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Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-22T20:29:42Z

RSchwank: /* Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit */

[[Datei:Stahlbetonstütze.jpg|right|thumb|250px|Stahlbetonstütze im Bau]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem allgemeinen Verfahren durch numerische Integration der Krümmung.
 

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
Stützenhöhe: l = 3,0 m 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Druckglieder - Bemessung|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=0,85\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-22T20:26:49Z

RSchwank: /* Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit */

[[Datei:Stahlbetonstütze.jpg|right|thumb|250px|Stahlbetonstütze im Bau]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem allgemeinen Verfahren durch numerische Integration der Krümmung.
 

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
Stützenhöhe: l = 3,0 m 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Druckglieder - Bemessung|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=0,85\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1.170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

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Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
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==Quellen==

<references />
 

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-22T20:09:14Z

RSchwank: /* Mittlere Betondruckfestigkeit */

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-21T21:00:16Z

RSchwank:

[[Datei:Nennsteifigkeit Einführung.png|right|thumb|150px|Stützenquerschnitt]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png|randlos|ohne|250px|Finale Bewehrungsskizze]]

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-21T20:58:38Z

RSchwank:

[[Datei:Nennsteifigkeit Einführung.png|right|thumb|150px|Veranschaulichung des Verfahrens mit Nennsteifigkeit]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png|randlos|ohne|250px|Finale Bewehrungsskizze]]

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-21T20:54:29Z

RSchwank:

[[Datei:Stahlbetonstütze.jpg|right|thumb|250px|Stahlbetonstütze im Bau]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem allgemeinen Verfahren durch numerische Integration der Krümmung.
 

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
Stützenhöhe: l = 3,0 m 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Druckglieder - Bemessung|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

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}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-21T20:51:10Z

RSchwank:

[[Datei:Nennsteifigkeit Einführung.png|right|thumb|150px|Stützenquerschnitt]]
Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt eine Möglichkeit der näherungsweisen Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Dazu soll die Nennsteifigkeit des Stahlbetonquerschnitts ermittelt werden.

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert. Die hier aufgeführten Formeln basieren auf dem EC 2.<ref>Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1- Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1992-1-1:2004+AC:2010, Berlin 2011.</ref>
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-21T20:46:45Z

RSchwank:

[[Datei:Nennsteifigkeit Einführung.png|right|thumb|150px|Stützenquerschnitt]]
Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt eine Möglichkeit der näherungsweisen Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Dazu soll die Gesamtausmitte einer idealisierten Modellstütze ermittelt werden.

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert. Die hier aufgeführten Formeln basieren auf dem EC 2.<ref>Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1- Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1992-1-1:2004+AC:2010, Berlin 2011.</ref>
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

==Quellen==

<references />

Datei:Nennsteifigkeit Einführung.png

2022-02-21T20:29:02Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)

2022-02-21T20:20:56Z

RSchwank:

[[Datei:Nennkrümmung Einführung.png|right|thumb|150px|Veranschaulichung des Verfahrens mit Nennkrümmung]]
Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennkrümmung.
 

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

=== Querschnittsabmessungen, Betongüte und Endkriechzahl ===

<math>\begin{array}{l}b/h=25/30cm\quad \quad {{d}_{1}}=3,5cm\\l=3m\quad \quad \quad \quad \quad \quad C25/30\\\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)=2,0\end{array}</math>

In x-y-Ebene schließen Wände an, die Stütze ist in diese Richtung gehalten.

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>\begin{array}{l}{{N}_{Ed}}=-500kN\\{{M}_{y,Ed}}=25\cdot 3=75kNm\end{array}</math>

=== Schlankheitskriterium ===

<math>\lambda =\frac{{{l}_{0}}}{{{i}_{y}}}=\frac{\beta \cdot {{l}_{col}}}{\sqrt{\frac{{{I}_{y}}}{A}}}=\frac{2\cdot 300}{\sqrt{\frac{(25\cdot 30{}^\text{3})/12}{25\cdot 30}}}=69,28</math>

<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=-0,47</math>

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math>

Berücksichtigung von Einwirkungen nach Theorie II. Ordnung erforderlich.

=== Planmäßige Ausmitte ===

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{75}{500}=0,15m</math>

=== Ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1\\{{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{3}^{0,5}}}=1,15\\{{\alpha }_{h}}=1\end{array}</math>

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m</math>

=== Ausmitte nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}=2\cdot \frac{75}{75}=2</math>

(wegen gegebener Bemessungswerte kann das Moment im GZG nicht genauer ermittelt werden)

<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}=0,35+\frac{25}{200}-\frac{69,28}{150}=0,013</math>

<math>\begin{array}{l}{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\varphi }_{ef}}\ge 1\\{{K}_{\varphi }}=1+0,013\cdot 2=1,03\end{array}</math>

<math>{{K}_{r}}=1~</math> (wegen vorerst unbekannter Bewehrung mit 1 angenommen)

<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}=\frac{500/1,15}{200000}=2,174\cdot {{10}^{-3}}</math>

<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}=\frac{2,174\cdot {{10}^{-3}}}{0,45\cdot (0,3-0,035)}=0,0182{{m}^{-1}}</math>

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}=1\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0188{{m}^{-1}}</math>

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}=0,0188\cdot 6{}^\text{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{10}=0,0676m</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0676=0,2326m~</math>

=== Resultierendes Moment am Stützenfuß ===

<math>{{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2326=116,3kNm</math>

=== Bezogene Schnittgrößen ===

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{2,Ed}}}{b\cdot h{}^\text{2}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{11630}{25\cdot 30{}^\text{2}\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,36\end{array}</math>

=== Bemessung mit Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte ===

<math>\frac{{{d}_{1}}}{h}=\frac{0,035}{0,3}=0,12\approx 0,1</math>

<math>\begin{array}{l}{{\omega }_{tot}}=0,61\\{{A}_{s,tot}}={{\omega }_{tot}}\cdot \frac{b\cdot h}{{{f}_{yd}}/{{f}_{cd}}}=0,61\cdot \frac{25\cdot 30}{\frac{50}{1,15}/0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=14,9cm{}^\text{2}\end{array}</math>

<math>{{A}_{s1}}={{A}_{s2}}=\frac{14,9}{2}=7,35cm{}^\text{2}</math>, gewählt: 5ø14 je Seite, <math>{{A}_{s,vorh}}=7,7cm{}^\text{2}~</math>

=== Weitere Berechnung mit genauerem Krümmungsbeiwert: ===

<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=-0,47</math>

<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{2\cdot 7,7\cdot \frac{50}{1,15}}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,63</math>

<math>{{n}_{u}}=1+\omega =1,63~</math>

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}=\frac{1,63-0,47}{1,63-0,4}=0,94</math>

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}=0,94\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0176{{m}^{-1}}</math>

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}=0,0176\cdot 6{}^\text{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{10}=0,0634m</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0634=0,2284m~</math>

=== Resultierendes Moment am Stützenfuß ===

<math>{{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2284=114,22kNm</math>

=== Bezogene Schnittgrößen ===

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{2,Ed}}}{b\cdot h{}^\text{2}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{11422}{25\cdot 30{}^\text{2}\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,36\end{array}</math>

Keine wesentliche Veränderung, Bemessung bleibt bei 2x5ø14. 
Anmerkung: die Berechnung mit dem Modul ergibt einen erforderlichen Querschnitt von 0,02cm² über den vorhandenen mit 10ø14 an und verlangt daraufhin 2 weitere Stäbe.

== mb-Berechnung ==
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

 
==Quellen==

<references />
 

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}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung

2022-02-21T20:17:44Z

RSchwank:

[[Datei:Nennkrümmung Einführung.png|right|thumb|150px|Veranschaulichung des Verfahrens mit Nennkrümmung]]
Das Verfahren mit Nennkrümmung beschreibt eine Möglichkeit der näherungsweisen Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Dazu soll die Gesamtausmitte einer idealisierten Modellstütze ermittelt werden.
 

== Allgemeines ==

Es wird vereinfachend gegenüber genaueren Verfahren vorwiegend bei rechteckigen oder kreisförmigen Stahlbetonstützen angewendet, kann aber auch andere Querschnittsformen bemessen, solange die Bewehrung annähernd symmetrisch angeordnet ist <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>. Die Modellstütze ist hierbei eine Kragstütze, deren Länge die halbe Knicklänge der ursprünglich zu bemessenen Stütze beträgt und am Stützenkopf frei verschieblich ist. Die Kopfverschiebung der Modellstütze wird je nach zu erwartendem Krümmungsverlauf abgeschätzt und als zusätzliche Ausmitte in die Schnittgrößenberechnung aufgenommen.

== Bedingungen ==

Bedingungen für die Anwendung des Verfahrens sind ein konstanter Querschnitt über die gesamte Länge und eine planmäßige Mindestausmitte von <math>{{e}_{0}}>0,1\cdot h</math>, wobei h die Querschnittshöhe in jeweilige Richtung ist. Bei kleineren planmäßigen Ausmitten ist es nach wie vor legitim, liefert aber wegen wachsender zu sicherer Betrachtung unwirtschaftliche Ergebnisse. Nach <ref>Baumgart, R.: Skript Massivbau, Darmstadt 2013</ref> ist außerdem eine einfach gekrümmte Verformungsfigur und eine Knicklänge von maximal dem 15-fachen der jeweiligen Querschnittsabmessung Voraussetzung für das Nachweisverfahren. 

[[File:Modellstützenverfahren 1b.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Das Modellstützenverfahren eignet sich primär für Einzelstützen, kann aber bei Berücksichtigung einer realistischen Krümmungsannahme auch für Stützen eines Gesamttragwerks angewendet werden <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref>. 
Die Bemessung erfolgt nach Ermittlung der Gesamtausmitte entweder mit den Interaktionsdiagrammen für [[Druckglieder - Bemessung#Symmetrisch bewehrte Bauteile durch einachsige Biegung und Längskraft beansprucht|symmetrisch bewehrte Querschnitte]] oder direkt mit Interaktionsdiagrammen speziell für das Modellstützenverfahren.

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.

== Schnittgrößenermittlung ==

Das zusätzliche Moment am Stützenfuß beträgt 

<math>{{M}_{2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{2}}</math> - dem Moment nach Theorie II. Ordnung 
<math>{{e}_{tot}}</math> - der Gesamtausmitte des Stützenkopfs (mit Index total) 

Die Gesamtausmitte am Stützenfuß beträgt 

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}~</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i}}</math> - der ungewollten Ausmitte (mit Index für imperfection) 
<math>{{e}_{2}}</math> - der Ausmitte nach Theorie II. Ordnung. 

Ein zusätzliches Moment und eine daraus resultierende Verformung ergibt demnach die Ausmitte als Hebelarm multipliziert mit der Längsdruckkraft. 
Die planmäßige Ausmitte ergibt sich aus: 

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}</math>
 
mit 
<math>{{M}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert des Moments 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft. 

Bei unverschieblichen Stützen mit linearem Momentenverlauf entspricht die planmäßige Ausmitte bei unterschiedlichem Moment an den Stützenenden
 

<math>{{e}_{0}}=\max \left\{ 0,6\cdot {{e}_{02}}+0,4\cdot {{e}_{01}}\ ;\ 0,4\cdot {{e}_{02}} \right\}</math>

<math>\left| {{e}_{01}} \right|\le \left| {{e}_{02}} \right|</math>
 
mit 
<math>{{e}_{0i}}</math> - der Lastausmitte am jeweiligen Stützenende. 

Die Ausmitten sind mit jeweiligen Vorzeichen einzusetzen. Hierbei wird die Ausmitte im mittleren Drittel der Stütze maßgebend. 

[[File:Modellstützenverfahren 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

Die ungewollte Ausmitte <math>{{e}_{i}}~</math> (oder auch <math>{{e}_{a}}~</math>) berücksichtigt nicht vermeidbare und kalkulierbare Einflüsse wie etwa ungerade Stabachsen, unsymmetrisch verlegte Bewehrung oder ungewollt exzentrische Lasteinleitungen. 
Sie wird pauschal zur Gesamtausmitte hinzuaddiert, wenn es zum Nachweis nach Theorie II. Ordnung kommt. Ansonsten ist sie vernachlässigbar. Bei der Summierung werden stets alle Ausmitten ungünstig in dieselbe Richtung angenommen, also mit gleichem Vorzeichen. Es gilt 

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}</math>
 
mit

<math>{{\Theta }_{i}}</math> - dem Grundwert 
<math>{{\Theta }_{i}}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}</math> im Bogenmaß 
<math>{{\alpha }_{h}}</math> - demAbminderungsbeiwert für die Höhe (mit Index für height), <math>0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1</math> 
l - der tatsächliche Länge der Stütze in [m] 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge der Stütze 

Die Ausmitte nach erfolgter Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> ergibt sich zu 

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}</math>
 
mit 
<math>\frac{1}{r}</math> -der Krümmung 
r - dem Krümmungsradius 
<math>{{l}_{0}}</math> - der Knicklänge 
<math>{{K}_{1}}</math> - einem Faktor, um Übergang der Schlankheitsgrenzwerte zu berücksichtigen 
<math>{{K}_{1}}=\frac{\lambda }{10}-2,5</math> für <math>25\le \lambda \le 35</math> 
<math>{{K}_{1}}=1~</math> für <math>\lambda >35~</math> 
c - einem Beiwert zum Krümmungsverlauf 

Der Krümmungsverlauf wird in 3 Grenzfällen beschrieben, wobei die Kopfverschiebung <math>{{e}_{2}}</math> sich aus dem Integral des Produktes aus virtuellem Moment und Krümmung an jeweiliger Stelle x ergibt. Je Krümmungsverlauf kommt es zu Beiwerten von 
- 8 bei konstantem Momentenverlauf, also auch konstanter Krümmung 
- 10 bei parabelförmigem Krümmungsverlauf 
- 12 bei dreiecksförmigem Krümmungsverlauf 
- 16 bei hyperbolischem Krümmungsverlauf. 

Hierbei wird c = 10 üblicherweise als Mittelwert der ersten drei genannten Krümmungsverläufe gewählt. Im Gegensatz zum Eurocode 2 sieht die Fachliteratur im Allgemeinen keine Wahl des Beiwertes vor und gibt c = 10 als Konstante der Formel vor. 
Die Krümmung ermittelt sich wie folgt: 

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\phi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}</math>
 
mit 
<math>{{K}_{r}}</math> - dem Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsabnahme bei steigendem Längsdruck (mit Index für radius) 
<math>{{K}_{\varphi }}</math> - einem kriechberücksichtigender Beiwert 
<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}</math> 
<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}</math> 
<math>{{f}_{yd}}</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze (mit Index für Stahl und design) 
<math>{{E}_{s}}</math> - dem Elastizitätsmodel für Stahl (mit Index für steel) 
d - der statische Nutzhöhe bei gegenüberliegender Bewehrungsanordnung 
<math>d=\frac{h}{2}+{{i}_{s}}</math> - bei allseitig verteilter Bewehrung 
h - der Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung 
<math>{{i}_{s}}</math> - dem Trägheitsradius der Bewehrung (mit Index für steel). 

Der Beiwert <math>{{K}_{r}}</math> ist vorerst auf Grundlage folgender Gleichung abzuschätzen, da die hierin enthaltene Stahlquerschnittsfläche zu diesem Zeitpunkt des Nachweises noch nicht bekannt ist. Es empfiehlt sich eine erste Annahme zu <math>{{K}_{r}}=1</math> und einer nachfolgenden Iteration nach erstem Bemessungsdurchgang und Errechnen einer Bewehrung. 

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}\le 1</math>
 
mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{n}_{u}}=1+\omega </math> 
<math>{{n}_{bal}}</math> - n bei maximaler Biegetragfähigkeit, es darf <math>{{n}_{bal}}</math> = 0,4 angenommen werden 
<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> 
<math>{{A}_{s}}</math> - der Bewehrungsfläche. 

Die Auswirkungen durch Kriechen sind bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen. Sie dürfen allerdings vernachlässigt werden, wenn alle drei folgenden Bedingungen eingehalten sind: 

- die Endkriechzahl <math>\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\le 2</math> 
- die Schlankheit <math>\lambda \le 75</math> 
- <math>\frac{{{M}_{0,Ed}}}{{{N}_{Ed}}}\ge h</math> (mit <math>{{M}_{0,Ed}}</math> dem Moment nach Theorie I. Ordnung). 

Außerdem können sie nach <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref> vernachlässigt werden, wenn sie Teil eines unverschieblichen Systems sind und an den Stützenenden jeweils monolithisch angeschlossen sind. 
Bei zu vernachlässigender Kriecheinwirkung kann <math>{{K}_{\varphi }}=1</math> gesetzt werden, andernfalls gilt 

<math>{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\phi }_{ef}}\ge 1</math>
 
mit 
<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}</math> 
<math>{{f}_{ck}}</math> - der charakteristische Betondruckfestigkeit 
<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}</math> 
<math>\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)</math> - der Endkriechzahl, zu bestimmen nach EC2 Abs. 3.1.4 
<math>{{M}_{0,Eqp}}</math> - Moment nach Theorie I. Ordnung im Grenzzustand der Gebrauchstaug-lichkeit (mit Indizes Einwirkung, quasi, permanent). 

== Bemessung ==

Nach Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung können die Interaktionsdiagramme für symmetrisch bewehrte und unter Normalkraft und Moment beanspruchte Querschnitte angewendet werden. 
Alternativ dazu gibt es etwa in <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref> oder <ref>Holschemacher, K., Müller, T., Lobisch, F.: Bemessungshilfsmittel für Betonbauteile nach Eurocode 2, Leipzig 2012</ref> Interaktionsdiagramme für das Verfahren mit Nennkrümmung. Hierbei sind neben den Eingangswerten der oben genannten Interaktionsdiagramme der Quotient aus Knicklänge und Querschnittsabmessung in jeweilige Richtung und die Schlankheit erforderlich. Eine Interpolation ist möglich, allerdings reicht üblicherweise auch die Wahl der nächsthöheren Schlankheit für annehmbare Ergebnisse.

== Grenzen ==

Das Modellstützenverfahren darf bei zweiachsiger Ausmitte getrennt für beide Richtungen angewendet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind 

<math>\begin{array}{l}\frac{{{\lambda }_{y}}}{{{\lambda }_{z}}}\le 2\\\frac{{{\lambda }_{z}}}{{{\lambda }_{y}}}\le 2\end{array}</math>

und

<math>\frac{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}\le 0,2</math> oder <math>\frac{{{e}_{z}}/{{b}_{eq}}}{{{e}_{y}}/{{h}_{eq}}}\le 0,2</math>
 
mit 
<math>{{b}_{eq}}={{i}_{y}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{h}_{eq}}={{i}_{z}}\cdot \sqrt{12}</math> 
<math>{{i}_{i}}</math> - dem Trägheitsradius bezogen auf jeweilige Achse. 

Bei einer gehaltenen Richtung ist diese Betrachtung natürlich hinfällig. 
Als zusätzliche Bedingung gilt bei <math>{{e}_{0,z}}>0,2h</math> (z hierbei die stärkere Achse), dass der getrennt ablaufende Nachweis der schwächeren Achse y mit einer reduzierten Druckzonenbreite <math>{{h}_{red}}</math> geführt wird: 

<math>{{h}_{red}}=\frac{0,5\cdot h+{{h}^{2}}}{12\cdot e}\le h</math>
 
mit 
<math>e={{e}_{0,z}}+{{e}_{i,z}}</math> 
<math>{{e}_{0,z}}</math> - der planmäßigen Ausmitte 
<math>{{e}_{i,z}}</math> - der ungewollten Ausmitte, beide Werte im Betrag eingesetzt. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
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}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Datei:Nennkrümmung Einführung.png

2022-02-21T19:59:52Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-21T19:14:47Z

RSchwank:

[[Datei:Stahlbetonstütze.jpg|right|thumb|250px|Stahlbetonstütze im Bau]]
Stahlbetonstützen sind vorwiegend durch Normalkraft belastete Druckglieder. Als solche können bei ihnen durch die aus den ursprünglichen Einwirkungen resultierenden Verformungen weitere, maßgebliche Schnittgrößen entstehen, sodass eine Berechnung nach [[Theorie II. Ordnung]] nötig wird.

== Allgemeines ==

Zur Schnittgrößenermittlung und Bemessung von Stahlbetonstützen nach Theorie II. Ordnung werden im Eurocode 2 drei mögliche Verfahren erwähnt: ein allgemeines Verfahren auf Grundlage einer nichtlinearen Schnittgrößenermittlung und zwei Näherungsverfahren, das Verfahren mit Nennkrümmung und das Verfahren mit Nennsteifigkeit.

{| class="wikitable float-right" style="float-right; border-color: #060; margin-top: 0;"
|-
! style="background: #dcf5dc;" colspan="3"| Übersicht zu Stahlbetonstützen
|-
| Verfahren mit Nennkrümmung || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|-
| Verfahren mit Nennsteifigkeit || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|-
| Allgemeines Verfahren || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|}

== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

Nach EC2 5.8.3.1(1) sind die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zu ermitteln, wenn die Schlankheit des untersuchten Bauteils einen Grenzwert <math>{\lambda}_{lim}</math> überschreitet. Diese Grenze liegt bei

<math>{\lambda}_{lim} = max(25; \frac{16}{\sqrt{n}})</math>

mit <math>n = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{cd})</math>.

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

Das Verfahren mit Nennkrümmung ist in Deutschland das Standard-Verfahren zur händischen Berechnung einer Stahlbetonstütze. Bei diesem Verfahren wird aus der vorhandenen Stütze eine Kragstütze (die sogenannte Modellstütze) abgeleitet. Damit muss das System nur im kritischen Querschnitt bemessen werden. An dieser Kragstütze werden die Gesamtausmitte <math>e_{tot}</math> und daraus das Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung ermittelt.

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit ist in Deutschland nicht üblich. Im gängigen EC 2-Kommentar sind die entsprechenden Kapitel nicht enthalten. <ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 61.</ref> Bei diesem Verfahren wird für die Stahlbetonstütze eine Ersatzbiegesteifigkeit <math>EI</math> ermittelt. Auf Grundlage dieser Steifigkeit kann dann mit den Regeln der linearen Elastizitätstheorie ein Faktor zur Erhöhung des einwirkenden Moments nach Theorie I. Ordnung ermittelt werden.

Das Verfahren findet kaum Anwendung, weil es für Druckglieder mit hoher Schlankheit keine Ergebnisse liefert. Generell ist für alle hier behandelten Verfahren bereits vorher Kenntnis über die zu verwendende Bewehrung nötig, sodass die Bemessung gegebenenfalls über mehrere Iterationsschritte erfolgen muss. Speziell beim Verfahren mit Nennsteifigkeit ist aber auch noch die Anordnung der Bewehrung relevant. Diese hat großen Einfluss auf die errechnete Steifigkeit <math>EI</math> und führt schnell zu unwirtschaftlich hoch bewehrten Querschnitten.<ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 251.</ref><ref>Quast, Ulrich: Alternativen zum Modellstützenverfahren, in: Frilo-Magazin 2006, URL: https://www.frilo.eu/files/_inhalte/downloads/de/artikel/frilo-magazin/Frilo-Magazin-2006_Alternativen_zum_Modellstuetzenverfahren.pdf , abgerufen am 16.02.2022.</ref>

=== Allgemeines Verfahren ===

Das Allgemeine Verfahren strebt eine möglichst realitätsnahe Bestimmung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung an. Hierzu müssen sowohl die physikalische als auch die geometrische Nichtlinearität der Stahlbetonstütze beachtet werden. Die physikalische Nichtlinearität wird beachtet durch die Verwendung spezieller Spannungs-Dehnungs-Linien für nichtlineare Verfahren nach EC2 3.1.5. Mit geometrischer Nichtlinearität ist die Verformung der Stütze entlang ihrer Länge gemeint. Dies kann beachtet werden, indem wie im [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]] die Krümmung der Stütze abschnittsweise ermittelt und integriert wird, um die Ausmitte zu ermitteln.

Da ein solcher Ansatz aufwändig ist und mehrere Iterationsschritte erfordert, sind Berechnungen nach dem Allgemeinen Verfahren im Allgemeinen nur programmgesteuert durchführbar. Dafür erzielen Bemessungen nach diesem Ansatz die wirtschaftlichsten Ergebnisse.<ref>Kofler, Michaela; Andreatta, Andreas: Tragfähigkeit von Einzelstützen nach Eurocode 2 mit besonderem Bezug auf das Verfahren mit Nennsteifigkeiten. In: Beton- und Stahlbetonbau, 104. Jahrgang (2009), Heft 4, S. 223.</ref>

== Verfahren im Vergleich ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
|-
| In Deutschland zugelassen? || Ja || Ja || Ja
|-
| Regelung im EC 2 || 5.8.8 || 5.8.7 || 5.8.6
|-
| Grundidee || Ausmitte einer Modellstütze bestimmen || Schnittgrößen durch Ersatzbiegesteifigkeit bestimmen || Verformung und Schnittgrößen möglichst wirklichkeitsnah bestimmen
|-
| Handrechnung möglich? || Ja || Ja || Eher nicht
|-
| Einschränkungen || Bei sehr schlanken Stützen großzügige Bewehrung || Bei sehr schlanken Stützen nicht anwendbar || Generell anwendbar
|}

==Quellen==

<references />

Datei:Stahlbetonstütze.jpg

2022-02-21T18:25:49Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-18T15:27:55Z

RSchwank:

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png|randlos|ohne|250px|Finale Bewehrungsskizze]]

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-18T15:23:24Z

RSchwank:

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert. Die hier aufgeführten Formeln basieren auf dem EC 2.<ref>Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1- Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1992-1-1:2004+AC:2010, Berlin 2011.</ref>
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-18T14:46:01Z

RSchwank:

== Allgemeines ==

Stahlbetonstützen sind vorwiegend durch Normalkraft beanspruchte Bauteile. Als solche können bei ihnen durch die aus den ursprünglichen Einwirkungen resultierenden Verformungen weitere, maßgebliche Schnittgrößen entstehen, sodass eine Berechnung nach [[Theorie II. Ordnung]] nötig wird. Für diese Berechnung sind im Eurocode 2 drei mögliche Verfahren erwähnt: ein allgemeines Verfahren auf Grundlage einer nichtlinearen Schnittgrößenermittlung und zwei Näherungsverfahren, das Verfahren mit Nennkrümmung und das Verfahren mit Nennsteifigkeit.

{| class="wikitable float-right" style="float-right; border-color: #060; margin-top: 0;"
|-
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|-
| Verfahren mit Nennkrümmung || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|-
| Verfahren mit Nennsteifigkeit || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|-
| Allgemeines Verfahren || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|}

== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

Nach EC2 5.8.3.1(1) sind die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zu ermitteln, wenn die Schlankheit des untersuchten Bauteils einen Grenzwert <math>{\lambda}_{lim}</math> überschreitet. Diese Grenze liegt bei

<math>{\lambda}_{lim} = max(25; \frac{16}{\sqrt{n}})</math>

mit <math>n = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{cd})</math>.

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

Das Verfahren mit Nennkrümmung ist in Deutschland das Standard-Verfahren zur händischen Berechnung einer Stahlbetonstütze. Bei diesem Verfahren wird aus der vorhandenen Stütze eine Kragstütze (die sogenannte Modellstütze) abgeleitet. Damit muss das System nur im kritischen Querschnitt bemessen werden. An dieser Kragstütze werden die Gesamtausmitte <math>e_{tot}</math> und daraus das Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung ermittelt.

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit ist in Deutschland nicht üblich. Im gängigen EC 2-Kommentar sind die entsprechenden Kapitel nicht enthalten. <ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 61.</ref> Bei diesem Verfahren wird für die Stahlbetonstütze eine Ersatzbiegesteifigkeit <math>EI</math> ermittelt. Auf Grundlage dieser Steifigkeit kann dann mit den Regeln der linearen Elastizitätstheorie ein Faktor zur Erhöhung des einwirkenden Moments nach Theorie I. Ordnung ermittelt werden.

Das Verfahren findet kaum Anwendung, weil es für Druckglieder mit hoher Schlankheit keine Ergebnisse liefert. Generell ist für alle hier behandelten Verfahren bereits vorher Kenntnis über die zu verwendende Bewehrung nötig, sodass die Bemessung gegebenenfalls über mehrere Iterationsschritte erfolgen muss. Speziell beim Verfahren mit Nennsteifigkeit ist aber auch noch die Anordnung der Bewehrung relevant. Diese hat großen Einfluss auf die errechnete Steifigkeit <math>EI</math> und führt schnell zu unwirtschaftlich hoch bewehrten Querschnitten.<ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 251.</ref><ref>Quast, Ulrich: Alternativen zum Modellstützenverfahren, in: Frilo-Magazin 2006, URL: https://www.frilo.eu/files/_inhalte/downloads/de/artikel/frilo-magazin/Frilo-Magazin-2006_Alternativen_zum_Modellstuetzenverfahren.pdf , abgerufen am 16.02.2022.</ref>

=== Allgemeines Verfahren ===

Das Allgemeine Verfahren strebt eine möglichst realitätsnahe Bestimmung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung an. Hierzu müssen sowohl die physikalische als auch die geometrische Nichtlinearität der Stahlbetonstütze beachtet werden. Die physikalische Nichtlinearität wird beachtet durch die Verwendung spezieller Spannungs-Dehnungs-Linien für nichtlineare Verfahren nach EC2 3.1.5. Mit geometrischer Nichtlinearität ist die Verformung der Stütze entlang ihrer Länge gemeint. Dies kann beachtet werden, indem wie im [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]] die Krümmung der Stütze abschnittsweise ermittelt und integriert wird, um die Ausmitte zu ermitteln.

Da ein solcher Ansatz aufwändig ist und mehrere Iterationsschritte erfordert, sind Berechnungen nach dem Allgemeinen Verfahren im Allgemeinen nur programmgesteuert durchführbar. Dafür erzielen Bemessungen nach diesem Ansatz die wirtschaftlichsten Ergebnisse.<ref>Kofler, Michaela; Andreatta, Andreas: Tragfähigkeit von Einzelstützen nach Eurocode 2 mit besonderem Bezug auf das Verfahren mit Nennsteifigkeiten. In: Beton- und Stahlbetonbau, 104. Jahrgang (2009), Heft 4, S. 223.</ref>

== Verfahren im Vergleich ==

{| class="wikitable"
|-
! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
|-
| In Deutschland zugelassen? || Ja || Ja || Ja
|-
| Regelung im EC 2 || 5.8.8 || 5.8.7 || 5.8.6
|-
| Grundidee || Ausmitte einer Modellstütze bestimmen || Schnittgrößen durch Ersatzbiegesteifigkeit bestimmen || Verformung und Schnittgrößen möglichst wirklichkeitsnah bestimmen
|-
| Handrechnung möglich? || Ja || Ja || Eher nicht
|-
| Einschränkungen || Bei sehr schlanken Stützen großzügige Bewehrung || Bei sehr schlanken Stützen nicht anwendbar || Generell anwendbar
|}

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-18T13:45:26Z

RSchwank:

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== Allgemeines ==

Stahlbetonstützen sind vorwiegend durch Normalkraft beanspruchte Bauteile. Als solche können bei ihnen durch die aus den ursprünglichen Einwirkungen resultierenden Verformungen weitere, maßgebliche Schnittgrößen entstehen, sodass eine Berechnung nach [[Theorie II. Ordnung]] nötig wird. Für diese Berechnung sind im Eurocode 2 drei mögliche Verfahren erwähnt: ein allgemeines Verfahren auf Grundlage einer nichtlinearen Schnittgrößenermittlung und zwei Näherungsverfahren, das Verfahren mit Nennkrümmung und das Verfahren mit Nennsteifigkeit.

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| Verfahren mit Nennkrümmung || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|-
| Verfahren mit Nennsteifigkeit || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
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| Allgemeines Verfahren || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren|Beschreibung]] || [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)|Berechnungsbeispiel]]
|}

== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

Nach EC2 5.8.3.1(1) sind die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zu ermitteln, wenn die Schlankheit des untersuchten Bauteils einen Grenzwert <math>{\lambda}_{lim}</math> überschreitet. Diese Grenze liegt bei

<math>{\lambda}_{lim} = max(25; \frac{16}{\sqrt{n}})</math>

mit <math>n = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{cd})</math>.

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

Das Verfahren mit Nennkrümmung ist in Deutschland das Standard-Verfahren zur händischen Berechnung einer Stahlbetonstütze. Bei diesem Verfahren wird aus der vorhandenen Stütze eine Kragstütze (die sogenannte Modellstütze) abgeleitet. Damit muss das System nur im kritischen Querschnitt bemessen werden. An dieser Kragstütze werden die Gesamtausmitte <math>e_{tot}</math> und daraus das Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung ermittelt.

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit ist in Deutschland nicht üblich. Im gängigen EC 2-Kommentar sind die entsprechenden Kapitel nicht enthalten. <ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 61.</ref> Bei diesem Verfahren wird für die Stahlbetonstütze eine Ersatzbiegesteifigkeit <math>EI</math> ermittelt. Auf Grundlage dieser Steifigkeit kann dann mit den Regeln der linearen Elastizitätstheorie ein Faktor zur Erhöhung des einwirkenden Moments nach Theorie I. Ordnung ermittelt werden.

Das Verfahren findet kaum Anwendung, weil es für Druckglieder mit hoher Schlankheit keine Ergebnisse liefert. Generell ist für alle hier behandelten Verfahren bereits vorher Kenntnis über die zu verwendende Bewehrung nötig, sodass die Bemessung gegebenenfalls über mehrere Iterationsschritte erfolgen muss. Speziell beim Verfahren mit Nennsteifigkeit ist aber auch noch die Anordnung der Bewehrung relevant. Diese hat großen Einfluss auf die errechnete Steifigkeit <math>EI</math> und führt schnell zu unwirtschaftlich hoch bewehrten Querschnitten.<ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 251.</ref><ref>Quast, Ulrich: Alternativen zum Modellstützenverfahren, in: Frilo-Magazin 2006, URL: https://www.frilo.eu/files/_inhalte/downloads/de/artikel/frilo-magazin/Frilo-Magazin-2006_Alternativen_zum_Modellstuetzenverfahren.pdf , abgerufen am 16.02.2022.</ref>

=== Allgemeines Verfahren ===

Das Allgemeine Verfahren strebt eine möglichst realitätsnahe Bestimmung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung an.

== Verfahren im Vergleich ==

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! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
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| In Deutschland zugelassen? || Ja || Ja || Ja
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| Regelung im EC 2 || 5.8.8 || 5.8.7 || 5.8.6
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| Grundidee || Beispiel || Beispiel || Beispiel
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| Handrechnung möglich? || Ja || Ja || Eher nicht
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| Einschränkungen || Bei sehr schlanken Stützen großzügige Bewehrung || Bei sehr schlanken Stützen nicht anwendbar || Generell anwendbar
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==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-18T11:32:35Z

RSchwank:

Diese Seite befindet sich noch in Bearbeitung.

== Allgemeines ==

Stahlbetonstützen sind vorwiegend durch Normalkraft beanspruchte Bauteile. Als solche können bei ihnen durch die aus den ursprünglichen Einwirkungen resultierenden Verformungen weitere, maßgebliche Schnittgrößen entstehen, sodass eine Berechnung nach [[Theorie II. Ordnung]] nötig wird. Für diese Berechnung sind im Eurocode 2 drei mögliche Verfahren erwähnt: ein allgemeines Verfahren auf Grundlage einer nichtlinearen Schnittgrößenermittlung und zwei Näherungsverfahren, das Verfahren mit Nennkrümmung und das Verfahren mit Nennsteifigkeit.

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== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

Nach EC2 5.8.3.1(1) sind die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zu ermitteln, wenn die Schlankheit des untersuchten Bauteils einen Grenzwert <math>{\lambda}_{lim}</math> überschreitet. Diese Grenze liegt bei

<math>{\lambda}_{lim} = max(25; \frac{16}{\sqrt{n}})</math>

mit <math>n = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{cd})</math>.

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

Das Verfahren mit Nennkrümmung ist in Deutschland das Standard-Verfahren zur händischen Berechnung einer Stahlbetonstütze. Bei diesem Verfahren wird aus der vorhandenen Stütze eine Kragstütze (die sogenannte Modellstütze) abgeleitet. Damit muss das System nur im kritischen Querschnitt bemessen werden. An dieser Kragstütze werden die Gesamtausmitte <math>e_{tot}</math> und daraus das Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung ermittelt.

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit ist in Deutschland nicht üblich. Im gängigen EC 2-Kommentar sind die entsprechenden Kapitel nicht enthalten. <ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 61.</ref> Bei diesem Verfahren wird für die Stahlbetonstütze eine Ersatzbiegesteifigkeit <math>EI</math> ermittelt. Auf Grundlage dieser Steifigkeit kann dann mit den Regeln der linearen Elastizitätstheorie ein Faktor zur Erhöhung des einwirkenden Moments nach Theorie I. Ordnung ermittelt werden.

Das Verfahren findet kaum Anwendung, weil es für Druckglieder mit hoher Schlankheit keine Ergebnisse liefert. Generell ist für alle hier behandelten Verfahren bereits vorher Kenntnis über die zu verwendende Bewehrung nötig, sodass die Bemessung gegebenenfalls über mehrere Iterationsschritte erfolgen muss. Speziell beim Verfahren mit Nennsteifigkeit ist aber auch noch die Anordnung der Bewehrung relevant. Diese hat großen Einfluss auf die errechnete Steifigkeit <math>EI</math> und führt schnell zu unwirtschaftlich hoch bewehrten Querschnitten.<ref>Fingerloos, Frank; Hegger, Josef; Zilch, Konrad: Eurocode 2 für Deutschland. DIN EN 1992-1-1 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau mit nationalem Anhang, Berlin 2016 (2. Auflage), S. 251.</ref><ref>Quast, Ulrich: Alternativen zum Modellstützenverfahren, in: Frilo-Magazin 2006, URL: https://www.frilo.eu/files/_inhalte/downloads/de/artikel/frilo-magazin/Frilo-Magazin-2006_Alternativen_zum_Modellstuetzenverfahren.pdf , abgerufen am 16.02.2022.</ref>

=== Allgemeines Verfahren ===

== Verfahren im Vergleich ==

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! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
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| In Deutschland zugelassen? || Ja || Ja || Ja
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| Regelung im EC 2 || 5.8.8 || 5.8.7 || 5.8.6
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| Grundidee || Beispiel || Beispiel || Beispiel
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| Handrechnung möglich? || Ja || Ja || Eher nicht
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| Einschränkungen || Bei sehr schlanken Stützen großzügige Bewehrung || Bei sehr schlanken Stützen nicht anwendbar || Generell anwendbar
|}

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-18T08:21:01Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-17T19:59:47Z

RSchwank:

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== Allgemeines ==

== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

Nach EC2 5.8.3.1(1) sind die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zu ermitteln, wenn die Schlankheit des untersuchten Bauteils einen Grenzwert <math>{\lambda}_{lim}</math> überschreitet. Diese Grenze liegt bei

<math>{\lambda}_{lim} = max(25; \frac{16}{\sqrt{n}})</math>

mit <math>n = N_{Ed} / (A_c \cdot f_{cd})</math>.

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

=== Allgemeines Verfahren ===

== Verfahren im Vergleich ==

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! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
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| Grundidee || Beispiel || Beispiel || Beispiel
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| Einschränkungen || Bei sehr schlanken Stützen großzügige Bewehrung || Bei sehr schlanken Stützen nicht anwendbar || Generell anwendbar
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Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-17T18:59:11Z

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== Allgemeines ==

== Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ==

== Mögliche Verfahren zur Schnittgrößenermittlung ==

=== Verfahren mit Nennkrümmung ===

=== Verfahren mit Nennsteifigkeit ===

=== Allgemeines Verfahren ===

== Verfahren im Vergleich ==

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! !! Verfahren mit Nennkrümmung !! Verfahren mit Nennsteifigkeit !! Allgemeines Verfahren
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Stahlbetonstütze - Übersicht

2022-02-17T17:18:01Z

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Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-17T14:23:42Z

RSchwank:

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
Stützenhöhe: l = 3,0 m 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Druckglieder - Bemessung|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.)

2022-02-17T08:04:52Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) nach Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.): Vereinheitlichung

#WEITERLEITUNG [[Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)]]

Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

2022-02-17T08:04:42Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) nach Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.): Vereinheitlichung

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
Betongüte: C25/30 
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm 
statische Nutzhöhe: d = 25cm 
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung [[Druckglieder - Bemessung|vorbemessen]] und etwas erhöht: 
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, <math>{{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^\text{2}</math>

=== Planmäßige und ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{90}{200}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}</math>

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von <ref>Bolle, G.: Skript Stahlbetonbau III/Spannbetonbau, Wismar 2012</ref>. Hierbei wird die Normalkraft der Stütze vereinfachenderweise vernachlässigt. Aufgrund eines vergleichsweise geringen Drucks von 200kN kommt es zu keiner wesentlich Abweichung im Vergleich zum modulberechneten Ergebnis. Die Druckkraft wirkt sich günstig auf die Krümmung aus, bildet mit der Ausmitte als Hebelarm nach wie vor ein Moment:
=== Mittlere Betondruckfestigkeit ===

<math>{{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^\text{2}</math>

=== Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze ===

<math>\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^\text{2}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^\text{2}\end{array}</math>

=== Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit ===

<math>{{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {{30}^{2}}}{6}=1170kNcm</math>

=== Dehnungen im ungerissenen Zustand ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr1}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

<math>{{\varepsilon }_{s,cr1}}=\frac{{{z}_{s1}}}{h/2}\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{cm}}}=\left( \frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100} \right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
=== Resultierende Krümmung im Zustand I ===

<math>{{\kappa }_{I,II}}=\frac{\left| {{\varepsilon }_{c,cr1}} \right|+\left| {{\varepsilon }_{s,cr1}} \right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Verhältnis der E-Moduln ===

<math>{{\alpha }_{e}}=\frac{{{E}_{s}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{200000}{31000}=6,4516</math>

=== Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123</math>

=== Anteil der Betondruckzone ===

<math>\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}</math>

=== Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>-{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Betonstauchung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment ===

<math>{{\sigma }_{s}}=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \left( -{{\sigma }_{c2}} \right)\cdot {{\alpha }_{e}}=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^\text{2}</math>

=== Stahldehnung im Zustand II ===

<math>{{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung) ===

<math>{{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375</math>

=== Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze ===

<math>{{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms ===
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}</math>

=== Fließmoment ===

<math>{{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm</math>

=== Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung ===

<math>{{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;</math>

=== zugehörige Mittlere Krümmung ===

<math>{{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}</math>

=== Wertepaare: ===

<math>\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}</math>

=== Momenten-Krümmungs-Diagramm ===

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]] 
 

Eine höhere Druckkraft würde hier bei steigendem Moment für gleiche Krümmung (also hier eine höhere Position des Punktes des ersten Wertepaares) sorgen. 
=== Numerische Integration ===
Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m 
Beschreibung der Simpson-Formel:

<math>\begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}</math>

[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]] 
 

<math>w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~</math>

=== resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm</math>

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

== mb-Berechnung ==
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 7.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Numerisches Verfahren Stahlbetonstütze (Bsp.) 8.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
 
==Quellen==

<references />
 

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Stahlbetonstützen - Mindestbewehrung

2022-02-17T07:52:03Z

RSchwank: Weiterleitung nach Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung erstellt

#WEITERLEITUNG [[Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung]]

Diese Seite sollte gelöscht werden wegen uneinheitlichem Titel.

Stahlbetonstützen - Mindestbewehrung

2022-02-17T07:51:04Z

RSchwank: Die Seite wurde geleert.

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-17T07:46:50Z

RSchwank:

Diese Seite ist noch in Bearbeitung.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png|randlos|ohne|250px|Finale Bewehrungsskizze]]

==Quellen==

<references />

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png

2022-02-17T07:44:19Z

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Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 6.png

2022-02-17T07:38:44Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-17T01:54:11Z

RSchwank:

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== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

Platzhalter Bewehrungsskizze

==Quellen==

<references />

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 5.png

2022-02-17T01:50:07Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-16T23:13:51Z

RSchwank:

Diese Seite ist noch in Bearbeitung.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

==== Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung ====

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung mit Abstand zum Mittelpunkt Querschnitt]]

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

Platzhalter für Skizze

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

Platzhalter Bewehrungsskizze

==Quellen==

<references />

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 4.png

2022-02-16T20:56:49Z

RSchwank:

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-16T20:46:34Z

RSchwank:

Diese Seite ist noch in Bearbeitung.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====
[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png|rechts|mini|100px|Momentenverlauf infolge Imperfektion]]
Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1})</math>

<math>= 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \cdot { \color{red}(-0,39)}
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).</ref>)

[[Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG|randlos|ohne|400px|Interaktionsdiagramm]]
<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

'''Skizze:'''
[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png|randlos|ohne|250px|Gewählte Bewehrung]] 
Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

Platzhalter für Skizze

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2 =</math>

<math>12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 </math>

<math>= 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

Platzhalter für Skizze

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2</math>

<math>= 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2</math>

<math> = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

Platzhalter Bewehrungsskizze

==Quellen==

<references />

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 3.png

2022-02-16T20:29:43Z

RSchwank:

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit Interaktionsdiagramm 1.JPG

2022-02-16T19:29:42Z

RSchwank:

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 2.png

2022-02-16T18:33:54Z

RSchwank: Bewehrungsvorschlag

== Beschreibung ==
Bewehrungsvorschlag

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

2022-02-16T18:31:29Z

RSchwank:

Diese Seite ist noch in Bearbeitung.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png]] 

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

* Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
* Stahl B 500 A
* Ständige Last (Stützenkopf) <math>N_{Gk} = - 1.250,0 kN</math>
* Nutzlast (Stützenkopf) <math>N_{Qk} = - 750,0 kN</math> (Nutzlastkategorie C)
* Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

== Handrechnung ==

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>N_{Ed} = {\gamma}_G \cdot N_{Gk} + {\gamma}_Q \cdot N_{Qk} = 1,35 \cdot (-1250 kN) + 1,5 \cdot \cdot (-750 kN) = -2.812,5 kN</math>

<math>M_{Ed,y,I} = M_{Ed,z,I} = 0 kNm</math>

=== Knicklänge ===

<math>l_{col} = 6,00 m</math>

<math>\beta = 1,0</math> für das gegebene statische System (Pendelstütze)

<math>l_0 = \beta \cdot l_{col} = 1,0 \cdot 6,00 m = 6,00 m</math>

=== Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung ===

<math>\lambda = \frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 cm}{35 cm / \sqrt{12}} = 59,38</math>

<math>v_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

<math>{\lambda}_{crit} = \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1,62}} = 12,57
</math>

<math>{\lambda}_{vorh} > max(25; \frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}|}})
</math>

<math>59,38 > 25
</math>

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

=== Nennsteifigkeit ===

==== E-Moduln ====

<math>E_{cd} = \frac{E_{cm}}{{\gamma}_{CE}} = \frac{31.000 N/mm^2}{1,5} = 20.667 N/mm^2 = 2.066,7 kN/cm^2
</math>

<math>E_s = 200.000 N/mm^2
</math>

==== Flächenträgheitsmoment des Betons ====

<math>I_c = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{35 cm \cdot (35 cm)^2}{12} = 125.052 cm^4
</math>

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

<math>e_0 = 0 cm
</math>

<math>{\alpha}_h = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6,0}} = 0,816
</math>

<math>{\theta}_i = \frac{1}{200} \cdot {\alpha}_h = \frac{1}{200} \cdot 0,816 = \frac{1}{245}
</math>

<math>e_i = {\theta}_i \cdot \frac{l_0}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 cm}{2} = 1,22 cm
</math>

==== Vorbemessung ====

===== Wirksame Bauteildicke =====

<math>h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} = \frac{2 \cdot (35 cm)^2}{4 \cdot 35 cm} = 17,5 cm
</math>

===== Endkriechzahl =====

Erstbelastung des Betons: <math>t_0 = 28 </math> Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

<math>{\phi}_{\infty, t0} = 2,8</math> nach Schneider 5.33

===== Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination =====

<math>M_{1,perm} = (|N_{Gk}| + {\psi}_2 \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1.250 kN + 0,6 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 20,74 kNm
</math>

<math>M_{1,Ed} = ({\gamma}_{Gk} \cdot |N_{Gk}| + {\gamma}_{Qk} \cdot |N_{Qk}|) \cdot e_i = (1,35 \cdot 1.250 kN + 1,5 \cdot 750 kN) \cdot 0,0122 m = 34,31 kNm
</math>

===== Effektive Kriechzahl =====

<math>{\phi}_{ef} = {\phi}_{\infty, t0} \cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}} = 2,8 \cdot \frac{20,74 kNm}{34,31 kNm} = 1,69
</math>

===== Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel =====

<math>K_s = 0
</math>

<math>K_c = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef})} = \frac{0,3}{(1 + 0,5 \cdot 1,69)} = 0,163
</math>

===== Vorläufige Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,163 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 0 = 42.126.530 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{42.126.530 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 1.154,9 kN
</math>

===== Beiwert für den Momentenverlauf =====

Das Moment stammt aus der Lastausmitte <math>e_i</math> für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt <math>c_0 = 12</math>.

Platzhalter für Bild Schiefstellung

<math>\beta = \frac{\pi^2}{c_0} = \frac{\pi^2}{12} = 0,822
</math>

===== Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{1.154,9 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 3.431 kNcm \ cdot (-0,39)
</math>

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast <math>N_B</math> kleiner ist als die einwirkende Normalkraft <math>N_{Ed}</math>. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

<math>M_{Ed} = |N_{Ed}| \cdot \frac{h}{20} = |- 2.812,5 kN| \cdot \frac{35 cm}{20} = 4.922 kNcm = 49,22 kNm
</math>

<math>c_{nom} = c_{min} + \delta c_{dev} = 10 mm + 10 mm = 20 mm
</math>

<math>d_1 = c_{nom} + {\O}_{s,Bu} + {\O}_{s,L}/2 = 2,0 + 1,0 + 2,0/2 = 4,0 cm
</math>

<math>d = h - d_1 = 35 cm - 4 cm = 31 cm
</math>

===== Vorbemessung mit Bewehrungswahl =====

<math>\frac{d_1}{h} = \frac{4 cm}{35 cm} = 0,11 \approx 0,10
</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{4.922 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,081
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

<math>{\omega}_{tot} = 0,865
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 0,865 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 34,59 cm^2
</math>

Gewählt: <math>12 \O 20 mm</math> mit <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2</math>

==== Genauere Steifigkeitsbeiwerte ====

<math>K_s = 1
</math>

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20} = \sqrt{25/20} = 1,12
</math>

<math>k_2 = {\nu}_{Ed} \cdot \frac{\lambda}{170} = 1,62 \cdot \frac{59,38}{170} = 0,57 \leq \textbf{0,20}
</math>

<math>K_c = \frac{k_1 \cdot k_2}{(1 + {\phi}_{ef}} = \frac{1,12 \cdot 0,20}{(1 + 1,69} = 0,083
</math>

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

Platzhalter für Skizze

Insgesamt <math>12 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.
Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.
8 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math> und 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math>.

<math>I_s = 12 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 8 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2 = 12 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 8 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 = 9 cm^4 + 4.578 cm^4 + 1.134 cm^4 = 5.721 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 5.721 cm^4 = 135.870.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{135.870.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 3.724,98 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{3.724,98 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 12.124 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{12.124 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,199
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

<math>{\omega}_{tot} = 1,22
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,22 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 48,79 cm^2
</math>

Damit ist <math>A_{s,vorh} = 37,68 cm^2 < 48,79 cm^2 = A_{s,erf}</math>. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

=== Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe ===

Erhöhung von <math>12 \O 20mm</math> auf <math>16 \O 20 mm</math>. Neues <math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2</math>.

==== Flächenträgheitsmoment der Bewehrung ====

Platzhalter für Skizze

Insgesamt <math>16 \O 20 mm</math> mit je <math>A_s = 3,14 cm^2</math>.
Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.
10 Stäbe mit Abstand <math>s_1 = 13,5 cm</math>, 4 Stäbe mit Abstand <math>s_2 = 9,5 cm</math> und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

<math>I_s = 16 \cdot \frac{\pi \cdot d^4}{64} + 10 \cdot A_s \cdot s_1^2 + 4 \cdot A_s \cdot s_2^2 = 16 \cdot \frac{\pi \cdot (2,0 cm)^4}{64} + 10 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (13,5 cm)^2 + 4 \cdot 3,14 cm^2 \cdot (9,5 cm)^2 = 13 cm^4 + 5.723 cm^4 + 1.134 cm^4 = 6.870 cm^4
</math>

==== Bemessung ====

===== Nennsteifigkeit =====

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s = 0,083 \cdot 2.066,7 kN/cm^2 \cdot 125.052 cm^4 + 1,0 \cdot 20.000 kN/cm^2 \cdot 6.870 cm^4 = 158.850.932 kNcm^2
</math>

===== Knicklast =====

<math> N_B = \frac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2} = \frac{158.850.932 kNcm^2 \cdot \pi^2}{(600 cm)^2} = 4.354,99 kN
</math>

===== Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung =====

<math>M_{Ed} = M{0Ed} \cdot (1 + \frac{\beta}{N_B/N_{Ed} - 1}) = 3.431 kNcm \cdot (1 + \frac{0,822}{4.354,99 kN / 2.812,5 kN - 1}) = 3.431 kNcm = 8.573 kNcm
</math>

==== Bewehrungswahl ====

<math>{\mu}_{Ed} = \frac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}} = \frac{8.573 kNcm}{35 cm \cdot (35 cm)^2 \cdot 1,42 kN/cm^2} = 0,141
</math>

<math>{\nu}_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}} = \frac{- 2.812,5 kN}{35 cm \cdot 35 cm \cdot 1,42 kN/cm^2} = - 1,62
</math>

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

<math>{\omega}_{tot} = 1,045
</math>

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{cd}}{f{yd}} = 1,045 \cdot 35 cm \cdot 35 cm \cdot \frac{1,42 kN/cm^2}{43,5 kN/cm^2} = 41,79 cm^2
</math>

<math>A_{s,vorh} = 50,24 cm^2 > 41,79 cm^2 = A_{s,erf}
</math>

Platzhalter Bewehrungsskizze

Datei:Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.) 1.png

2022-02-16T14:39:17Z

RSchwank: Aufgabenstellung

== Beschreibung ==
Aufgabenstellung

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-16T14:00:19Z

RSchwank:

Diese Seite befindet sich noch im Erstellungsprozess.

 

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen einer Stahlbetonstütze nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert. Die hier aufgeführten Formeln basieren auf dem EC 2.<ref>Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1- Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1992-1-1:2004+AC:2010, Berlin 2011.</ref>
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-16T13:58:01Z

RSchwank:

Diese Seite befindet sich noch im Erstellungsprozess.

 

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert. Die hier aufgeführten Formeln basieren auf dem EC 2.<ref>Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-1- Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1992-1-1:2004+AC:2010, Berlin 2011.</ref>
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

==Quellen==

<references />

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-16T12:37:16Z

RSchwank:

Diese Seite befindet sich noch im Erstellungsprozess.

 

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert.
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Siehe hierzu auch die Hinweise zum [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung#Schnittgrößenermittlung|Verfahren mit Nennkrümmung]]. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-16T12:08:30Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Verfahren mit Nennsteifigkeit nach Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

#WEITERLEITUNG [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

2022-02-16T12:08:07Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Verfahren mit Nennsteifigkeit nach Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

Diese Seite befindet sich noch im Erstellungsprozess.

 

== Allgemeines ==

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]]. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden.
In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des [[Modellstützenverfahren - Verfahren mit Nennkrümmung|Verfahrens mit Nennkrümmung]] ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert.
 
 

== Erfordernis==

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieder]] ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der [[Schlankheit|Schlankheit]] beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math> für <math>\left| n \right|\ge 0,41</math> 

<math>{{\lambda }_{\lim }}=\frac{16}{\sqrt{n}}</math> für <math>\left| n \right|<0,41</math> 

mit 
<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}</math> (Druckkraft positiv) 
<math>{{N}_{Ed}}</math> - dem Bemessungswert der Normalkraft 
<math>{{A}_{c}}</math> - der Betonquerschnittsfläche 
<math>{{f}_{cd}}</math> - dem Bemessungswert der Betondruckkraft. 

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.
 

== Schnittgrößenermittlung ==

Das Moment nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] <math>{{M}_{Ed}}</math> wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) <math>{{M}_{0Ed}}</math> nach der Formel:

<math>{{M}_{Ed}} ={{M}_{0Ed}} \cdot ( 1 + \cfrac{\beta}{( {{N}_{B}}/{{N}_{Ed}}) -1} )</math>

=== Moment nach Theorie I. Ordnung ===

Das <math>{{M}_{0Ed}}</math> setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment <math>{{M}_{i}}</math>. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

<math>{{M}_{i}} = |{{N}_{i}}| \cdot {{e}_{i}}</math>

beachtet. Dabei ist <math>{{e}_{i}}</math> die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

<math>{{e}_{i}} ={{\Theta}_{i}} \cdot \cfrac{{l}_{0}}{2}</math> .

<math>l_0</math> - ist die Knicklänge wie oben.

<math>{\Theta}_i</math> - ist die Schiefstellung und definiert als

<math>{{\Theta}_{i}} = \cfrac{1}{200} \cdot {{\alpha}_{h}}</math> mit der Bedingung

<math>0 \leq {{\alpha}_{h}} = \cfrac{2}{\sqrt{l}} \leq 1</math> .

=== Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs <math>\beta</math> ===

Der Beiwert <math>\beta</math> berechnet sich als

<math>\beta = \cfrac{\pi^2}{c_0}</math> .

Für <math>c_0</math> gilt:

<math>c_0 = 8</math> für einen konstanten Momentenverlauf,

<math>c_0 = 9,6</math> für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

<math>c_0 = 12</math> für einen dreieckigen Momentenverlauf.
 

=== Knicklast <math>N_B</math> ===

Die Knicklast <math>N_B</math> berechnet sich als

<math>N_B = \cfrac{EI \cdot \pi^2}{l_0^2}</math> .

=== Nennsteifigkeit <math>EI</math> ===

Die Nennsteifigkeit <math>EI</math> setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

<math>EI = K_c \cdot E_{cd} \cdot I_c + K_s \cdot E_s \cdot I_s</math> .

Dabei sind:

<math>K_c</math> Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{cd}</math> - E-Modul des Betons

<math>I_c</math> - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

<math>K_s</math> - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

<math>E_{s}</math> - E-Modul des Bewehrungsstahls

<math>I_s</math> - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad <math>{\rho}_L</math> unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

==== Vorbemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,01</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{0,3}{1 + 0,5 \cdot {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 0</math> mit

<math>{\phi}_{ef}</math> - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

==== Genauere Bemessung ====

Bedingung: <math>{\rho}_L = \cfrac{A_s}{A_c} \geq 0,002</math>

Unter der obigen Bedingung gelten

<math>K_c = \cfrac{k_1 \cdot k_2}{1 + {\phi}_{ef}}</math> und

<math>K_s = 1</math> mit

<math>k_1 = \sqrt{f_{ck}/20}</math> und

<math>k_2 = n_{Ed} \cdot \cfrac{\lambda}{170} \leq 0,20</math>

== Bemessung ==

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen <math>n_{Ed}</math> und <math>{\mu}_{Ed}</math> genutzt werden:

<math>n_{Ed} = \cfrac{N_{Ed}}{b \cdot h \cdot f_{cd}}</math>

<math>{\mu}_{Ed} = \cfrac{M_{Ed}}{b \cdot h^2 \cdot f_{cd}}</math>

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad <math>{\omega}_{tot}</math>, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

<math>A_{s,tot} = {\omega}_{tot} \cdot b \cdot h \cdot \cfrac{f_{cd}}{f_{yd}}</math>

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.

Stahlbetonstützen - Mindestbewehrung

2022-02-16T12:06:26Z

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#WEITERLEITUNG [[Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung]]

Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung

2022-02-16T12:06:25Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Stahlbetonstützen - Mindestbewehrung nach Stahlbetonstütze - Mindestbewehrung: Vereinheitlichung

Mindestbewehrung ist als solche einzuhalten, um ein Versagen ohne Vorankündigung zur vermeiden. Beim Übergang in den Zustand II wird die Mindestbewehrung zur Aufnahme von Zugkräften herangezogen und es stellt sich vor dem Versagen eine erkennbare Verformung spätestens beim Fließen der Bewehrung ein.

== Stützen ==
=== Längsbewehrung ===
Ein Mindestdurchmesser von 12mm ist aus Gründen der Knicksicherheit und der Montierbarkeit einzuhalten. [vgl. <ref>Fingerloos, F., Hegger, J., Zilch, K.: Kommentar: Eurocode 2 für Deutschland, Berlin 2012</ref>] 
Weiterhin gilt 

<math>{{A}_{s,\min }}=0,15\cdot \frac{\left| {{N}_{Ed}} \right|}{{{f}_{y,d}}}</math>

für den Gesamtquerschnitt der Längsbewehrung, wobei jedoch 9% des Betonnettoquerschnitts auch bei Stößen nicht überschritten werden dürfen. Dieser Grenzwert garantiert im Allgemeinen ausreichenden Verbund sowie hohlraumfreies Betonieren und Rüttellücken. 
Für polygonale Stützen ist in jeder Ecke ein Stab anzuordnen, bei welchen mit rundem Querschnitt mindestens 6 Stäbe über den gesamten Umfang verteilt. Ist ein Maximalabstand von 300mm in beiden Fällen überschritten, müssen darüber hinaus weitere Längsstäbe angeordnet werden.

=== Querbewehrung ===

Die Anordnung von Bügeln oder Wendeln hindert die Längsbewehrung am Ausknicken und trägt zum Querdehnungswiderstand und der Querkrafttragfähigkeit bei. 
Der Durchmesser muss mindestens ein Viertel des größten Längsstabs und mindestens 6mm betragen. Der maximale Abstand errechnet sich aus dem kleinsten Wert von 

- 12ø des kleinsten Durchmessers der Längsbewehrung, 
- der kleinsten Querschnittsabmessung der Stütze und 
- 300mm. 

 
==Quellen==

<references />
 

{{Seiteninfo
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|Status = Seite fertig, ungeprüft
}}

[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Modellstützenverfahren (Bsp.)

2022-02-16T11:58:36Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Modellstützenverfahren (Bsp.) nach Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.): Vereinheitlichung

#WEITERLEITUNG [[Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)]]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)

2022-02-16T11:58:22Z

RSchwank: RSchwank verschob die Seite Modellstützenverfahren (Bsp.) nach Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.): Vereinheitlichung

== Handrechnung ==
=== Einwirkungen ===
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

=== Querschnittsabmessungen, Betongüte und Endkriechzahl ===

<math>\begin{array}{l}b/h=25/30cm\quad \quad {{d}_{1}}=3,5cm\\l=3m\quad \quad \quad \quad \quad \quad C25/30\\\phi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)=2,0\end{array}</math>

In x-y-Ebene schließen Wände an, die Stütze ist in diese Richtung gehalten.

=== Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ===

<math>\begin{array}{l}{{N}_{Ed}}=-500kN\\{{M}_{y,Ed}}=25\cdot 3=75kNm\end{array}</math>

=== Schlankheitskriterium ===

<math>\lambda =\frac{{{l}_{0}}}{{{i}_{y}}}=\frac{\beta \cdot {{l}_{col}}}{\sqrt{\frac{{{I}_{y}}}{A}}}=\frac{2\cdot 300}{\sqrt{\frac{(25\cdot 30{}^\text{3})/12}{25\cdot 30}}}=69,28</math>

<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=-0,47</math>

<math>{{\lambda }_{\lim }}=25~</math>

Berücksichtigung von Einwirkungen nach Theorie II. Ordnung erforderlich.

=== Planmäßige Ausmitte ===

<math>{{e}_{0}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{75}{500}=0,15m</math>

=== Ungewollte Ausmitte ===

<math>\begin{array}{l}0\le {{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{l}^{0,5}}}\le 1\\{{\alpha }_{h}}=\frac{2}{{{3}^{0,5}}}=1,15\\{{\alpha }_{h}}=1\end{array}</math>

<math>{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}\cdot \frac{{{l}_{0}}}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m</math>

=== Ausmitte nach Theorie II. Ordnung ===

<math>{{\varphi }_{ef}}=\varphi \left( \infty ,{{t}_{0}} \right)\cdot \frac{{{M}_{0,Eqp}}}{{{M}_{0,Ed}}}=2\cdot \frac{75}{75}=2</math>

(wegen gegebener Bemessungswerte kann das Moment im GZG nicht genauer ermittelt werden)

<math>\beta =0,35+\frac{{{f}_{ck}}}{200}-\frac{\lambda }{150}=0,35+\frac{25}{200}-\frac{69,28}{150}=0,013</math>

<math>\begin{array}{l}{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\varphi }_{ef}}\ge 1\\{{K}_{\varphi }}=1+0,013\cdot 2=1,03\end{array}</math>

<math>{{K}_{r}}=1~</math> (wegen vorerst unbekannter Bewehrung mit 1 angenommen)

<math>{{\varepsilon }_{yd}}=\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}=\frac{500/1,15}{200000}=2,174\cdot {{10}^{-3}}</math>

<math>\frac{1}{{{r}_{0}}}=\frac{{{\varepsilon }_{yd}}}{0,45\cdot d}=\frac{2,174\cdot {{10}^{-3}}}{0,45\cdot (0,3-0,035)}=0,0182{{m}^{-1}}</math>

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}=1\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0188{{m}^{-1}}</math>

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}=0,0188\cdot 6{}^\text{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{10}=0,0676m</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0676=0,2326m~</math>

=== Resultierendes Moment am Stützenfuß ===

<math>{{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2326=116,3kNm</math>

=== Bezogene Schnittgrößen ===

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{2,Ed}}}{b\cdot h{}^\text{2}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{11630}{25\cdot 30{}^\text{2}\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,36\end{array}</math>

=== Bemessung mit Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte ===

<math>\frac{{{d}_{1}}}{h}=\frac{0,035}{0,3}=0,12\approx 0,1</math>

<math>\begin{array}{l}{{\omega }_{tot}}=0,61\\{{A}_{s,tot}}={{\omega }_{tot}}\cdot \frac{b\cdot h}{{{f}_{yd}}/{{f}_{cd}}}=0,61\cdot \frac{25\cdot 30}{\frac{50}{1,15}/0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=14,9cm{}^\text{2}\end{array}</math>

<math>{{A}_{s1}}={{A}_{s2}}=\frac{14,9}{2}=7,35cm{}^\text{2}</math>, gewählt: 5ø14 je Seite, <math>{{A}_{s,vorh}}=7,7cm{}^\text{2}~</math>

=== Weitere Berechnung mit genauerem Krümmungsbeiwert: ===

<math>n=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=-0,47</math>

<math>\omega =\frac{{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{2\cdot 7,7\cdot \frac{50}{1,15}}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,63</math>

<math>{{n}_{u}}=1+\omega =1,63~</math>

<math>{{K}_{r}}=\frac{{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}=\frac{1,63-0,47}{1,63-0,4}=0,94</math>

<math>\frac{1}{r}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot \frac{1}{{{r}_{0}}}=0,94\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0176{{m}^{-1}}</math>

<math>{{e}_{2}}=\frac{1}{r}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot \frac{1}{c}=0,0176\cdot 6{}^\text{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{10}=0,0634m</math>

=== Gesamtausmitte ===

<math>{{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0634=0,2284m~</math>

=== Resultierendes Moment am Stützenfuß ===

<math>{{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2284=114,22kNm</math>

=== Bezogene Schnittgrößen ===

<math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{2,Ed}}}{b\cdot h{}^\text{2}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{11422}{25\cdot 30{}^\text{2}\cdot 0,85\cdot \frac{2,5}{1,5}}=0,36\end{array}</math>

Keine wesentliche Veränderung, Bemessung bleibt bei 2x5ø14. 
Anmerkung: die Berechnung mit dem Modul ergibt einen erforderlichen Querschnitt von 0,02cm² über den vorhandenen mit 10ø14 an und verlangt daraufhin 2 weitere Stäbe.

== mb-Berechnung ==
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[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 
[[File:Modellstützenverfahren (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]] 
 

 
==Quellen==

<references />
 

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}}

[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]