Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Sohlplatte (Bsp.)

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Sohlplatte für eine Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Querschnitt der Sohlplatte

Für die gegebene Sohlplatte aus Stahlbeton ist zu überprüfen, ob die statisch erforderliche Bewehrung auch die Anforderungen für die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite erfüllt oder ob hier zusätzliche Bewehrung einzulegen ist. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden. Dabei wird von einer vollständigen Verformungsbehinderung der Sohlplatte auf dem Untergrund ausgegangen.
Im zugehörigen Beispiel "Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt (Berücksichtigung der Reibung auf dem Untergrund) und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

Vorgaben

Sohlplattenabmessungen L / B / h:	17,00 / 15,00 / 0,50 m
Expositionsklasse:	XC2 - Gründungsbauteil
Betonfestigkeitsklasse:	C35/45
Betonzugfestigkeit:	fctm = 3,2 N/mm2
statisch erforderliche Bewehrung:	Ø 16, s = 20 cm
	as,o = as,u = 10,05 cm2/m
Betondeckung:	cv = cnom = 20 + 15 + 20 = 55 mm
Unterkonstruktion:	Unterbeton mit Flügelglättung und 2 Lagen PE-Folie

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Sohlplatte besteht aus Stahlbeton und ist als Gründungsbauteil der Expositionsklasse XC2 zuzuordnen.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

$w_{k}={\underline {0,3mm}}$.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4	5
	Expositionsklasse	Konstruktion
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4a)	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2b),c)	0,2b)
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3d)			Dekompression	0,2
a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang

Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme

Da die Querschnittsdicke h = 0,5m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 5. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit

$f_{ct,eff}=0,75\cdot f_{ctm}=0,75\cdot 3,2={\underline {2,4N/mm^{2}}}$

angenommen werden.

Betondeckung und statische Nutzhöhe

$c_{v}=c_{nom}=55mm$ (aus der Statik)

$d_{1}=55+{\cfrac {16}{2}}=63mm={\underline {6,3cm}}$

$d=h-d_{1}=50-6,3=43,7cm$

Wirkungsbereich der Bewehrung

$a_{c,eff}=b\cdot h_{c,ef}$	mit b = 100cm/m
${\cfrac {h}{d_{1}}}={\cfrac {50}{6,3}}=7,94$	$>5,0$
	$<30,0$
$h_{c,ef}=0,1\cdot h+2,0\cdot d_{1}=0,1\cdot 50+2,0\cdot 6,3=17,6cm$	$<{\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$

$a_{c,eff}=100\cdot 17,6={\underline {1760cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_{c}=1,0$	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
$k=0,8-20\cdot {\cfrac {0,8-0,5}{80-30}}=0,68$	Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1 vorgegebenen Werte.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}=16\cdot {\cfrac {2,9}{2,4}}=19,3\approx 19mm$

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {8\cdot (h-d)}{k\cdot k_{c}\cdot h_{cr}}}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}$	mit $(h-d)=d_{1}$
	und $h_{cr}={\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$

$\varnothing _{S}^{*}=16\cdot {\cfrac {8\cdot 6,3}{0,68\cdot 1,0\cdot 25}}\cdot {\cfrac {2,9}{2,4}}=57mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

$\varnothing _{S}^{*}={\underline {19mm}}$.

Ermittlung der Stahlspannung

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot w_{k}\cdot E_{S}\cdot f_{ct,0}}{\varnothing _{S}^{*}}}}$	mit $E_{S}=200.000N/mm^{2}$
	und $f_{ct,0}=2,9N/mm^{2}$

Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{19}}}={\underline {234,41N/mm^{2}}}$.

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit

$\sigma _{S}=220+3\cdot {\cfrac {240-220}{22-18}}=235,00N/mm^{2}$.

interpoliert werden.

Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4
	Stahlspannung σS b) [N/mm2]	Grenzdurchmesser der Stäbe a) [mm]
		wk = 0,4mm	wk = 0,3mm	wk = 0,2mm
1	160	54	41	27
2	180	43	32	21
3	200	35	26	17
4	220	29	22	14
5	240	24	18	12
6	260	21	15	10
7	280	18	13	9
8	300	15	12	8
9	320	14	10	7
10	340	12	9	6
11	360	11	8	5
12	400	9	7	4
13	450	7	5	3
a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt. b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

Die Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung wird einheitlich bezogen auf eine Bauteilseite ermittelt.

$a_{s,min}$	$={\cfrac {k\cdot k_{c}\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$
	$={\cfrac {0,68\cdot 1,0\cdot 0,5\cdot 50\cdot 100\cdot 2,4}{234,41}}$
	$=17,41cm^{2}/m$

$a_{s,min}$	$={\cfrac {a_{ct,eff}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$	$\geq {\cfrac {k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}}$
	$={\cfrac {1760\cdot 2,4}{234,41}}$	$\geq {\cfrac {0,68\cdot 0,5\cdot 50\cdot 100\cdot 2,4}{500}}$
	$=18,02cm^{2}/m$	$>8,16cm^{2}/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

${\underline {17,41cm^{2}/m}}$

eingelegt werden.

Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Temperaturänderung der Sohlplatte (Temperaturdifferenz über den Querschnitt). Dadurch entsteht im Wesentlichen eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

Betonzugfestigkeit

$f_{ct,eff}=f_{ctm}={\underline {3,2N/mm^{2}}}>3,0N/mm^{2}$

Wirkungsbereich der Bewehrung

${\cfrac {h}{d_{1}}}={\cfrac {50}{6,3}}=7,94$	$<10,0$
$h_{c,ef}=0,25\cdot h=0,25\cdot 50=12,5cm$	$<{\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$

$a_{c,eff}=100\cdot 12,5={\underline {1250cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_{c}=0,4\cdot (1-{\cfrac {\sigma _{c}}{k_{1}\cdot {\cfrac {h}{h^{*}}}\cdot f_{ct,eff}}})\leq 1,0$

für Biegung in Rechteckquerschnitten

mit
$\sigma _{c}=0$	reine Biegung ohne Normalkraft
ergibt sich kc zu
$k_{c}=0,4$

Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.

$k=0,68$

Interpolation der in der DIN EN 1992-1-1 vorgegebenen Werte.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung

$\varnothing _{S}^{*}=16\cdot {\cfrac {2,9}{3,2}}=15mm$

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {4\cdot (h-d)}{k\cdot k_{c}\cdot h_{cr}}}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}$	für Biegung
	mit $(h-d)=d_{1}$
	und $h_{cr}={\cfrac {h}{2}}={\cfrac {50}{2}}=25,0cm$	für reine Biegung ohne Normalkraft

$\varnothing _{S}^{*}=16\cdot {\cfrac {4\cdot 6,3}{0,68\cdot 0,4\cdot 25}}\cdot {\cfrac {2,9}{3,2}}=54mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d. h. der Grenzdurchmesser beträgt

$\varnothing _{S}^{*}={\underline {15mm}}$.

Ermittlung der Stahlspannung

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{15}}}={\underline {263,82N/mm^{2}}}$

Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1 angegebenen Tabelle abgelesen werden.

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{s,min}$	$={\cfrac {k\cdot k_{c}\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$
	$={\cfrac {0,68\cdot 0,4\cdot 0,5\cdot 50\cdot 100\cdot 3,2}{263,82}}$
	$=8,25cm^{2}/m$

Da es sich um Biegezwang handelt, sind keine Besonderheiten für dicke Bauteile zu berücksichtigen.

Vergleich des frühen mit dem späten Zwang

Bewehrungsanordnung in der Sohlplatte

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge.
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.

$17,41-10,05=7,36cm^{2}/m$

jeweils oben und unten

Das reine Zulegen von Bewehrung erzeugt Stabbündel, für die ein Vergleichsdurchmesser ausgerechnet werden müsste. Wegen der schlechteren Verbundbedingungen würde das die benötigte rissbreitenbegrenzende Bewehrung weiter erhöhen. Um dies zu verhindern, wird eine Anpassung der gesamten Bewehrung auf

$\varnothing 16,s=10cm$

$a_{s,o}=a_{s,u}=20,10cm^{2}/m$

empfohlen. Die Wahl des geringen Stababstandes ist etwas ungünstig und hat einen hohen Ausführungsaufwand zur Folge. Im Bereich von Rüttellücken und Betonieröffnungen ist der Stababstand zu vergrößern.
Zudem können weitere zwangsspannungsverringernde Maßnahmen, wie z. B. Zemente mit langsamer Festigkeitsentwicklung angewendet werden. In dem Fall kann der Bemessungswert der Zugfestigkeit weiter reduziert werden.
Aus der Berechnung ergibt sich, dass für die Bemessung der rissbreitenbegrenzenden Bewehrung der frühe Zwang aus dem Abfließen der Hydratationswärme maßgebend ist. Hierbei kann zusätzlich die Zwangsbeanspruchung mit einem verringerten Wert angesetzt werden (siehe auch - Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Sohlplatte (Bsp.)).

Quellen

Fachliteratur / Normen

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