Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit.

Aufgabenstellung

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
Stahl B 500 A
Ständige Last (Stützenkopf) $N_{G k} = - 1.250, 0 k N$
Nutzlast (Stützenkopf) $N_{Q k} = - 750, 0 k N$ (Nutzlastkategorie C)
Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

Handrechnung

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

$N_{E d} = γ_{G} \cdot N_{G k} + γ_{Q} \cdot N_{Q k} = 1, 35 \cdot (- 1250 k N) + 1, 5 \cdot \cdot (- 750 k N) = - 2.812, 5 k N$

$M_{E d, y, I} = M_{E d, z, I} = 0 k N m$

Knicklänge

$l_{c o l} = 6, 00 m$

$β = 1, 0$ für das gegebene statische System (Pendelstütze)

$l_{0} = β \cdot l_{c o l} = 1, 0 \cdot 6, 00 m = 6, 00 m$

Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung

$λ = \frac{l_{0}}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{600 c m}{35 c m / \sqrt{12}} = 59, 38$

$v_{E d} = \frac{N_{E d}}{b \cdot h \cdot f_{c d}} = \frac{- 2.812, 5 k N}{35 c m \cdot 35 c m \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = - 1, 62$

$λ_{c r i t} = \frac{16}{\sqrt{| v_{E d}}} = \frac{16}{\sqrt{- 1, 62}} = 12, 57$

$λ_{v o r h} > m a x (25; \frac{16}{\sqrt{| v_{E d} |}})$

$59, 38 > 25$

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

Nennsteifigkeit

E-Moduln

$E_{c d} = \frac{E_{c m}}{γ_{C E}} = \frac{31.000 N / m m^{2}}{1, 5} = 20.667 N / m m^{2} = 2.066, 7 k N / c m^{2}$

$E_{s} = 200.000 N / m m^{2}$

Flächenträgheitsmoment des Betons

$I_{c} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} = \frac{35 c m \cdot (35 c m)^{2}}{12} = 125.052 c m^{4}$

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

$e_{0} = 0 c m$

$α_{h} = \frac{2}{\sqrt{l}} = \frac{2}{\sqrt{6, 0}} = 0, 816$

$θ_{i} = \frac{1}{200} \cdot α_{h} = \frac{1}{200} \cdot 0, 816 = \frac{1}{245}$

$e_{i} = θ_{i} \cdot \frac{l_{0}}{2} = \frac{1}{245} \cdot \frac{600 c m}{2} = 1, 22 c m$

Vorbemessung

Wirksame Bauteildicke

$h_{0} = \frac{2 \cdot A_{c}}{u} = \frac{2 \cdot (35 c m)^{2}}{4 \cdot 35 c m} = 17, 5 c m$

Endkriechzahl

Erstbelastung des Betons: $t_{0} = 28$ Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

$ϕ_{\infty, t 0} = 2, 8$ nach Schneider 5.33

Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination

$M_{1, p e r m} = (| N_{G k} | + ψ_{2} \cdot | N_{Q k} |) \cdot e_{i} = (1.250 k N + 0, 6 \cdot 750 k N) \cdot 0, 0122 m = 20, 74 k N m$

$M_{1, E d} = (γ_{G k} \cdot | N_{G k} | + γ_{Q k} \cdot | N_{Q k} |) \cdot e_{i} = (1, 35 \cdot 1.250 k N + 1, 5 \cdot 750 k N) \cdot 0, 0122 m = 34, 31 k N m$

Effektive Kriechzahl

$ϕ_{e f} = ϕ_{\infty, t 0} \cdot \frac{M_{1, p e r m}}{M_{E d}} = 2, 8 \cdot \frac{20, 74 k N m}{34, 31 k N m} = 1, 69$

Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel

$K_{s} = 0$

$K_{c} = \frac{0, 3}{(1 + 0, 5 \cdot ϕ_{e f})} = \frac{0, 3}{(1 + 0, 5 \cdot 1, 69)} = 0, 163$

Vorläufige Nennsteifigkeit

$E I = K_{c} \cdot E_{c d} \cdot I_{c} + K_{s} \cdot E_{s} \cdot I_{s} = 0, 163 \cdot 2.066, 7 k N / c m^{2} \cdot 125.052 c m^{4} + 0 = 42.126.530 k N c m^{2}$

Knicklast

$N_{B} = \frac{E I \cdot π^{2}}{l_{0}^{2}} = \frac{42.126.530 k N c m^{2} \cdot π^{2}}{(600 c m)^{2}} = 1.154, 9 k N$

Beiwert für den Momentenverlauf

Das Moment stammt aus der Lastausmitte $e_{i}$ für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt $c_{0} = 12$ .

$β = \frac{π^{2}}{c_{0}} = \frac{π^{2}}{12} = 0, 822$

Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung

$M_{E d} = M 0 E d \cdot (1 + \frac{β}{N_{B} / N_{E d} - 1})$

$= 3.431 k N c m \cdot (1 + \frac{0, 822}{1.154, 9 k N / 2.812, 5 k N - 1}) = 3.431 k N c m = 3.431 k N c m \cdot (- 0, 39)$

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast $N_{B}$ kleiner ist als die einwirkende Normalkraft $N_{E d}$ . Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung

$M_{E d} = | N_{E d} | \cdot \frac{h}{20} = | - 2.812, 5 k N | \cdot \frac{35 c m}{20} = 4.922 k N c m = 49, 22 k N m$

$c_{n o m} = c_{m i n} + δ c_{d e v} = 10 m m + 10 m m = 20 m m$

$d_{1} = c_{n o m} + \emptyset_{s, B u} + \emptyset_{s, L} / 2 = 2, 0 + 1, 0 + 2, 0 / 2 = 4, 0 c m$

$d = h - d_{1} = 35 c m - 4 c m = 31 c m$

Vorbemessung mit Bewehrungswahl

$\frac{d_{1}}{h} = \frac{4 c m}{35 c m} = 0, 11 \approx 0, 10$

$μ_{E d} = \frac{M_{E d}}{b \cdot h^{2} \cdot f_{c d}} = \frac{4.922 k N c m}{35 c m \cdot (35 c m)^{2} \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = 0, 081$

$ν_{E d} = \frac{N_{E d}}{b \cdot h \cdot f_{c d}} = \frac{- 2.812, 5 k N}{35 c m \cdot 35 c m \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = - 1, 62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider^[1])

$ω_{t o t} = 0, 865$

$A_{s, t o t} = ω_{t o t} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{c d}}{f y d} = 0, 865 \cdot 35 c m \cdot 35 c m \cdot \frac{1, 42 k N / c m^{2}}{43, 5 k N / c m^{2}} = 34, 59 c m^{2}$

Gewählt: $12 \emptyset 20 m m$ mit $A_{s, v o r h} = 37, 68 c m^{2}$

Skizze:

Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

Genauere Steifigkeitsbeiwerte

$K_{s} = 1$

$k_{1} = \sqrt{f_{c k} / 20} = \sqrt{25 / 20} = 1, 12$

$k_{2} = ν_{E d} \cdot \frac{λ}{170} = 1, 62 \cdot \frac{59, 38}{170} = 0, 57 \leq 0, 20$

$K_{c} = \frac{k_{1} \cdot k_{2}}{(1 + ϕ_{e f}} = \frac{1, 12 \cdot 0, 20}{(1 + 1, 69} = 0, 083$

Flächenträgheitsmoment der Bewehrung

Insgesamt $12 \emptyset 20 m m$ mit je $A_{s} = 3, 14 c m^{2}$ .

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand $s_{1} = 13, 5 c m$ und 4 Stäbe mit Abstand $s_{2} = 9, 5 c m$ .

$I_{s} = 12 \cdot \frac{π \cdot d^{4}}{64} + 8 \cdot A_{s} \cdot s_{1}^{2} + 4 \cdot A_{s} \cdot s_{2}^{2}$

$= 12 \cdot \frac{π \cdot (2, 0 c m)^{4}}{64} + 8 \cdot 3, 14 c m^{2} \cdot (13, 5 c m)^{2} + 4 \cdot 3, 14 c m^{2} \cdot (9, 5 c m)^{2}$

$= 9 c m^{4} + 4.578 c m^{4} + 1.134 c m^{4} = 5.721 c m^{4}$

Bemessung

Nennsteifigkeit

$E I = K_{c} \cdot E_{c d} \cdot I_{c} + K_{s} \cdot E_{s} \cdot I_{s} = 0, 083 \cdot 2.066, 7 k N / c m^{2} \cdot 125.052 c m^{4} + 1, 0 \cdot 20.000 k N / c m^{2} \cdot 5.721 c m^{4} = 135.870.932 k N c m^{2}$

Knicklast

$N_{B} = \frac{E I \cdot π^{2}}{l_{0}^{2}} = \frac{135.870.932 k N c m^{2} \cdot π^{2}}{(600 c m)^{2}} = 3.724, 98 k N$

Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung

$M_{E d} = M 0 E d \cdot (1 + \frac{β}{N_{B} / N_{E d} - 1}) = 3.431 k N c m \cdot (1 + \frac{0, 822}{3.724, 98 k N / 2.812, 5 k N - 1}) = 3.431 k N c m = 12.124 k N c m$

Bewehrungswahl

$μ_{E d} = \frac{M_{E d}}{b \cdot h^{2} \cdot f_{c d}} = \frac{12.124 k N c m}{35 c m \cdot (35 c m)^{2} \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = 0, 199$

$ν_{E d} = \frac{N_{E d}}{b \cdot h \cdot f_{c d}} = \frac{- 2.812, 5 k N}{35 c m \cdot 35 c m \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = - 1, 62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

$ω_{t o t} = 1, 22$

$A_{s, t o t} = ω_{t o t} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{c d}}{f y d} = 1, 22 \cdot 35 c m \cdot 35 c m \cdot \frac{1, 42 k N / c m^{2}}{43, 5 k N / c m^{2}} = 48, 79 c m^{2}$

Damit ist $A_{s, v o r h} = 37, 68 c m^{2} < 48, 79 c m^{2} = A_{s, e r f}$ . Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe

Erhöhung von $12 \emptyset 20 m m$ auf $16 \emptyset 20 m m$ . Neues $A_{s, v o r h} = 50, 24 c m^{2}$ .

Flächenträgheitsmoment der Bewehrung

Insgesamt $16 \emptyset 20 m m$ mit je $A_{s} = 3, 14 c m^{2}$ . Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand $s_{1} = 13, 5 c m$ , 4 Stäbe mit Abstand $s_{2} = 9, 5 c m$ und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

$I_{s} = 16 \cdot \frac{π \cdot d^{4}}{64} + 10 \cdot A_{s} \cdot s_{1}^{2} + 4 \cdot A_{s} \cdot s_{2}^{2}$

$= 16 \cdot \frac{π \cdot (2, 0 c m)^{4}}{64} + 10 \cdot 3, 14 c m^{2} \cdot (13, 5 c m)^{2} + 4 \cdot 3, 14 c m^{2} \cdot (9, 5 c m)^{2}$

$= 13 c m^{4} + 5.723 c m^{4} + 1.134 c m^{4} = 6.870 c m^{4}$

Bemessung

Nennsteifigkeit

$E I = K_{c} \cdot E_{c d} \cdot I_{c} + K_{s} \cdot E_{s} \cdot I_{s} = 0, 083 \cdot 2.066, 7 k N / c m^{2} \cdot 125.052 c m^{4} + 1, 0 \cdot 20.000 k N / c m^{2} \cdot 6.870 c m^{4} = 158.850.932 k N c m^{2}$

Knicklast

$N_{B} = \frac{E I \cdot π^{2}}{l_{0}^{2}} = \frac{158.850.932 k N c m^{2} \cdot π^{2}}{(600 c m)^{2}} = 4.354, 99 k N$

Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung

$M_{E d} = M 0 E d \cdot (1 + \frac{β}{N_{B} / N_{E d} - 1}) = 3.431 k N c m \cdot (1 + \frac{0, 822}{4.354, 99 k N / 2.812, 5 k N - 1}) = 3.431 k N c m = 8.573 k N c m$

Bewehrungswahl

$μ_{E d} = \frac{M_{E d}}{b \cdot h^{2} \cdot f_{c d}} = \frac{8.573 k N c m}{35 c m \cdot (35 c m)^{2} \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = 0, 141$

$ν_{E d} = \frac{N_{E d}}{b \cdot h \cdot f_{c d}} = \frac{- 2.812, 5 k N}{35 c m \cdot 35 c m \cdot 1, 42 k N / c m^{2}} = - 1, 62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

$ω_{t o t} = 1, 045$

$A_{s, t o t} = ω_{t o t} \cdot b \cdot h \cdot \frac{f_{c d}}{f y d} = 1, 045 \cdot 35 c m \cdot 35 c m \cdot \frac{1, 42 k N / c m^{2}}{43, 5 k N / c m^{2}} = 41, 79 c m^{2}$

$A_{s, v o r h} = 50, 24 c m^{2} > 41, 79 c m^{2} = A_{s, e r f}$

Quellen

↑ Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).

[1] Albert, Andrej (Hg.): Schneider Bautabellen für Ingenieure, Köln 2018 (23. Auflage).

[1]

Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

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Aufgabenstellung