Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennkrümmung (Bsp.)

Veranschaulichung des Verfahrens mit Nennkrümmung

Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennkrümmung.

Handrechnung

Einwirkungen

Querschnittsabmessungen, Betongüte und Endkriechzahl

${\begin{array}{l}b/h=25/30cm\quad \quad {{d}_{1}}=3,5cm\\l=3m\quad \quad \quad \quad \quad \quad C25/30\\\phi \left(\infty ,{{t}_{0}}\right)=2,0\end{array}}$

In x-y-Ebene schließen Wände an, die Stütze ist in diese Richtung gehalten.

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

${\begin{array}{l}{{N}_{Ed}}=-500kN\\{{M}_{y,Ed}}=25\cdot 3=75kNm\end{array}}$

Schlankheitskriterium

$\lambda ={\frac {{l}_{0}}{{i}_{y}}}={\frac {\beta \cdot {{l}_{col}}}{\sqrt {\frac {{I}_{y}}{A}}}}={\frac {2\cdot 300}{\sqrt {\frac {(25\cdot 30{}^{\text{3}})/12}{25\cdot 30}}}}=69,28$

$n={\frac {{N}_{Ed}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}}={\frac {-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=-0,47$

${{\lambda }_{\lim }}=25~$

Berücksichtigung von Einwirkungen nach Theorie II. Ordnung erforderlich.

Planmäßige Ausmitte

${{e}_{0}}={\frac {{M}_{Ed}}{{N}_{Ed}}}={\frac {75}{500}}=0,15m$

Ungewollte Ausmitte

${\begin{array}{l}0\leq {{\alpha }_{h}}={\frac {2}{{l}^{0,5}}}\leq 1\\{{\alpha }_{h}}={\frac {2}{{3}^{0,5}}}=1,15\\{{\alpha }_{h}}=1\end{array}}$

${{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot 1}}\cdot {\frac {6}{2}}=0,015m$

Ausmitte nach Theorie II. Ordnung

${{\varphi }_{ef}}=\varphi \left(\infty ,{{t}_{0}}\right)\cdot {\frac {{M}_{0,Eqp}}{{M}_{0,Ed}}}=2\cdot {\frac {75}{75}}=2$

(wegen gegebener Bemessungswerte kann das Moment im GZG nicht genauer ermittelt werden)

$\beta =0,35+{\frac {{f}_{ck}}{200}}-{\frac {\lambda }{150}}=0,35+{\frac {25}{200}}-{\frac {69,28}{150}}=0,013$

${\begin{array}{l}{{K}_{\varphi }}=1+\beta \cdot {{\varphi }_{ef}}\geq 1\\{{K}_{\varphi }}=1+0,013\cdot 2=1,03\end{array}}$

${{K}_{r}}=1~$ (wegen vorerst unbekannter Bewehrung mit 1 angenommen)

${{\varepsilon }_{yd}}={\frac {{f}_{yd}}{{E}_{s}}}={\frac {500/1,15}{200000}}=2,174\cdot {{10}^{-3}}$

${\frac {1}{{r}_{0}}}={\frac {{\varepsilon }_{yd}}{0,45\cdot d}}={\frac {2,174\cdot {{10}^{-3}}}{0,45\cdot (0,3-0,035)}}=0,0182{{m}^{-1}}$

${\frac {1}{r}}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot {\frac {1}{{r}_{0}}}=1\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0188{{m}^{-1}}$

${{e}_{2}}={\frac {1}{r}}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot {\frac {1}{c}}=0,0188\cdot 6{}^{\text{2}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{10}}=0,0676m$

Gesamtausmitte

${{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0676=0,2326m~$

Resultierendes Moment am Stützenfuß

${{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2326=116,3kNm$

Bezogene Schnittgrößen

${\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}={\frac {{N}_{Ed}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}}={\frac {-500}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}={\frac {{M}_{2,Ed}}{b\cdot h{}^{\text{2}}\cdot {{f}_{cd}}}}={\frac {11630}{25\cdot 30{}^{\text{2}}\cdot 0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=0,36\end{array}}$

Bemessung mit Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte

${\frac {{d}_{1}}{h}}={\frac {0,035}{0,3}}=0,12\approx 0,1$

${\begin{array}{l}{{\omega }_{tot}}=0,61\\{{A}_{s,tot}}={{\omega }_{tot}}\cdot {\frac {b\cdot h}{{{f}_{yd}}/{{f}_{cd}}}}=0,61\cdot {\frac {25\cdot 30}{{\frac {50}{1,15}}/0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=14,9cm{}^{\text{2}}\end{array}}$

${{A}_{s1}}={{A}_{s2}}={\frac {14,9}{2}}=7,35cm{}^{\text{2}}$, gewählt: 5ø14 je Seite, ${{A}_{s,vorh}}=7,7cm{}^{\text{2}}~$

Weitere Berechnung mit genauerem Krümmungsbeiwert:

$n={\frac {{N}_{Ed}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}}=-0,47$

$\omega ={\frac {{{A}_{s}}\cdot {{f}_{yd}}}{{{A}_{c}}\cdot {{f}_{cd}}}}={\frac {2\cdot 7,7\cdot {\frac {50}{1,15}}}{25\cdot 30\cdot 0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=0,63$

${{n}_{u}}=1+\omega =1,63~$

${{K}_{r}}={\frac {{{n}_{u}}-n}{{{n}_{u}}-{{n}_{bal}}}}={\frac {1,63-0,47}{1,63-0,4}}=0,94$

${\frac {1}{r}}={{K}_{r}}\cdot {{K}_{\varphi }}\cdot {\frac {1}{{r}_{0}}}=0,94\cdot 1,03\cdot 0,0182=0,0176{{m}^{-1}}$

${{e}_{2}}={\frac {1}{r}}\cdot l_{0}^{2}\cdot {{K}_{1}}\cdot {\frac {1}{c}}=0,0176\cdot 6{}^{\text{2}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{10}}=0,0634m$

Gesamtausmitte

${{e}_{tot}}={{e}_{0}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,15+0,015+0,0634=0,2284m~$

Resultierendes Moment am Stützenfuß

${{M}_{2,Ed}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=500\cdot 0,2284=114,22kNm$

Bezogene Schnittgrößen

${\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=-0,47\\{{\mu }_{Ed}}={\frac {{M}_{2,Ed}}{b\cdot h{}^{\text{2}}\cdot {{f}_{cd}}}}={\frac {11422}{25\cdot 30{}^{\text{2}}\cdot 0,85\cdot {\frac {2,5}{1,5}}}}=0,36\end{array}}$

Keine wesentliche Veränderung, Bemessung bleibt bei 2x5ø14.
Anmerkung: die Berechnung mit dem Modul ergibt einen erforderlichen Querschnitt von 0,02cm² über den vorhandenen mit 10ø14 an und verlangt daraufhin 2 weitere Stäbe.

mb-Berechnung

Quellen

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