Stahlbetonstütze - Verfahren mit Nennsteifigkeit (Bsp.)

Stützenquerschnitt

Dieses Berechnungsbeispiel verdeutlicht die Vorgehensweise bei der Bemessung einer Stahlbetonstütze nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit.

Aufgabenstellung

Gegeben ist die dargestellte Hochbau-Innenstütze. Das Gesamt-Bauwerk ist in Richtung der Zeichenebene und senkrecht dazu ausgesteift. Die Stütze wird planmäßig ausschließlich durch Normalkräfte belastet und kann in beide Richtungen ausweichen.

Weiterhin sind folgende Informationen gegeben:

• Beton C25/30 (Innenbauteil – XC 1)
• Stahl B 500 A
• Ständige Last (Stützenkopf) $N_{Gk}=-1.250,0kN$
• Nutzlast (Stützenkopf) $N_{Qk}=-750,0kN$ (Nutzlastkategorie C)
• Bewehrungsvorschlag: Øs,L =20 mm, Øs,Bü =20 mm

Es ist die vollständige Bemessung nach dem Verfahren mit Nennsteifigkeit durchzuführen und entsprechende Bewehrung auszuwählen!

Handrechnung

Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung

$N_{Ed}={\gamma }_{G}\cdot N_{Gk}+{\gamma }_{Q}\cdot N_{Qk}=1,35\cdot (-1250kN)+1,5\cdot \cdot (-750kN)=-2.812,5kN$

$M_{Ed,y,I}=M_{Ed,z,I}=0kNm$

Knicklänge

$l_{col}=6,00m$

$\beta =1,0$ für das gegebene statische System (Pendelstütze)

$l_{0}=\beta \cdot l_{col}=1,0\cdot 6,00m=6,00m$

Schlankheit und Überprüfung der Notwendigkeit des Nachweises nach Theorie II. Ordnung

$\lambda ={\frac {l_{0}}{\sqrt {\frac {I}{A}}}}={\frac {600cm}{35cm/{\sqrt {12}}}}=59,38$

$v_{Ed}={\frac {N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}}={\frac {-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=-1,62$

${\lambda }_{crit}={\frac {16}{\sqrt {|v_{Ed}}}}={\frac {16}{\sqrt {-1,62}}}=12,57$

${\lambda }_{vorh}>max(25;{\frac {16}{\sqrt {|v_{Ed}|}}})$

$59,38>25$

Es ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung nötig.

Nennsteifigkeit

E-Moduln

$E_{cd}={\frac {E_{cm}}{{\gamma }_{CE}}}={\frac {31.000N/mm^{2}}{1,5}}=20.667N/mm^{2}=2.066,7kN/cm^{2}$

$E_{s}=200.000N/mm^{2}$

Flächenträgheitsmoment des Betons

$I_{c}={\frac {b\cdot h^{3}}{12}}={\frac {35cm\cdot (35cm)^{2}}{12}}=125.052cm^{4}$

Planmäßige Lastausmitte und Lastausmitte aus Imperfektionen

$e_{0}=0cm$

${\alpha }_{h}={\frac {2}{\sqrt {l}}}={\frac {2}{\sqrt {6,0}}}=0,816$

${\theta }_{i}={\frac {1}{200}}\cdot {\alpha }_{h}={\frac {1}{200}}\cdot 0,816={\frac {1}{245}}$

$e_{i}={\theta }_{i}\cdot {\frac {l_{0}}{2}}={\frac {1}{245}}\cdot {\frac {600cm}{2}}=1,22cm$

Vorbemessung

Wirksame Bauteildicke

$h_{0}={\frac {2\cdot A_{c}}{u}}={\frac {2\cdot (35cm)^{2}}{4\cdot 35cm}}=17,5cm$

Endkriechzahl

Erstbelastung des Betons: $t_{0}=28$ Tage

Bauteil in Innenräumen, trockene Umgebungsbedingungen

${\phi }_{\infty ,t0}=2,8$ nach Schneider 5.33

Moment mit Imperfektionen in quasi-ständiger und GZT-Kombination

$M_{1,perm}=(|N_{Gk}|+{\psi }_{2}\cdot |N_{Qk}|)\cdot e_{i}=(1.250kN+0,6\cdot 750kN)\cdot 0,0122m=20,74kNm$

$M_{1,Ed}=({\gamma }_{Gk}\cdot |N_{Gk}|+{\gamma }_{Qk}\cdot |N_{Qk}|)\cdot e_{i}=(1,35\cdot 1.250kN+1,5\cdot 750kN)\cdot 0,0122m=34,31kNm$

Effektive Kriechzahl

${\phi }_{ef}={\phi }_{\infty ,t0}\cdot {\frac {M_{1,perm}}{M_{Ed}}}=2,8\cdot {\frac {20,74kNm}{34,31kNm}}=1,69$

Steifigkeitsbeiwerte nach einfacher Formel

$K_{s}=0$

$K_{c}={\frac {0,3}{(1+0,5\cdot {\phi }_{ef})}}={\frac {0,3}{(1+0,5\cdot 1,69)}}=0,163$

Vorläufige Nennsteifigkeit

$EI=K_{c}\cdot E_{cd}\cdot I_{c}+K_{s}\cdot E_{s}\cdot I_{s}=0,163\cdot 2.066,7kN/cm^{2}\cdot 125.052cm^{4}+0=42.126.530kNcm^{2}$

Knicklast

$N_{B}={\frac {EI\cdot \pi ^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {42.126.530kNcm^{2}\cdot \pi ^{2}}{(600cm)^{2}}}=1.154,9kN$

Beiwert für den Momentenverlauf

Momentenverlauf infolge Imperfektion

Das Moment stammt aus der Lastausmitte $e_{i}$ für Imperfektionen. Hierbei handelt es sich um eine ungewollte Schiefstellung der Stütze, deshalb ist der Momentenverlauf dreieckig, damit gilt $c_{0}=12$.

$\beta ={\frac {\pi ^{2}}{c_{0}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}=0,822$

Vorläufiges Moment nach Theorie II. Ordnung

$M_{Ed}=M{0Ed}\cdot (1+{\frac {\beta }{N_{B}/N_{Ed}-1}})$

$=3.431kNcm\cdot (1+{\frac {0,822}{1.154,9kN/2.812,5kN-1}})=3.431kNcm=3.431kNcm\cdot {\color {red}(-0,39)}$

Der Beiwert zur Erhöhung des Moments nach Theorie I. Ordnung ist negativ geworden, weil die Knicklast $N_{B}$ kleiner ist als die einwirkende Normalkraft $N_{Ed}$. Damit liefert die Formel kein brauchbares Ergebnis. Die Vorbemessung muss deshalb mit alternativem Ansatz durchgeführt werden.

Alternativer Ansatz zur (groben) Vorbemessung

$M_{Ed}=|N_{Ed}|\cdot {\frac {h}{20}}=|-2.812,5kN|\cdot {\frac {35cm}{20}}=4.922kNcm=49,22kNm$

$c_{nom}=c_{min}+\delta c_{dev}=10mm+10mm=20mm$

$d_{1}=c_{nom}+{\emptyset }_{s,Bu}+{\emptyset }_{s,L}/2=2,0+1,0+2,0/2=4,0cm$

$d=h-d_{1}=35cm-4cm=31cm$

Vorbemessung mit Bewehrungswahl

${\frac {d_{1}}{h}}={\frac {4cm}{35cm}}=0,11\approx 0,10$

${\mu }_{Ed}={\frac {M_{Ed}}{b\cdot h^{2}\cdot f_{cd}}}={\frac {4.922kNcm}{35cm\cdot (35cm)^{2}\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=0,081$

${\nu }_{Ed}={\frac {N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}}={\frac {-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=-1,62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung (z.B. im Schneider)

${\omega }_{tot}=0,865$

$A_{s,tot}={\omega }_{tot}\cdot b\cdot h\cdot {\frac {f_{cd}}{f{yd}}}=0,865\cdot 35cm\cdot 35cm\cdot {\frac {1,42kN/cm^{2}}{43,5kN/cm^{2}}}=34,59cm^{2}$

Gewählt: $12\emptyset 20mm$ mit $A_{s,vorh}=37,68cm^{2}$

Skizze:

Auf Grundlage dieser Vorbemessung kann nun die Nennsteifigkeit des Querschnitts bestimmt werden.

Genauere Steifigkeitsbeiwerte

$K_{s}=1$

$k_{1}={\sqrt {f_{ck}/20}}={\sqrt {25/20}}=1,12$

$k_{2}={\nu }_{Ed}\cdot {\frac {\lambda }{170}}=1,62\cdot {\frac {59,38}{170}}=0,57\leq {\textbf {0,20}}$

$K_{c}={\frac {k_{1}\cdot k_{2}}{(1+{\phi }_{ef}}}={\frac {1,12\cdot 0,20}{(1+1,69}}=0,083$

Flächenträgheitsmoment der Bewehrung

Insgesamt $12\emptyset 20mm$ mit je $A_{s}=3,14cm^{2}$.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

8 Stäbe mit Abstand $s_{1}=13,5cm$ und 4 Stäbe mit Abstand $s_{2}=9,5cm$.

$I_{s}=12\cdot {\frac {\pi \cdot d^{4}}{64}}+8\cdot A_{s}\cdot s_{1}^{2}+4\cdot A_{s}\cdot s_{2}^{2}$

$=12\cdot {\frac {\pi \cdot (2,0cm)^{4}}{64}}+8\cdot 3,14cm^{2}\cdot (13,5cm)^{2}+4\cdot 3,14cm^{2}\cdot (9,5cm)^{2}$

$=9cm^{4}+4.578cm^{4}+1.134cm^{4}=5.721cm^{4}$

Bemessung

Nennsteifigkeit

$EI=K_{c}\cdot E_{cd}\cdot I_{c}+K_{s}\cdot E_{s}\cdot I_{s}=0,083\cdot 2.066,7kN/cm^{2}\cdot 125.052cm^{4}+1,0\cdot 20.000kN/cm^{2}\cdot 5.721cm^{4}=135.870.932kNcm^{2}$

Knicklast

$N_{B}={\frac {EI\cdot \pi ^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {135.870.932kNcm^{2}\cdot \pi ^{2}}{(600cm)^{2}}}=3.724,98kN$

Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung

$M_{Ed}=M{0Ed}\cdot (1+{\frac {\beta }{N_{B}/N_{Ed}-1}})=3.431kNcm\cdot (1+{\frac {0,822}{3.724,98kN/2.812,5kN-1}})=3.431kNcm=12.124kNcm$

Bewehrungswahl

${\mu }_{Ed}={\frac {M_{Ed}}{b\cdot h^{2}\cdot f_{cd}}}={\frac {12.124kNcm}{35cm\cdot (35cm)^{2}\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=0,199$

${\nu }_{Ed}={\frac {N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}}={\frac {-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=-1,62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

${\omega }_{tot}=1,22$

$A_{s,tot}={\omega }_{tot}\cdot b\cdot h\cdot {\frac {f_{cd}}{f{yd}}}=1,22\cdot 35cm\cdot 35cm\cdot {\frac {1,42kN/cm^{2}}{43,5kN/cm^{2}}}=48,79cm^{2}$

Damit ist $A_{s,vorh}=37,68cm^{2}<48,79cm^{2}=A_{s,erf}$. Der Nachweis ist nicht erfüllt, die Bewehrung muss entweder von der Anzahl oder dem Durchmesser her erhöht werden.

Iteration: Mehr Bewehrungsstäbe

Erhöhung von $12\emptyset 20mm$ auf $16\emptyset 20mm$. Neues $A_{s,vorh}=50,24cm^{2}$.

Flächenträgheitsmoment der Bewehrung

Insgesamt $16\emptyset 20mm$ mit je $A_{s}=3,14cm^{2}$. Die vier zusätzlichen Stäbe werden in der Mitte der Seiten angebracht. Zusätzlich werden diagonale Bügel eingeplant.

Alle Abstände sind bezogen auf den Mittelpunkt des Betonquerschnitts.

10 Stäbe mit Abstand $s_{1}=13,5cm$, 4 Stäbe mit Abstand $s_{2}=9,5cm$ und 2 Stäbe mit Abstand s_3 = 0 cm</math>.

$I_{s}=16\cdot {\frac {\pi \cdot d^{4}}{64}}+10\cdot A_{s}\cdot s_{1}^{2}+4\cdot A_{s}\cdot s_{2}^{2}$

$=16\cdot {\frac {\pi \cdot (2,0cm)^{4}}{64}}+10\cdot 3,14cm^{2}\cdot (13,5cm)^{2}+4\cdot 3,14cm^{2}\cdot (9,5cm)^{2}$

$=13cm^{4}+5.723cm^{4}+1.134cm^{4}=6.870cm^{4}$

Bemessung

Nennsteifigkeit

$EI=K_{c}\cdot E_{cd}\cdot I_{c}+K_{s}\cdot E_{s}\cdot I_{s}=0,083\cdot 2.066,7kN/cm^{2}\cdot 125.052cm^{4}+1,0\cdot 20.000kN/cm^{2}\cdot 6.870cm^{4}=158.850.932kNcm^{2}$

Knicklast

$N_{B}={\frac {EI\cdot \pi ^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {158.850.932kNcm^{2}\cdot \pi ^{2}}{(600cm)^{2}}}=4.354,99kN$

Bemessungsmoment nach Theorie II. Ordnung

$M_{Ed}=M{0Ed}\cdot (1+{\frac {\beta }{N_{B}/N_{Ed}-1}})=3.431kNcm\cdot (1+{\frac {0,822}{4.354,99kN/2.812,5kN-1}})=3.431kNcm=8.573kNcm$

Bewehrungswahl

${\mu }_{Ed}={\frac {M_{Ed}}{b\cdot h^{2}\cdot f_{cd}}}={\frac {8.573kNcm}{35cm\cdot (35cm)^{2}\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=0,141$

${\nu }_{Ed}={\frac {N_{Ed}}{b\cdot h\cdot f_{cd}}}={\frac {-2.812,5kN}{35cm\cdot 35cm\cdot 1,42kN/cm^{2}}}=-1,62$

→ Ermittlung des Bewehrungsgrads durch Interaktionsdiagramm für umfangsverteilte Bewehrung

${\omega }_{tot}=1,045$

$A_{s,tot}={\omega }_{tot}\cdot b\cdot h\cdot {\frac {f_{cd}}{f{yd}}}=1,045\cdot 35cm\cdot 35cm\cdot {\frac {1,42kN/cm^{2}}{43,5kN/cm^{2}}}=41,79cm^{2}$

$A_{s,vorh}=50,24cm^{2}>41,79cm^{2}=A_{s,erf}$