Knicklänge/Ersatzstablänge - Versionsgeschichte

Gbolle am 14. September 2020 um 19:37 Uhr

2020-09-14T19:37:21Z

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	<br />		<br />

	Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />		Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref Name = "Schneider">Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />

	:<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />		:<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />
Zeile 57:		Zeile 57:
	Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />		Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />

	[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg\|right\|thumb\|1000px\|Nomogramm zur Ermittlung des Knicklängenbeiwertes<ref>~~Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010~~</ref>]]		[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg\|right\|thumb\|1000px\|Nomogramm zur Ermittlung des Knicklängenbeiwertes<ref Name = "Schneider"> </ref>]]

	<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>		<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>

Gbolle am 14. September 2020 um 19:34 Uhr

2020-09-14T19:34:11Z

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	Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />		Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />

			[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg\|right\|thumb\|1000px\|Nomogramm zur Ermittlung des Knicklängenbeiwertes<ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]]

	<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>		<math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>
Zeile 71:		Zeile 72:
	\|}<br />		\|}<br />

	Die ~~folgende~~ Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />		Die nebenstehende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />

	~~[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg\|rahmenlos\|rand\|tumb\|1000px\|Baustatik-Wiki]]<br />~~
	~~<br />~~

	Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.		Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
	Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.		Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.

LDöring am 26. November 2019 um 17:12 Uhr

2019-11-26T17:12:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2019, 17:12 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	für unverschiebliche Rahmen:<br />		für unverschiebliche Rahmen:<br />

	<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>		:{\|
			\|<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>
			\|}<br />

	für verschiebliche Rahmen:<br />		für verschiebliche Rahmen:<br />

			:{\|
			\|<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
			\|}<br />

	<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
	~~<br />~~
	mit<br />		mit<br />
			:{\|
	<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2~~<br />~~		\|<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> \|\| - \|\| den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2
	l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen~~.<br />~~<br />		\|-
			\|l \|\| - \|\| der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen
			\|}<br />

	Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />		Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />
Zeile 56:		Zeile 61:

	mit<br />		mit<br />
	E – dem Elastizitätsmodul~~<br />~~		:{\|
	<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze~~<br />~~		\| E \|\| – \|\| dem Elastizitätsmodul
	<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze~~<br />~~		\|-
	<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistance).~~<br />~~<br />		\|<math>{{I}_{col}}</math> \|\| – \|\| dem Flächenträgheitsmoment der Stütze
			\|-
			\|<math>{{l}_{col}}</math> \|\| – \|\| der Länge der Stütze
			\|-
			\|<math>{{M}_{R,i}}</math> \|\| – \|\| dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistance).
			\|}<br />

	Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />		Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />

LDöring am 11. November 2019 um 15:42 Uhr

2019-11-11T15:42:25Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	~~{{Lesernavigation 5 Links~~
	~~\|Link1 = [[Hauptseite]]~~
	~~\|Link2 = [[Stahlbetonbau]]~~
	~~\|Link3 = [[:Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau\|Grundlagen/Begriffe]]~~
	~~\|Link4 = [[:Kategorie:Hinweise für Leser\|Hinweise für Leser]]~~
	~~\|Link5 = [[:Kategorie:Hinweise für Autoren\|Hinweise für Autoren]]~~
	}}
	<br />		<br />

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:36 Uhr

2019-05-14T13:36:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:36 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	\| <math>{{l}_{col}}</math>… \|\| Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column		\| <math>{{l}_{col}}</math>… \|\| Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column
	\|}<br />		\|}<br />


	~~<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)~~

	~~<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert~~

	~~<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column).<br /><br />~~

	„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung\|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ <ref>Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005</ref><br />		„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung\|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ <ref>Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005</ref><br />

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:35 Uhr

2019-05-14T13:35:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:35 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />		Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />

	<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />		:<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />

			wobei:<br />

			:{\|
			\|-
			\| <math>{{l}_{0}}</math>… \|\| Knicklänge oder Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)
			\|-
			\| <math>\beta </math>… \|\| Knicklängenbeiwert
			\|-
			\| <math>{{l}_{col}}</math>… \|\| Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column
			\|}<br />

	~~mit<br />~~

	<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)		<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:27 Uhr

2019-05-14T13:27:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:27 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:

	Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.		Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
	Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung ~~im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt~~, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.		Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
	<br />		<br />
	==Quellen==		==Quellen==

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:17 Uhr

2019-05-14T13:17:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:17 Uhr
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	{{Seiteninfo		{{Seiteninfo
	\|Quality-flag = [[File:quality-flag-~~orange~~.gif\|right\|70px]]		\|Quality-flag = [[File:quality-flag-green.gif\|right\|70px]]
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	[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]		[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:12 Uhr

2019-05-14T13:12:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:12 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	<br />		<br />

	Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung (siehe oben). <br />		Das Flächenträgheitsmoment des Riegels ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment des Riegels am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung (siehe oben). <br />
	Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. <br />		Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. <br />
	Der Eurocode 2 gibt zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen\|üblichen]]“ Rahmen vor:<br /><br />		Der Eurocode 2 gibt zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen\|üblichen]]“ Rahmen vor:<br /><br />

Gbolle am 14. Mai 2019 um 13:11 Uhr

2019-05-14T13:11:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2019, 13:11 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Die realistischen Beiwerte β berücksichtigen den Sachverhalt, dass eine unendlich feste Einspannung in der Praxis nicht existiert. Auch bei einer sehr steifen Einspannung sind immer geringe Verformungen nötig, um das entsprechende Einspannmoment zu aktivieren.<br />		Die realistischen Beiwerte β berücksichtigen den Sachverhalt, dass eine unendlich feste Einspannung in der Praxis nicht existiert. Auch bei einer sehr steifen Einspannung sind immer geringe Verformungen nötig, um das entsprechende Einspannmoment zu aktivieren.<br />

	Für die Praxis reichen die angegebenen 4 Grundfälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also ~~horizontal beweglichen~~ Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.<br /><br />		Für die Praxis reichen die angegebenen 4 Grundfälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also senkrecht zur Bauteilachse gegeneinander verschieblichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.<br /><br />

	[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg\|rahmenlos\|rand\|tumb\|700px\|Baustatik-Wiki]]<br />		[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg\|rahmenlos\|rand\|tumb\|700px\|Baustatik-Wiki]]<br />