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| | Ein Beispiel für die Berechnung einer Stahlbeton-Innenstütze mit der Methode A des vereinfachten Verfahrens |
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| <br /> | | ==Aufgabenstellung== |
| | [[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.).png|mini|rechts]] |
| | [[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)2.png|mini|rechts]] |
| | [[Datei:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)3.png|mini|rechts]] |
| | ===Gegeben=== |
| | * eine Stahlbeton-Innenstütze in einem ausgesteiften Bauwert |
| | * Kopf und Fuß der Stütze sind rotationsbehindert (eingespannt) |
| | * l = 4m |
| | * h/b = 300/300 |
| | * N<sub>ED</sub> = 400KN |
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| == Methode A (Tafel) == | | ===Gefordert=== |
| === Gegeben: === | | Für die Stahlbeton-Innenstütze wird eine Feuerwiderstandsdauer für 60 Minuten unter einer mehrseitigen Brandbeanspruchung gefordert. |
| Stahlbetonpendelstütze:<br />
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| - unverschieblich<br />
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| - beidseitig gelenkig gelagert<br />
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| - Nutzung als Verkaufsraum<br />
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| - allseitig beflammt<br />
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| - gefordert: R60<br /> | |
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| === Einwirkungen === | | ==Nachweis mit der Tabelle 5.2a der Methode A== |
| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| === Querschnitts- und Systemabmessungen === | | ===Randbedingungen=== |
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| <math>\begin{array}{l}b/h=30/30\\l=3m\\\frac{{{d}_{1}}}{h}=\frac{0,054}{0,3}=0,18\approx 0,2\end{array}</math>
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| auf sichere Seite gerundet
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| === Schnittgrößen ===
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| <math>\begin{array}{l}{{N}_{Ed}}=1,35\cdot 400+1,5\cdot 200=840kN\\{{M}_{Ed}}=66,3kNm\end{array}</math>
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| <br /><br />
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| ohne Rechnung, einschließlich Theorie II. Ordnung
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| === Kaltbemessung ===
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| ==== Bezogene Schnittgrößen ====
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| <math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-840}{30\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,0}{1,5}}=-0,82\\{{\mu }_{Ed}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{6630}{30\cdot 30{}^\text{2}\cdot 0,85\cdot \frac{2,0}{1,5}}=0,22\end{array}</math>
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| ==== Interaktionsdiagramm ====
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| Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades, <math>{{\omega }_{tot}}=0,56~</math>
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| <math>{{A}_{s}}={{\omega }_{tot}}\cdot \frac{b\cdot h}{{{f}_{yd}}/{{f}_{cd}}}=0,56\cdot \frac{0,3\cdot 0,3}{\frac{50}{1,15}/\left( 0,85\cdot \frac{2}{1,5} \right)}=13,09cm{}^\text{2}</math>
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| gewählt: 2x 6ø12, <math>{{A}_{s}}=13,57cm{}^\text{2}~</math>
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| === Heißbemessung ===
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| ==== Bedingungen ====
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| - Bewehrungsgrad <math>\frac{13,57}{30\cdot 30}=0,015\le 0,04</math><br />
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| - <math>{{l}_{0,fi}}=3\le 3</math>
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| <br /><br />
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| Bemessung nach Tafel legitimiert.
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| ==== Außergewöhnliche Einwirkungskombination während des Brandfalls ====
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| <math>{{N}_{Ed,fi}}={{N}_{G}}+{{\psi }_{2}}\cdot {{N}_{Q}}=400+0,6\cdot 200=520kN</math>
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| ==== Ermittlung des Reduktionsfaktors ====
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| <math>{{\eta }_{fi}}=\frac{{{N}_{Ed,fi}}}{{{N}_{Ed}}}=\frac{520}{840}=0,62</math>
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| ==== Bezogene Schnittgrößen ====
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| (vereinfacht mit <math>0,62\cdot {{\nu }_{Ed}}</math> oder genauer mit <math>{{\alpha }_{cc}}=1,0~</math>):
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| <math>\begin{array}{l}{{\nu }_{Ed,fi,t}}=\frac{{{N}_{Ed,fi}}}{b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{-520}{30\cdot 30\cdot \frac{2,0}{1,5}}=-0,43\\{{\mu }_{Ed,fi,t}}=\frac{{{M}_{Ed,fi}}}{b\cdot {{h}^{2}}\cdot {{f}_{cd}}}=\frac{0,62\cdot 6630}{30\cdot 30{}^\text{2}\cdot \frac{2,0}{1,5}}=0,11\end{array}</math>
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| ==== Mechanischer Bewehrungsgrad ====
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| bei Berücksichtigung von <math>{{\alpha }_{cc}}=1,0~</math>:
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| <math>{{\omega }_{vorh}}=\frac{{{A}_{s,vorh}}\cdot ({{f}_{yd}}/{{f}_{cd}})}{b\cdot h}=\frac{13,57\cdot \left( \frac{50}{1,15}/\frac{2,0}{1,5} \right)}{30\cdot 30}=0,49</math>
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| ==== Ermittlung der zulässigen bezogenen Normalkraft mithilfe des Interaktionsdiagramms ====
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| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| Vom Diagrammnullpunkt über den Schnittpunkt der bezogenen heißbemessenen Schnittgrößen wird der mechanische Bewehrungsgrad angezielt und damit
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| <math>{{\nu }_{Ed,fi,t,zul}}=-0,79~</math> abgelesen.<br />
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| Der Bemessungswiderstand der Normalkraft ergibt sich durch Wiedereinführen der Abmessungen:
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| <math>{{N}_{Rd}}={{\nu }_{Ed,fi,t,zul}}\cdot b\cdot h\cdot {{f}_{cd}}=-0,79\cdot 30\cdot 30\cdot \frac{2}{1,5}=-948kN</math>
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| Das Verhältnis aus Einwirkung und Widerstand ergibt den Ausnutzungsgrad
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| <math>{{\mu }_{fi}}=\frac{{{N}_{Ed,fi,t}}}{{{N}_{Rd}}}=\frac{-520}{-948}=0,55</math>
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| Durch Interpolation ergeben sich in der Tafel des Eurocode 2 für Methode A mit geforderter Brandwiderstandsdauer von 60 Minuten die folgenden Mindestabmessungen und Achsabstände:<br /><br />
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| 212,5mm/38,5mm oder 312,5mm/33,25mm
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| <br /><br />
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| Stütze mit 300mm/54mm eingehalten, Nachweis erfüllt.<br /><br />
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| Anmerkungen:<br />
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| In der Vergleichsrechnung mit dem Modul S402.de wird die „kalte“ Einwirkungskombination mit <math>{{\gamma }_{G,\inf }}</math> , jedoch auch mit
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| <math>{{\gamma }_{Q,\sup }}</math> berechnet. Weiterhin ist der Bemessungswert der „heißen“ Einwirkungskombination nicht nachzuvollziehen. Als Konsequenz ergibt sich ein höherer Ausnutzungsfaktor und eine entsprechend höhere Forderung zum Einhalten der Forderung R60.<br />
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| Eine Nachweisführung mit Methode B kann in diesem Fall nicht erfolgen, weil die Stütze eine Schlankheit von 30 als Bedingung übersteigt.
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| === mb-Vergleichsrechnung ===
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| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 3.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 4.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 5.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| == Methode A (Gleichung) ==
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| Grundlage sind das System und die Einwirkungen aus Beispiel (Methode A).<br />
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| Die Vorgehensweise zu Ermittlung des Ausnutzungsgrades ist dieselbe.
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| === Mechanischer Bewehrungsgrad ===
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| <math>{{\omega }_{vorh}}=\frac{{{A}_{s,vorh}}\cdot ({{f}_{yd}}/{{f}_{cd}})}{b\cdot h}=\frac{13,57\cdot \left( \frac{50}{1,15}/0,85\cdot \frac{2,0}{1,5} \right)}{30\cdot 30}=0,58</math>
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| === Ermittlung der Summanden ===
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| <math>\begin{array}{l}{{R}_{\eta ,fi}}=83\cdot \left( 1-{{\mu }_{fi}}\cdot \frac{1+\omega }{(0,85/{{\alpha }_{cc}})+\omega } \right)=83\cdot \left( 1-0,55\cdot \frac{1+0,58}{(0,85/1)+0,58} \right)=32,56\\{{R}_{a}}=1,6\cdot (a-30)=1,6\cdot \left( 54-30 \right)=38,4\\{{R}_{l}}=9,6\cdot (5-{{l}_{0,fi}})=9,6\cdot (5-3)=19,2\\{{R}_{b}}=0,09\cdot b'=0,09\cdot \frac{2\cdot {{A}_{c}}}{b+h}=0,09\cdot \frac{2\cdot (300{}^\text{2}-1357)}{300+300}=26,59\\{{R}_{n}}=12\end{array}</math>
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| === Ermittlung der Branddauer ===
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| <math>R=120\cdot {{\left( \frac{{{R}_{\eta ,fi}}+{{R}_{a}}+{{R}_{l}}+{{R}_{b}}+{{R}_{n}}}{120} \right)}^{1,8}}=120\cdot {{\left( \frac{32,56+38,4+19,2+26,59+12}{120} \right)}^{1,8}}=136\min </math>
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| <br /><br />
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| Nachweis erfüllt.
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| === mb-Vergleichsrechnung ===
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| [[File:Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.) 6.jpg|rahmenlos|rand|tumb|500px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| ==Quellen== | | ==Quellen== |
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