Zwang - Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine Wand (Bsp.)

Beispiel 1 - Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite in einer Wand für eine Zwangsbeanspruchung

Aufgabenstellung

Ansicht und Schnitt der Wand

Für die gegebene Wand aus Stahlbeton ist die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite zu ermitteln. Hierbei soll eine Beanspruchung aus frühem und spätem Zwang getrennt voneinander betrachtet werden.
Im zugehörigen Beispiel "Zwang - verringerte Zwangsbeanspruchung in einer Wand (Bsp.)" wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung für eine verringerte Zwangsbeanspruchung aus dem Abfließen der Hydratationswärme (früher Zwang) durchgeführt und mit dem Ergebnis dieser Berechnung verglichen.

Vorgaben

Wandabmessungen L / H / h:	4,70 / 2,50 / 0,30 m
Expositionsklasse:	XC4 - Außenbauteil mit direkter Beregnung
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonzugfestigkeit:	fctm = 2,6 N/mm2
Bewehrung aus der Statik:	ø 12 ,s = 15 cm
	as,1 = as,2 = 7,54 cm2/m
Betondeckung:	cv = cnom = 25 + 15 = 40 mm

Lösung

Ermittlung der zulässigen Rissbreite

Die Wand besteht aus Stahlbeton und es ist die Expositionsklasse XC4 vorgegeben.
Somit beträgt die zulässige Rissbreite

$w_{k}={\underline {0,3mm}}$.

zulässige Rissbreiten [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4	5
	Expositionsklasse	Konstruktion
		Stahlbeton und Spannbeton mit Vorspannung ohne Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit nachträglichem Verbund	Spannbeton mit Vorspannung mit sofortigem Verbund
		Einwirkungskombination
		quasi-ständig	häufig	häufig	selten
1	X0, XC1	0,4a)	0,2	0,2	-
2	XC2, XC3, XC4	0,3	0,2b),c)	0,2b)
3	XS1, XS2, XS3 XD1, XD2, XD3d)			Dekompression	0,2
a)Bei den Expositionsklassen X0 und XC1 hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden. b)Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen. c)Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren), darf der Dekompressionsnachweis entfallen. d)Bei dieser Expositionsklasse können besondere Maßnahmen erforderlich sein.

Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus frühem Zwang

Es wird der zentrische Zug aus dem Abfließen der Hydratationswärme betrachtet.

Betonzugfestigkeit zum Zeitpunkt des Abfließens der Hydratationswärme

Da die Querschnittsdicke h = 0,3m beträgt, kann angenommen werden, dass das Abfließen der Hydratationswärme ca. am 3. Tag nach dem Betonieren abgeschlossen ist. Daher darf die wirksame Betonzugfestigkeit mit

$f_{ct,eff}=0,65\cdot f_{ctm}=0,65\cdot 2,6={\underline {1,7N/mm^{2}}}$

angenommen werden.

Betondeckung und statische Nutzhöhe

$c_{v}=c_{nom}=40mm$ (aus der Statik)

$d_{1}=40+{\cfrac {12}{2}}=46mm={\underline {4,6cm}}$

$d=h-d_{1}=30-4,6=25,4cm$

Wirkungsbereich der Bewehrung

$a_{c,eff}=2\cdot b\cdot h_{c,ef}$	mit $b=100cm/m$
${\cfrac {h}{d_{1}}}={\cfrac {30}{4,6}}=6,52$	$>5,0$
	$<30,0$
$h_{c,ef}=0,1\cdot h+2,0\cdot d_{1}=0,1\cdot 30+2,0\cdot 4,6=12,2cm$	$<{\cfrac {h}{2}}={\cfrac {30}{2}}=15,0cm$

$a_{c,eff}=2\cdot 100\cdot 12,2={\underline {2440cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_{c}=1,0$	für reinen Zug
Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.
$k=0,8$	Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}=12\cdot {\cfrac {2,9}{1,7}}=20mm$

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {8\cdot (h-d)}{k\cdot k_{c}\cdot h_{cr}}}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}$	mit $(h-d)=d_{1}$
	und $h_{cr}={\cfrac {h}{2}}={\cfrac {30}{2}}=15,0cm$

$\varnothing _{S}^{*}=12\cdot {\cfrac {8\cdot 4,6}{0,8\cdot 1,0\cdot 15}}\cdot {\cfrac {2,9}{1,7}}=63mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

$\varnothing _{S}^{*}={\underline {20mm}}$.

Ermittlung der Stahlspannung

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot w_{k}\cdot E_{S}\cdot f_{ct,0}}{\varnothing _{S}^{*}}}}$	mit $E_{S}=200.000N/mm^{2}$
	und $f_{ct,0}=2,9N/mm^{2}$

Einerseits ergibt sich die Stahlspannung aus der obigen Gleichung zu

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{20}}}={\underline {228,47N/mm^{2}}}$

Andererseits kann die Stahlspannung auch aus der folgenden Tabelle mit

$\sigma _{S}=220+2\cdot {\cfrac {240-220}{22-18}}=230,00N/mm^{2}$.

interpoliert werden.

Grenzdurchmesser [mm] nach DIN EN 1992-1-1

	1	2	3	4
	Stahlspannung σS b) [N/mm2]	Grenzdurchmesser der Stäbe a) [mm]
		wk = 0,4mm	wk = 0,3mm	wk = 0,2mm
1	160	54	41	27
2	180	43	32	21
3	200	35	26	17
4	220	29	22	14
5	240	24	18	12
6	260	21	15	10
7	280	18	13	9
8	300	15	12	8
9	320	14	10	7
10	340	12	9	6
11	360	11	8	5
12	400	9	7	4
13	450	7	5	3
a) Die Tabellenwerte werden auf Grundlage von fct,0 = 2,9 N/mm2 und ES = 200.000 N/mm2 ermittelt. b) Die Stahlspannung ist unter der maßgebenden Einwirkungskombination zu ermitteln.

Im weiteren Verlauf des Beispieles wird mit dem Wert der Stahlspannung nach der oben genannten Formel gerechnet.

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{s,min}$	$={\cfrac {k\cdot k_{c}\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$
	$={\cfrac {0,8\cdot 1,0\cdot 30\cdot 100\cdot 1,7}{228,47}}$
	$=17,86cm^{2}/m$

$a_{s,min}$	$={\cfrac {a_{ct,eff}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$	$\geq {\cfrac {k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}}$
	$={\cfrac {2440\cdot 1,7}{228,47}}$	$\geq {\cfrac {0,8\cdot 30\cdot 100\cdot 1,7}{500}}$
	$=18,16cm^{2}/m$	$>8,16cm^{2}/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

${\underline {17,86cm^{2}/m}}$

eingelegt werden.

Mindestbewehrung für eine Beanspruchung aus spätem Zwang

Der späte Zwang resultiert aus der einseitigen Erwärmung der Wand durch Sonneneinstrahlung. Dadurch entsteht eine Beanspruchung durch reine Biegung. Die daraus resultierenden Verformungen werden durch das Bauteil selbst behindert.

Betonzugfestigkeit

$f_{ct,eff}=f_{ctm}=2,6N/mm^{2}<{\underline {3,0N/mm^{2}}}$

Wirkungsbereich der Bewehrung

${\cfrac {h}{d_{1}}}={\cfrac {30}{4,6}}=6,52$	$<10,0$
$h_{c,ef}=0,25\cdot h=0,25\cdot 30=7,5cm$	$<{\cfrac {h}{2}}={\cfrac {30}{2}}=15,0cm$

$a_{c,eff}=100\cdot 7,5={\underline {750cm^{2}/m}}$

Ermittlung der Beiwerte

$k_{c}=0,4\cdot (1-{\cfrac {\sigma _{c}}{k_{1}\cdot {\cfrac {h}{h^{*}}}\cdot f_{ct,eff}}})\leq 1,0$

für Biegung in Rechteckquerschnitten

mit
$\sigma _{c}=0$	reine Biegung ohne Normalkraft
ergibt sich kc zu
$k_{c}=0,4$

Die Zugspannungen werden vom Bauteil selber hervorgerufen.

$k=0,8$

Die Querschnittshöhe beträgt h = 30cm.

Ermittlung des Grenzdurchmessers

Höhe der Zugzone unmittelbar vor Rissbildung

$\varnothing _{S}^{*}=12\cdot {\cfrac {2,9}{3,0}}=12mm$

$\varnothing _{S}^{*}=\varnothing _{S}\cdot {\cfrac {4\cdot (h-d)}{k\cdot k_{c}\cdot h_{cr}}}\cdot {\cfrac {f_{ct,0}}{f_{ct,eff}}}$	für Biegung
	mit $(h-d)=d_{1}$
	und $h_{cr}={\cfrac {h}{2}}={\cfrac {30}{2}}=15,0cm$	für reine Biegung ohne Normalkraft

$\varnothing _{S}^{*}=12\cdot {\cfrac {4\cdot 4,6}{0,8\cdot 0,4\cdot 15}}\cdot {\cfrac {2,9}{3,0}}=44mm$

Der kleinere Wert ist maßgebend, d.h. der Grenzdurchmesser beträgt

$\varnothing _{S}^{*}={\underline {12mm}}$.

Ermittlung der Stahlspannung

$\sigma _{S}={\sqrt {\cfrac {6\cdot 0,3\cdot 200.000\cdot 2,9}{12}}}={\underline {294,96N/mm^{2}}}$

Alternativ kann die Stahlspannung auch aus der in der DIN EN 1992-1-1 angegebenen Tabelle abgelesen werden.

Ermittlung der Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung

$a_{s,min}$	$={\cfrac {k\cdot k_{c}\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$
	$={\cfrac {0,8\cdot 0,4\cdot 0,5\cdot 30\cdot 100\cdot 3,0}{294,96}}$
	$=4,88cm^{2}/m$

$a_{s,min}$	$={\cfrac {a_{ct,eff}\cdot f_{ct,eff}}{\sigma _{S}}}$	$\geq {\cfrac {k\cdot a_{ct}\cdot f_{ct,eff}}{f_{yk}}}$
	$={\cfrac {750\cdot 3,0}{294,96}}$	$\geq {\cfrac {0,8\cdot 0,5\cdot 30\cdot 100\cdot 3,0}{500}}$
	$=7,63cm^{2}/m$	$>7,20cm^{2}/m$

Da es sich um eine Mindestbewehrung handelt, ist der kleinere Wert maßgebend, d.h. zur Begrenzung der Rissbreite müssen

${\underline {4,88cm^{2}/m}}$

eingelegt werden.

Vergleich des frühen mit dem späten Zwang

Bewehrungsanordnung in der Wand

In diesem Beispiel erfordert die Beanspruchung durch den frühen Zwang infolge des Abfließens der Hydratationswärme die größere Bewehrungsmenge.
Die statische Bewehrung muss um folgenden Betrag erhöht werden.

${\cfrac {17,86}{2}}-7,54=8,93-7,54=1,39cm^{2}/m$

jeweils rechts und links

Eine Anpassung der Bewehrung auf

$\varnothing 12,s=12,5cm$

$a_{s}=9,05cm^{2}/m$

scheint sinnvoller, als zusätzlich Bewehrung einzulegen.
Damit beträgt die gesamte Bewehrung der Wand

$a_{s,o}=a_{s,u}=9,05+9,05={\underline {18,10cm^{2}/m}}$.

Quellen

Fachliteratur / Normen

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