung der richtigen Einheiten zu achten. Eingangswerte bei Verwendung der Bemessungstafeln ist neben <math>k_d</math> die Betonfestigkeitsklasse.

:<math>k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}</math>

Auch hier stehen wieder Bemessungstafeln getrennt für normalfesten und hochfesten Beton zur Verfügung. Diese Tafeln gelten ebenfalls für eine bestimmte Stahlsorte und einen bestimmten Teilsicherheitsbeiwert für den Stahl.

Die Ablesewerte sind entweder auf der sicheren Seite liegend aufzurunden oder für genauere Ergebnisse zu interpolieren.

===Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung===
Abgelesen werden können <math>k_s</math>, die bezogene Druckzonenhöhe, der bezogene Hebelarm der inneren Kräfte sowie die Stauchung des Betons und die Dehnung der Zugbewehrung.

Die Ermittlung der Querschnittsfläche der Zugbewehrung erfolgt mithilfe von <math>k_s</math>.

:<math>A_{s1}[cm^2]=k_s\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>

[[Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.)| Beispiel]]

===Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung===
Die Bemessung von Rechteckquerschnitten mit Druckbewehrung mit dem <math>k_s</math>-Verfahren ist möglich, hierfür werden die zusätzlichen Beiwerte <math>k_{s2}</math>, <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> eingeführt.

Zusätzlicher Eingangswert ist die angestrebte bezogene Druckzonenhöhe (im Standardfall ξlim = 0,45). Für die Ablesung von <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> wird außerdem das Verhältnis von <math>d_2/d</math> benötigt. Die Ablesewerte sind <math>k_{s1}</math>, <math>k_{s2}</math>, <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math>.

Die Querschnittsfläche der Zugbewehrung kann mithilfe von <math>k_{s1}</math> und <math>\rho_1</math>, die der Druckbewehrung mithilfe von <math>k_{s2}</math> und <math>\rho_2</math> ermittelt werden.

:<math>A_{s1}[cm^2]=\rho_1\cdot k_{s1}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>

:<math>A_{s2}[cm^2]=\rho_2\cdot k_{s2}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}</math>

[[Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.)| Beispiel]]

=Bemessung ohne Hilfsmittel=

==Bemessung mit dem Spannungsblock (geschlossene Lösung)==
Gemäß DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q5"></ref> kann neben einer parabel-rechteck-förmigen auch eine rechteckförmige Spannungsverteilung in der Druckzone für die Bemessung verwendet werden. Vorteil der Verwendung des Spannungsblocks für die Bemessung ist, dass es sich um eine geschlossene Lösung handelt. Hierdurch ist eine einfache Handrechnung ohne Bemessungshilfsmittel möglich.

Für die Verwendung des Spannungsblocks werden folgende Beiwerte eingeführt<ref name = "Q5"></ref>.

:<table border="1">
<tr align="center">
<th><math>f_{ck}</math></th>
<th><math>\eta</math></th>
<th><math>\lambda</math></th>
</tr>
<tr align="center">
<td><math>\leq50N/mm^2</math></td>
<td>1,00</td>
<td>0,80</td>
</tr>
<tr align="center">
<td><math>>50N/mm^2</math></td>
<td><math>1,0-\frac{f_{ck}-50}{200}</math></td>
<td><math>0,8-\frac{f_{ck}-50}{400}</math></td>
</tr>
:</table>

Die Bemessung kann mit den folgenden Bestimmungsgleichungen erfolgen (gilt nur für Normalbeton ≤ C50/60, ξlim = 0,45 und die vereinfachte Materialkennlinie des Bewehrungsstahls).

===Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung===

:<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>

:<math>\xi=1,25\cdot \left(1-\sqrt{1-2\cdot \mu_{Eds}} \right)</math>

:<math>\nu_{cd}=0,8\cdot \xi</math>

:<math>A_{s1}=\frac{\nu_{cd}\cdot f_{cd}\cdot b\cdot d+N_{Ed}}{f_{yd}}</math>

===Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung===

Für ξlim = 0,45 sind μEds = 0,296 und νcd = 0,36.

:<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-\mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2</math>

:<math>-\sigma_{s2}=\frac{0,45-\frac{d_{2}}{d}}{0,45}*0,0035*E_{s}\leq f_{yd}</math>

:<math>A_{s2}=\frac{1}{-\sigma_{s2}}\cdot\left(\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}\right)</math>

:<math>A_{s1}=\frac{\Delta M_{Eds}}{f_{yd}\cdot\left(d-d_{2}\right)}+\frac{\nu_{cd}\cdot f_{cd}\cdot b\cdot d+N_{Ed}}{f_{yd}}</math>

==Bemessung mit Parabel-Rechteck-Diagramm (iterative Lösung)==
Ziel der Bemessung ist, dass das aufnehmbare Moment mindestens so groß wie das einwirkende Moment ist. Es wird nur die iterative Berechnung von Rechteckquerschnitten ohne Druckbewehrung näher betrachtet. Eine Abwandlung der Gleichungen für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung und Plattenbalken unter der Berücksichtigung der geänderten Umstände ist möglich.

:<math> M_{Eds}=M_{Rd}</math>

Wird der Drehpunkt in den Angriffspunkt der Stahlzugkraft bzw. der Betondruckkraft gelegt, ergibt sich das aufnehmbare Moment wie folgt.

:<math> M_{Eds}=M_{Rd}=(F_{s1}-N_{Ed})\cdot z=F_c\cdot z</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> F_{s1} </math> … || Stahlzugkraft
|-
| <math> F_c </math> … || Betondruckkraft
|}</li>
 

Da die Bewehrungsquerschnittsfläche nicht bekannt ist wird im Weiteren mit der Betondruckkraft weiter gerechnet.

:<math> M_{Eds}=F_c\cdot z</math>

Die Betondruckkraft und der Hebelarm der inneren Kräfte können mit den folgenden Gleichungen ermittelt werden.

:<math> F_c=\alpha_r\cdot b\cdot x\cdot f_c</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \alpha_r </math> … || Völligkeitsgrad
|-
| <math> x </math> … || Druckzonenhöhe
|}</li>
 

:<math>\alpha_r=\left(\begin{matrix}
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c}-\frac{1-\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}}{n+1}&0\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2} \\
1-\frac{\varepsilon_{c2}}{\varepsilon_c\cdot(n+1)}&\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{c2u}\\
\end{matrix}\right)</math>

:<math> x=\frac{\varepsilon_c\cdot d}{\varepsilon_{s1}+\varepsilon_c}</math>

:<math> z=d-a</math>

:<math> a=\kappa_a\cdot x</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> a </math> … || Abstand der inneren Druckkraft
|-
| <math> \kappa_a </math> … || Höhenbeiwert
|}</li>
 

:<math>\kappa_a=\left(\begin{matrix}
1-\frac{1}{\alpha_R}\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_c^2}\cdot\left(\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+1}-1}{n+1}\right)-\frac{\left(1-\frac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n+2}-1}{n+2}\right)\\
0\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
1-\frac{1}{\alpha_r}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+1)}+\frac{\varepsilon_{c2}^2}{\varepsilon_{c2}^2\cdot(n+2)}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \\
\varepsilon_{c2}\leq\varepsilon_c\leq\varepsilon_{c2u}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ \ \\
\end{matrix}\right)</math>

Sowohl der Hebelarm der inneren Kräfte als auch die Betondruckkraft ist abhängig von der Stahldehnung bzw. der Betonstauchung. Diese werden im Weiteren so lange variiert, bis das Gleichgewicht zwischen innerem und äußerem Moment gegeben ist. Wenn die maßgebende Versagensform das Stahlversagen ist, entspricht die Stahldehnung der Bruchdehnung und die Betonstauchung wird variiert. Wird Betonversagen maßgebend, wird entspricht die Stauchung des Betons der Bruchstauchung und die Stahldehnung wird variiert.

Nach Abschluss der Iteration lässt sich die Querschnittsfläche der Zugbewehrung mit den folgenden Gleichungen ermitteln.

:<math> F_{s1}=A_{s1}\cdot\sigma_{s1}</math>

:<math> M_{Eds}=(F_{s1}-N_{Ed})\cdot z</math>

:<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{s1}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>

Kontrollieren lässt sich das Bemessungsergebnis durch Aufstellen des Gleichgewichts der horizontalen Kräfte.

:<math>\sum N=-F_{cd}-N_{Ed}+F_{cd}</math>

=Quellen=

<references/>

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<!--[[Datei:Beiwerte.PNG]]
<!--[[Datei:Dimensionslos.PNG]]
<!--[[Datei:Dimensionsgebunden.PNG]]

Deckengleicher Unterzug - Bewehrungsführung

2025-05-12T19:55:01Z

Gbolle: /* unterbrochene Stützung an Zwischenauflagern von Platten */

=Querkraftbewehrung=
Deckengleiche Unterzüge sind hinsichtlich der konstruktiven Durchbildung sinngemäß wie Platten zu behandeln. Daher darf auf die Anordnung einer einer Mindestquerkraftbewehrung verzichtet werden, sofern 

VEd ≤ VRd,c 

wobei:
:VEd - Bemessungswert der einwirkenden Querkraft 
:VRd,c - Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit für Bauteile ohne Querkraftbewehrung 

nachgewiesen werden kann. Für eine Verbesserung des Nachweises kann bevorzugt die Menge an Längsbewehrung erhöht werden. 
Ist in einem deckengleichen Unterzug Querkraftbewehrung erforderlich, sind die Regeln für die zulässigen Höchstabstände der Querkraftbewehrungselemente in Längs- und Querrichtung zu beachten (meist maßgebend).

=Biegezugbewehrung=
==Bewehrung in Richtung der unterbrochenen Stützung==
Die untere Bewehrung (Feldbewehrung) des deckengleichen Unterzugs ist ungestaffelt bis ins Auflager zu führen und dort nach den anerkannten Regeln zu verankern (bei Annahme einer Einspannung - Verankerung im Druckbereich wie an einem Zwischenauflager, bei Annahme einer gelenkigen Lagerung - Verankerung wie an einem Endlauflager).
Die obere Bewehrung (Stützbewehrung) wird i. d. R. ebenfalls über die gesamte Länge des deckengleichen Unterzuges durchgeführt. Das Abklingen der Stützmomente über den Rand der unterbrochenen Stützung hinaus ist stark von den dort vorliegenden Steifigkeitsverhältnissen abhängig. Daher ist die obere Bewehrung ausreichend weit über den Rand hinaus zu führen (z. B. mit l > 1,5 · lb,rqd gemäß <ref Name = "Wommelsdorff Teil 1">Wommelsdorff, O.: Stahlbetonbau - Bemessung und Konstruktion, Teil 1, 10. Auflage, Werner-Verlag, 2011</ref>). 

wobei:
:lb,rqd - Grundwert der Verankerungslänge 

==Bewehrung senkrecht zur unterbrochenen Stützung==

Bei der Bemessung senkrecht zur unterbrochenen Stützung kann auf einen rechnerischen Nachweis verzichtet werden, wenn folgende Konstruktionsregeln nach <ref Name = "DAfStb Heft 631">Hilfsmittel zur Schnittgrößenermittlung und zu besonderen Detailnachweisen bei Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 631, S. 40..41</ref> eingehalten sind: 

===unterbrochene Stützungen an Endauflagern von Platten===
* Die rechtwinklig zur unterbrochenen Stützung ermittelte Feldbewehrung ist ungestaffelt bis in Auflager, also bis auf den deckengleichen Unterzug zu führen.
* Zur Aufnahme der positiven und negativen Biegemomente im Bereich der unterbrochenen Stützung ist zusätzlich eine Einfassungsbewehrung aus Steckbügeln anzuordnen.

===unterbrochene Stützung an Zwischenauflagern von Platten===
* Die sich im Bereich der kontinuierlichen Stützung ergebende Stütz- und Feldbewehrung ist auch im Bereich der unterbrochenen Stützung anzuordnen. 

[[File:Zusätzliche Stützbewehrung im Bereich von unterbrochenen Stützungen 1.JPG‎|500px|thumb|right|Verteilung der zusätzlichen Stützbewehrung an einem Zwischenauflager]]

*für <math>10 \le \cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 15</math> gilt darüber hinaus: 

:Die Stützbewehrung in den Auflagerbereichen des deckengleichen Unterzuges ist linear um 0 % (für leff/h = 10) bis zu 40% (für leff/h = 15) zu verstärken. Die zusätzliche Stützbewehrung ist wie dargestellt zu verteilen. Zwischenwerte sind linear zu interpolieren.

:wobei:
::leff - effektive Stützweite 
::h - Deckenhöhe 

*Grundsätzlich gilt: Die Bewehrung des lastbringenden Bauteils liegt immer ÜBER der Bewehrung des lastabnehmenden Bauteils. Daher ist die Bewehrung aus der Platte immer über die Bewehrung des deckengleichen Unterzugs hinwegzuführen.

=Quellen=
<references />
 

{{Seiteninfo(mb)
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|Status = Seite geprüft, inhaltlich Ok|
|Modul-Version = 2015.0240
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Deckengleicher Unterzug - Anwendung

2025-05-12T19:50:42Z

Gbolle: /* Klassifzierung */

Das Tragverhalten kontinuierlich gelagerter Platten ändert sich, wenn in einem Teilbereich die Stützung, z. B. wegen der Anordnung von Öffnungen ausfällt. Hier ist dann zusätzliche Bewehrung in einem Tragstreifen der Platte erforderlich, der auch als "deckengleicher Unterzug" bezeichnet wird.

=Klassifizierung=
Unterbrochene Stützungen in Platten werden nach <ref Name = "DAfStb Heft 240">Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formänderungen von Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 240, S. 31..34</ref> in Abhängigkeit von der Biegeschlankheit der fehlenden Unterstützung in drei Bereiche unterteilt:

== Unterbrochene Stützung mit geringer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 7</math> 
 

wobei:
:leff - effektive Stützweite des deckengleichen Unterzuges [cm] 
:h - Plattendicke [cm] 
 

Ein rechnerischer Nachweis ist nicht erforderlich, weder für die angrenzenden Plattenbereiche, noch für den Bereich der fehlenden Stützung. Zur Aufnahme der Schnittgrößen im Bereich der fehlenden Stützung reichen konstruktive Stabstahlzulagen (im Hochbau üblicherweise jeweils 2 Ø 12 für die obere und die untere Bewehrung). Die oberen Stäbe sind zur Aufnahme der Stützmomente ausreichend weit über den Auflagerrand zu führen (ca. 0,6 l je Auflager). Es ist darauf zu achten, dass die Plattenbewehrung über die Stabstahlzulagen hinweg gelegt wird (Prinzip: lastbringende Bewehrung liegt über der lastabnehmenden Bewehrung). 
 

== Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge ==
:<math> 7 \le \cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 15</math> 

In diesem Bereich ist eine genaue Schnittgrößenberechnung der angrenzenden Platten unter Berücksichtigung der fehlenden Stützung entbehrlich. Die in Richtung der fehlenden Stützung zusätzlich erforderliche Bewehrung bedarf jedoch einer gesonderten Bemessung. Hierbei darf mit dem Ersatzsystem des deckengleichen Unterzuges (Blindbalken) gerechnet werden. Zusätzlich sind einige konstruktive Maßnahmen zu berücksichtigen. 
Infolge der unterbrochenen Stützung entstehen Schnittkräfte, welche in Abhängigkeit vom statischen System einem Ersatzbalken zugeordnet werden. Die Ermittlung der Flächenlasten aus den angrenzenden Deckenfeldern erfolgt über die Definition von [[Deckengleicher Unterzug - Lasteinzugsfläche|Lasteinzugsflächen]]. Da der deckengleiche Unterzug keine konkreten Abmessungen besitzt, muss je nach betrachteter Schnittgröße jeweils eine [[Deckengleicher Unterzug - mitwirkende Plattenbreite|mitwirkende Breite]] definiert werden. Im Übergangsbereich zur kontinuierlichen Stützung kann ggf. [[Deckengleicher Unterzug - zusätzliche Plattenbewehrung|zusätzliche Plattenbewehrung]] erforderlich werden. 
 

== Unterbrochene Stützung mit größerer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} > 15</math> 

Bei unterbrochenen Stützungen mit größerer Länge kann der Einfluss der fehlenden Stützung auf die Plattenschnittkräfte nicht mehr vernachlässigt werden. Das Tragverhalten der Platte kann hierbei nicht mehr zuverlässig unter Vernachlässigung der fehlenden Stützung ermittelt werden. Die fehlende Stützung ist daher schon bei der Ermittlung der Plattenschnittkräfte zu berücksichtigen<ref Name = "DAfStb Heft 240" />. Weitgespannte deckengleiche Unterzüge haben wegen der geringen Steifigkeit ein ungünstiges Verformungsverhalten und sind daher wenn möglich zu vermeiden. 
 

=Quellen=
<references />

 
{{Seiteninfo
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Deckengleicher Unterzug - Anwendung

2025-05-12T19:50:24Z

Gbolle:

Das Tragverhalten kontinuierlich gelagerter Platten ändert sich, wenn in einem Teilbereich die Stützung, z. B. wegen der Anordnung von Öffnungen ausfällt. Hier ist dann zusätzliche Bewehrung in einem Tragstreifen der Platte erforderlich, der auch als "deckengleicher Unterzug" bezeichnet wird.

=Klassifzierung=
Unterbrochene Stützungen in Platten werden nach <ref Name = "DAfStb Heft 240">Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formänderungen von Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 240, S. 31..34</ref> in Abhängigkeit von der Biegeschlankheit der fehlenden Unterstützung in drei Bereiche unterteilt:

== Unterbrochene Stützung mit geringer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 7</math> 
 

wobei:
:leff - effektive Stützweite des deckengleichen Unterzuges [cm] 
:h - Plattendicke [cm] 
 

Ein rechnerischer Nachweis ist nicht erforderlich, weder für die angrenzenden Plattenbereiche, noch für den Bereich der fehlenden Stützung. Zur Aufnahme der Schnittgrößen im Bereich der fehlenden Stützung reichen konstruktive Stabstahlzulagen (im Hochbau üblicherweise jeweils 2 Ø 12 für die obere und die untere Bewehrung). Die oberen Stäbe sind zur Aufnahme der Stützmomente ausreichend weit über den Auflagerrand zu führen (ca. 0,6 l je Auflager). Es ist darauf zu achten, dass die Plattenbewehrung über die Stabstahlzulagen hinweg gelegt wird (Prinzip: lastbringende Bewehrung liegt über der lastabnehmenden Bewehrung). 
 

== Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge ==
:<math> 7 \le \cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 15</math> 

In diesem Bereich ist eine genaue Schnittgrößenberechnung der angrenzenden Platten unter Berücksichtigung der fehlenden Stützung entbehrlich. Die in Richtung der fehlenden Stützung zusätzlich erforderliche Bewehrung bedarf jedoch einer gesonderten Bemessung. Hierbei darf mit dem Ersatzsystem des deckengleichen Unterzuges (Blindbalken) gerechnet werden. Zusätzlich sind einige konstruktive Maßnahmen zu berücksichtigen. 
Infolge der unterbrochenen Stützung entstehen Schnittkräfte, welche in Abhängigkeit vom statischen System einem Ersatzbalken zugeordnet werden. Die Ermittlung der Flächenlasten aus den angrenzenden Deckenfeldern erfolgt über die Definition von [[Deckengleicher Unterzug - Lasteinzugsfläche|Lasteinzugsflächen]]. Da der deckengleiche Unterzug keine konkreten Abmessungen besitzt, muss je nach betrachteter Schnittgröße jeweils eine [[Deckengleicher Unterzug - mitwirkende Plattenbreite|mitwirkende Breite]] definiert werden. Im Übergangsbereich zur kontinuierlichen Stützung kann ggf. [[Deckengleicher Unterzug - zusätzliche Plattenbewehrung|zusätzliche Plattenbewehrung]] erforderlich werden. 
 

== Unterbrochene Stützung mit größerer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} > 15</math> 

Bei unterbrochenen Stützungen mit größerer Länge kann der Einfluss der fehlenden Stützung auf die Plattenschnittkräfte nicht mehr vernachlässigt werden. Das Tragverhalten der Platte kann hierbei nicht mehr zuverlässig unter Vernachlässigung der fehlenden Stützung ermittelt werden. Die fehlende Stützung ist daher schon bei der Ermittlung der Plattenschnittkräfte zu berücksichtigen<ref Name = "DAfStb Heft 240" />. Weitgespannte deckengleiche Unterzüge haben wegen der geringen Steifigkeit ein ungünstiges Verformungsverhalten und sind daher wenn möglich zu vermeiden. 
 

=Quellen=
<references />

 
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2025-05-08T18:19:29Z

Gbolle:

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{| class="wikitable" style="width: 100%;text-align:center;"
!colspan="40" style="Background:#B3F1FF" | '''Willkommen im Baustatik-Wiki'''
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Das '''Baustatik-Wiki''' ist ein von Studierenden und Hochschullehrern der Hochschule Wismar initiiertes Projekt des gemeinschaftlichen und teamorientierten Wissenserwerbs. 
Es soll eine praxisorientierte Anwendungshilfe für Studierende und in der Tragwerksplanung tätige Ingenieure entstehen, in der auch Du dein Wissen weitergeben kannst.
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|}
{| class="wikitable"
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! style="width: 33%;text-align:center; padding: 4px; Background:#B3F1FF" | Aktuelles – Stahlbetonbau
! style="width: 33%;text-align:center; padding: 4px; Background:#B3F1FF" | Über uns – Konzept und Motivation
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| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px" |
==== Mitwirkende Plattenbreite ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite11-1.gif|thumb|none|300px | Mitwirkende Plattenbreite - realer/ideeller Spannungsverlauf]]

Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein. [[Mitwirkende Plattenbreite|Mehr lesen...]]

| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px; " |
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Eine Grundlage hierfür ist einerseits das Verständnis von Begriffen, theoretischen Hintergründen sowie den darauf basierenden Berechnungsmodellen und -verfahren.
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Baustatik-Wiki soll eine Plattform für den Wissenserwerb über grundlegende Begriffe, Zusammenhänge und Sachverhalte des Konstruktiven Ingenieurbaus und deren Umsetzung in Berechnungsregeln und -verfahren sein und den Zusammenhang und zur den Abläufen in der Software herstellen.
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Benutzerhandbuch und Erstellung von Seiten mit MediaWiki-Software Hier findest du Hilfe zur Benutzung sowie für die Erstellung und Formatierung von Seiten in einem MediaWiki.
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Das BAUSTATIK MediaWiki ist jetzt auf die neue Version 1.35.1 geupdated! 

Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. · Allgemeine Hilfe zur Erstellung und Formatierung von Seiten in einem MediaWiki findest Du [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:Contents/de hier]. 
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Hauptseite

2025-05-08T18:18:07Z

Gbolle:

__NOTOC__

{| class="wikitable" style="width: 100%;text-align:center;"
!colspan="40" style="Background:#B3F1FF" | '''Willkommen im Baustatik-Wiki'''
|-
|<div align="center">
Das '''Baustatik-Wiki''' ist ein von Studierenden und Hochschullehrern der Hochschule Wismar initiiertes Projekt des gemeinschaftlichen und teamorientierten Wissenserwerbs. 
Es soll eine praxisorientierte Anwendungshilfe für Studierende und in der Tragwerksplanung tätige Ingenieure entstehen, in der auch Du dein Wissen weitergeben kannst.
<div align="center">
<div style="display: inline-block; margin: 0 4%;">
[[Datei:Stahlbau.png|240px|verweis=Stahlbau]]
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<div style="display: inline-block; margin: 0 5%;">
[[Datei:Stahlbetonbau.png|240px|verweis=Stahlbetonbau]]
</div>
<div style="display: inline-block; margin: 0 5%;">
[[Datei:Grundbau.png|240px|verweis=Grundbau]]
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[[Datei: Logo_Statik.png |240px|verweis=Baustatik]]
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[[Datei:Logo-Holzbau.png |240px|verweis=Holzbau]]
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{| class="wikitable"
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! style="width: 33%;text-align:center; padding: 4px; Background:#B3F1FF" | Aktuelles – Stahlbetonbau
! style="width: 33%;text-align:center; padding: 4px; Background:#B3F1FF" | Über uns – Konzept und Motivation
! style="width: 33%;text-align:center; padding: 4px; Background:#B3F1FF" | Beiträge – Hinweise für Leser und Autoren
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| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px" |
==== Mitwirkende Plattenbreite ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite11-1.gif|thumb|none|300px | Mitwirkende Plattenbreite - realer/ideeller Spannungsverlauf]]

Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein. [[Mitwirkende Plattenbreite|Mehr lesen...]]

| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px; " |
Bei der Ausführung von statischen Berechnungen mit Hilfe von Statik-Programmen ist es wichtig, mit den Prozessen innerhalb des Programms im Detail vertraut zu sein, sodass man die Ergebnisse eigenverantwortlich interpretieren, nachvollziehen und auf Richtigkeit prüfen kann.
Eine Grundlage hierfür ist einerseits das Verständnis von Begriffen, theoretischen Hintergründen sowie den darauf basierenden Berechnungsmodellen und -verfahren.
Andererseits ist eine ausreichende Kenntnis der Umsetzung dieser Verfahren und Methoden innerhalb der jeweiligen Statiksoftware notwendig. Dieser Wissensbedarf wird durch die Information der Software-Anbieter häufig nur in beschränkten Maße gedeckt.
Baustatik-Wiki soll eine Plattform für den Wissenserwerb über grundlegende Begriffe, Zusammenhänge und Sachverhalte des Konstruktiven Ingenieurbaus und deren Umsetzung in Berechnungsregeln und -verfahren sein und den Zusammenhang und zur den Abläufen in der Software herstellen.
Durch das Mitwirken Vieler kann so eine dynamische, aktuelle Dokumentation entstehen, die Studenten und Anwendern dabei hilft, den Dingen auf den Grund zu gehen und Hilfestellung in Detailfragen der täglichen Arbeit bietet. [[Motivation und Konzept|Mehr lesen...]]
| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px;" |
Die Themenbereiche von Baustatik-Wiki sind unterteilt in 
'''Grundlagen und Begriffe''' – Informationen in diesem Bereich dienen der allgemeinen Wissensvermittlung. Sie sind entsprechend den Fachbereichen sortiert und ohne konkreten Bezug zu einer Software-Anwendung 
'''Beispiele''' – Beispielberechnungen sollen die Anwendung von Berechnungsverfahren oder theoretische Zusammenhänge an konkreten Zahlen veranschaulichen. 
'''Software''' – In diesem Bereich soll die Funktionsweise von internen Berechnungsabläufen dokumentiert und Schwachstellen bzw. Anwendungsgrenzen ermittelt werden. 
'''Eigene Beiträge erstellen''' Jeder ist eingeladen an der Entwicklung des Baustatik-Wiki mitzuarbeiten. Wenn du wissen willst, wie das geht, dann findest du hier passende Hinweise: 
[[Vorlage für neue Beiträge|Vorlage für neue Beiträge]] – Erstelle ohne Probleme schnell und eigenständig Beiträge. 
[[Kategorie:Hinweise für Autoren|Hinweise für Autoren]] – Finde weitere nützliche Informationen für die Erstellung neuer Seiten. 
Benutzerhandbuch und Erstellung von Seiten mit MediaWiki-Software Hier findest du Hilfe zur Benutzung sowie für die Erstellung und Formatierung von Seiten in einem MediaWiki.
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Vorlage für neue Beiträge

2025-05-08T18:13:50Z

Gbolle: /* Quellen */

{|style="border-style: solid; border-width: 2px"
|'''Info'''
Um einen neuen Beitrag zu erstellen, musst du den Titel des Beitrages über das Suchfeld von Baustatik-Wiki suchen. Wenn der Beitrag noch nicht im Wiki vorhanden ist, wird dir der Titel in Rot angezeigt. Durch Anklicken wird dann eine neue Seite mit dem Titel erstellt, die du speichern kannst.
Danach kannst du dir aus dieser Vorlage im Bearbeitungsmodus den Quellcode kopieren und durch deine Texte und Bilder austauschen.
|}
 
Schreibe hier eine kleine Einleitung. Sie wird als Vorschau angezeigt, wenn jemand mit dem Mauszeiger über den Titel eines Beitrages fährt.
 
 

=Überschriften=

[[File:Betondeckung2.png|right|thumb|300px|Abbildungen können über das Symbol "Bilder und Medien" eingefügt werden. Beachte hierbei die Hinweise für das Verwenden von Bildern unter [[Abbildungen]] ]]

 

Im Baustatik-Wiki wird aus den Überschriften automatisch ein Inhaltsverzeichnis generiert.

==Überschriften der 2. Ebene==
 

Die Gliederung in Unterebenen erfolgt durch entsprechende Formatierung.
Die wichtigsten Formatierungen findest du unter https://www.mediawiki.org/wiki/Help:Formatting/de

=Formeln=
 
{|style="border-style: solid; border-width: 2px"
|
| Grundlagen und Beispiele für die Erstellung von Formeln findest du unter dem Beitrag [[Formeln]]. Alle Formelbezeichnungen sollten erläutert werden. 
|}

Beispiel:
 
:<math>\begin{align}c_\mathrm{nom}=c_\mathrm{min} + {\Delta}c_\mathrm{dev}\end{align}</math> 
 
wobei:
:{|
|-
| cmin... || Mindestbetondeckung
|-
| ∆cdev... || Vorhaltemaß
|} 

=Quellen=
<references />
 
Quellenverweise können allgemein nach der Reihenfolge verwendet werden oder für einen besseren Überblick nach den verschiedenen Quellentypen in 
· Normen 
· Fachliteratur 
· Links 

Bei Mehrfachverweisen muss die Referenzquelle vorab benannt werden. Genauere Hinweise findest Du [[Quellenverweise|hier]].

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2025-05-08T18:10:43Z

Gbolle:

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{| class="wikitable" style="width: 100%;text-align:center;"
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Das '''Baustatik-Wiki''' ist ein von Studierenden und Hochschullehrern der Hochschule Wismar initiiertes Projekt des gemeinschaftlichen und teamorientierten Wissenserwerbs. 
Es soll eine praxisorientierte Anwendungshilfe für Studierende und in der Tragwerksplanung tätige Ingenieure entstehen, in der auch Du dein Wissen weitergeben kannst.
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[[Datei:Stahlbau.png|240px|verweis=Stahlbau]]
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[[Datei:Stahlbetonbau.png|240px|verweis=Stahlbetonbau]]
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[[Datei:Grundbau.png|240px|verweis=Grundbau]]
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==== Mitwirkende Plattenbreite ====

[[Datei:Mitwirkende Plattenbreite11-1.gif|thumb|none|300px | Mitwirkende Plattenbreite - realer/ideeller Spannungsverlauf]]

Die mitwirkende Plattenbreite ('''beff''') ist eine Ersatzbreite, mit der sich der reale Verlauf der Druckspannungen innerhalb der Platte eines Plattenbalkens, unter Annahme einer rechteckigen Druckspannungsverteilung, annähern lässt. Die Berechnung im normalen Hochbau erfolgt mittels Näherungsformel aus dem Eurocode 2, bei Sonderbauten wie Brücken kann eine genauere, computergestützte Berechnung sinnvoll sein. [[Mitwirkende Plattenbreite|Mehr lesen...]]

| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px; " |
Bei der Ausführung von statischen Berechnungen mit Hilfe von Statik-Programmen ist es wichtig, mit den Prozessen innerhalb des Programms im Detail vertraut zu sein, sodass man die Ergebnisse eigenverantwortlich interpretieren, nachvollziehen und auf Richtigkeit prüfen kann.
Eine Grundlage hierfür ist einerseits das Verständnis von Begriffen, theoretischen Hintergründen sowie den darauf basierenden Berechnungsmodellen und -verfahren.
Andererseits ist eine ausreichende Kenntnis der Umsetzung dieser Verfahren und Methoden innerhalb der jeweiligen Statiksoftware notwendig. Dieser Wissensbedarf wird durch die Information der Software-Anbieter häufig nur in beschränkten Maße gedeckt.
Baustatik-Wiki soll eine Plattform für den Wissenserwerb über grundlegende Begriffe, Zusammenhänge und Sachverhalte des Konstruktiven Ingenieurbaus und deren Umsetzung in Berechnungsregeln und -verfahren sein und den Zusammenhang und zur den Abläufen in der Software herstellen.
Durch das Mitwirken Vieler kann so eine dynamische, aktuelle Dokumentation entstehen, die Studenten und Anwendern dabei hilft, den Dingen auf den Grund zu gehen und Hilfestellung in Detailfragen der täglichen Arbeit bietet. [[Motivation und Konzept|Mehr lesen...]]
| rowspan="4" style="width: 33%; vertical-align: baseline; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif !important; padding:10px;" |
Die Themenbereiche von Baustatik-Wiki sind unterteilt in 
'''Grundlagen und Begriffe''' – Informationen in diesem Bereich dienen der allgemeinen Wissensvermittlung. Sie sind entsprechend den Fachbereichen sortiert und ohne konkreten Bezug zu einer Software-Anwendung 
'''Beispiele''' – Beispielberechnungen sollen die Anwendung von Berechnungsverfahren oder theoretische Zusammenhänge an konkreten Zahlen veranschaulichen. 
'''Software''' – In diesem Bereich soll die Funktionsweise von internen Berechnungsabläufen dokumentiert und Schwachstellen bzw. Anwendungsgrenzen ermittelt werden. 
'''Eigene Beiträge erstellen''' Jeder ist eingeladen an der Entwicklung des Baustatik-Wiki mitzuarbeiten. Wenn du wissen willst, wie das geht, dann findest du hier passende Hinweise: 
Vorlage für neue Beiträge – Erstelle ohne Probleme schnell und eigenständig Beiträge. 
Hinweise für Autoren – Finde weitere nützliche Informationen für die Erstellung neuer Seiten. 
Benutzerhandbuch und Erstellung von Seiten mit MediaWiki-Software Hier findest du Hilfe zur Benutzung sowie für die Erstellung und Formatierung von Seiten in einem MediaWiki.
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Das BAUSTATIK MediaWiki ist jetzt auf die neue Version 1.35.1 geupdated! 

Hilfe zur Benutzung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [//meta.wikimedia.org/wiki/Help:Contents Benutzerhandbuch]. · Allgemeine Hilfe zur Erstellung und Formatierung von Seiten in einem MediaWiki findest Du [http://www.mediawiki.org/wiki/Help:Contents/de hier]. 
Spezielle Hinweise zur Erstellung von Seiten im Baustatik-MediaWiki gibt es [[:Kategorie:Hinweise für Autoren|hier]]. · [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsvariablen] · [//www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ MediaWiki-FAQ] · [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/mediawiki-announce Mailingliste neuer MediaWiki-Versionen]

Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)

2025-05-06T22:02:50Z

Gbolle: /* Aufgabenstellung */

Auf dieser Seite wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität an einem ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Robustheitsbewehrung) |Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=
==Aufgabenstellung==

[[File:Biegebemessung_mit_dem_omega_Verfahren1.png|right|thumb|200px|]]

Die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll für einen Balken mit Rechteckquerschnitt (b = 35 cm; h = 75 cm; As,vorh = 15,71 cm²) ermittelt werden. Sie soll ohne Normalkraft, mit angreifender Drucknormalkraft (NEd = - 115,5 kN) und mit angreifender Zugnormalkraft (NEd = 115,5kN) ermittelt werden. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Bei dem Stahl handelt es sich um einen B500A. Die [[Statische Nutzhöhe|statische Nutzhöhe]] beträgt 71 cm.

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2\frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>f_{yk}=500\frac{N}{mm^2}=50\frac{kN}{cm^2}</math>

=Querschnittswerte=

<math>I_I=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230469cm^4</math>

<math>z_{I,c1}=\frac{h}{2}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>z_{II}=0,9\cdot d=0,9\cdot71=63,9cm</math>

<math>z_s=d-\frac{h}{2}=71-\frac{75}{2}=33,5cm</math>

<math>A_c=h\cdot h=35\cdot75=2625cm^2</math>

=Mindestbewehrung ohne Normalkraft=

'''Ermittlung des Rissmoments'''

<math>M_{cr}=\frac{f_{ctm}\cdot I_I}{z_{I,c1}}==\frac{0,22\cdot 1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=7219kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>A_{s,min}=\frac{M_{cr}}{z_{II}\cdot f_{yk}}=\frac{7219}{63,9\cdot50}</math>

<math>A_{s,min}=2,25cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,25cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Drucknormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{-115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=8663kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=8663-(-115,5)\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=12532kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{12532}{63,9}-115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=1,61cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=1,61cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Zugnormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=5775kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=5775-115,5\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=1906kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{1906}{63,9}+115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=2,91cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,91cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = in Bearbeitung|}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)

2025-05-06T22:01:58Z

Gbolle: /* Aufgabenstellung */

Auf dieser Seite wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität an einem ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Robustheitsbewehrung) |Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=
==Aufgabenstellung==

[[File:Biegebemessung_mit_dem_omega_Verfahren1.png|right|thumb|200px|]]

Die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll für einen Balken mit Rechteckquerschnitt (b = 35 cm; h = 75 cm; As,vorh = 15,71 cm²) ermittelt werden. Sie soll ohne Normalkraft, mit angreifender Drucknormalkraft (NEd = -115,5 kN) und mit angreifender Zugnormalkraft (NEd = 115,5kN) ermittelt werden. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Bei dem Stahl handelt es sich um einen B500A. Die [[Statische Nutzhöhe|statische Nutzhöhe]] beträgt 71 cm.

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2\frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>f_{yk}=500\frac{N}{mm^2}=50\frac{kN}{cm^2}</math>

=Querschnittswerte=

<math>I_I=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230469cm^4</math>

<math>z_{I,c1}=\frac{h}{2}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>z_{II}=0,9\cdot d=0,9\cdot71=63,9cm</math>

<math>z_s=d-\frac{h}{2}=71-\frac{75}{2}=33,5cm</math>

<math>A_c=h\cdot h=35\cdot75=2625cm^2</math>

=Mindestbewehrung ohne Normalkraft=

'''Ermittlung des Rissmoments'''

<math>M_{cr}=\frac{f_{ctm}\cdot I_I}{z_{I,c1}}==\frac{0,22\cdot 1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=7219kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>A_{s,min}=\frac{M_{cr}}{z_{II}\cdot f_{yk}}=\frac{7219}{63,9\cdot50}</math>

<math>A_{s,min}=2,25cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,25cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Drucknormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{-115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=8663kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=8663-(-115,5)\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=12532kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{12532}{63,9}-115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=1,61cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=1,61cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Zugnormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=5775kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=5775-115,5\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=1906kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{1906}{63,9}+115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=2,91cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,91cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = in Bearbeitung|}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)

2025-05-06T22:00:30Z

Gbolle: /* Querschnittswerte */

Auf dieser Seite wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität an einem ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Robustheitsbewehrung) |Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität]] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=
==Aufgabenstellung==

[[File:Biegebemessung_mit_dem_omega_Verfahren1.png|right|thumb|200px|]]

Die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll für einen Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm; Avorh=15,71cm²) ermittelt werden. Sie soll ohne Normalkraft, mit angreifender Drucknormalkraft (NEd=-115,5kN) und mit angreifender Zugnormalkraft (NEd=115,5kN) ermittelt werden. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Bei dem Stahl handelt es sich um einen B500A. Die [[Statische Nutzhöhe|statische Nutzhöhe]] beträgt 71cm.

=Festigkeiten=

<math>f_{ctm}=2,2\frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>f_{yk}=500\frac{N}{mm^2}=50\frac{kN}{cm^2}</math>

=Querschnittswerte=

<math>I_I=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230469cm^4</math>

<math>z_{I,c1}=\frac{h}{2}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>

<math>z_{II}=0,9\cdot d=0,9\cdot71=63,9cm</math>

<math>z_s=d-\frac{h}{2}=71-\frac{75}{2}=33,5cm</math>

<math>A_c=h\cdot h=35\cdot75=2625cm^2</math>

=Mindestbewehrung ohne Normalkraft=

'''Ermittlung des Rissmoments'''

<math>M_{cr}=\frac{f_{ctm}\cdot I_I}{z_{I,c1}}==\frac{0,22\cdot 1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=7219kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>A_{s,min}=\frac{M_{cr}}{z_{II}\cdot f_{yk}}=\frac{7219}{63,9\cdot50}</math>

<math>A_{s,min}=2,25cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,25cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Drucknormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{-115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=8663kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=8663-(-115,5)\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=12532kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{12532}{63,9}-115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=1,61cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=1,61cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

=Mindestbewehrung mit Zugnormalkraft=

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr}=\left(f_{ctm}-\frac{N}{A_c}\right)\cdot\frac{I_I}{z_{I,c1}}=\left(0,22-\frac{115,5}{2625}\right)\cdot\frac{1230469}{37,5}</math>

<math>M_{cr}=5775kNcm</math>

'''Ermittlung der Mindestbewehrung:'''

<math>M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_s=5775-115,5\cdot 33,5</math>

<math>M_{cr,s}=1906kNcm</math>

<math>A_{s,min}=\left(\frac{M_{cr,s}}{z_{II}}+N\right)\cdot\frac{1}{f_{yk}}=\left(\frac{1906}{63,9}+115,5\right)\cdot\frac{1}{50}</math>

<math>A_{s,min}=2,91cm^2</math>

<math>\underline{{A_{s,min}=2,91cm^2<15,71cm^2=A_{s,vorh}}}</math>

<math>\Rightarrow</math>Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:33:46Z

Gbolle:

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|250px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

=Unterscheidung=

==Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)==
[[File:Direkte Lagerung.PNG|right|thumb|350px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

==Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)==
[[File:indirekte Lagerung 01.png|right|thumb|350px|Einbinden eines Nebenunterzugs in einen Hauptunterzug]]
Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

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Effektive Stützweite

2025-04-28T13:31:08Z

Gbolle:

[[File:effektive stuetzweite.png|right|thumb|300px|lichte Weite und effektive Stützweite]]
Die effektive Stützweite bezeichnet den Abstand zwischen den rechnerischen Auflagern eines Bauteils am gewählten statischen System. Die Ermittlung der effektiven Stützweite ist Teil der Tragwerksidealisierung. Abhängig von den Lagerungsbedingungen und der Bauteilgeometrie wird die Lage der rechnerischen Auflagerlinien unterschiedlich ermittelt. 
 

Die effektive Stützweite leff wird wie folgt ermittelt: 
:::leff = ln + a1 + a2
:wobei:
::ln - lichter Abstand zwischen den Auflagerrändern
::a1, a2 - Abstand zwischen der rechnerischen Auflagerlinie und dem Auflagerrand
 
{| class="wikitable"
|-
! Auflagerbedingung !! EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(1)</ref>
|-
| '''a)''' nicht durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung a.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''b)''' durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung b.png|rahmenlos|tumb|160px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''c)''' Auflager mit voller Einspannung 
[[File:Auflagerbedingung c.png|rahmenlos|tumb|140px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''d)''' freie Kragträger 
[[File:Auflagerbedingung d.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = 0
|-
| '''e)''' Kragarm eines Durchlaufträgers 
[[File:Auflagerbedingung e.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''f)''' Anordnung eines Lagers 
[[File:Auflagerbedingung f.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = Mitte Lager bis Auflagerrand
|}
 
<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
* Die Bestimmung des Auflagerachsabstandes ai = min {0,5 h; 0,5 t} ist eine Anwendungsregel. Empfohlen wird auf der sicheren Seite mit ai =0,5 t zu rechnen (insbesondere am Zwischenauflager und am Kragarm eines Durchlaufträgers)!</div> 
 

==Quellen==
=== Normen ===
<references />
 
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Effektive Stützweite

2025-04-28T13:29:45Z

Gbolle:

[[File:effektive stuetzweite.png|right|thumb|300px|Querschnitt unter reiner Biegung]]
Die effektive Stützweite bezeichnet den Abstand zwischen den rechnerischen Auflagern eines Bauteils am gewählten statischen System. Die Ermittlung der effektiven Stützweite ist Teil der Tragwerksidealisierung. Abhängig von den Lagerungsbedingungen und der Bauteilgeometrie wird die Lage der rechnerischen Auflagerlinien unterschiedlich ermittelt. 
 

Die effektive Stützweite leff wird wie folgt ermittelt: 
:::leff = ln + a1 + a2
:wobei:
::ln - lichter Abstand zwischen den Auflagerrändern
::a1, a2 - Abstand zwischen der rechnerischen Auflagerlinie und dem Auflagerrand
 
{| class="wikitable"
|-
! Auflagerbedingung !! EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(1)</ref>
|-
| '''a)''' nicht durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung a.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''b)''' durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung b.png|rahmenlos|tumb|160px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''c)''' Auflager mit voller Einspannung 
[[File:Auflagerbedingung c.png|rahmenlos|tumb|140px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''d)''' freie Kragträger 
[[File:Auflagerbedingung d.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = 0
|-
| '''e)''' Kragarm eines Durchlaufträgers 
[[File:Auflagerbedingung e.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''f)''' Anordnung eines Lagers 
[[File:Auflagerbedingung f.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = Mitte Lager bis Auflagerrand
|}
 
<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
* Die Bestimmung des Auflagerachsabstandes ai = min {0,5 h; 0,5 t} ist eine Anwendungsregel. Empfohlen wird auf der sicheren Seite mit ai =0,5 t zu rechnen (insbesondere am Zwischenauflager und am Kragarm eines Durchlaufträgers)!</div> 
 

==Quellen==
=== Normen ===
<references />
 
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Effektive Stützweite

2025-04-28T13:26:55Z

Gbolle:

[[File:effektive stuetzweite.png|right|thumb|300px|Querschnitt unter reiner Biegung]]
Die effektive Stützweite bezeichnet den Abstand zwischen den rechnerischen Auflagern eines Bauteils am gewählten statischen System. Abhängig von den Lagerungsbedingungen und der Bauteilgeometrie wird die Lage der rechnerischen Auflagerlinien unterschiedlich ermittelt. 
 

==Berechnungsgrundlagen==
Die effektive Stützweite leff wird wie folgt ermittelt: 
:::leff = ln + a1 + a2
:wobei:
::ln - lichter Abstand zwischen den Auflagerrändern
::a1, a2 - Abstand zwischen der rechnerischen Auflagerlinie und dem Auflagerrand
 
{| class="wikitable"
|-
! Auflagerbedingung !! EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(1)</ref>
|-
| '''a)''' nicht durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung a.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''b)''' durchlaufende Bauteile 
[[File:Auflagerbedingung b.png|rahmenlos|tumb|160px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''c)''' Auflager mit voller Einspannung 
[[File:Auflagerbedingung c.png|rahmenlos|tumb|140px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''d)''' freie Kragträger 
[[File:Auflagerbedingung d.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = 0
|-
| '''e)''' Kragarm eines Durchlaufträgers 
[[File:Auflagerbedingung e.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = min {0,5h; 0,5t}
|-
| '''f)''' Anordnung eines Lagers 
[[File:Auflagerbedingung f.png|rahmenlos|tumb|150px|nicht durchlaufende Bauteile]] 
|| ai = Mitte Lager bis Auflagerrand
|}
 
<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
* Die Bestimmung des Auflagerachsabstandes ai = min {0,5 h; 0,5 t} ist eine Anwendungsregel. Empfohlen wird auf der sicheren Seite mit ai =0,5 t zu rechnen (insbesondere am Zwischenauflager und am Kragarm eines Durchlaufträgers)!</div> 
 

==Quellen==
=== Normen ===
<references />
 
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Datei:Effektive stuetzweite.png

2025-04-28T13:26:02Z

Gbolle:

Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:17:32Z

Gbolle:

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|250px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

==Unterscheidung==

===Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)===
[[File:Direkte Lagerung.PNG|right|thumb|350px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

===Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)===
[[File:indirekte Lagerung 01.png|right|thumb|350px|Einbinden eines Nebenunterzugs in einen Hauptunterzug]]
Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

==Quellen==

<references/>

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Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:17:02Z

Gbolle:

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|300px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

==Unterscheidung==

===Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)===
[[File:Direkte Lagerung.PNG|right|thumb|400px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

===Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)===
[[File:indirekte Lagerung 01.png|right|thumb|400px|Einbinden eines Nebenunterzugs in einen Hauptunterzug]]
Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

==Quellen==

<references/>

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Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:14:28Z

Gbolle: /* Unterscheidung */

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|300px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

==Unterscheidung==

===Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)===
[[File:Direkte Lagerung.PNG|right|thumb|400px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

===Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)===
[[File:indirekte Lagerung 02.PNG|right|thumb|400px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

==Quellen==

<references/>

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Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:12:51Z

Gbolle: /* Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung) */

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|300px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

==Unterscheidung==

===Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)===
[[File:Direkte Lagerung.PNG|right|thumb|400px|Auflagerung einer Decke auf einer Wand]]
Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

===Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)===

Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

[[Datei:Indirekt neu.PNG]]

==Quellen==

<references/>

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Direkte/Indirekte Lagerung

2025-04-28T13:08:26Z

Gbolle:

[[File:indirekte Lagerung 02.png|right|thumb|300px|typischer Fall einer indirekten Lagerung]]Bei verschiedenen Nachweis- und Bemessungsaufgaben unterscheidet man zwischen direkter und indirekter Lagerung je nachdem ob die Auflagerkraft vollständig über Druckspannungen nach unten in das lastabnehmende Bauteil übertragen werden kann oder nicht.

==Unterscheidung==

===Direkte Lagerung (unmittelbare Lagerung)===

Ein Bauteil gilt als direkt gelagert, wenn es auf dem lastabtragenden Bauteil aufliegt, sodass die Auflagerkraft über Druckspannungen vom lastbringenden in das lastabtragende Bauteil übertragen wird.
Das lastabtragende Bauteil kann eine Stütze, eine Wand oder ein hoher Unterzug sein.

Eine direkte Lagerung hat günstige Auswirkungen auf:
* die Querkrafttragfähigkeit eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
* die Querkrafttragfähigkeit der Bügelbewehrung
* die erforderliche Verankerungslänge der Biegezugbewehrung
 

[[Datei:Direkte Lagerung.PNG]]

===Indirekte Lagerung (mittelbare Lagerung)===

Ein Bauteil gilt als indirekt gelagert, wenn es seitlich in das lastabtragende Bauteil einbindet, so dass die günstig wirkenden Druckspannungen nicht vorhanden sind.
Das lastabtragende Bauteil ist der Regel ein Unterzug mit einer Bauhöhe kleiner dem zweifachen der Bauhöhe des lastbringenden Bauteils.

Im Falle einer indirekten Lagerung liegen die oben genannten begünstigenden Wirkungen nicht vor. Die Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils hochgehängt werden.
 

[[Datei:Indirekt neu.PNG]]

==Quellen==

<references/>

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:Indirekte Lagerung 02.png

2025-04-28T13:06:03Z

Gbolle:

Datei:Indirekte Lagerung 01.png

2025-04-28T13:05:43Z

Gbolle:

Datei:Direkte Lagerung.PNG

2025-04-28T13:02:22Z

Gbolle: Gbolle lud eine neue Version von Datei:Direkte Lagerung.PNG hoch

Deckengleicher Unterzug - Anwendung

2025-04-28T12:41:33Z

Gbolle: /* Unterbrochene Stützung mit größerer Länge */

Das Tragverhalten kontinuierlich gelagerter Platten ändert sich, wenn in einem Teilbereich die Stützung, z. B. wegen der Anordnung von Öffnungen ausfällt. Hier ist dann zusätzliche Bewehrung in einem Tragstreifen der Platte erforderlich, der auch als "deckengleicher Unterzug" bezeichnet wird.

=Klassifzierung=
Unterbrochene Stützungen in Platten werden nach <ref Name = "DAfStb Heft 631">Hilfsmittel zur Schnittgrößenermittlung und zu besonderen Detailnachweisen bei Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 631, S. 40..41</ref> in Abhängigkeit von der Biegeschlankheit der fehlenden Unterstützung in drei Bereiche unterteilt:

== Unterbrochene Stützung mit geringer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 7</math> 
 

wobei:
:leff - effektive Stützweite des deckengleichen Unterzuges [cm] 
:h - Plattendicke [cm] 
 

Ein rechnerischer Nachweis ist nicht erforderlich, weder für die angrenzenden Plattenbereiche, noch für den Bereich der fehlenden Stützung. Zur Aufnahme der Schnittgrößen im Bereich der fehlenden Stützung reichen konstruktive Stabstahlzulagen (im Hochbau üblicherweise jeweils 2 Ø 12 für die obere und die untere Bewehrung). Die oberen Stäbe sind zur Aufnahme der Stützmomente ausreichend weit über den Auflagerrand zu führen (ca. 0,6 l je Auflager). Es ist darauf zu achten, dass die Plattenbewehrung über die Stabstahlzulagen hinweg gelegt wird (Prinzip: lastbringende Bewehrung liegt über der lastabnehmenden Bewehrung). 
 

== Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge ==
:<math> 7 \le \cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 15</math> 

In diesem Bereich ist eine genaue Schnittgrößenberechnung der angrenzenden Platten unter Berücksichtigung der fehlenden Stützung entbehrlich. Die in Richtung der fehlenden Stützung zusätzlich erforderliche Bewehrung bedarf jedoch einer gesonderten Bemessung. Hierbei darf mit dem Ersatzsystem des deckengleichen Unterzuges (Blindbalken) gerechnet werden. Zusätzlich sind einige konstruktive Maßnahmen zu berücksichtigen. 
Infolge der unterbrochenen Stützung entstehen Schnittkräfte, welche in Abhängigkeit vom statischen System einem Ersatzbalken zugeordnet werden. Die Ermittlung der Flächenlasten aus den angrenzenden Deckenfeldern erfolgt über die Definition von [[Deckengleicher Unterzug - Lasteinzugsfläche|Lasteinzugsflächen]]. Da der deckengleiche Unterzug keine konkreten Abmessungen besitzt, muss je nach betrachteter Schnittgröße jeweils eine [[Deckengleicher Unterzug - mitwirkende Plattenbreite|mitwirkende Breite]] definiert werden. Im Übergangsbereich zur kontinuierlichen Stützung kann ggf. [[Deckengleicher Unterzug - zusätzliche Plattenbewehrung|zusätzliche Plattenbewehrung]] erforderlich werden. 
 

== Unterbrochene Stützung mit größerer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} > 15</math> 

Bei unterbrochenen Stützungen mit größerer Länge kann der Einfluss der fehlenden Stützung auf die Plattenschnittkräfte nicht mehr vernachlässigt werden. Das Tragverhalten kann hier nicht mehr zuverlässig mit den Bemessungsregeln eines deckengleichen Unterzuges erfasst werden und muss daher nach der Plattentheorie unter Berücksichtigung des nicht unterstützten Bereiches der Platte berechnet werden.<ref Name = "DAfStb Heft 631" /> 
 

=Quellen=
<references />

 
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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Deckengleicher Unterzug - Anwendung

2025-04-28T12:41:13Z

Gbolle: /* Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge */

Das Tragverhalten kontinuierlich gelagerter Platten ändert sich, wenn in einem Teilbereich die Stützung, z. B. wegen der Anordnung von Öffnungen ausfällt. Hier ist dann zusätzliche Bewehrung in einem Tragstreifen der Platte erforderlich, der auch als "deckengleicher Unterzug" bezeichnet wird.

=Klassifzierung=
Unterbrochene Stützungen in Platten werden nach <ref Name = "DAfStb Heft 631">Hilfsmittel zur Schnittgrößenermittlung und zu besonderen Detailnachweisen bei Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 631, S. 40..41</ref> in Abhängigkeit von der Biegeschlankheit der fehlenden Unterstützung in drei Bereiche unterteilt:

== Unterbrochene Stützung mit geringer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 7</math> 
 

wobei:
:leff - effektive Stützweite des deckengleichen Unterzuges [cm] 
:h - Plattendicke [cm] 
 

Ein rechnerischer Nachweis ist nicht erforderlich, weder für die angrenzenden Plattenbereiche, noch für den Bereich der fehlenden Stützung. Zur Aufnahme der Schnittgrößen im Bereich der fehlenden Stützung reichen konstruktive Stabstahlzulagen (im Hochbau üblicherweise jeweils 2 Ø 12 für die obere und die untere Bewehrung). Die oberen Stäbe sind zur Aufnahme der Stützmomente ausreichend weit über den Auflagerrand zu führen (ca. 0,6 l je Auflager). Es ist darauf zu achten, dass die Plattenbewehrung über die Stabstahlzulagen hinweg gelegt wird (Prinzip: lastbringende Bewehrung liegt über der lastabnehmenden Bewehrung). 
 

== Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge ==
:<math> 7 \le \cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 15</math> 

In diesem Bereich ist eine genaue Schnittgrößenberechnung der angrenzenden Platten unter Berücksichtigung der fehlenden Stützung entbehrlich. Die in Richtung der fehlenden Stützung zusätzlich erforderliche Bewehrung bedarf jedoch einer gesonderten Bemessung. Hierbei darf mit dem Ersatzsystem des deckengleichen Unterzuges (Blindbalken) gerechnet werden. Zusätzlich sind einige konstruktive Maßnahmen zu berücksichtigen. 
Infolge der unterbrochenen Stützung entstehen Schnittkräfte, welche in Abhängigkeit vom statischen System einem Ersatzbalken zugeordnet werden. Die Ermittlung der Flächenlasten aus den angrenzenden Deckenfeldern erfolgt über die Definition von [[Deckengleicher Unterzug - Lasteinzugsfläche|Lasteinzugsflächen]]. Da der deckengleiche Unterzug keine konkreten Abmessungen besitzt, muss je nach betrachteter Schnittgröße jeweils eine [[Deckengleicher Unterzug - mitwirkende Plattenbreite|mitwirkende Breite]] definiert werden. Im Übergangsbereich zur kontinuierlichen Stützung kann ggf. [[Deckengleicher Unterzug - zusätzliche Plattenbewehrung|zusätzliche Plattenbewehrung]] erforderlich werden. 
 

== Unterbrochene Stützung mit größerer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{n}}{h} > 15</math> 

Bei unterbrochenen Stützungen mit größerer Länge kann der Einfluss der fehlenden Stützung auf die Plattenschnittkräfte nicht mehr vernachlässigt werden. Das Tragverhalten kann hier nicht mehr zuverlässig mit den Bemessungsregeln eines deckengleichen Unterzuges erfasst werden und muss daher nach der Plattentheorie unter Berücksichtigung des nicht unterstützten Bereiches der Platte berechnet werden.<ref Name = "DAfStb Heft 631" /> 
 

=Quellen=
<references />

 
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|Status = Seite geprüft, inhaltlich OK|
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Deckengleicher Unterzug - Anwendung

2025-04-28T12:30:19Z

Gbolle: /* Unterbrochene Stützung mit geringer Länge */

Das Tragverhalten kontinuierlich gelagerter Platten ändert sich, wenn in einem Teilbereich die Stützung, z. B. wegen der Anordnung von Öffnungen ausfällt. Hier ist dann zusätzliche Bewehrung in einem Tragstreifen der Platte erforderlich, der auch als "deckengleicher Unterzug" bezeichnet wird.

=Klassifzierung=
Unterbrochene Stützungen in Platten werden nach <ref Name = "DAfStb Heft 631">Hilfsmittel zur Schnittgrößenermittlung und zu besonderen Detailnachweisen bei Stahlbetontragwerken, DAfStb Heft 631, S. 40..41</ref> in Abhängigkeit von der Biegeschlankheit der fehlenden Unterstützung in drei Bereiche unterteilt:

== Unterbrochene Stützung mit geringer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{eff}}{h} \le 7</math> 
 

wobei:
:leff - effektive Stützweite des deckengleichen Unterzuges [cm] 
:h - Plattendicke [cm] 
 

Ein rechnerischer Nachweis ist nicht erforderlich, weder für die angrenzenden Plattenbereiche, noch für den Bereich der fehlenden Stützung. Zur Aufnahme der Schnittgrößen im Bereich der fehlenden Stützung reichen konstruktive Stabstahlzulagen (im Hochbau üblicherweise jeweils 2 Ø 12 für die obere und die untere Bewehrung). Die oberen Stäbe sind zur Aufnahme der Stützmomente ausreichend weit über den Auflagerrand zu führen (ca. 0,6 l je Auflager). Es ist darauf zu achten, dass die Plattenbewehrung über die Stabstahlzulagen hinweg gelegt wird (Prinzip: lastbringende Bewehrung liegt über der lastabnehmenden Bewehrung). 
 

== Unterbrochene Stützung mit mäßiger Länge ==
:<math> 7 \le \cfrac{l_\mathrm{n}}{h} \le 15</math> 

In diesem Bereich ist eine genaue Schnittgrößenberechnung der angrenzenden Platten unter Berücksichtigung der fehlenden Stützung entbehrlich. Die in Richtung der fehlenden Stützung zusätzlich erforderliche Bewehrung bedarf jedoch einer gesonderten Bemessung. Hierbei darf mit dem Ersatzsystem des deckengleichen Unterzuges (Blindbalken) gerechnet werden. Zusätzlich sind einige konstruktive Maßnahmen zu berücksichtigen. 
Infolge der unterbrochenen Stützung entstehen Schnittkräfte, welche in Abhängigkeit vom statischen System einem Ersatzbalken zugeordnet werden. Die Ermittlung der Flächenlasten aus den angrenzenden Deckenfeldern erfolgt über die Definition von [[Deckengleicher Unterzug - Lasteinzugsfläche|Lasteinzugsflächen]]. Da der deckengleiche Unterzug keine konkreten Abmessungen besitzt, muss je nach betrachteter Schnittgröße jeweils eine [[Deckengleicher Unterzug - mitwirkende Plattenbreite|mitwirkende Breite]] definiert werden. Im Übergangsbereich zur kontinuierlichen Stützung kann ggf. [[Deckengleicher Unterzug - zusätzliche Plattenbewehrung|zusätzliche Plattenbewehrung]] erforderlich werden. 
 

== Unterbrochene Stützung mit größerer Länge ==
:<math>\cfrac{l_\mathrm{n}}{h} > 15</math> 

Bei unterbrochenen Stützungen mit größerer Länge kann der Einfluss der fehlenden Stützung auf die Plattenschnittkräfte nicht mehr vernachlässigt werden. Das Tragverhalten kann hier nicht mehr zuverlässig mit den Bemessungsregeln eines deckengleichen Unterzuges erfasst werden und muss daher nach der Plattentheorie unter Berücksichtigung des nicht unterstützten Bereiches der Platte berechnet werden.<ref Name = "DAfStb Heft 631" /> 
 

=Quellen=
<references />

 
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2025-03-24T14:44:01Z

Gbolle: /* Schnittgrößenermittlung */

[[Datei:Nennkrümmung Einführung.png|right|thumb|150px|Stütze mit Lastexzentrizitäten]]
Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt eine Möglichkeit der näherungsweisen Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Dazu soll die Gesamtausmitte einer idealisierten Modellstütze unter vereinfachten Annahmen zum Krümmungsverlauf über die Stützenhöhe ermittelt werden. 

== Allgemeines ==
[[Datei:Modellstuetzenverfahren3.png|right|thumb|500px|herausgelöste Modellstütze und Lage des Bemessungsschnittes für eine Kragstütze (A), für eine beidseitig eingespannte Stütze (B) und für eine Pendelstütze (C)]]
Das Verfahren mit Nennkrümmung wird vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, die je nach vorliegendem statischem System aus der zu berechnenden Stütze gedanklich heraus gelöst wird. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnittgrößenberechnung aufgenommen.

== Anwendungsbedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Querschnittshöhe in der jeweiligen Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist das Verfahren ebenfalls anwendbar, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach <ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref> ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1b.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsverteilung auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref>. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Druckglieder - Bemessung#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Verfahren mit Nennkrümmung (auch: Modellstützenverfahren).

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

:<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math> 

wobei 

:<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
:<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref> vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref> oder <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref> Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2025-03-24T14:42:38Z

Gbolle: /* Schnittgrößenermittlung */

[[Datei:Nennkrümmung Einführung.png|right|thumb|150px|Stütze mit Lastexzentrizitäten]]
Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt eine Möglichkeit der näherungsweisen Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Dazu soll die Gesamtausmitte einer idealisierten Modellstütze unter vereinfachten Annahmen zum Krümmungsverlauf über die Stützenhöhe ermittelt werden. 

== Allgemeines ==
[[Datei:Modellstuetzenverfahren3.png|right|thumb|500px|herausgelöste Modellstütze und Lage des Bemessungsschnittes für eine Kragstütze (A), für eine beidseitig eingespannte Stütze (B) und für eine Pendelstütze (C)]]
Das Verfahren mit Nennkrümmung wird vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, die je nach vorliegendem statischem System aus der zu berechnenden Stütze gedanklich heraus gelöst wird. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnittgrößenberechnung aufgenommen.

== Anwendungsbedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Querschnittshöhe in der jeweiligen Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist das Verfahren ebenfalls anwendbar, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach <ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref> ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1b.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsverteilung auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref>. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Druckglieder - Bemessung#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Verfahren mit Nennkrümmung (auch: Modellstützenverfahren).

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

:<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math>
 
wobei 
:<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
:<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref> vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref> oder <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref> Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querschnittstyp (S402.de)

2025-03-24T13:42:08Z

Gbolle:

[[File:Querschnittstyp_(S402.de)_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Die Querschnittswahl beschränkt sich hierbei auf die gesamte Länge der Stütze. Es können Rechteck- und Kreisquerschnitte ausgewählt werden. Bei anderen Querschnittsformen muss auf der sicheren Seite liegend ein Rechteck- oder Kreisquerschnitt ausgewählt werden, der von dem realen Querschnitt umschrieben wird und hinsichtlich der Bewehrungsführung die normativen Bedingungen erfüllt.
==Quellen==

<references />
 

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Diskussion:Positionstyp (S***.de)

2025-03-24T12:57:13Z

Gbolle: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „ -----“

-----

Positionstyp (S***.de)

2025-03-24T12:56:58Z

Gbolle:

[[File:Positionstyp_(SXXX.de)_1.png|rand|500px|Positionstyp]] 
 

Die Auswahl zwischen "Pendelstütze" und "Kragstütze" dient - nicht, wie man vermuten könnte - vordergründig der automatischen Ermittlung der Knicklänge. Dies ist nur ein "Abfallprodukt" dann, wenn die untersuchte Stütze sich direkt dem Typ "Pendelstütze" oder "Kragstütze" zuordnen lässt. Die hier getroffene Auswahl liefert vielmehr die notwendigen Informationen zur Festlegung des statischen Systems für die Schnittgrößenermittlung (z. B. für die Weiterleitung von Horizontalkräften auf das bzw. die Auflager). Die beiden Positionstypen sind Vereinfachungen. Andere statische Systeme, z. B. mit unterschiedlichen Einspanngraden lassen sich hier nicht angeben.

<references />
 

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Zwischenauflager - Ermittlung der Bemessungsmomente

2025-03-11T12:19:58Z

Gbolle: /* Mindestmomente an Zwischenauflagern */

=Grundlagen=

Für die Berechnung am statischen System werden die Auflager vereinfacht auf einen Punkt (Balken) oder eine Linie (Platte) reduziert. Die auf diese Weise an Zwischenauflagern ermittelten Biegemomente fallen dabei deutlich größer aus, als es bei Berücksichtigung der realen Auflagerbreite und der konstruktiven Ausführung des Auflagers der Fall wäre. Um eine massenhafte Überbemessung zu vermeiden, gibt es die Möglichkeit die ermittelten Biegemomente abhängig von der Auflagerbreite der Realität wieder anzunähern. Hinsichtlich der konstruktiven Ausführung unterscheidet man hierbei zwischen nicht-monolithischer und monolithischer Verbindung zwischen Bauteil und Auflager.

=Momentenausrundung (nicht-monolithische Verbindung)=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 2.PNG|right|thumb|300px|Momentenausrundung bei nicht-monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil nicht monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann es sich über dem Auflager frei verformen. Für die Anpassung des Moments wird die Auflagerkraft über das Auflager verteilt als schlaffe Last angenommen. Die Lagerungsform wird auch oft als "frei drehbare Lagerung" bezeichnet. Das Verfahren der Momentenabminderung selbst wird "Momentenausrundung" (siehe [[Momentenausrundung (Bsp.)|Beispiel]]) genannt.

Das Bemessungsmoment wird wie folgt ermittelt (EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(4)</ref>):
 

:<math>\vert M'_\mathrm{Ed}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert F_\mathrm{Ed,sup}\vert \cdot \cfrac{t}{8}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M'_\mathrm{Ed}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> F_\mathrm{Ed,sup} </math> … || Bemessungswert der Auflagerkraft
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Bemessung am Anschnitt=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 3.PNG|right|thumb|300px|Anschnittmomente bei monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann sich das Bauteil über dem Zwischenauflager nicht oder zumindest deutlich geringer verformen als im übrigen Bereich. Dies ist genau dann der Fall, wenn das unterstützende Bauteil im Auflagerbereich eine Vergrößerung der statischen Nutzhöhe von 1:3 zulässt. Der Bereich des Auflagers ist aus diesem Grunde für die Bemessung nicht relevant. Für die Bemessung werden daher die Momente am Auflageranschnitt ermittelt (Anschnittmomente). Der größere der beiden Werte (am linken und rechten Auflagerrand) ist für die Bemessung maßgebend.
Die Anschnittmomente können wie folgt ermittelt werden:

:<math>\vert M_\mathrm{Ed,I}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
:<math>\vert M_\mathrm{Ed,II}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed,I}\vert </math> bzw. <math> \vert M_\mathrm{Ed,II}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments am linken bzw. rechten Auflageranschnitt
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert </math> bzw. <math> \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert </math> … || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft links bzw. rechts vom Auflager
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Mindestmomente an Zwischenauflagern=

Bei sehr breiten Auflagern kann die oben beschriebene Momentenabminderung dazu führen, dass die rechnerisch ermittelten Momente sehr klein werden. Infolge von Toleranzen am Bau oder Unterschieden zwischen Berechnungsmodell und Realität (z. B. Steifigkeitsunterschiede) kann es dann leicht zur Überschreitung der ermittelten Momente kommen.
Nach EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(3)</ref> werden daher zur Berücksichtigung unbeabsichtigter Abweichungen Mindestmomente am Auflagerrand definiert, die nicht unterschritten werden dürfen. Konkret gilt hier ein Mindestmoment von 65 % des Moments bei Annahme einer vollen Randeinspannung. 
 

Für die Ermittlung der Mindestmomente an Innenstützen bei Rand- und Innenfeldern gelten dann folgende Bestimmungsgleichungen:
 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot (l_\mathrm{n}+ a_\mathrm{i})^{~2}}{8}~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Randfelder}</math> 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot l_\mathrm{n}^{~2}}{12}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Innenfelder}</math> 
 
:mit: 
 
:<math>l_\mathrm{n}~~~~~~~~~~\mathrm{lichte~Weite~zwischen~den~Auflagern}</math> 
:<math>a_\mathrm{i}~~~~~~~~~~=\mathrm{min} \{ 0{,}5\cdot t~;~0{,}5\cdot h \}</math> 

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 4.PNG|rahmenlos|tumb|700px|Eingabefeld]] 
 

<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
*Die Berücksichtigung der Mindestmomente an Innenauflagern ist für monolithische Lagerung anwendbar.</div>
 

=Quellen=
=Normen=
<references />
 
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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwischenauflager - Ermittlung der Bemessungsmomente

2025-03-10T14:19:17Z

Gbolle: /* Mindestmoment am Innenauflager */

=Grundlagen=

Für die Berechnung am statischen System werden die Auflager vereinfacht auf einen Punkt (Balken) oder eine Linie (Platte) reduziert. Die auf diese Weise an Zwischenauflagern ermittelten Biegemomente fallen dabei deutlich größer aus, als es bei Berücksichtigung der realen Auflagerbreite und der konstruktiven Ausführung des Auflagers der Fall wäre. Um eine massenhafte Überbemessung zu vermeiden, gibt es die Möglichkeit die ermittelten Biegemomente abhängig von der Auflagerbreite der Realität wieder anzunähern. Hinsichtlich der konstruktiven Ausführung unterscheidet man hierbei zwischen nicht-monolithischer und monolithischer Verbindung zwischen Bauteil und Auflager.

=Momentenausrundung (nicht-monolithische Verbindung)=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 2.PNG|right|thumb|300px|Momentenausrundung bei nicht-monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil nicht monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann es sich über dem Auflager frei verformen. Für die Anpassung des Moments wird die Auflagerkraft über das Auflager verteilt als schlaffe Last angenommen. Die Lagerungsform wird auch oft als "frei drehbare Lagerung" bezeichnet. Das Verfahren der Momentenabminderung selbst wird "Momentenausrundung" (siehe [[Momentenausrundung (Bsp.)|Beispiel]]) genannt.

Das Bemessungsmoment wird wie folgt ermittelt (EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(4)</ref>):
 

:<math>\vert M'_\mathrm{Ed}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert F_\mathrm{Ed,sup}\vert \cdot \cfrac{t}{8}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M'_\mathrm{Ed}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> F_\mathrm{Ed,sup} </math> … || Bemessungswert der Auflagerkraft
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Bemessung am Anschnitt=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 3.PNG|right|thumb|300px|Anschnittmomente bei monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann sich das Bauteil über dem Zwischenauflager nicht oder zumindest deutlich geringer verformen als im übrigen Bereich. Dies ist genau dann der Fall, wenn das unterstützende Bauteil im Auflagerbereich eine Vergrößerung der statischen Nutzhöhe von 1:3 zulässt. Der Bereich des Auflagers ist aus diesem Grunde für die Bemessung nicht relevant. Für die Bemessung werden daher die Momente am Auflageranschnitt ermittelt (Anschnittmomente). Der größere der beiden Werte (am linken und rechten Auflagerrand) ist für die Bemessung maßgebend.
Die Anschnittmomente können wie folgt ermittelt werden:

:<math>\vert M_\mathrm{Ed,I}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
:<math>\vert M_\mathrm{Ed,II}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed,I}\vert </math> bzw. <math> \vert M_\mathrm{Ed,II}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments am linken bzw. rechten Auflageranschnitt
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert </math> bzw. <math> \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert </math> … || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft links bzw. rechts vom Auflager
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Mindestmomente an Zwischenauflagern=
Nach EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(3)</ref> ist zur Berücksichtigung unbeabsichtigter Abweichungen ein Mindestmoment am Auflagerrand von mindestens 65 % einzuhalten. 
 

Die Mindestmomente werden vom Programm bei einer gleichmäßig verteilten Belastung für die Innenstützen wie folgt ermittelt:
 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot (l_\mathrm{n}+ a_\mathrm{i})^{~2}}{8}~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Randfelder}</math> 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot l_\mathrm{n}^{~2}}{12}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Innenfelder}</math> 
 
:mit: 
 
:<math>l_\mathrm{n}~~~~~~~~~~\mathrm{lichte~Weite~zwischen~den~Auflagern}</math> 
:<math>a_\mathrm{i}~~~~~~~~~~=\mathrm{min} \{ 0{,}5\cdot t~;~0{,}5\cdot h \}</math> 

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 4.PNG|rahmenlos|tumb|700px|Eingabefeld]] 
 

<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
*Die Berücksichtigung der Mindestmomente an Innenauflagern ist für monolithische Lagerung anwendbar.</div>
 

=Quellen=
=Normen=
<references />
 
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwischenauflager - Ermittlung der Bemessungsmomente

2025-03-10T14:14:28Z

Gbolle: /* Bemessung am Anschnitt */

=Grundlagen=

Für die Berechnung am statischen System werden die Auflager vereinfacht auf einen Punkt (Balken) oder eine Linie (Platte) reduziert. Die auf diese Weise an Zwischenauflagern ermittelten Biegemomente fallen dabei deutlich größer aus, als es bei Berücksichtigung der realen Auflagerbreite und der konstruktiven Ausführung des Auflagers der Fall wäre. Um eine massenhafte Überbemessung zu vermeiden, gibt es die Möglichkeit die ermittelten Biegemomente abhängig von der Auflagerbreite der Realität wieder anzunähern. Hinsichtlich der konstruktiven Ausführung unterscheidet man hierbei zwischen nicht-monolithischer und monolithischer Verbindung zwischen Bauteil und Auflager.

=Momentenausrundung (nicht-monolithische Verbindung)=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 2.PNG|right|thumb|300px|Momentenausrundung bei nicht-monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil nicht monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann es sich über dem Auflager frei verformen. Für die Anpassung des Moments wird die Auflagerkraft über das Auflager verteilt als schlaffe Last angenommen. Die Lagerungsform wird auch oft als "frei drehbare Lagerung" bezeichnet. Das Verfahren der Momentenabminderung selbst wird "Momentenausrundung" (siehe [[Momentenausrundung (Bsp.)|Beispiel]]) genannt.

Das Bemessungsmoment wird wie folgt ermittelt (EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(4)</ref>):
 

:<math>\vert M'_\mathrm{Ed}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert F_\mathrm{Ed,sup}\vert \cdot \cfrac{t}{8}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M'_\mathrm{Ed}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> F_\mathrm{Ed,sup} </math> … || Bemessungswert der Auflagerkraft
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Bemessung am Anschnitt=

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 3.PNG|right|thumb|300px|Anschnittmomente bei monolithischer Lagerung]]
Wenn das Bauteil monolithisch mit dem Auflager verbunden ist, dann kann sich das Bauteil über dem Zwischenauflager nicht oder zumindest deutlich geringer verformen als im übrigen Bereich. Dies ist genau dann der Fall, wenn das unterstützende Bauteil im Auflagerbereich eine Vergrößerung der statischen Nutzhöhe von 1:3 zulässt. Der Bereich des Auflagers ist aus diesem Grunde für die Bemessung nicht relevant. Für die Bemessung werden daher die Momente am Auflageranschnitt ermittelt (Anschnittmomente). Der größere der beiden Werte (am linken und rechten Auflagerrand) ist für die Bemessung maßgebend.
Die Anschnittmomente können wie folgt ermittelt werden:

:<math>\vert M_\mathrm{Ed,I}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
:<math>\vert M_\mathrm{Ed,II}\vert=\vert M_\mathrm{Ed}\vert - \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert \cdot \cfrac{t}{2}</math> 
wobei:
:{|
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed,I}\vert </math> bzw. <math> \vert M_\mathrm{Ed,II}\vert </math> … || abgeminderter bzw. angepasster Bemessungswert des einwirkenden Moments am linken bzw. rechten Auflageranschnitt
|-
| <math> \vert M_\mathrm{Ed}\vert </math> … || Bemessungswert des einwirkenden Biegemoments aus der statischen Berechnung
|-
| <math> \vert V_\mathrm{Ed,li}\vert </math> bzw. <math> \vert V_\mathrm{Ed,re}\vert </math> … || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft links bzw. rechts vom Auflager
|-
| <math> t </math> … || Auflagerbreite
|}</li>

=Mindestmoment am Innenauflager=
Nach EC2<ref>DIN EN 1992-1-1:2011-01, 5.3.2.2(3)</ref> ist zur Berücksichtigung unbeabsichtigter Abweichungen ein Mindestmoment am Auflagerrand von mindestens 65 % einzuhalten. 
 

Die Mindestmomente werden vom Programm bei einer gleichmäßig verteilten Belastung für die Innenstützen wie folgt ermittelt:
 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot (l_\mathrm{n}+ a_\mathrm{i})^{~2}}{8}~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Randfelder}</math> 
:<math>\mathrm{min}\vert M_\mathrm{Ed}\vert=0{,}65\cdot \cfrac{(g_\mathrm{d} + q_\mathrm{d})\cdot l_\mathrm{n}^{~2}}{12}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Mindestmomente~fuer~Innenfelder}</math> 
 
:mit: 
 
:<math>l_\mathrm{n}~~~~~~~~~~\mathrm{lichte~Weite~zwischen~den~Auflagern}</math> 
:<math>a_\mathrm{i}~~~~~~~~~~=\mathrm{min} \{ 0{,}5\cdot t~;~0{,}5\cdot h \}</math> 

[[File:Ermittlung der Bemessungsmomente 4.PNG|rahmenlos|tumb|700px|Eingabefeld]] 
 

<div style="border: 2px solid blue; padding: 5px;">'''Hinweis:''' 
*Die Berücksichtigung der Mindestmomente an Innenauflagern ist für monolithische Lagerung anwendbar.</div>
 

=Quellen=
=Normen=
<references />
 
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]