Mitwirkende Plattenbreite - Vergleichsrechnung

Geschichtliche Entwicklung der Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite und Vergleich zwischen den Berechnungsmethoden des letzten Jahrhunderts, dem Eurocode, der Berechnung in anderen Ländern und einer FE-Berechnung.

Geschichtliche Entwicklung bis zum Eurocode

Die folgende Auflistung dient einem Überblick über die geschichtlichen Entwicklung zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite. Die Formeln entsprechen keiner aktuell geltenden Norm und werden in der Vergleichsrechnung mit dargestellt. Es handelt sich jeweils um Annäherungsformeln, die einerseits das Problem möglichst genau darstellen sollen, andererseits aber für den täglichen Gebrauch entwickelt wurden. Der Kompromiss, dass die Ergebnisse nicht immer die wirtschaftlichste Lösung darstellen, wurde und wird auch heute im normalen Hochbau hingenommen.

1906

Erste Erwähnung im "Eisenbetonbau" als anwendbarer Leitsatz nach Mörsch

$b_{eff}={\cfrac {1}{3}}\cdot l_{eff}$

1918

Erste Normung innerhalb der 1918 veröffentlichten "Deutschen Industrie Norm" nach Frank.

$b_{eff}=min\left({\cfrac {1}{3}}\cdot l_{eff}bzw.{\cfrac {1}{4}}\cdot l_{eff};b\right)$

1943

Timoshenko's Elastizitätstheorie führt zur "strengen Theorie des Plattenbalkens", die mittels AIRYscher Spannungsfunktion berechnet werden kann. Die Berechnung ist jedoch sehr umständlich, daher gelten fortan die deutschen Bestimmungen nach Schleicher

$b_{eff}=min\left(b_{w}+2\cdot b_{s}+12\cdot h_{f};b_{w}+18\cdot h_{f};{\cfrac {l_{eff}}{2}};b\right)$

1960

Brendel fasst im Jahr das Wissen um die mitwirkende Plattenbreite kompakt zusammen. Der Fachartikel "Die mitwirkende Plattenbreite nach Theorie und Versuch" ist noch heute von großer Bedeutung. Lässt man FE-Methoden außen vor, sind die Betrachtungen aus 1960 in Kombination mit den sich darauf beziehenden Untersuchungen von Leonhardt die genausten Näherungen. So lässt sich die bezogenen mitwirkende Plattenbreite ($b_{eff}/b_{i}$) über die Verhältnisse $h_{f}/h$ und $b_{i}/l_{0}$ bestimmen.

$b_{eff}=b_{w}+b_{1}+b_{2}$

Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite (nach Leonhardt)

Hieraus ergibt sich dann mithilfe der Tabelle der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite, die angenäherte mitwirkende Plattenbreite. Über die Berücksichtigung der Plattendicke wird hier auch die Biegesteifigkeit der Platte einbezogen. Zudem wird die Art des Systems einberechnet.
Auch einschnürungserzeugende Einzellasten werden erstmals über einen Abminderungsfaktor η berücksichtigt. Aus der Tabelle ist abzulesen, dass die Einschnürung vor allem bei kleinen Stützweiten einen Einfluss hat und abgemildert werden muss. Je größer die Stützweite im Verhältnis zur Plattenbreite ist, desto kleiner ist der zu berücksichtigende Einfluss der Einschnürung. Dieses Tragverhalten wird später auch von Schleeh aufgezeigt.

Abminderungsfaktor η für konzentrierte Einzellasten

bi / l0	2,0	1,0	0,8	0,6	0,4	0,2	0,1
η	0,6	0,61	0,62	0,63	0,65	0,7	0,9

1978

Bestimmung der bezogenen mitwirkenden Breite im Stützbereich(S) und Feldbereich(F) nach DIN 1075 (angelehnt an Grasser

In der DIN 1075 für Betonbrücken aus dem Jahr 1978 ist die Elastizitätstheorie Grundlage der Berechnung. Der Plattenbalken wird demnach getrennt betrachtet, sodass an den Verbindungsstellen zwischen Platte und Balken nur Schubkräfte übertragen werden können. Diese Längsdruckspannungen nehmen dann nach Scheibentheorie mit Abstand zum Balken ab. Die DIN 1075 unterscheidet dabei zwei Fälle:

1. ${\cfrac {b}{l_{0}}}<0,3$ -> Die Platte darf über die gesamte Breite als mittragend angesetzt werden.

1. ${\cfrac {b}{l_{0}}}\geq 0,3$ -> Ermittlung der mittragenden Plattenbreite mittels folgender Formel:

$b_{eff}=\rho _{F}\cdot b$

1980 -

Ab 1980 machen vor allem die computergestützten Berechnungsmethoden mittels finiten Elementen große Fortschritte. Auch hier handelt es sich bei der Berechnung um Annäherungen und bis heute gilt der Plattenbalken als eines der schwierigsten Probleme im Stahlbetonbau. Die FE-Berechnungen sind dabei sehr genau, allerdings auch aufwendig und kommen vor allem bei Sonderbauten zum Einsatz.

Berechnung außerhalb des Eurocodes

Die Normen zur Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite variieren in den verschiedenen Ländern der Welt. Viele orientieren sich dabei am Eurocode, einige am ACI, andere Länder nutzen veraltete Näherungsmethoden. Folgend sollen einige aktuelle Formeln aus Normen aller Welt vorgestellt werden.

USA – ACI 318-19

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {1}{4}}\cdot l_{eff};16\cdot h_{f}+b_{w};b\right)$

Canada – CSA A23.3-04

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {2}{5}}\cdot l_{eff}+b_{w};24\cdot h_{f}+b_{w};b\right)$

Neuseeland – NZS 3101-2006

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {1}{4}}\cdot l_{eff}+b_{w};16\cdot h_{f}+b_{w};2\cdot h+b_{w};b\right)$

Großbritannien – BS 8110-1:1997

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {1}{5}}\cdot l_{0}+b_{w};b\right)$

Indien – IS 456-2000

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {1}{6}}\cdot l_{0}+6\cdot h_{f}+b_{w};b\right)$

Japan – JSCE 2007

$b_{eff}\leq min\left({\cfrac {1}{4}}\cdot l_{0}+b_{w};b\right)$

Vergleichsrechnungen

Methodik

Zur besseren Beurteilung der verschiedenen Berechnungsvarianten, wird eine Vergleichsrechnung zwischen den geschichtlichen Methoden und den aktuellen Normen aller Welt durchgeführt. Dabei soll dargestellt werden, ob sich die verschiedenen Annäherungsformeln mit denen aus dem Eurocode und der FE-Berechnung decken und welche Abweichungen es gibt. Es werden jeweils das Innenfeld eines Durchlaufträgers von mehreren Plattenbalken des normalen Hochbaus betrachtet, die mit einer konstanten Streckenlast belastet werden. Übliche Vorgehensweise beim Vergleich der Ergebnisse ist die Nutzung der bezogenen mitwirkenden Plattenbreite ${\cfrac {b_{eff}}{b}}$ (y-Achse) und dem Verhältnis zwischen der maximalen Plattenbreite zur Stützweite ${\cfrac {b}{l_{eff}}}$ (x-Achse). Da nicht jede Norm $l_{0}$ als Anhaltspunkt für die Berechnung enthält, werden die Momentennulldurchgänge in den jeweiligen Berechnungen separat berechnet.
Die Querschnitt ergeben sich aus den dimensionslosen Parametern ${\cfrac {l_{eff}}{h}}$, ${\cfrac {b_{w}}{h}}$ und ${\cfrac {h_{f}}{h}}$. Auf diese Weise können möglichst viele Parameter innerhalb einer Berechnung berücksichtigt werden und Fehler würden deutlicher abzulesen sein. Die drei betrachteten Querschnitte haben folgende Abmessungen:

Abmessungen der Querschnitte

Fall	Q1	Q2	Q3
${\cfrac {l_{eff}}{h}}$	10	15	20
${\cfrac {b_{w}}{h}}$	0,75	0,7	0,65
${\cfrac {h_{f}}{h}}$	0,4	0,3	0,2

Geschichtlicher Vergleich

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  Geschichtlicher Vergleich - Fall 1: ($l_{eff}/h=10$; $b_{w}/h=0,75$; $h_{f}/h=0,4$)

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  Geschichtlicher Vergleich - Fall 2: ($l_{eff}/h=15$; $b_{w}/h=0,70$; $h_{f}/h=0,3$)

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  Geschichtlicher Vergleich - Fall 3: ($l_{eff}/h=20$; $b_{w}/h=0,65$; $h_{f}/h=0,2$)

Vergleich aktueller Normen

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  Aktueller Vergleich - Fall 1: ($l_{eff}/h=10$; $b_{w}/h=0,75$; $h_{f}/h=0,4$)

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  Aktueller Vergleich - Fall 2: ($l_{eff}/h=15$; $b_{w}/h=0,70$; $h_{f}/h=0,3$)

• 

  Aktueller Vergleich - Fall 3: ($l_{eff}/h=20$; $b_{w}/h=0,65$; $h_{f}/h=0,2$)

Auswertung

Die Auswertung des Vergleichs ergibt, dass die aktuellen Normen bis auf kleine Ausnahmen gegenüber der FE-Berechnung sehr auf der sicheren Seite liegen. Die Ergebnisse der Normen unterscheiden sich selbst nur wenig voneinander, liegen jedoch auch verglichen zum Eurocode sehr auf der sicheren Seite. Ein Einsparpotenzial liegt damit allein schon unter Betrachtung der Normen vor.

Potenzial

Als Beispiel wird der Unterschied der Bewehrungsmenge für einen symmetrischen Plattenbalken (Fall 3) als Einfeldträger zwischen dem Eurocode und der NZS-Norm berechnet. Als Belastung wird 1000kNm angenommen.
Querschnitt und System:

$l_{eff}=1000cm$

$b_{w}=32,5cm$

$h_{f}=10cm$

$h=50cm$

$l_{0}=700cm$

$b=600cm$

Eurocode:

$b_{eff}=286cm$

$\mu _{Eds}={\cfrac {M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\cfrac {100000kNcm}{286cm\cdot 44cm^{2}\cdot 1,7kN/cm^{2}}}$

$\mu _{Eds}=0,106$

$b_{eff}/b_{w}=8,8$

$h_{f}/d=0,2$

$\omega =0,1108$

$A_{s}={\cfrac {1}{f_{yd}}}(\omega \cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd})$

$A_{s}={\cfrac {1}{43,5}}(0,1108\cdot 286cm\cdot 44cm\cdot 1,7kN/cm^{2})$

$A_{s}=54,5cm^{2}$

NZS:

$b_{eff}=132,5cm$

$\mu _{Eds}={\cfrac {M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\cfrac {100000kNcm}{132,5cm\cdot 44cm^{2}\cdot 1,7kN/cm^{2}}}$

$\mu _{Eds}=0,23$

$b_{eff}/b_{w}=4$

$h_{f}/d=0,2$

$\omega =0,234$

$A_{s}={\cfrac {1}{f_{yd}}}(\omega \cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd})$

$A_{s}={\cfrac {1}{43,5}}(0,234\cdot 135cm\cdot 44cm\cdot 1,7kN/cm^{2})$

$A_{s}=54,3cm^{2}$

Vergleich: Die Längsbewehrung in der Biegezugzone würde nach beiden Normen etwa dasselbe Ergebnis ergeben. Der große Unterschied zwischen den Ergebnissen ist, dass nach der neuseeländischen Norm zusätzlich eine Bewehrung in der Biegedruckzone nötig wird.

Quellen

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