Verformungsnachweis - indirekte Berechnung (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen
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=Aufgabenstellung= | =Aufgabenstellung= | ||
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. | Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. | ||
| + | An das betrachtete Bauteil Grenzen verformungsempfindliche Bauteile an. | ||
| − | * l<sub>eff</sub>=6m (Einfeldträger) | + | * l<sub>eff</sub>=6m (Einfeldträger - freidrehbar gelagert) |
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung) | * <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung) | ||
* b/h=35cm/75cm | * b/h=35cm/75cm | ||
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* B500A | * B500A | ||
* Längsbewehrung: 4⌀25 (A<sub>s,vorh</sub>=19,64cm²; A<sub>s,erf</sub>=17,68cm²) | * Längsbewehrung: 4⌀25 (A<sub>s,vorh</sub>=19,64cm²; A<sub>s,erf</sub>=17,68cm²) | ||
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=Verfahren nach EC2= | =Verfahren nach EC2= | ||
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<math>\rho=\frac{A_{s1,erf}}{b\cdot d}=\frac{17,68}{35\cdot 70}=0,0072=7,2\cdot10^{-3}</math> | <math>\rho=\frac{A_{s1,erf}}{b\cdot d}=\frac{17,68}{35\cdot 70}=0,0072=7,2\cdot10^{-3}</math> | ||
| − | <math>\rho_0=f_{ck}\cdot 10^{-3}= | + | <math>\rho_0=\sqrt{f_{ck}}\cdot 10^{-3}=\sqrt{30}\cdot10^{-3}=5,5\cdot10^{-3}</math> |
| − | <math>\rho=7,2\cdot10^{-3} | + | <math>\rho=7,2\cdot10^{-3}>5,5\cdot10^{-3}=\rho_0\qquad\Rightarrow\qquad\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho'}{\rho_0}\right)^{\frac{1}{2}}\right]</math> |
Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger: K=1 | Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger: K=1 | ||
| − | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul} | + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq 1\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{30}\cdot\frac{5,5}{7,2}\right]</math> |
| − | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}= | + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28</math> |
<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}</math> darf im weiteren durch den Faktor k<sub>1</sub> modifiziert werden. Die Faktoren k<sub>2</sub> und k<sub>3</sub> entfallen, da es sich um einen Rechteckquerschnitt handelt und die Stützweite <7m ist. | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}</math> darf im weiteren durch den Faktor k<sub>1</sub> modifiziert werden. Die Faktoren k<sub>2</sub> und k<sub>3</sub> entfallen, da es sich um einen Rechteckquerschnitt handelt und die Stützweite <7m ist. | ||
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<math>k_1=\frac{310}{241}=1,28</math> | <math>k_1=\frac{310}{241}=1,28</math> | ||
| − | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}= | + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28\cdot 1,28=22,12</math> |
Im Folgenden ist zu überprüfen, ob <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}</math> kleiner ist als <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}</math> (der kleiner Wert ist maßgebend). | Im Folgenden ist zu überprüfen, ob <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}</math> kleiner ist als <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}</math> (der kleiner Wert ist maßgebend). | ||
| − | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35=1\cdot35=35</math> | + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35=1\cdot35=35\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}</math> |
| − | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l [m]}=1^2\cdot \frac{150}{6}=25\qquad\Rightarrow\qquad\text{maßgebend}</math> | + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l [m]}=1^2\cdot \frac{150}{6}=25\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}</math> |
==Nachweis== | ==Nachweis== | ||
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<math>\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=\frac{600}{70}=8,57</math> | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=\frac{600}{70}=8,57</math> | ||
| − | <math>\underline{\underline{\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=8,57< | + | <math>\underline{\underline{\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=8,57<22,12=\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}}}</math> |
Der Nachweis ist erfüllt. | Der Nachweis ist erfüllt. | ||
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| + | =Vordimensionierung der Biegeschlankheit= | ||
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| + | ==Ermittlung der erforderlichen Nutzhöhe== | ||
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| + | Bei dem betrachteten System handelt es sich um einen frei drehbar gelagerten Einfeldträger: | ||
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| + | <math>\alpha_i=1,0</math> | ||
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| + | <math>l_i=\alpha_i\cdot l_{eff}=1,0\cdot6=6m</math> | ||
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| + | <math>k_c=\left(\frac{f_{ck,0}}{f_{ck}}\right)^\frac{1}{6}=\left(\frac{20}{30}\right)^\frac{1}{6}=0,93</math> | ||
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| + | Die Verformung soll auf <math>\frac{l}{500}</math> begrenzt werden, da verformungsempfindliche Bauteile angrenzen. Der Wert für <math>\lambda_i</math> wurde linear interpoliert. | ||
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| + | <math>\lambda_i=14,6</math> | ||
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| + | <math>erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c=\frac{6}{14,6}\cdot 0,93=0,38m=38cm </math> | ||
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| + | ==Nachweis== | ||
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| + | <math>\underline{\underline{erf \ d=38cm<70cm= vorh \ d}}</math> | ||
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| + | Der Nachweis ist erfüllt. | ||
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| + | =Vergleich des Verfahrens nach EC2 und der Vordimensionierung= | ||
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| + | Mittels des Verfahrens nach EC2 würde sich folgende, erforderliche, statische Nutzhöhe ergeben: | ||
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| + | <math>\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=22,12\qquad\rightarrow\qquad erf \ d=27,12cm</math> | ||
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| + | Vergleicht man die erforderlichen statischen Nutzhöhen wird ersichtlich, dass das Ergebnis, welches sich gemäß der Vordimensionierung ergibt, auf der sicheren Seite liegt. | ||
<references /> | <references /> | ||
Version vom 26. August 2024, 20:50 Uhr
Auf dieser Seite wird die indirekten Verformungsberechnung an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der indirekten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
Aufgabenstellung
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. An das betrachtete Bauteil Grenzen verformungsempfindliche Bauteile an.
- leff=6m (Einfeldträger - freidrehbar gelagert)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}} (Kurzzeitbelastung)
- b/h=35cm/75cm
- d=70cm
- B500A
- Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²; As,erf=17,68cm²)
- C 30/37
Verfahren nach EC2
Vorbereitende Berechnung
Im Folgenden wird die Stahlspannung unter der Belastung im GZG ermittelt, sodass der Faktor k1 bestimmt werden kann.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot 6^2}{8}=299,25kNm=29925kNcm}
Es wird mit einer Vereinfachung für den Hebelarm der Inneren Kräfte gerechnet.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0,9\cdot d=0,9\cdot 70=63cm}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{s1}=\frac{M_{Ed,perm}}{z\cdot A_{s1,vorh}}=\frac{29925}{63\cdot19,64}=24,19\frac{kN}{cm^2}=241,9\frac{N}{mm^2}}
Ermittlung der zulässigen Biegeschlankheit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=\frac{A_{s1,erf}}{b\cdot d}=\frac{17,68}{35\cdot 70}=0,0072=7,2\cdot10^{-3}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_0=\sqrt{f_{ck}}\cdot 10^{-3}=\sqrt{30}\cdot10^{-3}=5,5\cdot10^{-3}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=7,2\cdot10^{-3}>5,5\cdot10^{-3}=\rho_0\qquad\Rightarrow\qquad\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho'}{\rho_0}\right)^{\frac{1}{2}}\right]}
Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger: K=1
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq 1\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{30}\cdot\frac{5,5}{7,2}\right]}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}} darf im weiteren durch den Faktor k1 modifiziert werden. Die Faktoren k2 und k3 entfallen, da es sich um einen Rechteckquerschnitt handelt und die Stützweite <7m ist.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1=\frac{310}{241}=1,28}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28\cdot 1,28=22,12}
Im Folgenden ist zu überprüfen, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}} kleiner ist als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}} (der kleiner Wert ist maßgebend).
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35=1\cdot35=35\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l [m]}=1^2\cdot \frac{150}{6}=25\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}}
Nachweis
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=\frac{600}{70}=8,57}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=8,57<22,12=\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}}}}
Der Nachweis ist erfüllt.
Vordimensionierung der Biegeschlankheit
Ermittlung der erforderlichen Nutzhöhe
Bei dem betrachteten System handelt es sich um einen frei drehbar gelagerten Einfeldträger:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i=1,0}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_i=\alpha_i\cdot l_{eff}=1,0\cdot6=6m}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_c=\left(\frac{f_{ck,0}}{f_{ck}}\right)^\frac{1}{6}=\left(\frac{20}{30}\right)^\frac{1}{6}=0,93}
Die Verformung soll auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{l}{500}} begrenzt werden, da verformungsempfindliche Bauteile angrenzen. Der Wert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i} wurde linear interpoliert.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i=14,6}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c=\frac{6}{14,6}\cdot 0,93=0,38m=38cm }
Nachweis
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{erf \ d=38cm<70cm= vorh \ d}}}
Der Nachweis ist erfüllt.
Vergleich des Verfahrens nach EC2 und der Vordimensionierung
Mittels des Verfahrens nach EC2 würde sich folgende, erforderliche, statische Nutzhöhe ergeben:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=22,12\qquad\rightarrow\qquad erf \ d=27,12cm}
Vergleicht man die erforderlichen statischen Nutzhöhen wird ersichtlich, dass das Ergebnis, welches sich gemäß der Vordimensionierung ergibt, auf der sicheren Seite liegt.
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