Verformungsnachweis - indirekte Berechnung (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die indirekten Verformungsberechnung an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der indirekten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 66,5 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. An das betrachtete Bauteil Grenzen verformungsempfindliche Bauteile an.

• l_eff=6m (Einfeldträger - freidrehbar gelagert)
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}} (Kurzzeitbelastung)
• b/h=35cm/75cm
• d=70cm
• B500A
• Längsbewehrung: 4⌀25 (A_s,vorh=19,64cm²; A_s,erf=17,68cm²)
• C 30/37

Verfahren nach EC2

Vorbereitende Berechnung

Im Folgenden wird die Stahlspannung unter der Belastung im GZG ermittelt, sodass der Faktor k₁ bestimmt werden kann.

$M_{Ed,perm}={\frac {p_{Ed,perm}\cdot l^{2}}{8}}={\frac {66,5\cdot 6^{2}}{8}}=299,25kNm=29925kNcm$

Es wird mit einer Vereinfachung für den Hebelarm der Inneren Kräfte gerechnet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=0,9\cdot d=0,9\cdot 70=63cm}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_{s1}=\frac{M_{Ed,perm}}{z\cdot A_{s1,vorh}}=\frac{29925}{63\cdot19,64}=24,19\frac{kN}{cm^2}=241,9\frac{N}{mm^2}}

Ermittlung der zulässigen Biegeschlankheit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=\frac{A_{s1,erf}}{b\cdot d}=\frac{17,68}{35\cdot 70}=0,0072=7,2\cdot10^{-3}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_0=\sqrt{f_{ck}}\cdot 10^{-3}=\sqrt{30}\cdot10^{-3}=5,5\cdot10^{-3}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=7,2\cdot10^{-3}>5,5\cdot10^{-3}=\rho_0\qquad\Rightarrow\qquad\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq K\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\frac{\rho_0}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\cdot\sqrt{f_{ck}}\cdot\left(\frac{\rho'}{\rho_0}\right)^{\frac{1}{2}}\right]}

Bei dem statischen System handelt es sich um einen Einfeldträger: K=1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}\leq 1\cdot\left[11+1,5\cdot\sqrt{30}\cdot\frac{5,5}{7,2}\right]}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}} darf im weiteren durch den Faktor k₁ modifiziert werden. Die Faktoren k₂ und k₃ entfallen, da es sich um einen Rechteckquerschnitt handelt und die Stützweite <7m ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1=\frac{310}{241}=1,28}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=17,28\cdot 1,28=22,12}

Im Folgenden ist zu überprüfen, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}} kleiner ist als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}} (der kleiner Wert ist maßgebend).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}= K\cdot 35=1\cdot35=35\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l [m]}=1^2\cdot \frac{150}{6}=25\qquad\Rightarrow\qquad\text{nicht maßgebend}}

Nachweis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=\frac{600}{70}=8,57}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{\left(\frac{l}{d}\right)_{vorh}=8,57<22,12=\left(\frac{l}{d}\right)_{zul}}}}

Der Nachweis ist erfüllt.

Vordimensionierung der Biegeschlankheit

Ermittlung der erforderlichen Nutzhöhe

Bei dem betrachteten System handelt es sich um einen frei drehbar gelagerten Einfeldträger:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i=1,0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_i=\alpha_i\cdot l_{eff}=1,0\cdot6=6m}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_c=\left(\frac{f_{ck,0}}{f_{ck}}\right)^\frac{1}{6}=\left(\frac{20}{30}\right)^\frac{1}{6}=0,93}

Die Verformung soll auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{l}{500}} begrenzt werden, da verformungsempfindliche Bauteile angrenzen. Der Wert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_i} wurde linear interpoliert.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \lambda _{i}=14,6}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle erf \ d =\frac{l_i}{\lambda_i}\cdot k_c=\frac{6}{14,6}\cdot 0,93=0,38m=38cm }

Nachweis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{\underline{erf \ d=38cm<70cm= vorh \ d}}}

Der Nachweis ist erfüllt.

Vergleich des Verfahrens nach EC2 und der Vordimensionierung

Mittels des Verfahrens nach EC2 würde sich folgende, erforderliche, statische Nutzhöhe ergeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\frac{l}{d}\right)_{zul}=22,12\qquad\rightarrow\qquad erf \ d=27,12cm}

Vergleicht man die erforderlichen statischen Nutzhöhen wird ersichtlich, dass das Ergebnis, welches sich gemäß der Vordimensionierung ergibt, auf der sicheren Seite liegt.

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