Stahlbeton-Kragstütze im Brandfall (Bsp.)

Ein Beispiel für die Berechnung einer Stahlbeton-Kragstütze nach dem vereinfachten Verfahren des nationalen Anhang AA des EC 2-1-2.

Aufgabenstellung

Gegeben

• Kragstütze, vierseitig beflammt, in einer Versammlungsstätte (Kategorie C)
• h/b = 450/450mm
• L = 8m
• Lastausmitte e₁ = 0,1m
• Beton C40/50, f_cd = 22,67N/mm²
• Stahl B500B, f_yd = 435N/mm²
• Bewehrungsverhältnis ρ = 0,02 = 2%
• Achsabstand a = 50mm
• G_Ek = 50kN; Q_Ek = 75kN

Gefordert

Für die Stahlbeton-Kragstütze soll eine Feuerwiderstandsdauer von 90 Minuten nachgewiesen werden.

Nachweis

$|{{\nu }_{E,fi,d}}|\leq |{{\nu }_{R,fi,d,90}}|$

νE,fi,d	Längskrafteinwirkung
νR,fi,d,90	Normalkrafttragfähigkeit

Längskrafteinwirkung (ν_E,fi,d)

${{N}_{E,fi,d}}={{N}_{Gk}}+{{\psi }_{2,1}}\cdot {{N}_{Qk}}=50kN+0,6\cdot 75kN=92kN$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\nu}_{E,fi,d}} = \frac{{{N}_{E,fi,d}}}{{{A}_{c}\cdot{f}_{cd}}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{A}_{c}} = \frac{{{(45cm)}^{2}}}{{{100%}}}\cdot98% = 1984,5cm^2}

${{\nu }_{E,fi,d}}={\frac {92\cdot 10^{3}kN}{(22,67N/mm^{2}\cdot 198450mm^{2})}}=0,020$

Normalkrafttragfähigkeit (ν_R,fi,d,90)

Überprüfung der Randbedingungen

• Normalbeton

	zwischen C20/25 und C50/60
	C40/50; Randbedingung erfüllt
	Abweichung von kc erforderlich, da C40/50 ≈ C30/37

• Bewehrungslage

einlagige Bewehrung; Randbedingung erfüllt

• Querschnittsabmessungen

450mm; Randbedingung erfüllt

• geometrischer Bewehrungsgrad (ρ)

	1% ≤ 2% ≤ 8%; Randbedingung erfüllt
	kρ=1,0, da ρ = 2%. Es ist keine Abweichung erforderlich.

• bezogener Achsabstand (a/h)

	$0,05\leq {\frac {50}{450}}=0,11\leq 0,15$; Randbedingung erfüllt
	ka = 0,11 ≈ 0,10. Abweichung von Ka erforderlich.

• bezogene Knicklänge (l_0,fi/h)

$10\leq 2\cdot {\frac {8m}{0,45m}}=35,6\leq 50$; Randbedingung erfüllt

• bezogene Lastausmitte (e₁/h)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{{{0,10m}}}{{{0,45m}}} = 0,22 \le 1,5} ; Randbedingung erfüllt

• Brandbeanspruchung

4-seitige Brandbeanspruchung, keine Abweichung kfi erforderlich.

Standarddiagramm (für 450mm)

Standarddiagramm für eine 450mm Stahlbeton-Kragstütze

Standarddiagramm mit den Eingangswerten l0,fi = 35,6 und e1/h = 0,22

• mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{l}_{0,fi}} = 35,6} und ${\frac {{e}_{1}}{h}}=0,22$
• Mit dem Standarddiagramm ergibt sich X_R,90 mit:

${{X}_{R,90}}=-0,095$

Gleichung zur Berechnung der Normaltragkraft ν_R,fi,d,90

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\nu}_{R,fi,d,90}} = {{k}_{fi}}\cdot{{k}_{a}}\cdot{{k}_{C}}\cdot{{k}_{\rho}}\cdot{{X}_{R90}}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{k}_{fi}} = 1,0}	da 4-seitig beansprucht
${{k}_{\rho }}=1,0$	da ρ = 2%
${{X}_{R90}}=-0,095$	aus dem Standarddiagramm

Beiwert k_a

${{k}_{a}}=({\frac {h\prime -1}{0,05}})\cdot ({\frac {a}{h}})-2\cdot h\prime +3$

$h\prime =max\{0,65\cdot ({\frac {5-h}{150}})-{{k}_{1}};1\}$

${{k}_{1}}=max\{0,65\cdot (1-({\frac {{e}_{1}}{h}}))\cdot (3-{\frac {h}{150}});0\}$

${{k}_{1}}=0,65\cdot (1-({\frac {100}{450}}))\cdot (3-{\frac {450}{150}})=0$

$h\prime =0,65\cdot (5-{\frac {450}{150}})-0=1,3$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{k}_{a}} = (\frac{{{1,3-1}}}{{{0,05}}})\cdot(\frac{{{50}}}{{{450}}})-2\cdot1,3+3 = 1,067 }

Beiwert k_c

${{k}_{c}}=({\frac {{k}_{1}-1}{20}})\cdot {{f}_{ck}}-1,5\cdot {{k}_{1}}+2,5$

${{k}_{1}}=max\{1,1-0,1\cdot ({\frac {{e}_{1}}{h}});1\}$

${{k}_{1}}=1,1-0,1\cdot ({\frac {100}{450}})=1,078$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{k}_{c}} = (\frac{{{1,078-1}}}{{{20}}})\cdot40-1,5\cdot1,078+2,5 = 1,039}

Ergebnis der Normalkrafttragfähigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\nu}_{R,fi,d,90}} = 1 \cdot 1,067 \cdot 1,039 \cdot 1 \cdot(-0,095) = -0,105}

Nachweis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |{{\nu}_{E,fi,d}}| \leq |{{\nu}_{R,fi,d,90}}|}

$|0,020|\leq |0,105|$

Der Nachweis ist erfüllt. Die Stahlbetonkragstütze kann einer Feuerwiderstandsdauer von 90 Minuten zugeordnet werden.