Knicklänge/Ersatzstablänge: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. September 2020, 20:37 Uhr

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. ^[1]]. Sie bestimmt sich nach

{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}

wobei:

${{l}_{0}}$ …	Knicklänge oder Ersatzlänge (andere Schreibweisen: ${{L}_{cr}}$ oder ${{s}_{k}}$ (mit den Indizes critical und Knicken)
$\beta$ …	Knicklängenbeiwert
${{l}_{col}}$ …	Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge ${{l}_{0}}$ gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach Theorie II. Ordnung ergeben.“ ^[2]
Abhängig von den Auflagerbedingungen des Einzeldruckglieds und der gegenseitigen Verschieblichkeit der Stützenenden senkrecht zur Bauteilachse bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen:

β (theoretisch): 2,0 1,0 0,7 0,5
β (realistisch): 2,2 1,0 0,76 0,59

Die realistischen Beiwerte β berücksichtigen den Sachverhalt, dass eine unendlich feste Einspannung in der Praxis nicht existiert. Auch bei einer sehr steifen Einspannung sind immer geringe Verformungen nötig, um das entsprechende Einspannmoment zu aktivieren.

Für die Praxis reichen die angegebenen 4 Grundfälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also senkrecht zur Bauteilachse gegeneinander verschieblichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. ^[3]]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.

Das Flächenträgheitsmoment des Riegels ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment des Riegels am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung (siehe oben).
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt.
Der Eurocode 2 gibt zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „üblichen“ Rahmen vor:

für unverschiebliche Rahmen:

{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot {\sqrt {\left(1+{\frac {{k}_{1}}{0,45+{{k}_{1}}}}\right)\cdot \left(1+{\frac {{k}_{2}}{0,45+{{k}_{2}}}}\right)}}

für verschiebliche Rahmen:

{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{{\sqrt {1+10\cdot {\frac {{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}}}\ ;\ \left(1+{\frac {{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}}}\right)\cdot \left(1+{\frac {{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}}}\right)\right\}

mit

${{k}_{1}},{{k}_{2}}$	-	den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2
l	-	der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung $\varphi$ (Einheitsdrehung $\varphi$ = 1):

Nomogramm zur Ermittlung des Knicklängenbeiwertes^[1]

${{k}_{i}}={\frac {\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}}$

mit

E	–	dem Elastizitätsmodul
${{I}_{col}}$	–	dem Flächenträgheitsmoment der Stütze
${{l}_{col}}$	–	der Länge der Stütze
${{M}_{R,i}}$	–	dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistance).

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird. Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.

Quellen

↑ ^1,0 ^1,1 Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010
↑ Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005
↑ Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012

Seiteninfo

Status: Seite geprüft, inhaltlich Ok

[Schneider-1] 1,0 ^1,1 Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010

[2] Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005

[3] Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012

[1]

[2]

[3]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref>Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />
-<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />
+<br />
-mit<br />
+Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. <ref Name = "Schneider">Schneider, K.-J.: Bautabellen für Ingenieure, Siegen 2010</ref>]. Sie bestimmt sich nach<br />
-<math>{{l}_{0}}</math> - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)
+:<math>{{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}</math><br />
-<math>\beta </math> - dem Knicklängenbeiwert
+wobei:<br />
-<math>{{l}_{col}}</math> - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column).<br /><br />
+:{|
+|-
+| <math>{{l}_{0}}</math>… || Knicklänge oder Ersatzlänge (andere Schreibweisen: <math>{{L}_{cr}}</math> oder <math>{{s}_{k}}</math> (mit den Indizes critical und Knicken)
+|-
+| <math>\beta </math>… || Knicklängenbeiwert
+|-
+| <math>{{l}_{col}}</math>… || Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column
+|}<br />
-„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ [19]<br />
+„Für die Bestimmung der Ersatzlänge <math>{{l}_{0}}</math> gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach [[Theorie II. Ordnung|Theorie II. Ordnung]] ergeben.“ <ref>Wommelsdorff, O., Albert, A.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen, Sondergebiete des Stahlbetonbaus, Oer-Erkenschwick 2005</ref><br />
-Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der Aussteifung des Gesamtsystems bestimmt sich der Knicklängenbeiwert  β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen:<br /><br />
+Abhängig von den Auflagerbedingungen des [[Einzeldruckglied|Einzeldruckglieds]] und der gegenseitigen Verschieblichkeit der Stützenenden senkrecht zur Bauteilachse bestimmt sich der Knicklängenbeiwert  β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen:<br /><br />
 [[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_1.jpg‎|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]]<br />
@@ Zeile 20: / Zeile 26: @@
 β (realistisch):           2,2                            1,0                           0,76                             0,59<br /><br />
-Für die Praxis reichen diese 4 Fälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also horizontal beweglichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. 12]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.<br /><br />
+Die realistischen Beiwerte β berücksichtigen den Sachverhalt, dass eine unendlich feste Einspannung in der Praxis nicht existiert. Auch bei einer sehr steifen Einspannung sind immer geringe Verformungen nötig, um das entsprechende Einspannmoment zu aktivieren.<br />
+Für die Praxis reichen die angegebenen 4 Grundfälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also senkrecht zur Bauteilachse gegeneinander verschieblichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. <ref>Lohmeyer, G., Baar S., Ebeling, G.: Stahlbetonbau, Bemessung – Konstruktion – Ausführung, Hannover 2012</ref>]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.<br /><br />
 [[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|700px|Baustatik-Wiki]]<br />
 <br />
-Das Flächenträgheitsmoment ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung, bedingt durch Rissbildung oder Dehnung, am Fußpunkt. Aus letzterem resultieren für einfache statische Systeme empfohlene Knickbeiwerte, die die theoretischen etwas übersteigen und einer unvermeidlichen Elastizität im Auflager Rechnung tragen. <br />
+Das Flächenträgheitsmoment des Riegels ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment des Riegels am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung (siehe oben). <br />
 Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt. <br />
-Der Eurocode 2 zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor:<br /><br />
+Der Eurocode 2 gibt zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „[[Regelmäßige Rahmen|üblichen]]“ Rahmen vor:<br /><br />
 für unverschiebliche Rahmen:<br />
-<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>
+:{|
+|<math>{{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot \sqrt{\left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{0,45+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{0,45+{{k}_{2}}} \right)}</math>
+|}<br />
 für verschiebliche Rahmen:<br />
+:{|
+|<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
+|}<br />
-<math>{{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{ \sqrt{1+10\cdot \frac{{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}\ ;\ \left( 1+\frac{{{k}_{1}}}{1+{{k}_{1}}} \right)\cdot \left( 1+\frac{{{k}_{2}}}{1+{{k}_{2}}} \right) \right\}</math>
-<br />
 mit<br />
+:{|
-<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2<br />
+|<math>{{k}_{1}},{{k}_{2}}</math> || - ||  den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2
-l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen.<br /><br />
+|-
+|l ||  -  ||  der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen
+|}<br />
 Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung <math>\varphi </math> (Einheitsdrehung <math>\varphi </math> = 1):<br /><br />
+[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|right|thumb|1000px|Nomogramm zur Ermittlung des Knicklängenbeiwertes<ref Name = "Schneider"> </ref>]]
 <math>{{k}_{i}}=\frac{\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}</math>
 mit<br />
-E – dem Elastizitätsmodul<br />
+:{|
-<math>{{I}_{col}}</math> – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze<br />
+| E ||  –  || dem Elastizitätsmodul
-<math>{{l}_{col}}</math> – der Länge der Stütze<br />
+|-
-<math>{{M}_{R,i}}</math> – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistence).<br /><br />
+|<math>{{I}_{col}}</math> || – || dem Flächenträgheitsmoment der Stütze
+|-
-Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />
+|<math>{{l}_{col}}</math> || – || der Länge der Stütze
+|-
-[[File:Knicklängen_Ersatzstablängen_3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]]<br />
+|<math>{{M}_{R,i}}</math> || – || dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistance).
-<br />
+|}<br />
+Die nebenstehende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:<br /><br />
 Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird.
-Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine Einspannung im Beton bei Rissbildung stets etwas elastisch bleibt, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
+Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.
 <br />
 ==Quellen==
@@ Zeile 67: / Zeile 82: @@
 {{Seiteninfo
-|Quality-flag = [[File:quality-flag-orange.gif|right|70px]]
+|Quality-flag = [[File:quality-flag-green.gif|right|70px]]
-|Status = Seite fertig, ungeprüft
+|Status = Seite geprüft, inhaltlich Ok
 }}
-[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]]
+[[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]]

Knicklänge/Ersatzstablänge: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. September 2020, 20:37 Uhr

Quellen

Navigationsmenü

Suche