Nachweisführung und Bewehrungsermittlung

Grundlagen

Bei Trägern, die durch Biegemomente und Querkräfte belastet werden, ist folgendes Rissbild zu beobachten.

Es ist zu erkennen, dass die Risse in Bereichen geringer Querkraft fast Vertikal verlaufen, sich aber mit zunehmender Querkraft immer weiter neigen.

Aus diesem Rissbild lässt sich auf den inneren Verlauf der Spannungstrajektorien des Bauteils durch die Krafteinwirkung schliessen.

Dies ist der Verlauf der Hauptspannungen im ungerissenen Zustand (Zustand 1) eines Balkens.

Sobald der Balken durch Rissbildung in den Zustand 2 übergeht verlagern sich die Hauptspannungen, und es wird komplizierter einen genauen Spannungsverlauf zu ermitteln.

Aus diesem Grunde wurden für die Bemessung im Stahlbetonbau einfachere theoretische Modelle entwickelt, die eine möglichst wirklichkeitsnahe Berechnung ermöglichen.

Bei der Querkraftbemessung von Bauteilen wird generell zwischen zwei Fällen unterschieden:

1. Bauteile ohne Querkraftbewehrung:

Die Tragwirkung von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung wird durch das sogenannte Bogen-Zugband-Modell beschrieben.

Einwirkende Kräfte werden über den entstehenden Druckbogen zu den Auflagern geführt. Sobald das Bauteil in den Zustand 2 übergeht,

kommen weitere Traganteile durch die Kornverzahnung in den gezackten Rissen und durch die Dübelwirkung der Längsbewehrung bei Rissbildung hinzu.

Da die Längsbewehrung hier eine wichtige Rolle bei der Tragwirkung spielt, ist es besonders wichtig sie gut in den Auflagern zu verankern.

2. Bauteile mit Querkraftbewehrung:

Das Tragverhalten von Bauteilen mit Querkraftbewehrung wird durch das sogenannte Fachwerkmodell idealisiert.

Der Obergurt des Fachwerks wird durch den Beton gebildet und der Untergurt durch die Zugbewehrung.

Die Diagonalen (VRd,max) stellen die Betondruckstreben mit dem dazugehörigen Druckstrebenneigungswinkel $\theta ~$ dar.

Die Vertikalen (VRd,sy) bilden die aufzunehmenden Zugkräfte ab, die durch die Querkraftbewehrung aufzunehmen sind.

Diese können auch geneigt um den Winkel (α) 45°-90° abgebildet werden.

Nachweisführung

Die grundsätzliche Nachweisform für Querkraft im Grenzzustand der Tragfähigkeit lautet:

$V_{\mathrm {Ed} }\leq V_{\mathrm {Rd} }~$

• $V_{\mathrm {Ed} }~$ - Bemessungswert der einwirkenden Querkraft

• $V_{\mathrm {Rd} }~$- Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft

Für dem Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft werden drei Widerstände definiert und der einwirkenden Querkraft gegenübergestellt.

In der Regel sind nicht alle 3 erforderlich.

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Bauteile ohne Querkraftbewehrung

$V_{\mathrm {Ed} }\leq V_{\mathrm {Rd,c} }~$

$V_{Rd,c}~$ ist der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Querkraftbewehrung.

Er wird in der Regel nur bei Platten und untergeordneten Bauteilen verwendet, bei denen nicht zwingend eine Querkraftbewehrung

angeordnet werden muss. Bei Stabförmigen Trägern ist immer eine Mindestquerkraftbewehrung zu ermitteln und der Nachweis $V_{Rd,c}~$ entfällt im Normalfall.

Die Größe des Bauteilwiderstandes $V_{Rd,c}~$ hängt im Wesentlichen von der Betonzugfestigkeit $f_{ct}~$ ab.

$V_{Rd,c}=[C_{Rdc}\cdot k\cdot (100\cdot \rho _{l}\cdot f_{ck})^{1/3}+0,12\cdot \sigma _{cp}]\cdot b_{w}\cdot d~$

wobei:

$C_{Rdc}={\cfrac {0,15}{\gamma _{C}}}~$ - empirisch ermittelter Faktor zur Berücksichtigung eines Bezugszeitraumes von 50 Jahren

$k=1+(200/d)^{0,5}\leq 2~$ - Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe

$\rho _{l}={\cfrac {A_{sl}}{(b_{w}\cdot d)}}\leq 0,02~$ - Längsbewehrungsgrad; wird auf 2% begrenzt um eine Überbewehrung zu verhindern

$\sigma _{cp}[N/mm^{2}]={\cfrac {N_{Ed}}{A_{c}}}<0,2\cdot f_{cd}~$ - berücksichtigt den Einfluss der Längsspannungen

$b_{w}[mm]$ - kleinste Querschnittsbreite in der Zugzone

Bei $V_{\mathrm {Ed} }\leq V_{\mathrm {Rd,c} }~$, ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.

Es muss aber auch in diesem Fall eine Mindestquerkrafttragfähigkeit eingehalten werden:

$V_{Rd,c}\geq (\nu _{min}+0,12\cdot \sigma _{cp})\cdot b_{w}\cdot d~$

mit:

$\nu _{min}=(0,0525/\gamma _{C})\cdot k^{3/2}\cdot f_{ck}^{1/2}~$ für $d~$ ≤ 600mm und

$\nu _{min}=(0,0375/\gamma _{C})\cdot k^{3/2}\cdot f_{ck}^{1/2}~$ für $d~$ > 800mm

Der Nachweis der Betondruckstrebe wird bei Bauteilen ohne Querkraft folgendermaßen geführt:

$V_{Ed}\leq V_{Rd,max}~$

$V_{Rd,max}=0,5\cdot \nu \cdot f_{cd}\cdot b_{w}\cdot d~$

mit $\nu =0,675~$

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Bauteile mit Querkraftbewehrung

$V_{Ed}\leq V_{Rd,s}~$

$V_{Rd,s}~$ ist der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Bauteils mit Querkraftbewehrung. Die Größe dieses Widerstandes hängt im Wesentlichen vom Versagen der Querkraftbewehrung durch das erreichen der Streckgrenze $f_{y}~$ des Betonstahls ab.

$V_{Rd,s}=a_{sw}\cdot f_{ywd}\cdot z\cdot (cot\theta +cot\alpha )\cdot \alpha ~$

$a_{sw}=A_{sw}/s_{w}~$ - Querschnitt der gewählten Querkraftbewehrung je Längeneinheit

$\theta ~$ - Druckstrebenneigungswinkel

$cot\theta ={\cfrac {(1,2+1,4\cdot \sigma _{cd}/f_{cd})}{1-V_{Rd,cc}/V_{Ed}}}~$ - Grundsätzlich gilt $0,58\leq cot\theta \leq 3,0~$

$V_{Rd,cc}=[0,24\cdot f_{ck}^{1/3}\cdot (1-1,2\cdot ({\cfrac {\sigma _{cd}}{f_{cd}}}))]\cdot b_{w}\cdot z~$

$cot\theta =3,0~$ entspricht einem Winkel von ~18,4°, der bei Bauteilen mit Mindestquerkraftbewehrung ensteht.

$cot\theta =0,58~$ entspricht einem Winkel von ~60°; ein Druckstrebenneigungswinkel sollte nur in Ausnahmefällen, wie beispielsweise bei geneigter Querkraftbewehrung, über 45° angenommen werden.

Bei ausschließlich lotrechter Bügelbewehrung, sollte $1,0\leq cot\theta \leq 3,0~$ eingehalten werden.

Hinweis: Zur Vereinfachung kann $cot\theta =1,2~$ bei reiner Biegung und Biegung mit Längsdruck und $cot\theta =1,0~$ bei Biegung mit Längszug, angenommen werden. Dies führt allerdings zu einer größeren notwendigen Bewehrungsmenge als eine genaue Ermittlung des Druckstrebenneigungswinkels.

Der Bemessungswert der Betondruckstreben ergibt sich bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung zu:

$V_{Rd,max}=\alpha _{cw}\cdot \nu _{1}\cdot f_{cd}\cdot b_{w}\cdot z\cdot {\cfrac {(cot\theta +cot\alpha )}{(1+cot^{2}\theta )}}~$

$\alpha _{cw}=1,0~$

$\nu _{1}=0,75\cdot (1,1-f_{ck}/500)\leq 0,75~$ - Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung des Querzug, der durch die im Verbund liegenden Bügel verursacht wird

$z~$ - Hebelarm der inneren Kräfte, im Allgemeinen kann $z=0,9d\leq d-2\cdot c_{v,l}$ bzw. $z\leq d-c_{v,l}-3,0cm$ für die Bemessung verwendet werden

$\alpha ~$ - Winkel der Querkraftbewehrung (45° - 90°)

$V_{Rd,max}~$ muss an jeder Stelle des Bauteils eingehalten werden.

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Bei Bauteilen mit lotrechter Querkraftbewehrung ⇒ Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \alpha=90°~} ⇒ $sin\alpha =1~$, $cot\alpha =0~$ und ohne Normalkraft ⇒ $N=0~$ ⇒ $\sigma _{cd}=0~$ kann folgendes einfaches Nachweisverfahren abgeleitet werden:

$V_{Rd,s}=a_{sw}\cdot f_{ywd}\cdot z\cdot cot\theta ~$

Für die erforderliche Bewehrung ergibt sich:

$a_{sw}={\cfrac {V_{Ed}}{(f_{ywd}\cdot z\cdot cot\theta )}}~$

mit:

$cot\theta ={\cfrac {1,2}{(1-V_{Rd,cc}/V_{Ed})}}$

Und für den Bemessungswiderstand:

$V_{Rd,max}={\cfrac {\nu _{1}\cdot f_{cd}\cdot b_{w}\cdot z}{(tan\theta +cot\theta )}}~$

Für den Nachweis der Betondruckstreben $V_{Ed}\leq V_{Rd,max}~$ muss immer die volle Bemessungsquerkraft in der Auflagerachse angesetzt werden.

Quellen

Seiteninfo Status: in Bearbeitung Modul-Version: 2016.0500