Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität an einem ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll für einen Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm; A_vorh=15,71cm²) ermittelt werden. Sie soll ohne Normalkraft, mit angreifender Drucknormalkraft (N_Ed=-115,5kN) und mit angreifender Zugnormalkraft (N_Ed=115,5kN) ermittelt werden. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Bei dem Stahl handelt es sich um einen B500A. Die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Festigkeiten

$f_{ctm}=2,2{\frac {N}{mm^{2}}}=0,22{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yk}=500{\frac {N}{mm^{2}}}=50{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$I_{I}={\frac {b\cdot h^{3}}{12}}={35\cdot 75^{3}}{12}=1230469cm^{4}$

$z_{I,c1}={\frac {h}{2}}={\frac {75}{2}}=37,5cm$

$z_{II}=0,9\cdot d=0,9\cdot 71=63,9cm$

$z_{s}=d-{\frac {h}{2}}=71-{\frac {75}{2}}=33,5cm$

$A_{c}=h\cdot h=35\cdot 75=2625cm^{2}$

Mindestbewehrung ohne Normalkraft

Ermittlung des Rissmoments

$M_{cr}={\frac {f_{ctm}\cdot I_{I}}{z_{I,c1}}}=={\frac {0,22\cdot 1230469}{37,5}}$

$M_{cr}=7219kNcm$

Ermittlung der Mindestbewehrung:

$A_{s,min}={\frac {M_{cr}}{z_{II}\cdot f_{yk}}}={\frac {7219}{63,9\cdot 50}}$

$A_{s,min}=2,25cm^{2}$

${\underline {A_{s,min}=2,25cm^{2}<15,71cm^{2}=A_{s,vorh}}}$

$\Rightarrow$Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

Mindestbewehrung mit Drucknormalkraft

Ermittlung der Mindestbewehrung:

$M_{cr}=\left(f_{ctm}-{\frac {N}{A_{c}}}\right)\cdot {\frac {I_{I}}{z_{I,c1}}}=\left(0,22-{\frac {-115,5}{2625}}\right)\cdot {\frac {1230469}{37,5}}$

$M_{cr}=8663kNcm$

Ermittlung der Mindestbewehrung:

$M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_{s}=8663-(-115,5)\cdot 33,5$

$M_{cr,s}=12532kNcm$

$A_{s,min}=\left({\frac {M_{cr,s}}{z_{II}}}+N\right)\cdot {\frac {1}{f_{yk}}}=\left({\frac {12532}{63,9}}-115,5\right)\cdot {\frac {1}{50}}$

$A_{s,min}=1,61cm^{2}$

${\underline {A_{s,min}=1,61cm^{2}<15,71cm^{2}=A_{s,vorh}}}$

$\Rightarrow$Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

Mindestbewehrung mit Zugnormalkraft

Ermittlung der Mindestbewehrung:

$M_{cr}=\left(f_{ctm}-{\frac {N}{A_{c}}}\right)\cdot {\frac {I_{I}}{z_{I,c1}}}=\left(0,22-{\frac {115,5}{2625}}\right)\cdot {\frac {1230469}{37,5}}$

$M_{cr}=5775kNcm$

Ermittlung der Mindestbewehrung:

$M_{cr,s}=M_{cr}-N\cdot z_{s}=5775-115,5\cdot 33,5$

$M_{cr,s}=1906kNcm$

$A_{s,min}=\left({\frac {M_{cr,s}}{z_{II}}}+N\right)\cdot {\frac {1}{f_{yk}}}=\left({\frac {1906}{63,9}}+115,5\right)\cdot {\frac {1}{50}}$

$A_{s,min}=2,91cm^{2}$

${\underline {A_{s,min}=2,91cm^{2}<15,71cm^{2}=A_{s,vorh}}}$

$\Rightarrow$Die Mindestbewehrung ist nicht maßgebend.

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