Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

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* Kopf und Fuß der Stütze sind rotationsbehindert (eingespannt)
 
* Kopf und Fuß der Stütze sind rotationsbehindert (eingespannt)
 
* l = 4m
 
* l = 4m
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* h/b = 300/300
+
* h/b = 300/300mm
 
* N<sub>Ed</sub> = 400kN
 
* N<sub>Ed</sub> = 400kN
 
* vorhandene Bewehrung: 4Ø12 Längsbewehrung;  Ø8 Bügelbewehrung alle 14 cm; A<sub>s,vorh</sub> = 4,52 cm<sup>2</sup>
 
* vorhandene Bewehrung: 4Ø12 Längsbewehrung;  Ø8 Bügelbewehrung alle 14 cm; A<sub>s,vorh</sub> = 4,52 cm<sup>2</sup>
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==Nachweis mit der Tabelle 5.2a der [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Methode A|Methode A]]==
 
==Nachweis mit der Tabelle 5.2a der [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Methode A|Methode A]]==
  
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===Randbedingungen<ref name="EC2">DIN EN 1992-1-2 Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-2: Allgemeine Regeln – Tragwerksbemessung für den Brandfall. 2010-12</ref>===
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===Randbedingungen<ref name="EC2">DIN EN 1992-1-2:2010-12: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-2: Allgemeine Regeln – Tragwerksbemessung für den Brandfall.</ref>===
  
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*<math>{{l}_{0,fi}}  \leq 3m</math>
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*'''Ersatzlänge der Stütze im Brandfall'''
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::{|
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:{|
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| || <math>{{l}_{0,fi}}  \leq 3m</math>
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| || Da der Kopf und der Fuß der Stütze rotationsbehindert gelagert sind, ergibt sich die [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Einspannung von Pendelstützen im Brandfall| Knicklänge für den Brandfall für eine Innenstütze]] mit:
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| || Da der Kopf und der Fuß der Stütze rotationsbehindert gelagert sind, ergibt sich die [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Einspannung von Pendelstützen im Brandfall| Knicklänge für den Brandfall für eine Innenstütze]] mit:
 
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| || <math>{{l}_{0,fi}}  = 0,5 \cdot l = 0,5 \cdot 4m = 2m</math>
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| || <math>{{l}_{0,fi}}  = 0,5 \cdot l = 0,5 \cdot 4m = 2m</math>
 
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| || Die Randbedingung ist mit 2m ≤ 3m erfüllt.
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| || → Die Randbedingung ist mit 2m ≤ 3m erfüllt.
 
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*'''Bewehrungsgehalt ρ'''
 
*'''Bewehrungsgehalt ρ'''
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:<math>\rho = \frac{{{4,52 cm^2}}}{{{30 cm \cdot 30 cm}}} = 0,5 % \leq 4 %</math>
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::{|
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:Die Randbedingung ist erfüllt.
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| || <math>\rho = \frac{{{4,52 cm^2}}}{{{30 cm \cdot 30 cm}}} = 0,5 % \leq 4 %</math>
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| || → Die Randbedingung ist erfüllt.
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===Schnittgrößen<ref name="Brandschutz EU">Dietmar Hosser; Jochen Zehfuß (Hrsg.): Brandschutz in Europa - Bemessung nach Eurocodes - 3., Überarbeitete und erweiterte Auflage 2017</ref>===
 
===Schnittgrößen<ref name="Brandschutz EU">Dietmar Hosser; Jochen Zehfuß (Hrsg.): Brandschutz in Europa - Bemessung nach Eurocodes - 3., Überarbeitete und erweiterte Auflage 2017</ref>===
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*'''Tragfähigkeit der Stütze bei Normaltemperatur'''
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::{|
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| || <math>{{N}_{Ed,fi,t}} = {{\eta }_{fi}} \cdot {{N}_{Ed}} = 0,7 \cdot (-400 kN) = -280 kN</math>
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| || <math>{{N}_{Rd}} \approx {{N }_{ED}} = -400 kN</math>
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*<math>{{N}_{Ed,fi,t}} = {{\eta }_{fi}} \cdot {{N}_{Ed}} = 0,7 \cdot (-400 kN) = -280 kN</math>
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*'''Lastausnutzungsfaktor μ<sub>fi</sub>'''
−
 
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::{|
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*<math>{{N}_{Rd}} \approx {{N }_{ED}} = -400 kN</math>
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| || <math>{{\mu }_{fi}} =\frac{{{N}_{Ed,fi,t}}}{{{N}_{Rd}}} = \frac{{{-280 kN}}}{{{-400 kN}}} = 0,7</math>
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*<math>{{\mu }_{fi}} =\frac{{{N}_{Ed,fi,t}}}{{{N}_{Rd}}} = \frac{{{-280 kN}}}{{{-400 kN}}} = 0,7</math>
 
  
 
===erforderliche Querschnittsabmessungen nach der Tabelle 5.2a<ref name="Brandschutz EU" />===
 
===erforderliche Querschnittsabmessungen nach der Tabelle 5.2a<ref name="Brandschutz EU" />===
 
[[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)4.png|mini|500px|rechts]]
 
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{|
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::{|
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| || b<sub>min.</sub> = 250mm
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| || b<sub>min.</sub> = 250mm
 
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| || a<sub>erf.</sub> = 46mm
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| || a<sub>erf.</sub> = 46mm
 
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===vorhandene Querschnittsabmessungen===
 
===vorhandene Querschnittsabmessungen===
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::{|
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| || b<sub>vorh.</sub> = 300mm
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| || b<sub>vorh.</sub> = 300mm
 
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| || a<sub>vorh.</sub> = 50mm
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| || a<sub>vorh.</sub> = 50mm
 
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::Die Stahlbeton-Innenstütze kann der Feuerwiderstandsklasse R60 zugeordnet werden.
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===Ergebnis===
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Da die vorhandenen Querschnittsabmessungen den erforderlichen Abmessungen für die Feuerwiderstandsklasse R60 entsprechen, kann die Stahlbeton-Innenstütze der Klasse R60 zugeordnet werden.
  
 
===vergleichende Berechnung mit mB Baustatik===
 
===vergleichende Berechnung mit mB Baustatik===
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[[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)5.png|mini|700px|zentriert]]
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Auch nach der Berechnung mit mB Baustatik kann die Stahlbeton-Innenstütze der Feuerwiderstandsklasse R60 zugeordnet werden.
  
 
==Nachweis mit der Gleichung 5.7 der [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Methode A|Methode A]]==
 
==Nachweis mit der Gleichung 5.7 der [[Heißbemessung Stahlbetonbau#Methode A|Methode A]]==
  
 
===Randbedingungen<ref name="Brandschutz EU" />===
 
===Randbedingungen<ref name="Brandschutz EU" />===
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*'''Achsabstand a der Längsbewehrung''':
 +
::{|
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| || <math>25mm \leq a \leq 80mm </math>
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| || <math>a = 50mm </math>
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| || → Randbedingung erfüllt.
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::*'''Achsabstand a''':  
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* '''Ersatzstablänge im Brandfall''':  
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:::<math>25mm \leq a \leq 80mm </math>
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::{|
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:::<math>a = 50mm </math>
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| || <math> {{l}_{0,fi}} \leq 6m </math>
−
:::Randbedingung erfüllt.
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| || <math> {{l}_{0,fi}} = 2m </math>
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| || → Randbedingung erfüllt.
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::* '''Stützenlänge''':
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*'''b`'''
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:::<math>l0,fi\leq 6m </math>
+
::{|
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:::<math>l0,fi=2m</math>
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| || <math>200mm \leq b\prime \leq 450mm </math>
−
:::Randbedingung erfüllt.
+
|-
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| || <math>200mm \leq \frac{{{(2\cdot Ac)}}}{{{(b+h)}}} \leq 450mm</math>
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| || <math>200mm \leq \frac{{{(2\cdot300^2)}}}{{{(300+300)}}} \leq 450mm</math>
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 +
| || <math>200mm \leq 300mm \leq 450mm </math>
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| || → Randbedingung erfüllt.
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−
::*'''<math> h \leq 1,5\cdot b </math>'''
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*'''Querschnittshöhe'''
−
:::<math>300mm \leq 1,5\cdot300mm </math>
+
::{|
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:::<math>300mm \leq 450mm </math>
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| || <math> h \leq 1,5\cdot b </math>
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:::Randbedingung erfüllt.
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| || <math>300mm \leq 1,5\cdot300mm </math>
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::* '''<math>200mm \leq b\prime \leq 450mm </math>'''
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:::<math>200mm \leq \frac{{{(2\cdot Ac)}}}{{{(b+h)}}} \leq 450mm</math>
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| || <math>300mm \leq 450mm </math>
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:::<math>200mm \leq \frac{{{(2\cdot300^2)}}}{{{(300+300)}}} \leq 450mm</math>
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:::<math>200mm \leq 300mm \leq 450mm </math>
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| || → Randbedingung erfüllt.
−
:::Randbedingung erfüllt.
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===Gleichung 5.7<ref name="Brandschutz EU" />===
 
===Gleichung 5.7<ref name="Brandschutz EU" />===
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===Ermittlung der Einflussfaktoren<ref name="Brandschutz EU" />===
 
===Ermittlung der Einflussfaktoren<ref name="Brandschutz EU" />===
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:*mit:
+
*'''mit:'''
 
::{|
 
::{|
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| <math>{{\eta}_{fi}}= 0,7</math> || Ausnutzungsgrad  
+
|<math>{{\eta}_{fi}}= 0,7</math> || Ausnutzungsgrad  
 
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−
| <math> n = 4</math> || Anzahl der Bewehrungsstäbe  
+
| <math> n = 4</math> || Anzahl der Bewehrungsstäbe  
 
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−
| <math>{{\alpha}_{cc}}= 0,85</math> || Dauerstandfestigkeit nach DIN EN 1992-1-1
+
|<math>{{\alpha}_{cc}}= 0,85</math> || Dauerstandfestigkeit nach DIN EN 1992-1-1
 
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|-
−
| <math>{\omega}=\frac{{{A}_{s}\cdot{f}_{yd}}}{{{A}_{c}\cdot{f}_{cd}}} = \frac{{{4,52}\cdot \frac{{{50}}}{{{1,15}}} }}{{{30^2}\cdot \frac{{{2,0}}}{{{1,5}}} }} = 0,193</math> || mechanischer Bewehrungsgrad
+
|<math>{\omega}=\frac{{{A}_{s}\cdot{f}_{yd}}}{{{A}_{c}\cdot{f}_{cd}}} = \frac{{{4,52}\cdot \frac{{{50}}}{{{1,15}}} }}{{{30^2}\cdot \frac{{{2,0}}}{{{1,5}}} }} = 0,193</math> || mechanischer Bewehrungsgrad
 
|}
 
|}
  
−
:*<math>{R_{\eta fi}}=83\cdot \left( 1-{{\mu }_{fi}}\cdot \frac{(1+\omega )}{(0,85/{{\alpha }_{cc}})+\omega } \right)=83\cdot (1-0,7\cdot\frac{{{1+0,193}}}{{{1+0,193}}}=24,9</math>  
+
*'''Einfluss des Lastniveaus'''
 +
::<math>{R_{\eta fi}}=83\cdot \left( 1-{{\mu }_{fi}}\cdot \frac{(1+\omega )}{(0,85/{{\alpha }_{cc}})+\omega } \right)</math>
 +
::<math>{R_{\eta fi}}=83\cdot (1-0,7\cdot\frac{{{1+0,193}}}{{{1+0,193}}}=24,9</math>  
  
−
:*<math>{R_{a}}=1,6\cdot (a-30)=1,6\cdot(50-30)=32</math>  
+
*'''Einfluss des Achsabstandes'''
 +
::<math>{R_{a}}=1,6\cdot (a-30)</math>
 +
::<math>{R_{a}}=1,6\cdot(50-30)=32</math>  
  
−
:*<math>{R_{l}}=9,6\cdot (5-{{l}_{0,fi}})=9,6\cdot(5-2)=28,8</math>  
+
*'''Einfluss der Stützenlänge'''
 +
::<math>{R_{l}}=9,6\cdot (5-{{l}_{0,fi}})</math>
 +
::<math>{R_{l}}=9,6\cdot(5-2)=28,8</math>  
  
−
:*<math>{R_{b}}=0,09\cdot b'=0,09\cdot300=27</math>  
+
*'''Einfluss der Querschnittsabmessungen'''
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::<math>{R_{b}}=0,09\cdot b'</math>
 +
::<math>{R_{b}}=0,09\cdot300=27</math>  
  
−
:*<math>{R_{n}}=0\quad  f\ddot{u}r\quad n=4 </math>
+
*'''Einfluss der Bewehrung'''
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::<math>{R_{n}}=0\quad  f\ddot{u}r\quad n=4 </math>
  
 
===Ergebnis der Berechnung===
 
===Ergebnis der Berechnung===
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===Vergleichsberechnung mit mB Baustatik===
 
===Vergleichsberechnung mit mB Baustatik===
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[[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)6.png|700px|center]]
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[[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)6.png|700px|gerahmt|center]]
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Die Berechnung der Stahlbeton-Innenstütze ergibt eine Feuerwiderstandsdauer von 164,9 Minuten. Damit kann die Stütze sogar der Feuerwiderstandsklasse R120 zugeordnet werden.
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Die Berechnung der Stahlbeton-Innenstütze mit mB Baustatik ergibt eine Feuerwiderstandsdauer von 164,9 Minuten. Damit kann die Stütze sogar der Feuerwiderstandsklasse R120 zugeordnet werden.
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==Beurteilung der Ergebnisse==
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Die Stahlbeton-Innenstütze kann sowohl nach der Berechnung mit der Tabellen 5.2a, als auch nach der Berechnung mit der Gleichung 5.7, einer Feuerwiderstandsdauer von mindestens 60 Minuten zugeordnet werden.
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Die Berechnung mit der Tabelle 5.2a gestaltet sich dabei als die einfachere Variante. Nach der Prüfung der Randbedingungen und der Berechnung des Lastausnutzungsfaktors, können die erforderlichen Querschnittsabmessungen für die benötigte Feuerwiderstandsdauer aus der Tabelle 5.2a abgelesen werden.
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Die Berechnung nach der Gleichung 5.7 erfordert aufgrund der zusätzlichen Ermittlung der Einflussfaktoren mehr Aufwand. Allerdings ergibt sich bei dieser Methode der Vorteil, dass durch die erweiterten Randbedingungen ein größerer Anwendungsbereich ermöglicht wird, als mit der Tabelle 5.2a. Zudem ergibt das Ergebnis eine konkrete Feuerwiderstandsdauer in Minuten, wohingegen mit der Tabelle 5.2a lediglich die für eine Feuerwiderstandsdauer benötigten Querschnittsabmessungen ermittelt werden.
  
−
==Erläuterung der Unterschiede zwischen der Handberechnung und mB-Baustatik==
+
===Erläuterung der Unterschiede zwischen der Handberechnung und mB-Baustatik===
  
 
Bei der Handberechnung wurde zur Vereinfachung angenommen, dass die Stütze unter Normaltemperatur voll ausgelastet ist. Es gilt also N<sub>Rd</sub>=N<sub>Ed</sub>. Unter dieser Annahme wurden auch die Tabellenwerte des Tabellenverfahrens ermittelt.  
 
Bei der Handberechnung wurde zur Vereinfachung angenommen, dass die Stütze unter Normaltemperatur voll ausgelastet ist. Es gilt also N<sub>Rd</sub>=N<sub>Ed</sub>. Unter dieser Annahme wurden auch die Tabellenwerte des Tabellenverfahrens ermittelt.  
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In diesem Beispiel ist es jedoch so, dass die Stütze bei Normaltemperatur nicht voll ausgelastet ist. Dies bedeutet also, dass die eigentliche Tragfähigkeit der Stütze N<sub>Rd</sub> deutlich größer ist, als in der Handberechnung bei der Berechnung des Lastausnutzungsfaktor μ<sub>fi</sub> angenommen wurde.  
 
In diesem Beispiel ist es jedoch so, dass die Stütze bei Normaltemperatur nicht voll ausgelastet ist. Dies bedeutet also, dass die eigentliche Tragfähigkeit der Stütze N<sub>Rd</sub> deutlich größer ist, als in der Handberechnung bei der Berechnung des Lastausnutzungsfaktor μ<sub>fi</sub> angenommen wurde.  
  
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Bei der Berechnung mit mB Baustatik wurde der Lastausnutzungsfaktor μ<sub>fi</sub> hingegen mit der vollen Tragfähigkeit der Stütze berechnet. Es ergibt sich also ein viel geringerer Lastausnutzungsfaktor, als in der Handberechnung. Dies hat zur Folge, dass die Stahlbeton-Innenstütze, nach der Berechnung mit mB Baustatik, im Brandfall deutlich länger standhalten würde.
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Bei der Berechnung mit mB Baustatik wurde der Lastausnutzungsfaktor μ<sub>fi</sub> hingegen mit der vollen Tragfähigkeit der Stütze und der vollen Last N<sub>Ed</sub> = N<sub>Ed,fi</sub> berechnet. Die eigentliche Tragfähigkeit der Stütze N<sub>Rd</sub> liegt bei N<sub>Rd</sub> = 1200,96 kN. Dementsprechend ergibt sich also ein viel geringerer Lastausnutzungsfaktor, als in der Handberechnung. Dies hat zur Folge, dass die Stahlbeton-Innenstütze, nach der Berechnung mit mB Baustatik, im Brandfall deutlich länger standhalten würde. Aufgrund dessen, dass bei der Berechnung die volle Last N<sub>Ed</sub> = N<sub>Ed,fi</sub> angesetzt wird, liegt die Berechnung auf jeden Fall auf der sicheren Seite.
  
 
Da in der Aufgabenstellung jedoch nur eine Feuerwiderstandsdauer von 60 Minuten gefordert wurde, ist die Aufgabe dennoch auch mit der Handberechnung erfüllt. Wäre dies nicht der Fall, hätte die genaue Tragfähigkeit der Stütze bestimmt werden müssen.
 
Da in der Aufgabenstellung jedoch nur eine Feuerwiderstandsdauer von 60 Minuten gefordert wurde, ist die Aufgabe dennoch auch mit der Handberechnung erfüllt. Wäre dies nicht der Fall, hätte die genaue Tragfähigkeit der Stütze bestimmt werden müssen.

Aktuelle Version vom 25. August 2023, 15:02 Uhr

Ein Beispiel für die Berechnung einer Stahlbeton-Innenstütze mit der Methode A des vereinfachten Verfahrens.

Aufgabenstellung

Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.).png
Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)2.png
Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)3.png

Gegeben

  • eine Stahlbeton-Innenstütze in einem ausgesteiften Bauwerk
  • Kopf und Fuß der Stütze sind rotationsbehindert (eingespannt)
  • l = 4m
  • h/b = 300/300mm
  • NEd = 400kN
  • vorhandene Bewehrung: 4Ø12 Längsbewehrung; Ø8 Bügelbewehrung alle 14 cm; As,vorh = 4,52 cm2

Gefordert

Für die Stahlbeton-Innenstütze wird eine Feuerwiderstandsdauer für 60 Minuten unter einer mehrseitigen Brandbeanspruchung gefordert.

Nachweis mit der Tabelle 5.2a der Methode A

Randbedingungen[1]

  • Ersatzlänge der Stütze im Brandfall
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{l}_{0,fi}} \leq 3m}
Da der Kopf und der Fuß der Stütze rotationsbehindert gelagert sind, ergibt sich die Knicklänge für den Brandfall für eine Innenstütze mit:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{l}_{0,fi}} = 0,5 \cdot l = 0,5 \cdot 4m = 2m}
→ Die Randbedingung ist mit 2m ≤ 3m erfüllt.
  • Bewehrungsgehalt ρ
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho = \frac{{{4,52 cm^2}}}{{{30 cm \cdot 30 cm}}} = 0,5 % \leq 4 %}
→ Die Randbedingung ist erfüllt.

Schnittgrößen[2]

  • Tragfähigkeit der Stütze bei Normaltemperatur
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{N}_{Ed,fi,t}} = {{\eta }_{fi}} \cdot {{N}_{Ed}} = 0,7 \cdot (-400 kN) = -280 kN}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{N}_{Rd}} \approx {{N }_{ED}} = -400 kN}
  • Lastausnutzungsfaktor μfi
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\mu }_{fi}} =\frac{{{N}_{Ed,fi,t}}}{{{N}_{Rd}}} = \frac{{{-280 kN}}}{{{-400 kN}}} = 0,7}

erforderliche Querschnittsabmessungen nach der Tabelle 5.2a[2]

Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)4.png
bmin. = 250mm
aerf. = 46mm

vorhandene Querschnittsabmessungen

bvorh. = 300mm
avorh. = 50mm

Ergebnis

Da die vorhandenen Querschnittsabmessungen den erforderlichen Abmessungen für die Feuerwiderstandsklasse R60 entsprechen, kann die Stahlbeton-Innenstütze der Klasse R60 zugeordnet werden.

vergleichende Berechnung mit mB Baustatik

Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)5.png

Auch nach der Berechnung mit mB Baustatik kann die Stahlbeton-Innenstütze der Feuerwiderstandsklasse R60 zugeordnet werden.

Nachweis mit der Gleichung 5.7 der Methode A

Randbedingungen[2]

  • Achsabstand a der Längsbewehrung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 25mm \leq a \leq 80mm }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = 50mm }
→ Randbedingung erfüllt.
  • Ersatzstablänge im Brandfall:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{l}_{0,fi}} \leq 6m }
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {{l}_{0,fi}}=2m}
→ Randbedingung erfüllt.
  • b`
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200mm \leq b\prime \leq 450mm }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200mm \leq \frac{{{(2\cdot Ac)}}}{{{(b+h)}}} \leq 450mm}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200mm \leq \frac{{{(2\cdot300^2)}}}{{{(300+300)}}} \leq 450mm}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 200mm \leq 300mm \leq 450mm }
→ Randbedingung erfüllt.
  • Querschnittshöhe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \leq 1,5\cdot b }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 300mm \leq 1,5\cdot300mm }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 300mm \leq 450mm }
→ Randbedingung erfüllt.

Gleichung 5.7[2]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=120\cdot {{\left( \frac{{{R}_{\eta fi}}+{{R}_{a}}+{{R}_{l}}+{{R}_{b}}+{{R}_{n}}}{120} \right)}^{1,8}}}

Ermittlung der Einflussfaktoren[2]

  • mit:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\eta}_{fi}}= 0,7} Ausnutzungsgrad
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 4} Anzahl der Bewehrungsstäbe
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\alpha}_{cc}}= 0,85} Dauerstandfestigkeit nach DIN EN 1992-1-1
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\omega}=\frac{{{A}_{s}\cdot{f}_{yd}}}{{{A}_{c}\cdot{f}_{cd}}} = \frac{{{4,52}\cdot \frac{{{50}}}{{{1,15}}} }}{{{30^2}\cdot \frac{{{2,0}}}{{{1,5}}} }} = 0,193} mechanischer Bewehrungsgrad
  • Einfluss des Lastniveaus
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{\eta fi}}=83\cdot (1-0,7\cdot\frac{{{1+0,193}}}{{{1+0,193}}}=24,9}
  • Einfluss des Achsabstandes
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{a}}=1,6\cdot (a-30)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{a}}=1,6\cdot(50-30)=32}
  • Einfluss der Stützenlänge
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{l}}=9,6\cdot (5-{{l}_{0,fi}})}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{l}}=9,6\cdot(5-2)=28,8}
  • Einfluss der Querschnittsabmessungen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{b}}=0,09\cdot b'}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{b}}=0,09\cdot300=27}
  • Einfluss der Bewehrung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {R_{n}}=0\quad f\ddot{u}r\quad n=4 }

Ergebnis der Berechnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=120\cdot {{\left( \frac{{24,9}+{32}+{28,8}+{27}+{0}}{120} \right)}^{1,8}}=107,18 min}

Die Berechnung mit der Gleichung 5.7 ergibt für die Stahlbeton-Innenstütze eine Feuerwiderstandsdauer von 107,18 Minuten.

Vergleichsberechnung mit mB Baustatik

Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)6.png

Die Berechnung der Stahlbeton-Innenstütze mit mB Baustatik ergibt eine Feuerwiderstandsdauer von 164,9 Minuten. Damit kann die Stütze sogar der Feuerwiderstandsklasse R120 zugeordnet werden.

Beurteilung der Ergebnisse

Die Stahlbeton-Innenstütze kann sowohl nach der Berechnung mit der Tabellen 5.2a, als auch nach der Berechnung mit der Gleichung 5.7, einer Feuerwiderstandsdauer von mindestens 60 Minuten zugeordnet werden.

Die Berechnung mit der Tabelle 5.2a gestaltet sich dabei als die einfachere Variante. Nach der Prüfung der Randbedingungen und der Berechnung des Lastausnutzungsfaktors, können die erforderlichen Querschnittsabmessungen für die benötigte Feuerwiderstandsdauer aus der Tabelle 5.2a abgelesen werden.

Die Berechnung nach der Gleichung 5.7 erfordert aufgrund der zusätzlichen Ermittlung der Einflussfaktoren mehr Aufwand. Allerdings ergibt sich bei dieser Methode der Vorteil, dass durch die erweiterten Randbedingungen ein größerer Anwendungsbereich ermöglicht wird, als mit der Tabelle 5.2a. Zudem ergibt das Ergebnis eine konkrete Feuerwiderstandsdauer in Minuten, wohingegen mit der Tabelle 5.2a lediglich die für eine Feuerwiderstandsdauer benötigten Querschnittsabmessungen ermittelt werden.

Erläuterung der Unterschiede zwischen der Handberechnung und mB-Baustatik

Bei der Handberechnung wurde zur Vereinfachung angenommen, dass die Stütze unter Normaltemperatur voll ausgelastet ist. Es gilt also NRd=NEd. Unter dieser Annahme wurden auch die Tabellenwerte des Tabellenverfahrens ermittelt.

In diesem Beispiel ist es jedoch so, dass die Stütze bei Normaltemperatur nicht voll ausgelastet ist. Dies bedeutet also, dass die eigentliche Tragfähigkeit der Stütze NRd deutlich größer ist, als in der Handberechnung bei der Berechnung des Lastausnutzungsfaktor μfi angenommen wurde.

Bei der Berechnung mit mB Baustatik wurde der Lastausnutzungsfaktor μfi hingegen mit der vollen Tragfähigkeit der Stütze und der vollen Last NEd = NEd,fi berechnet. Die eigentliche Tragfähigkeit der Stütze NRd liegt bei NRd = 1200,96 kN. Dementsprechend ergibt sich also ein viel geringerer Lastausnutzungsfaktor, als in der Handberechnung. Dies hat zur Folge, dass die Stahlbeton-Innenstütze, nach der Berechnung mit mB Baustatik, im Brandfall deutlich länger standhalten würde. Aufgrund dessen, dass bei der Berechnung die volle Last NEd = NEd,fi angesetzt wird, liegt die Berechnung auf jeden Fall auf der sicheren Seite.

Da in der Aufgabenstellung jedoch nur eine Feuerwiderstandsdauer von 60 Minuten gefordert wurde, ist die Aufgabe dennoch auch mit der Handberechnung erfüllt. Wäre dies nicht der Fall, hätte die genaue Tragfähigkeit der Stütze bestimmt werden müssen.

Quellen

  1. ↑ DIN EN 1992-1-2:2010-12: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken. Teil 1-2: Allgemeine Regeln – Tragwerksbemessung für den Brandfall.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Dietmar Hosser; Jochen Zehfuß (Hrsg.): Brandschutz in Europa - Bemessung nach Eurocodes - 3., Überarbeitete und erweiterte Auflage 2017


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