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Verankerungslänge

2022-05-04T18:07:08Z

TSchraudolf:

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|right]]
Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein [[Verankerung am Einzelfundament (Modell)|eigenes Berechnungsmodell]]. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet. Um für diese Konstruktion die Verankerungslänge zu bestimmen, kann wie beim Kragarmende der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]] genutzt werden.

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

 

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerung am Kragarmende (Bsp.)

2022-05-04T17:46:20Z

TSchraudolf: /* Kontext */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Ende eines Kragarms nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Kragarmende finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Kragarmende|hier]].

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|250px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Träger mit Kragarm ist die Verankerungslänge am Kragarmende zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton: <math>C30/37</math>
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 50 mm</math>
* Nutzhöhe obere Bewehrungslage: <math>d = 64 cm</math>
* Gewählte Bewehrung oben am Kragarmende: <math>2 \O 16</math>
* Druckstrebenneigungswinkel: <math>{\theta} = 18,4</math>° → <math>cot {\theta} = 3,00</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,0 N/mm^2 = 2,1 N/mm^2 = 0,21 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 64 cm = 57,6 cm</math>

Bei seitlich ausgelagerter Bewehrung ist das Versatzmaß um den Abstand <math>x</math> der ausgelagerten Stäbe vom Stegrand zu erhöhen. Dieser Wert beträgt hier <math>x = 10 cm</math>.

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} + cot {\alpha})/2 + x</math>

<math>a_L = 57,6 cm \cdot (3,0 + 0)/2 + 10 cm = 96,4 cm</math>

=== Randzugkraft ===

Die Randzugkraft wird hier über das [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Verschieben der Zugkraftlinie]] um das Versatzmaß <math>a_L</math> ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet.

<math>p_{Ed} = 1,35 \cdot 40 kN/m + 1,5 \cdot 25 kN/m = 91,5 kN/m</math>

<math>D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6 cm = 6,4 cm</math>

<math>x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min}/2 = 5,0 cm + 1,6 cm + 6,4 cm / 2 = 9,8 cm</math>

<math>M_{Ed,x0} = p_{Ed} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = 91,5 kN/m \cdot \frac{(0,098 m + 0,964 m)^2}{2} = 51,60 kNm</math>

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{51,60 kNm}{0,576 m} = 89,58 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{89,58 kN}{43,5 kN/cm^2} = 2,06 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

Vorhanden: <math>2 \O 16</math> → <math>A_{s,vorh} = 4,02 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{2,06 cm^2}{4,02 cm^2} = 22,28 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{22,28 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} = 42,45 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===

<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 42,45 cm = 42,45 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 24,86 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: <math>l_{b,vorh} = 45 cm</math>.

<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] bestimmt.

Verankerung am Endauflager (Bsp.)

2022-05-04T17:46:01Z

TSchraudolf: /* Kontext */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Endauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Endauflager|hier]].

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Plattenbalken soll die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager bestimmt werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B
* <math> cot \theta = 2,09; cot \alpha = 0</math>
* Von der Zugbewehrung werden 5 Stäbe bis zum Auflager geführt

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 62,5 cm = 56,25 cm</math>

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} - cot {\alpha}) = 56,25 cm \cdot (2,09 - 0) = 58,8 cm</math>

=== Randzugkraft ===

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} = 303,24 kN \cdot \frac{58,8 cm}{56,25 cm} + 0 kN = 316,97 kN</math>

<math>F_{sd} = 316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{316,97 kN}{43,5kN/cm^2} = 7,29 cm^2</math>

=== Vorhandene Bewehrung ===

5 Ø 20 → <math>A_{s,vorh} = 15,71 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{7,29 cm^2}{15,71 cm^2} = 20,19 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{20,19 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 33,21 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus Auflagerkraft → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 33,21 cm = \textbf{22,14 cm}</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 14,31 cm \\ 13,33 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t - c_v = 30 cm - 5 cm = 25 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 25 cm \, \geq 22,14 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)

2022-05-04T17:45:45Z

TSchraudolf: /* Kontext */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Zwischenauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Zwischenauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Zwischenauflager|hier]].

== Vorbemerkung ==

Am Zwischenauflager wird die Verankerungslänge im Allgemeinen als <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> berechnet, da am Zwischenauflager keine Zugkraft zu verankern ist. Dies wird im folgenden Berechnungsbeispiel hergeleitet, in der praktischen Bemessung genügt die kurze Formel.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Plattenbalken soll die Verankerungslänge der unteren Bewehrung am Zwischenauflager bestimmt werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Randzugkraft ===

Der Bewehrungsstab liegt am Zwischenauflager im Druckbereich.

<math>F_{sd} = 0 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{0 kN}{43,5 kN/cm^2} = 0 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 0 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{0 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 0 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge für Druckstäbe ===

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s = 6 \cdot 2,0 cm = \textbf{12 cm}</math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t = 30 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 30 cm \, \geq \, 12 cm = l_{b,min}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)

2022-05-04T17:45:28Z

TSchraudolf: /* Kontext */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge an einer Stelle außerhalb von Auflagern an einem Plattenbalken nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zur Berechnung außerhalb von Auflagern finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_außerhalb_von_Auflagern|hier]].

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Im Rahmen der Zugkraftdeckung wird die Feldbewehrung von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20 abgestuft. Hierfür ist die nötige Verankerungslänge zu bestimmen.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Erforderliche und vorhandene Bewehrung ===

Die Abstufung erfolgt von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20.

<math>A_{s,vorh} = 7 \O 20</math>

<math>A_{s,erf} = 5 \O 20</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{5}{7} = 31,07 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{31,07 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 51,10 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 51,10 cm = \textbf{51,10 cm}</math>

=== Mindestwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 21,46 cm \\ 20,00 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Gewählt: <math>l_{b,vorh} = 55 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 55 cm \, \geq 51,10 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)

2022-05-04T17:44:56Z

TSchraudolf: /* Kontext */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge an einer Stelle außerhalb von Auflagern an einem Plattenbalken nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zur Berechnung außerhalb von Auflagern finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_außerhalb_von_Auflagern|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Im Rahmen der Zugkraftdeckung wird die Feldbewehrung von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20 abgestuft. Hierfür ist die nötige Verankerungslänge zu bestimmen.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Erforderliche und vorhandene Bewehrung ===

Die Abstufung erfolgt von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20.

<math>A_{s,vorh} = 7 \O 20</math>

<math>A_{s,erf} = 5 \O 20</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{5}{7} = 31,07 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{31,07 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 51,10 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 51,10 cm = \textbf{51,10 cm}</math>

=== Mindestwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 21,46 cm \\ 20,00 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Gewählt: <math>l_{b,vorh} = 55 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 55 cm \, \geq 51,10 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)

2022-05-04T16:24:21Z

TSchraudolf: /* Aufgabenstellung */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge an einer Stelle außerhalb von Auflager an einem Plattenbalken nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zur Berechnung außerhalb von Auflagern finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_außerhalb_von_Auflagern|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Im Rahmen der Zugkraftdeckung wird die Feldbewehrung von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20 abgestuft. Hierfür ist die nötige Verankerungslänge zu bestimmen.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Erforderliche und vorhandene Bewehrung ===

Die Abstufung erfolgt von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20.

<math>A_{s,vorh} = 7 \O 20</math>

<math>A_{s,erf} = 5 \O 20</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{5}{7} = 31,07 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{31,07 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 51,10 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 51,10 cm = \textbf{51,10 cm}</math>

=== Mindestwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 21,46 cm \\ 20,00 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Gewählt: <math>l_{b,vorh} = 55 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 55 cm \, \geq 51,10 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Endauflager (Bsp.)

2022-05-03T19:36:08Z

TSchraudolf: /* Aufgabenstellung */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Endauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Endauflager|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Plattenbalken soll die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager bestimmt werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B
* <math> cot \theta = 2,09; cot \alpha = 0</math>
* Von der Zugbewehrung werden 5 Stäbe bis zum Auflager geführt

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 62,5 cm = 56,25 cm</math>

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} - cot {\alpha}) = 56,25 cm \cdot (2,09 - 0) = 58,8 cm</math>

=== Randzugkraft ===

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} = 303,24 kN \cdot \frac{58,8 cm}{56,25 cm} + 0 kN = 316,97 kN</math>

<math>F_{sd} = 316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{316,97 kN}{43,5kN/cm^2} = 7,29 cm^2</math>

=== Vorhandene Bewehrung ===

5 Ø 20 → <math>A_{s,vorh} = 15,71 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{7,29 cm^2}{15,71 cm^2} = 20,19 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{20,19 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 33,21 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus Auflagerkraft → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 33,21 cm = \textbf{22,14 cm}</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 14,31 cm \\ 13,33 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t - c_v = 30 cm - 5 cm = 25 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 25 cm \, \geq 22,14 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)

2022-05-03T19:35:20Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Zwischenauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Zwischenauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Zwischenauflager|hier]]

== Vorbemerkung ==

Am Zwischenauflager wird die Verankerungslänge im Allgemeinen als <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> berechnet, da am Zwischenauflager keine Zugkraft zu verankern ist. Dies wird im folgenden Berechnungsbeispiel hergeleitet, in der praktischen Bemessung genügt die kurze Formel.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Plattenbalken soll die Verankerungslänge der unteren Bewehrung am Zwischenauflager bestimmt werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Randzugkraft ===

Der Bewehrungsstab liegt am Zwischenauflager im Druckbereich.

<math>F_{sd} = 0 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{0 kN}{43,5 kN/cm^2} = 0 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 0 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{0 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 0 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge für Druckstäbe ===

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s = 6 \cdot 2,0 cm = \textbf{12 cm}</math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t = 30 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 30 cm \, \geq \, 12 cm = l_{b,min}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)

2022-05-03T19:35:00Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Zwischenauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Zwischenauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Zwischenauflager|hier]]

== Vorbemerkung ==

Am Zwischenauflager wird die Verankerungslänge im Allgemeinen als <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> berechnet, da am Zwischenauflager keine Zugkraft zu verankern ist. Dies wird im folgenden Berechnungsbeispiel hergeleitet, in der praktischen Bemessung genügt die kurze Formel.

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Plattenbalken soll die Verankerungslänge der unteren Bewehrung am Zwischenauflager bestimmt werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B

== Lösung ==

=== Randzugkraft ===

Der Bewehrungsstab liegt am Zwischenauflager im Druckbereich.

<math>F_{sd} = 0 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{0 kN}{43,5 kN/cm^2} = 0 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 0 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{0 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 0 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge für Druckstäbe ===

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s = 6 \cdot 2,0 cm = \textbf{12 cm}</math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t = 30 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 30 cm \, \geq \, 12 cm = l_{b,min}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Endauflager (Bsp.)

2022-05-03T19:02:50Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Endauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Endauflager|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung Bsp 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung Bsp 2.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Endauflager eines Balkens soll die Zugbewehrung am Endauflager verankert werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B
* <math> cot \theta = 2,09; cot \alpha = 0</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 62,5 cm = 56,25 cm</math>

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} - cot {\alpha}) = 56,25 cm \cdot (2,09 - 0) = 58,8 cm</math>

=== Randzugkraft ===

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} = 303,24 kN \cdot \frac{58,8 cm}{56,25 cm} + 0 kN = 316,97 kN</math>

<math>F_{sd} = 316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{316,97 kN}{43,5kN/cm^2} = 7,29 cm^2</math>

=== Vorhandene Bewehrung ===

5 Ø 20 → <math>A_{s,vorh} = 15,71 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{7,29 cm^2}{15,71 cm^2} = 20,19 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{20,19 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 33,21 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus Auflagerkraft → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 33,21 cm = \textbf{22,14 cm}</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 14,31 cm \\ 13,33 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t - c_v = 30 cm - 5 cm = 25 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 25 cm \, \geq 22,14 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Datei:Verankerung Bsp 2.PNG

2022-05-03T18:38:16Z

TSchraudolf: Berechnungsbeispiel Plattenbalken Verankerungslänge

== Beschreibung ==
Berechnungsbeispiel Plattenbalken Verankerungslänge

Datei:Verankerung Bsp 1.PNG

2022-05-03T18:33:37Z

TSchraudolf: Berechnungsbeispiel Plattenbalken Verankerungslänge

== Beschreibung ==
Berechnungsbeispiel Plattenbalken Verankerungslänge

Verankerung am Kragarmende (Bsp.)

2022-05-02T08:51:37Z

TSchraudolf: /* Aufgabenstellung */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Ende eines Kragarms nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Kragarmende finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Kragarmende|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|250px|Baustatik-Wiki]]

Für den dargestellten Träger mit Kragarm ist die Verankerungslänge am Kragarmende zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton: <math>C30/37</math>
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 50 mm</math>
* Nutzhöhe obere Bewehrungslage: <math>d = 64 cm</math>
* Gewählte Bewehrung oben am Kragarmende: <math>2 \O 16</math>
* Druckstrebenneigungswinkel: <math>{\theta} = 18,4</math>° → <math>cot {\theta} = 3,00</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,0 N/mm^2 = 2,1 N/mm^2 = 0,21 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 64 cm = 57,6 cm</math>

Bei seitlich ausgelagerter Bewehrung ist das Versatzmaß um den Abstand <math>x</math> der ausgelagerten Stäbe vom Stegrand zu erhöhen. Dieser Wert beträgt hier <math>x = 10 cm</math>.

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} + cot {\alpha})/2 + x</math>

<math>a_L = 57,6 cm \cdot (3,0 + 0)/2 + 10 cm = 96,4 cm</math>

=== Randzugkraft ===

Die Randzugkraft wird hier über das [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Verschieben der Zugkraftlinie]] um das Versatzmaß <math>a_L</math> ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet.

<math>p_{Ed} = 1,35 \cdot 40 kN/m + 1,5 \cdot 25 kN/m = 91,5 kN/m</math>

<math>D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6 cm = 6,4 cm</math>

<math>x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min}/2 = 5,0 cm + 1,6 cm + 6,4 cm / 2 = 9,8 cm</math>

<math>M_{Ed,x0} = p_{Ed} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = 91,5 kN/m \cdot \frac{(0,098 m + 0,964 m)^2}{2} = 51,60 kNm</math>

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{51,60 kNm}{0,576 m} = 89,58 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{89,58 kN}{43,5 kN/cm^2} = 2,06 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

Vorhanden: <math>2 \O 16</math> → <math>A_{s,vorh} = 4,02 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{2,06 cm^2}{4,02 cm^2} = 22,28 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{22,28 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} = 42,45 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===

<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 42,45 cm = 42,45 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 24,86 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: <math>l_{b,vorh} = 45 cm</math>.

<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] bestimmt.

Verankerung am Kragarmende (Bsp.)

2022-05-02T08:41:05Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Ende eines Kragarms nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Kragarmende finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Kragarmende|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|250px|Baustatik-Wiki]]
'''Schnitt noch überprüfen, untere Bewehrung'''

Für den dargestellten Träger mit Kragarm ist die Verankerungslänge am Kragarmende zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton: <math>C30/37</math>
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 50 mm</math>
* Nutzhöhe obere Bewehrungslage: <math>d = 64 cm</math>
* Gewählte Bewehrung oben am Kragarmende: <math>2 \O 16</math>
* Druckstrebenneigungswinkel: <math>{\theta} = 18,4</math>° → <math>cot {\theta} = 3,00</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,0 N/mm^2 = 2,1 N/mm^2 = 0,21 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 64 cm = 57,6 cm</math>

Bei seitlich ausgelagerter Bewehrung ist das Versatzmaß um den Abstand <math>x</math> der ausgelagerten Stäbe vom Stegrand zu erhöhen. Dieser Wert beträgt hier <math>x = 10 cm</math>.

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} + cot {\alpha})/2 + x</math>

<math>a_L = 57,6 cm \cdot (3,0 + 0)/2 + 10 cm = 96,4 cm</math>

=== Randzugkraft ===

Die Randzugkraft wird hier über das [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Verschieben der Zugkraftlinie]] um das Versatzmaß <math>a_L</math> ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet.

<math>p_{Ed} = 1,35 \cdot 40 kN/m + 1,5 \cdot 25 kN/m = 91,5 kN/m</math>

<math>D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6 cm = 6,4 cm</math>

<math>x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min}/2 = 5,0 cm + 1,6 cm + 6,4 cm / 2 = 9,8 cm</math>

<math>M_{Ed,x0} = p_{Ed} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = 91,5 kN/m \cdot \frac{(0,098 m + 0,964 m)^2}{2} = 51,60 kNm</math>

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{51,60 kNm}{0,576 m} = 89,58 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{89,58 kN}{43,5 kN/cm^2} = 2,06 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

Vorhanden: <math>2 \O 16</math> → <math>A_{s,vorh} = 4,02 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{2,06 cm^2}{4,02 cm^2} = 22,28 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{22,28 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} = 42,45 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===

<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 42,45 cm = 42,45 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 24,86 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: <math>l_{b,vorh} = 45 cm</math>.

<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] bestimmt.

Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)

2022-05-02T08:39:40Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge an einer Stelle außerhalb von Auflager an einem Plattenbalken nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zur Berechnung außerhalb von Auflagern finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_außerhalb_von_Auflagern|hier]]

== Aufgabenstellung ==

Bild

Im Rahmen der Zugkraftdeckung wird die Feldbewehrung von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20 abgestuft. Hierfür ist die nötige Verankerungslänge zu bestimmen.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B
* Expositionsklasse:
* cot theta =, cot alpha =

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Erforderliche und vorhandene Bewehrung ===

Die Abstufung erfolgt von 7 Ø 20 auf 5 Ø 20.

<math>A_{s,vorh} = 7 \O 20</math>

<math>A_{s,erf} = 5 \O 20</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{5}{7} = 31,07 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{31,07 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 51,10 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 51,10 cm = \textbf{51,10 cm}</math>

=== Mindestwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 21,46 cm \\ 20,00 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Gewählt: <math>l_{b,vorh} = 55 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 55 cm \, \geq 51,10 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)

2022-05-02T08:39:36Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Zwischenauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Zwischenauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Zwischenauflager|hier]]

== Vorbemerkung ==

Am Zwischenauflager wird die Verankerungslänge im Allgemeinen als <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> berechnet, da am Zwischenauflager keine Zugkraft zu verankern ist. Dies wird im folgenden Berechnungsbeispiel hergeleitet, in der praktischen Bemessung genügt die kurze Formel.

== Aufgabenstellung ==

== Lösung ==

=== Randzugkraft ===

Der Bewehrungsstab liegt am Zwischenauflager im Druckbereich.

<math>F_{sd} = 0 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{0 kN}{43,5 kN/cm^2} = 0 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 0 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{0 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 0 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge für Druckstäbe ===

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s = 6 \cdot 2,0 cm = \textbf{12 cm}</math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t = 30 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 30 cm \, \geq \, 12 cm = l_{b,min}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Endauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung am Endauflager (Bsp.)

2022-05-02T08:01:11Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Endauflager eines Plattenbalkens nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Endauflager finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Endauflager|hier]]

== Aufgabenstellung ==

<big>'''Bild einfügen'''</big>

Für das dargestellte Endauflager eines Balkens soll die Zugbewehrung am Endauflager verankert werden.

Folgende Daten sind gegeben:

* Beton: C30/37
* Betonstabstahl: B500B
* Expositionsklasse:
* cot theta =, cot alpha =

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 3,04 N/mm^2 = 0,304 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 62,5 cm = 56,25 cm</math>

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} - cot {\alpha}) = 56,25 cm \cdot (2,09 - 0) = 58,8 cm</math>

=== Randzugkraft ===

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} = 303,24 kN \cdot \frac{58,8 cm}{56,25 cm} + 0 kN = 316,97 kN</math>

<math>F_{sd} = 316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{316,97 kN}{43,5kN/cm^2} = 7,29 cm^2</math>

=== Vorhandene Bewehrung ===

5 Ø 20 → <math>A_{s,vorh} = 15,71 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{7,29 cm^2}{15,71 cm^2} = 20,19 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{20,19 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 33,21 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus Auflagerkraft → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 33,21 cm = \textbf{22,14 cm}</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 14,31 cm \\ 13,33 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,vorh} = t - c_v = 30 cm - 5 cm = 25 cm</math>

<math>l_{b,vorh} = 25 cm \, \geq 22,14 cm = l_{b,eq}</math>

== Einordnung in die Gesamtbemessung der Verankerungslänge ==

Dieses Beispiel berechnet die Verankerungslänge an einem Bereich des Systems. Zur umfassenden Bemessung muss die Verankerungslänge auch an anderen Stellen ermittelt werden, hierzu werden am Berechnungsbeispiel auch die Verankerungslänge am [[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Zwischenauflager]], [[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|außerhalb von Auflagern]] und am [[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Kragarmende]] bestimmt.

Verankerung an Konsolen (Bsp.)

2022-05-02T06:38:30Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung an einer Konsole nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Konsolen finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_an_Konsolen|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung an Konsolen (Bsp.) 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für die gegebene Konsole ist die Verankerung der Zugbewehrung unter der Lastplatte nachzuweisen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C35/45
* Betonstahlstahl B500B
* Gewählte Zugbewehrung: 2 Schlaufen Ø 12
* <math>A_{s,erf} = 3,8 cm^2</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C35/45 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,37 N/mm^2 = 2,36 N/mm^2 = 0,236 kN/cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

2 Schlaufen Ø 12 → <math>A_{s,vorh} = 4,52 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{3,8 cm^2}{4,52 cm^2} = 36,57 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,2 cm}{4} \cdot \frac{36,57 kN/cm^2}{0,236 kN/cm^2} = 46,5 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Schlaufe → <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus aufgelagertem Bauteil → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 0,7 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 46,5 cm = 21,7 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 0,7 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{1,2 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,236 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 1,2 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 7,7 cm \\ 8 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Die Verankerungslänge beginnt an der Innenkante der Auflagerplatte.

<math>l_{b,vorh} = 18 cm + 8,5 cm - c_{nom} = 18 cm + 8,5 cm - 3,5 cm = 23 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 21,7 cm \leq 23,0 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung in der geplanten Weise möglich

Verankerung am Kragarmende (Bsp.)

2022-05-02T06:37:45Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Ende eines Kragarms nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zum Kragarmende finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Kragarmende|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

[[File:Verankerung am Kragarmende (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|250px|Baustatik-Wiki]]
'''Schnitt noch überprüfen, untere Bewehrung'''

Für den dargestellten Träger mit Kragarm ist die Verankerungslänge am Kragarmende zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton: <math>C30/37</math>
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 50 mm</math>
* Nutzhöhe obere Bewehrungslage: <math>d = 64 cm</math>
* Gewählte Bewehrung oben am Kragarmende: <math>2 \O 16</math>
* Druckstrebenneigungswinkel: <math>{\theta} = 18,4</math>° → <math>cot {\theta} = 3,00</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C30/37 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,0 N/mm^2 = 2,1 N/mm^2 = 0,21 kN/cm^2</math>

=== Versatzmaß ===

<math>z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 64 cm = 57,6 cm</math>

Bei seitlich ausgelagerter Bewehrung ist das Versatzmaß um den Abstand <math>x</math> der ausgelagerten Stäbe vom Stegrand zu erhöhen. Dieser Wert beträgt hier <math>x = 10 cm</math>.

<math>a_L = z \cdot (cot {\theta} + cot {\alpha})/2 + x</math>

<math>a_L = 57,6 cm \cdot (3,0 + 0)/2 + 10 cm = 96,4 cm</math>

=== Randzugkraft ===

Die Randzugkraft wird hier über das [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Verschieben der Zugkraftlinie]] um das Versatzmaß <math>a_L</math> ermittelt. Dazu wird das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet.

<math>p_{Ed} = 1,35 \cdot 40 kN/m + 1,5 \cdot 25 kN/m = 91,5 kN/m</math>

<math>D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6 cm = 6,4 cm</math>

<math>x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min}/2 = 5,0 cm + 1,6 cm + 6,4 cm / 2 = 9,8 cm</math>

<math>M_{Ed,x0} = p_{Ed} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = 91,5 kN/m \cdot \frac{(0,098 m + 0,964 m)^2}{2} = 51,60 kNm</math>

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{51,60 kNm}{0,576 m} = 89,58 kN</math>

=== Erforderliche Bewehrung ===

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{89,58 kN}{43,5 kN/cm^2} = 2,06 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

Vorhanden: <math>2 \O 16</math> → <math>A_{s,vorh} = 4,02 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{2,06 cm^2}{4,02 cm^2} = 22,28 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{22,28 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} = 42,45 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===

<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Nicht vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 42,45 cm = 42,45 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,21 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 24,86 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Als Verankerungslänge soll hier gewählt werden: <math>l_{b,vorh} = 45 cm</math>.

<math>l_{bd} = 42,45 cm \leq 45,00 cm = l_{b,vorh}</math>

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-02T06:14:23Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand x ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von <math>\frac{x_{min}}{2}</math> und endet in einer Entfernung von <math>e = 0,15 \cdot b_{Stuetze}</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils:

<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} - (b_{Stuetze}/2 - e) = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,3m}{2} - (\frac{0,6 m}{2} - 0,15 \cdot 0,6 m)= 1,14m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,14m}{0,49m} = 488,57kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{488,57kN}{43,5kN/cm^2} = 11,23 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,23cm^2}{32,16cm^2} = 15,19kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,19 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 26,19 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 26,19 cm = 39,29 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 39,29 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 39,29 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Siehe oben, Querzug vorhanden → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T20:43:02Z

TSchraudolf: /* Erforderliche Bewehrung */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von <math>\frac{x_{min}}{2}</math> und endet in einer Entfernung von <math>e = 0,15 \cdot b_{Stuetze}</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils:

<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} - (b_{Stuetze}/2 - e) = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,3m}{2} - (\frac{0,6 m}{2} - 0,15 \cdot 0,6 m)= 1,14m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,14m}{0,49m} = 488,57kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{488,57kN}{43,5kN/cm^2} = 11,23 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T20:41:44Z

TSchraudolf: /* Zugkraft */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von <math>\frac{x_{min}}{2}</math> und endet in einer Entfernung von <math>e = 0,15 \cdot b_{Stuetze}</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils:

<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} - (b_{Stuetze}/2 - e) = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,3m}{2} - (\frac{0,6 m}{2} - 0,15 \cdot 0,6 m)= 1,14m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,14m}{0,49m} = 488,57kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{514,29kN}{43,5kN/cm^2} = 11,82 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T20:36:27Z

TSchraudolf: /* Hebelarm der Resultierenden */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von <math>\frac{x_{min}}{2}</math> und endet in einer Entfernung von <math>e = 0,15 \cdot b_{Stuetze}</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils:

<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} - (b_{Stuetze}/2 - e) = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,3m}{2} - (\frac{0,6 m}{2} - 0,15 \cdot 0,6 m)= 1,14m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,20m}{0,49m} = 514,29kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{514,29kN}{43,5kN/cm^2} = 11,82 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T20:31:40Z

TSchraudolf: /* Hebelarm der Resultierenden */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> beginnt vom Rand des Fundaments in einer Entfernung von <math>\frac{x_{min}}{2}</math> und endet in einer Entfernung von <math>e = 0,15 \cdot b_{Stuetze}</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils.

<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} - (b_{Stuetze}/2 - e) = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,3m}{2} - (\frac{0,6 m}{2} - 0,15 \cdot 0,6 m)= 1,14m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,20m}{0,49m} = 514,29kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{514,29kN}{43,5kN/cm^2} = 11,82 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T19:26:45Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung am Rand eines Einzelfundaments nachzuweisen. Hierzu wird zunächst die Verankerung mit geradem Stabende nach dem Berechnungsmodell im EC2 versucht. Falls dies nicht gelingt, wird die Verankerungslänge durch Verschieben der Belastung ermittelt. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Einzelfundamenten finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Rand_von_Einzelfundamenten|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,6m}{2} = 1,20m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,20m}{0,49m} = 514,29kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{514,29kN}{43,5kN/cm^2} = 11,82 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: In einem Einzelfundament wirken entlang beider Achsen Zugkräfte. In diesem Beispiel wird die Verankerung in x-Richtung nachgewiesen. Damit wirken die Zugkräfte in y-Richtung als Querzug auf den zu verankernden Stab → <math>{\alpha}_5 = 1,5</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot 14,23 cm = 21,35 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,5 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,5 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 33,75 cm \\ 24 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 33,75 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 20 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 32 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 36,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 33,75 cm \leq 36,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)

2022-05-01T18:11:15Z

TSchraudolf: /* Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge R */

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 1.JPG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für das dargestellte Einzelfundament ist die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung zu bestimmen. Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C20/25
* Betonstahlstahl B500B
* Betondeckung: <math>c_{nom} = 55 mm</math>
* Gewählte Bewehrung insgesamt in x-Richtung: 16 Ø 16 mm
* Einwirkende Normalkraft: <math>N_{Ed} = 2.100kN </math>

== Verankerung mit geradem Stabende nach EC 2 ==
=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C20/25 → <math>f_{bd} = 2,32 N/mm^2 = 0,32 kN/cm^2</math>

=== Abstand <math>x</math> ===
<math>x_{min} = \frac{h}{2} = \frac{0,6m}{2} = 0,3m </math>

=== Sohlspannung ===
<math>{\sigma}_{0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} = \frac{2.100kN}{3,0m} = 700 kN/m </math>

=== Resultierende der Sohlspannung unter der Verankerungslänge ===
<math>R = {\sigma}_{0} \cdot x = 700 kN/m \cdot 0,3m = 210kN </math>

=== Hebelarm der Resultierenden ===
<math>z_e = \frac{b_x}{2} - \frac{x}{2} = \frac{3,0m}{2} - \frac{0,6m}{2} = 1,20m </math>

<math>z_i = 0,9 \cdot d_x = 0,9 \cdot 0,54 m = 0,49 m </math>

=== Zugkraft ===
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i} = 210 kN \cdot \frac{1,20m}{0,49m} = 514,29kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{514,29kN}{43,5kN/cm^2} = 11,82 cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{11,82cm^2}{32,16cm^2} = 15,99kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{15,99 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 27,57 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 27,57 cm = 27,57 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{b,eq} = 27,57 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
<math>l_{b,vorh} = x - c_{nom} = 30 cm - 5,5 cm = 24,5 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 27,57 cm \leq 24,5 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung mit geradem Stabende nicht möglich.

== Verankerung nach allgemeiner Theorie ==
=== Versatzmaß ===
Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung gilt nach EC 2 9.2.1.3(2):

<math> a_L = d = 54 cm </math>

=== Moment am Beginn der Verankerungslänge ===
Die Verankerungslänge für den Haken beginnt an der Biegung. Der Mindestbiegerollendurchmesser beträgt nach EC 2 Tab. 8.1DE für <math> \O_s < 20 mm </math> → <math> D_{min} = 4 \cdot \O_s </math>.

[[File:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG|rahmenlos|rand|tumb|300px|Baustatik-Wiki]]

<math> D_{min} = 4 \cdot \O_s = 4 \cdot 1,6cm =6,4cm </math>

<math> x_0 = c_{nom} + \O_s + D_{min} / 2 = 5,5cm + 1,6 cm + 6,4cm / 2 = 10,3cm </math>

<math> M_{Ed,x0} = \frac{N_{Ed}}{b_x} \cdot \frac{(x_0 + a_L)^2}{2} = \frac{2.100kN}{3,0m} \cdot \frac{(0,1m + 0,54m)^2}{2} = 143,36kNm </math>

=== Randzugkraft ===
<math> F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z} = \frac{143,36kNm}{0,54m} = 265,48kN </math>

=== Erforderliche Bewehrung ===
<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{265,48kN}{43,5kN/cm^2} = 6,10cm^2</math>

=== Stahlspannung ===
Gegeben sind 16 Ø 16 → <math>A_{s,vorh} = 32,16cm^2 </math>:

<math> {\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5kN/cm^2 \cdot \frac{6,10cm^2}{32,16cm^2} = 8,25kN/cm^2 </math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===
<math> l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{8,25 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} = 14,23 cm</math>

=== Bemessungswert der Verankerungslänge ===
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>

Querbewehrung: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_3 = 1,0</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Vernachlässigbar → <math>{\alpha}_5 = 1,0</math>

<math>l_{bd} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 14,23 cm = 14,23 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===
<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot \left( \frac{1,6 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,232 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 1,0 \cdot 1,6 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 22,5 cm \\ 16 cm \end{matrix}} \right\} </math>

→ <math> l_{bd} = 22,5 cm </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===
Als Länge des geraden Winkelhakenschenkels wird <math> l = 12,5 \cdot \O_s </math> gewählt.

<math>l_{b,vorh} = l + \O_s + D_{min} / 2 = 20 cm + 1,6 cm + 3,2 cm = 24,8 cm</math>

<math>l_{bd} = 22,5 cm \leq 24,8 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Nachweis der Verankerung mit Winkelhaken erfüllt.

Verankerung an Konsolen (Bsp.)

2022-05-01T17:40:34Z

TSchraudolf:

Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen

== Kontext ==

In diesem Berechnungsbeispiel ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung an einer Konsole nachzuweisen. Allgemeine Regeln zur Verankerungslänge und spezielle Hinweise zu Konsolen finden sich [[Verankerungslänge#Verankerung_am_Kragarmende|hier]]

== Aufgabenstellung ==

[[File:Verankerung an Konsolen (Bsp.) 1.PNG|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]

Für die gegebene Konsole ist die Verankerung der Zugbewehrung unter der Lastplatte nachzuweisen.

Gegeben sind folgende Daten:

* Beton C35/45
* Betonstahlstahl B500B
* Gewählte Zugbewehrung: 2 Schlaufen Ø 12
* <math>A_{s,erf} = 3,8 cm^2</math>

== Lösung ==

=== Verbundfestigkeit ===

Bewehrung oben → mäßiger Verbund

→ C35/45 → <math>f_{bd} = 0,7 \cdot 3,37 N/mm^2 = 2,36 N/mm^2 = 0,236 kN/cm^2</math>

=== Stahlspannung ===

2 Schlaufen Ø 12 → <math>A_{s,vorh} = 4,52 cm^2</math>

<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{3,8 cm^2}{4,52 cm^2} = 36,57 kN/cm^2</math>

=== Grundwert der Verankerungslänge ===

<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{1,2 cm}{4} \cdot \frac{36,57 kN/cm^2}{0,236 kN/cm^2} = 46,5 cm</math>

=== Ersatzverankerungslänge ===

<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

Formgebung: Schlaufe → <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>

Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>

Querdruck: Aus aufgelagertem Bauteil → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>

<math>l_{b,eq} = 0,7 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 46,5 cm = 21,7 cm</math>

=== Mindestverankerungslänge ===

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 0,7 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot \left( \frac{1,2 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,236 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 1,2 cm \end{matrix}} \right\} </math>

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 7,7 cm \\ 8 cm \end{matrix}} \right\} </math>

=== Nachweis der Verankerungslänge ===

Die Verankerungslänge beginnt an der Innenkante der Auflagerplatte.

<math>l_{b,vorh} = 18 cm + 8,5 cm - c_{nom} = 18 cm + 8,5 cm - 3,5 cm = 23 cm</math>

<math>l_{b,eq} = 21,7 cm \leq 23,0 cm = l_{b,vorh}</math>

→ Verankerung in der geplanten Weise möglich

Verankerungslänge

2022-04-30T20:08:17Z

TSchraudolf: /* Verankerung am Kragarmende */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein [[Verankerung am Einzelfundament (Modell)|eigenes Berechnungsmodell]]. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet. Um für diese Konstruktion die Verankerungslänge zu bestimmen, kann wie beim Kragarmende der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]] genutzt werden.

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

 

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-30T20:06:05Z

TSchraudolf: /* Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie */

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-30T20:03:11Z

TSchraudolf:

Im Eurocode ist in Abschnitt 9.8.2.2 ein Ansatz für die Berechnung der Verankerungslänge der Bewehrung am Rand des Fundaments dargestellt. Ziel dieses Ansatzes ist die Bestimmung der zu verankernden Zugkraft am Ende des Stabs.

 

== Erläuterung des Modells ==

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Modell) 1.JPG‎|400px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Grundidee des Ansatzes ist es, die gesuchte Randzugkraft über das Momentengleichgewicht um den Schnittpunkt der Wirkungslinien von <math>N_{Ed}</math> und <math>F_c</math> zu bestimmen.

=== Grundgleichung ===

Die Formel zur Bestimmung der Randzugkraft <math>F_{sd}</math> lautet

 
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>R</math> || - die Resultierende der Sohlspannung unter der Länge <math>x</math>
|-
| <math>z_e</math> || - der Hebelarm der Resultierenden <math>R</math>
|-
| <math>z_i</math> || - der Hebelarm der inneren Kräfte
|}

 

=== Resultierende der Sohlspannung ===

Die Kraft <math>R</math> ist die Resultierende des Sohldrucks unterhalb der Verankerungslänge. In diesem Modell beginnt die Verankerungslänge in einer Entfernung <math>x</math> vom Rand des Fundaments. Für die Länge <math>x</math> existieren keine allgemeinen Berechnungsvorschriften. Lediglich für den Fall des geraden Stabendes ist die Länge definiert als

<math>x_{min} = h/2</math>

Für andere Formen des Stabendes wie Haken oder Winkelhaken wird die Länge <math>x</math> nicht vorgegeben, sodass das Berechnungsmodell effektiv nur für gerade Stabenden anwendbar ist.

Die Resultierende <math>R</math> entspricht dem Flächeninhalt der Sohlspannung. Für mittig belastete Fundamente ist die Sohlspannung über die Länge des Fundaments konstant, damit ergibt sich für die Resultierende <math>R</math>

<math>R = \sigma_0 \cdot x = \frac{N_{Ed}}{b} \cdot x</math>

Bei ausmittig belasteten Fundamenten ist die Sohlspannungsverteilung linear. In diesem Fall kann entweder die Sohlspannung am Rand und an der Stelle <math>x</math> bestimmt oder an der Stelle <math>R</math> als Mittelwert ähnlich der Flächenberechnung eines Trapezes.

 

=== Hebelarm der Resultierenden ===

Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> ist der horizontale Abstand zwischen der Resultierenden <math>R</math> und dem Drehpunkt. Dieser Drehpunkt befindet sich in einem Abstand <math>e</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils. Vereinfachend darf angenommen werden:

<math>e = 0,15 \cdot b</math>

wobei <math>b</math> die Breite des aufkragenden Bauteils ist.

 

=== Hebelarm der inneren Kräfte ===

Der Hebelarm der inneren Kräfte <math>z_i</math> darf angesetzt werden mit

<math>z_i = 0,9 \cdot d</math>

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-30T19:49:21Z

TSchraudolf:

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-30T19:48:32Z

TSchraudolf: /* Erläuterung des Modells */

Berechnungsmodell beschreiben

Im Eurocode ist in Abschnitt 9.8.2.2 ein Ansatz für die Berechnung der Verankerungslänge der Bewehrung am Rand des Fundaments dargestellt. Ziel dieses Ansatzes ist die Bestimmung der zu verankernden Zugkraft am Ende des Stabs.

 

== Erläuterung des Modells ==

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Modell) 1.JPG‎|400px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Grundidee des Ansatzes ist es, die gesuchte Randzugkraft über das Momentengleichgewicht um den Schnittpunkt der Wirkungslinien von <math>N_{Ed}</math> und <math>F_c</math> zu bestimmen.

=== Grundgleichung ===

Die Formel zur Bestimmung der Randzugkraft <math>F_{sd}</math> lautet

 
<math>F_{sd} = R \cdot \frac{z_e}{z_i}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>R</math> || - die Resultierende der Sohlspannung unter der Länge <math>x</math>
|-
| <math>z_e</math> || - der Hebelarm der Resultierenden <math>R</math>
|-
| <math>z_i</math> || - der Hebelarm der inneren Kräfte
|}

 

=== Resultierende der Sohlspannung ===

Die Kraft <math>R</math> ist die Resultierende des Sohldrucks unterhalb der Verankerungslänge. In diesem Modell beginnt die Verankerungslänge in einer Entfernung <math>x</math> vom Rand des Fundaments. Für die Länge <math>x</math> existieren keine allgemeinen Berechnungsvorschriften. Lediglich für den Fall des geraden Stabendes ist die Länge definiert als

<math>x_{min} = h/2</math>

Für andere Formen des Stabendes wie Haken oder Winkelhaken wird die Länge <math>x</math> nicht vorgegeben, sodass das Berechnungsmodell effektiv nur für gerade Stabenden anwendbar ist.

Die Resultierende <math>R</math> entspricht dem Flächeninhalt der Sohlspannung. Für mittig belastete Fundamente ist die Sohlspannung über die Länge des Fundaments konstant, damit ergibt sich für die Resultierende <math>R</math>

<math>R = \sigma_0 \cdot x = \frac{N_{Ed}}{b} \cdot x</math>

Bei ausmittig belasteten Fundamenten ist die Sohlspannungsverteilung linear. In diesem Fall kann entweder die Sohlspannung am Rand und an der Stelle <math>x</math> bestimmt oder an der Stelle <math>R</math> als Mittelwert ähnlich der Flächenberechnung eines Trapezes.

 

=== Hebelarm der Resultierenden ===

Der Hebelarm der Resultierenden <math>z_e</math> ist der horizontale Abstand zwischen der Resultierenden <math>R</math> und dem Drehpunkt. Dieser Drehpunkt befindet sich in einem Abstand <math>e</math> vom Rand des aufkragenden Bauteils. Vereinfachend darf angenommen werden:

<math>e = 0,15 \cdot b</math>

wobei <math>b</math> die Breite des aufkragenden Bauteils ist.

 

=== Hebelarm der inneren Kräfte ===

Der Hebelarm der inneren Kräfte <math>z_i</math> darf angesetzt werden mit

<math>z_i = 0,9 \cdot d</math>

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-30T18:18:34Z

TSchraudolf: /* Resultierende der Sohlspannung */

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-30T11:02:54Z

TSchraudolf: /* Erläuterung des Modells */

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-29T19:50:11Z

TSchraudolf: /* Grundgleichung */

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-28T20:30:34Z

TSchraudolf:

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-26T19:42:25Z

TSchraudolf:

Berechnungsmodell beschreiben

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Modell) 1.JPG‎|400px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]

Datei:Verankerung am Einzelfundament (Modell) 1.JPG

2022-04-26T19:01:22Z

TSchraudolf: EC 2

== Beschreibung ==
EC 2

Verankerungslänge

2022-04-26T18:56:15Z

TSchraudolf: /* Verankerung am Rand von Einzelfundamenten */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein [[Verankerung am Einzelfundament (Modell)|eigenes Berechnungsmodell]]. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet. Um für diese Konstruktion die Verankerungslänge zu bestimmen, kann wie beim Kragarmende der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]] genutzt werden.

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

 

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-26T18:51:20Z

TSchraudolf: /* Verankerung am Rand von Einzelfundamenten */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

Für die Verankerung der Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten bietet der EC 2 ein [[Verankerung am Einzelfundament (Modell)|eigenes Berechnungsmodell]]. Dieses Modell findet in der Praxis kaum Anwendung, da es nur für gerade Stabenden benutzbar ist. Im Allgemeinen wird die Bewehrung am Rand von Einzelfundamenten aber als ein Winkelhaken mit konstruktivem Querstab am Ende ausgebildet.

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerung am Einzelfundament (Modell)

2022-04-25T20:06:22Z

TSchraudolf: Die Seite wurde neu angelegt: „Berechnungsmodell beschreiben“

Berechnungsmodell beschreiben

Verankerungslänge

2022-04-24T20:25:59Z

TSchraudolf: /* Verankerung am Kragarmende */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

 

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-24T20:23:34Z

TSchraudolf: /* Verankerung am Kragarmende */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen. Die Bewehrung wird in der Regel am Kragarmende abgebogen, bei der Länge des Winkelhakenschenkels gehen verschiedene Programme aber unterschiedlich vor. Eine konkrete Möglichkeit der Berechnung ist der [[Verankerungslänge#Ermittlung_der_Randzugkraft_durch_Verschieben_der_Momentenlinie|Ansatz über das Verschieben der Momentenlinie]].

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-24T20:09:40Z

TSchraudolf: /* Randzugkraft */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-24T20:03:21Z

TSchraudolf: /* Randzugkraft */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

[[Datei:Verankerungslänge 10.JPG‎|250px|thumb|Zugkraftdeckungslinie|right]]
Die Verankerungslänge wird für alle Stabenden bestimmt. Die Position dieser Enden ergibt sich aus der Biegebemessung des Bauteils. Da die Biegebemessung auf vereinfachenden Annahmen beruht, wie der Reduktion des gesamten Bauteils auf seine Achse oder die getrennte Betrachtung von Moment und Querkraft, sind an den Stabenden noch Zugkräfte im Stab vorhanden. Diese Randzugkraft <math>F_{sd}</math> kann aus der Differenz zwischen der genaueren Bemessung nach dem Fachwerkmodell und der bereits erfolgten Biegebemessung ermittelt werden, dies geschieht im Rahmen der [[Ermittlung der Zugkraftdeckungslinie|Zugkraftdeckung]].

==== Ermittlung der Randzugkraft mit Querkraft ====

Die Differenz wird berechnet mit

<math>F_{sd} = |V_{Ed}| \cdot a_L / z + N_{Ed}</math>

Das Versatzmaß <math>a_L</math> ist die horizontale Verschiebung von der Zugkraftlinie nach Biegebemessung zur Zugkraftlinie nach Fachwerkmodell. Die Formel lautet

{|
| <math>a_L = z \cdot (cot \theta - cot \alpha)/2</math> || - für Bauteile mit Querkraftbewehrung
|-
| <math>a_L = d</math> || - für Bauteile ohne Querkraftbewehrung
|}

Bei diesem Ansatz spielt die Querkraft eine entscheidende Rolle. Damit ist er anwendbar im Bereich größerer Querkraft, wie in der Nähe einer Einzellast oder Auflagerkraft. Nicht in allen Situationen der Bestimmung der Verankerungslänge ist eine solche, nennenswerte Querkraft vorhanden. Für diese Fälle ist die Randzugkraft nach dem folgenden Ansatz zu ermitteln.

==== Ermittlung der Randzugkraft durch Verschieben der Momentenlinie ====

[[Datei:Verankerung am Einzelfundament (Bsp.) 2.JPG‎|250px|thumb|Detail Endauflager|right]]
Die Randzugkraft kann auch durch Verschieben beziehungsweise Verlängern der Belastung um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen ermittelt werden. Das nebenstehende Bild zeigt den Rand eines Einzelfundaments. Die Verankerungslänge beginnt am Anfang der Biegung des Stabs, im Abstand <math>x_0</math> vom Rand. Belastet wird das Einzelfundament an dieser Stelle durch den Sohldruck, hier eine von unten drückende Streckenlast. Diese Streckenlast wird nun zur Ermittlung der Randzugkraft um das Versatzmaß <math>a_L</math> nach außen verlängert. Das Moment an der Stelle <math>x_0</math> berechnet sich dann als

<math>M_{Ed,x0} = \frac{p_{Ed} \cdot (x_0 + a_L)^2}{2}</math>

Aus dem Moment berechnet sich die Randzugkraft mit

<math>F_{sd} = \frac{M_{Ed,x0}}{z}</math>

Ab hier können nach den üblichen Regeln die benötigte Bewehrung <math>A_{s,erf}</math>, Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und dann die Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> berechnet werden.

Zu beachten ist, dass bei diesem Ansatz zur Bestimmung der Verankerungslänge nicht die Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> bestimmt werden kann, da für diese eine hinreichende Vorlänge zwischen Beginn der Verankerungslänge und Beginn der Biegung vorhanden sein muss. Stattdessen muss hier der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> berechnet werden.

Die Entfernung <math>x_0</math> berechnet sich aus der Geometrie des Bauteils heraus als

<math>x_0 = D_{min}/2 + \O_s + c_{nom}</math>

 

== Ansätze der Berechnung der Verankerungslänge ==

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Datei:Verankerungslänge 10.JPG

2022-04-24T09:19:29Z

TSchraudolf: EC 2, S. 119.

== Beschreibung ==
EC 2, S. 119.

Verankerungslänge

2022-04-24T08:17:04Z

TSchraudolf:

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert.<ref>Vgl. König, Gert; Tue, Nguyen Viet: Grundlagen des Stahlbetonbaus. Einführung in die Bemessung nach DIN 1045-1, Wiesbaden 2003 (2. Auflage), S. 416.</ref> Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

== Ansätze der Berechnung der Verankerungslänge ==

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-24T08:11:54Z

TSchraudolf:

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert. Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

== Ansätze der Berechnung der Verankerungslänge ==

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]

== Quellen ==

Verankerungslänge

2022-04-24T08:00:20Z

TSchraudolf: /* Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge */

Die Verankerungslänge bezeichnet die Verlängerung von Bewehrungsstäben über ihre rechnerische Notwendigkeit hinaus, um die am Stabende noch vorhandene Randzugkraft in den Beton einzuleiten. Die Bestimmung der Verankerungslänge gehört zu den nötigen Nachweisen eines Bauteils und gliedert sich in die konstruktive Durchteilung ein.

Zu erstellen:

- Seite Verankerungslänge

- Bsp Endauflager

- Bsp Zwischenauflager

- Bsp Außerhalb vom Auflager

- Bsp Konsole

- Bsp Einzelfundament

- Bsp Kragarmende

== Allgemeine Informationen ==

=== Verbund zwischen Beton und Stahl ===

[[Datei:Verankerungslänge 1.JPG‎|300px|thumb|Kraftübertragung zwischen Beton und Stahl|right]]
Die Übertragung von Kräften zwischen Beton und Bewehrungsstahl erfolgt über den Verbund zwischen beiden Materialien. Der gerippte Stahl überträgt durch Form- und Kraftschluss Belastung an den Beton. Von den Rippen strahlen kegelförmig Druckspannungskomponenten in den Beton aus. Aus Gleichgewichtsgründen bilden sich ab einem gewissen Punkt Zugspannungsringe senkrecht zur Stabachse.<ref>Vgl. Avak, Ralf: Stahlbetonbau in Beispielen. DIN 1045. Teil 1, Köln 2007 (5. Auflage), S. 53.</ref> Damit sich diese Zugringe bilden können, muss eine ausreichende Betondeckung vorhanden sein. Zu wenig Betondeckung oder Stababstand würde Längsrisse parallel zur Stabachse zur Folge haben.<ref>Vgl. Wommelsdorff, Otto; Albert, Andrej; Fischer, Jürgen: Stahlbetonbau. Bemessung und Konstruktion. Teil 1, Köln 2017 (11. Auflage), S. 87.</ref>

Die Stärke des Verbunds wird mit der Verbundspannung <math>f_{bd}</math> bezeichnet. Sie wird berechnet mit

 
<math>f_{bd} = 2,25 \cdot \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \frac{f_{ctk;0,05}}{\gamma_c}</math>

 

Dabei ist

{|
|-
| <math>\eta_1</math> || ein Beiwert für die Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_2</math> || ein Beiwert für große Stabdurchmesser
|-
| <math>f_{ctk;0,05}</math> || der 5 %-Quantil-Wert der charakteristischen Betonzugfestigkeit
|-
| <math>\gamma_c</math> || der Materialbeiwert für Beton
|}

 

Der Beiwert <math>\eta_1</math> beschreibt die Verbundbedingungen der Verankerung. Dabei gilt

{|
|-
| <math>\eta_1 = 1,0</math> || für gute Verbundbedingungen
|-
| <math>\eta_1 = 0,7</math> || für mäßige Verbundbedingungen
|}

 

Vereinfacht betrachtet befinden sich Bewehrungsstäbe in den oberen 30 cm eines Bauteils im mäßigen Verbund, weil während des Rüttelns festere Bestandteile des Betons nach unten sinken und sich unter oben liegenden Stäben Wasserblasen bilden können, sodass der Verbund zwischen Beton und Stahl schwächer wird. Genaue Darstellungen guten und mäßigen Verbunds befinden sich in EC 2, 8.4.2.

Der Beiwert <math>\eta_2</math> betrachtet große Stabdurchmesser. Ab einem Grenzwert von <math>\O_s = 32 mm</math> nimmt die Verbundfestigkeit bei sonst gleich bleibenden Bedingungen ab. Der Beiwert wird berechnet mit

 

{|
|-
| <math>\eta_2 = 1,0</math> || für <math>\O_s \, \leq \, 32 mm</math>
|-
| <math>\eta_2 = (132 - \O_s)/100</math> || für <math>\O_s > 32 mm </math>
|}

 

Die Zugfestigkeit <math>f_{ctk;0,05}</math> ist auf die Betondruckfestigkeit <math>f_{ck}</math> zurückführbar. Deshalb existieren Tabellen, aus denen die Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math> in Abhängigkeit von <math>f_{ck}</math> ablesbar ist.<ref>Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2020 (24. Auflage), S. 5.108.</ref>

 

=== Theoretischer Hintergrund der Verankerungslänge ===

Im Zuge der Bemessung eines Bauteils wird die nötige Bewehrung bereichsweise für die jeweils maximalen auftretenden Schnittgrößen bestimmt. In der anschließenden konstruktiven Durchbildung wird dann zum Beispiel im Rahmen der Zugkraftdeckung die ermittelte Zugbewehrung dem tatsächlichen Momentenverlauf angepasst und abgestuft. Die so entstehenden Stabenden können nicht direkt an dem Punkt, an dem sie rechnerisch nicht mehr benötigt werden, enden. Vielmehr muss die an diesem Punkt noch im Stab vorhandene Zugkraft im Beton „verankert“ werden, weshalb dieser zusätzliche Stababschnitt als Verankerungslänge <math>l_b</math> bezeichnet wird.

[[Datei:Verankerungslänge 9.JPG‎|300px|thumb|Verlauf der Verbundspannungen|right]]
Zur Ermittlung der Verankerungslänge wird die zwischen Stab und Beton wirkende Verbundspannung vereinfachend als konstant angenommen, eine Gegenüberstellung mit dem tatsächlichen Verlauf ist im Bild dargestellt. Der Unterschied zwischen Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit erklärt sich hierbei über den Zustand des Betons. Bei niedriger Beanspruchung ist der Beton an der Stelle der Lasteinleitung ungeschädigt und die Verbundspannung dementsprechend hoch. Erhöht sich die Belastung, so wird der Beton zunächst an der Lasteinleitungsstelle geschädigt, wodurch sich die Verbundspannung in die vorher weniger beanspruchten Bereiche umlagert. Um diese komplexe Umlagerung nicht miteinbeziehen zu müssen, wird die Verbundspannung als konstant angesetzt.

[[Datei:Verankerungslänge 8.JPG‎|300px|thumb|Grundlage der Verankerungslänge|right]]
In der dargestellten Skizze muss die Zugkraft <math>F_{sd}</math> vom Stab in den Beton mittels Verbundspannung übertragen werden. Aus Gleichgewichtsgründen gilt nun, dass die Zugkraft kleinergleich der Verbundfestigkeit multipliziert mit der Mantelfläche des Stabs sein muss:

<math>F_{sd} = f_{bd} \cdot l_b \cdot u</math>

Der Umfang des Bewehrungsstabs wird berechnet mit

<math>u = \pi \cdot \O_s</math>

Die erste Gleichung, umgestellt nach der benötigten ("required") Verankerungslänge ergibt

<math>l_{b,rqd} = \frac{F_{sd}}{\pi \cdot \O_s \cdot f_{bd}}</math>

Die bisher unbekannte Zugkraft <math>F_{sd}</math> ist das Produkt von Stahlspannung <math>\sigma_{sd}</math> und Bewehrungsfläche<math>A_s</math>. Die Bewehrungsfläche eines Stabs ist <math>A_s = \frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2</math>. Eingesetzt in die Gleichung der Verankerungslänge ergibt sich

<math>l_{b,rqd} = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot \O_s^2 \cdot \sigma_{sd}}{\pi \dot \O_s \cdot f_{bd}} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{\sigma_{sd}}{f_{bd}}</math>

Die Stahlspannung entspricht der Auslastung des Stahls in Relation zu seiner Streckgrenze und kann berechnet werden als

<math>\sigma_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}</math>

=== Formen und Beiwerte der Verankerungslänge ===

==== Grundwert der Verankerungslänge ====

Der Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> ist abhängig von drei Größen: dem Stabdurchmesser <math>\O_s</math>, der Stahlspannung <math>{\sigma}_{sd}</math> und der Verbundfestigkeit <math>f_{bd}</math>. Für eine kurze Verankerungslänge sorgen kleine Stabdurchmesser, eine geringe Stahlspannung und hohe Verbundfestigkeit. Die Formel zur Bestimmung von <math>l_{b,rqd}</math> lautet

 
<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}}</math>

 

==== Bemessungswert der Verankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 2.png‎|200px|thumb|right]]
Der Bemessungswert der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> misst die Länge vom Beginn der Verankerungslänge bis zum Stabende. Die Formel hierfür ist

 
<math>l_{bd} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_3 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 

==== Ersatzverankerungslänge ====
[[Datei:Verankerungslänge 3.png‎|200px|thumb|right]]
Alternativ zur Bestimmung der tatsächlichen, gegebenenfalls gebogenen Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> kann vereinfacht die gerade Stablänge <math>l_{b,eq}</math> ermittelt werden. Die Formel hierfür lautet

 
<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>

 
Die Ermittlung von <math>l_{b,eq}</math> ist üblich für die Mehrzahl der Fälle der Ermittlung der Verankerungslänge. Lediglich dort, wo die Verankerungslänge unmittelbar an der Stelle der Biegung beginnt, wird auf <math>l_{bd}</math> zurückgegriffen.

 

==== Beiwerte der Verankerungslänge ====

Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge <math>l_{bd}</math> oder der Ersatzverankerungslänge <math>l_{b,eq}</math> aus dem Grundwert der Verankerungslänge <math>l_{b,rqd}</math> kommen einige Beiwerte zum Einsatz. Diese sind wie folgt:

{|
! Beiwert !! Bedeutung
|-
| <math>{\alpha}_1</math> || - Beiwert für Formgebung
|-
| <math>{\alpha}_2</math> || - Beiwert für Mindestbetondeckung
|-
| <math>{\alpha}_3</math> || - Beiwert für nicht angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_4</math> || - Beiwert für angeschweißte Querbewehrung
|-
| <math>{\alpha}_5</math> || - Beiwert für Querdruck
|}

 

'''Übersicht über die Beiwerte'''

[[Datei:Verankerungslänge 4.png‎|300px|Beiwert für die Formgebung|thumb|right]]
 
<math>{\alpha_1}</math> - Formgebung:

Bei bestimmten Stabenden gilt <math>{\alpha}_1 = 0,7</math>, da die Zugkraft durch das Aufbiegen auf einer kürzeren horizontalen Länge abgetragen werden kann. Die an der Krümmung entstehenden Spaltzugkräfte müssen durch hinreichende Betondeckung und Stababstände kompensiert werden, hier ist <math>c_d > 3 \O_s</math> festgelegt. Alternativ können die Spaltzugkräfte auch durch Querdruck oder enge Verbügelung im Verankerungsbereich (Bügelabstand < 50 mm) aufgenommen werden.

Bei der Verwendung von Schlaufen besteht zusätzlich die Möglichkeit, unter Einhalten von <math>c_d > 3 \O_s</math> und eines Biegerollendurchmessers <math>D \geq 15 \O_s</math>, den Beiwert auf <math>{\alpha}_1 = 0,5</math> zu reduzieren.

Druckstäbe sind immer mit geradem Stabende zu verankern.

[[Datei:Verankerungslänge 5.png‎|300px|Abstand cd für Balken und Platten|thumb|right]]

 
 
 
 

<math>{\alpha_2}</math> - Mindestbetondeckung:

 
Der Beiwert für die Mindestbetondeckung erlaubt theoretisch eine Reduzierung auf

<math>{\alpha}_2 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - \frac{0,15 \cdot (c_d - \O_s)}{\O_s} \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

In Deutschland ist dieser Beiwert aus der Formel zur Ermittlung des Bemessungswerts der Verankerungslänge gestrichen. Der Grund hierfür liegt in den möglichen Versagensfällen bei ungenügender Verankerungslänge. Diese sind das Herausziehen des Stabes und die Bildung von Spaltrissen im Beton. Eine hinreichende Betondeckung und ein genügender Stababstand erhöhen die Sicherheit gegen Spaltrisse, aber nicht gegen das Herausziehen. Somit würde der Beiwert eine Sicherheit vermitteln, die er gar nicht erzeugt.

 

<math>{\alpha_3}</math> - Nicht angeschweißte Querbewehrung:

[[Datei:Verankerungslänge 6.png‎|300px|Werte für K für Balken und Platten|thumb|right]]
 
Der Beiwert <math>{\alpha}_3</math> betrachtet den günstigen Einfluss einer nicht angeschweißten Querbewehrung im Verankerungsbereich. Dieser gilt allerdings nur, wenn die verwendete Querbewehrungsmenge die Mindestquerbewehrungsmenge übersteigt. Bestimmt wird der Beiwert mit

 
<math>{\alpha}_3 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - K \cdot \lambda \\ 0,7 \end{matrix}} \right\} \leq 1,0</math>

 
Dabei ist

{|
|-
| <math>\lambda</math> || <math>= (\sum A_{st} - \sum A_{st,min}) / A_s</math>
|-
| <math>\sum A_{st}</math> || die Querschnittsfläche der Querbewehrung innerhalb der Verankerungslänge
|-
| <math>\sum A_{st,min})</math> || die Querschnittsfläche der Mindestbewehrung
|-
| <math>A_s</math> || die Querschnittsfläche des größten einzelnen verankerten Stabs
|-
| <math>K</math> || Beiwert entsprechend des Bildes
|}

 
Für Druckstäbe gilt generell <math>\alpha_3 = 1,0</math>.

 

<math>{\alpha_4}</math> - Angeschweißte Querstäbe:

[[Datei:Verankerungslänge 7.png‎|300px|Angeschweißter Querstab|thumb|right]]

Unter bestimmten Vorgaben kann einer oder mehrere angeschweißte Querstäbe die benötigte Verankerungslänge reduzieren. Werden die angegebenen Bedingungen eingehalten, so gilt sowohl für Zug- als auch für Druckstäbe <math>\alpha_4 = 0,7</math>.

 
 
 

<math>{\alpha_5}</math> - Querdruck:

Der Beiwert <math>\alpha_5</math> betrachtet den Einfluss von Querdruck oder -zug im Verankerungsbereich. Unter Annahme eines Querdrucks <math>p</math> senkrecht zur Verankerungsebene berechnet sich der Beiwert als

 
<math>\alpha_5 = max\left\{ {\begin{matrix} 1 - 0,04 \cdot p \\ 0,7 \end{matrix}} \right\}</math>

 

Für bestimmte Situationen gibt es festgelegte Werte für <math>\alpha_5</math>:

{|
|-
| <math>1,5</math> || - bei Querzug senkrecht zur Verankerungsebene
|-
| <math>2/3</math> || - bei direkter Lagerung
|-
| <math>2/3</math> || - bei einer allseitig durch Bewehrung gesicherten Betondeckung von mindestens <math>10 \cdot \O_s</math>
|}

 

==== Mindestverankerungslänge ====

Für Zugstäbe ist die Mindestverankerungslänge definiert als

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Für Druckstäbe gilt

<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,6 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right) \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>

 
 

Am Zwischenauflager gilt in Deutschland vereinfachend

<math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math>

 

=== Randzugkraft ===

== Ansätze der Berechnung der Verankerungslänge ==

== Situationen der Verankerungslänge ==

Die verschiedenen Situationen der Verankerungslänge unterscheiden sich vor allem in der Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsmenge an der jeweiligen Stelle. Darüber hinaus gelten gegebenenfalls besondere Regeln für die Bestimmung von <math>l_{bd}</math>, <math>l_{b,eq}</math> und <math>l_{b,min}</math>.

=== Verankerung am Endauflager ===

Am Endauflager wird die zu verankernde Zugkraft maßgeblich durch die einwirkende Querkraft bestimmt. Die Formel zur Berechnung lautet

<math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} \geq \frac{V_{Ed}}{2}</math>

Am Endauflager kann vereinfachend <math>V_{Ed} = Auflagerkraft</math> angesetzt werden. Aus der Randzugkraft wird die benötigte Bewehrung berechnet werden als

<math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}}</math>

Die Verankerungslänge am Endauflager beginnt an der Auflagerkante. Die Verankerung muss mindestens bis zur rechnerischen Auflagerlinie des statischen Systems reichen. Außerdem müssen mindestens 25 % der Feldbewehrung bis ins Auflager geführt und dort verankert werden.

[[Verankerung am Endauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager]]

 

=== Verankerung am Zwischenauflager ===

Die am Zwischenauflager endende Feldbewehrung liegt im Druckbereich. Deshalb ist sie in vielen Fällen rechnerisch nicht nötig, es gilt <math>A_{s,erf} = 0</math>, gleiches gilt damit auch für <math>{\sigma}_{sd}</math> und <math>l_{b,rqd}</math>. Aus diesem Grund ist am Zwischenauflager <math>l_{b,min}</math> maßgeblich, die außerdem auf <math>l_{b,min} = 6 \cdot \O_s</math> reduziert wird. Die Verankerungslänge am Zwischenauflager beginnt an der Auflagerkante.

[[Verankerung am Zwischenauflager (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Zwischenauflager]]

 

=== Verankerung außerhalb von Auflagern ===

Abseits der Auflager eines Balkens enden Bewehrungsstäbe im Kontext der Zugkraftdeckung. Bei dieser sind erforderliche und vorhandene Bewehrung an der jeweiligen Stelle unmittelbar bekannt. Damit kann die Bestimmung der Verankerungslänge ohne besondere Regeln durchgeführt werden.

[[Verankerung außerhalb von Auflagern (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung außerhalb von Auflagern]]

 

=== Verankerung am Kragarmende ===

Für die Verankerungslänge am Kragarmende gibt es keine expliziten Berechnungsvorschriften. Sie wird in der Regel in der Literatur nicht nachgewiesen.

[[Verankerung am Kragarmende (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Kragarmende]]

=== Verankerung am Rand von Einzelfundamenten ===

[[Verankerung am Einzelfundament (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Rand von Einzelfundamenten]]

=== Verankerung an Konsolen ===

Die Zugkräfte in Konsolen werden generell über eine bis drei Schlaufen aufgenommen.
Die Verankerung dieser Zugbewehrung unter der Last in Konsolen gleicht dem Ablauf am Endauflager, da sich die beiden Situationen ähneln. Bei der Bemessung von Konsolen wird die benötigte Bewehrungsmenge unmittelbar an der zu verankernden Stelle bestimmt, damit ist <math>A_{s,erf}</math> bekannt. Zu beachten ist, dass die Verankerungslänge an Konsolen an der der Stütze zugewandten Seite beginnt.

[[Verankerung an Konsolen (Bsp.)|Berechnungsbeispiel zur Verankerung an Konsolen]]