Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

Handrechnung

Einwirkungen

Betongüte: C25/30
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm
statische Nutzhöhe: d = 25cm
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung vorbemessen und etwas erhöht:
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, $A_{s,vorh}=18,47cm{}^{\text{2}}$

Planmäßige und ungewollte Ausmitte

$\begin{array}{l}{e}_0=\frac{M_{Ed}}{N_{Ed}}=\frac{90}{200}=0,45m\\ e_i={\mathrm{\Theta }}_i\cdot \frac{l_0}{2}=\frac{1}{200\cdot {\alpha }_h}\cdot \frac{l_0}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{l_0}{2}=\frac{1}{200\cdot 1}\cdot \frac{6}{2}=0,015m\end{array}$

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von :

Mittlere Betondruckfestigkeit

$f_{cd}=085\cdot {\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^{\text{2}}$

Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze

$\begin{array}{l}{f}_{yR}=1,1\cdot f_{yk}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^{\text{2}}\\ f_{tR}=1,08\cdot f_{yR}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^{\text{2}}\end{array}$

Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit

$M_{cr}=f_{ctm}\cdot W=0,26\cdot \frac{30\cdot {30}^2}{6}=1170kNcm$

Dehnungen im ungerissenen Zustand

${\epsilon }_{c,cr1}=\frac{f_{ctm}}{E_{cm}}=\frac{-0,26}{3100}\cdot 1000=0,0839{}^o╱{}_{oo}$

${\epsilon }_{s,cr1}=\frac{z_{s1}}{h/2}\cdot \frac{f_{ctm}}{E_{cm}}=(\frac{10}{15}\cdot \frac{0,26}{3100})\cdot 1000=0,0559{}^o╱{}_{oo}$

Resultierende Krümmung im Zustand I

${\kappa }_{I,II}=\frac{\left|{\epsilon }_{c,cr1}\right|+\left|{\epsilon }_{s,cr1}\right|}{d}=\frac{0,0839+0,0559}{0,25}\cdot {10}^{-3}=0,559\cdot {10}^{-3}{m}^{-1}$

Verhältnis der E-Moduln

${\alpha }_e=\frac{E_s}{E_{cm}}=\frac{200000}{31000}=6,4516$

Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

${\rho }_l=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}=0,0123$

Anteil der Betondruckzone

$\begin{array}{l}\xi =-{\alpha }_e\cdot {\rho }_l+\sqrt{({\alpha }_e\cdot {\rho }_l){}^{\text{2}}+2\cdot {\alpha }_e\cdot {\rho }_l}\\ =-6,4516\cdot 0,0123+\sqrt{(6,4516\cdot 0,0123){}^{\text{2}}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}=0,3269\end{array}$

Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment

$-{\sigma }_{c2}=\frac{M_{cr}}{\frac{\xi }{2}\cdot (1-\frac{\xi }{3})\cdot b\cdot d{}^{\text{2}}}=\frac{1170}{\frac{0,3269}{2}\cdot (1-\frac{0,3269}{3})\cdot 30\cdot 25{}^{\text{2}}}=0,4285kN/cm{}^{\text{2}}$

Betonstauchung im Zustand II

${\epsilon }_{c,cr2}=\frac{{\sigma }_{c2}}{E_{cm}}=\frac{-4,285}{31000}\cdot 1000=-0,1382{}^o╱{}_{oo}$

Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment

${\sigma }_s=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot (-{\sigma }_{c2})\cdot {\alpha }_e=\frac{1-0,3269}{0,3269}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^{\text{2}}$

Stahldehnung im Zustand II

${\epsilon }_{s,cr2}=\frac{{\sigma }_s}{E_s}=\frac{56,92}{200000}\cdot 1000=0,2846{}^o╱{}_{oo}$

mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

${\omega }_{II}=\frac{A_s}{b\cdot d}\cdot \frac{f_{yR}}{f_{cd}}=\frac{18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}\cdot \frac{550}{18,06}=0,375$

Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze

${\epsilon }_s=\frac{f_{yR}}{E_s}=\frac{550}{200000}\cdot 1000=2,75{}^o╱{}_{oo}$

Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms

$\begin{array}{l}{\epsilon }_c=-2,4{}^o╱{}_{oo}\\ \varsigma =0,81\\ z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}$

Fließmoment

$M_y=F_{sd}\cdot z=A_s\cdot f_{yR}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm$

Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung

${\epsilon }_{smy}={\epsilon }_{sy}-{\beta }_t\cdot ({\epsilon }_{sr2}-{\epsilon }_{sr1})=2,75-0,4\cdot (0,2846-0,0559)=2,66{}^o╱{}_{oo}$

zugehörige Mittlere Krümmung

${\kappa }_y=\frac{{\epsilon }_{smy}+\left|{\epsilon }_c\right|}{d}=\frac{2,66+2,4}{0,25}\cdot {10}^{-3}=20,23\cdot {10}^{-3}{m}^{-1}$

Wertepaare:

$\begin{array}{l}{M}_{I,II}=11,7kNm\\ {\kappa }_{I,II}=0,4659\cdot {10}^{-3}{m}^{-1}\\ M_y=102,85kNm\\ {\kappa }_y=20,23\cdot {10}^{-3}{m}^{-1}\end{array}$

Momenten-Krümmungs-Diagramm

Numerische Integration

Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m
Beschreibung der Simpson-Formel:

$\begin{array}{l}w\left(3m\right)=\frac{\mathrm{\Delta }x}{3}\cdot (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+4y_5+2y_6+4y_7+2y_8+4y_9+y_{10})\\ \\ y_i={\kappa }_i\cdot {\bar{M}}_i\end{array}$

$w\left(3m\right)=\frac{0,3}{3}\cdot 0,4926=0,04926m=e_2$

Gesamtausmitte

$e_{tot}=e_1+e_i+e_2=0,45+0,015+0,04926=0,51m$

resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung

$M_{Ed,2}=N_{Ed}\cdot e_{tot}=200\cdot 0,51=102kNm$

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

mb-Berechnung

Quellen

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