Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png

2024-03-27T21:55:15Z

KSoehnholz: KSoehnholz lud eine neue Version von Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png hoch

Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png

2024-03-27T15:45:51Z

KSoehnholz: KSoehnholz lud eine neue Version von Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png hoch

Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 8.png

2024-03-27T10:16:16Z

KSoehnholz: KSoehnholz setzte Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 8.png auf eine alte Version zurück

2024-03-25T23:35:49Z

KSoehnholz:

Unter Zugkraftdeckung versteht man die Ermittlung der statisch notwendigen Menge der Biegezugbewehrung, bezogen auf die Längsachse des Biegebauteils. Man spricht dabei vom Anpassen der Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf. Durch den Nachweis der Zugkraftdeckung wird sichergestellt, dass in jedem Querschnitt die auftretende Zuggurtkraft durch die vorhandene Bewehrung aufgenommen werden kann.<ref Name = "Stahlbeton for Beginners">Scheerer, S; Proske, D: Stahlbeton for Beginners, Grundlagen für die Bemessung und Konstruktion, 2. Auflage, Springer-Verlag, 2008</ref>

=Problemstellung und Einführung in die Thematik=
Wird die Menge der Biegezugbewehrung für ein biegebeanspruchtes Stahlbetonbauteil ermittelt, so ist hierfür an erster Stelle, das maximal wirkende Biegemoment maßgebend. Dieses befindet sich in der Regel, je nach statischem System, in Feldmitte (Feldmoment), im Bereich von Zwischenauflagern (Stützmoment) oder auch im Anschnitt eines Kragarms. Die weiteren Abschnitte entlang der Bauteilachse, in denen geringere Biegemomente wirken, sind für die reine Biegebemessung somit nicht relevant und bleiben hierbei unberücksichtigt. Eine Variante der Bewehrungsführung wäre nun, die für das maximale Biegemoment ermittelte Bewehrungsmenge, über die gesamte Bauteillänge unverändert in der entsprechenden Bauteilebene anzuordnen. Diese Variante der Bewehrungsführung kommt in der Praxis auch durchaus in vielen Fällen zur Anwendung. Der entscheidende Nachteil hierbei ist jedoch, dass je nach Bauteilgröße eine teilweise wesentlich höhere Bewehrungsstahlmenge verbaut wird, als tatsächlich nötig wäre. Grund dafür ist die Tatsache, dass auf der gesamten Bauteillänge eine einheitliche Bewehrungsmenge angeordnet wird, welche auf das maximale Biegemoment abgestimmt ist. Betrachtet man jedoch den Momentenverlauf im Bauteil, so fällt dieser ja nach dem maximalen Moment mit einem linearen oder parabolischen Verlauf ab. Daraus lässt sich herleiten, dass die weniger stark beanspruchten Bauteilbereiche somit auch weniger Bewehrungsstahl benötigen. Hierbei kann das Verfahren der Zugkraftdeckung angewendet werden. Man spricht dabei vom Anpassen der Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf. Eine Ähnliche Vorgehensweise findet man im Stahlbetonbau auch bei der Querkraftbemessung. Hier wird über die Querkraftdeckung die Querkraftbewehrung an den Verlauf der Querkraft angepasst.<ref Name = "Stahlbeton for Beginners"></ref><ref Name = "Springer">Bindseil, P.: Massivbau: Bemessung und Konstruktion im Stahlbetonbau mit Beispielen, 5. Auflage, Springer Vieweg Verlag, 2015</ref><ref Name = "Teubner">Gottfried C.O. Lohmeyer (Hrsg.): Stahlbetonbau, Bemessung - Konstruktion - Ausführung, 6. Auflage, Teubner Verlag</ref>

Ziel ist es vereinfachend gesagt, den Materialeinsatz in Form von Bewehrungsstahl an die vom Momentenverlauf abhängige Stahlzugkraft anzupassen. Ähnliche Beispiele sind im Stahl- oder Holzbau zu finden. Zum Beispiel beim sogenannten „Fischbauchträger“. Dort wird die Bauteilkontur entsprechend des Momentenverlaufes gestaltet.
=Normung und Anwendung=
Geregelt ist das Verfahren der Zugkraftdeckung im Eurocode 2 (DIN EN 1992-1-1 mit Nationalem Anhang) im Kapitel 9 (Konstruktionsregeln)<ref Name = "EC2">Eurocode 2: DIN EN 1992-1-1 mit Nationalem Anhang (2. Auflage):Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau - Konstruktionsregeln</ref> . Im Unterschied zur DIN 1045-1 darf mit der Einführung des Eurocodes nun auch als zusätzliche Variante ein linearer Kraftverlauf entlang der Verankerungslänge bei der Abdeckung der Zugkraftlinie durch gestaffelte Bewehrung berücksichtigt werden (siehe [[#Variantenvergleich Zugkraftdeckungslinien|'''Variantenvergleich Zugkraftdeckungslinien''']]).<ref Name = "EC2"></ref>

Anwendung findet das Verfahren der Zugkraftdeckung bei verschiedensten biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen. Insbesondere Balken, Platten, Plattenbalken und Stützen. Also Bauteile, bei welchen es aus wirtschaftlichen- oder platztechnischen Gründen sinnvoll ist, die Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf anzupassen und entsprechend abzustufen. Die hieraus resultierenden Vorteile sind die Einsparung von Bewehrungsstahl und damit verknüpft auch ein Platzgewinn für anderweitige Bewehrungselemente in Bauteilen mit einem hohen Bewehrungsgrad.<ref Name = "Stahlbeton for Beginners"></ref>

Der Nachweis der Zugkraftdeckung ist zwingend in jedem Falle im Anschluss an die Biegebemessung zu vollziehen. Hiermit wird sichergestellt und nachgewiesen, dass die in jedem Querschnitt auftretende Zuggurtkraft durch die vorhandene Bewehrung aufgenommen wird.<ref Name = "Springer"></ref>
=Vorgehensweise bei der Zugkraftdeckung=
==Grundvoraussetzungen für das Anwenden der Zugkraftdeckung==
Im Allgemeinen genügt beim Nachweis der Zugkraftdeckung das Betrachten des Grenzzustandes der Tragfähigkeit. Werden jedoch Biegemomente mehr als 15% bei Linear-elastischer Berechnung umgelagert oder es kommt durch Verfahren der Schnittgrößenermittlung mit der Plastizitätstheorie/Nichtlineare Verfahren zu erheblichen Verschiebungen der Momentennullpunkte zwischen GZG und GZT, so ist der Nachweis ebenfalls für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zu führen.<ref Name = "EC2"></ref>
Im folgenden wird von einer Schnittgrößenermittlung nach dem linear-elastischen Verfahren ohne Momentenumlagerung ausgegangen.

*'''Bewehrungsmengen für die maßgebenden Biegemomente'''
::Die Anzahl und Durchmesser der Bewehrungsstäbe (Biegezugbewehrung) für die maßgebenden Biegemomente entsprechend der Biegebemessung müssen für die Zugkraftdeckung bekannt sein.
*'''Abgeschlossene Querkraftbemessung'''
::Der Querkraftverlauf und die Druckstrebenneigungswinkel aus der Querkraftbemessung sind für die Zugkraftdeckung erforderlich.
*'''Momentengrenzlinie (Umhüllende)'''
::Anders als bei der reinen Biegebemessung sind bei der Zugkraftdeckung nicht nur die Einzelwerte der Momente an den maßgebenden Extremstellen relevant, sondern die gesamte Momentengrenzlinie.

:*Erläuterung - Momentengrenzlinie:
[[Datei:Zugkraftdeckung 2.png|mini|150px|right|Momentenausrundung am Zwischenauflager<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref> ]]
:::Die maßgebenden Biegemomente an einem statischen System resultieren aufgrund unterschiedlicher Laststellungen (siehe Grafik). Das maßgebende Feldmoment an einem Durchlaufträger entsteht z.B. aufgrund einer anderen Laststellung als für das maßgebende Stützmoment. Legt man die Momentenlinien der jeweiligen Lastfälle für die maßgebenden Bemessungsmomente übereinander und betrachtet die umhüllende Außenkontur, so erhält man die Momentengrenzlinie der Bemessungswerte. Die Momentengrenzlinie besteht somit aus bereichsweisen verschieden zusammengesetzten Funktionen. Somit ist diese keine „glatte Funktion“ und kann dementsprechend Knickstellen enthalten.<ref Name = "Springer"></ref>
:::Wurden bei der Biegebemessung die Stützmomente aufgrund der Auflagersituation abgemindert (Momentenausrundung), so ist dies beim Erstellen der Momentengrenzlinie ebenfalls zu Berücksichtigen.<ref Name = "Stahlbeton for Beginners"></ref>
 
:::[[Datei:Zugkraftdeckung 1.png|mini|400px|none|Entwicklung der Momentengrenzlinie<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref> ]]
 
:::[[Datei:Zugkraftdeckung 3.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie mit ausgerundetem Stützmoment]]

==Erstellen der Zugkraftlinie==
'''Ziel:''' Näherungsweise den tatsächlichen Verlauf, der auf den Bewehrungsstahl einwirkenden Zugkraft, im Zugkraftdiagramm darstellen. Hierbei ist stets die [[Zuggurtkraftdifferenz]] zu berücksichtigen.

===Übersicht===
:*'''Ablauf zum Erstellen der Zugkraftlinie:'''
 
::Grundlage: MEd – Linie (Momentengrenzlinie)
:::↓
::M/z - Linie (Zugkraft Fs aufgrund von Biegemomenten)
:::↓
::Fsd – Linie (Zugkraft Fs aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)
 
:*'''Betrachtung vorab - innere Käfte:'''
[[Datei:Zugkraftdeckung 4.png|mini|200px|right|Darstellung der inneren Kräfte am Betrachtungsschnitt eines Stahlbetonbalken<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref> ]]
::Wird ein Stahlbetonbauteil auf Biegung beansprucht, so entstehen infolge des Biegemomentes Druck- und Zugspannungen im Bauteilquerschnitt. Die Druckspannung wird durch den Beton und die Zugspannung durch den Bewehrungsstahl aufgenommen. Aus den Spannungen resultieren die Betondruckkraft Fcd und die Stahlzugkraft Fsd, welche als innere Kräfte bezeichnet werden. Diese befinden sich im Gleichgewicht (Fcd + Fsd = 0). Aufgrund der Lage der inneren Kräfte im Bauteilquerschnitt ergibt sich zwischen diesen ein Abstand, welcher als '''Hebelarm der inneren Kräfte (z)''' bezeichnet wird.<ref Name = "Vorlesungsunterlagen">Bolle, G: Vorlesungsunterlagen Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, 2022</ref>

::Mit dem Hebelarm der inneren Kräfte lässt sich über das einwirkende Biegemoment die Betondruckkraft Fcd und die Stahlzugkraft Fsd bestimmen.<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
 
===M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)===
Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Sie stellt die Stahlzugkraft Fsd in Abhängigkeit vom einwirkenden Biegemoment in einem Längen-Kräfte-Diagramm dar. Der Verlauf der M/z Linie entspricht dem der Momentengrenzlinie, da Zugkraft und Moment direkt proportional zueinander sind?????. Bezogen auf das Diagramm ist hier prinzipiell lediglich die Einheit der Ordinate von kNm zu kN zu ändern. Bei einer zusätzlichen Belastung des Querschnittes durch eine Normalkraft ist diese zusätzlich rechnerisch zu berücksichtigen.<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>

Die Stahlzugkraft Fs errechnet sich somit zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>

:<math>F_\mathrm{s}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+N_\mathrm{Ed}</math>

:::{|
| MEd... || Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte. Vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend ist dieser zu 0,9 · d zu bestimmen (d = Statische Nutzhöhe). Eventuell kleinere Werte für z, aufgrund erheblicher Normalkräfte (z.B. aus Vorspannung) sind jedoch zu berücksichtigen. Prinzipiell kann z auch aus der Biegebemessung übernommen werden. Hierbei ist aber zu beachten, dass dieser dabei nur für die Extremstellen bestimmt wird. Entlang das Bauteils können unter Umständen maßgebendere Werte vorliegen.<ref Name = "EC2"></ref>
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft (NEd als Druckkraft negativ ansetzen)
|}
 
[[Datei:Zugkraftdeckung 5.png|mini|600px|none|MEd/z – Linie ]]

===Fsd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)===
Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die [[Zuggurtkraftdifferenz]] zu berücksichtigen. Hierfür ist die M/z – Linie entsprechend anzupassen.<ref Name = "Springer"></ref>

Berücksichtigt werden kann die Zuggurtkraftdifferenz nach zwei Varianten:
====Variante 1 - Rechnerisches Ermitteln====
[[Datei:Zugkraftdeckung 6.png|mini|350px|right|Detailbetrachtung am Zugkraftdiagramm – Differenzkraft rechnerisch ermittelt]]
Entsprechend des Querkraft- und Momentenverlaufes kann die Zuggurtkraftdifferenz ΔFs rechnerisch ermittelt werden. Hierfür muss nicht nur die Momentengrenzlinie, sondern auch der vollständige Querkraftverlauf bekannt sein.

Die Zuggurtkraftdifferenz ΔFs ergibt sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>\Delta F_\mathrm{s} = V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)</math>

Die Gesamtkraft Fs ergibt sich somit zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>F_\mathrm{s} = \cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)</math>
:::{|
| VEd... || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| cot θ... || Druckstrebenneigungswinkel
|-
| cot α... || Neigungswinkel der Bügelbewehrung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| MEd... || Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
|}
 
====Variante 2 - Konstruktive Berücksichtigung über das [[Versatzmaß]] al====
[[Datei:Zugkraftdeckung 7.png|mini|350px|right|Detailbetrachtung am Zugkraftdiagramm – Differenzkraft über Versatzmaß berücksichtigt]]
Hierbei wird die M/z – Linie an der Extremstelle geteilt und jeweils horizontal um das [[Versatzmaß]] al parallelverschoben. Der Kräftezuwachs aus der [[Zuggurtkraftdifferenz]] ergibt sich somit automatisch über die Geometrie.
Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung ist dies generell die einzig mögliche Variante. <ref Name = "Teubner"></ref>

::'''Vorteile dieser Variante''':
::Das Bestimmen des [[Versatzmaß]] al bietet beim grafischen Durchführen der Zugkraftdeckung den entscheidenden Vorteil, dass die M/z - Linie lediglich abschnittsweise um diesen Wert horizontal verschoben werden muss. Andernfalls müsste aufwendig stellenweise je nach einwirkendem Moment und Querkraft die Differenzkraft errechnet und vertikal angetragen werden.

::Verdeutlicht wird dies am nachfolgenden Beispiel eines Einfeldträgers mit Gleichlast (siehe Grafik). Aufgrund der Belastungsart ergibt sich ein linearer Querkraftverlauf und ein parabolischer Momentenverlauf. Somit verläuft die Zugkraftlinie aus der Biegetheorie automatisch ebenfalls parabolisch. Aufgrund des linearen Querkraftverlaufes steigt die Größe der Differenzkraft kontinuierlich zum Auflager hin an. Durch das geometrische Verschieben der Zugkraftlinie um das [[Versatzmaß]] wird der kontinuierliche Zugkraftzuwachs konstruktiv berücksichtigt und somit näherungsweise erfasst. Das aufwendige rechnerische Ermitteln des Zugkraftzuwachses entfällt somit.

::[[Datei:Zugkraftdeckung 8.png|mini|350px|none|Zusammenhang Querkraft-Zuggurtkraftdifferenz]]
 
====Hinweise====
Beide Varianten führen schlussendlich zum nahezu gleichen Ergebnis: → Eine Zugkraftlinie, welche näherungsweise die tatsächlich einwirkende Stahlzugkraft darstellt.
 
[[Datei:Zugkraftdeckung 9.png|mini|800px|none|Endgültige Zugkraftlinie (Zuggurtkraftdifferenz berücksichtig über Versatzmaß al)]]
 
Das [[Versatzmaß]] al ist in den meisten Fällen für die jeweils einzelnen Abschnitte am statischen System aufgrund teilweise unterschiedlicher statischer Nutzhöhen und somit veränderter Hebelarme der inneren Kräfte jeweils gesondert zu bestimmen.

Die einwirkende Stahlzugkraft Fsd an der Stelle des extremen Momentes (MEd max) ist generell als oberer Grenzwert anzusehen. Die umliegenden Bereiche sind somit nicht höher als der Grenzwert anzusetzen. Auch wenn das Berücksichtigen der Zugkraftdifferenz offensichtlich zu höheren Werten führen würde. Deutlich wird dies am Verlauf der Zugkraftlinie an den Extremstellen. Dort ist ein Zeitweise konstanter Verlauf mit der Länge 2 · al erkennbar. Der Grenzwert wird dabei nicht überschritten.<ref Name = "EC2"></ref>

==Bewehrungshorizonte==
Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe (Biegezugbewehrung) bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F⌀ aufnehmen.<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F⌀ errechnet sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = A_\mathrm{s\varnothing_{}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>

:::{|
| As⌀... || Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
|-
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}

Die errechnete Zugkraft pro Bewehrungsstahl lässt sich im Zugkraftdiagramm über einen sogenannten Bewehrungshorizont (horizontale Hilfslinie) eintragen. Mit steigender Anzahl der Bewehrungsstähle kommen weitere Horizonte mit untereinander gleichem Abstand dazu. Ist dementsprechend die volle Anzahl der Bewehrungsstähle eingetragen lässt sich die Bewehrungsmenge aus der Biegebemessung mit der laut Zugkraftdiagramm erforderlichen Menge vergleichen. Die erforderliche Zugkraft muss von der durch die Biegezugbewehrung aufnehmbare Zugkraft abgedeckt werden. Je nach Bewehrungsdurchmesser und Stabanzahl können sich die Bewehrungshorizonte pro Bemessungsabschnitt am Statischen System unterscheiden.<ref Name = "Stahlbeton for Beginners"></ref>
 
[[Datei:Zugkraftdeckung 10.png|mini|800px|none|Zugkraftlinie mit eingetragenen Bewehrungshorizonten ]]

'''Betrachtung am Zugkraftdiagramm:''' Die aufnehmbare Zugkraft muss größer oder gleich der einwirkenden Zugkraft sein (siehe Grafik). Hierdurch lässt sich kontrollieren ob die gewählte Biegezugbewehrung korrekt gewählt wurde. '''Geringe Unterschreitungen''' können jedoch teilweise akzeptiert werden. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte (z). Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

[[Datei:Zugkraftdeckung 11.png|mini|600px|none|Detailbetrachtung zur aufnehmbaren Zugkraft]]

==Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)==

===Übersicht===

Ziel des Abstufens ist es, die Länge der Biegezugbewehrung näherungsweise an den Zugkraftverlauf anzupassen. Man spricht dabei vom Staffeln der Bewehrung. Durch das Abstufen lassen sich die Längen der einzelnen Bewehrungsstähle festlegen, denn wie anfangs erwähnt, müssen nicht alle Stäbe bis ins Auflager geführt werden, sondern können teilweise schon vorher enden. Es bleibt freigestellt ob jeder Stab separat Abgestuft wird oder mehrere Stäbe die gleiche Länge erhalten. Ergebnis ist die Zugkraftdeckungslinie. An jeder Stelle des Bauteils muss so viel Bewehrung angeordnet sein, das es nicht zum einschneiden der Zugkraftlinie durch die Zugkraftdeckungslinie kommt.<ref Name = "Springer"></ref>

Endet ein Bewehrungsstahl z.B. wie bei der Zugkraftdeckung durch Abstufung im Verlauf des Bauteils, so ist dieser dort noch zu verankern. Gängig ist es hierbei, das gerade Stabende unter Berücksichtigung seiner Verankerungslänge entsprechend enden zu lassen. Somit ist beim Abstufen von Bewehrungsstählen entsprechend der Zugkraftdeckungslinie, zusätzlich immer das Maß der Verankerungslänge in Bezug auf die Gesamtlänge eines Stabes zu Berücksichtigen. Eine besondere Form der Verankerung abgestufter Bewehrungsstähle sind sogenannte „Schrägaufbiegungen“ (siehe [[#Rückblick - Zugkraftdeckung in der Vergangenheit|'''Rückblick - Zugkraftdeckung in der Vergangenheit''']]). <ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>

===Konstruktive Regeln===
In Verbindung mit dem Abstufen von Bewehrungsstählen sind grundsätzliche Regeln zur Bewehrungsführung zu beachten.

:*'''Verankerung am Endauflager:'''
::Mindestens 25% der Feldbewehrung sind bis zum Endauflager zu führen und dort zu verankern (bei Platten 50%). Als Verankerungsbeginn zählt die Innenkante des Auflagers. Die Bewehrung ist jedoch stets mindestens über die rechnerische Auflagerlinie zu führen.<ref Name = "Schneider">Albert, A (Hrsg.): Bautabellen für Ingenieure, mit Berechnungshinweisen und Beispielen, 24. Auflage, Reguvis Verlag, 2020</ref>
:*'''Verankerung am Zwischenauflager:'''
::Mindestens 25% der Feldbewehrung sind über das Zwischenauflager zu führen. Die Mindestverankerungslänge ab Auflagerrand muss mindestens 6· dem Stabdurchmesser entsprechen. Zur Aufnahme positiver Momente infolge außergewöhnlicher Beanspruchungen (Auflagersetzungen, Explosion u. a.) sollte die Bewehrung durchlaufend ausgeführt werden (ggf. kraftschlüssig gestoßen).<ref Name = "Schneider"></ref>

::Weitere Hinweise zur Bewehrungsführung sind aus geeigneter Fachliteratur zu entnehmen z.B. <ref Name = "Schneider"></ref>.

Aufgrund der konstruktiven Regeln ist es somit nicht möglich jeden Bewehrungsstab abzustufen und vor dem Auflager enden zu lassen. Ein gewisser Anteil ist in jedem Fall immer bis zum Auflager zu führen. Bei allen weiteren Stäben liegt es im eigenen Ermessen ob eine eher „feine“ oder „grobe“ Abstufung vollzogen wird.

Eine „feine“ Abstufung führt zwar zur Einsparung von Bewehrungsstahl, kann sich jedoch in Hinblick auf die Übersichtlichkeit im Bewehrungsplan und die spätere Bewehrungsmontage wiederum ungünstig auswirken. Denn die Anzahl der Bewehrungsstäbe mit unterschiedlicher Länge und somit auch die Anzahl an unterschiedlichen Positionen nimmt hierbei zu. Ein „gesundes Mittelmaß“ zwischen Materialeinsparung und Planungs-/Montageaufwand ist hierbei anzustreben.<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>

===Erfassen der rechnerischen Endpunkte der Bewehrung===
Ein Bewehrungsstahl kann enden/abgestuft werden, wenn dieser nicht mehr belastet wird, also dort wo keine Zugkraft mehr auf ihn einwirkt. Im Zugkraftdiagramm lässt sich der jeweilige rechnerische Endpunkt (E) geometrisch erfassen. Der rechnerische Endpunkt eines Stabes befindet sich dort, wo sich die Zugkraftlinie mit dem Bewehrungshorizont des vorherigen Stabes schneidet. Beispielhaft darf Stab 4 dort enden, wo sich der Bewehrungshorizont von Stab 3 mit der Zugkraftlinie schneidet (siehe Grafik).
 
[[Datei:Zugkraftdeckung 12.png|mini|600px|none|Rechnerische Endpunkte der Bewehrung]]

Der rechnerische Endpunkt bedeutet lediglich, das dort rein theoretisch abgestuft werden kann. Die Abstufung muss jedoch nicht zwangsläufig erfolgen, bzw. darf aus konstruktiven Gründen teilweise auch nicht an jedem rechnerische Endpunkt vollzogen werden.

===Varianten der Zugkraftdeckungslinie===
Eine Zugkraftdeckungslinie lässt sich nach zwei Varianten erstellen. Die Varianten unterscheiden sich hinsichtlich des Ansatzes der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge der abgestuften Bewehrungsstähle (siehe [[#Variantenvergleich Zugkraftdeckungslinien|'''Variantenvergleich Zugkraftdeckungslinien''']]).<ref Name = "EC2"></ref>

Die Zugkraftdeckungslinie richtet sich nach den rechnerischen Endpunkten und den Bewehrungshorizonten im Zugkraftdiagramm. Die konstruktiven Regeln der Bewehrungsführung sind zu Berücksichtigen. Ebenfalls muss bekannt sein, welche Anzahl an Stäben abgestuft werden sollen.

====Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)====
Bei der „Stufenfunktion“ handelt es sich um die „klassische“ Variante, welche auch die einzige Variante in der vor dem EC 2 geltenden DIN 1045-1 war. Die Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge wird im Vergleich zu Variante b nicht angesetzt.<ref Name = "EC2"></ref>
 
:*Beispielbetrachtung Feldbewehrung:
::Entsprechend der Biegebemessung sind 4 Bewehrungsstähle mit gleichem Durchmesser vorhanden. Hiervon sollen 2 Stäbe abgestuft werden. Die weiteren 2 Stäbe laufen vollständig von Auflager zu Auflager und werden nicht abgestuft um den Konstruktiven Regeln gerecht zu werden (mindestens 25% der Feldbewehrung ist bis ins Auflager zu führen).
::Es lässt sich die Zugkraftdeckungslinie erstellen:
 
::Abgestuft wurden Stab 3 und 4 auf jeweils die gleiche Länge, bezogen auf die rechnerischen Endpunkten von Stab 3.
::[[Datei:Zugkraftdeckung 13.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie im Feldbereich (rote Linie)]]
 
::Die erforderliche Länge der abgestuften Bewehrungsstähle wird nachfolgend veranschaulicht:
::Das Maß zwischen zwei Endpunkten (E) entspricht der Grundlänge des jeweiligen Bewehrungsstahls. Um die tatsächliche Stablänge zu erhalten, ist die jeweilige [[#Hinweise zur Verankerung der Bewehrung|'''Verankerungslänge''']]) der Grundlänge ab dem Endpunkt E hinzuzurechnen.
::[[Datei:Zugkraftdeckung 14.png|mini|600px|none|Bewehrungslängen der Abgestuften Stäbe]]
 
::Vollständige Zugkraftdeckung:
::[[Datei:Zugkraftdeckung 15.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung (Stufenfunktion) am Betrachtungsbeispiel mit Darstellung der Bewehrungslängen]]
 
====Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (nach EC 2)====
Mit der Einführung des Eurocode 2 darf die Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge in Ansatz gebracht werden. Hierdurch „schmiegt“ sich die Zugkraftdeckungslinie enger an die Zugkraftlinie an.<ref Name = "EC2"></ref>
 
:*Beispielbetrachtung Feldbewehrung (gleichen Randbedingungen wie bei Variante a):
:Das Maß zwischen zwei Endpunkten (E) entspricht der Gesamtlänge des jeweiligen Bewehrungsstahls. Die Verankerungslängen sind hier drin schon enthalten. Abgestuft wurden Stab 3 und 4 auf jeweils die gleiche Länge, bezogen auf die rechnerischen Endpunkten von Stab 3.
:[[Datei:Zugkraftdeckung 19.png|mini|600px|none|„Anschmiegende“ Zugkraftdeckungslinie nach EC 2 (rote Linie). Erkennbar ist der lineare Kraftverlauf innerhalb der Verankerungslänge, worin auch der Unterschied zu Variante a liegt.]]
 
:Vollständige Zugkraftdeckung:
:[[Datei:Zugkraftdeckung 20.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung (anschmiegende Funktion) am Betrachtungsbeispiel mit Darstellung der Bewehrungslängen.]]
 
===Ergebnis der Zugkraftdeckung===
Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind '''Länge''' und '''Position''' der abgestuften Bewehrungsstähle. Hierbei ist stets die Verankerungslänge zu berücksichtigen. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.
Verdeutlicht wird die Vorgehensweise der Zugkraftdeckung am [[Zugkraftdeckung (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]].

==Variantenvergleich Zugkraftdeckungslinien==
Wie vorab exemplarisch dargestellt, lassen sich für das Erstellen einer Zugkraftdeckung grundsätzlich zwei Varianten in Betracht ziehen:

:Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“
::ohne Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge
:Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“
::mit Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge

===Vergleich der Varianten===
[[Datei:Zugkraftdeckung 17.png|mini|200px|right|Variante-a Verankerung der Bewehrung erfolgt ab dem rechnerischen Endpunkt<ref Name = "EC2"></ref>]]
[[Datei:Zugkraftdeckung 18.png|mini|200px|right|Variante-b linearer Kraftverlauf entlang der Verankerungslänge wird berücksichtigt<ref Name = "EC2"></ref>]]
Betrachtet wird der rechnerische Endpunkt E eines abgestuften Bewehrungsstahls. Dort ist der Bewehrungsstahl unbelastet. Es wirkt an dieser Stelle somit keine Zugkraft. Nach '''Variante a''' ist der Stab ab dem rechnerischen Endpunkt mit seiner erforderlichen Verankerungslänge zu verankern. Aufgrund dessen kann der Bewehrungsstahl bereits ab dem Punkt E seinen vollständigen Bemessungswert der Zugkraft aufnehmen. Im Zugkraftdiagramm wird jedoch ersichtlich, dass ab dem Punkt E die Zugkraft im Bewehrungsstahl erst allmählich steigt. Betrachtet man nun den Verlauf der aufnehmbaren Zugkraft entlang der berechneten Verankerungslänge eines Stabes, so lässt sich feststellen dass diese am Stabende beginnend, linear bis zum Erreichen des Bemessungswertes ansteigt. Der lineare Verlauf ist hierbei auf die Verbundwirkung zwischen Stahl und Beton zurückzuführen. Dieser lineare Kräfteverlauf entlang der Verankerungslänge wird in '''Variante b''' bei der Zugkraftdeckungslinie berücksichtigt. Hierdurch lässt sich die Zugkraftdeckungslinie noch enger an die Zugkraftlinie anpassen und somit Material einsparen. Der Stab endet hierbei am rechnerischen Endpunkt und der lineare Kräfteverlauf in der Verankerungslänge wird in den Verlauf der Zugkraftdeckungslinie integriert.<ref Name = "EC2"></ref> <ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
 
:[[Datei:Zugkraftdeckung 16.png|mini|200px|none|linearer Kraftanstieg innerhalb der Verankerungslänge<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref> ]]
:[[Datei:Zugkraftdeckung 21.png|mini|400px|none|Variante-a Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“<ref Name = "Springer"></ref>]]
:[[Datei:Zugkraftdeckung 22.png|mini|400px|none|Variante-b Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion<ref Name = "Springer"></ref>]]
 
===Beurteilung der Varianten===
Aufgrund der Anrechnung der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge ergeben sich für Variante b generell kürzere Stablängen als für Variant a, was schlussendlich zu einer Materialersparnis führt. Die Materialeinsparung ist jedoch vergleichsweise gering. Positiv für Variante a spricht, das dort eine erhöhte Sicherheit gegen Ungenauigkeiten oder Abweichungen vorhanden ist. Denn durch eine eventuelle Abweichung der rechnerischen Zugkraftlinie von der tatsächlichen oder durch Verlegeungenauigkeiten, kann dies zu einer Verkürzung der Verankerungslänge oder Unterschreitung der Zugkraftdeckung führen.<ref Name = "Springer"></ref>

Zitat Springer Massivbau:
„Im Sinne nachhaltigen Bauens kann eine robustere Bauweise bei späteren Nutzungsänderungen eines Bauwerks hilfreich sein. Daher ist es häufig durchaus sinnvoll, die Bewehrungsführung anhand des vereinfachenden Stufenmodells zu ermitteln.“<ref Name = "Springer"></ref>

==Hinweise zur Verankerung der Bewehrung==
In Verbindung mit der Zugkraftdeckung ist die Verankerung der Bewehrungselemente nachzuweisen. Überall dort, wo ein Bewehrungsstahl endet, ist dieser auch entsprechend zu Verankern.
Hierbei unterscheidet man hinsichtlich der Stelle des Endpunktes der Bewehrung in die Positionen Endauflager, Zwischenauflager und außerhalb von Auflagern.

Folglich wird lediglich der prinzipielle Berechnungsablauf am Standardfall der Verankerung eines geraden Stabendes erläutert. Konstruktive Regeln und weitere Details sind aus geeigneter Fachliteratur zu entnehmen z.B. <ref Name = "Schneider"></ref>.

===Verankerung am Endauflager<ref Name = "Schneider"></ref>.===
:*Ermitteln der Randzugkraft FEd (Zugkraft am Endauflager)
::<math>F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}</math>
:::{|
| VEd... || Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
|-
| al... || [[Versatzmaß]] aus Zugkraftdeckung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
|}
:*Ermitteln, des zur Aufnahme der Randzugkraft erforderlichen Bewehrungsquerschnitt
::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}</math>
:::{|
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}
:*Ermitteln der Stahlspannung
::Hierbei ist das Verhältnis aus erforderlicher und vorhandener Bewehrung zu bilden.
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
:*Ermitteln der Verankerungslänge
::Mithilfe der zuvor bestimmten Stahlspannung lässt sich die Verankerungslänge über die dafür allgemeingültigen Formeln bestimmen.
===Verankerung am Zwischenauflager (Untere Bewehrung)<ref Name = "Schneider"></ref>.===
Am Zwischenauflager ist die erforderliche Bewehrung mit mindestens der Länge von 6· dem Bewehrungsdurchmesser hinter den Auflagerrand zu führen.
::<math>l_\mathrm{b,eq} =6\cdot\varnothing_{}\mathrm{s}</math>
===Verankerung außerhalb von Auflagern<ref Name = "Schneider"></ref>.===
Hiermit sind Bewehrungsstähle gemeint, welche abgestuft sind und nicht bis ins Auflager geführt wurden.
:*Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,erf... || Gesamtquerschnittsfläche der Stäbe, welche nicht Abgestuft wurden/ bzw. weiter durchlaufen
|-
| As,vorh... || Gesamtquerschnittsfläche aller vorhandenen Stäbe
|}
:*Ermitteln der Verankerungslänge
::Mithilfe der zuvor bestimmten Stahlspannung lässt sich die Verankerungslänge über die dafür allgemeingültigen Formeln bestimmen.
'''Hinweise:'''
Bei durchlaufender Bewehrung, welche nicht abgestuft wurde (z.B. untere Grundbewehrung) kann es aufgrund der großen Stablänge erforderlich werden, diesen zu stoßen. Die Art und Länge des Übergreifungsstoßes ist ebenfalls nachzuweisen.

An Endauflagern kann es unter Umständen aufgrund der begrenzten Platzverhältnisse notwendig sein eine gesonderte Verankerungsart zu wählen (z.B. Winkelhaken).

=Rückblick - Zugkraftdeckung in der Vergangenheit=
Die Zugkraftdeckung wird als solche bereits seit vielen Jahrzehnten praktiziert. Vergleichend betrachtet wurden verschiedene Lehr- und Handbücher für den Stahlbetonbau aus den frühen 1980er Jahren. Die Durchführung der Variante Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“, ist dort, abgesehen von anderen Begriffsbezeichnungen, nahezu identisch mit der heutigen Vorgehensweise.
Als wesentlicher Unterschied ist jedoch erkennbar, das zu jener Zeit die sogenannten „Schrägaufbiegungen“ im Trend lagen. Hierbei wurden die abgestuften Bewehrungsstähle ab ihrem rechnerischen Endpunkt schräg aufgebogen und unter einem gewissen Winkel zum anderen Bauteilrand geführt und dort verankert. Somit dienten diese Stäbe gleichzeitig als Querkraftbewehrung. Die ansonsten geringe Anzahl an Bügelbewehrung galt damals oftmals lediglich als umhüllende Bewehrung zur Formgebung. Rückblickend betrachtet führte die Verwendung von Schrägstäben jedoch zu einigen Problemen. Darunter z.B. Betonabplatzungen an den Umlenkstellen der aufgebogenen Bewehrung oder aber auch Unstimmigkeiten bei der Verlegung, aufgrund der Vielzahl von unterschiedlichen Bewehrungspositionen. Heutzutage wird gefordert, das mindestens 50% der Querkraft über Bügelbewehrung abzutragen ist.
Auch wenn das Bewehren mit Schrägstäben momentan eher selten zur Anwendung kommt, kann dies aufgrund der resultierenden Materialeinsparung jedoch grundsätzlich sehr wirtschaftlich sein. In Hinsicht auf die bevorstehenden Ressourcenknappheiten, kann es somit in Zukunft durchaus sinnvoll sein, die Bewehrung durch Schrägstäbe mit entsprechenden Optimierungen wieder mehr in den Fokus zu rücken.
<ref Name = "VEB">Kaller, W; Raue, E; Böhme, H: Stahlbeton 1, Konstruktion und Berechnung, 3. Auflage, VEB Verlag für Bauwesen, 1979</ref><ref Name = "Springer"></ref>

:[[Datei:Zugkraftdeckung 23.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie und Bewehrungsführung (Lehrbuch aus dem Jahr 1979)<ref Name = "VEB"></ref>]]

=weitere Seiten zum Thema Zugkraftdeckung=

[[Zugkraftdeckung (Bsp.)]]

[[Zuggurtkraftdifferenz]]

[[Versatzmaß]]

=Ouellen=
<references />

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

2024-03-24T19:59:48Z

KSoehnholz: KSoehnholz setzte Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 8.png auf eine alte Version zurück

Zugkraftdeckung (Bsp.)

2024-03-24T19:55:05Z

KSoehnholz:

Folglich wird ein praxisnahes Berechnungsbeispiel zum Thema [[Zugkraftdeckung]] geführt. Dieses wird vergleichsweise händisch und mit zwei verschiedenen Bemessungssoftwares geführt.

Vorgehensweise bei der [[Zugkraftdeckung]] an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel
=Statisches System und Belastung=
Betrachtet wird ein Durchlaufträger mit 2 Feldern unterschiedlicher Spannweite. Es handelt sich um einen Plattenbalkenquerschnitt, welcher frei drehbar gelagert ist.

Betongüte: C25/30

Betonstabstahl: B500A

[[Datei:System.png|mini|800px|none|System und Belastung]]

=Berechnungsbeispiel - händisch=
Nachfolgend wird schrittweise die grafische händische Durchführung der Zugkraftdeckung an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel erläutert. Hierbei werden auch die beiden Varianten hinsichtlich dem Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge berücksichtigt.
==Grundlagen==
*'''Momentengrenzlinie'''
:Grundlage ist die Momentengrenzline (Bemessungswerte), welche aufgrund der verschiedenen Möglichkeiten der Laststellungen geeignet zu bestimmen ist (z.B. Schnittprinzip).

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 2.png|mini|800px|none|Vollständige Momentengrenzlinie in Diagrammform]]

:Um die Zugkraftdeckung zeichnerisch durchzuführen, sind schrittweise Einzelne Werte des Verlaufes der Momentengrenzlinie zu Bestimmen. Die Schrittweite ist so zu wählen, dass der Verlauf entsprechend „feinfühlig“ dargestellt wird. Im Falle des Beispiels führt ein Abstand von 0,5m zu einem zufriedenstellenden Ergebnis. Mit der Annahme der Anwendung des Schnittprinzips ist also alle 0,5m entlang der Systemlänge der Bemessungswert des Biegemomentes zu Bestimmen. Aufgrund der Lagerungsbedingung am Zwischenauflager, darf das Stützmoment abgemindert werden (Momentenausrundung). Dies ist ebenfalls zu Berücksichtigen.

*'''Ergebnisse aus der Biege- und Querkraftbemessung'''
:Aus der Biegebemessung ist Anzahl, Durchmesser und Stahlgüte der Längsbewehrung bekannt.

:Querschnitt des Plattenbalkens mit der gewählten Bewehrungsmenge und deren Anordnung am entsprechenden Betrachtungsschnitt (Querkraftbewehrung nicht dargestellt). Auch die statische Nutzhöhe d lässt sich aus der Grafik entnehmen. Aufgrund der einlagigen Anordnung ist diese im Beispiel stets 70 cm.

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 3.png|mini|600px|none|Querschnitt mit Bewehrungsmengen]]

:Ebenfalls sind die Druckstrebenneigungswinkel aus der bereits vollzogenen Querkraftbemessung bekannt:

::Am Auflager A und C ist θ = 18,4°→ cot θ = 3,00

::Am Auflager B links ist θ = 25,0°→ cot θ = 2,14

::Am Auflager B rechts ist θ = 22,9°→ cot θ = 2,37

:Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0
:Die Bemessungswerte der Querkräfte an den Endauflagern betragen bei Auflager A = 290,86 kN und bei B = 236,05 kN.
==Bestimmen der M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)==
Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Ziel ist es, den Verlauf der Stahlzugkraft Fsd aufgrund von Biegemomenten in Diagrammform darzustellen. Um die entsprechenden Werte für das Zugkraftdiagramm zu erhalten, ist jeder einzelne Bemessungswert aus der Momentengrenzlinie durch den Hebelarm der inneren Kräfte (z) zu dividieren. Man erhält somit aus dem Moment MEd [kNm] die Stahlzugkraft Fsd [kN].

Die Stahlzugkraft Fsd errechnet sich somit zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen">Bolle, G: Vorlesungsunterlagen Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, 2022</ref>
:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+N_\mathrm{Ed}</math>
:::{|
| MEd... || Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|-
| NEd... || Bemessungswert des einwirkenden Normalkraft (keine einwirkende Normalkraft vorhanden→ entfällt somit)
|}
Aufgrund des sich immer wiederholenden Berechnungsschrittes wird dieser folglich nur einmal exemplarisch am maximalen Biegemoment in Feld 1 veranschaulicht:
:<math>M_\mathrm{Ed}=413,2 kNm </math>

:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>

:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}=\cfrac{413,2}{0,63}=655,90 kN</math>
Nach dieser Vorgehensweise sind alle Werte aus der Momentengrenzlinie in die entsprechende Stahlzugkraft umzurechnen. Eine Tabelle kann hierfür sehr sinnvoll sein:

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 4.png|mini|600px|none|Tabelle]]

Sind alle Werte bestimmt, lassen sich diese anhand ihrer Koordinaten im Zugkraftdiagramm eintragen. Bei der händischen Durchführung eignet sich hierfür Millimeterpapier. Die Maßstäbe können hierbei prinzipiell frei gewählt werden.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 5.png|mini|600px|none|Im Diagramm eingetragene Punkte]]

Sind alle Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den Zugkraftverlauf zu erhalten.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 6.png|mini|600px|none|M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)]]

==Fsd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)==
Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die [[Zuggurtkraftdifferenz]] zu berücksichtigen. Bei der zeichnerischen Durchführung erfolgt dies durch horizontales Versetzen der M/z – Linie um das [[Versatzmaß]] al.

Das [[Versatzmaß]] al ergibt sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)\cdot z\ge 0</math>
:::{|
| cot θ... || Druckstrebenneigungswinkel
|-
| cot α... || Neigungswinkel der Bügelbewehrung
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|}
Aufgrund der unterschiedlichen Druckstrebenneigungswinkel (cot θ) pro Bemessungsabschnitt, ist das Versatzmaß für das betrachtete Beispiel mehrfach zu bestimmen.
:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>
Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0

Am Auflager A und C ist cot θ = 3,00

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(3,00-0)\cdot 0,63=0,945m\ge 0</math>

Zu beachten:

Am Zwischenauflager (Auflager B) ist die '''obere''' Biegezugbewehrung teilweise aus dem Stegbereich in die Gurtplatte ausgelagert. Hier ist das [[Versatzmaß]] um den Abstand der vom Stegrand am weitesten ausgelagerten Bewehrung zu vergrößern (Maß x).

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 7.png|mini|200px|none|Maß x (Auslagerung)]]

Am Auflager B links ist cot θ = 2,14

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63+0,1=0,77m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63=0,67m\ge 0</math>

Am Auflager B rechts ist cot θ = 2,37

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63+0,1=0,85m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63=0,75m\ge 0</math>

Mit den ermittelten Versatzmaßen lassen sich die zuvor im Zugkraftdiagramm ermittelten Punkte horizontal verschieben. Zu beachten ist, dass das jeweils korrekte Versatzmaß an entsprechender Stelle verwendet wird. Hierbei sind die Auflagerlinien und die Extremstellen im Diagramm als Orientierungspunkte für die Anwendung des entsprechenden Versatzmaßes anzusehen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 8.png|mini|600px|none|Versetzte Punkte]]

Sind alle versetzten Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den endgültigen Zugkraftverlauf zu erhalten. Optisch deutlich erkennbar ist nun, das die Zugkraftlinien horizontal um das Versatzmaß parallelverschoben sind.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png|mini|600px|none|Versetzte Linie]]

==Eintragen der Bewehrungshorizonte==
Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe als Biegezugbewehrung bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F⌀ aufnehmen.

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F⌀ errechnet sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = A_\mathrm{s\varnothing_{}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>

:::{|
| As⌀... || Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
|-
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}

Verbaut werden Bewehrungsstähle B500A mit einem Durchmesser von 20 mm.

Daraus ergibt sich eine Querschnittsfläche von As⌀ = 3,14 cm2 und ein Bemessungswert der Festigkeit von fyd = 43,5 kN/cm2 .

Die aufnehmbare Zugkraft pro Bewehrungsstahl berechnet sich somit zu:

:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = 3,14\cdot 43,5=136,6kN</math>

Mit zunehmender Anzahl der Bewehrungsstähle kann kontinuierlich mehr Zugkraft aufgenommen werden. In nachfolgender Tabelle wurde die Zugkraft entsprechend der Stabanzahl aufsummiert.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 10.png|mini|400px|none|Tabelle - aufnehmbare Zugkräfte]]

Im Zugkraftdiagramm sind entsprechend der aufnehmbaren Zugkraft die einzelnen Bewehrungsstähle als sogenannte „Bewehrungshorizonte“ als feine Orientierungslinien einzutragen.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 11.png|mini|600px|none|Eingetragene Bewehrungshorizonte]]

Auszug aus Feld 2: Die durch 3 Bewehrungsstähle aufnehmbare Zugkraft unterschreitet offensichtlich geringfügig die mit der Zugkraftlinie dargestellte einwirkende Zugkraft. Diese geringe Abweichung ist jedoch akzeptabel. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte z. Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 12.png|mini|400px|none|geringe Unterschreitung der Zugkraftlinie]]
==Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)==
Betrachtet werden beide Varianten der Zugkraftdeckungslinie.

Abgestuft wird wie folgt:
:Untere Bewehrung:
::2 Stäbe laufen ohne Abstufung auf gesamter Länge durch
::Auflager A → insgesamt 4 Stäbe werden ins Auflager geführt, 1 Stab wird vorher abgestuft
::Auflager B links → abgestuft werden 1x 2 Stäbe und 1x 1 Stab
::Auflager B rechts → abgestuft wird 1 x 1 Stab
::Auflager C → alle 3 Stäbe aus Feld 2 werden ins Auflager geführt

:Obere Bewehrung:
::abgestuft werden 2 x 2 Stäbe und 1 x 3 Stäbe

===Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)===
Vollständige Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Abstufungsschritte wie vorab beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 13.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“]]

===Bestimmen der Verankerungslängen (Zwischenschritt)===
Für beide Varianten der Zugkraftdeckungslinien ist das Maß der Verankerungslängen erforderlich. Bei Variante b) werden die Verankerungslängen bereits beim Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie benötigt.
Exemplarisch wird das Errechnen der erforderlichen Verankerungslänge an 2 verschiedenen Positionen veranschaulicht. Am Zwischenauflager läuft die nicht abgestufte untere Bewehrung durch. Der Nachweis der Verankerungslänge entfällt hier somit.
====Verankerung am Endauflager<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====

:*'''Ermitteln der Randzugkraft FEd (Zugkraft am Endauflager):'''
::<math>F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}</math>
:::{|
| VEd... || entspricht dem Bemessungswert der maximalen Auflagerkraft
|-
| al... || Versatzmaß aus Zugkraftdeckung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
|}
::<math>F_\mathrm{Ed} =290,99\cdot\cfrac{94,5}{63,0}=436,5 kN</math>
::<math>F_\mathrm{Ed} =\cfrac{290,99}{2}=145,5 kN</math>
::'''Maßgebend: 436,50 kN'''

:*'''Ermitteln, des zur Aufnahme der Randzugkraft erforderlichen Bewehrungsquerschnitt'''

::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}</math>
:::{|
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}
::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{436,50}{43,5}=10,03 cm^2</math>

:*'''Ermitteln der Stahlspannung'''
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
::4⌀20 werden bis ins Auflager geführt
::Hieraus errechnet sich die vorhandene Querschnittsfläche:
::<math>A_\mathrm{s,vorh} = 4\cdot 3,14=12,56 cm^2</math>

::Somit errechnet sich die Stahlspannung zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{10,03}{12,56}\cdot 43,5=34,74 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{34,74}{0,269}=64,57 cm</math>
:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit Winkelhaken → α1=0,7
:::'''(Aufgrund der begrenzten Platzverhältnisse zur Verankerung am Endauflager musste die Verankerungsform Winkelhaken gewählt werden)'''
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-direkte Lagerung → α5=2/3
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 0,7\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 28,61 = 20,10cm</math>
:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=16,2 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot \frac{2}{3}\cdot 2 = 13,3 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''

:Unter der Annahme einer Betondeckung von cnom = 5 cm werden die Bewehrungsstähle auf gesamter Auflagerbreite mit Winkelhaken verankert.
:<math>l_{b,vorh} = t-c_{nom}=35-5 =30 cm\ge l_{b,eq} = 20,10 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

====Verankerung außerhalb von Auflagern<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====
Verankerung der unteren Bewehrung in Feld 1
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 14.png|mini|400px|none|Position der gesuchten Verankerungslänge]]

:*'''Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E'''
:Hierbei ist das Verhältnis aus erforderlicher und vorhandener Bewehrung zu bilden.
:2 Stäbe werden noch gebraucht, 5 Stäbe sind insgesamt vorhanden

:Somit ist:
:As,erf=6,28cm2 (2⌀20)
:As,vorh=15,7cm2 (5⌀20)

::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
:Die Stahlspannung errechnet sich zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{6,28}{15,7}\cdot 43,5=17,4 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{17,4}{0,269}=32,34 cm</math>

:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit geradem Stabende → α1=1,0
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-keine Querdruck- oder Querzugspannungen → α5=1,0
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 32,34 = 32,34cm</math>

:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1,0\cdot1,0\cdot 1,0 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=24,26 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot 1\cdot 2 = 20 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''
:gewählte Verankerungslänge → 35 cm
:<math>l_{b,vorh} =35 cm\ge l_{b,eq} = 32,34 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

'''Nach dieser Vorgehensweise sind die Verankerungen aller Stabenden nachzuweisen.'''

Mit den errechneten Verankerungslängen lässt sich folglich nun auch die Zugkraftdeckungslinie für Variante b erstellen

===Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“===
Für diese Variante sind die Verankerungslängen bereits vor dem Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie anhand der Abstufungsschritte zu ermitteln.

Vollständige Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Die Bereiche mit linearen Verlauf lassen sich über die entsprechende Verankerungslänge konstruieren. Abstufungsschritte wie eingangs beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 15.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“]]

==Bewehrungslängen ermitteln==
Über den gewählten Maßstab lassen sich anhand der Zugkraftdeckungslinie die tatsächlichen Stablängen ermitteln. Die Verankerungslängen sind hierbei stets zu berücksichtigen
:*'''Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet und beginnt ab dem rechnerischen Endpunkt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 16.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“]]

:*'''Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet. Der Abstand zwischen zwei rechnerischen Endpunkten entspricht der Gesamtlänge eines Stabes.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 17.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“]]
==Abschließende Betrachtung Berechnungsbeispiel - händisch==
Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind Länge und Position der Abgestuften Bewehrungsstähle. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.

Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Eine händische Durchführung findet heutzutage oftmals nur noch zu Lehrzwecken Anwendung. Dennoch lassen sich brauchbare Ergebnisse erzielen, welche größtenteils auch auf der sicheren Seite liegen.

:'''Betrachtung der Varianten:'''
:Mit dem grafischen Verfahren lassen sich beide Varianten der Zugkraftdeckung vollziehen. Beide Varianten ergeben aufgrund ihrer Unterschiede bezüglich des Ansatzes der Tragfähigkeit in der Verankerungslänge unterschiedliche Bewehrungslängen.
::Zum Vergleich:
::*Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 85,39 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 210,9 kg
::*Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 75,84 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 187,3 kg

Resultat:

Mit Variante b lässt sich grundsätzlich noch mehr Bewehrungsstahl einsparen. Am Betrachtungsbeispiel sind dies 23,6 kg. Das entspricht einer Einsparung von circa 11%. Nach aktuellem Stahlpreis (März 2024) würde sich für das Bauteil eine Einsparungssumme von etwa 20,00 € ergeben.???

=Berechnungsbeispiel Software mb-BauStatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbeton-Durchlaufträger (S340.de) aus der mb-BauStatik-Software aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Bauteilansicht]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 2.png|mini|600px|none|Bauteilquerschnitt ]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 3.png|mini|600px|none|Belastungen auf das System]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 5.png|mini|600px|none|Biegebemessung]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 6.png|mini|600px|none|Querkraftbemessung (Druckstrebenneigungswinkel)]]

==Erläuterung Auswahl - und Einstellungsmöglichkeiten zur Zugkraftdeckung==
Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 7.png|mini|600px|none|Durchmesser der Längsbewehrung]]
Bei der Einstellung zur Staffelung wurde „unabhängige Staffelung“ gewählt. Hiermit konnte die Staffelung in etwa an die Abstufungsschritte aus der händischen Durchführung angepasst werden. Das manuelle vorgeben der Stufenzahl führte zu keinem brauchbaren Ergebnis, da sich nicht zwischen oberer und unterer Bewehrungslage differenzieren lässt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 8.png|mini|600px|none|Staffelung]]
Für das [[Versatzmaß]] ist das Abstandsmaß der vom Stegrand ausgelagerten Bewehrung relevant. Diesbezüglich lassen sich in der Software kein Informationen finden. Die Vergleichbarkeit zum händischen Berechnungsbeispiel ist hierbei somit nicht eindeutig möglich. Gewählt wurde „nach Norm“.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 9.png|mini|600px|none|ausgelagerte Stützbewehrung]]
Die Zuggurtkraftdifferenz soll über das Versatzmaß berücksichtigt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 10.png|mini|600px|none|Variante zur Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz]]
In Berücksichtigung der konstruktiven Regeln zur Bewehrungsführung sollen mindestens 25% der Bewehrung zum Auflager geführt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 11.png|mini|600px|none|Steuerung der Längsbewehrung]]

==Zugkraftdeckung==
Als Ausgabe im Programm erhält man eine Zugkraftdeckungslinie mit den entsprechenden Bewehrungsauszügen.

Die Staffelung der oberen Längsbewehrung ließ sich aufgrund fehlender Einstellmöglichkeit nicht äquivalent zum händischen Berechnungsbeispiel wählen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 12.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

Bewehrungswahl in Tabellenform
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 13.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl (Biegezugbewehrung) ]]

=Berechnungsbeispiel Software Harzer-Baustatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbetonträger“ aus der Software Harzer-Baustatik aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Belastung]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 2.png|mini|600px|none|Bauteilansicht]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 3.png|mini|600px|none|Systemwerte]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 5.png|mini|600px|none|Erforderliche Biegebewehrung]]

Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 6.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 7.png|mini|600px|none|Druckstrebenneigungswinkel]]

==Zugkraftdeckung==
Im Modul lässt sich keine Auswahl oder Einstellungen zur Zugkraftdeckung treffen. Auf welche Weise die Zuggurtkraftdifferenz erfasst wird, bleibt unbekannt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 8.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge]]

Das Modul erstellt keine eigene Zugkraftdeckungslinie. Es gibt jedoch die Funktion, die Zugkraftlinie maßstäblich zu plotten. Hiermit kann die Zugkraftdeckung händisch oder durch Einlesen der Datei in externe Zeichenprogramme vollzogen werden. Die Skalierung der Ordinate entspricht dem Bewehrungsquerschnitt As in cm2.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 9.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge (maßstäblicher Plot)]]

Die Verankerungslängen sind einzeln in einem gesonderten Modul zu bestimmen. Hierbei ist je nach gesuchter Verankerungslänge das Verhältnis aus As,erf und As,vorh einzutragen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 10.png|mini|600px|none|Modul - Verankerungslänge]]
Die Verankerungslängen wurden separat in einem anderen Modul bestimmt. Die Abstufungsschritte wurden in Anlehnung an das händische Berechnungsbeispiel vorgenommen. Erstellt wurde die Zugkraftdeckungslinie mit einem externen Zeichenprogramm anhand des maßstäblichen Plot aus dem Berechnungsmodul.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 11.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

=Vergleich der Berechnungsergebnisse=
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 1.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]
Ergebnis der Zugkraftdeckung sind die Stablängen der abgestuften Bewehrungsstähle. Diese werden anhand der Zugkraftdeckungslinie ermittelt. Die Zugkraftdeckungslinie richtet sich nach dem Verlauf der Stahlzugkraft Fs (Zugkraftlinie). Im Falle der Softwarebemessung erfolgt die Zugkraftdeckung anhand der Linie der erforderliche Biegezugbewehrung. Beides lässt sich aufgrund der Äquivalenz der Verläufe trotzdem miteinander vergleichen. Bei der händischen Berechnung sind der gesamte Berechnungsablauf und die dafür Verwendeten Eingangswerte schrittweise veranschaulicht und somit direkt nachvollziehbar. Bei der Softwarebemessung hingegen bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.

In folgender Tabelle sind die Stab- und Verankerungslängen der abgestuften Bewehrungsstähle aufgelistet:
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 2.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]

Für den Vergleich zwischen den Berechnungsarten ist die Grundlänge der Stäbe am aussagekräftigsten. Hierbei lässt sich feststellen, dass die Stab – Grundlängen aus den beiden Softwarebemessungen nahezu identisch sind. Somit ist anzunehmen, das hierbei gleiche Berechnungsansätze zur Anwendung kamen. Die aus der händischen Zugkraftdeckung ermittelten Stablängen sind zumeist eher größer, teilweise aber auch nahezu gleich der Längen aus der Softwarebemessung.

*'''Mögliche Ursachen für Unterschiede:'''
:Da die Grundlängen der Stäbe aus den Softwareanwendungen nahezu identisch sind, ist generell die Abweichung im Vergleich zur Handrechnung zu Betrachten.
:Die verwendeten Druckstrebenneigungswinkel sind bei allen drei Berechnungen einsehbar und nahezu gleich. Unter der Annahme der Verwendung in Verbindung mit der Zugkraftdeckung können die Differenzen hieraus nicht resultieren.

:Die Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz erfolgt sowohl bei der mb Software, als auch bei der Handrechnung über das Versatzmaß al. Dieses errechnet sich unter anderem aus dem Hebelarm der inneren Kräfte z. Bei der Handrechnung wurde das Versatzmaß vereinfacht zu 0,9 · d bestimmt. Die Größe der verwendeten Versatzmaße lassen sich in den Softwares nicht einsehen. Unter der Annahme, das dort zum Bestimmen der Versatzmaße die genaueren Werte für z aus der Biegebemessung verwendet wurden, würden sich größere Versatzmaße und somit größere Stablängen als bei der Handrechnung ergeben. Daher sind die Abweichungen der Stablängen vermutlich nicht auf das Versatzmaß zurückzuführen. Ebenfalls ist bei den Softwares nicht einsehbar in wieweit das Maß der ausgelagerten Bewehrung bei der oberen Bewehrung am Plattenbalken berücksichtigt wurde. Dieses spielt bei der Größe des Versatzmaßes ebenfalls eine Rolle.

:Die ermittelten Verankerungslängen sind bei der Handrechnung identisch mit den Werten aus der Harzer-Software. Bei den in der mb-Software ermittelten Verankerungslängen sind teilweise etwas höhere Abweichungen zu den Werten der anderen beiden Vergleichsberechnungen festzustellen. Zurückzuführen ist dies vermutlich auf den Berechnungsansatz zur Ermittlung der Stahlspannungen am Verankerungsbeginn.
:Die Verankerungslängen am Endauflager sind bei der mb-Software für ein gerades Stabende angegeben. Die Software verweist hierbei darauf, das eine gesonderte Verankerungsform zu wählen ist. Daher sind die Verankerungslängen am Endauflager nicht direkt miteinander Vergleichbar, da bei den anderen beiden Berechnungsarten bereits die Verankerung mit Winkelhaken berücksichtigt wurde und damit die Länge der Verankerung entsprechend kürzer ist.

:Als wohl maßgebendste Ursache für die Unterschiede in den Stablängen ist die Zugkraftlinie bzw. Linie der erforderlichen Bewehrung in Betracht zu ziehen. Grundlage für die Zugkraftlinie ist bei den drei Berechnungsvarianten jeweils die gleiche Momentengrenzlinie. Aus der Momentengrenzlinie wird über den Hebelarm der inneren Kräfte z die Zugkraftlinie bestimmt. Bei der Handrechnung erfolgte dies mit der auf der sicheren Seite liegenden Annahme z = 0,9 · d. In der Softwarebemessung wurde hierfür sehr wahrscheinlich der genaue Wert für z verwendet. Da dieser im Regelfall größer als bei der vereinfachten Annahme z = 0,9 x d ausfällt, führt dies zu einer rechnerisch etwas geringeren Zugkraft. Das heißt, die Zugkraftlinie fällt damit kleiner aus. Hieraus resultieren dann kürzere Stablängen. Gut erkennbar ist dieser Unterschied an den Abständen der Zugkraftlinien zum Bewerhrungshorizont der größten Stabanzahl. Die Bewehrungshorizonte sind in allen Berechnungsvarianten auf der gleichen Ebene. Vergleicht man daraufhin die Abstände der Zugkraftlinien an den Extremstellen zum Bewehrungshorizont, ist festzustellen, dass die Zugkraftline der Handrechnung größer ausfällt.
Ebenfalls können Zeichen- oder Messungenauigkeiten bei der händischen Durchführung der Zugkraftdeckung zu den Abweichungen der Stablängen beitragen.

*'''Schlussfolgerungen:'''
:Grundsätzlich führen die betrachteten Berechnungen alle zu sinnvollen und brauchbaren Ergebnissen. Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Bei der Softwareanwendung erfolgt die Zugkraftdeckung automatisch neben der Biegebemessung. Hierbei bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.
:Durchgeführt wurde die Zugkraftdeckung nach der Variante Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1). Die händische grafische Durchführung der Zugkraftdeckung ergab teilweise etwas größere Stablängen und liegt somit noch weiter auf der sicheren Seite. Generell sind die Abweichungen der Stablängen jedoch in Bezug auf die Bauteilabmessungen Unverhältnismäßig und eher Untergeordneter Bedeutung. Die Variante der Zugkraftdeckung als Stufenfunktion bietet diesbezüglich auch ausreichend Sicherheit gegen geringfügige Abweichungen. Schadensfälle durch eine vermeidlich zu unpräzise Zugkraftdeckung sind eher unwahrscheinlich.

=weitere Seiten zum Thema Zugkraftdeckung=

[[Zugkraftdeckung]]

[[Zuggurtkraftdifferenz]]

[[Versatzmaß]]

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

=Quellen=

<references />

Zugkraftdeckung (Bsp.)

2024-03-24T19:51:51Z

KSoehnholz:

Folglich wird ein praxisnahes Berechnungsbeispiel zum Thema [[Zugkraftdeckung]] geführt. Dieses wird vergleichsweise händisch und mit zwei verschiedenen Bemessungssoftwares geführt.

Vorgehensweise bei der [[Zugkraftdeckung]] an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel
=Statisches System und Belastung=
Betrachtet wird ein Durchlaufträger mit 2 Feldern unterschiedlicher Spannweite. Es handelt sich um einen Plattenbalkenquerschnitt, welcher frei drehbar gelagert ist.

Betongüte: C25/30

Betonstabstahl: B500A

[[Datei:System.png|mini|800px|none|System und Belastung]]

=Berechnungsbeispiel - händisch=
Nachfolgend wird schrittweise die grafische händische Durchführung der Zugkraftdeckung an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel erläutert. Hierbei werden auch die beiden Varianten hinsichtlich dem Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge berücksichtigt.
==Grundlagen==
*'''Momentengrenzlinie'''
:Grundlage ist die Momentengrenzline (Bemessungswerte), welche aufgrund der verschiedenen Möglichkeiten der Laststellungen geeignet zu bestimmen ist (z.B. Schnittprinzip).

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 2.png|mini|800px|none|Vollständige Momentengrenzlinie in Diagrammform]]

:Um die Zugkraftdeckung zeichnerisch durchzuführen, sind schrittweise Einzelne Werte des Verlaufes der Momentengrenzlinie zu Bestimmen. Die Schrittweite ist so zu wählen, dass der Verlauf entsprechend „feinfühlig“ dargestellt wird. Im Falle des Beispiels führt ein Abstand von 0,5m zu einem zufriedenstellenden Ergebnis. Mit der Annahme der Anwendung des Schnittprinzips ist also alle 0,5m entlang der Systemlänge der Bemessungswert des Biegemomentes zu Bestimmen. Aufgrund der Lagerungsbedingung am Zwischenauflager, darf das Stützmoment abgemindert werden (Momentenausrundung). Dies ist ebenfalls zu Berücksichtigen.

*'''Ergebnisse aus der Biege- und Querkraftbemessung'''
:Aus der Biegebemessung ist Anzahl, Durchmesser und Stahlgüte der Längsbewehrung bekannt.

:Querschnitt des Plattenbalkens mit der gewählten Bewehrungsmenge und deren Anordnung am entsprechenden Betrachtungsschnitt (Querkraftbewehrung nicht dargestellt). Auch die statische Nutzhöhe d lässt sich aus der Grafik entnehmen. Aufgrund der einlagigen Anordnung ist diese im Beispiel stets 70 cm.

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 3.png|mini|600px|none|Querschnitt mit Bewehrungsmengen]]

:Ebenfalls sind die Druckstrebenneigungswinkel aus der bereits vollzogenen Querkraftbemessung bekannt:

::Am Auflager A und C ist θ = 18,4°→ cot θ = 3,00

::Am Auflager B links ist θ = 25,0°→ cot θ = 2,14

::Am Auflager B rechts ist θ = 22,9°→ cot θ = 2,37

:Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0
:Die Bemessungswerte der Querkräfte an den Endauflagern betragen bei Auflager A = 290,86 kN und bei B = 236,05 kN.
==Bestimmen der M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)==
Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Ziel ist es, den Verlauf der Stahlzugkraft Fsd aufgrund von Biegemomenten in Diagrammform darzustellen. Um die entsprechenden Werte für das Zugkraftdiagramm zu erhalten, ist jeder einzelne Bemessungswert aus der Momentengrenzlinie durch den Hebelarm der inneren Kräfte (z) zu dividieren. Man erhält somit aus dem Moment MEd [kNm] die Stahlzugkraft Fsd [kN].

Die Stahlzugkraft Fsd errechnet sich somit zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen">Bolle, G: Vorlesungsunterlagen Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, 2022</ref>
:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+N_\mathrm{Ed}</math>
:::{|
| MEd... || Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|-
| NEd... || Bemessungswert des einwirkenden Normalkraft (keine einwirkende Normalkraft vorhanden→ entfällt somit)
|}
Aufgrund des sich immer wiederholenden Berechnungsschrittes wird dieser folglich nur einmal exemplarisch am maximalen Biegemoment in Feld 1 veranschaulicht:
:<math>M_\mathrm{Ed}=413,2 kNm </math>

:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>

:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}=\cfrac{413,2}{0,63}=655,90 kN</math>
Nach dieser Vorgehensweise sind alle Werte aus der Momentengrenzlinie in die entsprechende Stahlzugkraft umzurechnen. Eine Tabelle kann hierfür sehr sinnvoll sein:

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 4.png|mini|600px|none|Tabelle]]

Sind alle Werte bestimmt, lassen sich diese anhand ihrer Koordinaten im Zugkraftdiagramm eintragen. Bei der händischen Durchführung eignet sich hierfür Millimeterpapier. Die Maßstäbe können hierbei prinzipiell frei gewählt werden.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 5.png|mini|600px|none|Im Diagramm eingetragene Punkte]]

Sind alle Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den Zugkraftverlauf zu erhalten.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 6.png|mini|600px|none|M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)]]

==Fsd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)==
Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die [[Zuggurtkraftdifferenz]] zu berücksichtigen. Bei der zeichnerischen Durchführung erfolgt dies durch horizontales Versetzen der M/z – Linie um das [[Versatzmaß]] al.

Das [[Versatzmaß]] al ergibt sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)\cdot z\ge 0</math>
:::{|
| cot θ... || Druckstrebenneigungswinkel
|-
| cot α... || Neigungswinkel der Bügelbewehrung
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|}
Aufgrund der unterschiedlichen Druckstrebenneigungswinkel (cot θ) pro Bemessungsabschnitt, ist das Versatzmaß für das betrachtete Beispiel mehrfach zu bestimmen.
:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>
Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0

Am Auflager A und C ist cot θ = 3,00

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(3,00-0)\cdot 0,63=0,945m\ge 0</math>

Zu beachten:

Am Zwischenauflager (Auflager B) ist die '''obere''' Biegezugbewehrung teilweise aus dem Stegbereich in die Gurtplatte ausgelagert. Hier ist das [[Versatzmaß]] um den Abstand der vom Stegrand am weitesten ausgelagerten Bewehrung zu vergrößern (Maß x).

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 7.png|mini|200px|none|Maß x (Auslagerung)]]

Am Auflager B links ist cot θ = 2,14

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63+0,1=0,77m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63=0,67m\ge 0</math>

Am Auflager B rechts ist cot θ = 2,37

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63+0,1=0,85m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63=0,75m\ge 0</math>

Mit den ermittelten Versatzmaßen lassen sich die zuvor im Zugkraftdiagramm ermittelten Punkte horizontal verschieben. Zu beachten ist, dass das jeweils korrekte Versatzmaß an entsprechender Stelle verwendet wird. Hierbei sind die Auflagerlinien und die Extremstellen im Diagramm als Orientierungspunkte für die Anwendung des entsprechenden Versatzmaßes anzusehen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp. 8) .png|mini|600px|none|Versetzte Punkte]]

Sind alle versetzten Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den endgültigen Zugkraftverlauf zu erhalten. Optisch deutlich erkennbar ist nun, das die Zugkraftlinien horizontal um das Versatzmaß parallelverschoben sind.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png|mini|600px|none|Versetzte Linie]]

==Eintragen der Bewehrungshorizonte==
Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe als Biegezugbewehrung bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F⌀ aufnehmen.

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F⌀ errechnet sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = A_\mathrm{s\varnothing_{}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>

:::{|
| As⌀... || Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
|-
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}

Verbaut werden Bewehrungsstähle B500A mit einem Durchmesser von 20 mm.

Daraus ergibt sich eine Querschnittsfläche von As⌀ = 3,14 cm2 und ein Bemessungswert der Festigkeit von fyd = 43,5 kN/cm2 .

Die aufnehmbare Zugkraft pro Bewehrungsstahl berechnet sich somit zu:

:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = 3,14\cdot 43,5=136,6kN</math>

Mit zunehmender Anzahl der Bewehrungsstähle kann kontinuierlich mehr Zugkraft aufgenommen werden. In nachfolgender Tabelle wurde die Zugkraft entsprechend der Stabanzahl aufsummiert.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 10.png|mini|400px|none|Tabelle - aufnehmbare Zugkräfte]]

Im Zugkraftdiagramm sind entsprechend der aufnehmbaren Zugkraft die einzelnen Bewehrungsstähle als sogenannte „Bewehrungshorizonte“ als feine Orientierungslinien einzutragen.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 11.png|mini|600px|none|Eingetragene Bewehrungshorizonte]]

Auszug aus Feld 2: Die durch 3 Bewehrungsstähle aufnehmbare Zugkraft unterschreitet offensichtlich geringfügig die mit der Zugkraftlinie dargestellte einwirkende Zugkraft. Diese geringe Abweichung ist jedoch akzeptabel. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte z. Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 12.png|mini|400px|none|geringe Unterschreitung der Zugkraftlinie]]
==Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)==
Betrachtet werden beide Varianten der Zugkraftdeckungslinie.

Abgestuft wird wie folgt:
:Untere Bewehrung:
::2 Stäbe laufen ohne Abstufung auf gesamter Länge durch
::Auflager A → insgesamt 4 Stäbe werden ins Auflager geführt, 1 Stab wird vorher abgestuft
::Auflager B links → abgestuft werden 1x 2 Stäbe und 1x 1 Stab
::Auflager B rechts → abgestuft wird 1 x 1 Stab
::Auflager C → alle 3 Stäbe aus Feld 2 werden ins Auflager geführt

:Obere Bewehrung:
::abgestuft werden 2 x 2 Stäbe und 1 x 3 Stäbe

===Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)===
Vollständige Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Abstufungsschritte wie vorab beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 13.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“]]

===Bestimmen der Verankerungslängen (Zwischenschritt)===
Für beide Varianten der Zugkraftdeckungslinien ist das Maß der Verankerungslängen erforderlich. Bei Variante b) werden die Verankerungslängen bereits beim Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie benötigt.
Exemplarisch wird das Errechnen der erforderlichen Verankerungslänge an 2 verschiedenen Positionen veranschaulicht. Am Zwischenauflager läuft die nicht abgestufte untere Bewehrung durch. Der Nachweis der Verankerungslänge entfällt hier somit.
====Verankerung am Endauflager<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====

:*'''Ermitteln der Randzugkraft FEd (Zugkraft am Endauflager):'''
::<math>F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}</math>
:::{|
| VEd... || entspricht dem Bemessungswert der maximalen Auflagerkraft
|-
| al... || Versatzmaß aus Zugkraftdeckung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
|}
::<math>F_\mathrm{Ed} =290,99\cdot\cfrac{94,5}{63,0}=436,5 kN</math>
::<math>F_\mathrm{Ed} =\cfrac{290,99}{2}=145,5 kN</math>
::'''Maßgebend: 436,50 kN'''

:*'''Ermitteln, des zur Aufnahme der Randzugkraft erforderlichen Bewehrungsquerschnitt'''

::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}</math>
:::{|
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}
::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{436,50}{43,5}=10,03 cm^2</math>

:*'''Ermitteln der Stahlspannung'''
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
::4⌀20 werden bis ins Auflager geführt
::Hieraus errechnet sich die vorhandene Querschnittsfläche:
::<math>A_\mathrm{s,vorh} = 4\cdot 3,14=12,56 cm^2</math>

::Somit errechnet sich die Stahlspannung zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{10,03}{12,56}\cdot 43,5=34,74 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{34,74}{0,269}=64,57 cm</math>
:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit Winkelhaken → α1=0,7
:::'''(Aufgrund der begrenzten Platzverhältnisse zur Verankerung am Endauflager musste die Verankerungsform Winkelhaken gewählt werden)'''
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-direkte Lagerung → α5=2/3
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 0,7\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 28,61 = 20,10cm</math>
:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=16,2 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot \frac{2}{3}\cdot 2 = 13,3 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''

:Unter der Annahme einer Betondeckung von cnom = 5 cm werden die Bewehrungsstähle auf gesamter Auflagerbreite mit Winkelhaken verankert.
:<math>l_{b,vorh} = t-c_{nom}=35-5 =30 cm\ge l_{b,eq} = 20,10 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

====Verankerung außerhalb von Auflagern<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====
Verankerung der unteren Bewehrung in Feld 1
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 14.png|mini|400px|none|Position der gesuchten Verankerungslänge]]

:*'''Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E'''
:Hierbei ist das Verhältnis aus erforderlicher und vorhandener Bewehrung zu bilden.
:2 Stäbe werden noch gebraucht, 5 Stäbe sind insgesamt vorhanden

:Somit ist:
:As,erf=6,28cm2 (2⌀20)
:As,vorh=15,7cm2 (5⌀20)

::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
:Die Stahlspannung errechnet sich zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{6,28}{15,7}\cdot 43,5=17,4 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{17,4}{0,269}=32,34 cm</math>

:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit geradem Stabende → α1=1,0
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-keine Querdruck- oder Querzugspannungen → α5=1,0
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 32,34 = 32,34cm</math>

:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1,0\cdot1,0\cdot 1,0 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=24,26 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot 1\cdot 2 = 20 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''
:gewählte Verankerungslänge → 35 cm
:<math>l_{b,vorh} =35 cm\ge l_{b,eq} = 32,34 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

'''Nach dieser Vorgehensweise sind die Verankerungen aller Stabenden nachzuweisen.'''

Mit den errechneten Verankerungslängen lässt sich folglich nun auch die Zugkraftdeckungslinie für Variante b erstellen

===Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“===
Für diese Variante sind die Verankerungslängen bereits vor dem Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie anhand der Abstufungsschritte zu ermitteln.

Vollständige Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Die Bereiche mit linearen Verlauf lassen sich über die entsprechende Verankerungslänge konstruieren. Abstufungsschritte wie eingangs beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 15.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“]]

==Bewehrungslängen ermitteln==
Über den gewählten Maßstab lassen sich anhand der Zugkraftdeckungslinie die tatsächlichen Stablängen ermitteln. Die Verankerungslängen sind hierbei stets zu berücksichtigen
:*'''Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet und beginnt ab dem rechnerischen Endpunkt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 16.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“]]

:*'''Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet. Der Abstand zwischen zwei rechnerischen Endpunkten entspricht der Gesamtlänge eines Stabes.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 17.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“]]
==Abschließende Betrachtung Berechnungsbeispiel - händisch==
Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind Länge und Position der Abgestuften Bewehrungsstähle. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.

Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Eine händische Durchführung findet heutzutage oftmals nur noch zu Lehrzwecken Anwendung. Dennoch lassen sich brauchbare Ergebnisse erzielen, welche größtenteils auch auf der sicheren Seite liegen.

:'''Betrachtung der Varianten:'''
:Mit dem grafischen Verfahren lassen sich beide Varianten der Zugkraftdeckung vollziehen. Beide Varianten ergeben aufgrund ihrer Unterschiede bezüglich des Ansatzes der Tragfähigkeit in der Verankerungslänge unterschiedliche Bewehrungslängen.
::Zum Vergleich:
::*Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 85,39 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 210,9 kg
::*Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 75,84 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 187,3 kg

Resultat:

Mit Variante b lässt sich grundsätzlich noch mehr Bewehrungsstahl einsparen. Am Betrachtungsbeispiel sind dies 23,6 kg. Das entspricht einer Einsparung von circa 11%. Nach aktuellem Stahlpreis (März 2024) würde sich für das Bauteil eine Einsparungssumme von etwa 20,00 € ergeben.???

=Berechnungsbeispiel Software mb-BauStatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbeton-Durchlaufträger (S340.de) aus der mb-BauStatik-Software aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Bauteilansicht]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 2.png|mini|600px|none|Bauteilquerschnitt ]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 3.png|mini|600px|none|Belastungen auf das System]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 5.png|mini|600px|none|Biegebemessung]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 6.png|mini|600px|none|Querkraftbemessung (Druckstrebenneigungswinkel)]]

==Erläuterung Auswahl - und Einstellungsmöglichkeiten zur Zugkraftdeckung==
Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 7.png|mini|600px|none|Durchmesser der Längsbewehrung]]
Bei der Einstellung zur Staffelung wurde „unabhängige Staffelung“ gewählt. Hiermit konnte die Staffelung in etwa an die Abstufungsschritte aus der händischen Durchführung angepasst werden. Das manuelle vorgeben der Stufenzahl führte zu keinem brauchbaren Ergebnis, da sich nicht zwischen oberer und unterer Bewehrungslage differenzieren lässt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 8.png|mini|600px|none|Staffelung]]
Für das [[Versatzmaß]] ist das Abstandsmaß der vom Stegrand ausgelagerten Bewehrung relevant. Diesbezüglich lassen sich in der Software kein Informationen finden. Die Vergleichbarkeit zum händischen Berechnungsbeispiel ist hierbei somit nicht eindeutig möglich. Gewählt wurde „nach Norm“.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 9.png|mini|600px|none|ausgelagerte Stützbewehrung]]
Die Zuggurtkraftdifferenz soll über das Versatzmaß berücksichtigt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 10.png|mini|600px|none|Variante zur Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz]]
In Berücksichtigung der konstruktiven Regeln zur Bewehrungsführung sollen mindestens 25% der Bewehrung zum Auflager geführt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 11.png|mini|600px|none|Steuerung der Längsbewehrung]]

==Zugkraftdeckung==
Als Ausgabe im Programm erhält man eine Zugkraftdeckungslinie mit den entsprechenden Bewehrungsauszügen.

Die Staffelung der oberen Längsbewehrung ließ sich aufgrund fehlender Einstellmöglichkeit nicht äquivalent zum händischen Berechnungsbeispiel wählen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 12.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

Bewehrungswahl in Tabellenform
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 13.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl (Biegezugbewehrung) ]]

=Berechnungsbeispiel Software Harzer-Baustatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbetonträger“ aus der Software Harzer-Baustatik aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Belastung]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 2.png|mini|600px|none|Bauteilansicht]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 3.png|mini|600px|none|Systemwerte]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 5.png|mini|600px|none|Erforderliche Biegebewehrung]]

Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 6.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 7.png|mini|600px|none|Druckstrebenneigungswinkel]]

==Zugkraftdeckung==
Im Modul lässt sich keine Auswahl oder Einstellungen zur Zugkraftdeckung treffen. Auf welche Weise die Zuggurtkraftdifferenz erfasst wird, bleibt unbekannt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 8.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge]]

Das Modul erstellt keine eigene Zugkraftdeckungslinie. Es gibt jedoch die Funktion, die Zugkraftlinie maßstäblich zu plotten. Hiermit kann die Zugkraftdeckung händisch oder durch Einlesen der Datei in externe Zeichenprogramme vollzogen werden. Die Skalierung der Ordinate entspricht dem Bewehrungsquerschnitt As in cm2.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 9.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge (maßstäblicher Plot)]]

Die Verankerungslängen sind einzeln in einem gesonderten Modul zu bestimmen. Hierbei ist je nach gesuchter Verankerungslänge das Verhältnis aus As,erf und As,vorh einzutragen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 10.png|mini|600px|none|Modul - Verankerungslänge]]
Die Verankerungslängen wurden separat in einem anderen Modul bestimmt. Die Abstufungsschritte wurden in Anlehnung an das händische Berechnungsbeispiel vorgenommen. Erstellt wurde die Zugkraftdeckungslinie mit einem externen Zeichenprogramm anhand des maßstäblichen Plot aus dem Berechnungsmodul.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 11.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

=Vergleich der Berechnungsergebnisse=
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 1.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]
Ergebnis der Zugkraftdeckung sind die Stablängen der abgestuften Bewehrungsstähle. Diese werden anhand der Zugkraftdeckungslinie ermittelt. Die Zugkraftdeckungslinie richtet sich nach dem Verlauf der Stahlzugkraft Fs (Zugkraftlinie). Im Falle der Softwarebemessung erfolgt die Zugkraftdeckung anhand der Linie der erforderliche Biegezugbewehrung. Beides lässt sich aufgrund der Äquivalenz der Verläufe trotzdem miteinander vergleichen. Bei der händischen Berechnung sind der gesamte Berechnungsablauf und die dafür Verwendeten Eingangswerte schrittweise veranschaulicht und somit direkt nachvollziehbar. Bei der Softwarebemessung hingegen bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.

In folgender Tabelle sind die Stab- und Verankerungslängen der abgestuften Bewehrungsstähle aufgelistet:
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 2.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]

Für den Vergleich zwischen den Berechnungsarten ist die Grundlänge der Stäbe am aussagekräftigsten. Hierbei lässt sich feststellen, dass die Stab – Grundlängen aus den beiden Softwarebemessungen nahezu identisch sind. Somit ist anzunehmen, das hierbei gleiche Berechnungsansätze zur Anwendung kamen. Die aus der händischen Zugkraftdeckung ermittelten Stablängen sind zumeist eher größer, teilweise aber auch nahezu gleich der Längen aus der Softwarebemessung.

*'''Mögliche Ursachen für Unterschiede:'''
:Da die Grundlängen der Stäbe aus den Softwareanwendungen nahezu identisch sind, ist generell die Abweichung im Vergleich zur Handrechnung zu Betrachten.
:Die verwendeten Druckstrebenneigungswinkel sind bei allen drei Berechnungen einsehbar und nahezu gleich. Unter der Annahme der Verwendung in Verbindung mit der Zugkraftdeckung können die Differenzen hieraus nicht resultieren.

:Die Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz erfolgt sowohl bei der mb Software, als auch bei der Handrechnung über das Versatzmaß al. Dieses errechnet sich unter anderem aus dem Hebelarm der inneren Kräfte z. Bei der Handrechnung wurde das Versatzmaß vereinfacht zu 0,9 · d bestimmt. Die Größe der verwendeten Versatzmaße lassen sich in den Softwares nicht einsehen. Unter der Annahme, das dort zum Bestimmen der Versatzmaße die genaueren Werte für z aus der Biegebemessung verwendet wurden, würden sich größere Versatzmaße und somit größere Stablängen als bei der Handrechnung ergeben. Daher sind die Abweichungen der Stablängen vermutlich nicht auf das Versatzmaß zurückzuführen. Ebenfalls ist bei den Softwares nicht einsehbar in wieweit das Maß der ausgelagerten Bewehrung bei der oberen Bewehrung am Plattenbalken berücksichtigt wurde. Dieses spielt bei der Größe des Versatzmaßes ebenfalls eine Rolle.

:Die ermittelten Verankerungslängen sind bei der Handrechnung identisch mit den Werten aus der Harzer-Software. Bei den in der mb-Software ermittelten Verankerungslängen sind teilweise etwas höhere Abweichungen zu den Werten der anderen beiden Vergleichsberechnungen festzustellen. Zurückzuführen ist dies vermutlich auf den Berechnungsansatz zur Ermittlung der Stahlspannungen am Verankerungsbeginn.
:Die Verankerungslängen am Endauflager sind bei der mb-Software für ein gerades Stabende angegeben. Die Software verweist hierbei darauf, das eine gesonderte Verankerungsform zu wählen ist. Daher sind die Verankerungslängen am Endauflager nicht direkt miteinander Vergleichbar, da bei den anderen beiden Berechnungsarten bereits die Verankerung mit Winkelhaken berücksichtigt wurde und damit die Länge der Verankerung entsprechend kürzer ist.

:Als wohl maßgebendste Ursache für die Unterschiede in den Stablängen ist die Zugkraftlinie bzw. Linie der erforderlichen Bewehrung in Betracht zu ziehen. Grundlage für die Zugkraftlinie ist bei den drei Berechnungsvarianten jeweils die gleiche Momentengrenzlinie. Aus der Momentengrenzlinie wird über den Hebelarm der inneren Kräfte z die Zugkraftlinie bestimmt. Bei der Handrechnung erfolgte dies mit der auf der sicheren Seite liegenden Annahme z = 0,9 · d. In der Softwarebemessung wurde hierfür sehr wahrscheinlich der genaue Wert für z verwendet. Da dieser im Regelfall größer als bei der vereinfachten Annahme z = 0,9 x d ausfällt, führt dies zu einer rechnerisch etwas geringeren Zugkraft. Das heißt, die Zugkraftlinie fällt damit kleiner aus. Hieraus resultieren dann kürzere Stablängen. Gut erkennbar ist dieser Unterschied an den Abständen der Zugkraftlinien zum Bewerhrungshorizont der größten Stabanzahl. Die Bewehrungshorizonte sind in allen Berechnungsvarianten auf der gleichen Ebene. Vergleicht man daraufhin die Abstände der Zugkraftlinien an den Extremstellen zum Bewehrungshorizont, ist festzustellen, dass die Zugkraftline der Handrechnung größer ausfällt.
Ebenfalls können Zeichen- oder Messungenauigkeiten bei der händischen Durchführung der Zugkraftdeckung zu den Abweichungen der Stablängen beitragen.

*'''Schlussfolgerungen:'''
:Grundsätzlich führen die betrachteten Berechnungen alle zu sinnvollen und brauchbaren Ergebnissen. Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Bei der Softwareanwendung erfolgt die Zugkraftdeckung automatisch neben der Biegebemessung. Hierbei bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.
:Durchgeführt wurde die Zugkraftdeckung nach der Variante Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1). Die händische grafische Durchführung der Zugkraftdeckung ergab teilweise etwas größere Stablängen und liegt somit noch weiter auf der sicheren Seite. Generell sind die Abweichungen der Stablängen jedoch in Bezug auf die Bauteilabmessungen Unverhältnismäßig und eher Untergeordneter Bedeutung. Die Variante der Zugkraftdeckung als Stufenfunktion bietet diesbezüglich auch ausreichend Sicherheit gegen geringfügige Abweichungen. Schadensfälle durch eine vermeidlich zu unpräzise Zugkraftdeckung sind eher unwahrscheinlich.

=weitere Seiten zum Thema Zugkraftdeckung=

[[Zugkraftdeckung]]

[[Zuggurtkraftdifferenz]]

[[Versatzmaß]]

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

=Quellen=

<references />

Zugkraftdeckung (Bsp.)

2024-03-24T19:50:49Z

KSoehnholz:

Folglich wird ein praxisnahes Berechnungsbeispiel zum Thema [[Zugkraftdeckung]] geführt. Dieses wird vergleichsweise händisch und mit zwei verschiedenen Bemessungssoftwares geführt.

Vorgehensweise bei der [[Zugkraftdeckung]] an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel
=Statisches System und Belastung=
Betrachtet wird ein Durchlaufträger mit 2 Feldern unterschiedlicher Spannweite. Es handelt sich um einen Plattenbalkenquerschnitt, welcher frei drehbar gelagert ist.

Betongüte: C25/30

Betonstabstahl: B500A

[[Datei:System.png|mini|800px|none|System und Belastung]]

=Berechnungsbeispiel - händisch=
Nachfolgend wird schrittweise die grafische händische Durchführung der Zugkraftdeckung an einem praxisnahen Berechnungsbeispiel erläutert. Hierbei werden auch die beiden Varianten hinsichtlich dem Ansatz der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge berücksichtigt.
==Grundlagen==
*'''Momentengrenzlinie'''
:Grundlage ist die Momentengrenzline (Bemessungswerte), welche aufgrund der verschiedenen Möglichkeiten der Laststellungen geeignet zu bestimmen ist (z.B. Schnittprinzip).

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 2.png|mini|800px|none|Vollständige Momentengrenzlinie in Diagrammform]]

:Um die Zugkraftdeckung zeichnerisch durchzuführen, sind schrittweise Einzelne Werte des Verlaufes der Momentengrenzlinie zu Bestimmen. Die Schrittweite ist so zu wählen, dass der Verlauf entsprechend „feinfühlig“ dargestellt wird. Im Falle des Beispiels führt ein Abstand von 0,5m zu einem zufriedenstellenden Ergebnis. Mit der Annahme der Anwendung des Schnittprinzips ist also alle 0,5m entlang der Systemlänge der Bemessungswert des Biegemomentes zu Bestimmen. Aufgrund der Lagerungsbedingung am Zwischenauflager, darf das Stützmoment abgemindert werden (Momentenausrundung). Dies ist ebenfalls zu Berücksichtigen.

*'''Ergebnisse aus der Biege- und Querkraftbemessung'''
:Aus der Biegebemessung ist Anzahl, Durchmesser und Stahlgüte der Längsbewehrung bekannt.

:Querschnitt des Plattenbalkens mit der gewählten Bewehrungsmenge und deren Anordnung am entsprechenden Betrachtungsschnitt (Querkraftbewehrung nicht dargestellt). Auch die statische Nutzhöhe d lässt sich aus der Grafik entnehmen. Aufgrund der einlagigen Anordnung ist diese im Beispiel stets 70 cm.

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 3.png|mini|600px|none|Querschnitt mit Bewehrungsmengen]]

:Ebenfalls sind die Druckstrebenneigungswinkel aus der bereits vollzogenen Querkraftbemessung bekannt:

::Am Auflager A und C ist θ = 18,4°→ cot θ = 3,00

::Am Auflager B links ist θ = 25,0°→ cot θ = 2,14

::Am Auflager B rechts ist θ = 22,9°→ cot θ = 2,37

:Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0
:Die Bemessungswerte der Querkräfte an den Endauflagern betragen bei Auflager A = 290,86 kN und bei B = 236,05 kN.
==Bestimmen der M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)==
Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Ziel ist es, den Verlauf der Stahlzugkraft Fsd aufgrund von Biegemomenten in Diagrammform darzustellen. Um die entsprechenden Werte für das Zugkraftdiagramm zu erhalten, ist jeder einzelne Bemessungswert aus der Momentengrenzlinie durch den Hebelarm der inneren Kräfte (z) zu dividieren. Man erhält somit aus dem Moment MEd [kNm] die Stahlzugkraft Fsd [kN].

Die Stahlzugkraft Fsd errechnet sich somit zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen">Bolle, G: Vorlesungsunterlagen Stahlbetonbau I, Hochschule Wismar, 2022</ref>
:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}+N_\mathrm{Ed}</math>
:::{|
| MEd... || Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|-
| NEd... || Bemessungswert des einwirkenden Normalkraft (keine einwirkende Normalkraft vorhanden→ entfällt somit)
|}
Aufgrund des sich immer wiederholenden Berechnungsschrittes wird dieser folglich nur einmal exemplarisch am maximalen Biegemoment in Feld 1 veranschaulicht:
:<math>M_\mathrm{Ed}=413,2 kNm </math>

:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>

:<math>F_\mathrm{sd}=\cfrac{M_\mathrm{Ed}}{z}=\cfrac{413,2}{0,63}=655,90 kN</math>
Nach dieser Vorgehensweise sind alle Werte aus der Momentengrenzlinie in die entsprechende Stahlzugkraft umzurechnen. Eine Tabelle kann hierfür sehr sinnvoll sein:

:[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 4.png|mini|600px|none|Tabelle]]

Sind alle Werte bestimmt, lassen sich diese anhand ihrer Koordinaten im Zugkraftdiagramm eintragen. Bei der händischen Durchführung eignet sich hierfür Millimeterpapier. Die Maßstäbe können hierbei prinzipiell frei gewählt werden.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 5.png|mini|600px|none|Im Diagramm eingetragene Punkte]]

Sind alle Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den Zugkraftverlauf zu erhalten.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 6.png|mini|600px|none|M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)]]

==Fsd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)==
Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die [[Zuggurtkraftdifferenz]] zu berücksichtigen. Bei der zeichnerischen Durchführung erfolgt dies durch horizontales Versetzen der M/z – Linie um das [[Versatzmaß]] al.

Das [[Versatzmaß]] al ergibt sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(cot \theta-cot \alpha)\cdot z\ge 0</math>
:::{|
| cot θ... || Druckstrebenneigungswinkel
|-
| cot α... || Neigungswinkel der Bügelbewehrung
|-
| z... || Der Hebelarm der inneren Kräfte errechnet sich im Falle des Beispiels aus der statischen Nutzhöhe zu 0,9 · d.
|}
Aufgrund der unterschiedlichen Druckstrebenneigungswinkel (cot θ) pro Bemessungsabschnitt, ist das Versatzmaß für das betrachtete Beispiel mehrfach zu bestimmen.
:<math>z=0,9\cdot d = 0,9 \cdot 0,7m = 0,63m</math>
Der Neigungswinkel der Bügelbewehrung beträgt α = 90° →cot α = 0

Am Auflager A und C ist cot θ = 3,00

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(3,00-0)\cdot 0,63=0,945m\ge 0</math>

Zu beachten:

Am Zwischenauflager (Auflager B) ist die '''obere''' Biegezugbewehrung teilweise aus dem Stegbereich in die Gurtplatte ausgelagert. Hier ist das [[Versatzmaß]] um den Abstand der vom Stegrand am weitesten ausgelagerten Bewehrung zu vergrößern (Maß x).

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 7.png|mini|200px|none|Maß x (Auslagerung)]]

Am Auflager B links ist cot θ = 2,14

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63+0,1=0,77m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,14-0)\cdot 0,63=0,67m\ge 0</math>

Am Auflager B rechts ist cot θ = 2,37

Somit ergibt sich das Versatzmaß zu:

:obere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63+0,1=0,85m\ge 0</math>

:untere Bewehrung:

:<math>a_\mathrm{l} = \cfrac{1}{2}\cdot(2,37-0)\cdot 0,63=0,75m\ge 0</math>

Mit den ermittelten Versatzmaßen lassen sich die zuvor im Zugkraftdiagramm ermittelten Punkte horizontal verschieben. Zu beachten ist, dass das jeweils korrekte Versatzmaß an entsprechender Stelle verwendet wird. Hierbei sind die Auflagerlinien und die Extremstellen im Diagramm als Orientierungspunkte für die Anwendung des entsprechenden Versatzmaßes anzusehen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.8) .png|mini|600px|none|Versetzte Punkte]]

Sind alle versetzten Punkte im Diagramm eingetragen, lassen sich diese entsprechend verbinden, um den endgültigen Zugkraftverlauf zu erhalten. Optisch deutlich erkennbar ist nun, das die Zugkraftlinien horizontal um das Versatzmaß parallelverschoben sind.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 9.png|mini|600px|none|Versetzte Linie]]

==Eintragen der Bewehrungshorizonte==
Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe als Biegezugbewehrung bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F⌀ aufnehmen.

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F⌀ errechnet sich zu:<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>
:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = A_\mathrm{s\varnothing_{}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>

:::{|
| As⌀... || Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
|-
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}

Verbaut werden Bewehrungsstähle B500A mit einem Durchmesser von 20 mm.

Daraus ergibt sich eine Querschnittsfläche von As⌀ = 3,14 cm2 und ein Bemessungswert der Festigkeit von fyd = 43,5 kN/cm2 .

Die aufnehmbare Zugkraft pro Bewehrungsstahl berechnet sich somit zu:

:<math>F_\mathrm{\varnothing_{}} = 3,14\cdot 43,5=136,6kN</math>

Mit zunehmender Anzahl der Bewehrungsstähle kann kontinuierlich mehr Zugkraft aufgenommen werden. In nachfolgender Tabelle wurde die Zugkraft entsprechend der Stabanzahl aufsummiert.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 10.png|mini|400px|none|Tabelle - aufnehmbare Zugkräfte]]

Im Zugkraftdiagramm sind entsprechend der aufnehmbaren Zugkraft die einzelnen Bewehrungsstähle als sogenannte „Bewehrungshorizonte“ als feine Orientierungslinien einzutragen.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 11.png|mini|600px|none|Eingetragene Bewehrungshorizonte]]

Auszug aus Feld 2: Die durch 3 Bewehrungsstähle aufnehmbare Zugkraft unterschreitet offensichtlich geringfügig die mit der Zugkraftlinie dargestellte einwirkende Zugkraft. Diese geringe Abweichung ist jedoch akzeptabel. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte z. Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 12.png|mini|400px|none|geringe Unterschreitung der Zugkraftlinie]]
==Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)==
Betrachtet werden beide Varianten der Zugkraftdeckungslinie.

Abgestuft wird wie folgt:
:Untere Bewehrung:
::2 Stäbe laufen ohne Abstufung auf gesamter Länge durch
::Auflager A → insgesamt 4 Stäbe werden ins Auflager geführt, 1 Stab wird vorher abgestuft
::Auflager B links → abgestuft werden 1x 2 Stäbe und 1x 1 Stab
::Auflager B rechts → abgestuft wird 1 x 1 Stab
::Auflager C → alle 3 Stäbe aus Feld 2 werden ins Auflager geführt

:Obere Bewehrung:
::abgestuft werden 2 x 2 Stäbe und 1 x 3 Stäbe

===Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)===
Vollständige Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Abstufungsschritte wie vorab beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 13.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“]]

===Bestimmen der Verankerungslängen (Zwischenschritt)===
Für beide Varianten der Zugkraftdeckungslinien ist das Maß der Verankerungslängen erforderlich. Bei Variante b) werden die Verankerungslängen bereits beim Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie benötigt.
Exemplarisch wird das Errechnen der erforderlichen Verankerungslänge an 2 verschiedenen Positionen veranschaulicht. Am Zwischenauflager läuft die nicht abgestufte untere Bewehrung durch. Der Nachweis der Verankerungslänge entfällt hier somit.
====Verankerung am Endauflager<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====

:*'''Ermitteln der Randzugkraft FEd (Zugkraft am Endauflager):'''
::<math>F_\mathrm{Ed} =V_\mathrm{Ed}\cdot\cfrac{a_\mathrm{l}}{z}+N_\mathrm{Ed}\ge\cfrac{V_\mathrm{Ed}}{2}</math>
:::{|
| VEd... || entspricht dem Bemessungswert der maximalen Auflagerkraft
|-
| al... || Versatzmaß aus Zugkraftdeckung
|-
| z... || Hebelarm der inneren Kräfte
|-
| NEd... || Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft
|}
::<math>F_\mathrm{Ed} =290,99\cdot\cfrac{94,5}{63,0}=436,5 kN</math>
::<math>F_\mathrm{Ed} =\cfrac{290,99}{2}=145,5 kN</math>
::'''Maßgebend: 436,50 kN'''

:*'''Ermitteln, des zur Aufnahme der Randzugkraft erforderlichen Bewehrungsquerschnitt'''

::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{F_\mathrm{Ed}}{f_\mathrm{yd}}</math>
:::{|
| fyd... || Bemessungswert der Stahlstreckgrenze
|}
::<math>A_\mathrm{s,erf} =\cfrac{436,50}{43,5}=10,03 cm^2</math>

:*'''Ermitteln der Stahlspannung'''
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
::4⌀20 werden bis ins Auflager geführt
::Hieraus errechnet sich die vorhandene Querschnittsfläche:
::<math>A_\mathrm{s,vorh} = 4\cdot 3,14=12,56 cm^2</math>

::Somit errechnet sich die Stahlspannung zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{10,03}{12,56}\cdot 43,5=34,74 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{34,74}{0,269}=64,57 cm</math>
:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit Winkelhaken → α1=0,7
:::'''(Aufgrund der begrenzten Platzverhältnisse zur Verankerung am Endauflager musste die Verankerungsform Winkelhaken gewählt werden)'''
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-direkte Lagerung → α5=2/3
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 0,7\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 28,61 = 20,10cm</math>
:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=16,2 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot \frac{2}{3}\cdot 2 = 13,3 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''

:Unter der Annahme einer Betondeckung von cnom = 5 cm werden die Bewehrungsstähle auf gesamter Auflagerbreite mit Winkelhaken verankert.
:<math>l_{b,vorh} = t-c_{nom}=35-5 =30 cm\ge l_{b,eq} = 20,10 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

====Verankerung außerhalb von Auflagern<ref Name = "Vorlesungsunterlagen"></ref>====
Verankerung der unteren Bewehrung in Feld 1
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 14.png|mini|400px|none|Position der gesuchten Verankerungslänge]]

:*'''Ermittlung der Stahlspannung am rechnerischen Endpunkt E'''
:Hierbei ist das Verhältnis aus erforderlicher und vorhandener Bewehrung zu bilden.
:2 Stäbe werden noch gebraucht, 5 Stäbe sind insgesamt vorhanden

:Somit ist:
:As,erf=6,28cm2 (2⌀20)
:As,vorh=15,7cm2 (5⌀20)

::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{A_\mathrm{s,erf}}{A_\mathrm{s,vorh}}\cdot f_\mathrm{yd}</math>
:::{|
| As,vorh... || Querschnittsfläche der ins Auflager geführten Bewehrungsstäbe
|}
:Die Stahlspannung errechnet sich zu:
::<math>\sigma_\mathrm{sd} =\cfrac{6,28}{15,7}\cdot 43,5=17,4 kN/cm^2</math>

:*'''Grundwert der Verankerungslänge'''
:Guter Verbund (Bewehrung liegt unten), für Beton C25/30 ist somit fbd = 2,69 N/mm2
:<math>l_{b,rqd} = \frac{\varnothing_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>
:::{|
| fbd... || Verbundfestigkeit
|-
| ⌀s... || Stabdurchmesser
|}
:<math>l_{b,rqd} = \frac{2}{4} \cdot \frac{17,4}{0,269}=32,34 cm</math>

:*'''Bemessungswert der Verankerungslänge'''
:::Beiwerte:
:::-Verankerung mit geradem Stabende → α1=1,0
:::-Keine angeschweißten Querstäbe → α4=1,0
:::-keine Querdruck- oder Querzugspannungen → α5=1,0
:<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

:<math>l_{b,eq} = 1,0\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 32,34 = 32,34cm</math>

:*'''Mindestwert der Verankerungslänge'''
:<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

:<math>l_{b,min} = 0,3\cdot 1,0\cdot1,0\cdot 1,0 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{43,5}{0,269}=24,26 cm</math>

:<math>l_{b,min} =10\cdot 1\cdot 2 = 20 cm </math>

:→ Mindestverankerungslänge wird nicht Maßgebend

:'''Nachweis:'''
:gewählte Verankerungslänge → 35 cm
:<math>l_{b,vorh} =35 cm\ge l_{b,eq} = 32,34 cm</math> '''→ Nachweis erfüllt'''

'''Nach dieser Vorgehensweise sind die Verankerungen aller Stabenden nachzuweisen.'''

Mit den errechneten Verankerungslängen lässt sich folglich nun auch die Zugkraftdeckungslinie für Variante b erstellen

===Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“===
Für diese Variante sind die Verankerungslängen bereits vor dem Zeichnen der Zugkraftdeckungslinie anhand der Abstufungsschritte zu ermitteln.

Vollständige Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (rote Linie). Orientierungspunkte beim Zeichnen sind die Bewehrungshorizonte und die rechnerischen Endpunkten E der Bewehrung. Die Bereiche mit linearen Verlauf lassen sich über die entsprechende Verankerungslänge konstruieren. Abstufungsschritte wie eingangs beschrieben.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 15.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“]]

==Bewehrungslängen ermitteln==
Über den gewählten Maßstab lassen sich anhand der Zugkraftdeckungslinie die tatsächlichen Stablängen ermitteln. Die Verankerungslängen sind hierbei stets zu berücksichtigen
:*'''Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet und beginnt ab dem rechnerischen Endpunkt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 16.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „Stufenfunktion“]]

:*'''Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“'''

:Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“ mit Auszug der Biegezugbewehrung. Die Verankerungslängen wurden blau gekennzeichnet. Der Abstand zwischen zwei rechnerischen Endpunkten entspricht der Gesamtlänge eines Stabes.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) 17.png|mini|1000px|none|Vollständige Zugkraftdeckung „anschmiegende Funktion“]]
==Abschließende Betrachtung Berechnungsbeispiel - händisch==
Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind Länge und Position der Abgestuften Bewehrungsstähle. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.

Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Eine händische Durchführung findet heutzutage oftmals nur noch zu Lehrzwecken Anwendung. Dennoch lassen sich brauchbare Ergebnisse erzielen, welche größtenteils auch auf der sicheren Seite liegen.

:'''Betrachtung der Varianten:'''
:Mit dem grafischen Verfahren lassen sich beide Varianten der Zugkraftdeckung vollziehen. Beide Varianten ergeben aufgrund ihrer Unterschiede bezüglich des Ansatzes der Tragfähigkeit in der Verankerungslänge unterschiedliche Bewehrungslängen.
::Zum Vergleich:
::*Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 85,39 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 210,9 kg
::*Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“
:::Erforderliche Menge an Bewehrungsstahl (Längsbewehrung): 75,84 m Stabstahl ⌀20
:::Dies entspricht einem Gewicht von 187,3 kg

Resultat:

Mit Variante b lässt sich grundsätzlich noch mehr Bewehrungsstahl einsparen. Am Betrachtungsbeispiel sind dies 23,6 kg. Das entspricht einer Einsparung von circa 11%. Nach aktuellem Stahlpreis (März 2024) würde sich für das Bauteil eine Einsparungssumme von etwa 20,00 € ergeben.???

=Berechnungsbeispiel Software mb-BauStatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbeton-Durchlaufträger (S340.de) aus der mb-BauStatik-Software aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Bauteilansicht]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 2.png|mini|600px|none|Bauteilquerschnitt ]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 3.png|mini|600px|none|Belastungen auf das System]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 5.png|mini|600px|none|Biegebemessung]]
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 6.png|mini|600px|none|Querkraftbemessung (Druckstrebenneigungswinkel)]]

==Erläuterung Auswahl - und Einstellungsmöglichkeiten zur Zugkraftdeckung==
Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 7.png|mini|600px|none|Durchmesser der Längsbewehrung]]
Bei der Einstellung zur Staffelung wurde „unabhängige Staffelung“ gewählt. Hiermit konnte die Staffelung in etwa an die Abstufungsschritte aus der händischen Durchführung angepasst werden. Das manuelle vorgeben der Stufenzahl führte zu keinem brauchbaren Ergebnis, da sich nicht zwischen oberer und unterer Bewehrungslage differenzieren lässt.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 8.png|mini|600px|none|Staffelung]]
Für das [[Versatzmaß]] ist das Abstandsmaß der vom Stegrand ausgelagerten Bewehrung relevant. Diesbezüglich lassen sich in der Software kein Informationen finden. Die Vergleichbarkeit zum händischen Berechnungsbeispiel ist hierbei somit nicht eindeutig möglich. Gewählt wurde „nach Norm“.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 9.png|mini|600px|none|ausgelagerte Stützbewehrung]]
Die Zuggurtkraftdifferenz soll über das Versatzmaß berücksichtigt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 10.png|mini|600px|none|Variante zur Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz]]
In Berücksichtigung der konstruktiven Regeln zur Bewehrungsführung sollen mindestens 25% der Bewehrung zum Auflager geführt werden.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 11.png|mini|600px|none|Steuerung der Längsbewehrung]]

==Zugkraftdeckung==
Als Ausgabe im Programm erhält man eine Zugkraftdeckungslinie mit den entsprechenden Bewehrungsauszügen.

Die Staffelung der oberen Längsbewehrung ließ sich aufgrund fehlender Einstellmöglichkeit nicht äquivalent zum händischen Berechnungsbeispiel wählen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 12.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

Bewehrungswahl in Tabellenform
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) mb 13.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl (Biegezugbewehrung) ]]

=Berechnungsbeispiel Software Harzer-Baustatik=
Im Folgenden werden kommentierte Auszüge aus dem Berechnungsmodul „Stahlbetonträger“ aus der Software Harzer-Baustatik aufgeführt. Hierbei liegt der Fokus bei der Zusammenstellung der für die Zugkraftdeckung notwendigen Bemessungsinhalte.
==Bemessung==

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 1.png|mini|600px|none|Statisches System und Belastung]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 2.png|mini|600px|none|Bauteilansicht]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 3.png|mini|600px|none|Systemwerte]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 4.png|mini|600px|none|Momentengrenzlinie]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 5.png|mini|600px|none|Erforderliche Biegebewehrung]]

Die Durchmesser der Längsbewehrung wurden ausschließlich auf 20 mm festgelegt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 6.png|mini|600px|none|Bewehrungswahl]]

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 7.png|mini|600px|none|Druckstrebenneigungswinkel]]

==Zugkraftdeckung==
Im Modul lässt sich keine Auswahl oder Einstellungen zur Zugkraftdeckung treffen. Auf welche Weise die Zuggurtkraftdifferenz erfasst wird, bleibt unbekannt.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 8.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge]]

Das Modul erstellt keine eigene Zugkraftdeckungslinie. Es gibt jedoch die Funktion, die Zugkraftlinie maßstäblich zu plotten. Hiermit kann die Zugkraftdeckung händisch oder durch Einlesen der Datei in externe Zeichenprogramme vollzogen werden. Die Skalierung der Ordinate entspricht dem Bewehrungsquerschnitt As in cm2.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 9.png|mini|600px|none|Linie der erforderlichen Bewehrungsmenge (maßstäblicher Plot)]]

Die Verankerungslängen sind einzeln in einem gesonderten Modul zu bestimmen. Hierbei ist je nach gesuchter Verankerungslänge das Verhältnis aus As,erf und As,vorh einzutragen.
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 10.png|mini|600px|none|Modul - Verankerungslänge]]
Die Verankerungslängen wurden separat in einem anderen Modul bestimmt. Die Abstufungsschritte wurden in Anlehnung an das händische Berechnungsbeispiel vorgenommen. Erstellt wurde die Zugkraftdeckungslinie mit einem externen Zeichenprogramm anhand des maßstäblichen Plot aus dem Berechnungsmodul.

[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Harzer 11.png|mini|600px|none|Zugkraftdeckungslinie]]

=Vergleich der Berechnungsergebnisse=
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 1.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]
Ergebnis der Zugkraftdeckung sind die Stablängen der abgestuften Bewehrungsstähle. Diese werden anhand der Zugkraftdeckungslinie ermittelt. Die Zugkraftdeckungslinie richtet sich nach dem Verlauf der Stahlzugkraft Fs (Zugkraftlinie). Im Falle der Softwarebemessung erfolgt die Zugkraftdeckung anhand der Linie der erforderliche Biegezugbewehrung. Beides lässt sich aufgrund der Äquivalenz der Verläufe trotzdem miteinander vergleichen. Bei der händischen Berechnung sind der gesamte Berechnungsablauf und die dafür Verwendeten Eingangswerte schrittweise veranschaulicht und somit direkt nachvollziehbar. Bei der Softwarebemessung hingegen bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.

In folgender Tabelle sind die Stab- und Verankerungslängen der abgestuften Bewehrungsstähle aufgelistet:
[[Datei:Zugkraftdeckung (Bsp.) Vergleich 2.png|mini|800px|none|Zugkraftdeckungslinien]]

Für den Vergleich zwischen den Berechnungsarten ist die Grundlänge der Stäbe am aussagekräftigsten. Hierbei lässt sich feststellen, dass die Stab – Grundlängen aus den beiden Softwarebemessungen nahezu identisch sind. Somit ist anzunehmen, das hierbei gleiche Berechnungsansätze zur Anwendung kamen. Die aus der händischen Zugkraftdeckung ermittelten Stablängen sind zumeist eher größer, teilweise aber auch nahezu gleich der Längen aus der Softwarebemessung.

*'''Mögliche Ursachen für Unterschiede:'''
:Da die Grundlängen der Stäbe aus den Softwareanwendungen nahezu identisch sind, ist generell die Abweichung im Vergleich zur Handrechnung zu Betrachten.
:Die verwendeten Druckstrebenneigungswinkel sind bei allen drei Berechnungen einsehbar und nahezu gleich. Unter der Annahme der Verwendung in Verbindung mit der Zugkraftdeckung können die Differenzen hieraus nicht resultieren.

:Die Berücksichtigung der Zuggurtkraftdifferenz erfolgt sowohl bei der mb Software, als auch bei der Handrechnung über das Versatzmaß al. Dieses errechnet sich unter anderem aus dem Hebelarm der inneren Kräfte z. Bei der Handrechnung wurde das Versatzmaß vereinfacht zu 0,9 · d bestimmt. Die Größe der verwendeten Versatzmaße lassen sich in den Softwares nicht einsehen. Unter der Annahme, das dort zum Bestimmen der Versatzmaße die genaueren Werte für z aus der Biegebemessung verwendet wurden, würden sich größere Versatzmaße und somit größere Stablängen als bei der Handrechnung ergeben. Daher sind die Abweichungen der Stablängen vermutlich nicht auf das Versatzmaß zurückzuführen. Ebenfalls ist bei den Softwares nicht einsehbar in wieweit das Maß der ausgelagerten Bewehrung bei der oberen Bewehrung am Plattenbalken berücksichtigt wurde. Dieses spielt bei der Größe des Versatzmaßes ebenfalls eine Rolle.

:Die ermittelten Verankerungslängen sind bei der Handrechnung identisch mit den Werten aus der Harzer-Software. Bei den in der mb-Software ermittelten Verankerungslängen sind teilweise etwas höhere Abweichungen zu den Werten der anderen beiden Vergleichsberechnungen festzustellen. Zurückzuführen ist dies vermutlich auf den Berechnungsansatz zur Ermittlung der Stahlspannungen am Verankerungsbeginn.
:Die Verankerungslängen am Endauflager sind bei der mb-Software für ein gerades Stabende angegeben. Die Software verweist hierbei darauf, das eine gesonderte Verankerungsform zu wählen ist. Daher sind die Verankerungslängen am Endauflager nicht direkt miteinander Vergleichbar, da bei den anderen beiden Berechnungsarten bereits die Verankerung mit Winkelhaken berücksichtigt wurde und damit die Länge der Verankerung entsprechend kürzer ist.

:Als wohl maßgebendste Ursache für die Unterschiede in den Stablängen ist die Zugkraftlinie bzw. Linie der erforderlichen Bewehrung in Betracht zu ziehen. Grundlage für die Zugkraftlinie ist bei den drei Berechnungsvarianten jeweils die gleiche Momentengrenzlinie. Aus der Momentengrenzlinie wird über den Hebelarm der inneren Kräfte z die Zugkraftlinie bestimmt. Bei der Handrechnung erfolgte dies mit der auf der sicheren Seite liegenden Annahme z = 0,9 · d. In der Softwarebemessung wurde hierfür sehr wahrscheinlich der genaue Wert für z verwendet. Da dieser im Regelfall größer als bei der vereinfachten Annahme z = 0,9 x d ausfällt, führt dies zu einer rechnerisch etwas geringeren Zugkraft. Das heißt, die Zugkraftlinie fällt damit kleiner aus. Hieraus resultieren dann kürzere Stablängen. Gut erkennbar ist dieser Unterschied an den Abständen der Zugkraftlinien zum Bewerhrungshorizont der größten Stabanzahl. Die Bewehrungshorizonte sind in allen Berechnungsvarianten auf der gleichen Ebene. Vergleicht man daraufhin die Abstände der Zugkraftlinien an den Extremstellen zum Bewehrungshorizont, ist festzustellen, dass die Zugkraftline der Handrechnung größer ausfällt.
Ebenfalls können Zeichen- oder Messungenauigkeiten bei der händischen Durchführung der Zugkraftdeckung zu den Abweichungen der Stablängen beitragen.

*'''Schlussfolgerungen:'''
:Grundsätzlich führen die betrachteten Berechnungen alle zu sinnvollen und brauchbaren Ergebnissen. Die händische grafische Durchführung ist verhältnismäßig aufwendig und erfordert viele unterschiedliche Einzelschritte um zu dem endgültigen Ergebnis zu gelangen. Das Verfahren ist hierdurch relativ schnell Fehlerbehaftet und durch zeichnerische Toleranzen teilweise ungenau. Bei der Softwareanwendung erfolgt die Zugkraftdeckung automatisch neben der Biegebemessung. Hierbei bleiben die Berechnungsansätze der Zugkraftdeckung weitestgehend unbekannt und sind nicht ohne weiteres einsehbar.
:Durchgeführt wurde die Zugkraftdeckung nach der Variante Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1). Die händische grafische Durchführung der Zugkraftdeckung ergab teilweise etwas größere Stablängen und liegt somit noch weiter auf der sicheren Seite. Generell sind die Abweichungen der Stablängen jedoch in Bezug auf die Bauteilabmessungen Unverhältnismäßig und eher Untergeordneter Bedeutung. Die Variante der Zugkraftdeckung als Stufenfunktion bietet diesbezüglich auch ausreichend Sicherheit gegen geringfügige Abweichungen. Schadensfälle durch eine vermeidlich zu unpräzise Zugkraftdeckung sind eher unwahrscheinlich.

=weitere Seiten zum Thema Zugkraftdeckung=

[[Zugkraftdeckung]]

[[Zuggurtkraftdifferenz]]

[[Versatzmaß]]

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

=Quellen=

<references />