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-´´Treppen auf Platten Beispiel 1 - Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus Treppenlauf biegesteif Podest angeschlossen´´
-= Aufgabenstellung =
-Bild
-Für den gegebenen Grundriss eines Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen soll eine gegenläufige Treppe Entworfen und Bemessen werden. Baustoffe, Umgebungsbedingungen und die Bauteilabmessungen wurden vorab festgelegt. Der Bauherr verzichtet auf ein besonderes maß des Schallschutzes. Als Treppenlauf Belag wurde ein Natursteinplattenbelag oberhalb und unterhalb wird die Treppe mit einem Gipsputz versehen. gewählt
-Gewählt wurde eine Ausführung mit Arbeitsfuge
-Die Podestplatten werden im Rahmen des Beispiels als einachsig gespannte platte betrachtet. Die Berechnung dient als Vergleich zu der Berechnung mit dem MB Modul
-== Vorgaben ==
-:{|
-|-
-| Geschosshöhe <math> h </math>: || 2,72m
-|-
-| Plattenstärke <math>  h_{L} </math>: || 20 cm
-|-
-| Natursteinplattenstärke <math> N_{s} </math>: || 6,0 cm
-|-
-| Gipsputz <math> G_{s} </math>: || 1,5 cm
-|-
-| Treppenform: || Gegenläufige Treppe
-|-
-| Expositionsklasse: || XC1 - 	trocken, ständig nass
-|-
-| Betonfestigkeitsklasse: || C25/30
-|-
-| Betonstahl: || B500
-|}
-= Lösung =
-==geometrische Bestimmung==
-zu Entwerfen ist eine Treppe für ein Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen
-da die Treppe zu einem nicht zu ebener Erde liegende Geschoss führt spricht man von einer Baurechtlich notwendige Treppe
-{| class="wikitable"
-|+style="text-align:left;"|Grenzmaße <ref Name = "DIN18065" group="N" >DIN 18065:2015-03 Gebäudetreppen - Begriffe, Messregeln, Hauptmaße</ref>
-|rowspan="3"|
-|1
-|2
-|3
-|4
-|5
-|6
-|7
-|-
-!rowspan="2" style="background: #eaecf0;"|Gebäudeart
-!rowspan="2" style="background: #eaecf0;"|Treppenart
-!rowspan="2" style="background: #eaecf0;"|minimale nutzbare Laufbreite (b) [cm]
-!colspan="2" style="background: #eaecf0;"|Steigung (s) [cm]
-!colspan="2" style="background: #eaecf0;"|Auftritt (a) [cm]
-|-
-!style="background: #eaecf0;"|min.
-!style="background: #eaecf0;"|max.
-!style="background: #eaecf0;"|min.
-!style="background: #eaecf0;"|max.
-|-
-|1
-|rowspan="2" style="background: #FFFF40"|Gebäude im Allgemeinen (Fertigmaße im Endzustand)
-|style="background: #FFFF40"|Baurechtlich notwendige Treppe
-|style="background:#FFFF40"|100
-|style="background:#FFFF40"|14
-|style="background:#FFFF40"|19
-|style="background:#FFFF40"|26
-|style="background:#FFFF40"|37
-|-
-|2
-|style="background: #eaecf0;"|Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)
-|50
-|14
-|21
-|21
-|37
-|-
-|3
-|rowspan="2" style="background: #eaecf0;"|Wohngebäude mit bis zu zwei Wohnungen und innerhalb von Wohnungen
-|style="background: #eaecf0;"|Baurechtlich notwendige Treppe
-|80
-|14
-|20
-|23
-|37
-|-
-|4
-|style="background: #eaecf0;"|Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)
-|50
-|14
-|21
-|21
-|37
-|}
-===minimale nutzbare Laufbreite <math>b</math>===
-<br />
-::<math> b \le \underline{100cm} </math>.
-<br />
-===Steigung <math>s</math>===
-um die Geschosshöhe von 272 cm  zu überbrücken, wurde eine gegenläufige Treppe mit jeweils 8 Steigungen pro  Treppenlauf gewählt
-::{|
-|<math> s = \frac{h}{\text{Anzahl Steigungen}}= \frac{272cm}{16} = \underline{17cm} </math>
-|-
-|<math> 14cm \le \underline{s = 17} \le 19cm</math>
-|}
-=== Auftritt <math>a</math>===
-::{|
-| <math> a - s \approx 12cm </math> || <math> | +s </math>
-|-
-| <math> a \approx s + 12cm </math>||  <math>| mit: s= 17cm </math>
-|-
-| <math> a \approx 17cm + 12cm  </math>||
-|-
-| <math> a \approx 29cm  </math>||
-|-
-| <math> 26cm \le \underline{a=29cm} \le 37cm</math> ||
-|}
-===Überprüfung Schrittmaß===
-::{|
-| <math>  59cm \le 2 \cdot s + a \le 65cm </math> ||<math>| mit: s= 17cm  </math>
-|-
-| ||<math>| mit:a=29cm  </math>
-|-
-| <math>  59cm \le 2 \cdot 17cm + 29 \le 65cm </math>||
-|-
-| <math>  59cm \le \underline{63cm} \le 65cm </math>||
-|}
-===Treppenaugebreite <math> b´</math>===
-Es wird ein Treppenauge von 25 cm gewählt
-::<math>20cm \le  b^{'} =25 \le 30cm </math>
-* Steigungswinkel
-::{|
-| <math>   \alpha = tan^{-1} (\frac{s}{a})   </math>||<math>| mit: s= 17cm  </math>
-|-
-| ||<math>| mit:a=29cm  </math>
-|-
-| <math>   \alpha = tan^{-1} (\frac{17cm}{29cm})   </math> ||
-|-
-| <math>  \alpha \approx 30,38° </math> ||
-|}
-==Einwirkungen==
-===Teilsicherheiten ===
-::{|
-|<math> \gamma_\mathrm{Q} =1,50 </math> ||
-|-
-|<math> \gamma_\mathrm{G} =1,35 </math> ||
-|}
-=== Ständige===
-Die ständigen Lasten werden auf den Grundriss bezogen.
-:{|
-| <math> g_{d}= g_{k} \cdot \gamma_\mathrm{G}</math> ||
-|}
-<br />
-::{|
-|<math>  g_{k} = g^{*}_{k} + g^{**}_{k} </math> ||
-|}
-<br />
-:::{|
-|<math>  g^{**}_{k} = \frac{s \cdot \gamma_{2}}{2} </math>|| <math>| mit: s= 17cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{2} = 24 \frac{kN}{m^{3}}  </math>
-|-
-| <math>  g^{**}_{k} = \frac{0,17m\cdot 24 \frac{kN}{m^{3}}}{2} </math>||
-|-
-| <math>  g^{**}_{k} = 2.04 \frac{kN}{m^{2}} </math>||
-|}
-<br />
-:::{|
-| <math>  g^{*}_{k} = \frac{ h \cdot \gamma_{1} + \gamma_{G_{s}=1,5 cm} + N_{s} \cdot \gamma_{Naturstein} }{cos(\alpha)} </math>||<math>| mit: h= 20cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{1}= 25 \frac{kN}{m^{3}} </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{G_{s}=1,5 cm} = 0,18 \frac{kN}{m^{2}} </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{Naturstein} = 0,3 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} </math>
-|-
-| || <math>| mit: N_{s} = 6 cm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \alpha = 30,38° </math>
-|-
-|<math>  g^{*}_{k} = \frac{ 0,20m \cdot 25 \frac{kN}{m^{3}} + 0,18 \frac{kN}{m^{2}}+ 6 cm \cdot 0,3 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} }{cos(30,38°)} </math>||
-|-
-|<math>  g^{*}_{k} \approx 8,09 \frac{kN}{m^{2}} </math>||
-|}
-<br />
-::{|
-|<math>  g_{k} = g^{*}_{k} + g^{**}_{k} </math> ||<math>| mit: g^{*}_{k} = 8,09  \frac{kN}{m^{2}} </math>
-|-
-| || <math>| mit: g^{**}_{k} = 2.04 \frac{kN}{m^{2}} </math>
-|-
-|<math>  g_{k} = 8,09  \frac{kN}{m^{2}} + 2.04  \frac{kN}{m^{2}} </math> ||
-|-
-|<math>  g_{k} = 10,13 \frac{kN}{m^{2}} </math> ||
-|}
-<br />
-:{|
-| <math> g_{d}= g_{k} \cdot \gamma_\mathrm{G}</math> || <math>| mit: \gamma_\mathrm{G} = 1,5 </math>
-|-
-| || <math>| mit:g_{k} = 10,13 \frac{kN}{m^{2}} </math>
-|-
-| <math> g_{d}= 10,13 \frac{kN}{m^{2}} \cdot 1,5 </math> ||
-|-
-| <math> g_{d}=15,2 \frac{kN}{m^{2}}  </math> ||
-|}
-=== Veränderliche===
-{| class="wikitable"
-|+style="text-align:left;"|Lotrechte Nutzlasten für Treppen <ref Name = "HandbuchEC1" group="F">Handbuch Eurocode 1 Einwirkungen – Band 1 Grundlagen, Nutz- und Eigenlasten, Brandeinwirkungen, Schnee-, Wind-, Temperaturlasten Ausgabedatum: 06.2012 </ref>
-|rowspan="2"|
-|colspan="2"|1
-|2
-|3
-|4
-|5
-|-
-!colspan="2"|Kategorie
-!Nutzung
-!Beispiele
-!<math> q_{k} [ \frac{kN}{m^{2}}] </math>
-!<math> Q_{k} [kN] </math>
-|-
-|19
-|rowspan="3" style="background:#FFFF40"|T
-|style="background:#FFFF40"|T1
-|rowspan="3" style="background:#FFFF40"|Treppen und Treppenpodeste
-|style="background:#FFFF40"|Treppen und Treppenpodeste in Wohngebäuden, Bürogebäuden und von Arztpraxen ohne schweres Gerät
-|style="background:#FFFF40"|3,0
-|2,0
-|-
-|20
-|T2
-|alle Treppen und Treppenpodeste, die nicht in TI oder T3 eingeordnet werden können
-|5,0
-|2,0
-|-
-|21
-|T3
-|Zugänge und Treppen von Tribünen ohne feste Sitzplätze, die als Fluchtwege dienen
-|7,5
-|3,0
-|}
-::{|
-|<math> \underline{ q_{k} = 3,0 \frac{kN}{m^{2}} } </math>||
-|}
-<br />
-:{|
-|<math> q_{d} =q_{k} \cdot \gamma_\mathrm{ Q } </math>|| <math>| mit: q_{k} = 3,0 \frac{kN}{m^{2}} </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_\mathrm{ Q } = 1,5 </math>
-|-
-|<math> q_{d} = 3,0 \frac{kN}{m^{2}} \cdot 1,5 </math>||
-|-
-|<math> q_{d} = 4,5 \frac{kN}{m^{2}} </math>||
-|}
-===Gesamtlasten===
-:{|
-| <math> f_{d}=g_{d}+q_{d} </math> || <math>| mit: q_{d} = 4,5 \frac{kN}{m^{2}}  </math>
-|-
-| || <math>| mit: g_{d}= 15,2 \frac{kN}{m^{2}}  </math>
-|-
-| <math> f_{d}=15,2 \frac{kN}{m^{2}} + 4,5 \frac{kN}{m^{2}} </math> ||
-|-
-| <math> f_{d}=19,7 \frac{kN}{m^{2}} </math> ||
-|}
-==Berechnung und Bemessung des Treppenlaufs==
-===Statisches System===
-:{|
-| <math> l_{L}    = 8 \cdot a </math> || <math>| mit: a=29cm  </math>
-|-
-| <math> l_{L}    = 8 \cdot 29cm </math> ||
-|-
-| <math> l_{L}    = 2,32 m </math> ||
-|}
-[[Bild]]
-===Schnittgrößen===
-====maximales Feldmoment====
-:{|
-|<math> M_{Ed,F}  =f_{d} \cdot \frac{l_{L}^{2}}{8}</math>|| <math>| mit: f_{d}=19,7 \frac{kN}{m^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: l_{L}    = 2,32 m </math>
-|-
-|<math> M_{Ed,F}  =19,7 \frac{kN}{m^{2}} \cdot \frac{2,32 m^{2}}{8}</math>||
-|-
-|<math> M_{Ed,F}  =13.25 \frac{kNm}{m} </math>||
-|}
-====Stützmoment====
-:{|
-|<math> M_{Ed,S}  =-f_{d} \cdot \frac{l_{L}^{2}}{16}</math>|| <math>| mit: f_{d}=19,7 \frac{kN}{m^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: l_{L}    = 2,32 m </math>
-|-
-|<math> M_{Ed,S}  =-19,7 \frac{kN}{m^{2}} \cdot \frac{2,32 m^{2}}{16}</math>||
-|-
-|<math> M_{Ed,S}  =6.63 \frac{kNm}{m} </math>||
-|}
-====Auflagekraft====
-:{|
-| <math> C_{Ed}    =f_{d} \cdot \frac{l_{L}}{2} </math> || <math>| mit: f_{d}=19,7 \frac{kN}{m^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: l_{L}    = 2,32 m </math>
-|-
-| <math> C_{Ed}    =19,7 \frac{kN}{m^{2}} \cdot \frac{ 2,32 m }{2} </math> ||
-|-
-| <math> C_{Ed}    =22.86 \frac{kN}{m} </math> ||
-|}
-==== Maximale Normalkraft====
-:{|
-| <math> extr n = \pm C_{Ed} \cdot sin(\alpha ) </math> || <math>| mit: \alpha = 30,38°  </math>
-|-
-| || <math>| mit: C_{Ed} = 22.86 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-| <math> extr n = \pm 22.86 \frac{kN}{m} \cdot sin( 30,38° ) </math> ||
-|-
-| <math> extr n = \pm 11,56 \frac{kN}{m} </math> ||
-|}
-=== Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit===
-====Biegebemessung====
-=====Materialparameter=====
-::{|
-| <math>  f_{cd} = \frac{ \alpha_{cc} \cdot f_{ck} }{ \gamma_{C} }   </math>||<math>| mit: \gamma_{C} = 1.5  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \alpha_{cc} = 0.85 </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{ck}  = 25 \frac{kN}{cm^{2}} </math>
-|-
-| <math>   f_{cd} = \frac{  0.85  \cdot 25 \frac{kN}{cm^{2}}}{ 1.5 }   </math> ||
-|-
-| <math>   f_{cd} = 14,2 \frac{kN}{cm^{2}} </math> ||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math>  f_{yd} = \frac{ f_{yk}}{\gamma_{s}}   </math>||<math>| mit: f_{yk} = 500 \frac{N}{mm^{2}}  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{s}  = 1.15 </math>
-|-
-| <math>  f_{yd} = \frac{ 50 \frac{kN}{cm^{2}}}{1,15}  </math>||
-|-
-| <math>  f_{yd} = 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} </math>||
-|}
-=== Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit===
-====Biegebemessung====
-=====Materialparameter=====
-::{|
-| <math>  f_{cd} = \frac{ \alpha_{cc} \cdot f_{ck} }{ \gamma_{C} }   </math>||<math>| mit: \gamma_{C} = 1.5  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \alpha_{cc} = 0.85 </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{ck}  = 25 \frac{kN}{cm^{2}} </math>
-|-
-| <math>   f_{cd} = \frac{  0.85  \cdot 25 \frac{kN}{cm^{2}}}{ 1.5 }   </math> ||
-|-
-| <math>   f_{cd} = 14,2 \frac{kN}{cm^{2}} </math> ||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math>  f_{yd} = \frac{ f_{yk}}{\gamma_{s}}   </math>||<math>| mit: f_{yk} = 500 \frac{N}{mm^{2}}  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \gamma_{s}  = 1.15 </math>
-|-
-| <math>  f_{yd} = \frac{ 50 \frac{kN}{cm^{2}}}{1,15}  </math>||
-|-
-| <math>  f_{yd} = 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} </math>||
-|}
-=====Feldbereich des Lauf´s=====
-======Vorbemessung======
-::{|
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot h  </math>||<math>| mit: h = h_{L} = 20 cm </math>
-|-
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot 20 cm </math>||
-|-
-| <math> z_{est} = 15 cm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> M_{Ed,est} = M_{Ed} - N_{Ed} \cdot z_{s1,est} </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} = 0 </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed} = M_{Ed,F}  =13.25 \frac{kNm}{m}  </math>
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 13.25 \frac{kNm}{m}  - 0 kN \cdot 0,15 m </math>||
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 13.25 \frac{kNm}{m} </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> A_{s,est} = \frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est} \cdot f_{yd} } + \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}   </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: f_{yd} = 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} = 0 </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed,est} = 13.25 \frac{kNm}{m} </math>
-|-
-| <math> A_{s,est} = \frac{1325 \frac{kNcm}{m}}{15 cm \cdot 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} } + \frac{0}{43,55 \frac{kN}{cm^{2}}}   </math>||
-|-
-| <math> A_{s,est} \approx 2,03 \frac{kNcm}{m}   </math>||
-|}
-gewählt: R257 ø7/15cm, <math>{{a}_{s}}= 2,57 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-======Querschnittsgeometrie======
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-C_{nom,dur}  \\
-C_{nom,b,Bü} \\
- C_{nom,b,L}
-\end{cases}</math><br /><br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,dur} = C_{min,dur} +  \Delta C_{dev} </math>|| <math>| mit: C_{min,dur} = 10 mm </math> für XC1
-|-
-| || <math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 10 mm +  10 mm </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 20 mm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 0 mm  +  10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 10 mm    </math>||
-|}
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,L} = C_{min,b,L} - \varnothing bue +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,L} = 7 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm  </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 7 mm  - 0 mm +  \Delta 10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 17 mm    </math>||
-|}
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-mm  \\
-mm   \\
-mm
-\end{cases}</math><br /><br />
-::{|
-| <math> d_{1} = c_{v} + \varnothing bue + \frac{\varnothing L}{2}</math>|| <math>| mit: c_{v} = 20 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing L = 7 mm </math>
-|-
-| <math> d_{1} = 20 mm  + 0 mm  + \frac{7 mm}{2} </math>||
-|-
-| <math> d_{1} = 23,5 mm</math>||
-|}
-::{|
-| <math> d = h_{L} - d_{1} </math>|| <math>| mit: d_{1} = 27 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: h_{L} = 200 mm </math>
-|-
-| <math> d = 200 mm - 23,5 mm </math>||
-|-
-| <math> d = 176,5 mm \approx 17,6 cm </math>||
-|}
-======Bemessung mit dem ω-Verfahren======
-::{|
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{M_{Eds}}{b\cdot d^{2} \cdot  f_{cd}}    </math>|| <math>| mit: d = 17,6 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}</math>
-|-
-| || <math>| mit: M_{Ed} = M_{Ed,F}  =1325 \frac{kNcm}{m}   </math>
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{ 1325 \frac{kNcm}{m} }{100 cm \cdot (17,6 cm)^{2} \cdot  1,42 \frac{kN}{cm^{2}} }    </math>||
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = 0,03012  </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math> \omega = \omega_{1} + \frac{ \omega_{2} - \omega_{1} } { \mu_{Eds,2} - \mu_{Eds,1}} \cdot ( \mu_{Eds} - \mu_{Eds,1} ) </math>||
-<math>| mit: \omega_{1} = 0,03012  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \omega_{2} = 0,0410 </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds} = 0,0312  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,1} = 0,03  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,2} = 0,04  </math>
-|-
-|<math> \omega = 0,0306 + \frac{ 0,0410 - 0,0306 } { 0,04 - 0,03} \cdot ( 0,03012  - 0,03 )  </math>||
-|-
-|<math> \omega = 0,0307 </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ \sigma_{sd}} \cdot ( \omega \cdot b \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed} )  </math>|| <math>| mit: \omega = 0,0307   </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: d = 17,3 cm  </math>#
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: N_{Ed} = 0 kN  </math>
-|-
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ 43,5 \frac{kN}{cm^{2}}} \cdot ( 0,0307 \cdot 100 cm \cdot 17,3 cm \cdot 1,42 \frac{kN}{cm^{2}} + 0 kN   )  </math>||
-|-
-|<math>  a_{s,1} = 1,73 \frac{cm^{2}}{m} </math>||
-|}
-gewählt:R257 ø7/15cm, <math>{{a}_{sw}}= 2,57 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-=====Bereich der Arbeitsfuge Kopfpunkt=====
-======Vorbemessung======
-::{|
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot h  </math>||<math>| mit: h = h_{L} = 20 cm </math>
-|-
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot 20 cm </math>||
-|-
-| <math> z_{est} = 15 cm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> M_{Ed,est} = M_{Ed} - N_{Ed} \cdot z_{s1,est} </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} =  extr n = - 11,56 \frac{kN}{m}</math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed} = M_{Ed,S}  =6.63 \frac{kNm}{m}   </math>
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 6.63 \frac{kNm}{m}  - (- 11,56 \frac{kN}{m}) \cdot 0,15 m </math>||
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 8.36 \frac{kNm}{m}</math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> a_{s,est} = \frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est} \cdot f_{yd} } + \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}   </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: f_{yd} = 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} =  extr n = - 11,56 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed,est} = 6.63 \frac{kNm}{m} </math>
-|-
-| <math> a_{s,est} = \frac{8.36 \frac{kNm}{m}}{15 cm \cdot 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} } + \frac{- 11,56 \frac{kN}{m}}{43,5 \frac{kN}{cm^{2}}}   </math>||
-|-
-| <math> a_{s,est} \approx 1,02 \frac{kNcm}{m}   </math>||
-|}
-gewählt: R188 ø6/15cm, <math>{{a}_{s}}= 1,88 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-======Querschnittsgeometrie======
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-C_{nom,dur}  \\
-C_{nom,b,Bü} \\
- C_{nom,b,L}
-\end{cases}</math><br /><br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,dur} = C_{min,dur} +  \Delta C_{dev} </math>|| <math>| mit: C_{min,dur} = 10 mm </math> für XC1
-|-
-| || <math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 10 mm +  10 mm </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 20 mm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 0 mm  +  10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 10 mm    </math>||
-|}
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,L} = C_{min,b,L} - \varnothing bue +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,L} = 7 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm  </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 6 mm  - 0 mm +  \Delta 10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 16 mm    </math>||
-|}
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-mm  \\
-mm   \\
-mm
-\end{cases}</math><br /><br />
-::{|
-| <math> d_{1} = c_{v} + \varnothing bue + \frac{\varnothing L}{2}</math>|| <math>| mit: c_{v} = 20 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing L = 6 mm </math>
-|-
-| <math> d_{1} = 20 mm  + 0 mm  + \frac{6 mm}{2} </math>||
-|-
-| <math> d_{1} = 23,0 mm</math>||
-|}
-::{|
-| <math> d = h_{L} - d_{1} </math>|| <math>| mit: d_{1} = 23 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: h_{L} = 200 mm </math>
-|-
-| <math> d = 200 mm - 23,0 mm </math>||
-|-
-| <math> d = 177 mm = 17,7 cm </math>||
-|}
-=====Bemessung mit dem ω-Verfahren=====
-::{|
-|<math> z_{s} = d - \frac{h_{L} }{2} </math>|| <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: h_{L} = 20 cm </math>
-|-
-|<math> z_{s} = 17,7 cm  - \frac{20 cm}{2} </math>||
-|-
-|<math> z_{s} = 7,7 cm  </math>||
-|}
-::{|
-|<math> M_{Eds} = M_{Ed,S} - extr n \cdot z_{s} </math>|| <math>| mit: z_{s} = 7,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| extr n = (-11,56) \frac{kN}{m} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed,S}  =663 \frac{kNcm}{m}   </math>
-|-
-|<math> M_{Eds} = 663 \frac{kNcm}{m}  - (-11,56) \frac{kN}{m} \cdot 7,7 cm </math>||
-|-
-|<math> M_{Eds} = 752,01 \frac{kNcm}{m} </math>||
-|}
-::{|
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{M_{Eds}}{b\cdot d^{2} \cdot  f_{cd}}    </math>|| <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}</math>
-|-
-| || <math>| mit: M_{Eds} = 752,01 \frac{kNcm}{m} </math>
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{752,01 \frac{kNcm}{m}}{100 cm \cdot (17,7 cm)^{2} \cdot  1,42 \frac{kN}{cm^{2}} }    </math>||
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = 0,0169  </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math> \omega = \omega_{1} + \frac{ \omega_{2} - \omega_{1} } { \mu_{Eds,2} - \mu_{Eds,1}} \cdot ( \mu_{Eds} - \mu_{Eds,1} ) </math>||
-<math>| mit: \omega_{1} = 0,0101  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \omega_{2} = 0,0203 </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds} = 0,0169   </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,1} = 0,01  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,2} = 0,02  </math>
-|-
-|<math> \omega = 0,0101 + \frac{ 0,0203 - 0,0101 } { 0,02  - 0,01 } \cdot ( 0,0169  - 0,01 )  </math>||
-|-
-|<math> \omega = 0,01714 </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ \sigma_{sd}} \cdot ( \omega \cdot b \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed} )  </math>|| <math>| mit: \omega = 0,01714   </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: N_{Ed} = extr n = (-11,56) \frac{kN}{m} </math>
-|-
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ 43,5 \frac{kN}{cm^{2}}} \cdot ( 0,0151 \cdot 100 cm \cdot 17,7 cm \cdot 1,42 \frac{kN}{cm^{2}} + (-11,56) \frac{kN}{m}  )  </math>||
-|-
-|<math>  a_{s,1} = 0,61 \frac{cm^{2}}{m} </math>||
-|}
-gewählt: R188 ø6/15cm, <math>{{a}_{s}}= 1,88 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-=====Bereich der Arbeitsfuge Fußpunkt=====
-======Vorbemessung======
-::{|
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot h  </math>||<math>| mit: h = h_{L} = 20 cm </math>
-|-
-| <math> z_{est} = 0,75 \cdot 20 cm </math>||
-|-
-| <math> z_{est} = 15 cm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> M_{Ed,est} = M_{Ed} - N_{Ed} \cdot z_{s1,est} </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} =  extr n = 11,56 \frac{kN}{m}</math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed} = M_{Ed,S}  =6.63 \frac{kNm}{m}   </math>
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 6.63 \frac{kNm}{m}  -  11,56 \frac{kN}{m} \cdot 0,15 m </math>||
-|-
-| <math> M_{Ed,est} = 4.9 \frac{kNm}{m}</math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> a_{s,est} = \frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est} \cdot f_{yd} } + \frac{N_{Ed}}{f_{yd}}   </math>||<math>| mit: z_{s1,est} = 15 cm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: f_{yd} = 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: N_{Ed} =  extr n = 11,56 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed,est} = 4.9 \frac{kNm}{m} </math>
-|-
-| <math> a_{s,est} = \frac{490 \frac{kNcm}{m}}{15 cm \cdot 43,5 \frac{kN}{cm^{2}} } + \frac{11,56 \frac{kN}{m}}{43,5 \frac{kN}{cm^{2}}}   </math>||
-|-
-| <math> a_{s,est} \approx 1,02 \frac{kNcm}{m}   </math>||
-|}
-gewählt: R188 ø6/15cm, <math>{{a}_{s}}= 1,88 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-======Querschnittsgeometrie======
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-C_{nom,dur}  \\
-C_{nom,b,Bü} \\
- C_{nom,b,L}
-\end{cases}</math><br /><br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,dur} = C_{min,dur} +  \Delta C_{dev} </math>|| <math>| mit: C_{min,dur} = 10 mm </math> für XC1
-|-
-| || <math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 10 mm +  10 mm </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,dur} = 20 mm </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 0 mm  +  10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,Bü} = 10 mm    </math>||
-|}
-<br />
-::{|
-| <math> C_{nom,b,L} = C_{min,b,L} - \varnothing bue +  \Delta C_{dev}    </math>|| <math>| mit: C_{min,b,L} = 7 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \Delta C_{dev} = 10 mm  </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 6 mm  - 0 mm +  \Delta 10 mm    </math>||
-|-
-| <math> C_{nom,b,L} = 16 mm    </math>||
-|}
-:<math>c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases}
-mm  \\
-mm   \\
-mm
-\end{cases}</math><br /><br />
-::{|
-| <math> d_{1} = c_{v} + \varnothing bue + \frac{\varnothing L}{2}</math>|| <math>| mit: c_{v} = 20 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing bue = 0 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: \varnothing L = 6 mm </math>
-|-
-| <math> d_{1} = 20 mm  + 0 mm  + \frac{6 mm}{2} </math>||
-|-
-| <math> d_{1} = 23,0 mm</math>||
-|}
-::{|
-| <math> d = h_{L} - d_{1} </math>|| <math>| mit: d_{1} = 23 mm </math>
-|-
-| || <math>| mit: h_{L} = 200 mm </math>
-|-
-| <math> d = 200 mm - 23,0 mm </math>||
-|-
-| <math> d = 177 mm = 17,7 cm </math>||
-|}
-=====Bemessung mit dem ω-Verfahren=====
-::{|
-|<math> z_{s} = d - \frac{h_{L} }{2} </math>|| <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: h_{L} = 20 cm </math>
-|-
-|<math> z_{s} = 17,7 cm  - \frac{20 cm}{2} </math>||
-|-
-|<math> z_{s} = 7,7 cm  </math>||
-|}
-::{|
-|<math> M_{Eds} = M_{Ed,S} - extr n \cdot z_{s} </math>|| <math>| mit: z_{s} = 7,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| extr n = 11,56 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-| ||<math>| mit: M_{Ed,S}  =663 \frac{kNcm}{m}   </math>
-|-
-|<math> M_{Eds} = 663 \frac{kNcm}{m}  - 11,56 \frac{kN}{m} \cdot 7,7 cm </math>||
-|-
-|<math> M_{Eds} = 573.988 \frac{kNcm}{m} </math>||
-|}
-::{|
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{M_{Eds}}{b\cdot d^{2} \cdot  f_{cd}}    </math>|| <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}</math>
-|-
-| || <math>| mit:  M_{Eds} = 573.99 \frac{kNcm}{m} </math>
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = \frac{ 573.99 \frac{kNcm}{m}}{100 cm \cdot (17,7 cm)^{2} \cdot  1,42 \frac{kN}{cm^{2}} }    </math>||
-|-
-|<math>  \mu_{Eds} = 0,0129  </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math> \omega = \omega_{1} + \frac{ \omega_{2} - \omega_{1} } { \mu_{Eds,2} - \mu_{Eds,1}} \cdot ( \mu_{Eds} - \mu_{Eds,1} ) </math>||
-<math>| mit: \omega_{1} = 0,0101  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \omega_{2} = 0,0203 </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds} = 0,0129  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,1} = 0,01  </math>
-|-
-| || <math>| mit: \mu_{Eds,2} = 0,02  </math>
-|-
-|<math> \omega = 0,0101 + \frac{ 0,0203 - 0,0101 } { 0,02  - 0,01 } \cdot ( 0,0169  - 0,01 )  </math>||
-|-
-|<math> \omega = 0,01306 </math>||
-|}
-<br />
-<br />
-::{|
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ \sigma_{sd}} \cdot ( \omega \cdot b \cdot d \cdot f_{cd} + N_{Ed} )  </math>|| <math>| mit: \omega = 0,01306  </math>
-|-
-| || <math>| mit: f_{cd} = 1,42 \frac{kN}{cm^{2}}   </math>
-|-
-| || <math>| mit: d = 17,7 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b = 100 cm  </math>
-|-
-| || <math>| mit: N_{Ed} = extr n = 11,56 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-|<math>  a_{s,1} = \frac{1}{ 43,5 \frac{kN}{cm^{2}}} \cdot ( 0,0151 \cdot 100 cm \cdot 17,7 cm \cdot 1,42 \frac{kN}{cm^{2}} + 11,56 \frac{kN}{m}  )  </math>||
-|-
-|<math>  a_{s,1} = 1,02 \frac{cm^{2}}{m} </math>||
-|}
-gewählt: R188 ø6/15cm, <math>{{a}_{s}}= 1,88 \frac{cm^{2}}{m} </math>
-====Querkraftbemessung====
-=====Bauteile ohne Querkraftbewehrung=====
-::{|
-|<math> V_{Ed} = C_{Ed} \cdot cos( \alpha )  </math>||<math>| mit: C_{Ed} = 22.86 \frac{kN}{m} </math>
-|-
-|||<math>| mit: \alpha = 30,38°  </math>
-|-
-|<math> V_{Ed} = 22.86 \frac{kN}{m} \cdot cos( 30,38° )  </math>||
-|-
-|<math> V_{Ed} = 19.72 \frac{kN}{m}  </math>||
-|}
-::{|
-|<math> C_{Rdc} = \frac{0,15}{\gamma_{c}}  </math>||<math>| mit: \gamma_{c} = 1,5</math>
-|-
-|<math> C_{Rdc} = \frac{0,15}{1,5}  </math>||
-|-
-|<math> C_{Rdc} = 0,1  </math>||
-|}
-::{|
-|<math> k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}  </math>|| <math>\begin{cases}
-\ge 1,0  \\
-\le 2,0
-\end{cases}</math>
-|-
-| || <math>| mit: d = 177 mm </math>
-|-
-|<math>k=1+\sqrt{\frac{200}{177}}</math> ||
-|-
-|<math>k=2,06</math> || <math>\begin{cases}
-\ge 1,0  \\
-\ge 2,0
-\end{cases}</math>
-|-
-|<math>k=2</math> ||
-|}
-::{|
-|<math> \rho_{l} = \frac{A_{sl}}{b_{w} \cdot d} </math>||<math> \le 0,02 </math>
-|-
-| || <math>| mit: A_{sl} = 1,88 \frac{cm^{2}}{m}  </math>
-|-
-| || <math>| mit: b_{w} = 100 cm </math>
-|-
-| || <math>| mit: d = 17,7 cm</math>
-|-
-|<math> \rho_{l} = \frac{1,88 \frac{cm^{2}}{m} }{100 cm \cdot 17,7 cm }</math>||
-|-
-|<math> \rho_{l} =1,06 \cdot 10^{-3}  </math>||<math> \le 0,02 </math>
-|}
-::{|
-|<math> A_{c} = A - A_{s} </math>|| <math>| mit: A =  b_{w} \cdot h_{L} =  b_{w} \cdot h_{L} =1000 mm \cdot 200 mm = 200000 </math>
-|-
-| || <math>| mit: A_{s, R188, R257} = 188 \frac{mm^{2}}{m} + 257 \frac{mm^{2}}{m} = 445 \frac{mm^{2}}{m} </math>
-|-
-|<math> A_{c} = 200000 mm^{2} - 445 mm^{2} </math>||
-|-
-|<math> A_{c} = 199555 mm^{2}  </math>||
-|}
-::{|
-|<math> \sigma_{cp}=\frac{ N_{Ed} }{ A_{c} } </math> || <math>| mit: N_{Ed} = extr n = \pm  11560 \frac{N}{m}  </math>
-|-
-| || <math>| mit: A_{c} = 199555 mm^{2}</math>
-|-
-|<math> \sigma_{cp}=\frac{ 11560 \frac{N}{m} }{ 199555 mm^{2} } </math> ||
-|-
-|<math> \sigma_{cp} \approx   0,06 \frac{N}{m \cdot mm^{2}} </math> ||
-|}
-::{|
-|<math> V_{Rd,c}= \left[ C_{Rdc} \cdot k \cdot \left( 100 \cdot \rho_{l} \cdot f_{ck} \right)^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot \sigma_{cp} \right] \cdot b_{w} \cdot d </math> || <math>| mit: \sigma_{cp} =  0,06 \frac{N}{ mm^{2}}  </math>
-|-
-| ||<math>| mit: \rho_{l} =1,06 \cdot 10^{-3}  </math>
-|-
-| ||<math>| mit: k=2 </math>
-|-
-| ||<math>| mit:  C_{Rdc} = 0,1  </math>
-|-
-| ||<math>| mit:  f_{ck} = 25 \frac{kN}{cm^{2}}  </math>
-|-
-| ||<math>| mit:  b_{w} = 1000 mm </math>
-|-
-| ||<math>| mit:  d = 177 mm  </math>
-|-
-|<math> V_{Rd,c}= \left[ 0,1  \cdot 2 \cdot \left( 100 \cdot 1,06 \cdot 10^{-3} \cdot 25 \frac{N}{mm^{2}} \right)^{\frac{1}{3}} + 0,12 \cdot 0,06 \frac{N}{mm^{2}} \right] \cdot 1000 mm \cdot 177 mm </math> ||
-|-
-|<math> V_{Rd,c}=  50261 N</math> ||<math>\ge V_{Ed}</math>
-|-
-|<math> V_{Rd,c}=  50,26 kN </math> ||<math>\ge 19.72 kN </math>
-|}
-Weitere Bemessung Hinsichtlich der Querkraft für dieses Bauteil nicht erforderlich da der Nachweis erfüllt ist .
-=== Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit===
-==== Begrenzung der Biegeschlankheit des Treppenlauf====
-==''Quellen''==
-:''Normen''
-<references group="N" /><br />
-<br />
-:''Fachliteratur''
-<references group="F" /><br />
-<br />
-:''Links''
-<references group="L" />
-<br />
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