Stahlbeton-Kragstütze im Brandfall (Bsp.)

Ein Beispiel für die Berechnung einer Stahlbeton-Kragstütze nach dem vereinfachten Verfahren des nationalen Anhang AA des EC 2-1-2.

Aufgabenstellung

Gegeben

• Kragstütze, vierseitig beflammt, in einer Versammlungsstätte (Kategorie C)
• h/b = 450/450mm
• L = 8m
• Lastausmitte e₁ = 0,1m
• Beton C40/50, f_cd = 22,67N/mm²
• Stahl B500B, f_yd = 435N/mm²
• Bewehrungsverhältnis ρ = 0,02 = 2%
• Achsabstand a = 50mm
• G_Ek = 50kN; Q_Ek = 75kN

Gefordert

Für die Stahlbeton-Kragstütze soll eine Feuerwiderstandsdauer von 90 Minuten nachgewiesen werden.

Nachweis

$|{\nu }_{E,fi,d}|\le |{\nu }_{R,fi,d,90}|$

νE,fi,d	Längskrafteinwirkung
νR,fi,d,90	Normalkrafttragfähigkeit

Längskrafteinwirkung (ν_E,fi,d)

$N_{E,fi,d}=N_{Gk}+{\psi }_{2,1}\cdot N_{Qk}=50kN+0,6\cdot 75kN=92kN$

${\nu }_{E,fi,d}=\frac{N_{E,fi,d}}{A_c\cdot f_{cd}}$

$A_c=\frac{{(45cm)}^2}{100\mathrm{\%}}\cdot 98\mathrm{\%}=1984,5c{m}^2$

${\nu }_{E,fi,d}=\frac{92\cdot 10^{3}kN}{(22,67N/m{m}^2\cdot 198450m{m}^2)}=0,020$

Normalkrafttragfähigkeit (ν_R,fi,d,90)

Überprüfung der Randbedingungen

• Normalbeton

	zwischen C20/25 und C50/60
	C40/50; Randbedingung erfüllt
	Abweichung von kc erforderlich, da C40/50 ≈ C30/37

• Bewehrungslage

einlagige Bewehrung; Randbedingung erfüllt

• Querschnittsabmessungen

450mm; Randbedingung erfüllt

• geometrischer Bewehrungsgrad (ρ)

	1% ≤ 2% ≤ 8%; Randbedingung erfüllt
	kρ=1,0, da ρ = 2%. Es ist keine Abweichung erforderlich.

• bezogener Achsabstand (a/h)

	$0,05\le \frac{50}{450}=0,11\le 0,15$; Randbedingung erfüllt
	ka = 0,11 ≈ 0,10. Abweichung von Ka erforderlich.

• bezogene Knicklänge (l_0,fi/h)

$10\le 2\cdot \frac{8m}{0,45m}=35,6\le 50$; Randbedingung erfüllt

• bezogene Lastausmitte (e₁/h)

$\frac{0,10m}{0,45m}=0,22\le 1,5$; Randbedingung erfüllt

• Brandbeanspruchung

4-seitige Brandbeanspruchung, keine Abweichung kfi erforderlich.

Standarddiagramm (für 450mm)

Standarddiagramm für eine 450mm Stahlbeton-Kragstütze

Standarddiagramm mit den Eingangswerten l0,fi = 35,6 und e1/h = 0,22

• mit $l_{0,fi}=35,6$ und $\frac{e_1}{h}=0,22$
• Mit dem Standarddiagramm ergibt sich X_R,90 mit:

$X_{R,90}=-0,095$

Gleichung zur Berechnung der Normaltragkraft ν_R,fi,d,90

${\nu }_{R,fi,d,90}=k_{fi}\cdot k_a\cdot k_C\cdot k_{\rho }\cdot X_{R90}$

$k_{fi}=1,0$	da 4-seitig beansprucht
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{k}_{ρ}} = 1,0}	da ρ = 2%
$X_{R90}=-0,095$	aus dem Standarddiagramm

Beiwert k_a

$k_a=\frac{(h\prime -1)}{0,05}\cdot (\frac{a}{h})-2\cdot h\prime +3$

$h\prime =max\{0,65\cdot (\frac{5-h}{150})-k_1;1\}$

$k_1=max\{0,65\cdot (1-(\frac{e_1}{h}))\cdot (3-\frac{h}{150});0\}$

$k_1=0,65\cdot (1-(\frac{100}{450}))\cdot (3-\frac{450}{150})=0$

$h\prime =0,65\cdot (5-\frac{450}{150})-0=1,3$

$k_a=\frac{1,3-1}{0,05}\cdot (\frac{50}{450})-2\cdot 1,3+3=1,067$

Beiwert k_c

$k_c=(\frac{k_1-1}{20})\cdot f_{ck}-1,5\cdot k_1+2,5$

$k_1=max\{1,1-0,1\cdot (\frac{e_1}{h});1\}$

$k_1=1,1-0,1\cdot (\frac{100}{450})=1,078$

$k_c=(\frac{1,078-1}{20})\cdot 40-1,5\cdot 1,078+2,5=1,039$

Ergebnis der Normalkrafttragfähigkeit

${\nu }_{R,fi,d,90}=1\cdot 1,067\cdot 1,039\cdot 1\cdot (-0,095)=-0,105$