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Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-07-04T15:12:34Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
[[File:18_Druckstrebenwinkel cot.png|right|thumb|400px|Einfluss der Druckstrebenneigung <math>\theta</math> auf die bezogene Tragfähigkeit der Druckstreben <math>\upsilon_\mathrm{Rd,\max}</math>]]
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==
[[File:17_Wirkung_Bügelarten.png|thumb|250px|Wirksamkeit der Querkraftbewehrung auf die maximale Schubrissbreite bezogen.]]
Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===
[[File:16_Bügelabstand.png|right|thumb|500px|Folgen bei zu großen Bügelabständen.]]
[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:

*'''Biegeschubversagen:'''

Ähnlich wie bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können auch bei bewehrten Querschnitten Biegeschubrisse bis in die Druckzone vordringen, sodass der verbleibende Druckzonenquerschnitt die Biegedruckkraft nicht mehr aufnehmen kann. Dies tritt jedoch nur auf, wenn durch das Fließen der Querkraftbewehrung große Schubrissbreiten entstehen. Die primäre Versagensursache ist daher das plastische Verhalten (Fließen) der Querkraftbewehrung, das sich durch zunehmende Verformungen und weit geöffnete Risse ankündigt. <ref name="Zilch" />

*'''Zugversagen der Querkraftbewehrung:'''

Ist die Querkraftbewehrung zu schwach bemessen, wird bereits nach dem Auftreten weniger Biegeschubrisse die Zugfestigkeit der Bewehrung erreicht. Die Tragfähigkeit der Druckzone ist zu diesem Zeitpunkt jedoch noch längst nicht ausgeschöpft. Infolgedessen verformt sich der Träger stark, und große Rissweiten kündigen das bevorstehende Versagen an. <ref name="Zilch" />

*'''Stegdruckversagen:'''

In profilierten Trägern mit schlanken Stegen kann es zu einem schlagartigen Versagen der Betondruckstrebe kommen, wenn die Betondruckfestigkeit überschritten wird, noch bevor die Querkraftbewehrung zu fließen beginnt. <ref name="Zilch" />

*'''Verankerungsversagen:'''

Ähnlich wie bei Balken ohne Querkraftbewehrung können bei unzureichender Verankerungslänge der Längsbewehrung fortschreitende Biegeschubrisse entlang der Bewehrung entstehen, die ein schlagartiges Abplatzen der Betondeckung zur Folge haben können. Auch eine mangelhafte Verankerung der Querkraftbewehrung in der Druckzone kann zum Versagen des Bauteils führen. <ref name="Zilch" />

*'''Aufspalten des Stegs bei Querkraftaufbiegungen:'''

Bei Bügelbewehrungen stützt sich die Betondruckstrebe am unteren Rand hauptsächlich auf die steifen Ecken der Bügel ab. Bei Querkraftaufbiegungen hingegen erfolgt die Abstützung der Druckstrebe lediglich über einzelne Stäbe, was zu hohen Spannungskonzentrationen führen kann. Überschreiten die daraus resultierenden Querzugkräfte die Betonzugfestigkeit, entstehen Spaltrisse, die ein schlagartiges Versagen zur Folge haben können. Aus diesem Grund müssen Querkraftaufbiegungen stets in Kombination mit Bügelbewehrung ausgeführt werden. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
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|Status = Seite in Bearbeitung|
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-07-04T12:25:12Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} \leq 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Versagensarten=
[[File:01_Querkraft.png|right|thumb|500px|fortschreitender Biegeschubriss mit anschließenden Versagen der Druckzone]]

Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:
* '''Biegeschubversagen:'''
Bei steigender Belastung entsteht im Balken ein Biegeschubriss, der sich in Höhe der Dehnungsnulllinie in Richtung der Lasteinleitung bewegt und gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Längsbewehrung auf das Auflager zuschreitet. Dieser sogenannte kritische Schubriss trennt den Druck- vom Zuggurt, wodurch sich die inneren Kräfte zu einem Sprengwerk umlagern. Mit zunehmender Belastung wächst der Riss weiter in die Druckzone hinein, bis die verbleibende Druckzone die auftretenden Beanspruchungen nicht mehr aufnehmen kann – der Querschnitt versagt dann schlagartig. Das eigentliche Versagen wird primär durch das Fortschreiten des Biegeschubrisses verursacht, während der Bruch der Druckzone lediglich als Folgeerscheinung auftritt. <ref name="Zilch" />

* '''Stegzugversagen:'''

Bei profilierten Trägern mit dünnen Stegen und dicken Gurten kann die Betonzugfestigkeit im Steg bereits überschritten werden, noch bevor sich der Zuggurt im gerissenen Zustand befindet. Die entstehenden Stegrisse können sich anschließend sowohl in den Druck- als auch in den Zuggurt ausbreiten, was – analog zum Biegeschubversagen – zu einem schlagartigen Bruch führen kann. <ref name="Zilch" />

* '''Verankerungsversagen:'''

Bei steigender Belastung und unzureichender Verankerung der Längsbewehrung oberhalb des Auflagers kann entlang der Biegezugbewehrung ein fortschreitender Riss entstehen (sogenannter Dübelriss). Dies kann zum Absprengen der Betondeckung führen, wodurch der Querschnitt infolge des plötzlichen Herausziehens der Längsbewehrung versagt. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-06-29T15:23:44Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Versagensarten=
[[File:01_Querkraft.png|right|thumb|500px|fortschreitender Biegeschubriss mit anschließenden Versagen der Druckzone]]

Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:
* '''Biegeschubversagen:'''
Bei steigender Belastung entsteht im Balken ein Biegeschubriss, der sich in Höhe der Dehnungsnulllinie in Richtung der Lasteinleitung bewegt und gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Längsbewehrung auf das Auflager zuschreitet. Dieser sogenannte kritische Schubriss trennt den Druck- vom Zuggurt, wodurch sich die inneren Kräfte zu einem Sprengwerk umlagern. Mit zunehmender Belastung wächst der Riss weiter in die Druckzone hinein, bis die verbleibende Druckzone die auftretenden Beanspruchungen nicht mehr aufnehmen kann – der Querschnitt versagt dann schlagartig. Das eigentliche Versagen wird primär durch das Fortschreiten des Biegeschubrisses verursacht, während der Bruch der Druckzone lediglich als Folgeerscheinung auftritt. <ref name="Zilch" />

* '''Stegzugversagen:'''

Bei profilierten Trägern mit dünnen Stegen und dicken Gurten kann die Betonzugfestigkeit im Steg bereits überschritten werden, noch bevor sich der Zuggurt im gerissenen Zustand befindet. Die entstehenden Stegrisse können sich anschließend sowohl in den Druck- als auch in den Zuggurt ausbreiten, was – analog zum Biegeschubversagen – zu einem schlagartigen Bruch führen kann. <ref name="Zilch" />

* '''Verankerungsversagen:'''

Bei steigender Belastung und unzureichender Verankerung der Längsbewehrung oberhalb des Auflagers kann entlang der Biegezugbewehrung ein fortschreitender Riss entstehen (sogenannter Dübelriss). Dies kann zum Absprengen der Betondeckung führen, wodurch der Querschnitt infolge des plötzlichen Herausziehens der Längsbewehrung versagt. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-26T15:59:43Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
[[File:18_Druckstrebenwinkel cot.png|right|thumb|400px|Einfluss der Druckstrebenneigung <math>\theta</math> auf die bezogene Tragfähigkeit der Druckstreben <math>\upsilon_\mathrm{Rd,\max}</math>]]
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==
[[File:17_Wirkung_Bügelarten.png|thumb|250px|Wirksamkeit der Querkraftbewehrung auf die maximale Schubrissbreite bezogen.]]
Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===
[[File:16_Bügelabstand.png|right|thumb|500px|Folgen bei zu großen Bügelabständen.]]
[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:

*'''Biegeschubversagen:'''

Ähnlich wie bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können auch bei bewehrten Querschnitten Biegeschubrisse bis in die Druckzone vordringen, sodass der verbleibende Druckzonenquerschnitt die Biegedruckkraft nicht mehr aufnehmen kann. Dies tritt jedoch nur auf, wenn durch das Fließen der Querkraftbewehrung große Schubrissbreiten entstehen. Die primäre Versagensursache ist daher das plastische Verhalten (Fließen) der Querkraftbewehrung, das sich durch zunehmende Verformungen und weit geöffnete Risse ankündigt. <ref name="Zilch" />

*'''Zugversagen der Querkraftbewehrung:'''

Ist die Querkraftbewehrung zu schwach bemessen, wird bereits nach dem Auftreten weniger Biegeschubrisse die Zugfestigkeit der Bewehrung erreicht. Die Tragfähigkeit der Druckzone ist zu diesem Zeitpunkt jedoch noch längst nicht ausgeschöpft. Infolgedessen verformt sich der Träger stark, und große Rissweiten kündigen das bevorstehende Versagen an. <ref name="Zilch" />

*'''Stegdruckversagen:'''

In profilierten Trägern mit schlanken Stegen kann es zu einem schlagartigen Versagen der Betondruckstrebe kommen, wenn die Betondruckfestigkeit überschritten wird, noch bevor die Querkraftbewehrung zu fließen beginnt. <ref name="Zilch" />

*'''Verankerungsversagen:'''

Ähnlich wie bei Balken ohne Querkraftbewehrung können bei unzureichender Verankerungslänge der Längsbewehrung fortschreitende Biegeschubrisse entlang der Bewehrung entstehen, die ein schlagartiges Abplatzen der Betondeckung zur Folge haben können. Auch eine mangelhafte Verankerung der Querkraftbewehrung in der Druckzone kann zum Versagen des Bauteils führen. <ref name="Zilch" />

*'''Aufspalten des Stegs bei Querkraftaufbiegungen:'''

Bei Bügelbewehrungen stützt sich die Betondruckstrebe am unteren Rand hauptsächlich auf die steifen Ecken der Bügel ab. Bei Querkraftaufbiegungen hingegen erfolgt die Abstützung der Druckstrebe lediglich über einzelne Stäbe, was zu hohen Spannungskonzentrationen führen kann. Überschreiten die daraus resultierenden Querzugkräfte die Betonzugfestigkeit, entstehen Spaltrisse, die ein schlagartiges Versagen zur Folge haben können. Aus diesem Grund müssen Querkraftaufbiegungen stets in Kombination mit Bügelbewehrung ausgeführt werden. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung|
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:18 Druckstrebenwinkel cot.png

2025-05-26T15:50:18Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-22T17:40:10Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==
[[File:17_Wirkung_Bügelarten.png|thumb|250px|Wirksamkeit der Querkraftbewehrung auf die maximale Schubrissbreite bezogen.]]
Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===
[[File:16_Bügelabstand.png|right|thumb|500px|Folgen bei zu großen Bügelabständen.]]
[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:

*'''Biegeschubversagen:'''

Ähnlich wie bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können auch bei bewehrten Querschnitten Biegeschubrisse bis in die Druckzone vordringen, sodass der verbleibende Druckzonenquerschnitt die Biegedruckkraft nicht mehr aufnehmen kann. Dies tritt jedoch nur auf, wenn durch das Fließen der Querkraftbewehrung große Schubrissbreiten entstehen. Die primäre Versagensursache ist daher das plastische Verhalten (Fließen) der Querkraftbewehrung, das sich durch zunehmende Verformungen und weit geöffnete Risse ankündigt. <ref name="Zilch" />

*'''Zugversagen der Querkraftbewehrung:'''

Ist die Querkraftbewehrung zu schwach bemessen, wird bereits nach dem Auftreten weniger Biegeschubrisse die Zugfestigkeit der Bewehrung erreicht. Die Tragfähigkeit der Druckzone ist zu diesem Zeitpunkt jedoch noch längst nicht ausgeschöpft. Infolgedessen verformt sich der Träger stark, und große Rissweiten kündigen das bevorstehende Versagen an. <ref name="Zilch" />

*'''Stegdruckversagen:'''

In profilierten Trägern mit schlanken Stegen kann es zu einem schlagartigen Versagen der Betondruckstrebe kommen, wenn die Betondruckfestigkeit überschritten wird, noch bevor die Querkraftbewehrung zu fließen beginnt. <ref name="Zilch" />

*'''Verankerungsversagen:'''

Ähnlich wie bei Balken ohne Querkraftbewehrung können bei unzureichender Verankerungslänge der Längsbewehrung fortschreitende Biegeschubrisse entlang der Bewehrung entstehen, die ein schlagartiges Abplatzen der Betondeckung zur Folge haben können. Auch eine mangelhafte Verankerung der Querkraftbewehrung in der Druckzone kann zum Versagen des Bauteils führen. <ref name="Zilch" />

*'''Aufspalten des Stegs bei Querkraftaufbiegungen:'''

Bei Bügelbewehrungen stützt sich die Betondruckstrebe am unteren Rand hauptsächlich auf die steifen Ecken der Bügel ab. Bei Querkraftaufbiegungen hingegen erfolgt die Abstützung der Druckstrebe lediglich über einzelne Stäbe, was zu hohen Spannungskonzentrationen führen kann. Überschreiten die daraus resultierenden Querzugkräfte die Betonzugfestigkeit, entstehen Spaltrisse, die ein schlagartiges Versagen zur Folge haben können. Aus diesem Grund müssen Querkraftaufbiegungen stets in Kombination mit Bügelbewehrung ausgeführt werden. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:16 Bügelabstand.png

2025-05-22T17:25:45Z

JHamann: JHamann lud eine neue Version von Datei:16 Bügelabstand.png hoch

Datei:17 Wirkung Bügelarten.png

2025-05-22T17:20:46Z

JHamann:

Datei:16 Bügelabstand.png

2025-05-22T17:20:28Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-22T16:53:36Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==

Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===

[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:

*'''Biegeschubversagen:'''

Ähnlich wie bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können auch bei bewehrten Querschnitten Biegeschubrisse bis in die Druckzone vordringen, sodass der verbleibende Druckzonenquerschnitt die Biegedruckkraft nicht mehr aufnehmen kann. Dies tritt jedoch nur auf, wenn durch das Fließen der Querkraftbewehrung große Schubrissbreiten entstehen. Die primäre Versagensursache ist daher das plastische Verhalten (Fließen) der Querkraftbewehrung, das sich durch zunehmende Verformungen und weit geöffnete Risse ankündigt. <ref name="Zilch" />

*'''Zugversagen der Querkraftbewehrung:'''

Ist die Querkraftbewehrung zu schwach bemessen, wird bereits nach dem Auftreten weniger Biegeschubrisse die Zugfestigkeit der Bewehrung erreicht. Die Tragfähigkeit der Druckzone ist zu diesem Zeitpunkt jedoch noch längst nicht ausgeschöpft. Infolgedessen verformt sich der Träger stark, und große Rissweiten kündigen das bevorstehende Versagen an. <ref name="Zilch" />

*'''Stegdruckversagen:'''

In profilierten Trägern mit schlanken Stegen kann es zu einem schlagartigen Versagen der Betondruckstrebe kommen, wenn die Betondruckfestigkeit überschritten wird, noch bevor die Querkraftbewehrung zu fließen beginnt. <ref name="Zilch" />

*'''Verankerungsversagen:'''

Ähnlich wie bei Balken ohne Querkraftbewehrung können bei unzureichender Verankerungslänge der Längsbewehrung fortschreitende Biegeschubrisse entlang der Bewehrung entstehen, die ein schlagartiges Abplatzen der Betondeckung zur Folge haben können. Auch eine mangelhafte Verankerung der Querkraftbewehrung in der Druckzone kann zum Versagen des Bauteils führen. <ref name="Zilch" />

*'''Aufspalten des Stegs bei Querkraftaufbiegungen:'''

Bei Bügelbewehrungen stützt sich die Betondruckstrebe am unteren Rand hauptsächlich auf die steifen Ecken der Bügel ab. Bei Querkraftaufbiegungen hingegen erfolgt die Abstützung der Druckstrebe lediglich über einzelne Stäbe, was zu hohen Spannungskonzentrationen führen kann. Überschreiten die daraus resultierenden Querzugkräfte die Betonzugfestigkeit, entstehen Spaltrisse, die ein schlagartiges Versagen zur Folge haben können. Aus diesem Grund müssen Querkraftaufbiegungen stets in Kombination mit Bügelbewehrung ausgeführt werden. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung|
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-22T16:08:06Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==

Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===

[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:

*'''Biegeschubversagen'''
*'''Zugversagen der Querkraftbewehrung'''
*'''Stegdruckversagen'''
*'''Verankerungsversagen'''
*'''Aufspalten des Stegs bei Querkraftaufbiegungen'''

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
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|Status = Seite in Bearbeitung|
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-21T17:04:37Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==

Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===

[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet: <ref name="EC2" />
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung|
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-21T17:04:02Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==

Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Balken ===

[[File:15_Bewehrungsabstände1.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Balken]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Für aufgebogene Stäbe wird der größte Längsabstand nach folgender Formel berechnet:
:<math>\begin{align} \ s_\mathrm{b,\max} = 0,5 h \cdot \left( 1 + \cot \alpha \right) \end{align}</math>

===maximaler Längs- und Querabstand <math> s_\mathrm{max}</math> der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

[[File:15_Bewehrungsabstände2.png|left|thumb|600px|Abstand smax für Bügelbewehrung in Platten]]

 
 
 
 
 
 

=Versagensarten=

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung|
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:15 Bewehrungsabstände1.png

2025-05-21T16:45:15Z

JHamann: JHamann lud eine neue Version von Datei:15 Bewehrungsabstände1.png hoch

Datei:15 Bewehrungsabstände2.png

2025-05-21T16:37:34Z

JHamann:

Datei:15 Bewehrungsabstände1.png

2025-05-21T16:36:58Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-21T13:42:05Z

JHamann:

[[File:14_Querkraftbewehrung.png|right|thumb|600px|Kraftfluss innerhalb eines Querkraftbewehrten Trägers (Fachwerkmodell)]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=

Der Kraftfluss eines Bauteils, das sowohl auf Biegung als auch auf Querkraft beansprucht wird, lässt sich am anschaulichsten durch ein Stabwerkmodell darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt sowie einem Zuggurt, der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte verlaufen parallel zueinander entlang der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, der im Rahmen normativer Vorgaben (nach EC2) frei gewählt werden darf. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind unter dem Winkel <math>\alpha</math> zwischen 45° und 90° zur Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

==Begrenzung des Druckstrebenwinkels <math>\theta</math>==
Mit der folgenden Gleichung wird der flachstmögliche Druckstrebenwinkel <math>\theta_\mathrm{\min}</math> (entspricht dem maximalen <math>\cot \theta</math>) ermittelt, der zur minimal erforderlichen Querkraftbewehrung <math>a_\mathrm{sw,erf}</math> führt. Der Druckstrebenwinkel darf jedoch zwischen dem berechneten Minimalwert und 45° bzw. 60° bei geneigten Bügeln frei gewählt werden. Der Querkraftanteil (Betontraganteil) <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math> kann als Vertikalkomponente der Reibungskräfte in einem Schrägriss gedeutet werden. Steigt der Längsdruck an, so reduziert sich der Querkraftanteil <math>V_\mathrm{Rd,cc}</math>, da flachere Rissneigungen zu einer geringeren vertikalen Kraftkomponente entlang der Rissflächen führen. <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>
 

:<math>\begin{align} \ 1,0 \leq \cot \theta \leq \frac{1,2 + 1,4 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}}}{1 - \frac{V_\mathrm{Rd,cc}}{V_\mathrm{Ed}}} \leq 3,0 \end{align} \quad </math> → <math> \quad {45}^{\circ} \leq \theta \leq {18,44}^{\circ} </math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,cc} = 0,5 \cdot 0,48 \cdot {f_\mathrm{ck}}^{\frac{1}{3}} \cdot \left( 1 - 1,2 \frac{\sigma_\mathrm{cp}}{f_\mathrm{cd}} \right) \cdot b_\mathrm{w} \cdot z \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || der Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| σcp ... || der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts σcp = NEd / Ac Betondruckspannungen sind positiv definiert
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| VRd,cc ... || der Querkraftanteil des Betonquerschnitts mit Querkraftbewehrung
|-
| VEd ... || der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|}
 
 
Bei geneigter Querkraftbewehrung darf <math>\cot\theta</math> bis 0,58 (60°) ausgenutzt werden.
Vereinfachend dürfen für <math>\cot\theta</math> die folgenden Werte angesetzt werden: 
*reine Biegung: <math> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längsdruckkraft:<math> \quad \cot\theta = 1,2 \quad </math> → <math> \quad \theta = {39,81}^{\circ} </math> 
*Biegung und Längszugkraft: <math> \quad \cot\theta = 1,0 \quad </math> → <math> \quad \theta = {45}^{\circ} </math> 

==Bemessung des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd}</math>==

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung hängt von zwei Komponenten ab: dem Widerstand der Betondruckstrebe <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> und dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math>. Beide Größen lassen sich aus dem Gelenkfachwerkmodell unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen ableiten und bilden die Grundlage für den Querkraftnachweis bei Bauteilen mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" />

Dabei ist zwischen der vereinfachten Formel für lotrechte Bügel und der vollständigen Gleichung für geneigte Querkraftbewehrungen zu unterscheiden. Maßgebend ist stets der kleinere der beiden Widerstände (Betondruckstrebe oder Querkraftbewehrung), der größer sein muss als die einwirkende Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math>, damit der Nachweis erfüllt ist. <ref name="EC2" />
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd}}{\cot \theta + tan \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} = a_\mathrm{sw} \cdot z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha \quad \end{align}</math> → Widerstand der Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} = \frac{b_\mathrm{w} \cdot z \cdot \nu_\mathrm{1} \cdot f_\mathrm{cd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) }{1 + {\cot}^{2} \theta} \quad \end{align}</math> → Widerstand der Betondruckstrebe
 
wobei: 
:{|
|-
| asw ... || die Bewehrungsmenge je Längeneinheit asw = Asw / sw
|-
| Asw ... || die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung
|-
| sw ... || der Bügelabstand
|-
| z ... || der innerer Hebelarm (0,9d)
|-
| fyd ... || der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung
|-
| cot ... || Kotangens (1 / tanθ)
|-
| θ ... || Winkel zwischen Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| ν1 ... || ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit infolge schiefwinklig kreuzender Risse ν1 = 0,75 für ≤ C50/60
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|-
| α ... || der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse
|}
 

Im GZT kann durch Gleichsetzen der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> mit dem Widerstand der Querkraftbewehrung <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> und anschließendes Umstellen der Nachweisformel die erforderliche Querkraftbewehrung berechnet werden.
 
*'''lotrechte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \cot \theta} \end{align}</math>
 
*'''geneigte Querkraftbewehrung:''' 

:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw} = \frac{V_\mathrm{Ed}}{z \cdot f_\mathrm{yd} \cdot \left( \cot \theta + \cot \alpha \right) \cdot \sin \alpha} \end{align}</math>
 

=Querkraftbewehrung=

==Arten der Querkraftbewehrung==

Damit die Querkraftbewehrung wirksam werden kann, muss sie die Biegeschubrisse kreuzen. Dafür stehen verschiedene Bewehrungen zur Verfügung, die sich hinsichtlich ihrer Wirksamkeit bei der Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit unterscheiden. <ref name="Zilch" />
 
 
*'''lotrechte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden senkrecht (lotrecht) zur Stabachse in den Balken eingebaut. Dies ist heute die gebräuchlichste und zugleich einfachste Art, Querkraftbewehrung in einen Querschnitt zu integrieren. <ref name="Zilch" />
|}
*'''geneigte Bügel:'''
:{|
|-
| Die Bügel werden unter dem Winkel <math>\alpha</math> zur Stabachse angeordnet. Um eine maximale Wirksamkeit zu erzielen, wird angestrebt, dass die Bewehrung die entstehenden Risse möglichst senkrecht kreuzt. Der Einbau geneigter Bügel ist jedoch deutlich arbeitsintensiver, und auch das Betonverdichten gestaltet sich in diesen Bereichen schwieriger. <ref name="Zilch" />
|}
*'''Querkraftaufbiegung:'''
:{|
|-
| Die Biegezugbewehrung, die statisch am Endauflager nicht mehr erforderlich ist, kann unter dem Winkel <math>\alpha</math> in die Druckzone geführt und dort verankert werden. Bei Balken ist jedoch zu beachten, dass zusätzlich zu diesen Aufbiegungen auch Bügel als Querkraftbewehrung ergänzt werden müssen. <ref name="Zilch" />
|}
*'''leiterartige Querkraftzulage:'''
:{|
|-
| Querkraftzulagen in Form von Körben, Leitern usw., die ohne Umschließung der Längsbewehrung verlegt sind, aber ausreichend in der Druck- und Zugzone verankert sind. <ref name="EC2" />
|}

==konstruktive Regeln==

* Die Querkraftbewehrung muss in der Regel mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45° bis 90° bilden. <ref name="EC2" />
* Bügel sind in der Regel wirksam zu verankern. Dies gilt allgemein als erfüllt, wenn die Querkraftbewehrung über die gesamte Querschnittshöhe reicht. In der Zugzone sollten die Verankerungselemente möglichst nahe am Zugrand angeordnet werden, um eine effektive Kraftübertragung sicherzustellen. <ref name="EC2" />
* Bei Balken dürfen Schrägstäbe und leiterartige Querkraftzulagen nur zusammen mit Bügeln verwendet werden. Die Querkraftbewehrung muss dabei zu 50% aus Außenbügeln bestehen, die die gesamt Zugbewehrung umfasst. <ref name="EC2" />
* Eine querkraftbewehrte Ortbetonplatte muss bei Verwendung von aufgebogenen Stäben eine Mindestdicke von 160 mm und bei Verwendung von Bügeln eine Mindestdicke von 200 mm aufweisen. <ref name="EC2" />
*In Platten darf die Querkraftbewehrung vollständig aus aufgebogenen Stäben oder Querkraftzulagen bestehen, sofern die einwirkende Querkraft weniger als ein Drittel der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe beträgt. <math> V_\mathrm{Ed} \leq 1 / 3 V_\mathrm{Rd,\max} </math> <ref name="EC2" />

===Längs- und Querabstände der Querkraftbewehrungselemente für Balken===

===Längs- und Querabstände der Querkraftbewehrungselemente für Platten===

=Versagensarten=

=Quellen=

<references />

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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-21T12:53:46Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T16:37:06Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T16:35:48Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T16:25:39Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T15:40:44Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T15:23:23Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-20T12:39:25Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T17:25:04Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T16:31:55Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T16:20:09Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T14:20:20Z

JHamann:

Datei:14 Querkraftbewehrung.png

2025-05-19T14:14:59Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T13:45:17Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Da ein belastetes Bauteil ohne Querkraftbewehrung ein Querkraftversagen erleiden kann, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht ist ([[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|siehe Schubtal nach KANI]]), muss der Querschnitt in solchen Fällen mit Querkraftbewehrung versehen werden. Durch eine Bewehrung, die die entstehenden Risse kreuzt, wird es möglich, die rechnerisch ansetzbare Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Durch die zusätzliche Verstärkung entsteht die zentrale Modellvorstellung des Kraftflusses bei querkraftbewehrten Bauteilen: das Fachwerkmodell. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Der Kraftfluss es Bauteils welches auf Biegung und Querkraft beansprucht wird lässt sich am besten durch ein Stabwerk darstellen. Das klassische Fachwerkmodell besteht aus einem Betondruckgurt und einem Zuggurt der durch die Biegezugbewehrung gebildet wird. Beide Gurte befinden sich parallel zueinander und verlaufen in Richtung der Balkenränder. Die Druckdiagonalen (Betondruckstreben) verlaufen unter dem Winkel <math>\theta</math>, welcher von vielen verschieden Faktoren abhängig ist. Die Zugdiagonalen (Querkraftbewehrung) sind im Winkel <math>\alpha</math> gegen die Trägerachse geneigt. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 8, 2022</ref>

=Bemessung=

=Versagensarten=

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

2025-05-19T12:05:02Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-18T16:41:09Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Versagensarten=
[[File:01_Querkraft.png|right|thumb|500px|fortschreitender Biegeschubriss mit anschließenden Versagen der Druckzone]]

Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:
* '''Biegeschubversagen:'''
Bei steigender Belastung entsteht im Balken ein Biegeschubriss, der sich in Höhe der Dehnungsnulllinie in Richtung der Lasteinleitung bewegt und gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Längsbewehrung auf das Auflager zuschreitet. Dieser sogenannte kritische Schubriss trennt den Druck- vom Zuggurt, wodurch sich die inneren Kräfte zu einem Sprengwerk umlagern. Mit zunehmender Belastung wächst der Riss weiter in die Druckzone hinein, bis die verbleibende Druckzone die auftretenden Beanspruchungen nicht mehr aufnehmen kann – der Querschnitt versagt dann schlagartig. Das eigentliche Versagen wird primär durch das Fortschreiten des Biegeschubrisses verursacht, während der Bruch der Druckzone lediglich als Folgeerscheinung auftritt. <ref name="Zilch" />

* '''Stegzugversagen:'''

Bei profilierten Trägern mit dünnen Stegen und dicken Gurten kann die Betonzugfestigkeit im Steg bereits überschritten werden, noch bevor sich der Zuggurt im gerissenen Zustand befindet. Die entstehenden Stegrisse können sich anschließend sowohl in den Druck- als auch in den Zuggurt ausbreiten, was – analog zum Biegeschubversagen – zu einem schlagartigen Bruch führen kann. <ref name="Zilch" />

* '''Verankerungsversagen:'''

Bei steigender Belastung und unzureichender Verankerung der Längsbewehrung oberhalb des Auflagers kann entlang der Biegezugbewehrung ein fortschreitender Riss entstehen (sogenannter Dübelriss). Dies kann zum Absprengen der Betondeckung führen, wodurch der Querschnitt infolge des plötzlichen Herausziehens der Längsbewehrung versagt. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Einwirkung

2025-05-18T16:40:28Z

JHamann:

[[File:03_Lagerung_unterschied.png|right|thumb|600px|Abminderung der einwirkenden Querkraft im Vergleich]]
 

Für die Bemessung der Querkraft ist zunächst die Bestimmung der maßgeblichen Schnittgrößen entlang der Längsachse des Bauteils erforderlich. Der Querkraftverlauf weist nach den Regeln der Statik an den Auflagern und den Einleitungspunkten von Einzellasten sprunghafte Änderungen auf. An diesen Punkten treten typischerweise die Extremwerte auf. Da die Modelle zur Querkraftberechnung für B-Bereiche (lineare Spannungsverteilung, Bernoulli-Hypothese) entwickelt wurden, die maßgebenden Schnitte jedoch in D-Bereichen (nichtlineare Spannungsverteilung, unregelmäßige Bereiche) liegen, müssen bei der Nachweisführung in D-Bereichen bestimmte Besonderheiten berücksichtigt werden. Zudem kann durch die Idealisierung des Tragwerks die Ausbreitung der durch Lagerreaktionen oder Einzellasten hervorgerufenen Spannungen nicht abgebildet werden. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>
 

=Unterscheidung '''direkte''' und '''indirekte''' Lagerung=

Zur Bestimmung der Bemessungsgrößen <math>V_\mathrm{Ed}</math> ist grundsätzlich zwischen zwei unterschiedlichen Arten der Auflagerung zu differenzieren:
 
*'''Direkte Lagerung''' Die Auflagerkraft wird über Druckbeanspruchungen senkrecht zur Stabachse am Bauteilrand eingetragen.<ref name="Zilch" />

*'''Indirekte Lagerung''' Die Einleitung der Auflagerkraft erfolgt über Zugkräfte bzw. verteilt über die Höhe des Trägers.<ref name="Zilch" />

==Direkte Lagerung==
[[File:04_Querkraftabminderung.png|right|thumb|400px|Kraftfluss in direkt gelagerten Trägern unter Flächenlasten und auflagernahen Einzellasten (vgl. Reineck 2005)]]
===Gleichstreckenlast===
Bei der Belastung eines Feldes mit einer Gleichstreckenlast und direkter Lagerung bildet sich durch die Konzentration der Druckspannungen am Auflager ein fächerförmiges Spannungsfeld aus (siehe Abb.). Ein Teil der Flächenlast wird dadurch direkt in das Auflager geleitet und muss deshalb bei der Bemessung der Querkrafttragfähigkeit <math>V_\mathrm{Rd,c}</math> / <math>V_\mathrm{Rd,s}</math> nicht berücksichtigt werden. Die Lastanteile müssen jedoch trotzdem bei der Bemessung der Druckstrebentragfestigkeit <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> angesetzt werden, da das Druckfeld bis zum Auflagerrand belastet wird. 
Gemäß Norm wird der maßgebende Querschnitt im Abstand <math>d</math> vom Auflagerrand festgelegt. Diese Annahme dient der Vereinfachung und befindet sich auf der sicheren Seite. Die tatsächliche Abgrenzung des fächerförmigen Druckfeldes liegt im Abstand <math> (z + d_\mathrm{1}) \cdot \cot \theta </math> vor der Auflagerkante. <ref name="Zilch" /> <ref name="Lohmeyer">BAAR, STEFAN und EBELING, KARSTEN: Lohmeyer Stahlbetonbau Bemessung - Konstruktion – Ausführung, Springer Vieweg Wiesbaden, 2016</ref> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

===Einzellast===
Die einwirkende Querkraft aus auflagernahen Einzellasten muss nach einem alternativen Modell berechnet werden. Hierbei bildet sich ein Sprengwerk aus (siehe Abb.), das einen Anteil der Last (<math>F_\mathrm{2}</math>) direkt in das Auflager leitet. Versuche haben gezeigt, dass ein weiterer Anteil (<math>F_\mathrm{1}</math>) dennoch über die üblichen Querkrafttragmechanismen übertragen wird. Je näher sich die Einzellast am Auflagerrand befindet, desto größer ist der Anteil, der unmittelbar in das Auflager abgetragen wird. Allerdings ist die direkte Einleitung von Lastanteilen in das Auflager nur innerhalb der in der Norm (EC2 Teil 1-1) festgelegten Grenzwerte zulässig. So muss sich die Einzellast im Abstand <math>0,5d \leq a_\mathrm{v} \leq 2d</math> vom Rand des Auflagers befinden, das Bauteil von oben belastet werden und die Längsbewehrung vollständig am Auflager verankert sein, damit die einwirkende Querkraft mit dem Faktor <math> \beta </math> abgemindert werden darf. Bei <math>a_\mathrm{v} \leq 0,5d</math> ist der Wert <math>a_\mathrm{v} = 0,5d</math> anzusetzen. Für die Berechnung der Druckstrebentragfähigkeit <math>V_\mathrm{Rd,\max}</math> ist die Abminderung nicht zulässig. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2" /> 

 
:<math>\begin{align} \ \beta = \frac{a_\mathrm{v}}{2 \cdot d} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| β ... || Abminderungsfaktor der einwirkenden Querkraft bei auflagernahen Einzellasten
|-
| av ... || Abstand zwischen dem Auflagerrand und der einwirkenden Einzellast
|-
| d ... || statische Nutzhöhe
|}
 

==Indirekte Lagerung==
[[File:05_Querkraft_indirekt.png|right|thumb|400px|Spannungsfelder bei indirekter Lagerung]]
Bei einer indirekten Lagerung entstehen – im Gegensatz zur direkten Lasteinleitung – keine konzentrierten Druckspannungen. Ein typisches Beispiel ist ein Bauteil (im Bild: Träger 1), das seitlich in einen Unterzug (im Bild: Träger 2) eingebunden ist. Die Druckspannungsfelder verlaufen dabei parallel – und nicht fächerförmig (vgl. „Direkte Auflagerung“) – in das Auflager, wodurch die günstig wirkenden Druckspannungen entfallen. Daraus ergibt sich, dass der Bemessungswert der Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> an der rechnerischen Auflagerlinie zu bestimmen ist. Die indirekt eingeleitete Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils (Träger 1) muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils (Träger 2) hochgehängt und zusätzlich zur Querkraftbewehrung des Hauptträgers (Träger 2) angesetzt werden. Ein Unterzug kann jedoch auch als direkte Auflagerung gewertet werden, wenn die Höhe des stützenden Bauteils mehr als doppelt so groß ist wie die Höhe des zu stützenden Bauteils. <ref name="Zilch" /> <ref name="Baum">BAUMGART, RUDOLF: Bemessung für Querkraft, Massivbau, Hochschule Darmstadt, Skript, 2020</ref>

 
:<math>\begin{align} \ h_\mathrm{2} \geq 2 \cdot h_\mathrm{1} \end{align}</math> → direkte Lagerung
:<math>\begin{align} \ h_\mathrm{2} < 2 \cdot h_\mathrm{1} \end{align}</math> → indirekte Lagerung
 

wobei:
:{|
|-
| h1 ... || Höhe gestütztes Bauteil
|-
| h2 ... || Höhe stützendes Bauteil
|}
 

=Einfluss von Vouten und geneigten Druckgurten=
[[File:06_geneigter Träger.png|right|thumb|400px|Kraftverlauf in einem Träger mit geneigtem Druck- und Zuggurt]]
[[File:07_geneigter_Träger_Faustregel.png|right|thumb|400px|Auswirkungen der Gurtneigungen auf die einwirkende Querkraft VEd]]
Bei Trägern mit geneigten Gurten weisen sowohl die Druckspannungsresultierende <math>F_\mathrm{cd}</math> als auch die Betonstahlzugkraft <math>F_\mathrm{sd}</math> Querkraftanteile auf, die die Bemessungsquerkraft günstig oder ungünstig beeinflussen können. Die maßgebende einwirkende Querkraft sowie die Komponenten der geneigten Gurtkräfte ergeben sich aus den folgenden Formeln: <ref name="Zilch" /> 

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = V_\mathrm{Ed,0} - V_\mathrm{ccd} - V_\mathrm{td} \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{ccd} = \frac{M_\mathrm{Eds}}{d} \cdot \tan\psi_\mathrm{o} \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{td} = \left( \frac{M_\mathrm{Eds}}{d} + N_\mathrm{Ed} \right) \cdot \tan\varphi_\mathrm{u} \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ M_\mathrm{Eds} = M_\mathrm{Ed} - N_\mathrm{Ed} \cdot z_\mathrm{s} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| VEd ... || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| VEd,0 ... || Grundbemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| Vccd ... || Querkraftkomponente aus der Druckspannungsresultierenden Fcd
|-
| Vtd ... || Querkraftkomponente aus der Betonstahlzugkraft Fsd
|-
| MEds ... || das einwirkende Moment bezogen auf die Lage der Zugbewehrung
|-
| d ... || statische Nutzhöhe
|-
| ψo ... || Neigung der Bauteiloberkante (≈φo)
|-
| φu ... || Neigung der Betonstahlachse
|-
| NEd ... || Bemessungswert der Normalkraft
|-
| zs ... || Abstand Schwerelinie zu Biegezugbewehrung
|}
 

Um die Formeln zu vereinfachen, kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass die Neigung des Druckgurts <math>\varphi_\mathrm{o}</math> identisch mit der Neigung der Bauteiloberkante ist. Zudem kann – auf der sicheren Seite liegend – anstelle des Hebelarms <math>z</math>
(Hebelarm der inneren Kräfte zwischen <math>F_\mathrm{cd}</math> und <math>F_\mathrm{sd}</math>) mit <math>d</math> gerechnet werden. Ist im Querschnitt eine Druckbewehrung vorhanden, kann deren Querkraftkomponente analog zu <math>V_\mathrm{ccd}</math> ermittelt werden. <ref name="Zilch" /> <ref name="Schneider"> ALBERT, ANDREJ: Schneider - Bautabellen für Ingenieure, 24. Auflage, Reguvis, 2020 </ref>
 
Da die Querkraft direkt mit dem Verlauf der Momentenlinie über <math>V = dM / dx</math> verknüpft ist, lässt sich anhand der folgenden Faustregel schnell erkennen, ob ein geneigter Gurt den Querschnitt entlastet oder zusätzlich belastet: 
Nimmt der Betrag des Moments <math> \mid M \mid </math> und der Hebelarm der inneren Kräfte <math>z</math> gleichsinnig zu, wirken die zusätzlich entstehenden Querkraftkomponenten entlastend (günstig). Entwickeln sich <math> \mid M \mid </math> und <math>z</math> hingegen gegenläufig – das heißt, einer wird größer, der andere kleiner –, so wird das Bauteil zusätzlich belastet und der geneigte Gurt wirkt ungünstig. <ref name="Zilch" />

 

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Übersicht

2025-05-18T16:38:58Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Mindestquerkraftbewehrung

2025-05-18T16:37:43Z

JHamann:

[[File:02_Balken oder Platte.png|right|thumb|250px|Klassifizierung von Bauteilen gemäß Norm (EC2 Teil 1-1) - bezogen auf die Querkraftbewehrung]]
 
Ebenso wie bei Bauteilen, die ausschließlich auf Biegung beansprucht werden, muss auch bei der Einwirkung von Querkräften eine gewisse Robustheit des Tragwerks gegenüber unvorhergesehenen Einflüssen – etwa Ausführungsfehlern oder Fehlstellen im Beton – gewährleistet sein. Bauteile, die nicht in der Lage sind, Querkräfte an Störstellen vorbeizuleiten, sind daher mit einer '''Mindestquerkraftbewehrung''' auszustatten. Diese soll verhindern, dass es zu einem plötzlichen Versagen des Bauteils kommt. Selbst wenn rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich ist (<math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>), muss die Mindestbewehrung abhängig von der Bauteilart dennoch berücksichtigt werden. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

=Klassifizierung nach Norm=
Ob eine Mindestbewehrung erforderlich ist, hängt von der Art bzw. Klassifizierung des Bauteils gemäß der Norm ab (EC2 Teil 1-1). Die Norm unterscheidet dabei zwischen der allgemeinen Begriffsdefinition und der Einteilung der Bauteile im Hinblick auf die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung: <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref> 
* '''Balken/ Plattenbalken''': Stabförmiges, vorwiegend auf Biegung beanspruchtes Bauteil mit einer Stützweite von mindestens der dreifachen Querschnittshöhe und mit einer Querschnitts- bzw. Stegbreite von höchstens der fünffachen Querschnittshöhe.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b < 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b < 4h </math> → '''immer Mindestquerkraftbewehrung erforderlich''' 
* '''Platte''': Ebenes, durch Kräfte rechtwinklig zur Mittelfläche vorwiegend auf Biegung beanspruchtes, flächenförmiges Bauteil, dessen kleinste Stützweite mindestens das Dreifache seiner Bauteildicke beträgt und mit einer Bauteilbreite von mindestens der fünffachen Bauteildicke.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b \geq 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b > 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung nicht erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math> und erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''' 
* '''schmale Platte''': Abweichend von der zuvor beschriebenen Definition wird eine Platte mit einer Breite im Bereich von <math> 4h \leq b \leq 5h </math> als schmale Platte bezeichnet.<ref name="EC2" />
→ keine allgemeine Definition 
→ in Bezug auf Querkraft <math> 4h \leq b \leq 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung erforderlich (gesonderte Regeln nach EC2 Teil 1-1-9.3.2)''' 

=Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung <math> a_\mathrm{sw,\min} </math>=

[[File:12_Mindestquerkraftbewehrung.png|right|thumb|200px|Mindestquerkraftbewehrungsgrad <math> \rho_\mathrm{w,\min} </math>]]
[[File:13_Mindestquerkraftbewehrung_interpolation.png|right|thumb|400px|Interpolation der Mindestquerkraftfbewehrung]]

Ergibt sich bei der Querkraftbemessung mit erforderlicher Querkraftbewehrung ein niedrigerer Bewehrungsgrad als bei der Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung, so ist die Mindestquerkraftbewehrung maßgebend. Sie berechnet sich nach folgender Gleichung: <ref name="EC2" />

 
:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw,\min} = \rho_\mathrm{w,\min} \cdot b_\mathrm{w} \cdot \sin \alpha \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{w,\min} = 0,16 \cdot \frac{f_\mathrm{ctm}}{f_\mathrm{yk}} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| ρw,min ... || Mindestquerkraftbewehrungsgrad
|-
| bw ... || Stegbreite des Bauteils (bei Platten mit b > 1m → bw = 100cm)
|-
| α ... || Neigungswinkel der Querkraftbewehrung zur Bauteilachse
|-
| fctm ... || mittlere Betonzugfestigkeit
|-
| fyk ... || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
 

* '''Balken/ Plattenbalken''': Die Formel zur Berechnung der Mindestquerkrafttragfähigkeit kann ohne Besonderheiten angewandt werden. 
* '''Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Hier ist lediglich 60% der Mindestbewehrung erforderlich. (<math> 0,6 \cdot a_\mathrm{sw,\min} </math>) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem 0,6-fachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 

==Quellen==

<references />
 

 
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Datei:13 Mindestquerkraftbewehrung interpolation.png

2025-05-18T16:30:15Z

JHamann:

Datei:12 Mindestquerkraftbewehrung.png

2025-05-18T16:24:43Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Mindestquerkraftbewehrung

2025-05-18T14:04:51Z

JHamann:

[[File:02_Balken oder Platte.png|right|thumb|250px|Klassifizierung von Bauteilen gemäß Norm (EC2 Teil 1-1) - bezogen auf die Querkraftbewehrung]]
 
Ebenso wie bei Bauteilen, die ausschließlich auf Biegung beansprucht werden, muss auch bei der Einwirkung von Querkräften eine gewisse Robustheit des Tragwerks gegenüber unvorhergesehenen Einflüssen – etwa Ausführungsfehlern oder Fehlstellen im Beton – gewährleistet sein. Bauteile, die nicht in der Lage sind, Querkräfte an Störstellen vorbeizuleiten, sind daher mit einer '''Mindestquerkraftbewehrung''' auszustatten. Diese soll verhindern, dass es zu einem plötzlichen Versagen des Bauteils kommt. Selbst wenn rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich ist (<math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>), muss die Mindestbewehrung abhängig von der Bauteilart dennoch berücksichtigt werden. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

=Klassifizierung nach Norm=
Ob eine Mindestbewehrung erforderlich ist, hängt von der Art bzw. Klassifizierung des Bauteils gemäß der Norm ab (EC2 Teil 1-1). Die Norm unterscheidet dabei zwischen der allgemeinen Begriffsdefinition und der Einteilung der Bauteile im Hinblick auf die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung: <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref> 
* '''Balken/ Plattenbalken''': Stabförmiges, vorwiegend auf Biegung beanspruchtes Bauteil mit einer Stützweite von mindestens der dreifachen Querschnittshöhe und mit einer Querschnitts- bzw. Stegbreite von höchstens der fünffachen Querschnittshöhe.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b < 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b < 4h </math> → '''immer Mindestquerkraftbewehrung erforderlich''' 
* '''Platte''': Ebenes, durch Kräfte rechtwinklig zur Mittelfläche vorwiegend auf Biegung beanspruchtes, flächenförmiges Bauteil, dessen kleinste Stützweite mindestens das Dreifache seiner Bauteildicke beträgt und mit einer Bauteilbreite von mindestens der fünffachen Bauteildicke.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b \geq 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b > 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung nicht erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math> und erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''' 
* '''schmale Platte''': Abweichend von der zuvor beschriebenen Definition wird eine Platte mit einer Breite im Bereich von <math> 4h \leq b \leq 5h </math> als schmale Platte bezeichnet.<ref name="EC2" />
→ keine allgemeine Definition 
→ in Bezug auf Querkraft <math> 4h \leq b \leq 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung erforderlich (gesonderte Regeln nach EC2 Teil 1-1-9.3.2)''' 

=Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung <math> a_\mathrm{sw,\min} </math>=

Ergibt sich bei der Querkraftbemessung mit erforderlicher Querkraftbewehrung ein niedrigerer Bewehrungsgrad als bei der Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung, so ist die Mindestquerkraftbewehrung maßgebend. Sie berechnet sich nach folgender Gleichung: <ref name="EC2" />

 
:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw,\min} = \rho_\mathrm{w,\min} \cdot b_\mathrm{w} \cdot \sin \alpha \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{w,\min} = 0,16 \cdot \frac{f_\mathrm{ctm}}{f_\mathrm{yk}} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| ρw,min ... || Mindestquerkraftbewehrungsgrad
|-
| bw ... || Stegbreite des Bauteils (bei Platten mit b > 1m → bw = 100cm)
|-
| α ... || Neigungswinkel der Querkraftbewehrung zur Bauteilachse
|-
| fctm ... || mittlere Betonzugfestigkeit
|-
| fyk ... || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
 

* '''Balken/ Plattenbalken''': Die Formel zur Berechnung der Mindestquerkrafttragfähigkeit kann ohne Besonderheiten angewandt werden. 
* '''Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Hier ist lediglich 60% der Mindestbewehrung erforderlich. (<math> 0,6 \cdot a_\mathrm{sw,\min} </math>) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem 0,6-fachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 

==Quellen==

<references />
 

 
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Querkraftbemessung - Mindestquerkraftbewehrung

2025-05-18T14:03:46Z

JHamann:

[[File:02_Balken oder Platte.png|right|thumb|300px|Klassifizierung von Bauteilen gemäß Norm (EC2 Teil 1-1) - bezogen auf die Querkraftbewehrung]]
 
Ebenso wie bei Bauteilen, die ausschließlich auf Biegung beansprucht werden, muss auch bei der Einwirkung von Querkräften eine gewisse Robustheit des Tragwerks gegenüber unvorhergesehenen Einflüssen – etwa Ausführungsfehlern oder Fehlstellen im Beton – gewährleistet sein. Bauteile, die nicht in der Lage sind, Querkräfte an Störstellen vorbeizuleiten, sind daher mit einer '''Mindestquerkraftbewehrung''' auszustatten. Diese soll verhindern, dass es zu einem plötzlichen Versagen des Bauteils kommt. Selbst wenn rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich ist (<math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>), muss die Mindestbewehrung abhängig von der Bauteilart dennoch berücksichtigt werden. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

=Klassifizierung nach Norm=
Ob eine Mindestbewehrung erforderlich ist, hängt von der Art bzw. Klassifizierung des Bauteils gemäß der Norm ab (EC2 Teil 1-1). Die Norm unterscheidet dabei zwischen der allgemeinen Begriffsdefinition und der Einteilung der Bauteile im Hinblick auf die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung: <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref> 
* '''Balken/ Plattenbalken''': Stabförmiges, vorwiegend auf Biegung beanspruchtes Bauteil mit einer Stützweite von mindestens der dreifachen Querschnittshöhe und mit einer Querschnitts- bzw. Stegbreite von höchstens der fünffachen Querschnittshöhe.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b < 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b < 4h </math> → '''immer Mindestquerkraftbewehrung erforderlich''' 
* '''Platte''': Ebenes, durch Kräfte rechtwinklig zur Mittelfläche vorwiegend auf Biegung beanspruchtes, flächenförmiges Bauteil, dessen kleinste Stützweite mindestens das Dreifache seiner Bauteildicke beträgt und mit einer Bauteilbreite von mindestens der fünffachen Bauteildicke.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b \geq 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b > 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung nicht erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math> und erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''' 
* '''schmale Platte''': Abweichend von der zuvor beschriebenen Definition wird eine Platte mit einer Breite im Bereich von <math> 4h \leq b \leq 5h </math> als schmale Platte bezeichnet.<ref name="EC2" />
→ keine allgemeine Definition 
→ in Bezug auf Querkraft <math> 4h \leq b \leq 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung erforderlich (gesonderte Regeln nach EC2 Teil 1-1-9.3.2)''' 

=Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung <math> a_\mathrm{sw,\min} </math>=

Ergibt sich bei der Querkraftbemessung mit erforderlicher Querkraftbewehrung ein niedrigerer Bewehrungsgrad als bei der Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung, so ist die Mindestquerkraftbewehrung maßgebend. Sie berechnet sich nach folgender Gleichung: <ref name="EC2" />

 
:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw,\min} = \rho_\mathrm{w,\min} \cdot b_\mathrm{w} \cdot \sin \alpha \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{w,\min} = 0,16 \cdot \frac{f_\mathrm{ctm}}{f_\mathrm{yk}} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| ρw,min ... || Mindestquerkraftbewehrungsgrad
|-
| bw ... || Stegbreite des Bauteils (bei Platten mit b > 1m → bw = 100cm)
|-
| α ... || Neigungswinkel der Querkraftbewehrung zur Bauteilachse
|-
| fctm ... || mittlere Betonzugfestigkeit
|-
| fyk ... || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
 

* '''Balken/ Plattenbalken''': Die Formel zur Berechnung der Mindestquerkrafttragfähigkeit kann ohne Besonderheiten angewandt werden. 
* '''Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Hier ist lediglich 60% der Mindestbewehrung erforderlich. (<math> 0,6 \cdot a_\mathrm{sw,\min} </math>) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem nullfachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 
* '''schmale Platte bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''': Die erforderliche Mindestbewehrung wird linear interpoliert, zwischen dem 0,6-fachen und dem einfachen Wert. (siehe Diagramm zur Mindestquerkraftbewehrung) <ref name="EC2" /> 

==Quellen==

<references />
 

 
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Mindestquerkraftbewehrung

2025-05-18T13:33:26Z

JHamann:

[[File:02_Balken oder Platte.png|right|thumb|300px|Klassifizierung von Bauteilen gemäß Norm (EC2 Teil 1-1) - bezogen auf die Querkraftbewehrung]]
 
Ebenso wie bei Bauteilen, die ausschließlich auf Biegung beansprucht werden, muss auch bei der Einwirkung von Querkräften eine gewisse Robustheit des Tragwerks gegenüber unvorhergesehenen Einflüssen – etwa Ausführungsfehlern oder Fehlstellen im Beton – gewährleistet sein. Bauteile, die nicht in der Lage sind, Querkräfte an Störstellen vorbeizuleiten, sind daher mit einer '''Mindestquerkraftbewehrung''' auszustatten. Diese soll verhindern, dass es zu einem plötzlichen Versagen des Bauteils kommt. Selbst wenn rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich ist (<math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>), muss die Mindestbewehrung abhängig von der Bauteilart dennoch berücksichtigt werden. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

=Klassifizierung nach Norm=
Ob eine Mindestbewehrung erforderlich ist, hängt von der Art bzw. Klassifizierung des Bauteils gemäß der Norm ab (EC2 Teil 1-1). Die Norm unterscheidet dabei zwischen der allgemeinen Begriffsdefinition und der Einteilung der Bauteile im Hinblick auf die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung: <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref> 
* '''Balken/ Plattenbalken''': Stabförmiges, vorwiegend auf Biegung beanspruchtes Bauteil mit einer Stützweite von mindestens der dreifachen Querschnittshöhe und mit einer Querschnitts- bzw. Stegbreite von höchstens der fünffachen Querschnittshöhe.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b < 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b < 4h </math> → '''immer Mindestquerkraftbewehrung erforderlich''' 
* '''Platte''': Ebenes, durch Kräfte rechtwinklig zur Mittelfläche vorwiegend auf Biegung beanspruchtes, flächenförmiges Bauteil, dessen kleinste Stützweite mindestens das Dreifache seiner Bauteildicke beträgt und mit einer Bauteilbreite von mindestens der fünffachen Bauteildicke.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b \geq 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b > 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung nicht erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math> und erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''' 
* '''schmale Platte''': Abweichend von der zuvor beschriebenen Definition wird eine Platte mit einer Breite im Bereich von <math> 4h \leq b \leq 5h </math> als schmale Platte bezeichnet.<ref name="EC2" />
→ keine allgemeine Definition 
→ in Bezug auf Querkraft <math> 4h \leq b \leq 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung erforderlich (gesonderte Regeln nach EC2 Teil 1-1-9.3.2)''' 

=Berechnung der Mindestquerkraftbewehrung <math> a_\mathrm{sw,\min} </math>=

Die Mindestquerkraftbewehrung ergibt sich aus folgender Gleichung:

 
:<math>\begin{align} \ a_\mathrm{sw,\min} = \rho_\mathrm{w,\min} \cdot b_\mathrm{w} \cdot \sin \alpha \end{align}</math>
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{w,\min} = 0,16 \cdot \frac{f_\mathrm{ctm}}{f_\mathrm{yk}} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| ρw,min ... || Mindestquerkraftbewehrungsgrad
|-
| bw ... || Stegbreite des Bauteils (bei Platten mit b > 1m → bw = 100cm)
|-
| α ... || Neigungswinkel der Querkraftbewehrung zur Bauteilachse
|-
| fctm ... || mittlere Betonzugfestigkeit
|-
| fyk ... || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
 

==Quellen==

<references />
 

 
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Mindestquerkraftbewehrung

2025-05-18T11:47:17Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Übersicht

2025-05-18T11:45:08Z

JHamann:

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-18T11:26:28Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Versagensarten=
[[File:01_Querkraft.png|right|thumb|500px|fortschreitender Biegeschubriss mit anschließenden Versagen der Druckzone]]

Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:
* '''Biegeschubversagen:'''
Bei steigender Belastung entsteht im Balken ein Biegeschubriss, der sich in Höhe der Dehnungsnulllinie in Richtung der Lasteinleitung bewegt und gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Längsbewehrung auf das Auflager zuschreitet. Dieser sogenannte kritische Schubriss trennt den Druck- vom Zuggurt, wodurch sich die inneren Kräfte zu einem Sprengwerk umlagern. Mit zunehmender Belastung wächst der Riss weiter in die Druckzone hinein, bis die verbleibende Druckzone die auftretenden Beanspruchungen nicht mehr aufnehmen kann – der Querschnitt versagt dann schlagartig. Das eigentliche Versagen wird primär durch das Fortschreiten des Biegeschubrisses verursacht, während der Bruch der Druckzone lediglich als Folgeerscheinung auftritt. <ref name="Zilch" />

* '''Stegzugversagen:'''

Bei profilierten Trägern mit dünnen Stegen und dicken Gurten kann die Betonzugfestigkeit im Steg bereits überschritten werden, noch bevor sich der Zuggurt im gerissenen Zustand befindet. Die entstehenden Stegrisse können sich anschließend sowohl in den Druck- als auch in den Zuggurt ausbreiten, was – analog zum Biegeschubversagen – zu einem schlagartigen Bruch führen kann. <ref name="Zilch" />

* '''Verankerungsversagen:'''

Bei steigender Belastung und unzureichender Verankerung der Längsbewehrung oberhalb des Auflagers kann entlang der Biegezugbewehrung ein fortschreitender Riss entstehen (sogenannter Dübelriss). Dies kann zum Absprengen der Betondeckung führen, wodurch der Querschnitt infolge des plötzlichen Herausziehens der Längsbewehrung versagt. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:01 Querkraft.png

2025-05-18T10:59:39Z

JHamann: JHamann lud eine neue Version von Datei:01 Querkraft.png hoch

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-18T10:54:58Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Versagensarten=

Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung können infolge der Querkraftbeanspruchung folgende Versagensmechanismen auftreten:
* '''Biegeschubversagen'''
Bei steigender Belastung entsteht im Balken ein Biegeschubriss, der sich in Höhe der Dehnungsnulllinie in Richtung der Lasteinleitung bewegt und gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Längsbewehrung auf das Auflager zuschreitet. Dieser sogenannte kritische Schubriss trennt den Druck- vom Zuggurt, wodurch sich die inneren Kräfte zu einem Sprengwerk umlagern. Mit zunehmender Belastung wächst der Riss weiter in die Druckzone hinein, bis die verbleibende Druckzone die auftretenden Beanspruchungen nicht mehr aufnehmen kann – der Querschnitt versagt dann schlagartig. Das eigentliche Versagen wird primär durch das Fortschreiten des Biegeschubrisses verursacht, während der Bruch der Druckzone lediglich als Folgeerscheinung auftritt.

* '''Stegzugversagen'''

* '''Verankerungsversagen'''

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
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|Status = Seite in Bearbeitung
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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-03T12:40:04Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|600px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-03T12:37:44Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|500px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. <ref name="Zilch" /> 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet. <ref name="Zilch" />

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment
|}
 

Stellt man die Berechnungsergebnisse für einen Rechteckquerschnitt unter Berücksichtigung der Schubschlankheit <math> \lambda </math> (das geometrische Verhältnis des Abstandes zwischen Einzellast und Auflagerlinie zur statischen Nutzhöhe <math> d </math>) und des Bewehrungsgrads <math>\rho_\mathrm{l}</math> in einem dreidimensionalen Diagramm dar, entsteht ein Tal, in dem der Quotient kleiner als 1,0 ist – die Querkrafttragfähigkeit wird somit maßgebend. Dieses sogenannte „Schubtal“ geht auf ''Kani'' zurück. Im Schubtal kann die Biegezugbewehrung nicht vollständig ausgenutzt werden, und der Querschnitt würde auf Schub versagen. <ref name="Zilch" /> 

Um ein vorzeitiges Versagen des Bauteils zu verhindern, muss in solchen Fällen eine Querkraftbewehrung vorgesehen werden, die das „Schubtal“ überwindet und es ermöglicht, die rechnerische Biegetragfähigkeit tatsächlich zu erreichen. Für schubschlanke, gering bewehrte Bauteile – wie beispielsweise Deckenplatten im Hochbau – ist der Quotient in der Regel größer als 1,0, sodass die Querkrafttragfähigkeit ausreichend ist. <ref name="Zilch" />

=Quellen=

<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-03T11:51:20Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|500px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Schubtal nach KANI=

Ein belastetes Bauteil kann ein Querkraftversagen erleiden, noch bevor die Biegetragfähigkeit erreicht wird. Die Querkraft- und Biegetragfähigkeit werden in getrennten Nachweisen erfasst, beruhen jedoch in weiten Teilen auf denselben Parametern (z. B. Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math>, Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math>, Bauteilabmessungen etc.). Daraus ergibt sich eine direkte Wechselwirkung zwischen den jeweiligen Versagenslasten. 
Um zu bestimmen, ob die Biegetragfähigkeit des Querschnitts <math>M_\mathrm{Rd}</math> oder das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment <math>M_\mathrm{uV}</math> maßgebend ist, wird der Quotient aus diesen beiden Momenten gebildet.

 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} > 1.0 \end{align}</math> → Biegeversagen
 
:<math>\begin{align} \ \frac{M_\mathrm{uV}}{M_\mathrm{Rd}} < 1.0 \end{align}</math> → Querkraftversagen
 

wobei:
:{|
|-
| MRd ... || maximal aufnehmbares Moment bei der Biegebemessung des Querschnitts
|-
| MuV ... || das beim Querkraftversagen erreichte maximale Moment

|}

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Übersicht

2025-05-03T10:36:37Z

JHamann:

[[File:01_Querkraft.png|right|thumb|600px|Biegeschubversagen - ein Versagensmechanismus der auf Querkraftbeanspruchung zurückzuführen ist]]
 
In biegebeanspruchten Bauteilen wirken Biegemomente, Längskräfte und Querkräfte. Während Biegemomente und Längskräfte Spannungen in Längsrichtung des Bauteils erzeugen, entstehen durch Querkräfte Spannungen in Querrichtung, die sogenannten Schubspannungen. <ref name="Lohmeyer">BAAR, STEFAN und EBELING, KARSTEN: Lohmeyer Stahlbetonbau Bemessung - Konstruktion – Ausführung, Springer Vieweg Wiesbaden, 2016</ref>

Aus den Längs- und Querspannungen ergibt sich ein zweidimensionaler Spannungszustand, der sich nur sehr schwierig in der praktischen Berechnung umsetzen lässt. Deshalb wird die Bemessung für Biegung und Querkraft getrennt durchgeführt. <ref name="Lohmeyer" />

Der Querkrafttragfähigkeitsnachweis erfolgt durch eine Gegenüberstellung der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed}</math> und dem Querkraftwiderstand <math>V_\mathrm{Rd} </math> im maßgebenden Querschnitt.<ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd} \end{align}</math>
 

wobei:
:{|
|-
| VEd ... || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| VRd ... || Bemessungswert des Querkraftwiderstandes eines Bauteiles
|}

 

=Unterschiede von Bauteilen '''ohne''' und '''mit''' Querkraftbewehrung=
 
Wenig querkraftbeanspruchte Bauteile, wie z. B. Platten können bereits ohne zusätzliche Querkraftbewehrung eine ausreichende Querkrafttragfähigkeit aufweisen. Sollten höhere Beanspruchungen auftreten, müssen zur Erhöhung der Querkrafttragfähigkeit Bewehrung als Verbindung zwischen dem Druck- und dem Zuggurt eingebaut werden. <ref name="Zilch" />

 
Deshalb muss beim Bemessungswert des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd} </math> zwischen folgenden Bemessungswerten unterschieden werden:

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} \end{align}</math> → Querkraftwiderstand eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,s} \end{align}</math> → durch die Fließgrenze der Querkraftbewehrung begrenzter Querkraftwiderstand
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,\max} \end{align}</math> → durch die Druckstrebenfestigkeit begrenzter maximaler Querkraftwiderstand
 
Folgende Regeln müssen beachtet werden:
 
# Bauteile, bei denen der Bemessungswert der Querkraft <math>V_\mathrm{Ed} </math> nicht größer ist als der Bemessungswert des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd,c} </math> eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung, erfordern rechnerisch keine Querkraftbewehrung.<ref name="Lohmeyer" /> <math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} \end{align}</math> → '''keine Querkraftbewehrung erforderlich''' 
# Bauteile, bei denen der Bemessungswert der Querkraft <math>V_\mathrm{Ed} </math> größer ist als der Bemessungswert des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd,c} </math> eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung, erfordern eine Querkraftbewehrung.<ref name="Lohmeyer" /> <math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} \end{align}</math> → '''stets Querkraftbewehrung erforderlich''' 
# In keinem Querschnitt eines Bauteils darf der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft <math>V_\mathrm{Ed} </math> größer sein als der durch die Druckstrebenfestigkeit begrenzte maximale Bemessungswert des Querkraftwiderstands <math>V_\mathrm{Rd,\max} </math>. <ref name="Lohmeyer" /> <math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,\max} \end{align}</math> → '''andernfalls schlagartiges Versagen der Betondruckstrebe''' 

==Mindestquerkraftbewehrung==
 
[[File:02_Balken oder Platte.png|right|thumb|300px|Klassifizierung von Bauteilen gemäß Norm (EC2 Teil 1-1) - bezogen auf die Querkraftbewehrung]]
Ebenso wie bei Bauteilen, die ausschließlich auf Biegung beansprucht werden, muss auch bei der Einwirkung von Querkräften eine gewisse Robustheit des Tragwerks gegenüber unvorhergesehenen Einflüssen – etwa Ausführungsfehlern oder Fehlstellen im Beton – gewährleistet sein. Bauteile, die nicht in der Lage sind, Querkräfte an Störstellen vorbeizuleiten, sind daher mit einer '''Mindestquerkraftbewehrung''' auszustatten. Diese soll verhindern, dass es zu einem plötzlichen Versagen des Bauteils kommt. Selbst wenn rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich ist (<math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math>), muss die Mindestbewehrung abhängig von der Bauteilart dennoch berücksichtigt werden. <ref name="Zilch" />

Ob eine Mindestbewehrung erforderlich ist, hängt von der Art bzw. Klassifizierung des Bauteils gemäß der Norm ab (EC2 Teil 1-1). Die Norm unterscheidet dabei zwischen der allgemeinen Begriffsdefinition und der Einteilung der Bauteile im Hinblick auf die erforderliche Mindestquerkraftbewehrung: <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref> 
* '''Balken/ Plattenbalken''': Stabförmiges, vorwiegend auf Biegung beanspruchtes Bauteil mit einer Stützweite von mindestens der dreifachen Querschnittshöhe und mit einer Querschnitts- bzw. Stegbreite von höchstens der fünffachen Querschnittshöhe.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b < 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b < 4h </math> → '''immer Mindestquerkraftbewehrung erforderlich''' 
* '''Platte''': Ebenes, durch Kräfte rechtwinklig zur Mittelfläche vorwiegend auf Biegung beanspruchtes, flächenförmiges Bauteil, dessen kleinste Stützweite mindestens das Dreifache seiner Bauteildicke beträgt und mit einer Bauteilbreite von mindestens der fünffachen Bauteildicke.<ref name="EC2" />
→ allgemein <math> b \geq 5h </math> 
→ in Bezug auf Querkraft <math> b > 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung nicht erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} \leq V_\mathrm{Rd,c} </math> und erforderlich bei <math>V_\mathrm{Ed} > V_\mathrm{Rd,c} </math>''' 
* '''schmale Platte''': Abweichend von der zuvor beschriebenen Definition wird eine Platte mit einer Breite im Bereich von <math> 4h \leq b \leq 5h </math> als schmale Platte bezeichnet.<ref name="EC2" />
→ keine allgemeine Definition 
→ in Bezug auf Querkraft <math> 4h \leq b \leq 5h </math> → '''Mindestquerkraftbewehrung erforderlich (gesonderte Regeln nach EC2 Teil 1-1-9.3.2)''' 

=Quellen=

<references />

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

2025-05-03T10:13:46Z

JHamann:

[[File:08_Betonbogen.png|right|thumb|500px|Bogen-Zugband-Modell bei Belastung durch eine Gleichstreckenlast]]
 

Aufgrund der äußerst komplexen Vorgänge beim Biegeschubversagen ist es bislang nicht gelungen, ein allgemein anerkanntes und mechanisch begründetes Tragmodell zu entwickeln. Es existiert eine Vielzahl mechanischer Modelle, die Teilaspekte des Tragverhaltens abbilden, jedoch führen deren Kombinationen häufig zu widersprüchlichen Ansätzen. Aus diesem Grund wurden empirische Modelle entwickelt, die auf umfangreichen Versuchsreihen und Beobachtungen basieren. Auch das aktuell gültige Regelwerk (EC2, Teil 1-1) stützt sich auf diese empirischen Ansätze. <ref name="Zilch">ZILCH, KONRAD und ZEHETMAIER, GERHARD: Bemessung im konstruktiven Betonbau, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010</ref>

 

=Tragmodell=
[[File:09_Zahnmodell.png|right|thumb|400px|Kraftfluss innerhalb des Zahnmodells (einzelner Betonzahn)]]

Ein bedeutender Tragmechanismus für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung ist die Kombination aus dem '''Bogen-Zugband-Modell''' und dem '''Kamm- bzw. Zahnmodell'''. Bei Belastung durch eine Einzellast bildet sich ein Sprengwerk, bei Flächenlasten ein parabelförmiger Druckbogen aus. Dieser erzeugt Horizontalkräfte an den Auflagern, die über die Längsbewehrung als Zugband aufgenommen werden. Unterhalb des Druckbogens werden weitere Tragmechanismen aktiviert, die durch das Zahnmodell beschrieben werden. Es entstehen sogenannte Betonzähne, die durch idealisierte Biegeschubrisse begrenzt sind und kontinuierlich mit der Betondruckzone (Druckbogen) verbunden bleiben. Dadurch besteht eine ständige Verbindung zwischen Druck- und Zuggurt, über die die Zugkräfte aus der Bewehrung abgebaut werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle">BOLLE, GUIDO: Querkraftbemessung bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung, Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, Skript, TK 7, 2022</ref>

In diesem Modell wird die Querkraft durch folgende Traganteile abgetragen – jeweils mit den entsprechenden Einflussfaktoren:

* '''Querkrafttraganteil der Druckzone <math>V_\mathrm{cc}</math>''': Da sich der Beton in der Druckzone im Zustand I befindet (ungerissen), kann er einen Teil der Querkraft abtragen.
** ''Betonfestigkeit'': Mit steigender Festigkeit können höhere Schubspannungen aufgenommen und somit größere Querkräfte abgetragen werden.
** ''Bauteilquerschnitt'': Je breiter der Querschnitt, desto breiter der Druckbogen – und damit kann eine größere Querkraft aufgenommen werden.
** ''Längskräfte'': Bei vorhandenen Druckkräften vergrößert sich die überdrückte Zone im Querschnitt, wodurch der Druckbogen breiter wird und höhere Schubkräfte übertragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
*'''Dübelwirkung der Längsbewehrung <math>V_\mathrm{d}</math>''': Die Biegezugbewehrung verbindet benachbarte Betonzähne miteinander und ermöglicht so über Zugspannungen im Beton die Übertragung von Querkräften.
** ''Bewehrungsquerschnitt'': Je größer der Querschnitt der Längsbewehrung, desto höhere Querkräfte können über die Dübelwirkung übertragen werden.
** ''Betondeckung'': Ist die Betondeckung zu gering, kann der Beton abplatzen, wodurch die Querkräfte nicht mehr über die Dübelwirkung abgetragen werden können. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Rissverzahnung <math>V_\mathrm{cr}</math>''': Durch die Relativverschiebung zweier gegenüberliegender Rissufer entstehen Rissverzahnungsspannungen, die einen Teil der Querkraft aufnehmen können.
** ''Betonzugfestigkeit'': Eine höhere Zugfestigkeit des Betons führt zu kleineren Rissöffnungen, wodurch größere Rissverzahnungsspannungen entstehen und somit höhere Querkräfte aufgenommen werden können.
** ''Längskräfte'': Axiale Druckkräfte reduzieren die Rissbreite und ermöglichen dadurch eine größere Übertragung der Querkraft über die Rissverzahnung. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />
* '''Einspannwirkung der Betonzähne''': Durch die Verformung des Bauteils entstehen Biegespannungen an der Einspannstelle der Betonzähne, die zur Aufnahme von Querkräften beitragen.
**''Betonfestigkeit'': Mit höherer Betonfestigkeit können größere Biegespannungen an der Einspannstelle entstehen, wodurch ein höherer Querkraftwiderstand möglich ist. <ref name="Zilch" /> <ref name="Bolle" />

=Bemessung=
Da das Versagen eines Bauteils ohne Querkraftbewehrung in der Regel durch die Ausbildung eines kritischen Schubrisses initiiert wird, ist im Rahmen der Bemessung nachzuweisen, dass die vorhandenen Beanspruchungen die maßgebende Schubrisslast nicht überschreiten. Hierzu wird gemäß Eurocode der Nachweis für gerissene Trägerstege herangezogen. Dieser basiert, mangels eines allgemein anerkannten Versagensmodells, auf semi-empirischen Ansätzen. <ref name="Zilch" />

==Nachweis für gerissene Trägerstege==
[[File:10_Asl.png|right|thumb|500px|Beispiel für die anrechenbare Längsbewehrung Asl]]

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein, da beispielsweise aus der Betondruckfestigkeit <math>f_\mathrm{ck}</math> die dritte Wurzel gezogen wird. Für ein korrektes Ergebnis empfiehlt es sich, alle Werte in den Einheiten [N], [mm] und [N/mm2] einzusetzen. Bei Versuchen wurde festgestellt, dass die Querkrafttragfähigkeit nur unterproportional mit der statischen Nutzhöhe <math>d</math> ansteigt. Aus diesem Grund wurde der sogenannte Maßstabsfaktor <math>k</math> in den Nachweis integriert. Um zu vermeiden, dass überbewehrte Bauteile mit sprödem Bruchverhalten geplant werden, ist der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> auf 2 % begrenzt. <ref name="Zilch" /> <ref name="EC2">FINGERLOOS, FRANK; HEEGER, JOSEF und ZILCH, KONRAD: Eurocode 2 für Deutschland - Kommentierte Fassung, Beuth Verlag GmbH, 2016</ref>

 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c} = \left[ C_\mathrm{Rd,c} \cdot k \cdot {\left( 100 \cdot \rho_\mathrm{l} \cdot f_\mathrm{ck} \right)}^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \geq V_\mathrm{Rd,c,\min} \end{align}</math>
 

mit:

:<math>\begin{align} \ C_\mathrm{Rd,c} = \frac{0,15}{\gamma_\mathrm{c}} \end{align}</math> → Kalibrierfaktor
 
:<math>\begin{align} \ k = 1 + \sqrt{ \frac{200}{d} } \leq 2,0 \end{align}</math> → Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)
 
:<math>\begin{align} \ \rho_\mathrm{l} = \frac{A_\mathrm{sl}}{b_\mathrm{w} \cdot d} \leq 0,02 \end{align}</math> → geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
 
:<math>\begin{align} \ \sigma_\mathrm{cp} = \frac{N_\mathrm{Ed}}{A_\mathrm{c}} < 0,2 \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math> → einwirkende Längsspannungen
 

wobei:
:{|
|-
| γc ... || der Teilsicherheitsbeiwert (= 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation)
|-
| d ... || die statische Nutzhöhe
|-
| Asl ... || die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Abb.)
|-
| lbd ... || die Verankerungslänge
|-
| bw ... || die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts
|-
| fck ... || die charakteristische Betonfestigkeit
|-
| NEd ... || die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung (Druck ist positiv einzusetzen und Zug negativ)
|-
| Ac ... || die Betonquerschnittsfläche
|-
| fcd ... || der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
|}

==Mindestquerkrafttragfähigkeit==
[[File:11_Mindesttragfähigkeit.png|right|thumb|500px|bezogene Querkrafttragfähigkeit bei reiner Biegung und d ≤ 200 mm]]

Da der Längsbewehrungsgrad <math>\rho_\mathrm{l}</math> über eine Multiplikation in der Nachweisgleichung verankert ist, ergibt sich für Bauteile ohne Längsbewehrung formal keine Querkrafttragfähigkeit. In der Realität weisen solche Bauteile jedoch dennoch eine gewisse Querkrafttragfähigkeit auf, solange der Beton ungerissen bleibt. Um diese Bauteile nicht zu unterschätzen, wurde eine weitere empirische Formel entwickelt, welche die untere Grenze der Querkrafttragfähigkeit beschreibt und unabhängig vom Längsbewehrungsgrad berechnet wird. <ref name="Zilch" /> 
Versuche haben gezeigt, dass die Querkrafttragfähigkeit mit zunehmender statischer Nutzhöhe sowie bei niedrigeren Bewehrungsgraden abnimmt. Aus diesem Grund wird über den Beiwert <math>\kappa_\mathrm{1}</math> die Mindestquerkrafttragfähigkeit für Bauteile mit einer statischen Nutzhöhe von über 80 cm um etwa 30 % gegenüber dünneren Bauteilen (d ≤ 60 cm) reduziert. <ref name="EC2" /> 
 

:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Rd,c,\min} = \left[ \frac{\kappa_\mathrm{1}}{\gamma_\mathrm{c}} \cdot \sqrt{{k}^{3} \cdot f_\mathrm{ck}} + 0,12 \cdot \sigma_\mathrm{cp} \right] \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| κ1 = 0,0525 für d ≤ 60cm
|-
| κ1 = 0,0375 für d > 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)
|}

==zusätzlicher Nachweis für auflagernahe Lasten==

Der Nachweis für die Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung darf auch bei auflagernahen Lasten verwendet werden, wenn ein zusätzlicher Nachweis der schrägen Betondruckstrebe geführt wird. Die Begrenzung der Druckstrebentragfähigkeit nach Gleichung wird in der Regel nur bei sehr großen auflagernahen Einzellasten maßgebend. Hierbei muss die einwirkende Querkraft ohne Abminderung (<math> \beta </math> siehe [[Querkraftbemessung - Einwirkung]]) folgenden Bedingung erfüllen: <ref name="EC2" /> 
 
:<math>\begin{align} \ V_\mathrm{Ed} = 0,5 \cdot b_\mathrm{w} \cdot d \cdot \nu \cdot f_\mathrm{cd} \end{align}</math>
 
wobei: 
:{|
|-
| ν = 0,675 → Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen
|}

=Quellen=

<references />

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