Benutzer:Sneumann

´´Treppen auf Platten Beispiel 1 - Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus Treppenlauf biegesteif Podest angeschlossen´´

Aufgabenstellung

Bild

Für den gegebenen Grundriss eines Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen soll eine gegenläufige Treppe Entworfen und Bemessen werden. Baustoffe, Umgebungsbedingungen und die Bauteilabmessungen wurden vorab festgelegt. Der Bauherr verzichtet auf ein besonderes maß des Schallschutzes. Als Treppenlauf Belag wurde ein Natursteinplattenbelag oberhalb und unterhalb wird die Treppe mit einem Gipsputz versehen. gewählt Gewählt wurde eine Ausführung mit Arbeitsfuge Die Podestplatten werden im Rahmen des Beispiels als einachsig gespannte platte betrachtet. Die Berechnung dient als Vergleich zu der Berechnung mit dem MB Modul

Vorgaben

Geschosshöhe $h$:	2,72m
Plattenstärke $h_L$:	20 cm
Natursteinplattenstärke $N_s$:	6,0 cm
Gipsputz $G_s$:	1,5 cm
Treppenform:	Gegenläufige Treppe
Expositionsklasse:	XC1 - trocken, ständig nass
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonstahl:	B500

Lösung

geometrische Bestimmung

zu Entwerfen ist eine Treppe für ein Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen da die Treppe zu einem nicht zu ebener Erde liegende Geschoss führt spricht man von einer Baurechtlich notwendige Treppe

Grenzmaße

	1	2	3	4	5	6	7
	Gebäudeart	Treppenart	minimale nutzbare Laufbreite (b) [cm]	Steigung (s) [cm]		Auftritt (a) [cm]
				min.	max.	min.	max.
1	Gebäude im Allgemeinen (Fertigmaße im Endzustand)	Baurechtlich notwendige Treppe	100	14	19	26	37
2		Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)	50	14	21	21	37
3	Wohngebäude mit bis zu zwei Wohnungen und innerhalb von Wohnungen	Baurechtlich notwendige Treppe	80	14	20	23	37
4		Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)	50	14	21	21	37

minimale nutzbare Laufbreite $b$

$b\le \underset{\_}{100cm}$.

Steigung $s$

um die Geschosshöhe von 272 cm zu überbrücken, wurde eine gegenläufige Treppe mit jeweils 8 Steigungen pro Treppenlauf gewählt

$s=\frac{h}{\text{Anzahl Steigungen}}=\frac{272cm}{16}=\underset{\_}{17cm}$

$14cm\le \underset{\_}{s=17}\le 19cm$

Auftritt $a$

$a-s\approx 12cm$	$|+s$
$a\approx s+12cm$	$|mit:s=17cm$
$a\approx 17cm+12cm$
$a\approx 29cm$
$26cm\le \underset{\_}{a=29cm}\le 37cm$

Überprüfung Schrittmaß

$59cm\le 2\cdot s+a\le 65cm$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:a=29cm$
$59cm\le 2\cdot 17cm+29\le 65cm$
$59cm\le \underset{\_}{63cm}\le 65cm$

Treppenaugebreite Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle b´}

Es wird ein Treppenauge von 25 cm gewählt

$20cm\le b^{\text{'}}=25\le 30cm$

• Steigungswinkel

$\alpha =ta{n}^{-1}(\frac{s}{a})$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:a=29cm$
$\alpha =ta{n}^{-1}(\frac{17cm}{29cm})$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \alpha \approx 30,38° }

Einwirkungen

Teilsicherheiten

${\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,50$
${\gamma }_{\mathrm{G}}=1,35$

Ständige

Die ständigen Lasten werden auf den Grundriss bezogen.

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$

$g_k=g_k^{*}+g_k^{**}$

$g_k^{**}=\frac{s\cdot {\gamma }_2}{2}$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:{\gamma }_2=24\frac{kN}{m^3}$
$g_k^{**}=\frac{0,17m\cdot 24\frac{kN}{m^3}}{2}$
$g_k^{**}=2.04\frac{kN}{m^2}$

$g_k^{*}=\frac{h\cdot {\gamma }_1+{\gamma }_{G_s=1,5cm}+N_s\cdot {\gamma }_{Naturstein}}{cos(\alpha )}$	$|mit:h=20cm$
	$|mit:{\gamma }_1=25\frac{kN}{m^3}$
	$|mit:{\gamma }_{G_s=1,5cm}=0,18\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{Naturstein}=0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:N_s=6cm$
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \alpha = 30,38° }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g^{*}_{k} = \frac{ 0,20m \cdot 25 \frac{kN}{m^{3}} + 0,18 \frac{kN}{m^{2}}+ 6 cm \cdot 0,3 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} }{cos(30,38°)} }
$g_k^{*}\approx 8,09\frac{kN}{m^2}$

$g_k=g_k^{*}+g_k^{**}$	$|mit:g_k^{*}=8,09\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_k^{**}=2.04\frac{kN}{m^2}$
$g_k=8,09\frac{kN}{m^2}+2.04\frac{kN}{m^2}$
$g_k=10,13\frac{kN}{m^2}$

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{G}}=1,5$
	$|mit:g_k=10,13\frac{kN}{m^2}$
$g_d=10,13\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$g_d=15,2\frac{kN}{m^2}$

Veränderliche

Lotrechte Nutzlasten für Treppen

	1		2	3	4	5
	Kategorie		Nutzung	Beispiele	$q_k[\frac{kN}{m^2}]$	$Q_k[kN]$
19	T	T1	Treppen und Treppenpodeste	Treppen und Treppenpodeste in Wohngebäuden, Bürogebäuden und von Arztpraxen ohne schweres Gerät	3,0	2,0
20		T2		alle Treppen und Treppenpodeste, die nicht in TI oder T3 eingeordnet werden können	5,0	2,0
21		T3		Zugänge und Treppen von Tribünen ohne feste Sitzplätze, die als Fluchtwege dienen	7,5	3,0

$\underset{\_}{q_k=3,0\frac{kN}{m^2}}$

$q_d=q_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{Q}}$	$|mit:q_k=3,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,5$
$q_d=3,0\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$

Gesamtlasten

$f_d=g_d+q_d$	$|mit:q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_d=15,2\frac{kN}{m^2}$
$f_d=15,2\frac{kN}{m^2}+4,5\frac{kN}{m^2}$
$f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$

Berechnung und Bemessung des Treppenlaufs

Statisches System

$l_L=8\cdot a$	$|mit:a=29cm$
$l_L=8\cdot 29cm$
$l_L=2,32m$

Bild

Schnittgrößen

maximales Feldmoment

$M_{Ed,F}=f_d\cdot \frac{l_L^2}{8}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$M_{Ed,F}=19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m^2}{8}$
$M_{Ed,F}=13.25\frac{kNm}{m}$

Stützmoment

$M_{Ed,S}=-f_d\cdot \frac{l_L^2}{16}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$M_{Ed,S}=-19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m^2}{16}$
$M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$

Auflagekraft

$C_{Ed}=f_d\cdot \frac{l_L}{2}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$C_{Ed}=19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m}{2}$
$C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$

Maximale Normalkraft

$extrn=\pm C_{Ed}\cdot sin(\alpha )$	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \alpha = 30,38° }
	$|mit:C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle extr n = \pm 22.86 \frac{kN}{m} \cdot sin( 30,38° ) }
$extrn=\pm 11,56\frac{kN}{m}$

Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Biegebemessung

Materialparameter

$f_{cd}=\frac{{\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}}{{\gamma }_C}$	$|mit:{\gamma }_C=1.5$
	$|mit:{\alpha }_{cc}=0.85$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
$f_{cd}=\frac{0.85\cdot 25\frac{kN}{c{m}^2}}{1.5}$
$f_{cd}=14,2\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}$	$|mit:f_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\gamma }_s=1.15$
$f_{yd}=\frac{50\frac{kN}{c{m}^2}}{1,15}$
$f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Biegebemessung

Materialparameter

$f_{cd}=\frac{{\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}}{{\gamma }_C}$	$|mit:{\gamma }_C=1.5$
	$|mit:{\alpha }_{cc}=0.85$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
$f_{cd}=\frac{0.85\cdot 25\frac{kN}{c{m}^2}}{1.5}$
$f_{cd}=14,2\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}$	$|mit:f_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\gamma }_s=1.15$
$f_{yd}=\frac{50\frac{kN}{c{m}^2}}{1,15}$
$f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Vorbemessung

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_L=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,F}=13.25\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}-0kN\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}$

$A_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}$
$A_{s,est}=\frac{1325\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,55\frac{kN}{c{m}^2}}$
$A_{s,est}\approx 2,03\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R257 ø7/15cm, $a_s=2,57\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=7mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=17mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 17mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=7mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{7mm}{2}$
$d_1=23,5mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=27mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,5mm$
$d=176,5mm\approx 17,6cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,F}=1325\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{1325\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,6cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,03012$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,03012$
	$|mit:{\omega }_2=0,0410$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0312$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,03$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,04$
$\omega =0,0306+\frac{0,0410-0,0306}{0,04-0,03}\cdot (0,03012-0,03)$
$\omega =0,0307$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0307$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,3cm$#
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0kN$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0307\cdot 100cm\cdot 17,3cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0kN)$
$a_{s,1}=1,73\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt:R257 ø7/15cm, $a_{sw}=2,57\frac{c{m}^2}{m}$

=====Bereich der Arbeitsfuge

Vorbemessung

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_L=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}-0kN\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}$

$A_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,55\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 1,02\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=6mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=16mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 16mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=6mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{6mm}{2}$
$d_1=23,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=23mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,0mm$
$d=177mm=17,7cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,s}=663\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{663\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,7cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0149$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0101$
	$|mit:{\omega }_2=0,0203$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0149$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,01$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,02$
$\omega =0,0101+\frac{0,0203-0,0101}{0,02-0,01}\cdot (0,0149-0,01)$
$\omega =0,0151$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0151$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0kN$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0151\cdot 100cm\cdot 17,7cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0kN)$
$a_{s,1}=0,872\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Quellen

Normen

Fachliteratur

Links

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