Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

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Aufgabenstellung

Platzhalter für Aufgabe

Handrechnung

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

$N_{Ed}={\gamma }_G\cdot N_{Gk}+{\gamma }_Q\cdot N_{Qk}=1,35\cdot (-1250kN)+1,5\cdot \cdot (-750kN)=-2.812,5kN$

$M_{Ed,y,I}=M_{Ed,z,I}=0kNm$

Knicklänge

$l_{col}=6,00m$

$\beta =1,0$ für das gegebene statische System (Pendelstütze)

$l_0=\beta \cdot l_{col}=1,0\cdot 6,00m=6,00m$

Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung

$\lambda =\frac{l_0}{\sqrt{\frac{I}{A}}}=\frac{600cm}{35cm/\sqrt{12}}$

$v_{Ed}=\frac{N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}=\frac{-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/c{m}^2}=-1,62$

${\lambda }_{crit}=\frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}}=\frac{16}{\sqrt{-1,62}}=12,57$

${\lambda }_{vorh}>max(25;\frac{16}{\sqrt{|v_{Ed}}})$

$59,38>25$

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

Nennsteifigkeit

E-Moduln

$E_{cd}=\frac{E_{cm}}{{\gamma }_{CE}}=\frac{31.000N/m{m}^2}{1,5}=20.667N/m{m}^2=2.066,7kN/c{m}^2$

$E_s=200.000N/m{m}^2$

Flächenträgheitsmoment des Betons

$I_c=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35cm\cdot (35cm{)}^2}{12}=125.052c{m}^4$

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

$e_0=0cm$

${\alpha }_h=\frac{2}{\sqrt{l}}=\frac{2}{\sqrt{6,0}}=0,816$

${\theta }_i=\frac{1}{200}\cdot {\alpha }_h=\frac{1}{200}\cdot 0,816=\frac{1}{245}$

$e_i={\theta }_i\cdot \frac{l_0}{2}=\frac{1}{245}\cdot \frac{600cm}{2}=1,22cm$

Vorbemessung

Wirksame Bauteildicke

$h_0=\frac{2\cdot A_c}{u}=\frac{2\cdot (35cm{)}^2}{4\cdot 35cm}$

Endkriechzahl

Erstbelastung des Betons: $t_0=28$ Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

${\varphi }_{\mathrm{\infty },t0}=2,8$ nach Schneider 5.33

Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination

$M_{1,perm}=(|N_{Gk}|+{\psi }_2\cdot |N_{Qk}|)\cdot e_i=(1.250kN+0,6\cdot 750kN)\cdot 0,0122m=20,74kNm$

$M_{1,Ed}=({\gamma }_{Gk}\cdot |N_{Gk}|+{\gamma }_{Qk}\cdot |N_{Qk}|)\cdot e_i=(1,35\cdot 1.250kN+1,5\cdot 750kN)\cdot 0,0122m=34,31kNm$

Effektive Kriechzahl

${\varphi }_{ef}={\varphi }_{\mathrm{\infty },t0}\cdot \frac{M_{1,perm}}{M_{Ed}}=2,8\cdot \frac{20,74kNm}{34,31kNm}=1,69$

Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel

$K_s=0$

$K_c=\frac{0,3}{(1+0,5\cdot {\varphi }_{ef}}=\frac{0,3}{(1+0,5\cdot 1,69}=0,163$

Vorläufige Nennsteifigkeit

$EI=K_c\cdot E_{cd}\cdot I_c+K_s\cdot E_s\cdot I_s=0,163\cdot 2.066,7kN/c{m}^2\cdot 125.052c{m}^4+0=42.126.530kNc{m}^2$

Knicklast

$N_B=\frac{EI\cdot {\pi }^2}{l_0^2}=\frac{42.126.530kNc{m}^2\cdot {\pi }^2}{(600cm{)}^2}=1.154,9kN$

= Beiwert für den Momentenverlauf

Das Moment stammt aus der Lastausmitte $e_i$ für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt $c_0=12$.

Platzhalter für Bild Schiefstellung

$\beta =\frac{{\pi }^2}{c_0}=\frac{{\pi }^2}{12}=0,822$

Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung

$M_{Ed}=M0Ed\cdot (1+\frac{\beta }{N_B/N_{Ed}-1})=3.431kNcm\cdot (1+\frac{0,822}{1.154,9kN/2.812,5kN-1})=3.431kNcm=3.431kNcmcdot(-0,39)$

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast $N_B$ kleiner ist als die einwirkende Normalkraft $N_{Ed}$. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

$M_{Ed}=|N_{Ed}|\cdot \frac{h}{20}=|-2.812,5kN|\cdot \frac{35cm}{20}=4.922kNcm=49,22kNm$

$c_{nom}=c_{min}+\delta c_{dev}=10mm+10mm=20mm$

$d_1=c_{nom}+{\mathrm{\varnothing }}_{s,Bu}+{\mathrm{\varnothing }}_{s,L}/2=2,0+1,0+2,0/2=4,0cm$

$d=h-d_1=35cm-4cm=31cm$

Vorbemessung mit Bewehrungswahl

$\frac{d_1}{h}=\frac{4cm}{35cm}=0,11\approx 0,10$

${\mu }_{Ed}=\frac{M_{Ed}}{b\cdot h^2\cdot f_{cd}}=\frac{4.922kNcm}{35cm\cdot (35cm{)}^2\cdot 1,42kN/c{m}^2}=0,081$

${\nu }_{Ed}=\frac{N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}=\frac{-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/c{m}^2}=-1,62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (Quelle)

${\omega }_{tot}=0,865$

$A_{s,tot}={\omega }_{tot}\cdot b\cdot h\cdot \frac{f_{cd}}{fyd}=0,865\cdot 35cm\cdot 35cm\cdot \frac{1,42kN/c{m}^2}{43,5kN/c{m}^2}=34,59c{m}^2$

Gewählt: $12\mathrm{\varnothing }20mm$ mit $A_{s,vorh}=37,68c{m}^2$

Genauere Steifigkeitsbeiwerte

$K_s=1$

$k_1=\sqrt{f_{ck}/20}=\sqrt{25/20}=1,12$

$k_2={\nu }_{Ed}\cdot \frac{\lambda }{170}=1,62\cdot \frac{59,38}{170}=0,57\le \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mn>0</mn></mrow>}$

$K_c=\frac{k_1\cdot k_2}{(1+{\varphi }_{ef}}=\frac{1,12\cdot 0,20}{(1+1,69}=0,083$

Flächenträgheitsmoment der Bewehrung

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Insgesamt $12\mathrm{\varnothing }20mm$

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