Stahlbeton-Kragstütze im Brandfall (Bsp.)

Ein Beispiel für die Berechnung einer Stahlbeton-Kragstütze nach dem vereinfachten Verfahren des nationalen Anhang AA des EC 2-1-2.

Aufgabenstellung

Gegeben

• Kragstütze, vierseitig beflammt, in einer Versammlungsstätte (Kategorie C)
• h/b = 450/450mm
• L = 8m
• Lastausmitte e₁ = 0,1m
• Beton C40/50, f_cd = 22,67N/mm²
• Stahl B500B, f_yd = 435N/mm²
• Bewehrungsverhältnis ρ = 0,02 = 2%
• Achsabstand a = 50mm
• G_Ek = 50kN; Q_Ek = 75kN

Gefordert

Für die Stahlbeton-Kragstütze soll eine Feuerwiderstandsdauer von 90 Minuten nachgewiesen werden.

Zu führender Nachweis

$|{{\nu }_{E,fi,d}}|\leq |{{\nu }_{R,fi,d,90}}|$

νE,fi,d	Längskrafteinwirkung
νR,fi,d,90	Normalkrafttragfähigkeit

Längskrafteinwirkung (ν_E,fi,d)

${{N}_{E,fi,d}}={{N}_{Gk}}+{{\psi }_{2,1}}\cdot {{N}_{Qk}}=50kN+0,6\cdot 75kN=92kN$

${{\nu }_{E,fi,d}}={\frac {{N}_{E,fi,d}}{{A}_{c}\cdot {f}_{cd}}}$

${{A}_{c}}={\frac {{(45cm)}^{2}}{100\%}}\cdot 98\%=1984,5cm^{2}$

${{\nu }_{E,fi,d}}={\frac {92\cdot 10^{3}kN}{(22,67N/mm^{2}\cdot 198450mm^{2})}}=0,020$

Normalkrafttragfähigkeit (ν_R,fi,d,90)

Überprüfung der Randbedingungen

• Normalbeton

	zwischen C20/25 und C50/60
	C40/50 → Randbedingung erfüllt
	Abweichung von kc erforderlich, da C40/50 ≈ C30/37

• Bewehrungslage

einlagige Bewehrung → Randbedingung erfüllt

• Querschnittsabmessungen

450mm → Randbedingung erfüllt

• geometrischer Bewehrungsgrad (ρ)

	1% ≤ 2% ≤ 8% → Randbedingung erfüllt
	kρ=1,0, da ρ = 2%. Es ist keine Abweichung erforderlich.

• bezogener Achsabstand (a/h)

	$0,05\leq {\frac {50}{450}}=0,11\leq 0,15$ → Randbedingung erfüllt
	ka = 0,11 ≈ 0,10. Abweichung von Ka erforderlich.

• bezogene Knicklänge (l_0,fi/h)

$10\leq 2\cdot {\frac {8m}{0,45m}}=35,6\leq 50$ → Randbedingung erfüllt

• bezogene Lastausmitte (e₁/h)

${\frac {0,10m}{0,45m}}=0,22\leq 1,5$ → Randbedingung erfüllt

• Brandbeanspruchung

4-seitige Brandbeanspruchung, keine Abweichung kfi erforderlich.

Standarddiagramm (für 450mm)

Standarddiagramm für eine 450mm Stahlbeton-Kragstütze

Standarddiagramm mit den Eingangswerten l0,fi = 35,6 und e1/h = 0,22

• mit ${{l}_{0,fi}}=35,6$ und ${\frac {{e}_{1}}{h}}=0,22$
• Mit dem Standarddiagramm ergibt sich X_R,90 mit:

${{X}_{R,90}}=-0,095$

Gleichung zur Berechnung der Normaltragkraft ν_R,fi,d,90

${{\nu }_{R,fi,d,90}}={{k}_{fi}}\cdot {{k}_{a}}\cdot {{k}_{C}}\cdot {{k}_{\rho }}\cdot {{X}_{R90}}$

${{k}_{fi}}=1,0$	da 4-seitig beansprucht
${{k}_{\rho }}=1,0$	da ρ = 2%
${{X}_{R90}}=-0,095$	aus dem Standarddiagramm

Beiwert k_a

${{k}_{a}}=({\frac {h\prime -1}{0,05}})\cdot ({\frac {a}{h}})-2\cdot h\prime +3$

$h\prime =max\{0,65\cdot ({\frac {5-h}{150}})-{{k}_{1}};1\}$

${{k}_{1}}=max\{0,65\cdot (1-({\frac {{e}_{1}}{h}}))\cdot (3-{\frac {h}{150}});0\}$

${{k}_{1}}=0,65\cdot (1-({\frac {100}{450}}))\cdot (3-{\frac {450}{150}})=0$

$h\prime =0,65\cdot (5-{\frac {450}{150}})-0=1,3$

${{k}_{a}}=({\frac {1,3-1}{0,05}})\cdot ({\frac {50}{450}})-2\cdot 1,3+3=1,067$

Beiwert k_c

${{k}_{c}}=({\frac {{k}_{1}-1}{20}})\cdot {{f}_{ck}}-1,5\cdot {{k}_{1}}+2,5$

${{k}_{1}}=max\{1,1-0,1\cdot ({\frac {{e}_{1}}{h}});1\}$

${{k}_{1}}=1,1-0,1\cdot ({\frac {100}{450}})=1,078$

${{k}_{c}}=({\frac {1,078-1}{20}})\cdot 40-1,5\cdot 1,078+2,5=1,039$

Ergebnis der Normalkrafttragfähigkeit

${{\nu }_{R,fi,d,90}}=1\cdot 1,067\cdot 1,039\cdot 1\cdot (-0,095)=-0,105$

Nachweis

$|{{\nu }_{E,fi,d}}|\leq |{{\nu }_{R,fi,d,90}}|$

$|0,020|\leq |0,105|$

Der Nachweis ist erfüllt. Die Stahlbetonkragstütze kann einer Feuerwiderstandsdauer von 90 Minuten zugeordnet werden.

Das Verfahren des Anhangs AA des EC 2-1-2 bietet eine gute Möglichkeit zur brandschutztechnischen Bemessung von Kragstützen. Da in diesem Beispiel bei dem Nachweis der Tragfähigkeit eine sehr geringe Auslastung ermittelt wird, kann überprüft werden, ob gegebenenfalls Anpassungen vorgenommen werden können. So ließe sich durch z.B. eine Verringerung des Betonquerschnittes auf 300mm, ein deutlich wirtschaftlicheres Ergebnis erzielen.

Quelle

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