Zugkraftdeckung

Unter Zugkraftdeckung versteht man die Ermittlung der statisch notwendigen Menge der Biegezugbewehrung, bezogen auf die Längsachse des Biegebauteils. Durch den Nachweis der Zugkraftdeckung wird sichergestellt, dass in jedem Querschnitt die auftretende Zuggurtkraft durch die vorhandene Bewehrung aufgenommen werden kann. Man spricht dabei vom Anpassen der Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf.

Problemstellung und Einführung in die Thematik

Wird die Menge der Biegezugbewehrung für ein biegebeanspruchtes Stahlbetonbauteil ermittelt, so ist hierfür an erster Stelle, das maximal wirkende Biegemoment maßgebend. Dieses befindet sich in der Regel, je nach statischem System, in Feldmitte (Feldmoment), im Bereich von Zwischenauflagern (Stützmoment) oder auch im Anschnitt eines Kragarms. Die weiteren Abschnitte entlang der Bauteilachse, in denen geringere Biegemomente wirken, sind für die reine Biegebemessung somit nicht relevant und bleiben hierbei unberücksichtigt. Eine Variante der Bewehrungsführung wäre nun, die für das maximale Biegemoment ermittelte Bewehrungsmenge, über die gesamte Bauteillänge unverändert in der entsprechenden Bauteilebene anzuordnen. Diese Variante der Bewehrungsführung kommt in der Praxis auch durchaus in vielen Fällen zur Anwendung. Der entscheidende Nachteil hierbei ist jedoch, dass je nach Bauteilgröße eine teilweise wesentlich höhere Bewehrungsstahlmenge verbaut wird, als tatsächlich nötig wäre. Grund dafür ist die Tatsache, dass auf der gesamten Bauteillänge eine einheitliche Bewehrungsmenge angeordnet wird, welche auf das maximale Biegemoment abgestimmt ist. Betrachtet man jedoch den Momentenverlauf im Bauteil, so fällt dieser ja nach dem maximalen Moment mit einem linearen oder parabolischen Verlauf ab. Daraus lässt sich herleiten, dass die weniger stark beanspruchten Bauteilbereiche somit auch weniger Bewehrungsstahl benötigen. Hierbei kann das Verfahren der Zugkraftdeckung angewendet werden. Man spricht dabei vom Anpassen der Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf. Eine Ähnliche Vorgehensweise findet man im Stahlbetonbau auch bei der Querkraftbemessung. Hier wird über die Querkraftdeckung die Querkraftbewehrung an den Verlauf der Querkraft angepasst.

Ziel ist es vereinfachend gesagt, den Materialeinsatz in Form von Bewehrungsstahl an die aus dem Momentenverlauf resultierende Stahlzugkraft anzupassen. Ähnliche Beispiele sind im Stahl- oder Holzbau zu finden. Zum Beispiel beim sogenannten „Fischbauchträger“. Dort wird die Bauteilkontur entsprechend des Momentenverlaufes gestaltet.

Normung und Anwendung

Geregelt ist das Verfahren der Zugkgraftdeckung im Eurocode 2 (DIN EN 1992-1-1 mit Nationalem Anhang) im Kapitel 9 (Konstruktionsregeln). Im Unterschied zur vorher geltenden DIN 1045-1 darf mit dem Eurocode nun auch als zusätzliche Variante ein linearer Kraftverlauf entlang der Verankerungslänge bei der Abdeckung der Zugkraftlinie durch gestaffelte Bewehrung berücksichtigt werden (siehe XXX).

Anwendung findet das Verfahren der Zugkraftdeckung bei verschiedensten biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen. Insbesondere Balken, Platten, Plattenbalken und Stützen. Also Bauteile, bei welchen es aus wirtschaftlichen- oder platztechnischen Gründen sinnvoll ist, die Biegezugbewehrung an den Zugkraftverlauf anzupassen und entsprechend abzustufen. Die hieraus resultierenden Vorteile sind die Einsparung von Bewehrungsstahl und damit verknüpft auch ein Platzgewinn für anderweitige Bewehrungselemente in Bauteilen mit einem hohen Bewehrungsgrad???.

Der Nachweis der Zugkraftdeckung ist zwingend in jedem Falle im Anschluss an die Biegebemessung zu vollziehen. Hiermit wird sichergestellt und nachgewiesen, dass die in jedem Querschnitt auftretende Zuggurtkraft durch die vorhandene Bewehrung aufgenommen wird.

Vorgehensweise bei der Zugkraftdeckung

Grundvoraussetzungen für das Anwenden der Zugkraftdeckung

Im Allgemeinen genügt beim Nachweis der Zugkraftdeckung das Betrachten des Grenzzustandes der Tragfähigkeit. Werden jedoch Biegemomente mehr als 15% bei Linear-elastischer Berechnung umgelagert oder es kommt durch Verfahren der Schnittgrößenermittlung mit der Plastizitätstheorie/Nichtlineare Verfahren zu erheblichen Verschiebungen der Momentennullpunkte zwischen GZG und GZT, so ist der Nachweis ebenfalls für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zu führen.

• Bewehrungsmengen für die maßgebenden Biegemomente

Die Anzahl und Durchmesser der Bewehrungsstäbe (Biegezugbewehrung) für die maßgebenden Biegemomente entsprechend der Biegebemessung müssen für die Zugkraftdeckung bekannt sein.

• Abgeschlossene Querkraftbemessung

Der Querkraftverlauf und die Druckstrebenneigungswinkel aus der Querkraftbemessung sind für die Zugkraftdeckung erforderlich.

• Momentengrenzlinie (Umhüllende)Anders als bei der reinen Biegebemessung sind bei der Zugkraftdeckung nicht nur die Einzelwerte der Momente an den maßgebenden Extremstellen relevant, sondern die gesamte Momentengrenzlinie.

• Erläuterung Momentengrenzlinie:

Die maßgebenden Biegemomente an einem statischen System resultieren aufgrund unterschiedlicher Laststellungen (siehe Grafik). Das maßgebende Feldmoment an einem Durchlaufträger entsteht z.B. aufgrund einer anderen Laststellung als für das maßgebende Stützmoment. Legt man die Momentenlinien der jeweiligen Lastfälle für die maßgebenden Bemessungsmomente übereinander und betrachtet die umhüllende Außenkontur, so erhält man die Momentengrenzlinie der Bemessungswerte. Die Momentengrenzlinie besteht somit aus bereichsweisen verschieden zusammengesetzten Funktionen. Somit ist diese keine „glatte Funktion“ und kann dementsprechend Knickstellen enthalten.

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Wurden bei der Biegebemessung die Stützmomente aufgrund der Auflagersituation abgemindert (Momentenausrundung), so ist dies beim Erstellen der Momentengrenzlinie ebenfalls zu Berücksichtigen.

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Erstellen der Zugkraftlinie

Ziel: Näherungsweise den tatsächlichen Verlauf, der auf den Bewehrungsstahl einwirkenden Zugkräfte, im Zugkraftdiagramm darstellen.

Übersicht

• Ablauf zum Erstellen der Zugkraftlinie:

Grundlage: M_Ed – Linie (Momentengrenzlinie)

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M/z - Linie (Zugkraft F_s aufgrund von Biegemomenten (siehe XXX))

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Fsd – Linie (Zugkraft F_s aufgrund von Biegemomenten und Querkraft(siehe XXX))

• Betrachtung vorab - innere Käfte:

Wird ein Stahlbetonbauteil auf Biegung beansprucht, so entstehen infolge des Biegemomentes Druck- und Zugspannungen im Bauteilquerschnitt. Die Druckspannung wird durch den Beton und die Zugspannung durch den Bewehrungsstahl aufgenommen. Aus den Spannungen resultieren die Betondruckkraft F_cd und die Stahlzugkraft F_sd, welche als innere Kräfte bezeichnet werden. Diese befinden sich im Gleichgewicht (F_cd + F_sd = 0). Aufgrund der Lage der inneren Kräfte im Bauteilquerschnitt ergibt sich zwischen diesen ein Abstand, welcher als Hebelarm der inneren Kräfte (z) bezeichnet wird.

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Prinzipielle Darstellung der inneren Kräfte am Betrachtungsschnitt eines Stahlbetonbalken. Mit dem Hebelarm der inneren Kräfte lässt sich über das einwirkende Moment die Betondruckkraft F_cd und die Stahlzugkraft F_sd bestimmen.

M/z - Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten)

Die M/z Linie lässt sich aus der Momentengrenzline bestimmen. Sie stellt die Stahlzugkraft F_sd in Abhängigkeit vom einwirkenden Biegemoment (siehe ZuggurtkraftdifferenzXXXX) in einem Längen-Kräfte-Diagramm dar. Der Verlauf der M/z Linie entspricht dem der Momentengrenzlinie, da Zugkraft und Moment direkt proportional zueinander sind?????. Bezogen auf das Diagramm ist hier prinzipiell lediglich die Einheit der Ordinate von kNm zu kN zu ändern. Bei einer zusätzlichen Belastung des Querschnittes durch eine Normalkraft ist diese rechnerisch zu berücksichtigen.

Die Stahlzugkraft F_s errechnet sich somit zu:

$F_{\mathrm {s} }={\cfrac {M_{\mathrm {Ed} }}{z}}+N_{\mathrm {Ed} }$

MEd...	Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)
z...	Hebelarm der inneren Kräfte. Vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend ist dieser zu 0,9 · d zu bestimmen (d = Statische Nutzhöhe). Eventuell kleinere Werte für z, aufgrund erheblicher Normalkräfte (z.B. aus Vorspannung) sind jedoch zu berücksichtigen. Prinzipiell kann z auch aus der Biegebemessung übernommen werden. Hierbei ist aber zu beachten, dass dieser nur für die Extremstellen bestimmt wird. Entlang das Bauteils können unter Umständen maßgebendere Werte vorliegen.
NEd...	Bemessungswert des einwirkenden Normalkraft (NEd als Druckkraft negativ ansetzen)

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F_sd – Linie (Zugkraft aufgrund von Biegemomenten und Querkraft)

Um den tatsächlichen Verlauf der Stahlzugkraft aufgrund von Biegemoment und Querkraft im Zugkraftdiagramm darzustellen, ist die Zuggurtkraftdifferenz (sieheXXX) zu berücksichtigen. Hierfür ist die M/z – Linie entsprechend anzupassen.

Berücksichtigt werden kann die Zuggurtkraftdifferenz nach zwei Varianten:

Variante 1 - Rechnerisches Ermitteln

Entsprechend des Querkraft- und Momentenverlaufes kann die Differenzkraft ΔF_s rechnerisch ermittelt werden. Hierfür muss nicht nur die Momentengrenzlinie, sondern auch der vollständige Querkraftverlauf bekannt sein.

Die Differenzkraft ΔF_s ergibt sich zu:

$\Delta F_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {Ed} }\cdot {\cfrac {1}{2}}\cdot (cot\theta -cot\alpha )$

Die Gesamtkraft F_s ergibt sich somit zu:

$F_{\mathrm {s} }={\cfrac {M_{\mathrm {Ed} }}{z}}+V_{\mathrm {Ed} }\cdot {\cfrac {1}{2}}\cdot (cot\theta -cot\alpha )$

VEd...	Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
cot θ...	Druckstrebenneigungswinkel
cot α...	Neigungswinkel der Bügelbewehrung
z...	Hebelarm der inneren Kräfte
MEd...	Bemessungswert des einwirkenden Momentes (Wert aus Momentengrenzlinie)

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Variante 2 - Konstruktive Berücksichtigung über das Versatzmaß a_l

Hierbei wird die M/z – Linie horizontal um das Versatzmaß al (sieheXXX) parallelverschoben. Die Zuggurtkraftdifferenz ergibt sich somit automatisch über die Geometrie. Bei Bauteilen ohne Querkraftbewehrung ist dies generell die einzige Variante.

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Vorteile dieser Variante:

Das Bestimmen des Versatzmaßes al bietet beim grafischen Durchführen der Zugkraftdeckung den entscheidenden Vorteil, dass die Fs Linie aus der Biegetheorie lediglich insgesamt um diesen Wert horizontal verschoben werden muss. Andernfalls müsste aufwendig stellenweise je nach einwirkendem Moment und Querkraft die Differenzkraft errechnet und vertikal angetragen werden.

Verdeutlicht wird dies am nachfolgenden Beispiel eines Einfeldträgers mit Gleichlast. Aufgrund der Belastungsart ergibt sich ein linearer Querkraftverlauf und ein parabolischer Momentenverlauf. Somit verläuft die Zugkraftlinie aus der Biegetheorie automatisch ebenfalls parabolisch. Aufgrund des linearen Querkraftverlaufes steigt die Größe der Differenzkraft kontinuierlich zum Auflager hin an. Durch das geometrische Verschieben der Zugkraftlinie um das Versatzmaß wird der kontinuierliche Zugkraftzuwachs konstruktiv berücksichtigt und somit näherungsweise erfasst. Das aufwendige rechnerische Ermitteln des Zugkraftzuwachses entfällt somit.

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Hinweise

Beide Varianten führen Schlussendlich zum nahezu gleichen Ergebnis: Eine Zugkraftlinie, welche näherungsweise die tatsächlich einwirkende Stahlzugkraft darstellt.

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Das Versatzmaß a_l ist in den meisten Fällen für die jeweils einzelnen Abschnitte am statischen System aufgrund unterschiedlicher statischer Nutzhöhen und somit veränderter Hebelarme der inneren Kräfte jeweils gesondert zu bestimmen. Die einwirkende Stahlzugkraft an der Stelle des extremen Momentes (M_Ed max) ist generell als oberer Grenzwert anzusehen. Die umliegenden Bereiche sind somit nicht höher als der Grenzwert anzusetzen. Auch wenn das Berücksichtigen der Zugkraftdifferenz offensichtlich zu höheren Werten führen würde. Deutlich wird dies am Verlauf der Zugkraftlinie an den Extremstellen. Dort ist ein Zeitweise konstanter Verlauf mit der Länge 2 · a_l erkennbar. Der Grenzwert wird dabei nicht überschritten.

Bewehrungshorizonte

Aus der bereits vollzogenen Biegebemessung sind Durchmesser und Anzahl der Bewehrungsstäbe als Biegezugbewehrung bekannt. Jeder einzelne Stab kann aufgrund seiner Querschnittsfläche und der Stahlfestigkeit eine entsprechende Zugkraft F_⌀ aufnehmen.

Die pro Bewehrungsstahl aufnehmbare Zugkraft F_⌀ errechnet sich zu:

$F_{\mathrm {\varnothing _{}} }=A_{\mathrm {s\varnothing _{}} }\cdot f_{\mathrm {yd} }$

As⌀...	Querschnittsfläche des Bewehrungsstahls
fyd...	Bemessungswert der Stahlstreckgrenze

Die errechnete Zugkraft pro Bewehrungsstahl lässt sich im Zugkraftdiagramm über einen sogenannten Bewehrungshorizont (horizontale Hilfslinie) eintragen. Mit steigender Anzahl der Bewehrungsstähle kommen weitere Horizonte mit untereinander gleichem Abstand dazu. Ist dementsprechend die volle Anzahl der Bewehrungsstähle eingetragen lässt sich die Bewehrungsmenge aus der Biegebemessung mit der laut Zugkraftdiagramm erforderlichen Menge vergleichen. Die erforderliche Zugkraft muss von der Biegezugbewehrung abgedeckt werden. Je nach Bewehrungsdurchmesser und Stabanzahl können sich die Bewehrungshorizonte pro Bemessungsabschnitt am Statischen System unterscheiden.

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Betrachtung am Zugkraftdiagramm in Feld 1: aufnehmbare Zugkraft muss größer oder gleich der einwirkenden Zugkraft sein. Hierdurch lässt sich kontrollieren ob die gewählte Biegezugbewehrung korrekt gewählt wurde. Geringe Unterschreitungen können jedoch akzeptiert werden. Zurückzuführen ist dies auf den Hebelarm der inneren Kräfte (z). Die Biegebemessung und damit die Bewehrungswahl erfolgt mit dem exakten Wert für z. Die Zugkraftlinie hingegen wird auf der sicheren Seite liegend vereinfacht mit z = 0,9 · d bestimmt. Hierdurch wird im Zugkraftdiagramm eine teilweise etwas höhere Stahlzugkraft dargestellt, als tatsächlich auftreten wird.

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Zugkraftdeckungslinie (Abstufen der Biegezugbewehrung)

Übersicht

Ziel des Abstufens ist es, die Biegezugbewehrung näherungsweise an den Zugkraftverlauf anzupassen. Man spricht dabei vom Staffeln der Bewehrung. Durch das Abstufen lassen sich die Längen der einzelnen Bewehrungsstähle festlegen, denn wie anfangs erwähnt, müssen nicht alle Stäbe bis ins Auflager geführt werden, sondern können teilweise schon vorher enden. Es bleibt freigestellt ob jeder Stahl einzeln Abgestuft wird oder mehrere Stäbe die gleiche Länge erhalten. Ergebnis ist die Zugkraftdeckungslinie. An jeder Stelle des Bauteils muss so viel Bewehrung angeordnet sein, das es nicht zum einschneiden der Zugkraftlinie durch die Zugkraftdeckungslinie kommt.

Endet ein Bewehrungsstahl z.B. wie bei der Zugkraftdeckung durch Abstufung im Verlauf des Bauteils, so ist dieser dort noch zu verankern. Gängig ist es hierbei, das gerade Stabende unter Berücksichtigung seiner Verankerungslänge entsprechend enden zu lassen. Somit ist beim Abstufen von Bewehrungsstählen entsprechend der Zugkraftdeckungslinie, zusätzlich immer das Maß der Verankerungslänge in Bezug auf die Gesamtlänge eines Stabes zu Berücksichtigen. Eine weitere Form der Verankerung abgestufter Bewehrungsstähle sind unter anderem sogenannte „Schrägaufbiegungen“. (siehe XXX)

Konstruktive Regeln

In Verbindung mit dem Abstufen von Bewehrungsstählen sind grundsätzliche Regeln zur Bewehrungsführung zu beachten.

• Verankerung am Endauflager:

Alles Zitat Schneider!!!!. Mindestens 25% der Feldbewehrung sind bis zum Endauflager zu führen und dort zu verankern (bei Platten 50%). Als Verankerungsbeginn zählt die Innenkante des Auflagers. Die Bewehrung ist jedoch stets mindestens über die rechnerische Auflagerlinie zu führen.

• Verankerung am Zwischenauflager:

Mindestens 25% der Feldbewehrung sind über das Zwischenauflager zu führen. Die Mindestverankerungslänge ab Auflagerrand muss mindestens 6· dem Stabdurchmesser entsprechen. Zur Aufnahme positiver Momente infolge außergewöhnlicher Beanspruchungen (Auflagersetzungen, Explosion u. a.) sollte die Bewehrung durchlaufend ausgeführt werden (ggf. kraftschlüssig gestoßen). Alles Zitat Schneider!!!!.

Aufgrund der konstruktiven Regeln ist es somit nicht möglich jeden Bewehrungsstab Abzustufen und vor dem Auflager enden zu lassen. Ein gewisser Anteil ist in jedem Fall immer bis zum Auflager zu führen. Bei allen weiteren Stäben liegt es im eigenen Ermessen ob eine eher „feine“ oder „grobe“ Abstufung vollzogen wird.

Eine „feine“ Abstufung führt zwar zur Einsparung von Bewehrungsstahl, kann sich jedoch in Hinblick auf die Übersichtlichkeit im Bewehrungsplan und die spätere Bewehrungsmontage wiederum ungünstig auswirken. Denn die Anzahl der Bewehrungsstäbe mit unterschiedlicher Länge und somit auch die Anzahl an unterschiedlichen Positionen nimmt hierbei zu. Ein „gesundes Mittelmaß“ zwischen Materialeinsparung und Planungs-/Montageaufwand ist hierbei anzustreben.

Erfassen der rechnerischen Endpunkte der Bewehrung

Ein Bewehrungsstahl kann enden/abgestuft werden, wenn dieser nicht mehr belastet wird, also dort wo keine Zugkraft mehr auf ihn einwirkt. Im Zugkraftdiagramm lässt sich der rechnerische Endpunkt (E) geometrisch erfassen. Der rechnerische Endpunkt eines Stabes befindet sich dort, wo sich die Zugkraftlinie mit dem Bewehrungshorizont des vorherigen Stabes schneidet. Beispielhaft darf Stab 4 dort enden, wo sich der Bewehrungshorizont von Stab 3 mit der Zugkraftlinie schneidet (siehe Grafik). !!!!!!BILD!!!!!!! Der rechnerische Endpunkt bedeutet, das dort rein theoretisch abgestuft werden kann. Die Abstufung muss jedoch nicht zwangsläufig erfolgen, bzw. darf aus konstruktiven Gründen teilweise auch nicht überall vollzogen werden.

Varianten der Zugkraftdeckungslinie

Eine Zugkraftdeckungslinie lässt sich nach zwei Varianten erstellen. Die Varianten unterscheiden sich hinsichtlich des Ansatzes der Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge der abgestuften Bewehrungsstähle.(siehe Variantenvergleich XXX).

Eine Zugkraftdeckungslinie richtet sich nach den rechnerischen Endpunkten und den Bewehrungshorizonten im Zugkraftdiagramm. Die konstruktiven Regeln der Bewehrungsführung sind zu Berücksichtigen. Ebenfalls muss bekannt sein, welche Anzahl an Stäben abgestuft werden sollen.

Variante a - Zugkraftdeckungslinie „Stufenfunktion“ (nach DIN 1045-1)

Bei der „Stufenfunktion“ handelt es sich um die „klassische“ Variante, welche auch die einzige Variante in der vor dem EC 2 geltenden DIN 1045-1 war. Die Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge wird im Vergleich zu Variante b nicht angesetzt.

• Beispielbetrachtung Feldbewehrung:

Nach Biegebemessung sind 4 Bewehrungsstähle mit gleichem Durchmesser vorhanden. Hiervon sollen 2 Stäbe abgestuft werden. Die weiteren 2 Stäbe laufen vollständig von Auflager zu Auflager und werden nicht abgestuft um den Konstruktiven Regeln gerecht zu werden (mindestens 25% der Feldbewehrung ist bis ins Auflager zu führen). Es lässt sich die Zugkraftdeckungslinie erstellen (siehe Bild XXXX)

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Abgestuft wurden Stab 3 und 4 auf jeweils die gleiche Länge, bezogen auf die rechnerischen Endpunkten von Stab 3.

Die erforderliche Länge der abgestuften Bewehrungsstähle wird in (Bild XXXXX) veranschaulicht.

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Das Maß zwischen zwei Endpunkten (E) entspricht der Grundlänge des jeweiligen Bewehrungsstahls. Um die tatsächliche Stablänge zu erhalten, ist die jeweilige Verankerungslänge (sieheXXX) der Grundlänge ab dem Endpunkt E hinzuzurechnen.

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Variante b - Zugkraftdeckungslinie „anschmiegende Funktion“ (nach EC 2)

Mit der Einführung des Eurocode 2 darf die Tragfähigkeit der Bewehrung in der Verankerungslänge in Ansatz gebracht werden. Hierdurch „schmiegt“ sich die Zugkraftdeckungslinie enger an die Zugkraftlinie an.

• Beispielbetrachtung Feldbewehrung (gleichen Randbedingungen wie bei Variante a):

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Das Maß zwischen zwei Endpunkten (E) entspricht der Gesamtlänge des jeweiligen Bewehrungsstahls. Die Verankerungslängen sind hier drin schon enthalten. Abgestuft wurden Stab 3 und 4 auf jeweils die gleiche Länge, bezogen auf die rechnerischen Endpunkten von Stab 3.

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Ergebnis der Zugkraftdeckung

Das Ergebnis der Zugkraftdeckung sind Länge und Position der abgestuften Bewehrungsstähle. Hierbei ist stets die Verankerungslänge zu berücksichtigen. Diese Parameter lassen sich direkt für die Stabstahlliste und den Bewehrungsplan verwenden.