Indirekte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die indirekten Verformungsberechnung an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der indirekten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. An das betrachtete Bauteil Grenzen verformungsempfindliche Bauteile an.

• l_eff=6m (Einfeldträger - freidrehbar gelagert)
• $p_{Ed,perm}=66,5{\frac {kN}{m}}$ (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²; A_s,erf=17,68cm²)
• C 30/37

Verfahren nach EC2

Vorbereitende Berechnung

Im Folgenden wird die Stahlspannung unter der Belastung im GZG ermittelt, sodass der Faktor k₁ bestimmt werden kann.

$M_{Ed,perm}={\frac {p_{Ed,perm}\cdot l^{2}}{8}}={\frac {66,5\cdot 6^{2}}{8}}=299,25kNm=29925kNcm$

Es wird mit einer Vereinfachung für den Hebelarm der Inneren Kräfte gerechnet.

$z=0,9\cdot d=0,9\cdot 70=63cm$

$\sigma _{s1}={\frac {M_{Ed,perm}}{z\cdot A_{s1,vorh}}}={\frac {29925}{63\cdot 19,64}}=24,19{\frac {kN}{cm^{2}}}=241,9{\frac {N}{mm^{2}}}$

Ermittlung der zulässigen Biegeschlankheit

$\rho ={\frac {A_{s1,erf}}{b\cdot d}}={\frac {17,68}{35\cdot 70}}=0,0072=7,2\cdot 10^{-3}$

$\rho _{0}={\sqrt {f_{ck}}}\cdot 10^{-3}={\sqrt {30}}\cdot 10^{-3}=5,5\cdot 10^{-3}$

$\rho =7,2\cdot 10^{-3}>5,5\cdot 10^{-3}=\rho _{0}\qquad \Rightarrow \qquad \left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}\leq K\cdot \left[11+1,5\cdot {\sqrt {f_{ck}}}\cdot {\frac {\rho _{0}}{\rho -\rho '}}+{\frac {1}{12}}\cdot {\sqrt {f_{ck}}}\cdot \left({\frac {\rho '}{\rho _{0}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]$

Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger: K=1

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}\leq 1\cdot \left[11+1,5\cdot {\sqrt {30}}\cdot {\frac {5,5}{7,2}}\right]$

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}=17,28$

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}$ darf im weiteren durch den Faktor k₁ modifiziert werden. Die Faktoren k₂ und k₃ entfallen, da es sich um einen Rechteckquerschnitt handelt und die Stützweite <7m ist.

$k_{1}={\frac {310}{241}}=1,28$

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}=17,28\cdot 1,28=22,12$

Im Folgenden ist zu überprüfen, ob $\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}$ kleiner ist als $\left({\frac {l}{d}}\right)_{max}$ (der kleiner Wert ist maßgebend).

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{max}=K\cdot 35=1\cdot 35=35\qquad \Rightarrow \qquad {\text{nicht maßgebend}}$

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{max}=K^{2}\cdot {\frac {150}{l[m]}}=1^{2}\cdot {\frac {150}{6}}=25\qquad \Rightarrow \qquad {\text{nicht maßgebend}}$

Nachweis

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{vorh}={\frac {600}{70}}=8,57$

${\underline {\underline {\left({\frac {l}{d}}\right)_{vorh}=8,57<22,12=\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}}}}$

Der Nachweis ist erfüllt.

Vordimensionierung der Biegeschlankheit

Ermittlung der erforderlichen Nutzhöhe

Bei dem betrachteten System handelt es sich um einen frei drehbar gelagerten Einfeldträger:

$\alpha _{i}=1,0$

$l_{i}=\alpha _{i}\cdot l_{eff}=1,0\cdot 6=6m$

$k_{c}=\left({\frac {f_{ck,0}}{f_{ck}}}\right)^{\frac {1}{6}}=\left({\frac {20}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}=0,93$

Die Verformung soll auf ${\frac {l}{500}}$ begrenzt werden, da verformungsempfindliche Bauteile angrenzen. Der Wert für $\lambda _{i}$ wurde linear interpoliert.

$\lambda _{i}=14,6$

$erf\ d={\frac {l_{i}}{\lambda _{i}}}\cdot k_{c}={\frac {6}{14,6}}\cdot 0,93=0,38m=38cm$

Nachweis

${\underline {\underline {erf\ d=38cm<70cm=vorh\ d}}}$

Der Nachweis ist erfüllt.

Vergleich des Verfahrens nach EC2 und der Vordimensionierung

Mittels des Verfahrens nach EC2 würde sich folgende, erforderliche, statische Nutzhöhe ergeben:

$\left({\frac {l}{d}}\right)_{zul}=22,12\qquad \rightarrow \qquad erf\ d=27,12cm$

Vergleicht man die erforderlichen statischen Nutzhöhen wird ersichtlich, dass das Ergebnis, welches sich gemäß der Vordimensionierung ergibt, auf der sicheren Seite liegt.

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