Querkraftbemessung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.<br /> | Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.<br /> | ||
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.<br /> | Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.<br /> | ||
| − | Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. | + | Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. <ref>Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013</ref>] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.<br /> |
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.<br /> | Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.<br /> | ||
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<math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math>, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden.<br /><br /> | <math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math>, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden.<br /><br /> | ||
| − | Auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit <math>b/h>5</math> oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ | + | Auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit <math>b/h>5</math> oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref> verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung.<br /> |
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit<br /><br /> | Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit<br /><br /> | ||
Version vom 20. September 2015, 18:09 Uhr
Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}}
erfüllt.
Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie. Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen: mit der Betondruckzone als Druckgurt, der Längsbewehrung als Zuggurt, Druckdiagonalen im Beton und gegebenenfalls angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstreben.
Es sind die Druckdiagonalen unter einem Winkel Θ und die Zugstreben unter einem angeordneten Winkel α nachzuweisen. Dabei kann die aufnehmbare Querkraft durch eine der drei folgenden Werte bestimmt sein:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,c}}}
der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne rechnerische Querkraftbewehrung (mit Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,s}}}
der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstrebe (mit Index s für steel). Die aufnehmbare Querkraft ist hierbei begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,\max }}}
der Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Be-tondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.
Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung
Ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung dennoch zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac{1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\ge {{V}_{Rd,c,\min }}}
mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{C}_{Rdc}}=\frac{0,15}{{{\gamma }_{c}}}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}\le 2}
[mm]
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{b}_{w}}~}
- der kleinsten Querschnittsbreite (mit Index w für width)
d - der statischen Nutzhöhe
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {{f}_{ck}}~}
- der charakkteristische Betonzylinderdruckfestigkeit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\sigma }_{cp}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}}}
, Druck hierbei positiv einzusetzen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}\cdot d}\le 0,02}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\gamma }_{c}}=1,5~}
bei ständige und vorübergehender Bemessungskombination
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\gamma }_{c}}=1,3~}
bei außergewöhnlicher Bemessungskombination.
Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. [1]] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.
Sie formuliert sich zu
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,c,\min }}=\left[ \frac{{{\kappa }_{1}}}{{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left( {{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}} \right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}} \right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d}
mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\kappa }_{1}}=0,0525~}
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\le 60cm}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {{\kappa }_{1}}=0,0375~}
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\ge 80cm}
, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden.
Auf Mindestbewehrung darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b/h>5}
oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ [2] verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung.
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}}
mit
α – dem Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \min {{\rho }_{w}}~}
- dem Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl
Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung
Hierbei wird bei vorangegangener Überschreitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,c}}}
ist die einzulegende Bügelbewehrung auszurechnen und die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachzuweisen.
Die Neigung der Druckstreben Θ darf bei der Berechnung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,\max }}}
frei gewählt werden, solange sie nicht 45° (cot Θ = 1,0) übersteigt und mindestens
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cot \Theta =\frac{1,2-1,4\cdot \frac{{{\sigma }_{cp}}}{{{f}_{cd}}}}{1-\frac{{{V}_{Rd,cc}}}{{{V}_{Ed}}}}\le \left\{ \begin{matrix} 3,0\quad f\ddot{u}r\ Normalbeton \\ 2,0\quad f\ddot{u}r\ Leichtbeton \\ \end{matrix} \right\}\ge \left\{ \begin{matrix} 1,0\quad f\ddot{u}r\ lotrechte\ B\ddot{u}gel \\ 0,58\quad f\ddot{u}r\ geneigte\ B\ddot{u}gel \\ \end{matrix} \right\}}
mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac{1}{3}}\cdot \left( 1-1,2\cdot \frac{{{\sigma }_{cd}}}{{{f}_{cd}}} \right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{f}_{cd}}~}
- dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit
eingehalten ist. Bei geneigter Bügelbewehrung ist ein unterer Grenzwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cot \Theta =0,58}
zulässig.
Vereinfachend kann
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cot \Theta =1,2~}
- für reine Biegung
- für Biegung und Längsdruckkraft und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cot \Theta =1,0~}
- für Biegung mit Längszugkraft
angenommen werden.
Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe ergibt sich zu
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mit
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Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich zu
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )}
mit
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- der Querbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit
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- dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und
z - deminnerer Hebelarm der Kräfte
Quellen
Seiteninfo 
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