Querkraftbemessung - Einwirkung

Abminderung der einwirkenden Querkraft im Vergleich

Für die Bemessung der Querkraft ist zunächst die Bestimmung der maßgeblichen Schnittgrößen entlang der Längsachse des Bauteils erforderlich. Der Querkraftverlauf weist nach den Regeln der Statik an den Auflagern und den Einleitungspunkten von Einzellasten sprunghafte Änderungen auf. An diesen Punkten treten typischerweise die Extremwerte auf. Da die Modelle zur Querkraftberechnung für B-Bereiche (lineare Spannungsverteilung, Bernoulli-Hypothese) entwickelt wurden, die maßgebenden Schnitte jedoch in D-Bereichen (nichtlineare Spannungsverteilung, unregelmäßige Bereiche) liegen, müssen bei der Nachweisführung in D-Bereichen bestimmte Besonderheiten berücksichtigt werden. Zudem kann durch die Idealisierung des Tragwerks die Ausbreitung der durch Lagerreaktionen oder Einzellasten hervorgerufenen Spannungen nicht abgebildet werden.

Unterscheidung direkte und indirekte Lagerung

Zur Bestimmung der Bemessungsgrößen $V_{\mathrm {Ed} }$ ist grundsätzlich zwischen zwei unterschiedlichen Arten der Auflagerung zu differenzieren:

• Direkte Lagerung
  Die Auflagerkraft wird über Druckbeanspruchungen senkrecht zur Stabachse am Bauteilrand eingetragen.

• Indirekte Lagerung
  Die Einleitung der Auflagerkraft erfolgt über Zugkräfte bzw. verteilt über die Höhe des Trägers.

Direkte Lagerung

Kraftfluss in direkt gelagerten Trägern unter Flächenlasten und auflagernahen Einzellasten (vgl. Reineck 2005)

Gleichstreckenlast

Bei der Belastung eines Feldes mit einer Gleichstreckenlast und direkter Lagerung bildet sich durch die Konzentration der Druckspannungen am Auflager ein fächerförmiges Spannungsfeld aus (siehe Abb.). Ein Teil der Flächenlast wird dadurch direkt in das Auflager geleitet und muss deshalb bei der Bemessung der Querkrafttragfähigkeit $V_{\mathrm {Rd,c} }$ / $V_{\mathrm {Rd,s} }$ nicht berücksichtigt werden. Die Lastanteile müssen jedoch trotzdem bei der Bemessung der Druckstrebentragfestigkeit $V_{\mathrm {Rd,\max } }$ angesetzt werden, da das Druckfeld bis zum Auflagerrand belastet wird.
Gemäß Norm wird der maßgebende Querschnitt im Abstand $d$ vom Auflagerrand festgelegt. Diese Annahme dient der Vereinfachung und befindet sich auf der sicheren Seite. Die tatsächliche Abgrenzung des fächerförmigen Druckfeldes liegt im Abstand $(z+d_{\mathrm {1} })\cdot \cot \theta$ vor der Auflagerkante.

Einzellast

Die einwirkende Querkraft aus auflagernahen Einzellasten muss nach einem alternativen Modell berechnet werden. Hierbei bildet sich ein Sprengwerk aus (siehe Abb.), das einen Anteil der Last ($F_{\mathrm {2} }$) direkt in das Auflager leitet. Versuche haben gezeigt, dass ein weiterer Anteil ($F_{\mathrm {1} }$) dennoch über die üblichen Querkrafttragmechanismen übertragen wird. Je näher sich die Einzellast am Auflagerrand befindet, desto größer ist der Anteil, der unmittelbar in das Auflager abgetragen wird. Allerdings ist die direkte Einleitung von Lastanteilen in das Auflager nur innerhalb der in der Norm (EC2 Teil 1-1) festgelegten Grenzwerte zulässig. So muss sich die Einzellast im Abstand $0,5d\leq a_{\mathrm {v} }\leq 2d$ vom Rand des Auflagers befinden, das Bauteil von oben belastet werden und die Längsbewehrung vollständig am Auflager verankert sein, damit die einwirkende Querkraft mit dem Faktor $\beta$ abgemindert werden darf. Bei $a_{\mathrm {v} }\leq 0,5d$ ist der Wert $a_{\mathrm {v} }=0,5d$ anzusetzen. Für die Berechnung der Druckstrebentragfähigkeit $V_{\mathrm {Rd,\max } }$ ist die Abminderung nicht zulässig.

${\begin{aligned}\ \beta ={\frac {a_{\mathrm {v} }}{2\cdot d}}\end{aligned}}$

wobei:

β ...	Abminderungsfaktor der einwirkenden Querkraft bei auflagernahen Einzellasten
av ...	Abstand zwischen dem Auflagerrand und der einwirkenden Einzellast
d ...	statische Nutzhöhe

Indirekte Lagerung

Spannungsfelder bei indirekter Lagerung

Bei einer indirekten Lagerung entstehen – im Gegensatz zur direkten Lasteinleitung – keine konzentrierten Druckspannungen. Ein typisches Beispiel ist ein Bauteil (im Bild: Träger 1), das seitlich in einen Unterzug (im Bild: Träger 2) eingebunden ist. Die Druckspannungsfelder verlaufen dabei parallel – und nicht fächerförmig (vgl. „Direkte Auflagerung“) – in das Auflager, wodurch die günstig wirkenden Druckspannungen entfallen. Daraus ergibt sich, dass der Bemessungswert der Querkraft $V_{\mathrm {Ed} }$ an der rechnerischen Auflagerlinie zu bestimmen ist. Die indirekt eingeleitete Auflagerkraft des lastbringenden Bauteils (Träger 1) muss über eine Aufhängebewehrung in die Druckzone des lastabtragenden Bauteils (Träger 2) hochgehängt und zusätzlich zur Querkraftbewehrung des Hauptträgers (Träger 2) angesetzt werden. Ein Unterzug kann jedoch auch als direkte Auflagerung gewertet werden, wenn die Höhe des stützenden Bauteils mehr als doppelt so groß ist wie die Höhe des zu stützenden Bauteils.

${\begin{aligned}\ h_{\mathrm {2} }\geq 2\cdot h_{\mathrm {1} }\end{aligned}}$ → direkte Lagerung

${\begin{aligned}\ h_{\mathrm {2} }<2\cdot h_{\mathrm {1} }\end{aligned}}$ → indirekte Lagerung

wobei:

h1 ...	Höhe gestütztes Bauteil
h2 ...	Höhe stützendes Bauteil

Einfluss von Vouten und geneigten Druckgurten

Kraftverlauf in einem Träger mit geneigtem Druck- und Zuggurt

Auswirkungen der Gurtneigungen auf die einwirkende Querkraft V_Ed

Bei Trägern mit geneigten Gurten weisen sowohl die Druckspannungsresultierende $F_{\mathrm {cd} }$ als auch die Betonstahlzugkraft $F_{\mathrm {sd} }$ Querkraftanteile auf, die die Bemessungsquerkraft günstig oder ungünstig beeinflussen können. Die maßgebende einwirkende Querkraft sowie die Komponenten der geneigten Gurtkräfte ergeben sich aus den folgenden Formeln:

${\begin{aligned}\ V_{\mathrm {Ed} }=V_{\mathrm {Ed,0} }-V_{\mathrm {ccd} }-V_{\mathrm {td} }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\ V_{\mathrm {ccd} }={\frac {M_{\mathrm {Eds} }}{d}}\cdot \tan \psi _{\mathrm {o} }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\ V_{\mathrm {td} }=\left({\frac {M_{\mathrm {Eds} }}{d}}+N_{\mathrm {Ed} }\right)\cdot \tan \varphi _{\mathrm {u} }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\ M_{\mathrm {Eds} }=M_{\mathrm {Ed} }-N_{\mathrm {Ed} }\cdot z_{\mathrm {s} }\end{aligned}}$

wobei:

VEd ...	Bemessungswert der einwirkenden Querkraft
VEd,0 ...	Grundbemessungswert der einwirkenden Querkraft
Vccd ...	Querkraftkomponente aus der Druckspannungsresultierenden Fcd
Vtd ...	Querkraftkomponente aus der Betonstahlzugkraft Fsd
MEds ...	das einwirkende Moment bezogen auf die Lage der Zugbewehrung
d ...	statische Nutzhöhe
ψo ...	Neigung der Bauteiloberkante (≈φo)
φu ...	Neigung der Betonstahlachse
NEd ...	Bemessungswert der Normalkraft
zs ...	Abstand Schwerelinie zu Biegezugbewehrung

Um die Formeln zu vereinfachen, kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass die Neigung des Druckgurts $\varphi _{\mathrm {o} }$ identisch mit der Neigung der Bauteiloberkante ist. Zudem kann – auf der sicheren Seite liegend – anstelle des Hebelarms $z$ (Hebelarm der inneren Kräfte zwischen $F_{\mathrm {cd} }$ und $F_{\mathrm {sd} }$) mit $d$ gerechnet werden. Ist im Querschnitt eine Druckbewehrung vorhanden, kann deren Querkraftkomponente analog zu $V_{\mathrm {ccd} }$ ermittelt werden.

Da die Querkraft direkt mit dem Verlauf der Momentenlinie über $V=dM/dx$ verknüpft ist, lässt sich anhand der folgenden Faustregel schnell erkennen, ob ein geneigter Gurt den Querschnitt entlastet oder zusätzlich belastet:
Nimmt der Betrag des Moments $\mid M\mid$ und der Hebelarm der inneren Kräfte $z$ gleichsinnig zu, wirken die zusätzlich entstehenden Querkraftkomponenten entlastend (günstig). Entwickeln sich $\mid M\mid$ und $z$ hingegen gegenläufig – das heißt, einer wird größer, der andere kleiner –, so wird das Bauteil zusätzlich belastet und der geneigte Gurt wirkt ungünstig.

Quellen

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