Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit

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Allgemeines

Das Verfahren mit Nennsteifigkeit beschreibt die näherungsweise Bestimmung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung. Die Grundidee ist hierbei, das Moment nach Theorie I. Ordnung um einen Faktor zu vergrößern, der von der Steifigkeit des betrachteten Bauteils abhängt. Das Verfahren lässt sich prinzipiell auf beliebige Querschnitte anwenden. In Deutschland ist das Verfahren nicht üblich und wird im Allgemeinen zugunsten des Verfahrens mit Nennkrümmung ignoriert. Dies liegt unter anderem daran, dass das Verfahren mit Nennsteifigkeit häufig mehr Bewehrung erfordert oder kein Ergebnis liefert.

Erfordernis

Nach Eurocode 2 sind Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen, wenn sie gegenüber denen der Theorie I. Ordnung 10% größer sind. Für Einzeldruckglieder ist diese Bedingung für eine leichtere Handhabung in Form eines Grenzwertes der Schlankheit beschrieben. Hierbei gilt unter Berücksichtigung des nationalen Anhangs eine Grenzschlankheit von

$\underset{\lim }{\lambda }=25$ für $\left|n\right|\ge 0,41$

$\underset{\lim }{\lambda }=\frac{16}{\sqrt{n}}$ für $\left|n\right|<0,41$

mit
$n=\frac{N_{Ed}}{A_c\cdot f_{cd}}$ (Druckkraft positiv)
$N_{Ed}$ - dem Bemessungswert der Normalkraft
$A_c$ - der Betonquerschnittsfläche
$f_{cd}$ - dem Bemessungswert der Betondruckkraft.

Der zweite Grenzwert erlaubt eine höhere Schlankheit als 25. Dabei wird berücksichtigt, dass bei geringerer Normalkraftbeanspruchung die Momente nach Theorie II. Ordnung entsprechend kleiner werden und demnach vernachlässigbar sind.

Schnittgrößenermittlung

Das Moment nach Theorie II. Ordnung $M_{Ed}$ wird ermittelt durch eine Vergrößerung des Moments nach Theorie I. Ordnung (einschließlich Imperfektionen) $M_{0Ed}$ nach der Formel:

$M_{Ed}=M_{0Ed}\cdot (1+\frac{\beta }{(N_B/N_{Ed})-1})$

Moment nach Theorie I. Ordnung

Das $M_{0Ed}$ setzt sich zusammen aus dem nach üblichen Regeln ermittelten Moment nach Theorie I. Ordnung und dem durch Imperfektionen entstehenden Moment $M_i$. Siehe hierzu auch die Hinweise zum Verfahren mit Nennkrümmung. Allgemein wird der Einfluss von Imperfektionen mit

$M_i=|N_i|\cdot e_i$

beachtet. Dabei ist $e_i$ die Exzentrizität in Folge von Imperfektionen und wird berechnet als

$e_i={\mathrm{\Theta }}_i\cdot \frac{l_0}{2}$ .

$l_0$ - ist die Knicklänge wie oben.

${\mathrm{\Theta }}_i$ - ist die Schiefstellung und definiert als

${\mathrm{\Theta }}_i=\frac{1}{200}\cdot {\alpha }_h$ mit der Bedingung

$0\le {\alpha }_h=\frac{2}{\sqrt{l}}\le 1$ .

Beiwert zur Berücksichtigung des Momentenverlaufs

Der Beiwert $\beta$ berechnet sich als

$\beta =\frac{{\pi }^2}{c_0}$ .

Für $c_0$ gilt:

$c_0=8$ für einen konstanten Momentenverlauf,

$c_0=9,6$ für einen parabelförmigen Momentenverlauf,

$c_0=12$ für einen dreieckigen Momentenverlauf.

Knicklast

Die Knicklast $N_B$ berechnet sich als

$N_B=\frac{EI\cdot {\pi }^2}{l_0^2}$ .

Nennsteifigkeit

Die Nennsteifigkeit $EI$ setzt sich zusammen aus Anteilen für den Beton und den Bewehrungsstahl:

$EI=K_c\cdot E_{cd}\cdot I_c+K_s\cdot E_s\cdot I_s$ .

Dabei sind:

$K_c$ Beiwert für Betonanteil der Nennsteifigkeit

$E_{cd}$ - E-Modul des Betons

$I_c$ - Flächenträgheitsmoment des Betonquerschnitts

$K_s$ - Beiwert für Bewehrungsanteil der Nennsteifigkeit

$E_s$ - E-Modul des Bewehrungsstahls

$I_s$ - Flächenträgheitsmoment der Bewehrung bezogen auf den Schwerpunkt des Betonquerschnitts

Bei der Ermittlung der Nennsteifigkeit werden zwei Situationen in Abhängigkeit vom geometrischen Bewehrungsgrad ${\rho }_L$ unterschieden, wobei die erste Situation als eine Art Vorbemessung gewertet werden kann und die zweite als darauf folgende, genauere Bemessung.

Vorbemessung

Bedingung: ${\rho }_L=\frac{A_s}{A_c}\ge 0,01$

Unter der obigen Bedingung gelten

$K_c=\frac{0,3}{1+0,5\cdot {\varphi }_{ef}}$ und

$K_s=0$ mit

${\varphi }_{ef}$ - Endkriechzahl

Damit ist im Zuge der Vorbemessung der Einfluss des Bewehrungsstahls aus der Bestimmungsformel gestrichen. Dies soll im Sinne einer Vorbemessung die Auswahl von Bewehrung für die Stütze ermöglichen, um dann im nächsten Schritt zu überprüfen, ob die gewählte Bewehrung hinreichend ist.

Genauere Bemessung

Bedingung: ${\rho }_L=\frac{A_s}{A_c}\ge 0,002$

Unter der obigen Bedingung gelten

$K_c=\frac{k_1\cdot k_2}{1+{\varphi }_{ef}}$ und

$K_s=1$ mit

$k_1=\sqrt{f_{ck}/20}$ und

$k_2=n_{Ed}\cdot \frac{\lambda }{170}\le 0,20$

Bemessung

Nach der nach obigem Schema erfolgten Ermittlung der Schnittgrößen kann das Interaktionsdiagramm für symmetrisch bewehrte Querschnitte unter Normalkraft und Moment mit den Größen $n_{Ed}$ und ${\mu }_{Ed}$ genutzt werden:

$n_{Ed}=\frac{N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}$

${\mu }_{Ed}=\frac{M_{Ed}}{b\cdot h^2\cdot f_{cd}}$

Das Ergebnis des Interaktionsdiagramms ist der mechanische Bewehrungsgrad ${\omega }_{tot}$, aus dem die benötigte Bewehrungsmenge berechnet wird:

$A_{s,tot}={\omega }_{tot}\cdot b\cdot h\cdot \frac{f_{cd}}{f_{yd}}$

Der Vergleich zwischen benötigter und gewählter Bewehrungsmenge zeigt schließlich, ob die gewählte Bewehrung hinreichend war oder ob in einem weiteren Iterationsschritt nachgebessert werden muss. Hierbei ist zu beachten, dass eine stärkere, gewählte Bewehrung die Nennsteifigkeit erhöht und damit auch die benötigte Bewehrungsmenge senkt.