Verformungsnachweis - indirekte Berechnung - Versionsgeschichte

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2025-01-11T22:47:00Z

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EWill am 26. August 2024 um 19:26 Uhr

2024-08-26T19:26:19Z

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	\| <math> \rho'=\frac{A_{s2,erf}}{b\cdot d} </math> … \|\| erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (bei Kragträgern an der Einspannstelle)		\| <math> \rho'=\frac{A_{s2,erf}}{b\cdot d} </math> … \|\| erforderlicher Druckbewehrungsgrad in Feldmitte (bei Kragträgern an der Einspannstelle)
	\|-		\|-
	\| <math> \rho_0=f_{ck}\cdot 10^{-3} </math> … \|\| Referenzbewehrungsgrad		\| <math> \rho_0=\sqrt{f_{ck}}\cdot 10^{-3} </math> … \|\| Referenzbewehrungsgrad
	\|-		\|-
	\| <math> l </math> … \|\| [[Effektive Stützweite\|effektive Stützweite]]		\| <math> l </math> … \|\| [[Effektive Stützweite\|effektive Stützweite]]

EWill am 26. August 2024 um 19:19 Uhr

2024-08-26T19:19:30Z

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	\|}		\|}

	mit<math>\qquad k_L=\frac{L_x}{L_y}</math>		mit<math>\qquad k_L=\frac{L_x}{L_y}\qquad</math> wobei <math>L_x \geq L_y</math>

	[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]		[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]

EWill am 26. August 2024 um 19:15 Uhr

2024-08-26T19:15:49Z

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Zeile 151:		Zeile 151:

	mit<math>\qquad k_L=\frac{L_x}{L_y}</math>		mit<math>\qquad k_L=\frac{L_x}{L_y}</math>

			[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]


	=Quellen=		=Quellen=

EWill am 26. August 2024 um 19:14 Uhr

2024-08-26T19:14:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2024, 19:14 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	=Vordimensionierung der Biegeschlankheit=		=Vordimensionierung der Biegeschlankheit=

	In ~~den Untersuchungen von KRÜGER~~ und ~~MERTZSCH zeigte sich~~, ~~dass es sinnvoll ist~~, ~~den Nachweisen der Verformungen über die Biegeschlankheit für Platten und Balken zu trennen~~. ~~Grund hierfür sind die unterschiedlichen Lagerungsbedingungen und Formen der Beanspruchung bei Platten und Balken~~. ~~Diese führen bei Platten zu einer deutlich geringeren Rissbildung im Vergleich zu der bei Balken~~.		[[File:Indirekte_Verformungsberechnung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_3.jpg\|right\|thumb\|400px\|Beiwert zur Berücksichtigung der Plattengeometrie <ref name="krüger02">Krüger, W. und Mertzsch, O. "Zur Verformungsbegrenzung von überwiegend auf Biegung beanspruchten Stahlbetonquerschnitten" In: Beton- und Stahlbetonbau, Jahrgang 97, Heft 11^(2002), S. 584-589</ref>]]
	~~Beim Grenzwert~~ der Biegeschlankheit ~~für Platten ist die Verkehrslast der maßgebende Faktor, bei dem für Balken der Bewehrungsgrad.~~		[[File:Indirekte_Verformungsberechnung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_4.jpg\|right\|thumb\|400px\|<math>\alpha_i</math>-Werte zur Bestimmung von l<sub>i</sub><ref name="krüger02"></ref>]]
			[[File:Indirekte_Verformungsberechnung_-_biegebeanspruchte_Bauteile_5.jpg\|right\|thumb\|400px\|Beiwerte <math>\lambda_i</math> zur Ermittlung der Biegeschlankheit<ref name="krüger02"></ref>]]

	Der Nachweis erfolgt mit folgender Gleichung:		In den Untersuchungen von KRÜGER und MERTZSCH <ref name="krüger03">Krüger, W. und Mertzsch, O. "Verformungsnachweis - Erweiterte Tafeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit" In: Stahlbetonbau aktuell (2003)</ref> zeigte sich, dass es sinnvoll ist, den Nachweisen der Verformungen über die Biegeschlankheit für Platten und Balken zu trennen. Grund hierfür sind die unterschiedlichen Lagerungsbedingungen und Formen der Beanspruchung bei Platten und Balken. Diese führen bei Platten zu einer deutlich geringeren Rissbildung im Vergleich zu der bei Balken <ref name="krüger03"></ref>.
			Beim Grenzwert der Biegeschlankheit für Platten ist die Verkehrslast der maßgebende Faktor, bei dem für Balken der Bewehrungsgrad <ref name="krüger03"></ref>.

			Der Nachweis erfolgt mit folgender Gleichung <ref name="krüger03"></ref>:

	<math>erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c</math>		<math>erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c</math>
Zeile 110:		Zeile 114:
	\|}</li>		\|}</li>

	Die dargestellten Tafeln beruhen auf folgenden Annahmen:		Die dargestellten Tafeln beruhen auf folgenden Annahmen<ref name="krüger03"></ref>:

	:{\|		:{\|
Zeile 121:		Zeile 125:
	\|}		\|}

	Für eine analytische Berechnung können folgende Gleichungen verwendet werden:		Für eine näherungsweise, analytische Berechnung können folgende Gleichungen verwendet werden<ref name="krüger03"></ref>:

	'''Balken:'''		'''Balken:'''

EWill am 26. August 2024 um 18:46 Uhr

2024-08-26T18:46:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2024, 18:46 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:

	[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]		[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]

			=Vordimensionierung der Biegeschlankheit=

			In den Untersuchungen von KRÜGER und MERTZSCH zeigte sich, dass es sinnvoll ist, den Nachweisen der Verformungen über die Biegeschlankheit für Platten und Balken zu trennen. Grund hierfür sind die unterschiedlichen Lagerungsbedingungen und Formen der Beanspruchung bei Platten und Balken. Diese führen bei Platten zu einer deutlich geringeren Rissbildung im Vergleich zu der bei Balken.
			Beim Grenzwert der Biegeschlankheit für Platten ist die Verkehrslast der maßgebende Faktor, bei dem für Balken der Bewehrungsgrad.

			Der Nachweis erfolgt mit folgender Gleichung:

			<math>erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c</math>

			wobei:
			:{\|
			\|-
			\| <math> \lambda_i </math> … \|\| Grenzschlankheit
			\|-
			\| <math> l_i=\alpha_i\cdot l_{eff} </math> … \|\| ideelle Stützweite von Balkentragwerken und Flachdecken
			\|-
			\| <math> l_i=\eta_i\cdot l_{eff} </math> … \|\| ideelle Stützweite von Plattentragwerken
			\|}</li>

			<math>k_c=\left(\frac{f_{ck,0}}{f_{ck}}\right)^\frac{1}{6}</math>

			wobei:
			:{\|
			\|-
			\| <math> f_{ck,0}=20\frac{N}{mm^2} </math> … \|\| Referenzwert der Betondruckfestigkeit
			\|-
			\| <math> f_{ck} \left[\frac{N}{mm^2}\right] </math> … \|\| charakteristische Betondruckfestigkeit
			\|}</li>

			Die dargestellten Tafeln beruhen auf folgenden Annahmen:

			:{\|
			\|-
			\|Druckfestigkeit<math>\qquad\qquad</math>\|\|<math>f_{ck}\geq 25\frac{N}{mm^2}</math>
			\|-
			\|Kriechzahl<math>\qquad\qquad</math>\|\|<math>\phi\leq2,5</math>
			\|-
			\|Belastung bei Platten<math>\qquad\qquad</math>\|\|<math>q\leq 5,50\frac{kN}{m^2}</math>
			\|}

			Für eine analytische Berechnung können folgende Gleichungen verwendet werden:

			'''Balken:'''

			<math>\lambda_i=k_1\cdot\left(36,30-2,46\cdot l_i+0,12\cdot l_i^2\right)</math>

			<math>\text{mit }k_1=\left\{\begin{matrix}1,0\qquad\text{für }\frac{l}{250}\\0,56\qquad\text{für }\frac{l}{500}\end{matrix}\right.</math>

			'''Platten'''

			<math>\lambda_i=k_2-3,56\cdot l_i+0,15\cdot l_i^2</math>

			<math>\text{mit }k_2=\left\{\begin{matrix}45,2\qquad\text{für }\frac{l}{250}\\35,2\qquad\text{für }\frac{l}{500}\end{matrix}\right.</math>

			:{\|
			\|-
			\|<math>\eta_1=0,168+0,979\cdot k_L-0,283 k_L^2\leq1,0\qquad\qquad</math>\|\|Platte 1 (vgl. Bild)
			\|-
			\|<math>\eta_2=0,148+0,689\cdot k_L-0,188 k_L^2\qquad\qquad</math>\|\|Platte 2 (vgl. Bild)
			\|-
			\|<math>\eta_3=0,473+0,200\cdot k_L-0,065 k_L^2\qquad\qquad</math>\|\|Platte 3 (vgl. Bild)
			\|-
			\|<math>\eta_4=0,103+0,578\cdot k_L-0,162 k_L^2\qquad\qquad</math>\|\|Platte 4 (vgl. Bild)
			\|}

			mit<math>\qquad k_L=\frac{L_x}{L_y}</math>

	=Quellen=		=Quellen=

EWill am 20. August 2024 um 11:31 Uhr

2024-08-20T11:31:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2024, 11:31 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	Aus der grafischen Auswertung der Gleichung ist deutlich erkennbar, dass die zulässige Biegeschlankheit mit steigendem Längsbewehrungsgrad und somit mit sinkender Beanspruchung zunimmt. Außerdem ist zu sehen, dass durch die zunehmende Biegesteifigkeit infolge zunehmender Betondruckfestigkeit, die zulässige Biegeschlankheit zunimmt. Beides stimmt mit den allgemeinen Zusammenhängen bezüglich der Bauteilverformungen überein.		Aus der grafischen Auswertung der Gleichung ist deutlich erkennbar, dass die zulässige Biegeschlankheit mit steigendem Längsbewehrungsgrad und somit mit sinkender Beanspruchung zunimmt. Außerdem ist zu sehen, dass durch die zunehmende Biegesteifigkeit infolge zunehmender Betondruckfestigkeit, die zulässige Biegeschlankheit zunimmt. Beides stimmt mit den allgemeinen Zusammenhängen bezüglich der Bauteilverformungen überein.

	Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert<ref name="DAfStb600"></ref>:		Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert (der kleiner Wert ist maßgebend)<ref name="DAfStb600"></ref>:

	<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35</math>		<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35</math>
Zeile 78:		Zeile 78:

	Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.		Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.

			[[Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)\|Beispiel]]

	=Quellen=		=Quellen=

EWill am 20. August 2024 um 11:24 Uhr

2024-08-20T11:24:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2024, 11:24 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert<ref name="DAfStb600"></ref>:		Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert<ref name="DAfStb600"></ref>:

	<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}~~\leq~~ K\cdot 35</math>		<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35</math>

	<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}~~\leq~~ K^2\cdot \frac{150}{l [m]}</math>		<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K^2\cdot \frac{150}{l [m]}</math>

	Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.		Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.

EWill am 20. August 2024 um 11:06 Uhr

2024-08-20T11:06:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2024, 11:06 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	:{\|		:{\|
	\|-		\|-
	\|<math>k_1=\frac{310\frac{N}{mm^2}}{\~~sigma_s~~ [\frac{N}{mm^2}]}\qquad</math>\|\|wenn die vorhandene Stahlspannung unter der Bemessungslast<math>\neq310\frac{N}{mm^2}</math>		\|<math>k_1=\frac{310\frac{N}{mm^2}}{\sigma_{s1} [\frac{N}{mm^2}]}\qquad</math>\|\|wenn die vorhandene Stahlspannung unter der Bemessungslast<math>\neq310\frac{N}{mm^2}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>k_2=0,8\qquad</math>\|\|bei gegliederten Querschnitten (z.B. Plattenbalken, I-Profile)		\|<math>k_2=0,8\qquad</math>\|\|bei gegliederten Querschnitten (z.B. Plattenbalken, I-Profile)

EWill am 20. August 2024 um 10:54 Uhr

2024-08-20T10:54:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2024, 10:54 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	=Allgemeines=		=Allgemeines=

	Der Verformungsnachweis kann immer dann über die Biegeschlankheit geführt werden, wenn keine erhöhten Anforderungen an die Durchbiegungsbegrenzung gestellt werden und folgende Voraussetzungen erfüllt sind:		Der Verformungsnachweis kann immer dann über die Biegeschlankheit geführt werden, wenn keine erhöhten Anforderungen an die Durchbiegungsbegrenzung gestellt werden und folgende Voraussetzungen erfüllt sind<ref name="DAfStb600">Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Erläuterungen zu DIN EIN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2); DAfStb Heft 600</ref>:
	<ul>		<ul>
	<li>Es handelt sich um einen Stahlbetonbalken bzw. eine Stahlbetonplatte des „üblichen“ Hochbaus.		<li>Es handelt sich um einen Stahlbetonbalken bzw. eine Stahlbetonplatte des „üblichen“ Hochbaus.
Zeile 10:		Zeile 10:
	</ul>		</ul>

	Das Verfahren darf nicht für Spannbetonbauteile und Bauteile, bei denen große Normalkräfte angreifen verwendet werden.		Das Verfahren darf nicht für Spannbetonbauteile und Bauteile, bei denen große Normalkräfte angreifen verwendet werden<ref name="DAfStb600">Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Erläuterungen zu DIN EIN 1992-1-1 und DIN EN 1992-1-1/NA (Eurocode 2); DAfStb Heft 600</ref>.

	Der Verformungsnachweis über eine indirekte Verformungsberechnung kann mit zwei unterschiedlichen Varianten erfolgen. Beide werden im Folgenden näher vorgestellt.		Der Verformungsnachweis über eine indirekte Verformungsberechnung kann mit zwei unterschiedlichen Varianten erfolgen. Beide werden im Folgenden näher vorgestellt.
Zeile 16:		Zeile 16:
	=Verfahren nach EC 2=		=Verfahren nach EC 2=

	In diesem Verfahren werden die wesentlichen Einflussfaktoren auf die Verformung näherungsweise erfasst. Die Einflussfaktoren auf die Verformungen, die berücksichtigt werden, sind Folgende:		In diesem Verfahren werden die wesentlichen Einflussfaktoren auf die Verformung näherungsweise erfasst. Die Einflussfaktoren auf die Verformungen, die berücksichtigt werden, sind Folgende<ref Name = "Q2">Zilch,K., Zehetmaier,G.: Bemessung im konstruktiven Betonbau; 2. Auflage, Berlin/Heidelberg: Springer Verlag, 2006</ref>:
	<ul>		<ul>
	<li>Spannweite des Bauteils		<li>Spannweite des Bauteils
Zeile 26:		Zeile 26:
	</ul>		</ul>

	Die letzten beiden Faktoren gehen durch die Unterscheidung in gering- und hochbeanspruchte Bauteile in die Berechnung ein. Die Unterscheidung findet über den Längsbewehrungsgrad statt. Liegt der Längsbewehrungsgrad über dem von der Betondruckfestigkeit abhängigen Referenzbewehrungsgrad, handelt es sich um ein hochbeanspruchtes Bauteil; liegt er darunter, ist das Bauteil als gering bzw. mäßig beansprucht einzustufen. Für beide Varianten steht jeweils eine separate Gleichung zur Verfügung:		Die letzten beiden Faktoren gehen durch die Unterscheidung in gering- und hochbeanspruchte Bauteile in die Berechnung ein. Die Unterscheidung findet über den Längsbewehrungsgrad statt. Liegt der Längsbewehrungsgrad über dem von der Betondruckfestigkeit abhängigen Referenzbewehrungsgrad, handelt es sich um ein hochbeanspruchtes Bauteil; liegt er darunter, ist das Bauteil als gering bzw. mäßig beansprucht einzustufen. Für beide Varianten steht jeweils eine separate Gleichung zur Verfügung<ref Name = "Q5">DIN EN 1992-1-1, Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Beuth-Verlag, 2011</ref>:

	<math>\text{wenn }\rho\leq\rho_0\qquad\qquad\frac{l}{d}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho}+3,2\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho_0}{\rho}-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]\leq\left(\frac{l}{d}\right)_{max}</math>		<math>\text{wenn }\rho\leq\rho_0\qquad\qquad\frac{l}{d}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho}+3,2\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho_0}{\rho}-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]\leq\left(\frac{l}{d}\right)_{max}</math>
Zeile 54:		Zeile 54:
	Da der Längsbewehrungsgrad in den Gleichungen den Einfluss der Beanspruchung wiederspiegeln soll, ist mit dem erforderlichen und nicht mit dem vorhandenen Bewehrungsgrad zu rechnen. Würde mit dem vorhandenen gerechnet werden, würden ungünstigere Ergebnisse erzielt werden, da die Beanspruchung überschätzt würde.		Da der Längsbewehrungsgrad in den Gleichungen den Einfluss der Beanspruchung wiederspiegeln soll, ist mit dem erforderlichen und nicht mit dem vorhandenen Bewehrungsgrad zu rechnen. Würde mit dem vorhandenen gerechnet werden, würden ungünstigere Ergebnisse erzielt werden, da die Beanspruchung überschätzt würde.

	Die Gleichungen können bzw. müssen im Folgenden mit weiteren Faktoren modifiziert werden. Diese Faktoren resultieren aus Abweichungen zwischen den Eigenschaften des betrachteten Bauteils und den Eigenschaften der Bauteile, welche für die Kalibrierung der Gleichungen verwendet wurden.		Die Gleichungen können bzw. müssen im Folgenden mit weiteren Faktoren modifiziert werden. Diese Faktoren resultieren aus Abweichungen zwischen den Eigenschaften des betrachteten Bauteils und den Eigenschaften der Bauteile, welche für die Kalibrierung der Gleichungen verwendet wurden<ref Name = "Q5"></ref>.

	:{\|		:{\|
Zeile 71:		Zeile 71:
	Aus der grafischen Auswertung der Gleichung ist deutlich erkennbar, dass die zulässige Biegeschlankheit mit steigendem Längsbewehrungsgrad und somit mit sinkender Beanspruchung zunimmt. Außerdem ist zu sehen, dass durch die zunehmende Biegesteifigkeit infolge zunehmender Betondruckfestigkeit, die zulässige Biegeschlankheit zunimmt. Beides stimmt mit den allgemeinen Zusammenhängen bezüglich der Bauteilverformungen überein.		Aus der grafischen Auswertung der Gleichung ist deutlich erkennbar, dass die zulässige Biegeschlankheit mit steigendem Längsbewehrungsgrad und somit mit sinkender Beanspruchung zunimmt. Außerdem ist zu sehen, dass durch die zunehmende Biegesteifigkeit infolge zunehmender Betondruckfestigkeit, die zulässige Biegeschlankheit zunimmt. Beides stimmt mit den allgemeinen Zusammenhängen bezüglich der Bauteilverformungen überein.

	Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert:		Um bei gering bewehrten Bauteilen konstruktiv unsinnigen bzw. unterdimensionierten Bauteildicken vorzubeugen, werden außerdem obere Grenzwerte für die zulässige Biegeschlankheit definiert<ref name="DAfStb600"></ref>:

	<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}\leq K\cdot 35</math>		<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}\leq K\cdot 35</math>
Zeile 78:		Zeile 78:

	Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.		Ist die zulässige Biegeschlankheit größer als die maximale, ist sie auf diese zu beschränken. Die Maximalwerte der zulässigen Biegeschlankheit dürfen nicht durch weiteren Faktoren modifiziert werden.

			=Quellen=
			<references />
			<br />

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			[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]