Elementdecken - Bemessungsbeispiel

Aufgabenstellung

Die Bemessung von Elementdecken soll anhand des folgenden Beispiels veranschaulicht werden. Es handelt sich dabei um eine zweiachsig gespannte Durchlaufplatte über dem dargestellten Grundriss. Die rechnerischen Spannweiten wurden bereits ermittelt und im Grundriss angegeben. Außerdem sind die folgenden Paramater und Bemessungschnittgrößen (nach Czerny) für die Bemessung bekannt:

Deckensystem Bemessungsbeispiel

• Deckenstärke h=20 cm
• Dicke des Halbfertigteils h_P = 50 mm
• Halbfertigteil und Ortbeton aus C25/30
• Expositionsklasse XC 1 (Innenbauteil)
• raue Oberfläche der Verbundfuge
• Bewehrungsanordnung:

Biegezugbewehrung der Hauptragrichtung und konstruktive Querbewehrung inkl. Abstandhalter im Halbfertigteil,

Biegezugbewehrung der Nebentragrichtung vollständig im Ortbeton,

direkte Verlegung der bauseitigen Zulagen auf den Halbfertigteilen

• Stabdurchmesser:

Biegezugbewehrung Ø_s 8 mm

konstruktive Querbewehrung Ø_s 6 mm

Bemessungsschnittgrößen
in x-Richtung (Haupttragrichtung)
max. Feldmoment	m x,F = + 19,5 kNm/m
Stützmoment	m x,S = - 44,00 kNm/m
Querkraft am Endauflager	q x,A = +/- 29,95 kN/m
Querkraft am Zwischenauflager	q x,B = +/- 52,65 kN/m
in y-Richtung (Nebentragrichtung)
max. Feldmoment	m y,F = + 10,62 kNm/m
Querkraft am Endauflager	q y,A = +/- 25,67 kN/m

Bemessung für den Montagezustand

Elementierung

Die Bemessung für den Montagezustand beginnt mit der Einteilung des Deckengrundrisses in Elemente (Elementierung). Dabei sind die Anwendungsregeln nach Eurocode 2 und den Zulassungen zu beachten (siehe Seite Elementdecken - Anwendungsregeln). Dieses betrifft insbesondere folgende Punkte:

• mögliche Elementabmessungen und -massen (Kosten)
• Passplattenanteil (Kosten)
• Lage von Stoßfugen (Drillsteifigkeit)
• Auflagerung der Halbfertigteile (Randunterstützungen, Mörtelbettauflagerung, Auflagerpressung)
• Anordnung der Gitterträger (Tragrichtung, Lastverteilung)

Unter Berücksichtigung der genannten Punkte, wird die dargestellte Elementierung gewählt. Diese besteht aus zwei Passplatten (Pos. 3 und 4) und vier Standardbreiten ( Pos. 1, 2, 5, 6). Die Stoßfugen wurden aus den Drillbereichen ferngehalten, um eine Verringerung der Drillsteifgkeit auszuschließen. Außerdem wurde eine allseitige Auflagerung der Halbfertigteile von 40 mm gewählt um eine trockene Auflagerung auf dem Geschossmauerwerk zu ermöglichen. Eine Begrenzung der maximalen Auflagerpressung entsprechend Eurocode 2 ist im Weiteren zu beachten bzw. nachzuweisen.
Die Abmessungen der einzelnen Elemente (Positionen) können der Abbildung entnommen werden. Diese müssen zusammen mit den Einzelmassen der Positionen im Verlegeplan angegeben werden. Die Massen der Positionen werden folgendermaßen berechnet:

$m_{P}=l_{P}*b_{P}*h_{P}*\rho$

mit:

$m_{P}$	... Einzelmasse der Position
$l_{P}$	... Länge der Position
$b_{P}$	... Breite der Position
$h_{P}$	... Dicke der Position

Es ergeben sich die folgenden Einzelmassen der Positionen.

Positionen 1-6 (Platten mit einer Standardbreite von 2,50 m):

$m_{P}=5.09\,m*2.50\,m*0.05\,m*2,5\,to/m^{3}=1,6\,to$

Positionen 3 und 4 (Passplatten mit einer von Breite 1,09 m):

$m_{P}=5.09\,m*1.09\,m*0.05\,m*2,5\,to/m^{3}=0,7\,to$

Elementierung des Deckengrundrisses

Gitterträgerwahl

Für die Wahl der Gitterträger ist die Funktion für die sie angerechnet werden sollen und die Auslastung der Decke entscheidend. Im vorliegenden Beispiel sollen Standardgitterträger verwendet werden. Diese sollen die Tragfähigkeit im Montagezustand (Montagegitterträger) sicherstellen und im Endzustand als Verbundbewehrung anrechenbar sein. Auf die sich bereits daraus ergebenden Anforderungen an die erforderliche Gitterträgerhöhe wird auf der Seite Elementdecken - Anwendungsregeln - Abschnitt Gitterträgerhöhen eingegangen. Auf die verschiedenen Gitterträgertypen und Anwendungsbereiche wird auf der Seite Gitterträger nach Zulassung eingegangen.

Die Entwurfshöhe der Gitterträger kann tabellarisch bestimmt werden:

Deckenhöhe	+ 200 mm
obere Betondeckung (XC 1)	- 20 mm
obere Bewehrungslage	- 20 mm
konstrukive Querbewehrung im Halbfertigteil	- 6 mm
untere Betondeckung (XC 1)	- 20 mm
verbleibende Bauhöhe	+ 134 mm
gew. Gitterträger-Entwurfshöhe	130 mm

Es wird ein Standard-Gitterträger Typ E der Fa. Filigran (Zulassung Z-15.1-147) mit der folgenden Stabkonfiguration gewählt:

- gerippte Untergurte Ø_s 6 mm

- glatte Diagonalen Ø_s 6 mm

- glatter Obergurt Ø_s 10 mm

Die Bezeichnungen der Gitterträger erfolgt entsprechend geltenden Vereinbarungen nach folgendem Schema:

Gitterträgertyp Entwurfshöhe - Untergurtdurchmesser Diagonalendurchmesser Obergurtdurchmesser

Zu beachten ist, dass Untergurt- und Obergurtdurchmesser stets mit jeweils zwei Ziffern zu beschreiben sind, auch bei Durchmessern kleiner 10 mm. Beim Diagonalendurchmesser genügt eine Ziffer, da die verfügbaren Diagonalendurchmesser immer im einstelligen Millimeterbereich liegen.

Für den gewählten Gitterträger ergibt sich folgende Bezeichnung:

E 13 - 06 6 10

Gitterträgeranordnung

Bei der Anordnung der Gitterträger sind insbesondere folgende Punkte zu beachten (siehe Seite Elementdecken - Anwendungsregeln - Abschnitt Gitterträgeranordnung)

• maximale Gitterträgerabstände in Abhängigkeit von der Funktion (Montagegitterträger/ Verbundbewehrung/ Querkraftbewehrung)
• maximale Abstände zu Elementrändern
• Mindestbestückung bei Passplatten
• gleichmäßige, möglichst symmetrische Verteilung
• Knotenanordnung über Auflagern (Randunterstützungen)
  

Im vorliegenden Beispiel sollen die Montagegitterträger als Verbundbewehrung anrechenbar sein. Der Querabstand der Gitterträger untereinander ist daher auf 75 cm und zu Elementrändern auf 37,5 cm begrenzt. Außerdem sind die Passplatten breiter als 37,5 cm und müssen daher mindestens zwei Gitterträger erhalten. Es werden daher 12 Gitterträger gleichmäßig über den Deckengrundriss verteilt. Es ergibt sich ein konstanter Gitterträgerabstand von 53,5 cm. Die Abstände der Gitterträger zu Elementrändern ergeben sich ebenfalls und können der Abbildung entnommen werden. Sowohl die Gitterträgerabstände untereinander, als auch die Abstände zu Elementrändern ermöglichen eine Anrechenbarkeit als Verbundbewehrung.
Die Gitterträger enden im Halbfertigteil. Die Länge wird auf 5,07 m festgelegt.

Gitterträgeranordnung

Begrenzung der Montagestützweite

Die eigentliche Bemessung für den Montagezustand erfolgt durch Begrenzung der Abstände zwischen den Montageunterstützungen (Montagestützweiten). Auf Erläuterungen zum Tragverhalten und zur Systembildung für die Berechnung wird auf der Seite Elementdecken - Tragverhalten und Bemessung - Abschnitt Bemessung für den Montagezustand eingegangen.

In diesem Beispiel soll der Nachweis durch Verwendung der in Bemessungshilfen tabellierten zulässigen Montagestützweiten gezeigt werden. Für den gewählten Gitterträger stellt der Hersteller (Filigran Trägersysteme GmbH & Co. KG) eine Bemessungshilfe, die FI-Norm E-1-2100, zur Verfügung. Dieser können die zulässigen Montagestützweiten für bestimmte Obergurt- und Diagonalendurchmesser in Abhängigkeit vom Trägerabstand, der Trägerhöhe und der Deckenhöhe entnommen werden. Bei niedrigen Gitterträgern mit Obergurtdurchmessern bis 10 mm sind besondere Regelungen zu beachten, wenn im Montagezustand keine günstige Durchlaufwirkung an Zwischenunterstützungen zu erwarten ist (Klammerwerte).

Zulässige Montagestützweiten gemäß FI-Norm E-1-2100 (Auszug)

Der im Beispiel festgelegte Gitterträgerabstand von 53,5 cm ist nicht tabelliert. Die zulässige Montagestützweite kann in diesem Fall vereinfachend für den nächstgrößeren Trägerabstand aus der FI-Norm abgelesen oder linear interpoliert werden. In diesem Fall soll vereinfachend der nächstgrößere Trägerabstand angesetzt werden. Für einen Trägerabstand von 62,5 cm, eine Trägerhöhe von 13 cm und eine Deckendicke von 20 cm ergibt sich eine zulässige Montagestützweite von 2,03 m. Besonderheiten bezüglich einer vorhandenen oder nicht vorhandenen Durchlaufwirkung sind bei der gewählten Trägerhöhe nicht zu beachten.

Die zulässige Montagestützweite von 2,03 m ist bei einer lichten Weite zwischen den Auflagerwänden von 5,01 m nicht ausreichend um lediglich mit einer mittigen Unterstützungsreihe auszukommen. Es werden daher zwei Unterstützungsreihen in den Drittelpunkten der lichten Deckenspannweite angeordnet. Es ergibt sich eine vorhandene Montagestützweite von 1,67 m.

Grundsätzlich sind an Wandauflagern zusätzliche Randunterstützungen für den Montagezustand anzuordnen. Diese dürfen unter Einhaltung bestimmter Bedingungen entfallen (Mindestauflagertiefe und Knotenanordnung über den Auflagern). Die gewählte Auflagertiefe ist mit 40 mm größer als 35 mm und die erste Bedingung somit erfüllt. Für die Überprüfung der zweiten Bedingung (Knotenanordnung über den Auflagern) muss die Auflagerkraft je Gitterträger für die vorhandene Montagestützweite und den vorhandenen Gitterträgerabstand ermittelt werden.

Die Berechnung der vorhandenen Auflagerkraft je Gitterträger kann durch Umstellung der Formeln erfolgen, welche für die Berechnung der zulässigen Montagestützweite aus der zulässige Querkraft in Bemessungshilfen enthalten sind. Da die Formeln für die Berechnung der Stützweite am Einfeldsystem gelten, entspricht die Querkraft beträgsmäßig der Auflagerkraft. Durch gleichsetzen von zul. V = vorh. V und zul. l _M = vorh. l _M ergeben sich die folgenden Formeln für die Berechnung der Auflagerkraft je Gitterträger.

Auflagerlast je Gitterträger unter Eigenlast + Flächenlast (Nutzlast):

$vorh.\,A_{v}=vorh.\,V={\frac {vorh.\,l_{M}*(g+p)*s_{G}}{2}}$

Auflagerlast je Gitterträger unter Eigenlast + Einzellast (Nutzlast) am Auflager:

$vorh.\,A_{v}=vorh.\,V={\frac {vorh.\,l_{M}*g*s_{G}}{2}}+F$

mit:

$vorh.\,\,A_{v}$	... vorhandene Auflagerkraft je Gitterträger [kN]
$vorh.\,\,V$	... vorhandene Querkraft je Gitterträger [kN]
$vorh.\,\,l_{M}$	... vorhandene Montagestützweite [m]
$g$	... Eigenlast der Decke (Fertigteil + Ortbeton) [kN/m²]
$p$	... Flächenlast (Nutzlast) [kN/m²]
$F$	... Einzellast (Nutzlast) [kN]
$s_{G}$	... Gitterträgerabstand [m]

Für das Beispiel ergeben sich folgende Werte:

Auflagerlast je Gitterträger unter Eigenlast + Flächenlast (Nutzlast):

$vorh.\,A_{v}=vorh.\,V={\frac {1,67\,m*(5.0\,kN/m^{2}+1,5\,kN/m^{2})*0,535\,m}{2}}\,\,=\,\,2,90\,kN\leq 5,0\,kN$

Auflagerlast je Gitterträger unter Eigenlast + Einzellast (Nutzlast) am Auflager:

$vorh.\,A_{v}=vorh.\,V={\frac {1,67\,m*5.0\,kN/m^{2}*0,535\,m}{2}}\,\,+1,5\,kN\,\,=\,\,3,73\,kN\leq 5,0\,kN$

Da die Auflagerkräfte je Gitterträger kleiner/gleich 5,0 kN sind, darf auf zusätzliche Randunterstützungen im Montagezustand verzichtet werden, wenn entlang der Auflagerlinie jeder zweite Gitterträger so angeordnet wurde, dass sich ein Untergurtknoten über dem Auflager befindet. Dieses ist bereits bei der Herstellung der Halbfertigteile im Betonfertigteilwerk zu beachten und vor der Verlegung der Halbfertigteile zu kontrollieren. Die Anordnung der Montageunterstützungen und die Lage der Bezugspunkte für die Montagestützweite kann der Abbildung entnommen werden.

Anordnung der Montageunterstützungen und Bezugspunkte der Montagestützweite

Mindestlängsbewehrung

Um ein Reißen des Zuggurtes (Beton, Gitterträgeruntergurte, Zulagebewehrung im Halbfertigteil) noch vor dem Ausknicken des Gitterträgerobergurtes zu vermeiden, müssen die Halbfertigteile einen Längsbewehrungsquerschnitt aufweisen. Dieser Mindestlängsbewehrungsquerschnitt kann den Zulassungen oder Bemessungshilfen entnommen werden. Vereinfacht kann der erforderliche Bewehrungsquerschnitt unter der Annahme berechnet werden, dass Zug- und Druckgurt betragsmäßig die gleichen Kräfte aufnehmen. Die Berechnung erfolgt mit der unten dargestellten Formel.

$erf.\,A_{s,min}={\frac {\gamma *zul.\,M}{(H_{1}\,-1\,cm)*f_{yk}}}$

mit:

$erf.\,\,A_{s,min}$	... erfordeliche Mindestlängsbewehrung je Gitterträgerobergurt [cm²]
$\gamma$	... globaler Sicherheitsbeiwert 1,75
$zul.\,\,M$	... zulässiges Moment aus Gitterträgerzulassung [kNcm]
$H_{1}$	... Entwurfshöhe des Gitterträgers (UK UG bis OK OG) [cm]
$f_{yk}$	... charakteristische Streckgrenze der Gitterträgeruntergurte bzw. Zulagebewehrung [kN/cm²]

Bei einer Trägerhöhe von 13 cm und einem Obergurtdurchmesser von 10 mm ergibt sich gemäß der entsprechenden Zulassung des gewählten Gitterträgers (Z-15.1-147) ein zulässiges Moment von 2,10 kNm je Gitterträger. Es ergibt sich ein erforderlicher Mindestlängsbewehrungsquerschnitt zu:

$erf.\,A_{s,min}={\frac {1,75\,*\,210kNcm}{(13\,cm\,-1\,cm)*50\,kN/cm^{2}}}=0,6\,cm^{2}$

Die Gitterträgeruntergurte (2 Ø 6 = 0,57 cm²) decken den erforderlichen Mindestlängsbewehrungquerschnitt bereits fast vollständig ab. Da die vorhandene Stützweite kleiner als die maximal zulässige Stützweite ist, wird das zulässige Moment nicht ausgereizt. Es kann daher davon ausgegangen werden, dass die Gitterträgeruntergurte allein ausreichend sind, um das Biegetragverhalten im Montagezustand sicherzustellen. Wären die Gitterträgeruntergurte nicht ausreichend, könnte die im Halbfertigteil verlegte Biegezugbewehrung, die für den Endzustand erforderlich ist, angerechnet werden.

Mindestquerbewehrung (konstruktiv)

Um die Biegesteifigkeit über die Elementbreite (quer zu den Gitterträgern) sicherzustellen, ist eine Mindestquerbewehrung einzulegen. Dieses wird durch Ø 6 im maximalen Abstand von 25 cm gewährleistet. Im Betonfertigteilwerk wird die konstruktive Querbewehrung teilweise inkl. vormontierter Abstandhalter als erstes auf den Fertigungstischen positioniert und darauf die Gitterträger und weiteren Zulagen angeordnet.

Biegebemessung und Vergleich der Ergebnisse

Die Biegebemessung von Elementdecken erfolgt in der Regel auf Grundlage einer Statischen Berechnung für eine monolithisch hergestellte Ortbetondecke (Ortbetonstatik). Um den Rechengang der Umbemessung zu zeigen und einen Vergleich der Ergebnisse zu ermöglichen, soll die Biegebemessung der Decke in diesem Beispiel in drei Schritten erfolgen:

===a.) Bemessung als monolithisch hergestellte Ortbetondecke===

b.) Umbemessung auf Grundlage einer Ortbetonstatik durch lineare Erhöhung der Bewehrungsquerschnitte

c.) vollständige Neubemessung unter Berücksichtigung der vorhandenen statischen Nutzhöhen

Quellen

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