Querkraftbemessung

Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung

${{V}_{Ed}}\leq {{V}_{Rd}}$

erfüllt.
Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie. Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen: mit der Betondruckzone als Druckgurt, der Längsbewehrung als Zuggurt, Druckdiagonalen im Beton und gegebenenfalls angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstreben.

Es sind die Druckdiagonalen unter einem Winkel Θ und die Zugstreben unter einem angeordneten Winkel α nachzuweisen. Dabei kann die aufnehmbare Querkraft durch eine der drei folgenden Werte bestimmt sein:

- ${{V}_{Rd,c}}$ der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne rechnerische Querkraftbewehrung (mit Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)

- ${{V}_{Rd,s}}$ der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstrebe (mit Index s für steel). Die aufnehmbare Querkraft ist hierbei begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung

- ${{V}_{Rd,\max }}$ der Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Be-tondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.

Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung

Ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung dennoch zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:

${{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac {1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\geq {{V}_{Rd,c,\min }}$

mit

${{C}_{Rdc}}={\frac {0,15}{{\gamma }_{c}}}$

$k=1+{\sqrt {\frac {200}{d}}}\leq 2$ [mm]

${{b}_{w}}~$ - der kleinsten Querschnittsbreite (mit Index w für width)
d - der statischen Nutzhöhe
${{f}_{ck}}~$ - der charakkteristische Betonzylinderdruckfestigkeit
${{\sigma }_{cp}}={\frac {{N}_{Ed}}{{A}_{c}}}$, Druck hierbei positiv einzusetzen
${{\rho }_{l}}={\frac {{A}_{sl}}{{{b}_{w}}\cdot d}}\leq 0,02$
${{\gamma }_{c}}=1,5~$ bei ständige und vorübergehender Bemessungskombination
${{\gamma }_{c}}=1,3~$ bei außergewöhnlicher Bemessungskombination.

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. ] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.
Sie formuliert sich zu

${{V}_{Rd,c,\min }}=\left[{\frac {{\kappa }_{1}}{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left({{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}}\right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}\right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d$

mit

${{\kappa }_{1}}=0,0525~$ für $d\leq 60cm$
${{\kappa }_{1}}=0,0375~$ für $d\geq 80cm$, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden.

Auf Mindestbewehrung darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit $b/h>5$ oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung.
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit

$\min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}$

mit
α – dem Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen
$\min {{\rho }_{w}}~$ - dem Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl

Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung

Hierbei wird bei vorangegangener Überschreitung von ${{V}_{Rd,c}}$ ist die einzulegende Bügelbewehrung auszurechnen und die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachzuweisen.
Die Neigung der Druckstreben Θ darf bei der Berechnung von ${{V}_{Rd,\max }}$ frei gewählt werden, solange sie nicht 45° (cot Θ = 1,0) übersteigt und mindestens

$\cot \Theta ={\frac {1,2-1,4\cdot {\frac {{\sigma }_{cp}}{{f}_{cd}}}}{1-{\frac {{V}_{Rd,cc}}{{V}_{Ed}}}}}\leq \left\{{\begin{matrix}3,0\quad f{\ddot {u}}r\ Normalbeton\\2,0\quad f{\ddot {u}}r\ Leichtbeton\\\end{matrix}}\right\}\geq \left\{{\begin{matrix}1,0\quad f{\ddot {u}}r\ lotrechte\ B{\ddot {u}}gel\\0,58\quad f{\ddot {u}}r\ geneigte\ B{\ddot {u}}gel\\\end{matrix}}\right\}$

mit
${{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac {1}{3}}\cdot \left(1-1,2\cdot {\frac {{\sigma }_{cd}}{{f}_{cd}}}\right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z$
${{f}_{cd}}~$ - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit

eingehalten ist. Bei geneigter Bügelbewehrung ist ein unterer Grenzwert von $\cot \Theta =0,58$ zulässig.
Vereinfachend kann

$\cot \Theta =1,2~$
- für reine Biegung
- für Biegung und Längsdruckkraft und

$\cot \Theta =1,0~$
- für Biegung mit Längszugkraft

angenommen werden.

Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe ergibt sich zu

${{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot {\frac {\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^{\text{2}}\Theta }}$

mit

${{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left(1,1-{\frac {{f}_{ck}}{500}}\right)\leq 0,75$

Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich zu

${{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )$

mit
${{a}_{sw}}~$- der Querbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit
${{f}_{yd}}~$ - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und
z - deminnerer Hebelarm der Kräfte

Quellen

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