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Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-04-03T08:43:35Z

PMarkert:

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)

2019-04-03T08:43:18Z

PMarkert:

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Als Vergleich soll für die Sohlplatte aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}
Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

==== ''Spannung unter der Sohlpatte'' ====

Die Spannung unter Sohlplatte setzt sich nur aus dem Eigengewicht zusammen.

:: <math> \sigma_0 = \gamma_G \cdot h \cdot \gamma_c = 1,35 \cdot 0,5 \cdot 25 = \underline{16,88 kN/m^2} </math>

==== ''Reibungsbeiwert'' ====
Verwendet wird ein Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie als Trennlage.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Reibungsbeiwerte <ref name = "Q2"> </ref> <ref name = "Q3"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref> <ref name = "Q4"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|-
!Unterkonstruktion a)
!Trennlage
!Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
|-
|1
|grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung
|keine
|style="text-align: center;" | 1,4 … 2,1 e)
|-
|2
|rowspan="2" | Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m
|style="text-align: center;" | > 1,4
|-
|3
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,9
|-
|4
|rowspan="3" | sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte
|keine
|style="text-align: center;" | 0,9 … 1,1 e)
|-
|5
|Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,0 d), e)
|-
|6
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,5 … 0,7 d), e)
|-
|7
|Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)
|keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)
|style="text-align: center;" | 0,7
|-
|8
|rowspan="2" | Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund
|bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8 d)
|-
|9
|bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,5 d)
|-
|10
|rowspan="6" | Unterbeton abgezogen (makrorau)
|2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
|
|-
|11
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≤ 2,0
|-
|12
|bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m
|style="text-align: center;" | ≤ 1,3
|-
|13
|Bitumenschweißbahn c)
|style="text-align: center;" | 0,35 … 0,7 d), e)
|-
|14
|Dickbitumen c)
|style="text-align: center;" | 0,03 … 0,2 d), e)
|-
|15
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8
|-
|16
|rowspan="7" style="color:red" | Unterbeton mit Flügelglättung
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,4 d), e)
|-
|17
|style="color:red" | 2 Lagen PE- Folie b)
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 0,8
|-
|18
|mit PTFE b) beschichtete Folie
|style="text-align: center;" | 0,2 … 0,5 e)
|-
|19
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,3
|-
|20
|1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
|
|-
|21
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,45
|-
|22
|bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,2
|-
|23
|rowspan="2"| Sicherheitsbeiwert für Reibung h)
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR = 1,35 f)
|-
|24
|colspan="2" style="text-align: center;" |γR =1,25 g)
|-
|25
|Bemessungswert der Reibung
|colspan="2" style="text-align: center;" |<math> \mu_d = \gamma_R \cdot \mu_0 </math>
|-
|colspan="4" | a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. 

b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen 

c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. 

d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen 

e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. 

f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" <ref name = "Q3"> </ref> 

g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage"<ref name = "Q4"> </ref> 

h) Die Autoren der Fachliteraturquellen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.
|}

Aus der Tabelle ergibt sich damit ein Bemessungswert der Reibung bei der sicheren Annahme des Sicherheitsbeiwertes γR = 1,35 <ref name = "Q2"> </ref> <ref name = "Q3"> </ref> von
:: <math> \mu_d = 1,35 \cdot 0,8 = \underline{1,08} </math>.

==== ''Zugspannung in der Sohlplatte'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = \cfrac{\gamma_{ct} \cdot \mu_d \cdot \sigma_0 \cdot L}{2 \cdot a_{ct}} = \cfrac{1,0 \cdot 1,08 \cdot 16,88 \cdot 17,0}{2 \cdot 0,5 \cdot 1} = 309,92 kN/m^2 = \underline{0,31 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,75 \cdot 3,2 = 2,4 N/mm^2 </math>

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{0,31}{3,2} = \underline{0,1} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 15,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{s,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 15,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,1 \cdot 55 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{6,42 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q5"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{0,31} = 150mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{0,31} = 444 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{150mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{150} } = \underline{83,43 N/mm^2} </math>

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 0,31}{83,43} </math>
|-
| || <math> = 12,63cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2600 \cdot 0,31}{83,43} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 0,31}{500} </math>
|-
| || <math> = 13,08 cm^2/m </math> || <math> > 2,11cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{12,63 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{12,63}{2} = 6,32 cm^2/m \approx 6,42 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 6,32 cm^2/m < 10,05 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten deutlich größer.

:: <math> a_{s,min} = 12,63 cm^2/m < 34,81 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-04-03T08:43:03Z

PMarkert:

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::{|
|<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> || jeweils rechts und links
|}
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

2019-04-03T08:42:50Z

PMarkert:

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,5m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 5. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} = 0,75 \cdot 3,2 = \underline{2,4 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit b = 100cm/m
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 19mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 57 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{19mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{19} } = \underline{234,41 N/mm^2} </math>.
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 3 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 235,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{234,41} </math>
|-
| || <math> = 34,81 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{3520 \cdot 2,4}{234,41} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{500} </math>
|-
| || <math> = 36,04 cm^2/m </math> || <math> > 16,32 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{34,81 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Sohlplatte. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = \underline{3,2 N/mm^2} > 3,0 N/mm^2 </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 50 = 12,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 12,5 = \underline{1250cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 15 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{4 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 0,4 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 54 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{15mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{15} } = \underline{263,82 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{263,82} </math>
|-
| || <math> = 8,25 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{1250 \cdot 3,2}{263,82} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{500} </math>
|-
| || <math> = 15,16 cm^2/m </math> || <math> > 10,88 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{8,25 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 3.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::{|
|<math> \cfrac{34,81}{2} - 10,05 = 17,41 - 10,05 = 7,36 cm^2/m </math> || jeweils oben und unten
|}
Das Zulegen von Bewehrung erzeugt Stabbündel, für die ein Vergleichsdurchmesser ausgerechnet werden müssten. Dieser Vergleichdurchmesser ist größer als der angenommene Durchmesser ø 16 und würde die benötigte rissbreitenbegrenzende Bewehrung weiter erhöhen. Um dies zu verhindern, wird eine Anpassung der statischen Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 16 , s = 10 cm </math>
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 20,10 cm^2/m</math>
empfohlen. Die Wahl des geringen Stababstandes ist ungünstig und hat einen hohen Ausführungsaufwand zur Folge. Daher sollten weitere zwangsspannungsverringernde Maßnahmen, wie z.B. Zemente mit langsamer Festigkeitsentwicklung angewendet werden. Wenn der späte Zwang ausgeschlossen werden kann, darf die Bemessung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung für den frühen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme erfolgen. Hierbei kann zusätzlich die Zwangsbeanspruchung mit einem verringerten Wert angesetzt werden. 

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwangsbeanspruchungen

2019-04-03T08:42:32Z

PMarkert:

== Zwangsarten ==

Zwänge entstehen immer dann, wenn die Verformungen eines Bauteils behindert werden. 
In der Fachliteratur wird zwischen [[Zwangsarten#Unterscheidung in inneren und äußeren Zwang | innerem]] und [[Zwangsarten#Unterscheidung in inneren und äußeren Zwang | äußerem]] Zwang unterschieden. Jedoch weichen die Definitionen teilweise voneinander ab. Eine Auswahl unterschiedlicher Auffassungen wird auf der Seite "[[Zwangsarten]]" dargestellt. 
Unabhängig von der Art der Verformungsbehinderung lassen sich Zwänge auch anhand des Zeitpunktes ihres Auftretens in [[Zwangsarten#Unterscheidung in frühen und späten Zwang | frühen]] und in [[Zwangsarten#Unterscheidung in frühen und späten Zwang | späten Zwang]] unterscheiden. 

== Zwangsursachen ==

Zwänge können durch Temperaturdifferenzen im Bauteilquerschnitt infolge des [[Abfließen der Hydratationswärme | Abfließens der Hydratationswärme]] entstehen. Zusätzlich dazu können Feuchtigkeitsänderungen im Bauteil durch das [[Schwinden | Schwinden]] des Betons Zwangsbeanspruchungen hervorrufen. 
Temperaturänderungen im Tages- und Jahresverlauf und unterschiedliche Setzungen eines Bauteiles sorgen für weitere Zwänge. 

== Bauteile und Bauweisen mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen ==

Zwangsbeanspruchungen treten in unterschiedlicher Größe in allen Betonbauteilen auf. In [[Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#Sohlplatten | Fundamenten bzw. Sohlplatten]], [[Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#Wände | Wänden]] und [[Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#Decken | Decken]] sind die entstehenden Zwangsspannungen nicht zu vernachlässigen und können bei Nichtbeachtung zu Schäden führen. 
In der [[Zwang - Bauweisen mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#Spannbetonbauweise | Spannbetonbauweise]] wird der Spannstahl für eine bestimmte Kraft vorgespannt. Diese Vorspannung erzeugt eine Verformung des Bauteils. Aufgrund der unbestimmten Lagerung wird diese Verformung in statisch unbestimmten Systemen behindert. Aus diesem Grund müssen bei der Tragwerksbemessung zusätzlich Zwangsschnittgrößen berücksichtigt werden, die der Verformung entgegenwirken. 
Eine weitaus größere Bedeutung haben die Zwangsbeanspruchungen in der [[Zwang - Bauweisen mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#integrale Bauweise | integralen Bauweise]]. Durch das Fehlen von Lagern und Fugen können sich Zwänge nur geringfügig durch Verformungen abbauen und müssen konstruktiv aufgenommen werden. 

== Grundlagen der Bemessung bei Betonbauteilen ==

Sind die Zwangsspannungen in Betonbauteilen zu groß, führen sie zu Rissen. Die Breite dieser Risse ist nach der DIN EN 1992-1-1 mit einer [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung | Mindestbewehrung]] zu begrenzen. Um sich einen Überblick über die Größenordnung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung zu verschaffen, kann diese auch mithilfe von Diagrammen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#Abschätzen der erforderlichen Bewehrung | abgeschätzt]] werden.

== besondere Behandlung ausgewählter Bauteile ==

Kann die Entstehung von spätem Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden, dürfen die Zwangsschnittgrößen infolge frühen Zwangs abgemindert werden. 
Eine Verringerung der Zwangskraft ist in [[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchungen#verminderter Zwang in Sohlplatten | Sohlplatten]] mit ebener Unterseite bei einer Beanspruchung durch das Abfließen der Hydratationswärme möglich. Hierbei wird die Reibung in der Fuge zwischen der Sohlplatte und dem Boden ermittelt. 
In [[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchungen#verminderter Zwang in Wänden | Wänden]] darf bei der Ermittlung des Zwangs aus dem Abfließen der Hydratationswärme die Temperaturdifferenz zwischen der Wand und der angrenzenden Sohlplatte angesetzt werden. 
Dies ist nur eine Empfehlung und dient als Ergänzung zu den Nachweisen der DIN EN 1992-1-1.

== Beispiele und Vergleichsberechnungen ==

Um die Thematik der Zwangsbeanspruchungen zu veranschaulichen, wird die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite am Beispiel einer [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.) | Sohlplatte]] und einer [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.) | Wand]] ermittelt. 
Um die Auswirkung der verringerten Zwangsbeanspruchung zu verdeutlichen, wird jeweils eine Vergleichsberechnung zum oben genannten Beispiel der [[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.) | Sohlplatte]] und der [[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.) | Wand]] durchgeführt. 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwangsarten

2019-04-03T08:42:20Z

PMarkert:

== Unterscheidung in inneren und äußeren Zwang ==
[[Datei:Zwangsarten 1.jpeg|300px|thumb|right|Arten der Verformungsbehinderung beim Auftreten von äußerem Zwang<ref name = "Q1"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkung - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref> ]]

Zwänge entstehen immer dann, wenn die Verformungen eines Bauteils behindert werden. In der Fachliteratur werden die Begriffe innerer und äußerer Zwang nur selten verwendet. 
Im „Wommelsdorff“<ref name = "Q2"> Wommelsdorff, O.; Albert, A.: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1. 10., neu bearbeitete und aktualisierte Auflage. Köln 2011 </ref> werden die Begriffe durch das Auftreten der Zwangsursache und der Zwangsauswirkung voneinander abgegrenzt. Beim inneren Zwang treten die Ursache, z.B. das [[Abfließen der Hydratationswärme]] oder das [[Schwinden]], und die Auswirkung also die entstehenden Spannungen am selben Bauteil auf. Beim äußeren Zwang hingegen entstehen die Zwangsursache und die Zwangsauswirkung an unterschiedlichen Bauteilen. 
„Zilch & Zehetmaier“<ref name = "Q3"> Zilch, K.; Zehetmaier, G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag 2010 </ref> definieren den inneren Zwang über Verformungen, die sich im Bauteilquerschnitt nicht einstellen können und [[Eigenspannungen]] erzeugen. Als Beispiel wird auch hier das Abfließen der Hydratationswärme und das Bauteilschwinden benannt. Durch eine Verformungsbehinderung oder eine aufgezwungene Verformung von außen, wird das betrachtete Bauteil durch Spannungen infolge des äußeren Zwangs beansprucht. Beispiele hierfür sind ungleichmäßige Setzungen und Schwindvorgänge in benachbarten Bauteilen. 
Die Definition der Zwangsarten nach „Röhling“<ref name = "Q1"></ref> stimmt mit denen von „Zilch & Zehetmaier“ überein. Beim äußeren Zwang wird jedoch in eine Behinderung am Bauteilende und am Bauteilrand unterschieden. Tritt die Verformungsbehinderung am Bauteilende auf, wie dies z.B. bei Balken oder in Mittelbereichen von Deckenplatten der Fall ist, wird das Bauteil durch zentrische Zwangsspannungen, wenn keine Lasten auf das Bauteil wirken, belastet. Wird das betrachtete Bauteil mittels Arbeitsfuge an ein vorher erstelltes Bauteil angeschlossen, wie dies meist bei dem Betonieren einer Wand auf eine Sohlplatte der Fall ist, entstehen neben den zentrischen auch exzentrische bzw. außermittige Zwangsbeanspruchungen. Durch die flächige Behinderung eines Bauteilrandes, z.B. beim Aufliegen einer Sohlplatte auf dem Untergrund, werden neben den zentrischen und exzentrischen Zwangsspannungen Biegemomente hervorgerufen. 
Alle drei oben genannten Fachliteraturquellen stimmen in folgenden Punkten überein. Die statische Bestimmtheit hat keinen Einfluss auf die Entstehung von inneren Zwängen. Voraussetzung für das Auftreten von äußeren Zwängen ist ein statisch unbestimmtes System. Hierbei werden Schnittgrößen im Querschnitt erzeugt, die Auflagerreaktionen benachbarter Bauteile hervorrufen. 
In der einschlägigen Norm DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q4"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> werden die Begriffe innerer und äußerer Zwang nicht mehr verwendet. Es ist nur noch die Rede von „Zugspannungen infolge am Bauteil selbst hervorgerufenen Zwangs“ oder von „Zugspannungen infolge außerhalb des Bauteils hervorgerufenen Zwangs“.

== Unterscheidung in frühen und späten Zwang ==
Neben der Unterscheidung abhängig von der Verformungsbehinderung, können Zwangsbeanspruchungen auch in frühen oder späten Zwang eingeteilt werden. Diese Trennung bezieht sich auf das zeitliche Auftreten der Zwangsbeanspruchungen. 
Der frühe Zwang entsteht während der Erhärtung im Betonbauteil, bei mittleren Bauteildicken, in den ersten 3 bis 5 Tagen nach dem Betonieren. In diesem Zeitraum können als Zwangsursachen das Abfließen der Hydratationswärme und das chemische und autogene Schwinden benannt werden. 
Die Einteilung in den späten Zwang erfolgt vereinfacht nach dem Abfließen der Hydratationswärme, also nach der Erhärtung. Temperaturänderungen im Tages- und Jahresverlauf, Setzungen und das Trocknungsschwinden werden hier eingeordnet.<ref name = "Q1"></ref> 
In der Norm DIN EN 1992-1-1 werden diese beiden Begriffe nur für die Ermittlung der Betonzugfestigkeit verwendet. Da beim frühen Zwang die Festigkeitsentwicklung noch nicht abgeschlossen ist, darf diese verringert angesetzt werden. Beim späten Zwang hingegen sind die Normwerte der Festigkeit erreicht und es muss die mittlere Zugfestigkeit, mindestens aber 3,0 N/mm2 angesetzt werden. Ausführlicher wird die Thematik der Berechnung im Kapitel [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung]] behandelt.

== Spannungsanteile ==
[[Datei:Zwangsarten 2.jpeg|500px|thumb|right|Spannungsanteile bei einer Temperatureinwirkung<ref name = "Q1"></ref> ]]

=== konstante Spannungen ===
Eine konstante Spannungsverteilung über dem Querschnitt wird auch als zentrische Zwangsspannung bezeichnet. Zentrische Zwangsspannungen treten sowohl bei innerem als auch bei äußerem Zwang auf und entstehen zum Beispiel durch das Abfließen der Hydratationswärme oder das Bauteilschwinden. Übersteigen die entstehenden Spannungen die Betonzugfestigkeit, entstehen Trennrisse, die durch das Bauteil verlaufen. Die Breite dieser Risse muss durch eine Mindestbewehrung nach DIN EN 1992-1-1 begrenzt werden.

=== linear verteilte Spannungen ===
Bei einer linearen Spannungsverteilung entsteht im Querschnitt ein Biegemoment. Dieses Biegemoment sorgt beim Überschreiten der Betonzugfestigkeit auf der Zugseite für die Entstehung von Biegerissen. Auch diese Risse müssen durch die oben genannte Mindestbewehrung begrenzt werden. 
Eine lineare Spannungsverteilung entsteht zum Beispiel, wenn ein Bauteil einer Temperaturdifferenz zwischen Innen- und Außenseite ausgesetzt ist.

=== nichtlinear verteilte Spannungen ===
[[Datei:Zwangsarten 3.jpeg|300px|thumb|right|Verteilung der Temperatur und der Spannungen im Bauteilquerschnitt <ref name = "Q5"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref> ]]
[[Datei:Zwangsarten 4.jpeg|300px|thumb|right|Verteilung der Feuchtigkeit und der Spannungen im Bauteilquerschnitt<ref name = "Q1"></ref> ]]

Der nichtlineare Spannungsanteil im Bauteilquerschnitt wird als Eigenspannungen bezeichnet. 
Nichtlinear verteilte Spannungen setzen eine Temperaturverteilung, z.B. durch das Abfließen der Hydratationswärme, oder eine Feuchtigkeitsverteilung, z.B. durch Schwindvorgänge, über den Querschnitt voraus. Wie aus den nebenstehenden Bildern zu erkennen ist, ähneln sich beide Verteilungen, nur zeitlich liegen diese auseinander. 
Die Temperaturverteilung infolge der Wärmeentwicklung im jungen Beton entsteht innerhalb der ersten Tage nach dem Betonieren. Aufgrund der höheren Temperatur des Bauteilkernes möchte dieser sich ausdehnen, wird aber vom kühleren Rand an seiner Verformung gehindert. Hieraus resultieren Druckspannungen im Kern und Zugspannungen am Rand, welche bis zum Erreichen des Temperaturmaximums in ihrer Größe ansteigen. Wird das Bauteil innerhalb dieses Zeitraumes ausgeschalt, kühlt sich die Bauteiloberfläche weiter ab und die Zugspannungen am Bauteilrand erhöhen sich. Bei einer Temperaturdifferenz zwischen dem Kern und dem Rand des Bauteils von ΔT ≥ 15K kann es an der Bauteiloberfläche zu Rissen kommen. 
Die Feuchtigkeitsverteilung entsteht durch das Austrocknen des Querschnittes. Aufgrund der Feuchtigkeitsabgabe an die Umgebungsluft zieht sich der Beton am Bauteilrand zusammen. Diese Volumenverringerung infolge des Schwindens wird durch den feuchteren Bauteilkern behindert. Am Bauteilrand entstehen somit Zug- und im Bauteilkern Druckspannungen. 
Sowohl aus der Temperatur- und der Feuchtigkeitsverteilung lassen sich unter dem Grundsatz des Ebenbleibens der Querschnitte Dehnungsprofile ableiten. Bei Bauteilen größerer Dicke sind diese Dehnungsprofile stärker ausgebildet als bei Bauteilen geringerer Dicke und daher nicht zu vernachlässigen. Eine Einschränkung der auftretenden Dehnungen erfolgt durch die gegenseitige Behinderung der Bauteilfasern oder durch die Behinderung des Schwindens des Betons am Bewehrungsstahl. 
Die Größe der nichtlinear verteilten Spannungen ist abhängig von der Größe der Dehnungsdifferenz zwischen Bauteilkern und -rand. Übersteigen die Zugspannungen am Bauteilrand die zu diesem Zeitpunkt wirksame Zugfestigkeit des Betons, entstehen in der Bauteiloberfläche Schalen- bzw. Oberflächenrisse mit geringer Tiefe, welche die Wasserundurchlässigkeit des Bauteils nicht beeinträchtigen. Dies ist z.B. bei einer Temperaturdifferenz zwischen Bauteilkern und Bauteilrand von ΔT ≥ 15K der Fall. Beim Abkühlen des Bauteils entstehen am Bauteilrand Druckspannungen, welche die Risse verschließen. Eine Schädigung des Betonquerschnittes bleibt jedoch bestehen und kann Ausgangspunkt weiterer Risse sein.<ref name = "Q1"></ref>

== Behinderungsgrad ==
Um abschätzen zu können wie stark die Verformungen eines Bauteils behindert werden, kann ein Behinderungsgrad ermittelt werden. Es wird in eine Behinderung der Dehnung und in eine Krümmungsbehinderung unterschieden.<ref name = "Q1"></ref> 
Der Grad der Dehnungsbehinderung R lässt sich nach "Röhling" <ref name = "Q1"></ref> zum einen aus dem Verhältnis der behinderten Dehnung Δεbeh zur Gesamtdehnung ε0 ermitteln.

:: <math> R = 1 - \cfrac{\Delta \epsilon_{frei}}{\epsilon_0} = \cfrac{\Delta \epsilon_{beh}}{\epsilon_0} </math>

:::{|style="margin: left"
| <math> \Delta \epsilon_{frei} </math> || freie Dehnung
|-
| <math> \epsilon_0 </math> || Gesamtdehnung, die dem Bauteil aufgezwungen wird
|-
| <math> \Delta \epsilon_{beh} </math> || Dehnung, die behindert wird und sich nicht einstellen kann
|-
| || <math> \Delta \epsilon_{beh} = \epsilon_0 - \Delta \epsilon_{frei} </math>
|}
Andererseits führt auch das Verhältnis der Steifigkeiten des behindernden und des behinderten Bauteils zum Grad der Dehnungsbehinderung.

:: <math> R = \cfrac{S_2 \cdot L_1}{S_1 \cdot L_2 + S_2 \cdot L_1} </math>

:::{|
| <math> S_1 = A_1 \cdot E_1 </math> || für das behinderte Bauteil
|-
| <math> S_2 = A_2 \cdot E_2 </math> || für das behindernde Bauteil
|-
| <math> A </math> || Querschnittsfläche
|-
| <math> E </math> || Elastizitätsmodul
|-
| <math> L_1 </math> || Länge des behinderten Bauteils
|-
| <math> L_2 </math> || Länge des behindernden Bauteils
|}

Aufgrund des ansteigenden Elastizitätsmoduls und der damit ansteigenden Steifigkeit beim Erhärten des behinderten Bauteils ist der Behinderungsgrad nicht konstant und nimmt mit zunehmendem Bauteilalter ab. Durch Risse verringert sich die Steifigkeit im Bauteil, sodass sich der Behinderungsgrad erhöht und die Gefahr der weiteren Rissbildung ansteigt. 
Je größer der Wert des Behinderungsgrades ist, desto mehr wird die freie Verformungsfähigkeit des behinderten Bauteils eingeschränkt. Bei einem Behinderungsgrad von R = 1,0 ist die freie Verformung vollständig behindert und man spricht vom „vollen Zwang“. Meist ergibt sich der Behinderungsgrad jedoch zu R < 1,0, sodass sich das behinderte Bauteil verformen kann und vom „teilweisen Zwang“ die Rede ist.<ref name = "Q1"></ref> 
Die Krümmungsbehinderung entsteht durch eine über den Querschnitt linear verteilte Dehnung und ist wie nachfolgend definiert.

:: <math> K = \cfrac{I_2 \cdot E_2}{I_1 \cdot E_1 + I_2 \cdot E_2} </math>

:::{|
| <math> I_1 </math> || Trägheitsmoment des behinderten Bauteils
|-
| <math> I_2 </math> || Trägheitsmoment des behindernden Bauteils
|-
| <math> E_1 </math> || Elastizitätsmodul des behinderten Bauteils
|-
| <math> E_2 </math> || Elastizitätsmodul des behindernden Bauteils
|}

In Kombination mit der Dehnungsbehinderung führt die Behinderung der Krümmung zu einer Spannungsverteilung aus zentrischen Zwangsspannungen über die Wandhöhe. 
Bei einem biegesteifen Auflager ist die Krümmung vollständig behindert und es treten neben den horizontalen Zwangsschnittgrößen Vertikalkräfte auf, die zu horizontalen Rissen in z.B. der Arbeitsfuge zwischen einer Wand und einer Sohlplatte, führen. Bei einem biegeweichen Auflager hingegen kann sich eine Krümmung einstellen, sodass in der Verbundfuge keine Vertikalkräfte entstehen und die Spannungsverteilung zum Wandkopf hin auf Null fällt.<ref name = "Q1"></ref>

== Verringerung der Zwangsbeanspruchung ==
Durch eine Verringerung der Bauteiltemperatur können die Dehnungen im Bauteil verringert werden, sodass die entstehenden Zugspannungen eine geringere Größe annehmen. Dies bezieht sowohl die Bauteilerwärmung vor dem Abfließen der Hydratationswärme, beeinflussbar durch die Menge und die Art des Zementes, als auch die Erwärmung infolge Sonneneinstrahlung mit ein. Außerdem kann durch entsprechende Maßnahmen der Zeitraum bis zum Erreichen der Maximaltemperatur im Bauteilquerschnitt verlängert werden, sodass sich am Bauteilrand eine größere Zugfestigkeit entwickeln kann.<ref name = "Q6"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9., überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref> 
Durch eine Dämmung des Bauteils nach dem Betonieren, kann zum Beispiel die Temperaturdifferenz im Bauteilquerschnitt verringert werden, sodass geringere Eigenspannungen entstehen. Es ist jedoch darauf zu achten, dass hierbei die Bauteiltemperatur im Gesamten angehoben wird und dadurch beim Abfließen der Hydratationswärme größere Zugspannungen entstehen. 
Zusätzlich dazu sollte das Bauteil möglichst langsam abkühlen und austrocknen, damit die Relaxation langsam entstehende Zugspannungen abbauen kann. 
Neben betontechnologischen Maßnahmen können die entstehenden Spannungen auch durch eine konstruktive Verringerung der Verformungsbehinderungen reduziert werden. Bei der Planung von Sohlplatten sollte die Gleitfähigkeit auf dem Untergrund beachtet bzw. sichergestellt werden und in Wänden verringert die Anordnung von Fugen die Zwangsspannungen.<ref name = "Q1"></ref>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchungen

2019-04-03T08:42:07Z

PMarkert:

== Allgemeines ==
Die in diesem Abschnitt behandelten Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Zwangsschnittgrößen in Sohlplatten und Wänden gelten als Empfehlung, die im „Lohmeyer Stahlbetonbau“ <ref name = "Q1"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung-Konstruktion-Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> gegeben wird und stellen eine Ergänzung zu der in der DIN EN 1992-1-1 <ref name = "Q2"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung | Ermittlung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung]] dar.

== verminderter Zwang in Sohlplatten ==
Kann eine Beanspruchung aus spätem Zwang, z.B. während der Bauphase oder des Nutzungszeitraumes, ausgeschlossen werden, darf der Nachweis für den frühen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme geführt werden. Zusätzlich dazu kann die Zwangsspannung vermindert werden, wenn in der Sohlplatte keine anderen Zwangsbeanspruchungen wirken und die Sohlplattenbewegungen nicht durch Festpunkte behindert werden.
Die rechnerische Zugspannung in der Sohlplatte σct,d ist abhängig vom Reibungsbeiwert μd, der Spannung σ0 und der Länge L der verschiebbaren Sohlplatte.
:: <math> \sigma_{ct,d} = \cfrac{\gamma_{ct} \cdot \mu_d \cdot \sigma_0 \cdot L}{2 \cdot a_{ct}} </math>

:::{|
| <math> \sigma_{ct,d} </math> || Bemessungswert der wirksamen Betonzugspannung, die durch die Reibung auf dem Untergrund entsteht, wenn sich die Sohlplatte verkürzt
|-
|<math> \gamma_{ct} </math> || Sicherheitsbeiwert im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
|-
| || γct = 1,0 wenn die Zwangsspannung durch das Abfließen der Hydratationswärme hervorgerufen wird
|-
| <math> \mu_d </math> || Bemessungswert des Reibungsbeiwertes
|-
| <math> \cfrac{L}{2} </math> || Reibungslänge der Sohlplatte
|-
| || halbe Sohlplattenlänge, da der Verformungsnullpunkt in Plattenmitte angenommen wird
|-
| <math> a_{ct} </math> || Betonquerschnittsfläche, die auf Zug beansprucht ist
|-
| || <math> a_{ct} = h \cdot b </math>
|}

Reibungsbeiwerte für unterschiedliche Untergründe sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. Ein Reibungsbeiwert darf nur bei Sohlplatten mit ebener Unterseite angesetzt werden, die sich auf dem Untergrund frei bewegen können und deren Verformungen nicht durch Fundamentvertiefungen, wie z.B. bei Aufzugschächten behindert werden. <ref name = "Q1"> </ref>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Reibungsbeiwerte <ref name = "Q1"> </ref> <ref name = "Q3"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref> <ref name = "Q4"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|-
!Unterkonstruktion a)
!Trennlage
!Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
|-
|1
|grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung
|keine
|style="text-align: center;" | 1,4 … 2,1 e)
|-
|2
|rowspan="2" | Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m
|style="text-align: center;" | > 1,4
|-
|3
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,9
|-
|4
|rowspan="3" | sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte
|keine
|style="text-align: center;" | 0,9 … 1,1 e)
|-
|5
|Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,0 d), e)
|-
|6
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,5 … 0,7 d), e)
|-
|7
|Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)
|keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)
|style="text-align: center;" | 0,7
|-
|8
|rowspan="2" | Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund
|bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8 d)
|-
|9
|bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,5 d)
|-
|10
|rowspan="6" | Unterbeton abgezogen (makrorau)
|2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
|
|-
|11
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≤ 2,0
|-
|12
|bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m
|style="text-align: center;" | ≤ 1,3
|-
|13
|Bitumenschweißbahn c)
|style="text-align: center;" | 0,35 … 0,7 d), e)
|-
|14
|Dickbitumen c)
|style="text-align: center;" | 0,03 … 0,2 d), e)
|-
|15
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8
|-
|16
|rowspan="7" | Unterbeton mit Flügelglättung
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,4 d), e)
|-
|17
|2 Lagen PE- Folie b)
|style="text-align: center;" | ≤ 0,8
|-
|18
|mit PTFE b) beschichtete Folie
|style="text-align: center;" | 0,2 … 0,5 e)
|-
|19
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,3
|-
|20
|1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
|
|-
|21
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,45
|-
|22
|bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,2
|-
|23
|rowspan="2"| Sicherheitsbeiwert für Reibung h)
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR = 1,35 f)
|-
|24
|colspan="2" style="text-align: center;" |γR =1,25 g)
|-
|25
|Bemessungswert der Reibung
|colspan="2" style="text-align: center;" |<math> \mu_d = \gamma_R \cdot \mu_0 </math>
|-
|colspan="4" | a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. 

b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen 

c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. 

d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen 

e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. 

f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q1"> </ref> und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" <ref name = "Q3"> </ref> 

g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage"<ref name = "Q4"> </ref> 

h) Die Autoren der Fachliteraturen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.
|}

== verminderter Zwang in Wänden ==
Durch das nachträgliche Betonieren einer Wand auf eine Sohlplatte entstehen in der Wand Zwangsspannungen infolge der Verformungsbehinderung durch den Verbund beider Bauteile. Die ersten wesentlichen Zwangsbeanspruchungen treten in der Wand beim Abfließen der Hydratationswärme auf. <ref name = "Q1"> </ref> 
Wenn der späte Zwang z.B. Temperaturänderungen im Tages- oder Jahreswechsel mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann, darf die in der Wand entstehende Zwangsspannung wie folgt abgeschätzt werden.

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math>

:::{|
| <math> \sigma_{ct,cal} </math> || Rechenwert der Betonzugspannung, die infolge Zwangsspannungen durch das Abfließen der Hydratationswärme entsteht
|-
| <math> k </math> || Beiwert für die Behinderung der Verformungsmöglichkeit eines Bauteils
|-
| || k = 1,0 für Wände, die auf ein anderes Bauteil, z.B. eine Sohlplatte betoniert werden
|-
| <math> \alpha_T </math> || Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons
|-
| || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| <math> E_{c,t} </math> || wirksamer Elastizitätsmodul des Betons zum Zeitpunkt tmaxT der Entstehung der Betonzugspannungen
|-
| || Ec,t = αE ∙ Ecm
|-
| || tmaxT = 1 + 0,8 ∙ h || h in m
|-
| <math> \Delta T_{b,W-F} </math> || Temperaturdifferenz zwischen der mittleren Bauteiltemperatur der Wand und der Sohlplatte
|}
Anhand der folgenden Tabelle lässt sich der Verhältniswert αE der Elastizitätsmoduln in Abhängigkeit des Bauteilalters tmaxT bei Entstehung der Betonzugspannungen ablesen.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t/Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center;" |24 Stunden
|style="text-align: center;" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center;" |48 Stunden
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Die Temperaturdifferenz zwischen der mittleren Bauteiltemperatur der Wand und der Bauteiltemperatur der Sohlplatte bzw. des Fundamentes lässt sich wie folgt ermitteln.<ref name = "Q1"> </ref>

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:::{|
| <math> T_{b,m} </math> || mittlere Bauteiltemperatur der Wand
|-
|<math> T_F </math> || Bauteiltemperatur des Fundamentes bzw. der Sohlplatte
|}

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} + \Delta T_{b,H} </math>

:::{|
| <math> k_{Tv} </math> || Beiwert zur Berücksichtigung des Temperaturverlaufs in der Wand
|-
| <math> k_{Tv} \approx \cfrac{1}{2} \approx 0,5 </math> || für h < 0,5m
|-
| <math> k_{Tv} \approx \cfrac{2}{3} \approx 0,7 </math> || für h = 0,5 ... 3,0m
|-
|<math> k_{Tv} \approx 1,0 </math> || für h > 0,5m
|-
| <math> T_{c0} </math> || Frischbetontemperatur der Wand
|-
| <math> \Delta T_{b,H} </math> || Temperaturdifferenz, um die sich die Frischbetontemperatur bei der Hydratation erhöht
|}

:: <math> \Delta T_{b,H} = \alpha_b \cdot \cfrac{z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

:::{|
| <math> \alpha_b </math> || Beiwert zur Berücksichtigung des Verhältnisses zwischen der tatsächlichen Temperaturerhöhung im Bauteil und der theoretischen Temperaturerhöhung der Wanddicke
|-
| <math> z </math> || Zementgehalt
|-
| <math> Q_H </math> || Hydratationswärme des Zementes
|-
| <math> C_{c0} </math> || Wärmekapazität des Betons
|-
| || Cc0 ≈ 2.500 kJ/(m3 ∙ K)
|}

Anhand der folgenden Tabelle lässt sich der Beiwert αb zur Berücksichtigung des Verhältnisses zwischen der tatsächlichen Temperaturerhöhung im Bauteil und der theoretischen Temperaturerhöhung der Wanddicke ablesen.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H/ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center;" |0,25
|style="text-align: center;" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center;" |0,40
|style="text-align: center;" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 3.jpeg|300px|thumb|right|Spannungsverteilung in einer Wand<ref name = "Q4"> </ref>]]

Eine weitere Reduzierung der entstehenden Spannungen erfolgt durch die Relaxation (Verformung konstant, Abbau der Spannungen) und das Kriechen (Spannungen konstant, Abbau der Verformungen). Der Nachweis hierfür ist jedoch sehr aufwendig und wird an dieser Stelle nicht aufgeführt, was zu Ergebnissen auf der sicheren Seite liegend, führt. <ref name = "Q1"> </ref> 
Die Größe der Zwangsbeanspruchungen ist unter anderem vom Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H abhängig. Nach den Untersuchungsergebnissen von H. Falkner nehmen die Zwangsspannungen bei zunehmendem Verhältnis L/H zu und streben bei L/H ≈ 10 ihren Größtwert an.<ref name = "Q1"> </ref> 
Der Maximalwert der in der Wand entstehenden Zwangsspannung stellt sich am Wandfuß ein. Da der Verbund mit der Sohlplatte jedoch bis in eine Wandhöhe von 1/4 ∙ H bzw. ca. 80 cm über Oberkante Sohlplatte rissbreitenbegrenzend wirkt, wird die Bemessung mit dieser Spannung empfohlen (siehe dazu das nebenstehende Bild). Da sich die Sohlplatte beim Temperaturanstieg in der Wand kurz nach dem Betonieren erwärmt und somit die Verteilung der Zwangsspannungen im Bereich der Fuge allmählich erfolgt, darf die in der Spannungsverteilung entstehende spitze Ecke ausgerundet werden. Die empfohlene Anpassung des Spannungsverlaufes in der Wand an die Realität bzgl. der Spannungsordinate und der Ausrundung dieser werden mit dem Beiwert kct,d wie folgt berücksichtigt.<ref name = "Q1"> </ref>

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

:::{|
| <math> \sigma_{ct,d} </math> || Bemessungswert der Betonzugspannungen in ca. 1/4 ∙ H
|-
| <math> k_{ct,d} </math> || Beiwert zur Anpassung des Spannungsverlaufes in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H
|-
| <math> \sigma_{ct,cal} </math> || Rechenwert der Betonzugspannung, die infolge Zwangsspannungen durch das Abfließen der Hydratationswärme entsteht
|}
In der nachfolgenden Tabelle werden die Beiwerte kct,d in Abhängigkeit des Verhältnisses L/H angegeben.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center;" | ≤ 1
|style="text-align: center;" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center;" | ≤ 2
|style="text-align: center;" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

2019-04-03T08:41:36Z

PMarkert:

== Allgemeines ==
Risse entstehen im Betonbauteil, wenn die Betonzugfestigkeit durch eine Last- oder Zwangsbeanspruchung oder eine Kombination beider überstiegen wird. Die Breite dieser Risse muss begrenzt werden, um die Gebrauchstauglichkeit und die Dauerhaftigkeit des Bauteils weiterhin zu gewährleisten. Die Anforderungen an die Gebrauchstauglichkeit beinhalten das Erscheinungsbild, die Dichtheit und die Nutzungsfähigkeit eines Bauteils, bei der Dauerhaftigkeit ist insbesondere der Korrosionsschutz der Bewehrung von Bedeutung. Neben der Begrenzung der Rissbreite ist eine ausreichende Betondeckung von weitaus größerer Bedeutung für die Einhaltung der Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und die Gebrauchstauglichkeit.<ref name = "Q1"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref>

== zulässige Rissbreite ==
Die zulässige Rissbreite wmax stellt den Grenzwert dar und ist von der Art der Konstruktion (Stahl- oder Spannbeton) und vom Anwendungsbereich, also von der Expositionsklasse abhängig. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Rissbreite nicht nur für die Nutzung, sondern auch für die Bauphase des Bauwerks gilt und somit die Expositionsklasse entsprechend anzupassen ist. Die Grenzwerte, welche durch die DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q2"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> empfohlen werden, sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. Für horizontale Flächen, die mit Chloriden beansprucht werden, beispielsweise in Parkhäusern, reichen die angegebenen Grenzwerte nicht aus und es sollten höhere Anforderungen definiert werden.
<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4 a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2 b),c)
|style="text-align: center;" |0,2 b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3 d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"| a) Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b) Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c) Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d) Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}

Die entstehenden Risse sind nach der voranstehenden Norm mit einer Mindestbewehrung in ihrer Breite zu begrenzen, sodass die Grenzwerte nicht überschritten werden. Bei folgenden Bauteilen kann die Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung entfallen: <ref name = "Q1"> </ref> 
* Innenbauteile zu denen Feuchtigkeit keinen Zugang hat (Expositionsklasse XC1)
* Bauteile ohne Korrosionsgefahr bei denen breite Risse mit z.B. einer Abdeckung geschützt werden
* biegebeanspruchte Platten mit einer Gesamtdicke von maximal 20cm, die nur unwesentlich durch zentrischen Zug beansprucht sind, bei denen eine Mindestbewehrung nach DIN EN 1992-1-1 angeordnet ist und bei denen keine zusätzlichen Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und das Erscheinungsbild gestellt werden
 

== Vorgang der Rissbildung ==
Die Rissbildung kann in zwei Zustände unterschieden werden, die Erstrissbildung und das abgeschlossene Rissbild. Bei der Erstrissbildung entsteht beim Überschreiten der Betonzugfestigkeit ein Einzelriss, der im Wirkungsbereich der Mindestbewehrung mit hoher Wahrscheinlichkeit die zulässige Rissbreite nicht übersteigt. Durch die Begrenzung der Rissbreite kann die volle Zwangskraft jedoch nicht nur durch diesen einen Riss abgebaut werden. Daher entstehen weitere Risse bis die Zwangskraft vollständig abgebaut ist.
<ref name = "Q1"> </ref>
 
Bei der Rissbildung wird die freiwerdende Zugkraft, die im Beton zum Riss führt, vom Stahlquerschnitt aufgenommen. Von den Rissufern beginnend wird diese Kraft vom Stahl wieder in den Beton eingeleitet. Da die Zwangsschnittgröße durch den Riss teilweise abgebaut wird, übersteigen die Spannungen im Beton zunächst nicht wieder die Betonzugfestigkeit. Erst wenn die Zwangsspannung und damit auch die Zugspannung im Beton weiter ansteigt und die Betonzugfestigkeit überschreitet, entsteht der nächste Riss. Das abgeschlossene Rissbild ist erreicht, wenn die Zwangsbeanspruchung vollständig abgebaut ist und die Zugfestigkeit im Betonquerschnitt nicht mehr überschritten wird.
 
Der Rissabstand ergibt sich aus der Einleitungslänge, also der Länge, über welche die Kraft aus dem Stahl in den Beton eingeleitet wird. Bei einer geringen Beanspruchung entspricht der maximale Rissabstand der doppelten Einleitungslänge. Steigt die Beanspruchung an, verringert sich der Rissabstand auf die Größe der Einleitungslänge.
<ref name = "Q3"> </ref>
 
Außerhalb des Wirkungsbereiches der Bewehrung laufen die entstehenden Einzelrisse zu Sammelrissen zusammen. Da die Breite dieser Sammelrisse größer als der vorgegebene Maximalwert ist, muss die Mindestbewehrung über die gesamte Höhe der Zugzone am Bauteilrand verteilt werden. Bei gegliederten Querschnitten muss die Bewehrung zusätzlich für die Teilquerschnitte einzeln ermittelt werden.
 
Dabei ist sowohl die frühe Rissbildung durch den Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme als auch die späte Rissbildung aus einer Überlagerung aus Last- und Zwangsbeanspruchungen zu berücksichtigen. Auch der Einfluss einer möglichen Überfestigkeit des Betons bei der Rissbildung infolge des [[Zwangsarten#Unterscheidung in früher und späten Zwang | späten Zwangs]] darf nicht vernachlässigt werden. Daher wird bei der Ermittlung der Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ein Mindestwert der Betonzugfestigkeit von fct,eff = 3,0 N/mm2 vorgegeben.
<ref name = "Q1"> </ref>
 
Nach DIN EN 1992-1-1 darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Zwangsspannung σct,d erfolgen, wenn die Zwangsspannung kleiner als die Rissschnittgröße, also die Spannung, die zum Riss führt, ist. Empfehlungen aus dem „Lohmeyer Stahlbetonbau“<ref name = "Q1"> </ref> zur Ermittlung der Zwangsspannung werden auf der Seite „[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchungen]]“ gegeben.

 

== Ermittlung der Mindestbewehrung ==

Die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreiten erfolgt nach der DIN EN 1992-1-1 <ref name = "Q2"></ref>. 
Entsteht ein Riss im Stahlbetonbauteil wird die Zugkraft, welche zum Riss geführt hat, frei und muss vom Stahlquerschnitt aufgenommen werden. Aufgrund der Gleichgewichtsbedingungen, die im Bauteil herrschen, lässt sich daraus folgende Beziehung ableiten.
::<math> F_S \ge F_{ct,eff} </math>
:::{|
|<math> F_S </math> || Zugkraft, die vom Stahlquerschnitt aufgenommen werden kann
|-
|<math> F_{ct,eff} </math> || Zugkraft im Beton zum Zeitpunkt der Rissbildung
|}
::mit
::<math> F_S = \sigma_S \cdot A_s </math>
:::{|
|<math> \sigma_S </math> || Absolutwert der maximal zulässigen Stahlspannung
|-
|<math> A_s </math> || Querschnittsfläche der Bewehrung
|}
::und
::<math> F_{ct,eff} = f_{ct,eff} \cdot A_{ct} </math>
:::{|
|<math> f_{ct,eff} </math> || wirksame Betonzugfestigkeit
|-
|<math> A_{ct} </math> || auf Zug belasteter Betonquerschnitt
|}
::ergibt sich die Beziehung
::<math> \sigma_S \cdot A_s \ge f_{ct,eff} \cdot A_{ct} </math>.
Unter Berücksichtigung der nachfolgend erklärten Beiwerte ergeben sich nach Umstellen der obigen Beziehung folgende Gleichungen für die Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung zwangsbeanspruchter Bauteile.
 
*dünnere Bauteile:
::<math> A_{s,min} = \cfrac{k \cdot k_c \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
:::{|
|<math> A_{s,min} </math> || Mindestquerschnittsfläche der Betonstahlbewehrung innerhalb der Zugzone
|-
|<math> k </math> || Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Betonzugspannungen (z.B. Eigenspannungen) und weiteren risskraftreduzierenden Einflüssen
|-
|<math> k_c </math> || Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Spannungsverteilung innerhalb des Querschnitts vor der Erstrissbildung sowie der Änderung des inneren Hebelarmes
|}
*dickere Bauteile:
::<math> A_{s,min} = \cfrac{A_{c,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} \ge \cfrac{k \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
:::{|
|<math> A_{c,eff} </math> || Wirkungsbereich der Bewehrung
|-
|<math> f_{yk} </math> || charakteristische Stahlzugfestigkeit
|}
Da in der Norm keine genaue Abgrenzung zwischen dünnen und dicken Bauteilen vorgenommen wird, müssen die Ergebnisse beider Gleichungen verglichen werden. Maßgebend ist der geringere Wert, da es sich um eine Mindestbewehrung handelt. Mit dem Zusatzkriterium
:: <math> \cfrac{k \cdot A_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
wird das Fließen der Bewehrung bei der Rissbildung verhindert.
 
Kann durch eine genauere Berechnung nachgewiesen werden, dass weniger Bewehrung nötig ist, sollte diese verringerte Mindestbewehrung eingelegt werden.
 

=== wirksame Zugfestigkeit fct,eff ===
Mit der wirksamen Betonzugfestigkeit wird die Zugfestigkeit im Beton zum Zeitpunkt der Rissbildung berücksichtigt. 
Wird die Zwangsbeanspruchung durch das Abfließen der Hydratationswärme erzeugt, wird also der frühe Zwang in der Berechnung angenommen, darf ein verringerter Wert der Betonzugfestigkeit angenommen werden. In Abhängigkeit von der Zeit, bis zu der die Hydratationswärme aus dem Bauteil abgeflossen ist, darf sie wie folgt abgemindert werden, wenn kein genauerer Nachweis gefordert wird.
* nach 3 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} </math>

* nach 5 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} </math>

*nach 7 Tagen ca.
:: <math> f_{ct,eff} = 0,85 \cdot f_{ctm} </math>
Je dicker das Bauteil ist, desto länger dauert das Abfließen der Hydratationswärme. Vereinfacht kann angenommen werden, dass dieser Vorgang bei einer Querschnittsdicke von h ≤ 30cm ca. 3 Tage und bei einer Querschnittsdicke von h > 80cm ca. 7 Tage dauert. 
Die früher verwendete Abminderung auf die Hälfte der Betonzugfestigkeit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,50 \cdot f_{ctm} </math>
fordert teilweise einen erheblichen Mehraufwand in der Bauausführung, z.B durch die Verwendung von Betonen mit niedriger Wärmeentwicklung und einer aufwendigen Nachbehandlung, der die Wirtschaftlichkeit der Stahleinsparung aufhebt. Neben dem Mehraufwand spielt hierbei auch die regionale Verfügbarkeit der Betonsorten eine Rolle.<ref name = "Q4"> Fingerloos, F.; Hegger, J.: Erläuterungen zur Änderung des deutschen Nationalen Anhangs zu Eurocode 2 (DIN EN 1992-1-1/NA/A1:2015-12). Beton- und Stahlbetonbau 111 (2016), Heft 1, S. 2-8 </ref> 
Wird zur Ermittlung der Mindestbewehrung der späte Zwang maßgebend, muss von der mittleren Betonzugfestigkeit, mindestens aber einer Zugfestigkeit von
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} \ge 3 N/mm^2 </math>
:::{|
|<math> f_{ctm} </math> || Mittelwert der Betonzugfestigkeit
|}
ausgegangen werden.

=== Beiwert k ===

Mit dem Beiwert k werden nichtlinear verteilte Spannungen, zum Beispiel Eigenspannungen, und Einflüsse berücksichtigt, die die Zwangsschnittgröße im Bauteilquerschnitt verringern. Für Zwangsbeanspruchungen, die vom Bauteil selbst hervorgerufen werden, z.B. Eigenspannungen infolge des Abfließens der Hydratationswärme, dürfen folgende Faktoren angenommen werden.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || für Querschnitte mit h ≤ 0,3m
|-
|<math> k = 0,5 </math> || für Querschnitte mit h ≥ 0,8m
|}
Zwischenwerte dürfen interpoliert werden. Für h ist die kleinere Querschnittsabmessung zu wählen. 
Wird die Beanspruchung durch einen Zwang außerhalb des Bauteils hervorgerufen, z.B. durch eine Verformungsbehinderung oder eine Auflagersenkung, und entstehen keine Eigenspannungen im Bauteilquerschnitt, kann der Beiwert mit folgendem Wert angenommen werden.
::<math> k = 1,0 </math>

=== Beiwert kc ===

Der Beiwert kc berücksichtigt den Einfluss der Spannungsverteilung im auf Zug belasteten Betonquerschnitt vor der Rissbildung und der Änderung des Hebelarmes der inneren Kräfte bei der Rissbildung (Übergang von Zustand I in den Zustand II). 
Bei reinem Zug wird
::<math> k_{c} = 1,0 </math>,
da der Bauteilquerschnitt ausschließlich auf Zug beansprucht wird, eine konstante Spannungsverteilung im Querschnitt herrscht und sich der Hebelarm der inneren Kräfte beim Übergang in den Zustand II nicht ändert. 
Bei einer Biegebeanspruchung mit oder ohne Normalkraft ermittelt sich der Beiwert nach folgenden Formeln.
*für Rechteckquerschnitte und Stege von Hohlkasten- oder T-Querschnitten:
::<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math>
:::{|
| <math> \sigma_c </math> || Betonspannungen auf Höhe der Schwerelinie des (Teil-) Querschnittes im Zustand I, ermittelt unter der Einwirkungskombination, die am Querschnitt zur Rissbildung führt
|-
| || Druckspannungen erhalten ein positives Vorzeichen
|-
| || <math> \sigma_c = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h} </math>
|-
| || NEd ist die Normalkraft im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, die auf den untersuchten Teil des Querschnittes wirkt (Druckkraft positiv)
|-
| || b ist die Querschnittsbreite
|-
| || h ist die Querschnittshöhe
|-
| <math> k_1 </math> || Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkung von Normalkräften auf die Spannungsverteilung
|-
| <math> h^* = h </math> || für h < 1,0m
|-
| <math> h^* = 1,0 </math> || für h ≥ 1,0m
|}
*für Gurte von Hohlkasten- und T-Querschnitten:
::<math> k_c = 0,9 \cdot \cfrac{F_{cr}}{A_{ct}\cdot f_{ct,eff}} \ge 0,5 </math>
:::{|
| <math> F_{cr} </math> || Betrag der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Rissbildung infolge des mit fct,eff berechneten Rissmomentes
|}
Der Beiwert k1 berücksichtigt die Auswirkung der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung.
::{|
|<math> k_1 = 1,5 </math> || NEd ist eine Druckkraft
|-
|<math> k_1 = \cfrac{2 \cdot h^*}{3 \cdot h} </math> || NEd ist eine Zugkraft
|}

=== Ermittlung des Grenzdurchmessers ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> </ref>]]

Weicht die vorhandene Betonzugfestigkeit von der Zugfestigkeit, die für die Tabellen und Formeln der DIN EN 1992-1-1 als Bezugswert gilt, ab, muss der Stabdurchmesser der verwendeten Bewehrung angepasst werden. Hierfür werden die nachfolgenden Formeln verwendet.
*für Biegung
:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>
:::{|
| <math> \varnothing_S^* </math> || Grenzdurchmesser
|-
| <math> \varnothing_S </math> || Durchmesser der Bewehrung
|-
| <math> h-d = d_1 </math> || Abstand der Schwerpunktlage der Bewehrung zum gezogenen Bauteilrand
|-
| <math> h_{cr} </math> || Höhe der Zugzone unmittelbar vor der Rissbildung (siehe dazu auch das nebenstehende Bild)
|-
| <math> f_{ct,0} </math> || Bezugswert der Betonzugfestigkeit
|-
| || fct,0 = 2,9 N/mm2
|}

*für zentrischen Zug
::<math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>

*für eine Lastbeanspruchung
::<math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d) \cdot b \cdot f_{ct,0}}{\sigma_S \cdot A_S} \le \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math>
Der jeweils vordere Teil der Bedingung wird für größere Querschnittsdicken maßgebend, der hintere Teil für dünnere Querschnitte. Es ist jeweils immer der kleinere Wert des Grenzdurchmessers für die weitere Berechnung zu wählen. 
Wird mehr als ein Stabdurchmesser bei der Bewehrung verwendet, wird zunächst der äquivalente Stabdurchmesser gebildet.
:: <math> \varnothing_{eq} = \cfrac{n_1 \cdot \varnothing_1^2 + n_2 \cdot \varnothing_2^2}{n_1 \cdot \varnothing_1 + n_2 \cdot \varnothing_2} </math>
Bei Stabbündeln mit weniger als drei Stäben sollte als Eingangsgröße ein Vergleichsdurchmesser ermittelt werden.
:: <math> \varnothing_n =\varnothing \cdot \sqrt{n} </math>

===zulässige Stahlspannung in der Bewehrung ===
Bei der Erstrissbildung muss der Bewehrungsstahl die freiwerdende Zugkraft des Betons aufnehmen, ohne sich plastisch zu verformen, sonst verbreitert sich der Erstriss und es entstehen keine weiteren Risse. Die maximal zulässige Stahlspannung ist vom Grenzdurchmesser abhängig und lässt sich entweder aus der folgenden Tabelle ablesen oder anhand der nachfolgenden Formel ermitteln.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center;" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center;" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center;" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,eff}}{\varnothing_S^*}} </math>
:::{|
| <math> w_k = w_{max} </math> ||zulässige Rissbreite
|-
| <math> E_S </math> || Elastizitätsmodul des Stahls
|-
|<math> \varnothing_S^* </math> || Grenzdurchmesser der Bewehrung
|}
Mit
:: <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
und
:: <math> f_{ct,eff} = 2,9 N/mm^2 </math>
ergibt sich die zulässige Stahlspannung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{3,48 \cdot 10^6 \cdot w_k}{\varnothing_S^*}} </math>.

=== Wirkungsbereich der Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 2.jpeg|300px|thumb|right|Wirkungsbereich der Bewehrung <ref name = "Q2"> </ref>]]
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 3.jpeg|300px|thumb|right|Vergrößerung der Höhe hc,ef des Wirkungsbereiches der Bewehrung bei zunehmender Bauteildicke bei einer Beanspruchung durch zentrischen Zug <ref name = "Q2"> </ref>]]

Bei der Rissbildung muss die Zugkraft aus dem Betonquerschnitt, welche zum Riss führt, von der Bewehrung aufgenommen werden. Nach dem Riss wird die vom Stahlquerschnitt aufgenommene Zugkraft über den Verbund in den Beton eingeleitet. Der Bereich in dem dies geschieht, wird als Einleitungslänge bezeichnet. 
Bei dünneren Bauteilen sind die Betonzugspannungen am Ende der Einleitungslänge nahezu gleichmäßig über den Querschnitt verteilt und es kann ein weiterer Trennriss entstehen. 
Da bei Bauteilen größerer Dicke die Bewehrung zu weit auseinander liegt, verteilt sich die Spannung am Ende der Einleitungslänge nicht gleichmäßig über den Querschnitt. Die Trennrisse haben somit einen größeren Abstand als bei dünneren Bauteilen, jedoch bilden sich im Bereich der Krafteinleitung vom Stahl in den Beton Sekundärrisse aus, die nicht durch den gesamten Querschnitt verlaufen. Diese Sekundärrisse benötigen zur Entstehung eine geringere Kraft als die Trennrisse und bauen gleichzeitig die Zugkraft infolge des Zwangs ab. Berücksichtigt wird der Einfluss der Sekundärrissbildung in dickeren Bauteilen einerseits bei der Ermittlung des Grenzdurchmesser und andererseits bei der Ermittlung des Wirkungsbereiches der Bewehrung.<ref name = "Q3"> </ref> 
Die nebenstehenden Bilder zeigen die Lage des Wirkungsbereiches der Bewehrung in unterschiedlichen Querschnitten und eine Funktion für den Vergrößerungsfaktor zur Ermittlung von hc,ef.

:: <math> A_{c,eff} = b \cdot h_{c,ef} </math>

:::{|
| <math> A_{c,eff} </math> || Wirkungsbereich der Bewehrung
|-
| <math> b </math> || Querschnittsbreite
|-
| || b = 100 cm/m bei Platten und Scheiben
|-
| <math> h_{c,ef} </math> || Wirkungstiefe der Bewehrung
|}

*Biegung <ref name = "Q5"> Albert, A. (Hrsg.): Schneider. Bautabellen für Ingenieure mit Berechnungshinweisen und Beispielen. 22.Auflage 2016 </ref>

::{|
| <math> 0 \le \cfrac{h}{d_1} < 10: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h </math>
|-
| <math> 10 \le \cfrac{h}{d_1} < 60: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,05 \cdot h + 2,0 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} \ge 60: </math> || <math> h_{c,ef} = 5,0 \cdot d_1 </math>
|}

*Zentrischer Zug <ref name = "Q5"> </ref>
::{|
| <math> 0 \le \cfrac{h}{d_1} < 5,0: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,50 \cdot h </math>
|-
| <math> 5,0 \le \cfrac{h}{d_1} < 30: </math> || <math> h_{c,ef} = 0,10 \cdot h + 2,0 \cdot d_1 </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} \ge 30: </math> || <math> h_{c,ef} = 5,0 \cdot d_1 </math>
|}

:::{|
| <math> h </math> || Querschnittshöhe
|-
| <math> d_1 </math> || Abstand der Schwerelinie der Bewehrung zum gezogenen Bauteilrand
|}

==Abschätzen der erforderlichen Bewehrung==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q1"> </ref> ]]

Zur Abschätzung der erforderlichen Bewehrung können die Diagramme von Meyer & Meyer, welche auf der ehemaligen DIN 1045-1 basieren, herangezogen werden. Auch wenn diese DIN heute in die DIN EN 1992-1-1 (Eurocode 2) einbezogen wurde, dürfen die Diagramme noch verwendet werden. 
Die abgeschätzte Bewehrungsmenge weicht nur geringfügig von der rechnerisch ermittelten Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ab. Größere Abweichungen stellen sich erst bei einer sehr geringen Betondeckung von cv = 2cm oder sehr großen Stabdurchmessern ein. 
Die Diagramme gelten jeweils nur für die angegebenen Bezugswerte. Somit ist eine Umrechnung der abgelesenen Bewehrung zur Anpassung auf die vorhandene Situation nötig.<ref name = "Q1"> </ref>

::<math> a_{s1,erf} = a_{s1,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta _{ct,vorh} \cdot c_{vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta _{ct,Diagr} \cdot c_{Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} </math>

Hierfür muss zusätzlich der Festigkeits-Zeitbeiwert βct wie folgt ermittelt werden.

:: <math> \beta_{ct} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} </math>

:::{|
| <math> \sigma_{ct,d} </math> || Bemessungswert der Betonzugspannungen
|}

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - Bauweisen mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen

2019-04-03T08:41:24Z

PMarkert:

==Spannbetonbauweise==
=== Allgemeines ===
Im Unterschied zur Stahlbetonbauweise, bei der „schlaffe“ Bewehrungsstähle ohne Vorspannung eingebaut werden, verwendet man beim Spannbeton Litzen, Drähte oder Stäbe, die für eine bestimmte Kraft vorgespannt werden.
Durch diese Vorspannung wird eine Verformung in das Bauteil eingetragen. Bei einer Belastung verformt sich das Spannbetonbauteil in entgegengesetzter Richtung. 
Ziel der Vorspannung ist es, die Größe der Zugzone im Beton dauerhaft zu minimieren, sodass die Größe der Betondruckzone ansteigt. Dadurch lässt sich die Steifigkeit des Bauteils vergrößern und weitere Verformungen verringern. 
Durch die erhöhte Bauteilsteifigkeit im Gegensatz zur Stahlbetonbauweise können mit Spannbeton schlankere Bauteile hergestellt werden. Weitere Vorteile sind geringere Verformungen und Rissbreiten, was die Anwendung bei aggressiven Umgebungsbedingungen und Behältern mit drückendem Wasser ermöglicht.<ref name = "Q1"> Avak, R.; Meiss, K.: Spannbetonbau. Theorie, Praxis, Berechnungsbeispiele nach Eurocode 2. 3., vollständig überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2015</ref> 
Nachteilig sind der erhöhte Planungs- und Ausführungsaufwand und die besondere Anfälligkeit der Spannglieder gegenüber Korrosion, Sprödheit und Spannungsrisskorrosion.

=== Berücksichtigung des Zwangs ===
Die Berechnung des Spannbetonbauteils kann am Gesamtsystem (Betonquerschnitt und Spannglied) oder am vom Spannglied befreiten Bauteil erfolgen. Zusätzlich dazu muss in statisch bestimmte und in statisch unbestimmte Systeme unterschieden werden.<ref name = "Q2"> Prof. Dr. W. Kaufmann: Vorlesung Stahlbeton II. Vorspannkonzepte. ETH Zürich 2017</ref> 
Betrachtet man das Gesamtsystem erzeugt die Vorspannung einen Eigenspannungszustand, der bei statisch bestimmten Systemen keine Schnittkräfte erzeugt. 
Wird das Bauteil, welches vom Spannglied befreit wurde, betrachtet, wirkt die Schnittkraft aus der Vorspannung im Bauteilquerschnitt. 
In statisch unbestimmten Systemen hingegen, erzeugt der Eigenspannungszustand des Gesamtsystems Verformungen, die nicht mit der Lagerung verträglich sind und Zwangsschnittgrößen hervorrufen. Diese Zwangsschnittgrößen Mps(P), Vps(P) und Nps(P) müssen bei den Nachweisen der Tragfähigkeit als zusätzliche Belastung berücksichtigt werden. Zwangsnormalkräfte entstehen, wenn sich das Bauteil in Längsrichtung nicht verkürzen oder verlängern kann. Dies ist besonders bei den integralen Brücken infolge einer Temperatureinwirkung zu beachten. Zwangsmomente und Zwangsquerkräfte entstehen durch eine Biegung bei nahezu jeder Belastung. Die Betrachtung am Gesamtsystem wird auch als „Vorspannung auf der Widerstandsseite“ bezeichnet, da sich der Querschnittswiderstand aus dem Gesamtquerschnitt und der Vorspannung zusammensetzt. 
Wird das Bauteil ohne das Spannglied betrachtet, wirken Anker-, Umlenk- und Reibungskräfte. Daher kann diese Betrachtung auch als „Vorspannung auf der Lastseite“ bezeichnet werden. Die aus der Verformungsbehinderung entstehenden Zwangsschnittgrößen werden in den Schnittgrößen infolge der Vorspannung berücksichtigt. Diese Schnittgrößen wirken wie bei den statisch bestimmten Systemen im Bauteilquerschnitt. 
Beide Betrachtungen führen zu den selben Ergebnissen.<ref name = "Q2"></ref>

==integrale Bauweise==

=== Allgemeines ===
Bei der integralen Bauweise wird ein Bauwerk ohne Fugen oder Lager erstellt. Angewendet wird dies unter anderem im Brückenbau oder beim Bau einer Festen Fahrbahn im Schienenverkehrswesen. 
Durch die Ausführung ohne Lager und Fugen wird die Konstruktion vereinfacht und der Planungsaufwand durch weniger komplizierte Detailzeichnungen verringert. Außerdem erfordern Lager und Fugen eine intensive Wartung und Instandhaltung, was zu zusätzlichen Kosten führt. An Bauwerksfugen entfallen die Fugenübergangslösungen, sodass auch hier der Reinigungs- und Wartungsaufwand reduziert wird. 
Die Vereinfachung des Systems durch weniger komplizierte Details wird durch die umfangreiche Leistung der Tragwerksberechnung aufgehoben. Der Einbau zusätzlicher Bewehrung bedarf einer größeren Anzahl an Bewehrungsplänen und einem Mehraufwand in der Bauvorbereitung und der Baudurchführung.<ref name = "Q3"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkungen - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref>

=== integrale Bauweise am Beispiel von Brückenbauwerken ===
Eine integrale Brücke besitzt weder Lager noch Fugen an den Fahrbahnübergängen. Zusätzlich dazu wird die Verbindung zwischen Über- und Unterbau monolithisch ausgeführt, sodass keine Relativverschiebungen möglich sind. Das Bauwerk wird sowohl an seinen Enden als auch an den Pfeilern in den Boden eingebettet und steht somit in ständiger Wechselwirkung mit diesem.<ref name = "Q4"> Geier, R. u.a.: Integrale Brücken. Entwurf, Berechnung, Ausführung, Monitoring. Berlin 2017 </ref> 
Die Größe der Zwangsbeanspruchungen ist von der Bauwerksgeometrie, den Steifigkeitsverhältnissen zwischen Über- und Unterbau, dem Baugrund und dem Bauablauf bzw. der Reihenfolge der Errichtung der einzelnen Tragwerksteile abhängig. Daher ist eine Tragwerksbemessung am Gesamtsystem unerlässlich. Die Bodenkennwerte sollten möglichst genau ermittelt werden bzw. muss eine Grenzwertbetrachtung dieser durchgeführt werden.<ref name = "Q4"></ref> 
Zwangsspannungen entstehen durch Temperaturschwankungen, Kriechen und Schwinden, einer Vorspannung und Setzungen. Je größer die Belastung wird, desto mehr Bewehrung ist in Stahlbetonbauteilen nötig bzw. desto höher muss der Vorspanngrad in Spannbetonbauwerken gewählt werden. Die Zwangsschnittgrößen werden außerdem für die Stabilitätsnachweise der Pfeiler benötigt.

==== Temperatureinwirkungen ====
Im Allgemeinen sind Brücken starken Temperaturwechseln im Tages- bzw. Jahresverlauf ausgesetzt. Die Beanspruchungen aus der Temperatur sind bei der Tragwerksbemessung als veränderliche Einwirkungen zu berücksichtigen.
Der direkte Einfluss der Lufttemperatur, der Windverhältnisse und der Sonneneinstrahlung erzeugt im Über- und im Unterbau ein Temperaturprofil, welches sich aus vier Anteilen zusammensetzt.<ref name = "Q4"></ref> 
Konstante Temperaturänderungen führen zu Setzungen in den Widerlagerbereichen und zu Zwangsspannungen und Verformungen im Über- und Unterbau. Durch die Verformungen erfahren die Druckglieder (Pfeiler und Wände) eine Kopfauslenkung und die entstehenden Zwangsschnittgrößen sind bei den Stabilitätsnachweisen zu berücksichtigen. 
Linear verteilte Temperaturänderungen entstehen sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung. Der vertikale Temperaturunterschied wird zur Bemessung des Über- und des Unterbaus benötigt. Die lineare horizontale Temperaturverteilung wird für die Bemessung der Brückenpfeiler oder Brückenwände verwendet. 
Der nichtlinear verteilte Anteil der Temperatureinwirkung muss in Deutschland bei der Bemessung nicht berücksichtigt werden.

==== Schwinden ====
Belastungen infolge des Bauteilschwindens werden sowohl bei der Tragwerksbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit als auch bei der Gebrauchstauglichkeit angesetzt. Neben zusätzlichen Spannungen und Verformungen entstehen Lastexzentrizitäten, die bei den Stabilitätsnachweisen der Druckglieder berücksichtigt werden müssen.<ref name = "Q4"></ref>

==== Interaktion mit dem Boden ====
Die Größe der Zwangsspannungen infolge Temperaturänderungen, de Schwindens und des Kriechens wird von der Steifigkeit des Bodens beeinflusst. Bei der Tragwerksverformung wird in den Widerlagerbereichen der Erddruck (aktiver Erddruck bei einer Verkürzung und passiver Erddruck bei einer Ausdehnung des Tragwerkes) aktiviert. Dieser Erddruck wird bei der Tragwerksbemessung als ständige Einwirkung angesetzt.<ref name = "Q4"></ref>

==== Verringerung der Zwangsschnittgrößen ====
Um die Zwangsspannungen zu verringern, muss sich das Tragwerk verformen können. Durch z.B. das Zulassen eines plastischen Gelenkes lässt sich die Verformbarkeit des Unterbaus erhöhen.<ref name = "Q4"></ref> 
Eine andere Möglichkeit zur Verringerung der Zwangsschnittgrößen ist das Anordnen einer Krümmung im Grund- oder Aufriss. In den Krümmungsbereichen wird das radiale Ausweichen des Bauwerkes ermöglicht. Dadurch entziehen sich der Über- und der Unterbau den Zwangsbeanspruchungen und die Zwangsspannungen verringern sich. Bei der Bemessung der Druckglieder müssen diese Ausweichvorgänge jedoch berücksichtigt werden.<ref name = "Q4"></ref> 
Die Verringerung der Stützweiten bei längeren Brücken reduziert die Zwangsschnittgrößen auch ohne das Anordnen einer Krümmung. Durch die geringere Länge verringern sich die Dehnsteifigkeit und die Zwangsschnittgrößen.<ref name = "Q4"></ref> 
Neben den Zwangsbeanspruchungen, die im Laufe der Lebensdauer des Bauwerks auftreten, entstehen Zwangsspannungen wie bei anderen Betonbauteilen auch schon während der Bauphase. Die entstehenden Spannungen aus dem Abfließen der Hydratationswärme können unter anderem durch Zemente mit niedriger Wärmeentwicklung oder gekühlte Zuschläge und gekühltes Anmachwasser verringert werden. Die entstehenden Schwindspannungen lassen sich durch eine rechtzeitige und ausreichend lange Nachbehandlung begrenzen.

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references/>
 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen

2019-04-03T08:41:10Z

PMarkert:

==Sohlplatten==

=== Allgemeines ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 1.jpeg|300px|thumb|right|Plattenbewegung und Reaktionskräfte in Sohlplatten ]]

Die Sohlplatte ist der untere Gebäudeabschluss und muss die gesamte Bauwerkslast in den Untergrund einleiten. 
Schon bei der Herstellung der Sohlplatte wird diese vom Boden beeinflusst. Durch die Temperaturentwicklung beim [[Abfließen der Hydratationswärme]], beim [[Schwinden | Bauteilschwinden]] und bei Temperaturunterschieden durch die Witterung möchte sich die Sohlplatte verformen, wird aber vom Boden daran gehindert. In Abhängigkeit der Größe und Belastung der Platte und dem Untergrund verändert sich die Größe der Verformungsbehinderung und damit auch die Größe der Zwangsspannungen. Bei einer Sohlplatte mit ebener Unterseite wird die Plattenbewegung nur durch die Reibung auf dem Boden behindert, was zur Ausbildung eines Verformungsnullpunktes in Plattenmitte führt. Durch die Anordnung von Festhaltungen wie z.B. bei tiefergehenden Fundamentabschnitten oder Aufzugschächten, erhöht sich die Verformungsbehinderung, da sich die Sohlplatte nur noch in Richtung des Festpunktes bewegen kann. Es entsteht eine Situation, die dem vollen Zwang gleichkommt. <ref name = "Q1"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkung - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref> 
Steigt die Plattendicke an, erhöhen sich auch die Zwangsspannungen. Durch die Nachgiebigkeit des Untergrundes werden diese in der Platte jedoch wieder reduziert. 
Vereinfacht kann angenommen werden, dass sich die Platte allseitig und gleichmäßig verformt. Somit liegt der Verformungsnullpunkt bzw. der Verformungsruhepunkt in Plattenmitte und die risskritischen Bereiche liegen in seiner Nähe. Tatsächlich existieren jedoch unterschiedliche Bedingungen für die Bewegung der Sohlplatte, welche Interaktionen in Abhängigkeit der Steifigkeitsverhältnisse hervorrufen. 
Bei der Annahme einer elastischen und verschieblichen Verbindung verhalten sich die Sohlplatte und der Untergrund wie ein zusammenwirkendes Verbundsystem. Das bedeutet, dass bei größeren Plattendicken die Nachgiebigkeit des Bodens eine Verringerung der Behinderung und damit auch der zentrischen Zwangsspannungen bewirkt. 
Die zweite Interaktion beschreibt das Gleiten der Sohlplatte auf dem Untergrund mit großen Relativverschiebungen. Hierbei kann sich die Sohlplatte geringerer Dicke durch große Verschiebungen vom Untergrund lösen. Die Platte ist somit nur noch durch die Reibung behindert, eine Verzahnung mit dem Untergrund existiert nicht mehr. 
Ein Grenzfall wird durch die dritte Annahme beschrieben. Bei sehr großen Plattenausdehnungen entstehen in Plattenmitte Bereiche mit vollständiger Dehnungsbehinderung. Das Gleiten der Platte wird hierbei durch die geringen, auftretenden Verschiebungen eingeschränkt.<ref name = "Q1"></ref>

=== Reibungsbeiwert ===
Die Verformung der Sohlplatte wird durch das Aufliegen auf dem Untergrund behindert. Die Größe dieser Behinderung wird durch den Reibungskoeffizienten μF <ref name = "Q1"> </ref> bzw. Reibungsbeiwert μ0 <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> ausgedrückt und ist einerseits von der Flächengröße, der Körnung und der Kohäsion des Bodens und andererseits vom Verschiebungsbetrag und der vertikalen Belastung der Sohlplatte abhängig. Aus dem Reibungsbeiwert und der vertikalen Belastung der Sohlplatte ergibt sich die Scherfestigkeit zu

:: <math> \tau = \sigma_V \cdot \mu_0 </math>.

:::{|
| <math> \tau </math> || Scherfestigkeit
|-
| <math> \sigma_V </math> || vertikale Spannung
|-
| <math> \mu_0 </math> || Reibungsbeiwert
|}

Beim Überschreiten dieser Scherfestigkeit bewegt sich die Sohlplatte und es werden der Bewegung entgegengerichtete Reaktionskräfte in der Fuge zum Untergrund ausgelöst, welche in der Sohlplatte Zwangsspannungen erzeugen. 
Die Größe der rückhaltenden Kräfte kann durch die Auflagerbedingungen beeinflusst werden. In der folgenden Tabelle werden Vorschläge für die Reibungsbeiwerte unterschiedlicher Unterkonstruktionen in Kombination mit verschiedenen Trennlagen angegeben. Es ist zu beachten, dass der Sicherheitsbeiwert der Reibung nach "Weiße Wannen - einfach und sicher" <ref name = "Q3"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref> mit γR = 1,25 und nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> mit γR = 1,35 angegeben ist.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Reibungsbeiwerte <ref name = "Q2"></ref> <ref name = "Q3"></ref> <ref name = "Q4"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|-
!Unterkonstruktion a)
!Trennlage
!Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
|-
|1
|grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung
|keine
|style="text-align: center;" | 1,4 … 2,1 e)
|-
|2
|rowspan="2" | Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m
|style="text-align: center;" | > 1,4
|-
|3
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,9
|-
|4
|rowspan="3" | sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte
|keine
|style="text-align: center;" | 0,9 … 1,1 e)
|-
|5
|Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,0 d), e)
|-
|6
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,5 … 0,7 d), e)
|-
|7
|Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)
|keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)
|style="text-align: center;" | 0,7
|-
|8
|rowspan="2" | Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund
|bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8 d)
|-
|9
|bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,5 d)
|-
|10
|rowspan="6" | Unterbeton abgezogen (makrorau)
|2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
|
|-
|11
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≤ 2,0
|-
|12
|bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m
|style="text-align: center;" | ≤ 1,3
|-
|13
|Bitumenschweißbahn c)
|style="text-align: center;" | 0,35 … 0,7 d), e)
|-
|14
|Dickbitumen c)
|style="text-align: center;" | 0,03 … 0,2 d), e)
|-
|15
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8
|-
|16
|rowspan="7" | Unterbeton mit Flügelglättung
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,4 d), e)
|-
|17
|2 Lagen PE- Folie b)
|style="text-align: center;" | ≤ 0,8
|-
|18
|mit PTFE b) beschichtete Folie
|style="text-align: center;" | 0,2 … 0,5 e)
|-
|19
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,3
|-
|20
|1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
|
|-
|21
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,45
|-
|22
|bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,2
|-
|23
|rowspan="2"| Sicherheitsbeiwert für Reibung h)
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR = 1,35 f)
|-
|24
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR =1,25 g)
|-
|25
|Bemessungswert der Reibung
|colspan="2" style="text-align: center;" |<math> \mu_d = \gamma_R \cdot \mu_0 </math>
|-
|colspan="4" | a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. 

b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen 

c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. 

d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen 

e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. 

f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" <ref name = "Q4"> </ref> 

g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage"<ref name = "Q3"> </ref> 

h) Die Autoren der Fachliteraturquellen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.
|}

 
Durch eine direkte Auflagerung auf dem Boden mit Verzahnung, eine raue Oberfläche des Unterbetons, ungeeignete Folien oder durch schlechten Einbau der Folien (Faltenbildung) entstehen große Reaktionskräfte. Um den Reibungsbeiwert zu vermindern, können geeignete Folien zur Trennung des Frischbetons vom Untergrund eingesetzt werden. Durch eine Beschichtung der Folien kann der Reibungsbeiwert weiter vermindert werden. Bei der Verwendung von bituminösen Schweißbahnen ist zu beachten, dass sich bei abnehmender Temperatur der Trennlage die Reibung erhöht. 
Eine weitere Möglichkeit die Reibung zwischen Sohlplatte und Boden zu verringern, ist die Möglichkeit der Gleitlagerung. Hierbei wird ein Luftpolster zwischen zwei Folien mit einer Zwischenlage aus Vlies hergestellt, welches die Eigenmasse der Sohlplatte kompensiert und die Interaktion zwischen der Sohlplatte und dem Boden während der Herstellung entkoppelt. Für die Luftlagerung wird ein Luftdruck von ca. 0,024bar pro 1cm Plattendicke benötigt, der nach dem Abfließen der Hydratationswärme wieder abgelassen werden kann.<ref name = "Q1"></ref> 

=== Entstehung von Zwangsspannungen ===
Die Zwangsbeanspruchungen in der Sohlplatte entstehen unter anderem durch das Abkühlen während des Abfließens der Hydratationswärme und des Schwindens des Betons. Zusätzlich dazu können aufgrund ungleichmäßiger Temperaturverteilungen im Bauteilquerschnitt oder der Interaktion mit dem Untergrund Biegemomente in der Platte entstehen. Bei dünneren Platten kann es infolge einseitiger Temperaturbeanspruchung durch die Lufttemperatur oder die Sonneneinstrahlung zur Aufwölbung der Plattenränder kommen. Bei größeren Plattendicken ist dies aufgrund des hohen Eigengewichtes nicht möglich, jedoch führen derartige Momentenbeanspruchungen zu zusätzlichen Zugspannungen.<ref name = "Q1"></ref> 
Zunächst entstehen in der Platte Eigen- und Zugspannungen infolge des Abkühlens oder des Austrocknens des Bauteils. Das Biegemoment entwickelt sich aufgrund der Temperaturverteilung im Querschnitt später und erreicht sein Maximum zeitlich nach dem der Zugspannungen. Mit zunehmender Bauteildicke steigt der Einfluss der Momentenbeanspruchung auf die Spannungsverteilung und das Rissbild an. Dies führt zu Biegerissen an der Plattenoberseite, gleichzeitig wird die Gefahr der Trennrissbildung herabgesetzt. Die zur Trennrissbildung nötigen Zwangsspannungen müssten im Querschnitt sehr große Zugspannungen erzeugen, was nur bei sehr steifen Untergründen z.B. Fels der Fall wäre.<ref name = "Q1"></ref> 
Durch das Betonieren in mehreren Arbeitsschritten bei großen Plattenabmessungen entstehen an den Arbeitsfugen zusätzliche Zwangsbeanspruchungen. Durch die höhere Steifigkeit des vorher betonierten Abschnittes wird die Verformung des später betonierten Abschnittes eingeschränkt bzw. ist eine Verformung des „jüngeren“ Abschnittes nur noch in Richtung des „älteren“ Abschnittes möglich.<ref name = "Q1"></ref>

=== Rissbildung ===
Im Allgemeinen ist die Gefahr der Rissbildung in Sohlplatten geringer als in Wänden und sinkt mit steigender Plattendicke weiter ab. Trotzdem bilden sich in der Platte bei ungünstigen Bedingungen und großen Belastungen Risse aus.<ref name = "Q1"></ref> 
Wird die Verformung nur durch die Reibung auf dem Untergrund behindert, ordnen sich die Risse um den entstehenden Verformungsnullpunkt an. Bei zunehmender Beanspruchung und dem Auftreten eines Biegemomentes orientieren sich die weiteren Risse zum Bauteilrand hin. 
Schränkt ein Festpunkt die Bewegungen der Sohlplatte ein, entsteht der erste Riss in Plattenmitte. Nehmen die Beanspruchungen zu, richten sich weitere Risse zum Plattenrand hin aus. 
Häufig treten Risse auch an Arbeitsfugen von Sohlplatten auf, wenn diese in mehreren Abschnitten betoniert werden. Durch den Verbund von „älterem“ und „jüngerem“ Beton ist die Zugfestigkeit in diesem Bereich geringer als im restlichen Bauteil. 
Beeinflusst wird die Rissbildung durch die entstehenden Spannungen und Dehnungen zum Beispiel infolge der Temperaturentwicklung während des Abfließens der Hydratationswärme und dem Schwinden. Weiterhin nehmen der Untergrund, über den Reibungsbeiwert, und die reibungswirksame Plattenlänge, bestimmt über die Anordnung von Fugen oder Festpunkten, Einfluss auf die Entstehung der Zwangsbeanspruchungen und der Risse.<ref name = "Q1"></ref> 
Um die Rissbreiten in der Sohlplatte zu begrenzen, muss nach DIN EN 1992-1-1 <ref name = "Q5"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> eine [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung | Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung]] angeordnet werden.

=== Maßnahmen zur Verringerung der Zwangsbeanspruchungen ===
Wird eine Bewegung auf dem Untergrund ermöglicht, verringern sich die Zwangsbeanspruchungen in der Sohlplatte. Durch den Einbau von geeigneten Unterkonstruktionen und Trennlagen lässt sich der Reibungsbeiwert verringern. Weiterhin sollte die Platte nicht durch Festpunkte, z.B. Aufzugschächte oder Fundamentvertiefungen, in ihrer Bewegung eingeschränkt werden.<ref name = "Q4"></ref> 
Trotz dieser Maßnahmen ist die Wahrscheinlichkeit der Rissbildung noch immer vorhanden. Durch das Einbringen einer Vorspannung, welche den Beanspruchungen aus Last und Zwang entgegenwirkt, kann diese Wahrscheinlichkeit weiter verringert werden.<ref name = "Q1"></ref>

==Wände==
=== Allgemeines ===
Meistens werden die Wände eines Bauwerkes auf die bestehende Sohlplatte bzw. das bestehende Fundament in einem zweiten Arbeitsschritt betoniert. Durch die Rauigkeit der Verbundfuge und die durchgehenden Bewehrung entsteht eine schubfeste Verbindung der beiden Bauteile.

=== Behinderungsgrad ===
Durch diese schubfeste Verbindung werden Verformungen behindert und es kann ein Behinderungsgrad definiert werden. Bei einer nur am Fuß aufgelagerten, freistehenden Wand nimmt die Verformungsbehinderung und damit auch der Behinderungsgrad über die Wandhöhe ab, sodass von einem äußeren (am Wandfuß auftretenden) und einem inneren (sich über die Wandhöhe verringernden) Behinderungsgrad gesprochen wird. Da der äußere Behinderungsgrad von den Steifigkeiten des behindernden und des behinderten Bauteils abhängig ist, verringert er sich mit dem Anwachsen des Elastizitätsmoduls und damit der Steifigkeit bei der Erhärtung des behinderten Bauteils. Der innere Behinderungsgrad verändert sich bei einer freistehenden Wand über die Wandhöhe und wird durch die äußere Behinderung beeinflusst. 
In wie weit sich der innere Behinderungsgrad über die Wandhöhe ändert, hängt von dem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H ab. Bei einem kürzeren Wandabschnitt, also einem kleinen Verhältnis L/H, steigt der innere Behinderungsgrad bis zur Wandmitte parabelförmig an und fällt danach bis zum Ende des Wandabschnittes wieder ab. In Wandmitte ist die freie Verformung des Wandkopfes am geringsten, daher der größere Behinderungsgrad. An den freien Rändern des Wandkopfes kann sich eine relativ große Verformung einstellen, sodass hier der Behinderungsgrad einen kleinen Wert annimmt. Bei einem größeren Verhältnis L/H weitet sich der Bereich mit dem größeren inneren Behinderungsgrad über die Wand aus.<ref name = "Q1"></ref>

=== Spannungsentstehung ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 3.jpeg|300px|thumb|right|Spannungsverteilung in einer Wand<ref name = "Q3"></ref>]]

Treten nun Beanspruchungen wie das Abkühlen des Bauteils infolge des Abfließens der Hydratationswärme oder das Bauteilschwinden auf, führt die Verformungsbehinderung an der Verbundfuge zu Zwangsbeanspruchungen. In der Wand entstehen Zwangszugspannungen, die in der Sohlplatte Druckspannungen erzeugen. Am Wandfuß erreichen die Zugspannungen ihr Maximum und nehmen über die Wandhöhe aufgrund des verringerten Behinderungsgrades ab. Die Größe der Zugspannung am Wandkopf hängt genau wie der innere Behinderungsgrad von dem Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe L/H ab.<ref name = "Q3"></ref> 
Mit steigendem Verhältnis L/H nehmen auch die Zwangsspannungen am Wandkopf zu. Ab einem Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe von L/H > 10 verringern sich sowohl der innere Behinderungsgrad als auch die Zugspannungen über die Wandhöhe nicht mehr.<ref name = "Q2"></ref> 
Beim theoretischen Ansatz einer steifen Sohlplatte werden neben den horizontalen Kräften, die in der Verbundfuge entstehen, auch vertikale Kräfte mobilisiert, die eine Verkrümmung der Wand verhindern. Zusätzlich zu den vertikalen entstehen hierbei horizontale Trennrisse im Bereich der Arbeitsfuge. Da die Sohlplatte in der Praxis jedoch eine geringere Steifigkeit hat, verringern sich die horizontalen und die vertikalen Spannungen. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit der Entstehung von horizontalen Rissen geringer und die Rissbreite der vertikalen Trennrisse nimmt ab.<ref name = "Q1"></ref>

=== Rissbildung ===
Durch den Verbund mit der Sohlplatte kann es in der Wand nur dann zur Rissbildung kommen, wenn auch in der Sohlplatte Risse entstehen. Da die Zugfestigkeit und der Elastizitätsmodul der Sohlplatte beim nachträglichen Betonieren der Wand jedoch höher sind, entstehen zunächst Anrisse am Wandfuß bis in ungefähr einem Viertel der Wandhöhe. Aufgrund des Verbundes mit der Sohlplatte weisen diese Anrisse nur eine geringe Breite auf und gelten als unbedenklich.<ref name = "Q2"></ref> 
Durch das Ansteigen des Verhältnisses L/H breitet sich über der gesamten Wand ein rissgefährdeter Bereich aus. Wird die Zugfestigkeit des Betons überschritten, bildet sich zuerst ein Trennriss in Wandmitte aus, der bei L/H > 8 und einer vollständigen Krümmungsbehinderung (schlanke, niedrige Wand auf einer Sohlplatte mit großer Steifigkeit und großen Abmessungen) über die gesamte Wandhöhe verläuft. Bei einem ausgeglichenen Verhältnis der Steifigkeiten zwischen Wand und Sohlplatte verringert sich die Länge der Risse auf ungefähr zwei Drittel der Wandhöhe. Kehrt sich das Steifigkeitsverhältnis um, hat man also eine sehr dünne oder nachgiebige Sohlplatte, verlaufen die Risse nur noch im unteren Bereich der Wand.<ref name = "Q1"></ref> 
Der erste Trennriss teilt die Wand in zwei Abschnitte mit einem geringeren Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H. Die Rissbildung verringert die Bauteilsteifigkeit, trotzdem können bei weiterer Überschreitung der Bruchdehnung oder der Zugfestigkeit des Betons erneut Risse entstehen. Das typische Rissbild der Wand stellt sich ein, wenn sich das Bauteil an der Sohle nicht und am Kopf nur in geringem Maße verformen kann. In Wandmitte sind die Risse am längsten und zum Rand der Wand werden sie kürzer und neigen sich nach außen. Vergrößert sich das Verhältnis L/H oder existiert eine seitliche Verformungsbehinderung der Wand, verlaufen die Risse weniger stark geneigt.<ref name = "Q1"></ref> 
Durch die Anordnungen von Öffnungen oder Querschnittsänderungen, an denen Spannungskonzentrationen auftreten, wird das Rissbild zusätzlich beeinflusst.

=== Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 2.jpeg|300px|thumb|right|Unterteilung der Wand in Bereiche für die Abstufung der rissbreitenbegrenzenden Mindestbewehrung<ref name = "Q1"> </ref> ]]

Über das Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe L/H lässt sich die Länge der Risse beeinflussen. Bei geringem Verhältnis L/H verlaufen die Risse mit großer Wahrscheinlichkeit nicht vom Wandfuß bis zur Wandkrone durch, sodass die Bewehrung über die Wandhöhe abgestuft eingelegt werden kann. 
Zusätzlich zu dieser Abhängigkeit kann eine Wand in drei Bereiche schematisch nach dem nebenstehenden Bild eingeteilt werden. Die Einteilung in die unterschiedlichen Bereiche erfolgt über das jeweilige Dehnungsverhalten infolge der Zwangsbeanspruchung.<ref name = "Q1"> </ref> 
Durch die schubfeste Verbindung entstehen im Bereich des Wandfußes zunächst Anrisse mit geringer Breite, die sich gleichmäßig über die Wandlänge verteilen. Das Einlegen einer verringerten Mindestbewehrung ist in diesem Bereich ausreichend. 
Zwischen dem Wandfuß und dem Wandkopf bildet sich ein Bereich aus, der durch die maximale Zwangsspannung beansprucht wird (dargestellt durch Bereich 1). Dieser Bereich orientiert sich am Verlauf des inneren Behinderungsgrades über die Wandlänge. Vereinfacht kann ein Trapez oder Dreieck bis zu einer Höhe von ungefähr 0,1∙L zugrunde gelegt werden. Die hier entstehenden maximalen Rissbreiten müssen durch die Mindestbewehrung begrenzt werden. 
Wird eine Wand durch andere vorher betonierte Wände behindert, treten in der betrachteten Wand zusätzliche Zwangsbeanspruchungen auf und der Bereich 1 erweitert sich um den Bereich 2. 
Da bei einem geringen Verhältnis L/H der Behinderungsgrad über die Wandhöhe abnimmt und die Zwangsspannungen am Wandkopf gegen Null gehen, reicht im Bereich 3 eine verringerte Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung aus. 
Bei der Ermittlung der Mindestbewehrung noch der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q5"></ref> wird eine Beanspruchung durch zentrischen Zwang oder Biegung und der volle Behinderungsgrad über die gesamte Wandhöhe angenommen. Dies führt zu einer Überbemessung der Bewehrung.<ref name = "Q1"></ref>

==Decken==
Neben Sohlplatten und Wänden können auch in Deckenplatten wesentliche Zwangsbeanspruchungen auftreten. 
Decken mit geringer Bauteildicke werden hauptsächlich durch das Schwinden und Temperaturänderungen im Tages- oder Jahresverlauf beansprucht. Erst bei größeren Bauteildicken treten auch Beanspruchungen aus dem Abfließen der Hydratationswärme auf, die nicht zu vernachlässigen sind. 
Die entstehenden Zwangskräfte sind durch die Anordnung der Festpunkte, also Treppenhauskerne, Stützen und aussteifende Wände und die Anordnung der Arbeitsfugen beeinflussbar. In Geschossdecken, die durch Festpunkte an ihrer Verformungsmöglichkeit gehindert werden, treten vorwiegend zentrische Zwangsspannungen auf. Außermittige Zwänge treten zusätzlich in großflächigen Deckenplatten auf, wenn diese mit anderen Baukörpern verbunden sind. 
In den Ecken der Deckenkonstruktion kann es zu besonders hohen Spannungskonzentrationen kommen, wenn die Deckenplatte allseitig gezwängt bzw. allseitig eingespannt ist. Dies kann zu einer schrägen Rissbildung führen, die die Ecke vom Rest der Platte abtrennt.<ref name = "Q1"> </ref> 
Die Größe der Zwangskräfte nimmt vom Plattenrand zu den Festpunkten zu. An Arbeitsfugen bilden sich zuerst Risse aus, da die Zugfestigkeit zwischen dem "alten" und dem "neuen" Beton im Allgemeinen geringer ist, als im Bauteil selbst.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Schwinden

2019-04-03T08:40:55Z

PMarkert:

== chemisches Schwinden ==
Infolge des [[Abfließen der Hydratationswärme#Ablauf der Hydratation | Hydratationsprozesses]] werden Teile des Anmachwassers chemisch gebunden. Die daraus entstehenden Hydrate weisen ein geringeres Volumen als die verwendeten Ausgangsstoffe auf. Den Vorgang der Volumenverringerung, welcher die Hydratation vom Anfang bis zum Ende begleitet, bezeichnet man als chemisches Schwinden. Durch einen Feuchteentzug infolge Austrocknen oder dem Fortschreiten der Hydratation kann das chemische Schwinden unterbrochen werden. Trocknet das Bauteilinnere nahezu vollständig aus, entsteht ein Hydratationssog, der bei ausreichender Nachbehandlung Wasser in die Poren zieht. In den Randbereichen des Bauteils kommt der Hydratationsvorgang somit nicht zum Erliegen. 
Im plastischen Zustand des Betons treten keine Spannungen infolge der Verformungen auf. Erst mit Zunahme der Steifigkeit nehmen die Verformungsfähigkeit und das Schwindmaß ab. Ab diesem Zeitpunkt werden die Schwindverformungen des chemischen Schwindens als autogenes Schwinden bezeichnet.<ref name = "Q1"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkung - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref>

== autogenes Schwinden ==
Zunächst verlaufen das autogene und das chemische Schwinden parallel ab. Mit zunehmender Steifigkeit wird den Verformungen ein Widerstand entgegengesetzt, der Spannungen hervorrufen kann. Ab diesem Zeitpunkt wird das Schwinden als autogenes Schwinden bezeichnet. 
Durch eine fortschreitende Hydratation trocknet das Bauteilinnere aus und es entstehen Kapillarspannungen im Porensystem des Betons. Durch die zunehmende Steifigkeit des Gefüges sind keine Verformungen mehr möglich, was zur Entstehung von Spannungen und Mikrorissen an den Kontaktflächen der Gesteinskörnung oder der Bewehrung führt. Diese Mikrorisse können Ausgangspunkte für eine spätere Rissbildung sein oder sich an Trennrissen beteiligen. 
Da das autogene Schwinden in Kombination mit der Hydratation stattfindet, entwickelt sich im Querschnitt kein Feuchteprofil und somit entstehen nur zentrische Zwangsspannungen. Sollte jedoch schon ein Feuchtigkeitsprofil im Querschnitt vorhanden sein, können auch [[Eigenspannungen]] auftreten.<ref name = "Q1"></ref> 
Das autogene Schwinden tritt nur in Verbindung mit der Hydratation auf, sodass es in den ersten Wochen nach dem Betonieren berücksichtigt werden muss. Durch diesen langen Zeitraum ist eine Überlagerung von autogenem Schwinden und dem Trocknungsschwinden nicht auszuschließen.<ref name = "Q1"></ref>

== Trocknungsschwinden ==
Durch den Feuchtigkeitsausgleich zwischen dem Porenraum und der Luft verdunstet im Bauteil nicht chemisch gebundenes Wasser an der Bauteiloberfläche. Das Fehlen des Wassers bewirkt eine Volumenverringerung des Zementsteines. Bei einer Verformungsbehinderung durch z.B. die Gesteinskörnung oder den Bewehrungsstahl entstehen Kapillarkräfte in den Poren. Infolge der Ausbildung eines Feuchtigkeitsprofils im Bauteilquerschnitt entstehen sowohl zentrische Zwangs- als auch Eigenspannungen. Die auftretenden Spannungen werden teilweise durch die Relaxation abgemindert. In Sohlplatten können zusätzlich Biegemomente infolge einer Aufwölbung entstehen. 
Da der Feuchtigkeitsausgleich zwischen der Umgebung und dem Bauteil unvermeidbar ist, beeinflusst eine Nachbehandlung nur den Beginn und den Verlauf des Trocknungsschwindens.<ref name = "Q1"></ref> Das hieraus resultierende Schwindmaß wird durch den zeitlichen Verlauf der Austrocknung des Bauteils bestimmt und ist damit abhängig von der relativen Luftfeuchte, der Temperatur und dem Verhältnis der Fläche zum Umfang des Bauteils. Bei großen Bauteildicken wird die Ausgleichsfeuchte und das Endschwindmaß erst nach mehreren Jahren erreicht. 
Das autogene Schwinden und das Trocknungsschwinden treten meisten zeitlich versetzt auf, bei frühzeitigem Austrocknen der Bauteiloberfläche können sie sich jedoch auch überlagern.<ref name = "Q1"></ref>

== Gesamtschwindmaß ==
Das Gesamtschwindmaß setzt sich nach DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q2"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> aus den Anteilen des autogenen Schwindens und des Trocknungsschwindens zusammen.

:: <math> \epsilon_{cs} = \epsilon_{cd} + \epsilon_{ca} </math>
:::{|
| <math> \epsilon_{cs} </math> || Gesamtschwinddehnung
|-
| <math> \epsilon_{cd} </math> || Trocknungsschwinddehnung des Betons
|-
| <math> \epsilon_{ca} </math> || autogene Schwinddehnung
|}

In Abhängigkeit der Zeit ergibt sich die Trocknungsschwinddehnung zu

:: <math> \epsilon_{cd}(t) = \beta_{ds}(t,t_s) \cdot k_h \cdot \epsilon_{cd,0} </math>.

:::{|
| <math> k_h </math> || Faktor, der von der wirksamen Querschnittsdicke h0 abhängig ist
|-
| <math> \epsilon_{cd,0} </math> || Grundwert der unbehinderten Trocknungsschwinddehnung
|}

Der Grundwert der unbehinderten Trocknungsschwinddehnung lässt sich aus der folgenden Tabelle ablesen oder mit der Formel im Anhang B.2 der DIN EN 1992-1-1 ermitteln.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grundwert der unbehinderten Trocknungsschwinddehnung εcd,0 [%] CEM Klasse N nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |6
|style="text-align: center;" |7
|-
!rowspan="2"|fck/fck,cube
[N/mm2]
!colspan="6"|relative Luftfeuchte [%]
|-
!rowspan="1"|20
!rowspan="1"|40
!rowspan="1"|60
!rowspan="1"|80
!rowspan="1"|90
!rowspan="1"|100
|-
|1
!20/25
|style="text-align: center;" |0,62
|style="text-align: center;" |0,58
|style="text-align: center;" |0,49
|style="text-align: center;" |0,30
|style="text-align: center;" |0,17
|rowspan ="5" style="text-align: center;" |0
|-
|2
!40/50
|style="text-align: center;" |0,48
|style="text-align: center;" |0,46
|style="text-align: center;" |0,38
|style="text-align: center;" |0,24
|style="text-align: center;" |0,13
|-
|3
!60/75
|style="text-align: center;" |0,38
|style="text-align: center;" |0,36
|style="text-align: center;" |0,30
|style="text-align: center;" |0,19
|style="text-align: center;" |0,10
|-
|4
!80/95
|style="text-align: center;" |0,30
|style="text-align: center;" |0,28
|style="text-align: center;" |0,24
|style="text-align: center;" |0,15
|style="text-align: center;" |0,08
|-
|5
!90/105
|style="text-align: center;" |0,27
|style="text-align: center;" |0,25
|style="text-align: center;" |0,21
|style="text-align: center;" |0,13
|style="text-align: center;" |0,07
|-
|colspan="8" | Anmerkung: Weitere Grundwerte für die unbehinderte Trocknungsschwinddehnung εcd,0 sind für die Zementklassen S, N, R und die Luftfeuchten RH = 40% bis RH = 90% im Anhang B der DIN EN 1992-1-1 als Tabellen NA B.1 bis NA B.3 ergänzt.
|}

:: <math> \epsilon_{cd,0} = 0,85 \cdot [(220 + 110 \cdot \alpha_{ds1}) \cdot exp(- \alpha_{ds2} \cdot \cfrac{f_{cm}}{f_{cmo}})] \cdot 10^{-6} \cdot \beta_{RH} </math>

:::{|
| <math> \alpha_{ds1} </math> || ein Beiwert zur Berücksichtigung der Zementart
|-
| || αds1 = 3 für Zemente der Klasse S
|-
| || αds1 = 4 für Zemente der Klasse N
|-
| || αds1 = 6 für Zemente der Klasse R
|-
| <math> \alpha_{ds2} </math> || ein Beiwert zur Berücksichtigung der Zementart
|-
| || αds2 = 0,13 für Zemente der Klasse S
|-
| || αds2 = 0,12 für Zemente der Klasse N
|-
| || αds2 = 0,11 für Zemente der Klasse R
|-
| <math> f_{cm} </math> || mittlere Zylinderdruckfestigkeit des Betons
|-
| <math> f_{cmo} </math> || = 10 N/mm2
|}

:: <math> \beta_{RH} = 1,55 \cdot [1 - (\cfrac{RH}{RH_0})^3] </math>

:::{|
| <math> RH </math> || relative Luftfeuchte der Umgebung
|-
| <math> RH_0 </math> || = 100 %
|}

Für den Faktor kh sind in Abhängigkeit der wirksamen Querschnittsdicke h0 in der nachfolgenden Tabelle aus der DIN EN 1992-1-1 Werte vorgegeben.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kh
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!h0 [mm]
!kh
|-
|1
|style="text-align: center;" |100
|style="text-align: center;" |1,0
|-
|2
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|3
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |0,75
|-
|4
|style="text-align: center;" |≥ 500
|style="text-align: center;" |0,70
|}

Der Beiwert βds (t,ts) ermittelt sich nach folgender Formel.

:: <math> \beta_{ds}(t,t_s) = \cfrac{(t-t_s)}{(t-t_s) + 0,04 \sqrt{h_0^3}} </math>

:::{|
| <math> t </math> || Alter des Betons in Tagen zum betrachteten Zeitpunkt
|-
| <math> t_s </math> || Alter des Betons in Tagen zu Beginn des Trocknungsschwindens. Normalerweise das Alter am Ende der Nachbehandlung.
|-
| <math> h_0 </math> || wirksame Querschnittsdicke in Millimeter
|}

Die wirksame Querschnittsdicke ergibt sich zu

::<math> h_0 = \cfrac{2 \cdot A_c}{u} </math>.

:::{|
| <math> A_c </math> || Betonquerschnittsfläche
|-
| <math> u </math> || Umfangslänge der dem Trocknen ausgesetzten Querschnittsfläche
|}

Die autogene Schwinddehnung lässt sich nach folgender Formel ermitteln.

:: <math> \epsilon_{ca}(t) = \beta_{as}(t) \cdot \epsilon_{ca}(\infty) </math>

:::{|
| || <math> \beta_{as}(t) = 1 - e^{-0,2 \cdot \sqrt{t}} </math> mit t in Tagen
|-
| <math> \epsilon_{ca}(\infty) </math> || Endwert der autogenen Schwinddehnung
|-
| || <math> \epsilon_{ca}(\infty) = 2,5 \cdot (f_{ck} - 10) \cdot 10^{-6} </math>
|}

In Abhängigkeit der Betonzusammensetzung treten das autogene Schwinden und das Trocknungsschwinden in unterschiedlicher Größe auf. Aufgrund des geringeren Wasserzementwertes in hochfesten Betonen sind die Auswirkungen des autogenen Schwindens größer. Bei Normalbetonen hat das Trocknungsschwinden, aufgrund des höheren Wasserzementwertes jedoch einen größeren Einfluss.<ref name = "Q1"></ref>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Eigenspannungen

2019-04-03T08:40:44Z

PMarkert:

== Allgemeines ==
Eigenspannungen entstehen immer dann, wenn sich über den Querschnitt verteilt unterschiedliche Dehnungen einstellen. 
Charakteristisch für diese Art der Spannungen ist, dass sich ihre Summe über den Querschnitt immer zu Null ergibt. Zusätzlich dazu werden weder Schnittkräfte erzeugt noch Auflagerreaktionen angrenzender Bauteile hervorgerufen. Außerdem entwickeln sich Eigenspannungen unabhängig vom statischen System und der Bauteillagerung.<ref name = "Q1"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009</ref>

== Beispiele ==
[[Datei:Eigenspannungen 1.jpeg|300px|thumb|right|Spannungsverlauf beim Biegen eines Bewehrungsstahles<ref name = "Q2"> Avak, R.; Conchon, R.; Aldejohann, M.: Stahlbetonbau in Beispielen Teil 1. Grundlagen der Stahlbetonbaubemessung. Bemessung von Stabtragwerken nach EC 2. 7., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Köln 2016</ref> ]]

Im Stahlbetonbau werden Eigenspannungen beispielsweise beim Biegen eines Bewehrungsstahles oder bei Zwangsbeanspruchungen berücksichtigt. 
Wird ein Bewehrungsstahl gebogen, dehnt sich der Querschnitt unterschiedlich stark und beginnt in Teilbereichen zu fließen. Die Eigenspannungen entstehen nach dem Biegen durch die eingeprägte Verformung. Damit der Stahl nicht bis zu seiner Bruchdehnung plastiziert, muss der Biegerollendurchmesser begrenzt werden.<ref name = "Q2"></ref> 
Bei den Zwangsbeanspruchungen treten Eigenspannungen nur als Resultat des [[Zwangsarten#Unterscheidung in inneren und äußeren Zwang | inneren Zwangs]] auf. Der hierbei entstehende nichtlineare Spannungsanteil wird durch die unterschiedliche Temperatur- bzw. Feuchtigkeitsverteilung über den Querschnitt infolge des [[Abfließen der Hydratationswärme | Abfließens der Hydratationswärme]] bzw. des [[Schwinden | Schwindens]] erzeugt. 
Im [[Zwang - Bauweisen mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen#Spannbetonbauweise | Spannbetonbau]] stellt sich ein Eigenspannungszustand durch das Einbringen der Vorspannung in den Spannstahl ein. Das Spannglied wird durch eine Zugkraft belastet, wodurch in den Betonquerschnitt eine Druckkraft eingeleitet wird.<ref name = "Q3"> Prof. Dr. W. Kaufmann: Vorlesung Stahlbeton II. Vorspannkonzepte. ETH Zürich 2017 </ref>

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references/>
 

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[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Abfließen der Hydratationswärme

2019-04-03T08:40:29Z

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== Allgemeines ==
Die ersten Zwangsbeanspruchungen entstehen durch das Abfließen der Hydratationswärme. Dadurch entstehen im Bauteil Zugbeanspruchungen und bei größeren Bauteildicken zusätzlich [[Eigenspannungen]] aufgrund einer Temperaturdifferenz im Bauteilquerschnitt.

==Ablauf der Hydratation ==
Nach dem Betoniervorgang beginnt der Beton über mehrere Stunden zu erstarren. Während dieser Zeit setzt die Hydratation ein. Ein Teil des sich im Zementleim befindenden Wassers wird im Zement chemisch gebunden und es entsteht Zementstein. Im Beton steigt während dieses Vorgangs zunächst die Temperatur an. Gleichzeitig wird das Bauteil über seine Oberfläche abgekühlt. Der Temperaturanstieg im Bauteil kommt zum Erliegen, wenn über die Bauteiloberfläche mehr Wärme an die Umgebung abgegeben wird, als sich im Bauteil entwickelt. Im weiteren Verlauf kühlt sich das Bauteil ab, was als das Abfließen der Hydratationswärme bezeichnet wird. 
Während des Erstarrens des Betons entwickeln sich seine mechanischen Eigenschaften, abhängig unter anderem von der Zementart, dem Wasserzementwert und der Temperaturentwicklung. Sobald diese in ausreichender Größe vorhanden sind, beginnt die Erhärtung des Betons und das Bauteil kann belastet werden. <ref name = "Q1"> Röhling, S.: Zwangsspannungen infolge Hydratationswärme. Düsseldorf 2005 </ref> 

== Entstehung der Zwangsspannungen ==
[[Datei:Abfliessen der Hydratationswaerme 1.jpeg|200px|thumb|right|Entwicklung der Temperatur und der Spannungen beim Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkung - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref>]]

Der Temperaturanstieg im Bauteil führt zu Verformungen im jungen Beton. Erst wenn der sich entwickelnde Elastizitätsmodul eine Größe erreicht, die den Verformungen einen Widerstand entgegensetzt, entstehen Spannungen. Ab der 1. Nullspannungstemperatur, im nebenstehenden Bild bei der Erhärtungszeit t = 0 Stunden, entstehen im Bauteilkern Druck- und am Bauteilrand Zugspannungen infolge der Temperaturdifferenz. Durch die Relaxation des jungen Betons, welche bei konstanter Dehnung einen Rückgang der Spannungen zur Folge hat, werden die Druckspannungen begrenzt. Übersteigt die Temperaturdifferenz zwischen Bauteilkern und Bauteilrand den Wert ΔT ≥ 15 K, ist die Bildung von Oberflächen- und Schalenrissen wahrscheinlich. Um die Rissbildung zu begrenzen, sollte sich die Betonzugfestigkeit am Bauteilrand mit mindestens gleicher Geschwindigkeit wie die Zugspannungen entwickeln. Durch das Anbringen einer Dämmung kann die Temperaturdifferenz im Bauteilquerschnitt verringert werden, jedoch steigen dadurch die maximale Bauteiltemperatur und damit auch die zentrischen Zwangsspannungen an. 
Das Temperaturmaximum wird bei normalen Umgebungsbedingungen (Verwendung einer Holzschalung, kein Wind, mäßige Außentemperaturen) nach ungefähr 1 bis 2 Tagen erreicht, abhängig von der Zementart und der Bauteildicke. Bei dickeren Bauteilen sowie bei langsam erhärtenden Zementen wird die maximale Bauteiltemperatur später erreicht, als bei dünneren Bauteilen oder schnell erhärtenden Zementen. Mit zunehmender Bauteildicke erreicht die Temperatur im Bauteilkern außerdem zum Teil deutlich höhere Werte.<ref name = "Q2"></ref> 
Danach fällt die Temperatur im Bauteilkern um ca. 5 bis 10 K pro Tag ab, wodurch zunächst die Druckspannungen im Bauteilkern und die Zugspannungen am Bauteilrand abgebaut werden. Durch die entstehende Temperaturdifferenz nach dem Unterschreiten der 2. Nullspannungstemperatur bauen sich im Bauteil Zwangszugspannungen auf. Diese zwangsspannungswirksame Temperaturdifferenz wird von der 2. Nullspannungstemperatur bis zum Erreichen der Ausgleichstemperatur bestimmt. Da sich die 2. Nullspannungstemperatur im Bauteil jedoch nicht messen lässt, wird diese über die maximale Bauteiltemperatur mit
:: <math> T_{N2} = 0,95 \cdot T_{max} </math>

:::{|
| <math> T_{N2} </math> || 2. Nullspannungstemperatur
|-
| <math> T_{max} </math> || maximale Bauteiltemperatur
|}

angenähert. Die zwangsspannungsrelevante Temperaturdifferenz ergibt sich damit zu
:: <math> \Delta T_N = 0,95 \cdot T_{max} - T_U </math>.

:::{|
| <math> \Delta T_N </math> || zwangsspannungsrelevante Temperaturdifferenz
|-
| <math> T_U </math> || Umgebungstemperatur
|}

Unter Berücksichtigung wesentlicher Einflüsse, wie der Schalungsart, der Zementart, des Zementgehaltes und der Bauteildicke, auf die Entwicklung der Temperatur werden die entstehenden Temperaturdifferenzen in Tabellen aufgelistet. Siehe hierzu ein Beispiel aus Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau.<ref name = "Q2"> </ref>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zwangsspannungswirksame Temperaturdifferenz [K]
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="4"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |6
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |9
|-
!rowspan="3"|Bauteildicke h [m]
!colspan="4"|Stahlschalung
!colspan="4"|Holzschalung
|-
!colspan="4"|Zementgehalt z [kg/m3]
!colspan="4"|Zementgehalt z [kg/m3]
|-
!220
!290
!360
!400
!220
!290
!360
!400
|-
|1
|style="text-align: center;" |0,30
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |16
|style="text-align: center;" |19
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |19
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center;" |32
|-
|2
|style="text-align: center;" |0,50
|style="text-align: center;" |19
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |31
|style="text-align: center;" |37
|style="text-align: center;" |41
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,70
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center;" |31
|style="text-align: center;" |37
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |28
|style="text-align: center;" |36
|style="text-align: center;" |44
|style="text-align: center;" |48
|-
|4
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center;" |38
|style="text-align: center;" |46
|style="text-align: center;" |50
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |50
|style="text-align: center;" |55
|}
 
Auch die entstehenden Zugspannungen werden durch die Relaxation abgebaut, jedoch nur in geringem Maße. Je größer der Einfluss der Relaxation auf die Druckspannungen ist, desto geringer wirkt die Relaxation auf die Entstehung der Zugspannungen. <ref name = "Q2"> </ref> 
Sobald die Zugspannungen größer als die zu diesem Zeitpunkt im Beton entstandene Zugfestigkeit sind, entstehen im Bauteil Trennrisse. Dies ist bei der im obigen Bild dargestellten kritischen Temperaturdifferenz der Fall. Um die Rissbildung zu begrenzen, muss sich die Zugfestigkeit des Betons mit mindestens gleicher Geschwindigkeit entwickeln, wie sich das Bauteil abkühlt. <ref name = "Q2"> </ref>

== Beeinflussung der entstehenden Spannungen ==
Die entstehenden Zugspannungen werden durch die maximale Bauteiltemperatur und die Geschwindigkeit, mit der die Hydratationswärme abfließt, beeinflusst. Die maximale Bauteiltemperatur lässt sich durch die Art und Menge des Zementes, der Bauteildicke und dem Wärmeübergangswiderstand an den Bauteilrändern bestimmen. Zum Beispiel bedeutet ein größerer Zementgehalt eine höhere Temperaturentwicklung infolge der Hydratationswärme und damit größere Zugspannungen und ein erhöhtes Rissrisiko. Gleichzeitig wird mit dem größeren Zementgehalt aber auch eine höhere Bauteilfestigkeit bewirkt. 
Eine geringere Wärmeentwicklung im Bauteil wird zum Beispiel mit Zementen mit niedriger Wärmeentwicklung erreicht. In diesen Fällen muss jedoch eine ausreichende Frühfestigkeit nachgewiesen werden. 
Eine andere Möglichkeit eine hohe Festigkeit bei geringer Wärmeentwicklung zu erreichen, ist die Anwendung von Zusatzstoffen, wie Flugasche, die die Betonfestigkeit erhöhen, aber nur geringfügig die Wärmeentwicklung beeinflussen.<ref name = "Q1"> </ref> <ref name = "Q2"> </ref>

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references/>
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-white.gif|right|70px]]
|Status = Seite in Bearbeitung}}
[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-20T06:53:45Z

PMarkert: /* Abschätzen der erforderlichen Bewehrung */

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-20T06:53:30Z

PMarkert: /* Abschätzen der erforderlichen Bewehrung */

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

2019-03-20T06:53:12Z

PMarkert: /* Abschätzen der erforderlichen Bewehrung */

Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 6.jpeg

2019-03-20T06:52:36Z

PMarkert: Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme {| |Annahmen:|| || |- | || Beton C30/37 || |- | || βct,Diagr || = 0,50 |- | || cv,Diagr || = 40mm |- | || wk,Diagr ||…

Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme
{|
|Annahmen:|| ||
|-
| || Beton C30/37 ||
|-
| || βct,Diagr || = 0,50
|-
| || cv,Diagr || = 40mm
|-
| || wk,Diagr || = 0,20mm
|}
Quelle: Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10. Auflage. Wiesbaden 2017

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-20T06:41:32Z

PMarkert: /* Vergleich des frühen mit dem späten Zwang */

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-20T06:39:40Z

PMarkert: /* Vergleich des frühen mit dem späten Zwang */

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:35:33Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-19T09:35:23Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Als Vergleich soll für die Sohlplatte aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}
Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

==== ''Spannung unter der Sohlpatte'' ====

Die Spannung unter Sohlplatte setzt sich nur aus dem Eigengewicht zusammen.

:: <math> \sigma_0 = \gamma_G \cdot h \cdot \gamma_c = 1,35 \cdot 0,5 \cdot 25 = \underline{16,88 kN/m^2} </math>

==== ''Reibungsbeiwert'' ====
Verwendet wird ein Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie als Trennlage.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Reibungsbeiwerte <ref name = "Q2"> </ref> <ref name = "Q3"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref> <ref name = "Q4"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|-
!Unterkonstruktion a)
!Trennlage
!Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
|-
|1
|grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung
|keine
|style="text-align: center;" | 1,4 … 2,1 e)
|-
|2
|rowspan="2" | Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m
|style="text-align: center;" | > 1,4
|-
|3
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,9
|-
|4
|rowspan="3" | sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte
|keine
|style="text-align: center;" | 0,9 … 1,1 e)
|-
|5
|Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,0 d), e)
|-
|6
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,5 … 0,7 d), e)
|-
|7
|Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)
|keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)
|style="text-align: center;" | 0,7
|-
|8
|rowspan="2" | Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund
|bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8 d)
|-
|9
|bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,5 d)
|-
|10
|rowspan="6" | Unterbeton abgezogen (makrorau)
|2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
|
|-
|11
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≤ 2,0
|-
|12
|bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m
|style="text-align: center;" | ≤ 1,3
|-
|13
|Bitumenschweißbahn c)
|style="text-align: center;" | 0,35 … 0,7 d), e)
|-
|14
|Dickbitumen c)
|style="text-align: center;" | 0,03 … 0,2 d), e)
|-
|15
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8
|-
|16
|rowspan="7" style="color:red" | Unterbeton mit Flügelglättung
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,4 d), e)
|-
|17
|style="color:red" | 2 Lagen PE- Folie b)
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 0,8
|-
|18
|mit PTFE b) beschichtete Folie
|style="text-align: center;" | 0,2 … 0,5 e)
|-
|19
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,3
|-
|20
|1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
|
|-
|21
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,45
|-
|22
|bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,2
|-
|23
|rowspan="2"| Sicherheitsbeiwert für Reibung h)
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR = 1,35 f)
|-
|24
|colspan="2" style="text-align: center;" |γR =1,25 g)
|-
|25
|Bemessungswert der Reibung
|colspan="2" style="text-align: center;" |<math> \mu_d = \gamma_R \cdot \mu_0 </math>
|-
|colspan="4" | a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. 

b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen 

c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. 

d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen 

e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. 

f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" <ref name = "Q3"> </ref> 

g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage"<ref name = "Q4"> </ref> 

h) Die Autoren der Fachliteraturquellen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.
|}

Aus der Tabelle ergibt sich damit ein Bemessungswert der Reibung bei der sicheren Annahme des Sicherheitsbeiwertes γR = 1,35 <ref name = "Q2"> </ref> <ref name = "Q3"> </ref> von
:: <math> \mu_d = 1,35 \cdot 0,8 = \underline{1,08} </math>.

==== ''Zugspannung in der Sohlplatte'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = \cfrac{\gamma_{ct} \cdot \mu_d \cdot \sigma_0 \cdot L}{2 \cdot a_{ct}} = \cfrac{1,0 \cdot 1,08 \cdot 16,88 \cdot 17,0}{2 \cdot 0,5 \cdot 1} = 309,92 kN/m^2 = \underline{0,31 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,75 \cdot 3,2 = 2,4 N/mm^2 </math>

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{0,31}{3,2} = \underline{0,1} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 15,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{s,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 15,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,1 \cdot 55 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{6,42 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q5"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{0,31} = 150mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{0,31} = 444 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{150mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{150} } = \underline{83,43 N/mm^2} </math>

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 0,31}{83,43} </math>
|-
| || <math> = 12,63cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2600 \cdot 0,31}{83,43} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 0,31}{500} </math>
|-
| || <math> = 13,08 cm^2/m </math> || <math> > 2,11cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{12,63 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{12,63}{2} = 6,32 cm^2/m \approx 6,42 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 6,32 cm^2/m < 10,05 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten deutlich größer.

:: <math> a_{s,min} = 12,63 cm^2/m < 34,81 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:35:08Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:34:57Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-19T09:34:45Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,5m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 5. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} = 0,75 \cdot 3,2 = \underline{2,4 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit b = 100cm/m
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 19mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 57 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{19mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{19} } = \underline{234,41 N/mm^2} </math>.
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 3 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 235,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{234,41} </math>
|-
| || <math> = 34,81 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{3520 \cdot 2,4}{234,41} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{500} </math>
|-
| || <math> = 36,04 cm^2/m </math> || <math> > 16,32 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{34,81 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Sohlplatte. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = \underline{3,2 N/mm^2} > 3,0 N/mm^2 </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 50 = 12,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 12,5 = \underline{1250cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 15 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{4 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 0,4 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 54 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{15mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{15} } = \underline{263,82 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{263,82} </math>
|-
| || <math> = 8,25 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{1250 \cdot 3,2}{263,82} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{500} </math>
|-
| || <math> = 15,16 cm^2/m </math> || <math> > 10,88 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{8,25 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 3.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{34,81}{2} - 10,05 = 17,41 - 10,05 = 7,36 cm^2/m </math> jeweils oben und unten
Das Zulegen von Bewehrung erzeugt Stabbündel, für die ein Vergleichsdurchmesser ausgerechnet werden müssten. Dieser Vergleichdurchmesser ist größer als der angenommene Durchmesser ø 16 und würde die benötigte rissbreitenbegrenzende Bewehrung weiter erhöhen. Um dies zu verhindern, wird eine Anpassung der statischen Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 16 , s = 10 cm </math>
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 20,10 cm^2/m</math>
empfohlen. Die Wahl des geringen Stababstandes ist ungünstig und hat einen hohen Ausführungsaufwand zur Folge. Daher sollten weitere zwangsspannungsverringernde Maßnahmen, wie z.B. Zemente mit langsamer Festigkeitsentwicklung angewendet werden. Wenn der späte Zwang ausgeschlossen werden kann, darf die Bemessung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung für den frühen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme erfolgen. Hierbei kann zusätzlich die Zwangsbeanspruchung mit einem verringerten Wert angesetzt werden. 

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-19T09:33:14Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,5m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 5. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} = 0,75 \cdot 3,2 = \underline{2,4 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit b = 100cm/m
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 19mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 57 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{19mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{19} } = \underline{234,41 N/mm^2} </math>.
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 3 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 235,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{234,41} </math>
|-
| || <math> = 34,81 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{3520 \cdot 2,4}{234,41} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{500} </math>
|-
| || <math> = 36,04 cm^2/m </math> || <math> > 16,32 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{34,81 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Sohlplatte. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = \underline{3,2 N/mm^2} > 3,0 N/mm^2 </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 50 = 12,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 12,5 = \underline{1250cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 15 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{4 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 0,4 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 54 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{15mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{15} } = \underline{263,82 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{263,82} </math>
|-
| || <math> = 8,25 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{1250 \cdot 3,2}{263,82} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{500} </math>
|-
| || <math> = 15,16 cm^2/m </math> || <math> > 10,88 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{8,25 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 3.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{34,81}{2} - 10,05 = 17,41 - 10,05 = 7,36 cm^2/m </math> jeweils oben und unten
Das Zulegen von Bewehrung erzeugt Stabbündel, für die ein Vergleichsdurchmesser ausgerechnet werden müssten. Dieser Vergleichdurchmesser ist größer als der angenommene Durchmesser ø 16 und würde die benötigte rissbreitenbegrenzende Bewehrung weiter erhöhen. Um dies zu verhindern, wird eine Anpassung der statischen Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 16 , s = 10 cm </math>
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 20,10 cm^2/m</math>
empfohlen. Die Wahl des geringen Stababstandes ist ungünstig und hat einen hohen Ausführungsaufwand zur Folge. Daher sollten weitere zwangsspannungsverringernde Maßnahmen, wie z.B. Zemente mit langsamer Festigkeitsentwicklung angewendet werden. Wenn der späte Zwang ausgeschlossen werden kann, darf die Bemessung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung für den frühen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme erfolgen. Hierbei kann zusätzlich die Zwangsbeanspruchung mit einem verringerten Wert angesetzt werden. 

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

2019-03-19T09:31:15Z

PMarkert: /* Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Querschnitt der Sohlplatte]]

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===

:{|
|-
| Sohlplattenabmessungen L / B / h: || 17,00 / 15,00 / 0,50 m
|-
| Expositionsklasse: || XC2 - Gründungsbauteil
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C35/45
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 3,2 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 16, s = 20 cm
|-
| || as,o = as,u = 10,05 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
|-
| Unterkonstruktion: || Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC2 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,5m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 5. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,75 \cdot f_{ctm} = 0,75 \cdot 3,2 = \underline{2,4 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 55mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 55+\cfrac{16}{2} = 63 mm = \underline{6,3 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 50-6,3 = 43,7 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit b = 100cm/m
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 50+2,0 \cdot 6,3 = 17,6 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 17,6 = \underline{3520cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8-20 \cdot \cfrac{0,8-0,5}{80-30} = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 16 \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 19mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{8 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 1,0 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{2,4} = 57 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{19mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{19} } = \underline{234,41 N/mm^2} </math>.
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 3 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 235,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
::{|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 1,0 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{234,41} </math>
|-
| || <math> = 34,81 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{3520 \cdot 2,4}{234,41} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 2,4}{500} </math>
|-
| || <math> = 36,04 cm^2/m </math> || <math> > 16,32 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{34,81 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Sohlplatte. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = \underline{3,2 N/mm^2} > 3,0 N/mm^2 </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{50}{6,3} = 7,94 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 50 = 12,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 12,5 = \underline{1250cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,68 </math> || Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> vorgegebenen Werte.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 15 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{50}{2} = 25,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 16 \cdot \cfrac{4 \cdot 6,3}{0,68 \cdot 0,4 \cdot 25} \cdot \cfrac{2,9}{3,2} = 54 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{15mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{15} } = \underline{263,82 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,68 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{263,82} </math>
|-
| || <math> = 8,25 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{1250 \cdot 3,2}{263,82} </math> || <math> \ge \cfrac{0,68 \cdot 0,5 \cdot 50 \cdot 100 \cdot 3,2}{500} </math>
|-
| || <math> = 15,16 cm^2/m </math> || <math> > 10,88 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
 
:: <math> \underline{8,25 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Sohlplatte (Bsp) 3.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{34,81}{2} - 10,05 = 17,41 - 10,05 = 7,36 cm^2/m </math> jeweils oben und unten
Das Zulegen von Bewehrung erzeugt Stabbündel, für die ein Vergleichsdurchmesser ausgerechnet werden müssten. Dieser Vergleichdurchmesser ist größer als der angenommene Durchmesser ø 16 und würde die benötigte rissbreitenbegrenzende Bewehrung weiter erhöhen. Um dies zu verhindern, wird eine Anpassung der statischen Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 16 , s = 10 cm </math>
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 20,10 cm^2/m</math>
empfohlen. Die Wahl des geringen Stababstandes ist ungünstig und hat einen hohen Ausführungsaufwand zur Folge. Daher sollten weitere zwangsspannungsverringernde Maßnahmen, wie z.B. Zemente mit langsamer Festigkeitsentwicklung angewendet werden. Wenn der späte Zwang ausgeschlossen werden kann, darf die Bemessung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung für den frühen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme erfolgen. Hierbei kann zusätzlich die Zwangsbeanspruchung mit einem verringerten Wert angesetzt werden. 

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen

2019-03-19T09:28:29Z

PMarkert: /* Reibungsbeiwert */

Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen

2019-03-19T09:28:17Z

PMarkert: /* Reibungsbeiwert */

==Sohlplatten==

=== Allgemeines ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 1.jpeg|300px|thumb|right|Plattenbewegung und Reaktionskräfte in Sohlplatten ]]

Die Sohlplatte ist der untere Gebäudeabschluss und muss die gesamte Bauwerkslast in den Untergrund einleiten. 
Schon bei der Herstellung der Sohlplatte wird diese vom Boden beeinflusst. Durch die Temperaturentwicklung beim [[Abfließen der Hydratationswärme]], beim [[Schwinden | Bauteilschwinden]] und bei Temperaturunterschieden durch die Witterung möchte sich die Sohlplatte verformen, wird aber vom Boden daran gehindert. In Abhängigkeit der Größe und Belastung der Platte und dem Untergrund verändert sich die Größe der Verformungsbehinderung und damit auch die Größe der Zwangsspannungen. Bei einer Sohlplatte mit ebener Unterseite wird die Plattenbewegung nur durch die Reibung auf dem Boden behindert, was zur Ausbildung eines Verformungsnullpunktes in Plattenmitte führt. Durch die Anordnung von Festhaltungen wie z.B. bei tiefergehenden Fundamentabschnitten oder Aufzugschächten, erhöht sich die Verformungsbehinderung, da sich die Sohlplatte nur noch in Richtung des Festpunktes bewegen kann. Es entsteht eine Situation, die dem vollen Zwang gleichkommt. <ref name = "Q1"> Röhling, S.; Meichsner, H.: Rissbildung im Stahlbetonbau. Ursachen - Auswirkung - Maßnahmen. Stuttgart 2018 </ref> 
Steigt die Plattendicke an, erhöhen sich auch die Zwangsspannungen. Durch die Nachgiebigkeit des Untergrundes werden diese in der Platte jedoch wieder reduziert. 
Vereinfacht kann angenommen werden, dass sich die Platte allseitig und gleichmäßig verformt. Somit liegt der Verformungsnullpunkt bzw. der Verformungsruhepunkt in Plattenmitte und die risskritischen Bereiche liegen in seiner Nähe. Tatsächlich existieren jedoch unterschiedliche Bedingungen für die Bewegung der Sohlplatte, welche Interaktionen in Abhängigkeit der Steifigkeitsverhältnisse hervorrufen. 
Bei der Annahme einer elastischen und verschieblichen Verbindung verhalten sich die Sohlplatte und der Untergrund wie ein zusammenwirkendes Verbundsystem. Das bedeutet, dass bei größeren Plattendicken die Nachgiebigkeit des Bodens eine Verringerung der Behinderung und damit auch der zentrischen Zwangsspannungen bewirkt. 
Die zweite Interaktion beschreibt das Gleiten der Sohlplatte auf dem Untergrund mit großen Relativverschiebungen. Hierbei kann sich die Sohlplatte geringerer Dicke durch große Verschiebungen vom Untergrund lösen. Die Platte ist somit nur noch durch die Reibung behindert, eine Verzahnung mit dem Untergrund existiert nicht mehr. 
Ein Grenzfall wird durch die dritte Annahme beschrieben. Bei sehr großen Plattenausdehnungen entstehen in Plattenmitte Bereiche mit vollständiger Dehnungsbehinderung. Das Gleiten der Platte wird hierbei durch die geringen, auftretenden Verschiebungen eingeschränkt.<ref name = "Q1"></ref>

=== Reibungsbeiwert ===
Die Verformung der Sohlplatte wird durch das Aufliegen auf dem Untergrund behindert. Die Größe dieser Behinderung wird durch den Reibungskoeffizienten μF <ref name = "Q1"> </ref> bzw. Reibungsbeiwert μ0 <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> ausgedrückt und ist einerseits von der Flächengröße, der Körnung und der Kohäsion des Bodens und andererseits vom Verschiebungsbetrag und der vertikalen Belastung der Sohlplatte abhängig. Aus dem Reibungsbeiwert und der vertikalen Belastung der Sohlplatte ergibt sich die Scherfestigkeit zu

:: <math> \tau = \sigma_V \cdot \mu μ_0 </math>.

:::{|
| <math> \tau </math> || Scherfestigkeit
|-
| <math> \sigma_V </math> || vertikale Spannung
|-
| <math> \mu_0 </math> || Reibungsbeiwert
|}

Beim Überschreiten dieser Scherfestigkeit bewegt sich die Sohlplatte und es werden der Bewegung entgegengerichtete Reaktionskräfte in der Fuge zum Untergrund ausgelöst, welche in der Sohlplatte Zwangsspannungen erzeugen. 
Die Größe der rückhaltenden Kräfte kann durch die Auflagerbedingungen beeinflusst werden. In der folgenden Tabelle werden Vorschläge für die Reibungsbeiwerte unterschiedlicher Unterkonstruktionen in Kombination mit verschiedenen Trennlagen angegeben. Es ist zu beachten, dass der Sicherheitsbeiwert der Reibung nach "Weiße Wannen - einfach und sicher" <ref name = "Q3"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 11. überarbeitete Auflage. Düsseldorf 2018 </ref> mit γR = 1,25 und nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> mit γR = 1,35 angegeben ist.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Reibungsbeiwerte <ref name = "Q2"></ref> <ref name = "Q3"></ref> <ref name = "Q4"> Lohmeyer, G.; Ebeling, K.: Weiße Wannen - einfach und sicher. Konstruktion und Ausführung wasserundurchlässiger Bauwerke aus Beton. 9. überarbeitete und erweiterte Auflage. Düsseldorf 2009 </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|-
!Unterkonstruktion a)
!Trennlage
!Reibungsbeiwert μ0 für die erste Verschiebung
|-
|1
|grobkörniger Baugrund ohne Sandbettung
|keine
|style="text-align: center;" | 1,4 … 2,1 e)
|-
|2
|rowspan="2" | Kies-Sand-Bodenaustausch (nicht bindig)
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,2m
|style="text-align: center;" | > 1,4
|-
|3
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,9
|-
|4
|rowspan="3" | sandiger Baugrund oder grobkörniger Baugrund mit Sandbettung unter der Sohlplatte
|keine
|style="text-align: center;" | 0,9 … 1,1 e)
|-
|5
|Noppenbahn (d ≈ 0,6mm)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,0 d), e)
|-
|6
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,5 … 0,7 d), e)
|-
|7
|Sandbett (Dicke 6 … 10cm, mittlere Korngröße 0,35mm)
|keine (Direktauflagerung auf nicht feinkörnigem, bindigem Boden)
|style="text-align: center;" | 0,7
|-
|8
|rowspan="2" | Perimeterdämmung auf Unterbeton bei beliebigem Baugrund
|bei Dicke der Bodenplatte h ≤ 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8 d)
|-
|9
|bei Dicke der Bodenplatte h ≥ 0,8m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,5 d)
|-
|10
|rowspan="6" | Unterbeton abgezogen (makrorau)
|2 Lagen PE-Folie b) je 0,2mm:
|
|-
|11
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≤ 2,0
|-
|12
|bei Dicke der Bodenplatte h = 1,5m
|style="text-align: center;" | ≤ 1,3
|-
|13
|Bitumenschweißbahn c)
|style="text-align: center;" | 0,35 … 0,7 d), e)
|-
|14
|Dickbitumen c)
|style="text-align: center;" | 0,03 … 0,2 d), e)
|-
|15
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,8
|-
|16
|rowspan="7" | Unterbeton mit Flügelglättung
|1 Lage PE-Folie b)
|style="text-align: center;" | 0,8 … 1,4 d), e)
|-
|17
|2 Lagen PE- Folie b)
|style="text-align: center;" | ≤ 0,8
|-
|18
|mit PTFE b) beschichtete Folie
|style="text-align: center;" | 0,2 … 0,5 e)
|-
|19
|Trennschicht aus 2 Lagen dicker PE-Folie b) mit zwischenliegender Schicht aus Silikonfett als Schmiermittel
|style="text-align: center;" | ≈ 0,3
|-
|20
|1- bis 2-lagige Bitumenschweißbahn c), stumpf gestoßen:
|
|-
|21
|bei Dicke der Bodenplatte h = 0,3m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,45
|-
|22
|bei Dicke der Bodenplatte h > 1,0m
|style="text-align: center;" | ≈ 0,2
|-
|23
|rowspan="2"| Sicherheitsbeiwert für Reibung h)
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR = 1,35 f)
|-
|24
|colspan="2" style="text-align: center;" | γR =1,25 g)
|-
|25
|Bemessungswert der Reibung
|colspan="2" style="text-align: center;" |<math> \mu_d = \gamma_R \cdot \mu_0 </math>
|-
|colspan="4" | a) Die Oberfläche der Unterkonstruktion muss den Anforderungen der Ebenheit nach DIN 18202 entsprechen. 

b) PE = Polyethylen, PTFE = Polytetrafluor- Ethylen 

c) Bituminöse Trennschichten sind nur bei ausreichender Schichtdicke und Temperaturen in der Trennschicht >10°C wirksam. 

d) Vorschlag der Autoren der Fachliteraturquellen 

e) Bewegt sich der Reibungsbeiwert in einer Spannbreite empfehlen die Autoren der Fachliteraturquellen die Annahme des höheren Wertes, wenn kein Einfluss auf die Ausführung besteht. 

f) nach "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> </ref> und "Weiße Wannen einfach und sicher - 9.Auflage" <ref name = "Q4"> </ref> 

g) nach "Weiße Wannen einfach und sicher - 11.Auflage"<ref name = "Q3"> </ref> 

h) Die Autoren der Fachliteraturquellen empfehlen mit den angegebenen Sicherheitsbeiwerten zu rechnen, da die Auswahl des Reibungsbeiwertes mit einiger Unsicherheit behaftet ist.
|}

 
Durch eine direkte Auflagerung auf dem Boden mit Verzahnung, eine raue Oberfläche des Unterbetons, ungeeignete Folien oder durch schlechten Einbau der Folien (Faltenbildung) entstehen große Reaktionskräfte. Um den Reibungsbeiwert zu vermindern, können geeignete Folien zur Trennung des Frischbetons vom Untergrund eingesetzt werden. Durch eine Beschichtung der Folien kann der Reibungsbeiwert weiter vermindert werden. Bei der Verwendung von bituminösen Schweißbahnen ist zu beachten, dass sich bei abnehmender Temperatur der Trennlage die Reibung erhöht. 
Eine weitere Möglichkeit die Reibung zwischen Sohlplatte und Boden zu verringern, ist die Möglichkeit der Gleitlagerung. Hierbei wird ein Luftpolster zwischen zwei Folien mit einer Zwischenlage aus Vlies hergestellt, welches die Eigenmasse der Sohlplatte kompensiert und die Interaktion zwischen der Sohlplatte und dem Boden während der Herstellung entkoppelt. Für die Luftlagerung wird ein Luftdruck von ca. 0,024bar pro 1cm Plattendicke benötigt, der nach dem Abfließen der Hydratationswärme wieder abgelassen werden kann.<ref name = "Q1"></ref> 

=== Entstehung von Zwangsspannungen ===
Die Zwangsbeanspruchungen in der Sohlplatte entstehen unter anderem durch das Abkühlen während des Abfließens der Hydratationswärme und des Schwindens des Betons. Zusätzlich dazu können aufgrund ungleichmäßiger Temperaturverteilungen im Bauteilquerschnitt oder der Interaktion mit dem Untergrund Biegemomente in der Platte entstehen. Bei dünneren Platten kann es infolge einseitiger Temperaturbeanspruchung durch die Lufttemperatur oder die Sonneneinstrahlung zur Aufwölbung der Plattenränder kommen. Bei größeren Plattendicken ist dies aufgrund des hohen Eigengewichtes nicht möglich, jedoch führen derartige Momentenbeanspruchungen zu zusätzlichen Zugspannungen.<ref name = "Q1"></ref> 
Zunächst entstehen in der Platte Eigen- und Zugspannungen infolge des Abkühlens oder des Austrocknens des Bauteils. Das Biegemoment entwickelt sich aufgrund der Temperaturverteilung im Querschnitt später und erreicht sein Maximum zeitlich nach dem der Zugspannungen. Mit zunehmender Bauteildicke steigt der Einfluss der Momentenbeanspruchung auf die Spannungsverteilung und das Rissbild an. Dies führt zu Biegerissen an der Plattenoberseite, gleichzeitig wird die Gefahr der Trennrissbildung herabgesetzt. Die zur Trennrissbildung nötigen Zwangsspannungen müssten im Querschnitt sehr große Zugspannungen erzeugen, was nur bei sehr steifen Untergründen z.B. Fels der Fall wäre.<ref name = "Q1"></ref> 
Durch das Betonieren in mehreren Arbeitsschritten bei großen Plattenabmessungen entstehen an den Arbeitsfugen zusätzliche Zwangsbeanspruchungen. Durch die höhere Steifigkeit des vorher betonierten Abschnittes wird die Verformung des später betonierten Abschnittes eingeschränkt bzw. ist eine Verformung des „jüngeren“ Abschnittes nur noch in Richtung des „älteren“ Abschnittes möglich.<ref name = "Q1"></ref>

=== Rissbildung ===
Im Allgemeinen ist die Gefahr der Rissbildung in Sohlplatten geringer als in Wänden und sinkt mit steigender Plattendicke weiter ab. Trotzdem bilden sich in der Platte bei ungünstigen Bedingungen und großen Belastungen Risse aus.<ref name = "Q1"></ref> 
Wird die Verformung nur durch die Reibung auf dem Untergrund behindert, ordnen sich die Risse um den entstehenden Verformungsnullpunkt an. Bei zunehmender Beanspruchung und dem Auftreten eines Biegemomentes orientieren sich die weiteren Risse zum Bauteilrand hin. 
Schränkt ein Festpunkt die Bewegungen der Sohlplatte ein, entsteht der erste Riss in Plattenmitte. Nehmen die Beanspruchungen zu, richten sich weitere Risse zum Plattenrand hin aus. 
Häufig treten Risse auch an Arbeitsfugen von Sohlplatten auf, wenn diese in mehreren Abschnitten betoniert werden. Durch den Verbund von „älterem“ und „jüngerem“ Beton ist die Zugfestigkeit in diesem Bereich geringer als im restlichen Bauteil. 
Beeinflusst wird die Rissbildung durch die entstehenden Spannungen und Dehnungen zum Beispiel infolge der Temperaturentwicklung während des Abfließens der Hydratationswärme und dem Schwinden. Weiterhin nehmen der Untergrund, über den Reibungsbeiwert, und die reibungswirksame Plattenlänge, bestimmt über die Anordnung von Fugen oder Festpunkten, Einfluss auf die Entstehung der Zwangsbeanspruchungen und der Risse.<ref name = "Q1"></ref> 
Um die Rissbreiten in der Sohlplatte zu begrenzen, muss nach DIN EN 1992-1-1 <ref name = "Q5"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> eine [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung | Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung]] angeordnet werden.

=== Maßnahmen zur Verringerung der Zwangsbeanspruchungen ===
Wird eine Bewegung auf dem Untergrund ermöglicht, verringern sich die Zwangsbeanspruchungen in der Sohlplatte. Durch den Einbau von geeigneten Unterkonstruktionen und Trennlagen lässt sich der Reibungsbeiwert verringern. Weiterhin sollte die Platte nicht durch Festpunkte, z.B. Aufzugschächte oder Fundamentvertiefungen, in ihrer Bewegung eingeschränkt werden.<ref name = "Q4"></ref> 
Trotz dieser Maßnahmen ist die Wahrscheinlichkeit der Rissbildung noch immer vorhanden. Durch das Einbringen einer Vorspannung, welche den Beanspruchungen aus Last und Zwang entgegenwirkt, kann diese Wahrscheinlichkeit weiter verringert werden.<ref name = "Q1"></ref>

==Wände==
=== Allgemeines ===
Meistens werden die Wände eines Bauwerkes auf die bestehende Sohlplatte bzw. das bestehende Fundament in einem zweiten Arbeitsschritt betoniert. Durch die Rauigkeit der Verbundfuge und die durchgehenden Bewehrung entsteht eine schubfeste Verbindung der beiden Bauteile.

=== Behinderungsgrad ===
Durch diese schubfeste Verbindung werden Verformungen behindert und es kann ein Behinderungsgrad definiert werden. Bei einer nur am Fuß aufgelagerten, freistehenden Wand nimmt die Verformungsbehinderung und damit auch der Behinderungsgrad über die Wandhöhe ab, sodass von einem äußeren (am Wandfuß auftretenden) und einem inneren (sich über die Wandhöhe verringernden) Behinderungsgrad gesprochen wird. Da der äußere Behinderungsgrad von den Steifigkeiten des behindernden und des behinderten Bauteils abhängig ist, verringert er sich mit dem Anwachsen des Elastizitätsmoduls und damit der Steifigkeit bei der Erhärtung des behinderten Bauteils. Der innere Behinderungsgrad verändert sich bei einer freistehenden Wand über die Wandhöhe und wird durch die äußere Behinderung beeinflusst. 
In wie weit sich der innere Behinderungsgrad über die Wandhöhe ändert, hängt von dem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H ab. Bei einem kürzeren Wandabschnitt, also einem kleinen Verhältnis L/H, steigt der innere Behinderungsgrad bis zur Wandmitte parabelförmig an und fällt danach bis zum Ende des Wandabschnittes wieder ab. In Wandmitte ist die freie Verformung des Wandkopfes am geringsten, daher der größere Behinderungsgrad. An den freien Rändern des Wandkopfes kann sich eine relativ große Verformung einstellen, sodass hier der Behinderungsgrad einen kleinen Wert annimmt. Bei einem größeren Verhältnis L/H weitet sich der Bereich mit dem größeren inneren Behinderungsgrad über die Wand aus.<ref name = "Q1"></ref>

=== Spannungsentstehung ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 3.jpeg|300px|thumb|right|Spannungsverteilung in einer Wand<ref name = "Q3"></ref>]]

Treten nun Beanspruchungen wie das Abkühlen des Bauteils infolge des Abfließens der Hydratationswärme oder das Bauteilschwinden auf, führt die Verformungsbehinderung an der Verbundfuge zu Zwangsbeanspruchungen. In der Wand entstehen Zwangszugspannungen, die in der Sohlplatte Druckspannungen erzeugen. Am Wandfuß erreichen die Zugspannungen ihr Maximum und nehmen über die Wandhöhe aufgrund des verringerten Behinderungsgrades ab. Die Größe der Zugspannung am Wandkopf hängt genau wie der innere Behinderungsgrad von dem Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe L/H ab.<ref name = "Q3"></ref> 
Mit steigendem Verhältnis L/H nehmen auch die Zwangsspannungen am Wandkopf zu. Ab einem Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe von L/H > 10 verringern sich sowohl der innere Behinderungsgrad als auch die Zugspannungen über die Wandhöhe nicht mehr.<ref name = "Q2"></ref> 
Beim theoretischen Ansatz einer steifen Sohlplatte werden neben den horizontalen Kräften, die in der Verbundfuge entstehen, auch vertikale Kräfte mobilisiert, die eine Verkrümmung der Wand verhindern. Zusätzlich zu den vertikalen entstehen hierbei horizontale Trennrisse im Bereich der Arbeitsfuge. Da die Sohlplatte in der Praxis jedoch eine geringere Steifigkeit hat, verringern sich die horizontalen und die vertikalen Spannungen. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit der Entstehung von horizontalen Rissen geringer und die Rissbreite der vertikalen Trennrisse nimmt ab.<ref name = "Q1"></ref>

=== Rissbildung ===
Durch den Verbund mit der Sohlplatte kann es in der Wand nur dann zur Rissbildung kommen, wenn auch in der Sohlplatte Risse entstehen. Da die Zugfestigkeit und der Elastizitätsmodul der Sohlplatte beim nachträglichen Betonieren der Wand jedoch höher sind, entstehen zunächst Anrisse am Wandfuß bis in ungefähr einem Viertel der Wandhöhe. Aufgrund des Verbundes mit der Sohlplatte weisen diese Anrisse nur eine geringe Breite auf und gelten als unbedenklich.<ref name = "Q2"></ref> 
Durch das Ansteigen des Verhältnisses L/H breitet sich über der gesamten Wand ein rissgefährdeter Bereich aus. Wird die Zugfestigkeit des Betons überschritten, bildet sich zuerst ein Trennriss in Wandmitte aus, der bei L/H > 8 und einer vollständigen Krümmungsbehinderung (schlanke, niedrige Wand auf einer Sohlplatte mit großer Steifigkeit und großen Abmessungen) über die gesamte Wandhöhe verläuft. Bei einem ausgeglichenen Verhältnis der Steifigkeiten zwischen Wand und Sohlplatte verringert sich die Länge der Risse auf ungefähr zwei Drittel der Wandhöhe. Kehrt sich das Steifigkeitsverhältnis um, hat man also eine sehr dünne oder nachgiebige Sohlplatte, verlaufen die Risse nur noch im unteren Bereich der Wand.<ref name = "Q1"></ref> 
Der erste Trennriss teilt die Wand in zwei Abschnitte mit einem geringeren Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H. Die Rissbildung verringert die Bauteilsteifigkeit, trotzdem können bei weiterer Überschreitung der Bruchdehnung oder der Zugfestigkeit des Betons erneut Risse entstehen. Das typische Rissbild der Wand stellt sich ein, wenn sich das Bauteil an der Sohle nicht und am Kopf nur in geringem Maße verformen kann. In Wandmitte sind die Risse am längsten und zum Rand der Wand werden sie kürzer und neigen sich nach außen. Vergrößert sich das Verhältnis L/H oder existiert eine seitliche Verformungsbehinderung der Wand, verlaufen die Risse weniger stark geneigt.<ref name = "Q1"></ref> 
Durch die Anordnungen von Öffnungen oder Querschnittsänderungen, an denen Spannungskonzentrationen auftreten, wird das Rissbild zusätzlich beeinflusst.

=== Bewehrung ===
[[Datei:Zwang - Bauteile mit wesentlichen Zwangsbeanspruchungen 2.jpeg|300px|thumb|right|Unterteilung der Wand in Bereiche für die Abstufung der rissbreitenbegrenzenden Mindestbewehrung<ref name = "Q1"> </ref> ]]

Über das Verhältnis der Wandlänge zur Wandhöhe L/H lässt sich die Länge der Risse beeinflussen. Bei geringem Verhältnis L/H verlaufen die Risse mit großer Wahrscheinlichkeit nicht vom Wandfuß bis zur Wandkrone durch, sodass die Bewehrung über die Wandhöhe abgestuft eingelegt werden kann. 
Zusätzlich zu dieser Abhängigkeit kann eine Wand in drei Bereiche schematisch nach dem nebenstehenden Bild eingeteilt werden. Die Einteilung in die unterschiedlichen Bereiche erfolgt über das jeweilige Dehnungsverhalten infolge der Zwangsbeanspruchung.<ref name = "Q1"> </ref> 
Durch die schubfeste Verbindung entstehen im Bereich des Wandfußes zunächst Anrisse mit geringer Breite, die sich gleichmäßig über die Wandlänge verteilen. Das Einlegen einer verringerten Mindestbewehrung ist in diesem Bereich ausreichend. 
Zwischen dem Wandfuß und dem Wandkopf bildet sich ein Bereich aus, der durch die maximale Zwangsspannung beansprucht wird (dargestellt durch Bereich 1). Dieser Bereich orientiert sich am Verlauf des inneren Behinderungsgrades über die Wandlänge. Vereinfacht kann ein Trapez oder Dreieck bis zu einer Höhe von ungefähr 0,1∙L zugrunde gelegt werden. Die hier entstehenden maximalen Rissbreiten müssen durch die Mindestbewehrung begrenzt werden. 
Wird eine Wand durch andere vorher betonierte Wände behindert, treten in der betrachteten Wand zusätzliche Zwangsbeanspruchungen auf und der Bereich 1 erweitert sich um den Bereich 2. 
Da bei einem geringen Verhältnis L/H der Behinderungsgrad über die Wandhöhe abnimmt und die Zwangsspannungen am Wandkopf gegen Null gehen, reicht im Bereich 3 eine verringerte Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung aus. 
Bei der Ermittlung der Mindestbewehrung noch der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q5"></ref> wird eine Beanspruchung durch zentrischen Zwang oder Biegung und der volle Behinderungsgrad über die gesamte Wandhöhe angenommen. Dies führt zu einer Überbemessung der Bewehrung.<ref name = "Q1"></ref>

==Decken==
Neben Sohlplatten und Wänden können auch in Deckenplatten wesentliche Zwangsbeanspruchungen auftreten. 
Decken mit geringer Bauteildicke werden hauptsächlich durch das Schwinden und Temperaturänderungen im Tages- oder Jahresverlauf beansprucht. Erst bei größeren Bauteildicken treten auch Beanspruchungen aus dem Abfließen der Hydratationswärme auf, die nicht zu vernachlässigen sind. 
Die entstehenden Zwangskräfte sind durch die Anordnung der Festpunkte, also Treppenhauskerne, Stützen und aussteifende Wände und die Anordnung der Arbeitsfugen beeinflussbar. In Geschossdecken, die durch Festpunkte an ihrer Verformungsmöglichkeit gehindert werden, treten vorwiegend zentrische Zwangsspannungen auf. Außermittige Zwänge treten zusätzlich in großflächigen Deckenplatten auf, wenn diese mit anderen Baukörpern verbunden sind. 
In den Ecken der Deckenkonstruktion kann es zu besonders hohen Spannungskonzentrationen kommen, wenn die Deckenplatte allseitig gezwängt bzw. allseitig eingespannt ist. Dies kann zu einer schrägen Rissbildung führen, die die Ecke vom Rest der Platte abtrennt.<ref name = "Q1"> </ref> 
Die Größe der Zwangskräfte nimmt vom Plattenrand zu den Festpunkten zu. An Arbeitsfugen bilden sich zuerst Risse aus, da die Zugfestigkeit zwischen dem "alten" und dem "neuen" Beton im Allgemeinen geringer ist, als im Bauteil selbst.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:04:47Z

PMarkert: /* Ermittlung der Stahlspannung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:04:23Z

PMarkert: /* Ermittlung des Grenzdurchmessers */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q3"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:04:03Z

PMarkert: /* Abschätzen der erforderlichen Bewehrung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "Q2"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:03:41Z

PMarkert: /* Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:03:25Z

PMarkert: /* Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "Q2"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:03:09Z

PMarkert: /* Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "Q2"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:02:48Z

PMarkert: /* Ermittlung der zulässigen Rissbreite */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:02:28Z

PMarkert: /* Aufgabenstellung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "Q2"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:01:57Z

PMarkert: /* Quellen */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "F1" group = "F"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:01:09Z

PMarkert: /* Wirkungstiefe der Bewehrung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "F1" group = "F"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references group="F"/>
 
:''Normen''
<references group="N"/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:00:54Z

PMarkert: /* Festigkeits-Zeitbeiwert */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "F1" group = "F"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrischen Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references group="F"/>
 
:''Normen''
<references group="N"/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)

2019-03-19T09:00:14Z

PMarkert: /* Ermittlung der zulässigen Rissbreite */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine verringerte Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]
Als Vergleich soll für die Wand aus dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" die verringerte Zwangsbeanspruchung und die zugehörige Mindestbewehrung ermittelt werden. 
Diese Ermittlung der verminderten Zwangsbeanspruchung gilt als Ergänzung zur DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref> und wird im "Lohmeyer Stahlbetonbau" <ref name = "F1" group = "F"> Baar, S.; Ebeling, K.: Lohmeyer Stahlbetonbau. Bemessung - Konstruktion - Ausführung. 10.Auflage. Wiesbaden 2017 </ref> empfohlen. 
Diese Empfehlung darf nur für eine Beanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme angewendet werden, wenn ein späterer Zwang mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann. 
Im Anschluss an diese Berechnung wird ein Vergleich mit dem Beispiel "[[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)]]" durchgeführt.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø = 12 , s = 15 cm
|-
| || aS,1 = aS,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|-
| Elastizitätsmodul des Betons: || Ecm = 31.000 N/mm2
|-
| Temperaturausdehnungskoeffizient des Betons: || αT = 10 ∙ 10-6 1/K
|-
| Wärmekapazität des Betons: || Cc0 = 2.500 kJ/(m3K)
|-
| Temperatur der Sohlplatte: || TF = 15°C
|-
| Frischbetontemperatur: || Tc0 = 18°C
|-
| Zementmenge: || z = 350 kg/m3
|-
| Hydratationswärme des Zementes: || QH = 175 kJ/kg
|}

Eine Beanspruchung aus spätem Zwang kann ausgeschlossen werden. 
Es ist eine zentrische Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend.

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Ermittlung der wirksamen Betonzugspannung ===

:: <math> \sigma_{ct,cal} = k \cdot \alpha_T \cdot E_{c,t} \cdot \Delta T_{b,W-F} </math> <math> [N/mm^2] </math>

==== ''Ermittlung des Beiwertes k'' ====

Die Wand wird auf eine Sohlplatte betoniert.
:: <math> k = \underline{1,0} </math>

==== ''Ermittlung des wirksamen Elastizitätsmoduls'' ====

:: <math> E_{c,t} = \alpha_E \cdot E_{cm} </math>
Für die Ermittlung des Verhältniswertes der Elastizitätsmoduln wird der Zeitpunkt, zu dem Betonzugspannungen entstehen benötigt.

:: <math> t_{maxT} = 1 + 0,8 \cdot h = 1 + 0,8 \cdot 0,3 = 1,24 Tage \approx 30 Stunden </math>

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αE
<ref name = "F1" group = "F"> </ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Betonalter
!Verhältniswert αE = Ec,t / Ecm
|-
|1
|style="text-align: center;" |12 Stunden
|style="text-align: center;" |0,25
|-
|2
|style="text-align: center;" |16 Stunden
|style="text-align: center;" |0,45
|-
|3
|style="text-align: center; color:red" |24 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |48 Stunden
|style="text-align: center; color:red" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |14 Tage
|style="text-align: center;" |1
|}

Durch Interpolation der Werte aus der vorangehenden Tabelle ergibt sich der Verhältniswert zu

:: <math> \alpha_E = 0,65 + 6 \cdot \cfrac{0,85 - 0,65}{48 - 24} = 0,7 </math>.

Damit ergibt sich der wirksame Elastizitätsmodul zu

:: <math> E_{c,t} = 31.000 \cdot 0,7 = \underline{21.700 N/mm^2} </math>.

==== ''Ermittlung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Sohlplatte'' ====

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = T_{b,m} - T_F </math>

:: <math> T_{b,m} = k_{Tv} \cdot T_{c0} \cdot \Delta T_{b,H} </math>

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{\alpha_b \cdot z \cdot Q_H}{C_{c0}} </math>

Der Verhältniswert αb ergibt sich durch Interpolation anhand der nachfolgenden Tabelle zu

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Verhältniswert αb
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Bauteildicke h [m]
!Verhältniswert αb = ΔTb,H / ΔTth
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" |0,25
|style="text-align: center; color:red" |0,65
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" |0,40
|style="text-align: center; color:red" |0,75
|-
|3
|style="text-align: center;" |0,60
|style="text-align: center;" |0,80
|-
|4
|style="text-align: center;" |0,80
|style="text-align: center;" |0,85
|-
|5
|style="text-align: center;" |1,00
|style="text-align: center;" |0,90
|-
|6
|style="text-align: center;" |2,00
|style="text-align: center;" |1,00
|}

:: <math> \alpha_b = 0,65 + 0,05 \cdot \cfrac{0,75 - 0,65}{0,40 - 0,25} = 0,68 </math>.

Die Temperatur des Frischbetons erhöht sich somit bei der Hydratation um

:: <math> \Delta T_{b,H} = \cfrac{0,68 \cdot 350 \cdot 175}{2500} = 16,66 K</math>.

Damit ergibt sich die mittlere Bauteiltemperatur der Wand mit

:: <math> k_{Tv} = 0,5 </math> für h < 0,5 m

zu

:: <math> T_{b.m} = 0,5 \cdot 18 + 16,66 = 25,66 K </math>.

Die Temperaturdifferenz beträgt somit

:: <math> \Delta T_{b,W-F} = 25,66 - 15 = \underline{10,66 K} </math>.

==== ''Ermittlung der rechnerischen Betonzugspannung'' ====

:: <math> \sigma_{ct,cal} = 1,0 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 21.700 \cdot 10,66 = 2,3 N/mm^2 </math>

==== ''Ermittlung des Bemessungswertes der Betonzugspannungen'' ====

:: <math> \sigma_{ct,d} = k_{ct,d} \cdot \sigma_{ct,cal} </math>

Mit einem Verhältnis der Wandlänge L zur Wandhöhe H von

:: <math> \cfrac{L}{H} = \cfrac{4,70}{2,50} = 1,88 </math>

ergibt sich anhand der nachfolgenden Tabelle ein Beiwert von

:: <math> k_{ct,d} = 0,35 + 0,88 \cdot \cfrac{0,5 - 0,35}{2 - 1} = 0,48 </math>.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Beiwert kct,d
<ref name = "F1" group = "F"></ref>
|-
|rowspan="2"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|-
!Verhältnis L/H a)
!Beiwert kct,d
|-
|1
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 1
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,35
|-
|2
|style="text-align: center; color:red" | ≤ 2
|style="text-align: center; color:red" | ≈ 0,50
|-
|3
|style="text-align: center;" | ≤ 3
|style="text-align: center;" | ≈ 0,60
|-
|4
|style="text-align: center;" | ≤ 4
|style="text-align: center;" | ≈ 0,70
|-
|5
|style="text-align: center;" | ≤ 6
|style="text-align: center;" | ≈ 0,85
|-
|6
|style="text-align: center;" | ≤ 8
|style="text-align: center;" | ≈ 0,95
|-
|7
|style="text-align: center;" | ≤ 10
|style="text-align: center;" | ≈ 1,00
|-
|8
|style="text-align: center;" | > 10
|style="text-align: center;" | = 1,00
|-
|colspan="3"|a) Verhältnis der Wandlänge L (Abstand zwischen zwei Fugen) zur Wandhöhe H
|}

Damit ergibt sich der Bemessungswert der Betonzugspannungen zu

:: <math> \sigma_{ct,d} = 0,48 \cdot 2,3 = \underline{1,1 N/mm^2} < f_{ct,eff} = 0,65 \cdot 2,6 = 1,7 N/mm^2 </math>.

Da die Zwangsschnittgröße geringer als die wirksame Betonzugfestigkeit ist, darf die Bemessung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung mit dem Bemessungswert der Betonzugspannungen σct,d durchgeführt werden.

=== Abschätzen der erforderlichen Bewehrung ===

==== ''Festigkeits-Zeitbeiwert'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 5.jpeg|200px|thumb|right|Diagramm zum Abschätzen der Bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme <ref name = "F1" group = "F"> </ref> ]]

:: <math> \beta_{ct,vorh} = \cfrac{\sigma_{ct,d}}{f_{ctm}} = \cfrac{1,1}{2,6} = \underline{0,4} </math>

==== ''Umrechnung der Bewehrung aus dem Diagramm'' ====

::{|
| Bewehrung aus dem Diagramm: || <math> a_{s,o,Diagr} = a_{s,u,Diagr} \approx 10,0 cm^2/m </math>
|-
|mit || <math> \beta_{ct,Diagr} = 0,5 </math>
|-
| || <math> c_{v,Diagr} = 40mm </math>
|-
| || <math> w_{k,Diagr} = 0,2mm</math>
|}

:: <math> a_s \approx a_{S,Diagr} \cdot \sqrt{\cfrac{\beta_{ct,vorh} \cdot c_{v,vorh} \cdot w_{k,Diagr}}{\beta_{ct,Diagr} \cdot c_{v,Diagr} \cdot w_{k,vorh}}} = 10,0 \cdot \sqrt{\cfrac{0,4 \cdot 40 \cdot 0,2}{0,5 \cdot 40 \cdot 0,3}} = \underline{7,30 cm^2/m} </math>

=== Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung ===

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F2" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 32mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{\sigma_{ct,d}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,1} = 97 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{32mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{32} } = \underline{180,62 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{180,62} </math>
|-
| || <math> = 14,62 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot \sigma_{ct,d}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,1}{180,62} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,1}{500} </math>
|-
| || <math> = 14,86 cm^2/m </math> || <math> > 5,28 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{14,62 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich der abgeschätzten mit der errechneten Bewehrung ===

[[Datei:Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

Das Abschätzen der Bewehrung mit den Diagrammen nach Meyer & Meyer ist sehr genau und damit für einen ersten Überschlag geeignet. 

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = \cfrac{14,62}{2} = 7,31 cm^2/m \approx 7,30 cm^2/m</math>

Da die rechnerische Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung geringer als die statisch erforderliche Bewehrung ist, müssen keine weiteren Bewehrungseisen eingelegt werden.

:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 7,31 cm^2/m < 7,54 cm^2/m</math>

== Vergleich mit dem Beispiel "Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)" ==

Kann die Verringerung der Zwangsbeanspruchung nicht angewendet werden, weil z.B. der späte Zwang nicht ausgeschlossen werden kann, ist die benötigte Bewehrungsmenge zur Begrenzung der Rissbreiten größer.

:: <math> a_{S,min} = 14,62cm^2/m < 17,86 cm^2/m </math>

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references group="F"/>
 
:''Normen''
<references group="N"/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:46:34Z

PMarkert: /* Ermittlung der Stahlspannung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "Q1"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:46:13Z

PMarkert: /* Ermittlung des Grenzdurchmessers */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:45:52Z

PMarkert: /* Ermittlung des Grenzdurchmessers */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2" group = "F"> </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:45:25Z

PMarkert: /* Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:44:58Z

PMarkert: /* Ermittlung der Stahlspannung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:44:47Z

PMarkert: /* Ermittlung der Stahlspannung */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1" group = "N"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:44:20Z

PMarkert: /* Ermittlung des Grenzdurchmessers */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "Q2"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte wurden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:43:53Z

PMarkert: /* Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungsbereich der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte wurden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:43:06Z

PMarkert: /* Quellen */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3 m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte wurden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur / Normen''
<references/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

2019-03-19T08:42:39Z

PMarkert: /* Ermittlung der zulässigen Rissbreite */

= Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung =

== Aufgabenstellung ==
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 1.jpeg|300px|thumb|right|Ansicht und Schnitt der Wand]]

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. 
Im zugehörigen Beispiel "[[Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)]]" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

=== Vorgaben ===
:{|
|-
| Wandabmessungen L / H / h: || 4,70 / 2,50 / 0,30 m
|-
| Expositionsklasse: || XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
|-
| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
|-
| Betonzugfestigkeit: || fctm = 2,6 N/mm2
|-
| Bewehrung aus der Statik: || ø 12 ,s = 15 cm
|-
| || as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
|-
| Betondeckung: || cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm
|}

== Lösung ==

=== Ermittlung der zulässigen Rissbreite ===
Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben. 
Somit beträgt die zulässige Rissbreite 
::<math> w_k = \underline{0,3mm} </math>.
 

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "Q1"> DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit Nationalem Anhang. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>
|-
|rowspan="5"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|style="text-align: center;" |5
|-
!rowspan="4"|Expositionsklasse
!colspan="4"|Konstruktion
|-
!rowspan="1"|Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund
!rowspan="1"|Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund
!rowspan="1" colspan="2"|Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
|-
!colspan="4"|Einwirkungskombination
|-
!quasi-ständig
!häufig
!häufig
!selten
|-
|1
!X0, XC1
|style="text-align: center;" |0,4a)
|style="text-align: center;" |0,2
|style="text-align: center;" |0,2
|rowspan="2" style="text-align: center;" |-
|-
|2
!style="color:red" | XC2, XC3, XC4
|rowspan="2" style="text-align: center; color:red" |0,3
|rowspan="2" style="text-align: center;" |0,2b),c)
|style="text-align: center;" |0,2b)
|-
|3
!rowspan="1"|XS1, XS2, XS3 
XD1, XD2, XD3d)
|rowspan="1" style="text-align: center;" |Dekompression
|rowspan="1" style="text-align: center;" |0,2
|-
|colspan="6"|a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. 

b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. 

c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. 

d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.
|}
 

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang ===
Es wird der zentrische Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

==== ''Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme'' ====
Da die Querschnittsdicke h = 0,3 m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit
:: <math> f_{ct,eff} = 0,65 \cdot f_{ctm} = 0,65 \cdot 2,6 = \underline{1,7 N/mm^2} </math>
angenommen werden.

==== ''Betondeckung und statische Nutzhöhe'' ====
:: <math> c_v = c_{nom} = 40mm </math> (aus der Statik) 
:: <math> d_1 = 40+\cfrac{12}{2} = 46 mm = \underline{4,6 cm} </math> 
:: <math> d = h-d_1 = 30-4,6 = 25,4 cm </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> a_{c,eff} = 2 \cdot b \cdot h_{c,ef} </math> || mit <math> b = 100 cm/m </math>
|-
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> >5,0 </math>
|-
| || <math> <30,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,1 \cdot h+2,0 \cdot d_1 = 0,1 \cdot 30+2,0 \cdot 4,6 = 12,2 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 2 \cdot 100 \cdot 12,2 = \underline{2440cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 1,0 </math> || für reinen Zug
|-
|colspan="2" | Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
|-
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} = 12 \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 20mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{8 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || mit <math> (h-d) = d_1 </math>
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{8 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 1,0 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{1,7} = 63 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{20mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
::{|
| <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot w_k \cdot E_S \cdot f_{ct,0}}{\varnothing_S^*} } </math> || mit <math> E_S = 200.000 N/mm^2 </math>
|-
| || und <math> f_{ct,0} = 2,9 N/mm^2 </math>
|}
 
Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{20} } = \underline{228,47 N/mm^2} </math>
 

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit
:: <math> \sigma_S = 220 + 2 \cdot \cfrac {240-220}{22-18} = 230,00 N/mm^2 </math>.
interpoliert werden.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|+style="text-align: left;" | Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1
<ref name = "N1" group = "N"></ref>
|-
|rowspan="3"|
|style="text-align: center;" |1
|style="text-align: center;" |2
|style="text-align: center;" |3
|style="text-align: center;" |4
|-
!rowspan="2"|Stahlspannung
σS b) [N/mm2]
!colspan="3"|Grenzdurchmesser der Stäbe a)
[mm]
|-
!wk = 0,4mm
!wk = 0,3mm
!wk = 0,2mm
|-
|1
|style="text-align: center;" |160
|style="text-align: center;" |54
|style="text-align: center;" |41
|style="text-align: center;" |27
|-
|2
|style="text-align: center;" |180
|style="text-align: center;" |43
|style="text-align: center;" |32
|style="text-align: center;" |21
|-
|3
|style="text-align: center;" |200
|style="text-align: center;" |35
|style="text-align: center;" |26
|style="text-align: center;" |17
|-
|4
|style="text-align: center; color:red" |220
|style="text-align: center;" |29
|style="text-align: center; color:red" |22
|style="text-align: center;" |14
|-
|5
|style="text-align: center; color:red" |240
|style="text-align: center;" |24
|style="text-align: center; color:red" |18
|style="text-align: center;" |12
|-
|6
|style="text-align: center;" |260
|style="text-align: center;" |21
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |10
|-
|7
|style="text-align: center;" |280
|style="text-align: center;" |18
|style="text-align: center;" |13
|style="text-align: center;" |9
|-
|8
|style="text-align: center;" |300
|style="text-align: center;" |15
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |8
|-
|9
|style="text-align: center;" |320
|style="text-align: center;" |14
|style="text-align: center;" |10
|style="text-align: center;" |7
|-
|10
|style="text-align: center;" |340
|style="text-align: center;" |12
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |6
|-
|11
|style="text-align: center;" |360
|style="text-align: center;" |11
|style="text-align: center;" |8
|style="text-align: center;" |5
|-
|12
|style="text-align: center;" |400
|style="text-align: center;" |9
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |4
|-
|13
|style="text-align: center;" |450
|style="text-align: center;" |7
|style="text-align: center;" |5
|style="text-align: center;" |3
|-
|colspan="5"|a) Die Tabellenwerte wurden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt.

b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.
|}

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 1,0 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{228,47} </math>
|-
| || <math> = 17,86 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{2440 \cdot 1,7}{228,47} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 1,7}{500} </math>
|-
| || <math> = 18,16 cm^2/m </math> || <math> > 8,16 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{17,86 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang ===

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

==== ''Betonzugfestigkeit'' ====
:: <math> f_{ct,eff} = f_{ctm} = 2,6 N/mm^2 < \underline{3,0 N/mm^2} </math>

==== ''Wirkungstiefe der Bewehrung'' ====
::{|
| <math> \cfrac{h}{d_1} = \cfrac{30}{4,6} = 6,52 </math> || <math> <10,0 </math>
|-
| <math> h_{c,ef} = 0,25 \cdot h = 0,25 \cdot 30 = 7,5 cm </math> || <math> < \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math>
|}
 
:: <math> a_{c,eff} = 100 \cdot 7,5 = \underline{750cm^2/m} </math>

==== ''Ermittlung der Beiwerte'' ====
::{|
|<math> k_c = 0,4 \cdot (1 - \cfrac{\sigma_c}{k_1 \cdot \cfrac{h}{h^*} \cdot f_{ct,eff}}) \le 1,0 </math> || für Biegung in Rechteckquerschnitten
|}
::{|
| mit
|-
|<math> \sigma_c = 0 </math> || reine Biegung ohne Normalkraft
|-
|ergibt sich kc zu
|-
|<math> k_c = 0,4 </math>
|}
::Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
::{|
|<math> k = 0,8 </math> || Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.
|}

==== ''Ermittlung des Grenzdurchmessers'' ====
[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung 1.jpeg|300px|thumb|right|Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung<ref name = "F1" group = "F"> Fingerloos, F.; Hegger, J.; Zilch, K.: EUROCODE 2 für Deutschland. Kommentierte und konsolidierte Fassung. 2., überarbeitete Auflage. Beuth Verlag GmbH 2016 </ref>]]

:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 12 mm </math>
 
::{|
| <math> \varnothing_S^* = \varnothing_S \cdot \cfrac{4 \cdot (h-d)}{k \cdot k_c \cdot h_{cr}} \cdot \cfrac{f_{ct,0}}{f_{ct,eff}} </math> || für Biegung ||
|-
| || mit <math> (h-d) = d_1 </math> ||
|-
| || und <math> h_{cr} = \cfrac{h}{2} = \cfrac{30}{2} = 15,0cm </math> || für reine Biegung ohne Normalkraft
|}
:: <math> \varnothing_S^* = 12 \cdot \cfrac{4 \cdot 4,6}{0,8 \cdot 0,4 \cdot 15} \cdot \cfrac{2,9}{3,0} = 44 mm</math>
 
:: Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt
:: <math> \varnothing_S^* = \underline{12mm} </math>.

==== ''Ermittlung der Stahlspannung'' ====
:: <math> \sigma_S = \sqrt{ \cfrac{6 \cdot 0,3 \cdot 200.000 \cdot 2,9}{12} } = \underline{294,96 N/mm^2} </math>
Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1<ref name = "N1" group = "N"></ref> angegebenen [[Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung#zulässige Stahlspannung in der Bewehrung | Tabelle]] abgelesen werden.

==== ''Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung'' ====
:: {|
|<math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{k \cdot k_c \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{294,96} </math>
|-
| || <math> = 4,88 cm^2/m </math>
|}
 
::{|
| <math> a_{s,min} </math> || <math> = \cfrac{a_{ct,eff} \cdot f_{ct,eff}}{\sigma_S} </math> || <math> \ge \cfrac{k \cdot a_{ct} \cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}} </math>
|-
| || <math> = \cfrac{750 \cdot 3,0}{294,96} </math> || <math> \ge \cfrac{0,8 \cdot 0,5 \cdot 30 \cdot 100 \cdot 3,0}{500} </math>
|-
| || <math> = 7,63 cm^2/m </math> || <math> > 7,20 cm^2/m </math>
|}
 
Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen
:: <math> \underline{4,88 cm^2/m} </math>
eingelegt werden.

=== Vergleich des frühen mit dem späten Zwang ===

[[Datei:Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung fuer eine Wand (Bsp) 2.jpeg|300px|thumb|right|Bewehrungsanordnung in der Wand]]

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge. 
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.
::<math> \cfrac{17,86}{2} - 7,54 = 8,93 - 7,54 = 1,39 cm^2/m </math> jeweils rechts und links
Eine Anpassung der Bewehrung auf
:: <math> \varnothing 12 , s = 12,5 cm </math>
:: <math> a_s = 9,05 cm^2/m</math>
scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen. 
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand
:: <math> a_{s,o} = a_{s,u} = 9,05 + 9,05 = \underline{18,10 cm^2/m} </math>.

== Quellen ==
:''Fachliteratur''
<references group="F"/>
 
:''Normen''
<references group="N"/>
 

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]