Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

Handrechnung

Einwirkungen

Betongüte: C25/30
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm
statische Nutzhöhe: d = 25cm
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung vorbemessen und etwas erhöht:
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, ${{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^{\text{2}}$

Planmäßige und ungewollte Ausmitte

${\begin{array}{l}{{e}_{0}}={\frac {{M}_{Ed}}{{N}_{Ed}}}={\frac {90}{200}}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot 1}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot 1}}\cdot {\frac {6}{2}}=0,015m\end{array}}$

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von :

Mittlere Betondruckfestigkeit

${{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^{\text{2}}$

Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze

${\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^{\text{2}}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^{\text{2}}\end{array}}$

Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit

${{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot {\frac {30\cdot {{30}^{2}}}{6}}=1170kNcm$

Dehnungen im ungerissenen Zustand

${{\varepsilon }_{c,cr1}}={\frac {{f}_{ctm}}{{E}_{cm}}}={\frac {-0,26}{3100}}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

${{\varepsilon }_{s,cr1}}={\frac {{z}_{s1}}{h/2}}\cdot {\frac {{f}_{ctm}}{{E}_{cm}}}=\left({\frac {10}{15}}\cdot {\frac {0,26}{3100}}\right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

Resultierende Krümmung im Zustand I

${{\kappa }_{I,II}}={\frac {\left|{{\varepsilon }_{c,cr1}}\right|+\left|{{\varepsilon }_{s,cr1}}\right|}{d}}={\frac {0,0839+0,0559}{0,25}}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}$

Verhältnis der E-Moduln

${{\alpha }_{e}}={\frac {{E}_{s}}{{E}_{cm}}}={\frac {200000}{31000}}=6,4516$

Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

${{\rho }_{l}}={\frac {{A}_{s}}{b\cdot d}}={\frac {18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}}=0,0123$

Anteil der Betondruckzone

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+\sqrt{\left( {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}} \right){}^\text{2}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{\left( 6,4516\cdot 0,0123 \right){}^\text{2}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}}

Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -{{\sigma }_{c2}}=\frac{{{M}_{cr}}}{\frac{\xi }{2}\cdot \left( 1-\frac{\xi }{3} \right)\cdot b\cdot d{}^\text{2}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot \left( 1-\frac{0,3269}{3} \right)\cdot 30\cdot 25{}^\text{2}}=0,4285kN/cm{}^\text{2}}

Betonstauchung im Zustand II

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\varepsilon }_{c,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{c2}}}{{{E}_{cm}}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;}

Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment

${{\sigma }_{s}}={\frac {1-\xi }{\xi }}\cdot \left(-{{\sigma }_{c2}}\right)\cdot {{\alpha }_{e}}={\frac {1-0,3269}{0,3269}}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^{\text{2}}$

Stahldehnung im Zustand II

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\varepsilon }_{s,cr2}}=\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;}

mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\omega }_{II}}=\frac{{{A}_{s}}}{b\cdot d}\cdot \frac{{{f}_{yR}}}{{{f}_{cd}}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375}

Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\varepsilon }_{s}}=\frac{{{f}_{yR}}}{{{E}_{s}}}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;}

Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}}

Fließmoment

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm}

Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left( {{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}} \right)=2,75-0,4\cdot \left( 0,2846-0,0559 \right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup\!\!{}_{oo}\;}

zugehörige Mittlere Krümmung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\kappa }_{y}}=\frac{{{\varepsilon }_{smy}}+\left| {{\varepsilon }_{c}} \right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}}

Wertepaare:

${\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}}$

Momenten-Krümmungs-Diagramm

Numerische Integration

Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m
Beschreibung der Simpson-Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l}w\left( 3m \right)=\frac{\Delta x}{3}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline{M}}_{i}}\end{array}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w\left( 3m \right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}}

Gesamtausmitte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m~}

resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung

${{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm$

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

mb-Berechnung

Quellen

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