Stahlbetonstütze - Numerisches Verfahren (Bsp.)

Handrechnung

Einwirkungen

Betongüte: C25/30
Querschnittsabmessungen: b/h = 30/30cm
statische Nutzhöhe: d = 25cm
Bewehrung bereits nach Theorie I. Ordnung vorbemessen und etwas erhöht:
je 6ø14 auf den momentenbeanspruchten gegenüberliegenden Seiten, ${{A}_{s,vorh}}=18,47cm{}^{\text{2}}$

Planmäßige und ungewollte Ausmitte

${\begin{array}{l}{{e}_{0}}={\frac {{M}_{Ed}}{{N}_{Ed}}}={\frac {90}{200}}=0,45m\\{{e}_{i}}={{\Theta }_{i}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot {{\alpha }_{h}}}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot 1}}\cdot {\frac {{l}_{0}}{2}}={\frac {1}{200\cdot 1}}\cdot {\frac {6}{2}}=0,015m\end{array}}$

Vorgehensweise zur Bestimmung der Kopfverschiebung durch numerische Integration, entlehnt aus einem Berechnungsbeispiel von [4]:

Mittlere Betondruckfestigkeit

${{f}_{cd}}=085\cdot {{\alpha }_{cc}}\cdot {{f}_{ck}}=0,85\cdot 0,85\cdot 25=18,06N/mm{}^{\text{2}}$

Mittlere Stahlzugfestigkeit und –streckgrenze

${\begin{array}{l}{{f}_{yR}}=1,1\cdot {{f}_{yk}}=1,1\cdot 500=550N/mm{}^{\text{2}}\\{{f}_{tR}}=1,08\cdot {{f}_{yR}}=1,08\cdot 550=594N/mm{}^{\text{2}}\end{array}}$

Rissbildungsmoment unter Ansetzung der mittleren Betonzugfestigkeit

${{M}_{cr}}={{f}_{ctm}}\cdot W=0,26\cdot {\frac {30\cdot {{30}^{2}}}{6}}=1170kNcm$

Dehnungen im ungerissenen Zustand

${{\varepsilon }_{c,cr1}}={\frac {{f}_{ctm}}{{E}_{cm}}}={\frac {-0,26}{3100}}\cdot 1000=0,0839{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

${{\varepsilon }_{s,cr1}}={\frac {{z}_{s1}}{h/2}}\cdot {\frac {{f}_{ctm}}{{E}_{cm}}}=\left({\frac {10}{15}}\cdot {\frac {0,26}{3100}}\right)\cdot 1000=0,0559{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

Resultierende Krümmung im Zustand I

${{\kappa }_{I,II}}={\frac {\left|{{\varepsilon }_{c,cr1}}\right|+\left|{{\varepsilon }_{s,cr1}}\right|}{d}}={\frac {0,0839+0,0559}{0,25}}\cdot {{10}^{-3}}=0,559\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}$

Verhältnis der E-Moduln

${{\alpha }_{e}}={\frac {{E}_{s}}{{E}_{cm}}}={\frac {200000}{31000}}=6,4516$

Längsbewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

${{\rho }_{l}}={\frac {{A}_{s}}{b\cdot d}}={\frac {18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}}=0,0123$

Anteil der Betondruckzone

${\begin{array}{l}\xi =-{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}+{\sqrt {\left({{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}\right){}^{\text{2}}+2\cdot {{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{l}}}}\\\ \ \ =-6,4516\cdot 0,0123+{\sqrt {\left(6,4516\cdot 0,0123\right){}^{\text{2}}+2\cdot 6,4516\cdot 0,0123}}=0,3269\end{array}}$

Betondruckspannung unter dem Rissbildungsmoment

$-{{\sigma }_{c2}}={\frac {{M}_{cr}}{{\frac {\xi }{2}}\cdot \left(1-{\frac {\xi }{3}}\right)\cdot b\cdot d{}^{\text{2}}}}={\frac {1170}{{\frac {0,3269}{2}}\cdot \left(1-{\frac {0,3269}{3}}\right)\cdot 30\cdot 25{}^{\text{2}}}}=0,4285kN/cm{}^{\text{2}}$

Betonstauchung im Zustand II

${{\varepsilon }_{c,cr2}}={\frac {{\sigma }_{c2}}{{E}_{cm}}}={\frac {-4,285}{31000}}\cdot 1000=-0,1382{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

Stahlspannung unter dem Rissbildungsmoment

${{\sigma }_{s}}={\frac {1-\xi }{\xi }}\cdot \left(-{{\sigma }_{c2}}\right)\cdot {{\alpha }_{e}}={\frac {1-0,3269}{0,3269}}\cdot 0,4285\cdot 6,4516=5,6922kN/cm{}^{\text{2}}$

Stahldehnung im Zustand II

${{\varepsilon }_{s,cr2}}={\frac {{\sigma }_{s}}{{E}_{s}}}={\frac {56,92}{200000}}\cdot 1000=0,2846{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

mechanischer Bewehrungsgrad (nur Zugbewehrung)

${{\omega }_{II}}={\frac {{A}_{s}}{b\cdot d}}\cdot {\frac {{f}_{yR}}{{f}_{cd}}}={\frac {18,47\cdot 0,5}{30\cdot 25}}\cdot {\frac {550}{18,06}}=0,375$

Stahldehnung bei Erreichen der Streckgrenze

${{\varepsilon }_{s}}={\frac {{f}_{yR}}{{E}_{s}}}={\frac {550}{200000}}\cdot 1000=2,75{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

Verwendung der Tafeln nach Schmitz zur Ermittlung der Betonstauchung bei Erreichen der Streckgrenze und des zugehörigen inneren Hebelarms

${\begin{array}{l}{{\varepsilon }_{c}}=-2,4{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;\\\varsigma =0,81\\z=\varsigma \cdot d=0,81\cdot 25=20,25cm\end{array}}$

Fließmoment

${{M}_{y}}={{F}_{sd}}\cdot z={{A}_{s}}\cdot {{f}_{yR}}\cdot z=18,47\cdot 0,5\cdot 55\cdot 20,25=102,85kNm$

Stahldehnung reduziert um den Anteil der Zugversteifung

${{\varepsilon }_{smy}}={{\varepsilon }_{sy}}-{{\beta }_{t}}\cdot \left({{\varepsilon }_{sr2}}-{{\varepsilon }_{sr1}}\right)=2,75-0,4\cdot \left(0,2846-0,0559\right)=2,66{}^{o}\!\!\diagup \!\!{}_{oo}\;$

zugehörige Mittlere Krümmung

${{\kappa }_{y}}={\frac {{{\varepsilon }_{smy}}+\left|{{\varepsilon }_{c}}\right|}{d}}={\frac {2,66+2,4}{0,25}}\cdot {{10}^{-3}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}$

Wertepaare:

${\begin{array}{l}{{M}_{I,II}}=11,7kNm\\{{\kappa }_{I,II}}=0,4659\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\\{{M}_{y}}=102,85kNm\\{{\kappa }_{y}}=20,23\cdot {{10}^{-3}}{{m}^{-1}}\end{array}}$

Momenten-Krümmungs-Diagramm

Numerische Integration

Teilung in 10 gleich große Abschnitte Δx = 0,3m
Beschreibung der Simpson-Formel:

${\begin{array}{l}w\left(3m\right)={\frac {\Delta x}{3}}\cdot ({{y}_{0}}+4{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+4{{y}_{3}}+2{{y}_{4}}+4{{y}_{5}}+2{{y}_{6}}+4{{y}_{7}}+2{{y}_{8}}+4{{y}_{9}}+{{y}_{10}})\\\\{{y}_{i}}={{\kappa }_{i}}\cdot {{\overline {M}}_{i}}\end{array}}$

$w\left(3m\right)={\frac {0,3}{3}}\cdot 0,4926=0,04926m\quad =\quad {{e}_{2}}$

Gesamtausmitte

${{e}_{tot}}={{e}_{1}}+{{e}_{i}}+{{e}_{2}}=0,45+0,015+0,04926=0,51m$

resultierendes Moment nach Theorie II. Ordnung

${{M}_{Ed,2}}={{N}_{Ed}}\cdot {{e}_{tot}}=200\cdot 0,51=102kNm$

Bemessung erfolgt nun wie Vorbemessung nach Theorie I. Ordnung mithilfe des Interaktionsdiagramms. Bei Übereinstimmung mit vorgewählter Bewehrung ist der Nachweis beendet, andernfalls erfolgt der nächste Iterationsschritt.

mb-Berechnung