Brandschutznachweis Stahlbetonstütze (Bsp.)

Methode A (Tafel)

Gegeben:

Stahlbetonpendelstütze:
- unverschieblich
- beidseitig gelenkig gelagert
- Nutzung als Verkaufsraum
- allseitig beflammt
- gefordert: R60

Einwirkungen

Querschnitts- und Systemabmessungen

$\begin{array}{l}b/h=30/30\\ l=3m\\ \frac{d_1}{h}=\frac{0,054}{0,3}=0,18\approx 0,2\end{array}$

auf sichere Seite gerundet

Schnittgrößen

$\begin{array}{l}{N}_{Ed}=1,35\cdot 400+1,5\cdot 200=840kN\\ M_{Ed}=66,3kNm\end{array}$

ohne Rechnung, einschließlich Theorie II. Ordnung

Kaltbemessung

Bezogene Schnittgrößen

$\begin{array}{l}{\nu }_{Ed}=\frac{N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}=\frac{-840}{30\cdot 30\cdot 0,85\cdot \frac{2,0}{1,5}}=-0,82\\ {\mu }_{Ed}=\frac{M_{Ed}}{b\cdot h^2\cdot f_{cd}}=\frac{6630}{30\cdot 30{}^{\text{2}}\cdot 0,85\cdot \frac{2,0}{1,5}}=0,22\end{array}$

Interaktionsdiagramm

Ermittlung des mechanischen Bewehrungsgrades, ${\omega }_{tot}=0,56$

$A_s={\omega }_{tot}\cdot \frac{b\cdot h}{f_{yd}/f_{cd}}=0,56\cdot \frac{0,3\cdot 0,3}{\frac{50}{1,15}/(0,85\cdot \frac{2}{1,5})}=13,09cm{}^{\text{2}}$

gewählt: 2x 6ø12, $A_s=13,57cm{}^{\text{2}}$

Heißbemessung

Bedingungen

- Bewehrungsgrad $\frac{13,57}{30\cdot 30}=0,015\le 0,04$ - $l_{0,fi}=3\le 3$

Bemessung nach Tafel legitimiert.

Außergewöhnliche Einwirkungskombination während des Brandfalls

$N_{Ed,fi}=N_G+{\psi }_2\cdot N_Q=400+0,6\cdot 200=520kN$

Ermittlung des Reduktionsfaktors

${\eta }_{fi}=\frac{N_{Ed,fi}}{N_{Ed}}=\frac{520}{840}=0,62$

Bezogene Schnittgrößen

(vereinfacht mit $0,62\cdot {\nu }_{Ed}$ oder genauer mit ${\alpha }_{cc}=1,0$):

$\begin{array}{l}{\nu }_{Ed,fi,t}=\frac{N_{Ed,fi}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}=\frac{-520}{30\cdot 30\cdot \frac{2,0}{1,5}}=-0,43\\ {\mu }_{Ed,fi,t}=\frac{M_{Ed,fi}}{b\cdot h^2\cdot f_{cd}}=\frac{0,62\cdot 6630}{30\cdot 30{}^{\text{2}}\cdot \frac{2,0}{1,5}}=0,11\end{array}$

Mechanischer Bewehrungsgrad

bei Berücksichtigung von ${\alpha }_{cc}=1,0$:

${\omega }_{vorh}=\frac{A_{s,vorh}\cdot (f_{yd}/f_{cd})}{b\cdot h}=\frac{13,57\cdot (\frac{50}{1,15}/\frac{2,0}{1,5})}{30\cdot 30}=0,49$

Ermittlung der zulässigen bezogenen Normalkraft mithilfe des Interaktionsdiagramms

Vom Diagrammnullpunkt über den Schnittpunkt der bezogenen heißbemessenen Schnittgrößen wird der mechanische Bewehrungsgrad angezielt und damit ${\nu }_{Ed,fi,t,zul}=-0,79$ abgelesen.
Der Bemessungswiderstand der Normalkraft ergibt sich durch Wiedereinführen der Abmessungen:

$N_{Rd}={\nu }_{Ed,fi,t,zul}\cdot b\cdot h\cdot f_{cd}=-0,79\cdot 30\cdot 30\cdot \frac{2}{1,5}=-948kN$

Das Verhältnis aus Einwirkung und Widerstand ergibt den Ausnutzungsgrad

${\mu }_{fi}=\frac{N_{Ed,fi,t}}{N_{Rd}}=\frac{-520}{-948}=0,55$

Durch Interpolation ergeben sich in der Tafel des Eurocode 2 für Methode A mit geforderter Brandwiderstandsdauer von 60 Minuten die folgenden Mindestabmessungen und Achsabstände:

212,5mm/38,5mm oder 312,5mm/33,25mm

Stütze mit 300mm/54mm eingehalten, Nachweis erfüllt.

Anmerkungen:
In der Vergleichsrechnung mit dem Modul S402.de wird die „kalte“ Einwirkungskombination mit ${\gamma }_{G,\inf }$ , jedoch auch mit ${\gamma }_{Q,\sup }$ berechnet. Weiterhin ist der Bemessungswert der „heißen“ Einwirkungskombination nicht nachzuvollziehen. Als Konsequenz ergibt sich ein höherer Ausnutzungsfaktor und eine entsprechend höhere Forderung zum Einhalten der Forderung R60.
Eine Nachweisführung mit Methode B kann in diesem Fall nicht erfolgen, weil die Stütze eine Schlankheit von 30 als Bedingung übersteigt.

Methode A (Gleichung)

Grundlage sind das System und die Einwirkungen aus Beispiel (Methode A).
Die Vorgehensweise zu Ermittlung des Ausnutzungsgrades ist dieselbe.

Mechanischer Bewehrungsgrad

${\omega }_{vorh}=\frac{A_{s,vorh}\cdot (f_{yd}/f_{cd})}{b\cdot h}=\frac{13,57\cdot (\frac{50}{1,15}/0,85\cdot \frac{2,0}{1,5})}{30\cdot 30}=0,58$

Ermittlung der Summanden

$\begin{array}{l}{R}_{\eta ,fi}=83\cdot (1-{\mu }_{fi}\cdot \frac{1+\omega }{(0,85/{\alpha }_{cc})+\omega })=83\cdot (1-0,55\cdot \frac{1+0,58}{(0,85/1)+0,58})=32,56\\ R_a=1,6\cdot (a-30)=1,6\cdot (54-30)=38,4\\ R_l=9,6\cdot (5-l_{0,fi})=9,6\cdot (5-3)=19,2\\ R_b=0,09\cdot b^{\prime }=0,09\cdot \frac{2\cdot A_c}{b+h}=0,09\cdot \frac{2\cdot (300{}^{\text{2}}-1357)}{300+300}=26,59\\ R_n=12\end{array}$

Ermittlung der Branddauer

$R=120\cdot {\left(\frac{R_{\eta ,fi}+R_a+R_l+R_b+R_n}{120}\right)}^{1,8}=120\cdot {\left(\frac{32,56+38,4+19,2+26,59+12}{120}\right)}^{1,8}=136\min$

Nachweis erfüllt.

Methode B

Grundlage sind das System und die Einwirkungen aus Beispiel (Methode A). Die Länge wird hier mit $l=2,5m$ vorgegeben. Das Moment nach Theorie II. Ordnung ergibt sich zu $M_{Ed,2}=65,25kNm$.

Mechanischer Bewehrungsgrad

$\omega =\frac{A_s\cdot f_{yd}}{A_c\cdot f_{cd}}=\frac{13,57\cdot \frac{50}{1,15}}{({30}^2-13,57)\cdot 0,85\cdot \frac{2}{1,5}}=0,59a$

Außergewöhnliche Einwirkungskombination während des Brandfalls

$N_{Ed,fi}=N_G+{\psi }_2\cdot N_Q=400+0,6\cdot 200=520kN$

Ermittlung des Reduktionsfaktors

${\eta }_{fi}=\frac{N_{Ed,fi}}{N_{Ed}}=\frac{520}{840}=0,62$

Ermittlung des Ausnutzungsgrades

$n=\frac{N_{Ed,fi}}{0,7\cdot (A_c\cdot f_{cd}+A_s\cdot f_{yd})}=\frac{520}{0,7\cdot [(30{}^{\text{2}}-13,57)\cdot 0,85\cdot \frac{2}{1,5}+13,57\cdot \frac{50}{1,15}]}=0,47$

Zulässige Knicklänge

${\lambda }_{fi,t}=\frac{l_{0,fi}}{i}=\frac{l_{0,fi}}{\sqrt{\frac{I}{A}}}=\frac{250}{\sqrt{\frac{{30}^4/12}{{30}^2}}}=28,87\le 30$

Zulässige Ausmitte

$e=\frac{M_{0,Ed,fi}}{N_{Ed,fi}}=\frac{0,62\cdot 65,25}{520}=0,079m>b\cdot 0,25=0,075m$

Bedingung nicht erfüllt, ein Eingang in die Tafel ist hinfällig.