Querkraftbemessung

Allgemeines

Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung

${{V}_{Ed}}\leq {{V}_{Rd}}$

erfüllt.

Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein:
- ${{V}_{Rd,c}}$ : Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)
- ${{V}_{Rd,s}}$ : Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).
- ${{V}_{Rd,\max }}$ : Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.

Für den Fall

${{V}_{Ed}}\leq {{V}_{Rd,c}}$

ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.

Bei Balken und Platten mit ${b/h}\leq {5,0}$ ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.

Wenn

${{V}_{Ed}}>{{V}_{Rd.c}}$

muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.

Der Bemessungswert der Querkraft ${{V}_{Ed}}$ darf den Bemessungswiderstand ${{V}_{Rd,max}}$ keinesfalls überschreiten.

Bemessungsmodelle

Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie.

Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen:
- Betondruckzone als Druckgurt
- Längsbewehrung als Zuggurt
- Druckdiagonalen im Beton
- gegebenenfalls angeordnete Querkraftbewehrung als Zugstreben.

Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung

Auch ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:

${{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac {1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\geq {{V}_{Rd,c,\min }}$

mit

${{C}_{Rdc}}={\frac {0,15}{{\gamma }_{c}}}$

$k=1+{\sqrt {\frac {200}{d}}}\left\{{\begin{matrix}\geq 1,0\\\leq 2,0\\\end{matrix}}\right\}$ [mm] Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)

${{b}_{w}}~$ - der kleinsten Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone(mit Index w für width) [mm]
$d~$ - der statischen Nutzhöhe [mm]
${{f}_{ck}}~$ - der charakkteristische Betondruckspannung [N/mm²]
${{\sigma }_{cp}}={\frac {{N}_{Ed}}{{A}_{c}}}\leq 0,2\cdot {{f}_{cd}}$ [N/mm²] einwirkende Längsspannungen, Druck hierbei positiv einzusetzen
${{\rho }_{l}}={\frac {{A}_{sl}}{{{b}_{w}}\cdot d}}\leq 0,02$ geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung
${{\gamma }_{c}}=1,5~$ bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation
${{\gamma }_{c}}=1,3~$ bei außergewöhnlicher Bemessungssituation

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. ] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.
Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.
Sie formuliert sich zu

${{V}_{Rd,c,\min }}=\left[{\frac {{\kappa }_{1}}{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left({{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}}\right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}\right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d$

mit

${{\kappa }_{1}}=0,0525~$ für $d\leq 60cm$
${{\kappa }_{1}}=0,0375~$ für $d\geq 80cm$ (Zwischenwerte sind zu interpolieren)

Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung

Wenn im vorrangegangenen Nachweis ${{V}_{Ed}}\leq {{V}_{Rd,c}}$ ist, muss eine Bügelbewehrung ausgerechnet werden.
Außerdem ist die Tragfähigkeit der Druckstrebe ${{V}_{Rd,\max }}$ nachzuweisen.
Der Neigungswinkel der Druckstrebe Θ darf bei der Berechnung von ${{V}_{Rd,\max }}$ frei gewählt werden, solange er 45° (cot Θ = 1,0) nicht übersteigt.

Außerdem gilt:

$\cot \Theta ={\frac {1,2-1,4\cdot {\frac {{\sigma }_{cp}}{{f}_{cd}}}}{1-{\frac {{V}_{Rd,cc}}{{V}_{Ed}}}}}\leq \left\{{\begin{matrix}3,0\quad f{\ddot {u}}r\ Normalbeton\\2,0\quad f{\ddot {u}}r\ Leichtbeton\\\end{matrix}}\right\}\geq \left\{{\begin{matrix}1,0\quad f{\ddot {u}}r\ lotrechte\ B{\ddot {u}}gel\\0,58\quad f{\ddot {u}}r\ geneigte\ B{\ddot {u}}gel\\\end{matrix}}\right\}$

mit
${{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac {1}{3}}\cdot \left(1-1,2\cdot {\frac {{\sigma }_{cd}}{{f}_{cd}}}\right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z$
${{f}_{cd}}~$ - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit

Vereinfachend kann

$\cot \Theta =1,2~$
- für reine Biegung
- für Biegung und Längsdruckkraft und

$\cot \Theta =1,0~$
- für Biegung mit Längszugkraft

angenommen werden.

Maximale Querkrafttragfähigkeit bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung

Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe berechnet sich wie folgt:

${{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot {\frac {\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^{\text{2}}\Theta }}$

mit

${{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left(1,1-{\frac {{f}_{ck}}{500}}\right)\leq 0,75$

Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich aus

${{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )$

mit
${{a}_{sw}}~$ - Querkraftbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit
${{f}_{yd}}~$ - Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und
$z~$ - Hebelarm der inneren Kräfte

Mindestquerkraftbewehrung

Auf Mindestbewehrung darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit $b/h>5$ oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung.
Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit

$\min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}$

mit
$\alpha ~$ – Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen
$\min {{\rho }_{w}}~$ - Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl

Quellen

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