Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.) - Versionsgeschichte

EWill am 14. August 2024 um 21:25 Uhr

2024-08-14T21:25:16Z

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	<math>\underline{\underline{A_{s1}[cm^2]=14,83cm^2}}</math>		<math>\underline{\underline{A_{s1}[cm^2]=14,83cm^2}}</math>

	Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.		Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)\|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert.

	=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=		=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=
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	<math>\underline{\underline{A_{s2}=7cm^2}}</math>		<math>\underline{\underline{A_{s2}=7cm^2}}</math>

	Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.		Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der [[Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)\|Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel]] erläutert.

	{{Seiteninfo		{{Seiteninfo

EWill am 26. Mai 2024 um 12:31 Uhr

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	Auf dieser Seite wird die Anwendung des <~~math~~>~~k_d~~</~~math~~>-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_(einachsige_Biegung) Biegebemessung] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.		Auf dieser Seite wird die Anwendung des k<sub>d</sub>-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_(einachsige_Biegung) Biegebemessung] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
	=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=		=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=
	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==

EWill am 29. April 2024 um 21:54 Uhr

2024-04-29T21:54:35Z

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	<math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math>		<math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math>

	<math>M_{Ed}=1,35\cdot160+1,5\cdot 360=756kNm~~=75600kNcm~~</math>		<math>M_{Ed}=1,35\cdot160+1,5\cdot 360=756kNm</math>

	<math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math>		<math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math>
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	Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.		Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
	<br>		<br>
	~~<math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math>~~

	~~<math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>~~
	==Querschnittswerte==		==Querschnittswerte==
	<math>d=71cm</math>		<math>d=71cm</math>
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	<math> M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot33,5 </math>		<math> M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot33,5 </math>

	<math> M_{Eds}=79469,25kNcm </math>		<math> M_{Eds}=79469,25kNcm =794,69kNm </math>

			<math>k_d=\frac{d[cm]}{\sqrt{\frac{M_{Eds}[kNm]}{b[m]}}}</math>

			<math>k_d=\frac{71}{\sqrt{\frac{794,69}{0,35}}}</math>

	<math>~~\mu_{Eds}~~=~~\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}~~</math>		<math>k_d=1,49</math>

	<math>\~~mu_~~{~~Eds~~}~~=\frac~~{~~79469~~,~~25}{35~~\~~cdot 71^~~2\~~cdot 1~~,~~13}~~</math>		Im Folgenden wäre der Wert der bezogene Betondruckzonenhöhe abhängig von der Betonfestigkeitsklasse und <math>k_d</math> aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abzulesen. Die <math>k_d</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1"></ref> finden.
			Die bezogene Betondruckzonenhöhe für den ermittelten ist nicht mehr tabelliert; aus den tabellierten Werten wird allerdigs ersichtlich, dass <math>\xi>0,45</math>. Die Werte für <math>k_{s1}, k_{s1}, \rho_1</math> und <math>\rho_2</math> müssen aus der Tafel für rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen werden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird eine Tafel mit <math>\xi=0,45</math> verwendet.

	<math>~~\mu_~~{~~Eds~~}=0,~~40>0,296~~</math>		<math>k_{s1}=2,74</math>

	Da <math>~~\mu_~~{~~Eds~~}~~>0,296</math> ist Druckbewehrung erforderlich.~~		<math>k_{s2}=0,625</math>
	Der Werte für <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die <math>\omega</math>-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen<ref Name = "Q1"></ref> finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird eine Tafel mit <math>\xi=0,45</math> ~~verwendet.~~

	<math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\~~thickapprox0~~,05</math>		<math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\leq0,07</math>

	<math>\~~omega_1~~=0~~,474~~</math>		<math>\rho_1=1,0</math>

	<math>\~~omega_2~~=0~~,109~~</math>		<math>\rho_2=1,0</math>

	<math>A_{s1}=\~~frac~~{1}{f{yd}}~~\cdot\left(\omega_1\cdot b\cdot~~ d\~~cdot f_~~{~~cd}+~~N_{Ed}~~\right)~~</math>		<math>A_{s1}[cm^2]=\rho_1\cdot k_{s1}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}+\frac{N_{Ed}[kN]}{43,5}</math>

	<math>A_{s1}=~~\frac{~~1~~}{43~~,5}\cdot~~\left(0~~,~~474~~\cdot 35\~~cdot~~ 71\~~cdot 1~~,~~13-115~~,5~~\right)~~</math>		<math>A_{s1}[cm^2]=1,0\cdot 2,74\cdot\frac{794,69}{71}-\frac{115,5}{43,5}</math>

	<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,~~94cm~~^2}}</math>		<math>\underline{\underline{A_{s1}=28,01cm^2}}</math>

	<math>A_{s2}=\~~frac~~{1}{f_{yd}}~~\cdot\left(\omega_2\cdot b\cdot~~ d~~\cdot f_{cd~~}~~\right)~~</math>		<math>A_{s2}[cm^2]=\rho_2\cdot k_{s2}\cdot\frac{M_{Eds}[kNm]}{d[cm]}</math>

	<math>A_{s2}=~~\frac{~~1~~}{43,5}~~\cdot~~\left(~~0,~~109~~\cdot 35\~~cdot~~ 71~~\cdot 1,13\right)~~</math>		<math>A_{s2}[cm^2]=1\cdot 0,625\cdot\frac{794,69}{71}</math>

	<math>\underline{\underline{A_{s2}=~~7,04cm~~^2}}</math>		<math>\underline{\underline{A_{s2}=7cm^2}}</math>

	Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.		Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

EWill am 29. April 2024 um 21:34 Uhr

2024-04-29T21:34:47Z

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Auf dieser Seite wird die Anwendung des <math>k_d</math>-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Biegebemessung_(einachsige_Biegung) Biegebemessung] werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
=Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung=
==Aufgabenstellung==

[[File:Biegebemessung_mit_dem_omega_Verfahren1.png|right|thumb|200px|]]

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment <math>M_{gk} = 80,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{gk}=30kN</math> aus ständigen Lasten und ein Moment <math>M_{qk} = 180,0kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{qk}=50kN</math> aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.
==Beanspruchungen und Festigkeiten==
<math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math>

<math>M_{Ed}=1,35\cdot80+1,5\cdot 180=378kNm=37800kNcm</math>

<math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math>

<math>N_{Ed}=1,35\cdot30+1,5\cdot 50=115,5kN</math> 
 
Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
 
<math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
==Querschnittswerte==
<math>d=71cm</math>

<math>z_{s1}=33,5cm</math>
==Bemessung==
<math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>

<math> M_{Eds}=37800-115,5\cdot33,5 </math>

<math> M_{Eds}=33930,75kNcm </math>

<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>

<math>\mu_{Eds}=\frac{33930,75}{35\cdot 71^2\cdot 1,13}</math>

<math>\mu_{Eds}=0,17<0,296</math>

Da <math>\mu_{Eds}<0,296</math> ist keine Druckbewehrung erforderlich. Mithilfe des bezogenen Moments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen.

<math>\varepsilon_{s1}=11,6</math>&permil;

<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,9</math>

<math>\Rightarrow \ z=0,9\cdot71=63,9cm</math>

===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie===
<math>\varepsilon_{s1}</math>=11,6&permil;>2,17&permil;

Da die vorhandene Stahlspannung über der Fließspannung liegt, darf die volle Bemessungszugfestigkeit angesetzt werden.

<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>

<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,86cm^2}}</math>

===Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie===
Der genauere Wert für <math>\sigma_{sd}</math> ergibt sich aus den thoretischen Zusammenhängen der Stahlkennlinie mit geneigtem Ast und der abgelesenen Stahldehnung.

<math>\sigma_{sd}=44,4\frac{kN}{cm^2}</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds}}{z}+N_{Ed}\right)</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{44,4}\cdot\left(\frac{33930,75}{63,9}+115,5\right)</math>

<math>\underline{\underline{A_{s1}=14,56cm^2}}</math>
=Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung=

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

==Aufgabenstellung==

[[File:Biegebemessung_mit_dem_omega_Verfahren1.png|right|thumb|200px|]]

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment <math>M_{gk} = 160,0 kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{gk}=-30kN</math> aus ständigen Lasten und ein Moment <math>M_{qk} = 360,0 kNm</math> sowie eine Normalkraft <math>N_{qk}=-50kN</math> aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/Statische_Nutzh%C3%B6he_(Bsp.) statische Nutzhöhe] beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

==Beanspruchungen und Festigkeiten==
<math>M_{Ed}=\gamma_g\cdot M_{gk}+\gamma_q\cdot M_{qk}</math>

<math>M_{Ed}=1,35\cdot160+1,5\cdot 360=756kNm=75600kNcm</math>

<math>N_{Ed}=\gamma_g\cdot N_{gk}+\gamma_q\cdot N_{qk}</math>

<math>N_{Ed}=-1,35\cdot30-1,5\cdot 50=-115,5kN</math> 
 
Es handelt sich um einen [https://baustatik-wiki.fiw.hs-wismar.de/mediawiki/index.php/%C3%9Cberwiegend_biegebeanspruchter_Querschnitt überwiegend biegebanspruchten] Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
 
<math>f_{cd}=\alpha_{cc}\cdot\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=0,85\cdot\frac{20}{1,5}=11,33\frac{N}{mm^2}=1,13\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1,15}=435\frac{N}{mm^2}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>
==Querschnittswerte==
<math>d=71cm</math>

<math>z_{s1}=33,5cm</math>

<math>d_2=4cm</math>
==Bemessung==
<math> M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1} </math>

<math> M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot33,5 </math>

<math> M_{Eds}=79469,25kNcm </math>

<math>\mu_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}</math>

<math>\mu_{Eds}=\frac{79469,25}{35\cdot 71^2\cdot 1,13}</math>

<math>\mu_{Eds}=0,40>0,296</math>

Da <math>\mu_{Eds}>0,296</math> ist Druckbewehrung erforderlich.

<math>lim\ \mu_{Eds}=0,296</math>

<math>lim\ M_{Eds}=lim\ \mu_{Eds}\cdot b\cdot d^2\cdot f_{cd}</math>

<math>lim\ M_{Eds}=0,296\cdot 35\cdot 71^2\cdot 1,13</math>

<math>lim\ M_{Eds}=59014kNcm</math>

<math>\Delta M_{Eds}=M_{Eds}-lim\ M_{Eds}</math>

<math>\Delta M_{Eds}=79469,25-59014</math>

<math>\Delta M_{Eds}=20455kNcm</math>

Mithilfe des bezogenen Grenzmoments werden im Folgenden die für die Bemessung relevanten Größen aus dem allgemeinen Bemessungsdiagramm abgelesen. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1<ref Name = "Q3">DIN EN 1992-1-1/NA, Nationaler Anhang - National festgelegte Parameter - Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2013</ref> zu entsprechen, wird die bezogene Druckzonenhöhe auf <math>\xi=0,45</math> begrenzt.

<math>\frac{d_2}{d}=\frac{4}{71}=0,056\thickapprox0,05</math>

<math>\varepsilon_{s1}=4,2</math>&permil;

<math>\varepsilon_{s2}=-3,1</math>&permil;

Da sowohl die Spannung der Zug- und Druckbewehrung über der Fließgrenze liegen, darf jeweils mit der vollen Bemessungszugfestigkeit gerechnet werden.

<math>\sigma_{sd}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>\sigma_{s2d}=f_{yd}=43,5\frac{kN}{cm^2}</math>

<math>\zeta=\frac{z}{d}=0,825</math>

<math>\Rightarrow \ z=0,825\cdot71=58,58cm</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{\sigma_{sd}}\cdot\left(\frac{M_{Eds,lim}}{z}+\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}+N_{Ed}\right)</math>

<math> A_{s1}=\frac{1}{43,5}\cdot\left(\frac{59014}{58,58}+\frac{20455}{71-4}-115,5\right)</math>

<math>\underline{\underline{A_{s1}=27,52cm^2}}</math>

<math> A_{s2}=\frac{1}{\sigma_{s2d}}\cdot\frac{\Delta M_{Eds}}{d-d_2}</math>

<math> A_{s2}=\frac{1}{43,5}\cdot\frac{20455}{71-4}</math>

<math>\underline{\underline{A_{s2}=7,02cm^2}}</math>

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

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[[Kategorie:Beispiele-Stahlbetonbau]]

Biegebemessung mit dem kd-Verfahren (Bsp.) - Versionsgeschichte

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