Knicklänge/Ersatzstablänge

Die Ersatz-(stab)länge und die Knicklänge bezeichnen beide dasselbe Maß zwischen den Wendepunkten der Knickbiegelinie eines Druckstabs. Die Form der Verformungsfigur gleicht dabei grundsätzlich einer Sinus-Kurve [vgl. ]. Sie bestimmt sich nach

${{l}_{0}}=\beta \cdot {{l}_{col}}$

wobei:

${{l}_{0}}$…	Knicklänge oder Ersatzlänge (andere Schreibweisen: ${{L}_{cr}}$ oder ${{s}_{k}}$ (mit den Indizes critical und Knicken)
$\beta$…	Knicklängenbeiwert
${{l}_{col}}$…	Stützenhöhe (Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen mit Index column

${{l}_{0}}$ - der Knick/Ersatzlänge (andere Schreibweisen: ${{L}_{cr}}$ oder ${{s}_{k}}$ (mit den Indizes critical und Knicken)

$\beta$ - dem Knicklängenbeiwert

${{l}_{col}}$ - der Länge des Stabs zwischen den idealisierten Einspannstellen (mit Index column).

„Für die Bestimmung der Ersatzlänge ${{l}_{0}}$ gilt, dass sich unter sonst gleichen Bedingungen für unterschiedliche Systeme gleich große Verformungen nach Theorie II. Ordnung ergeben.“
Abhängig von den Auflagerbedingungen des Einzeldruckglieds und der gegenseitigen Verschieblichkeit der Stützenenden senkrecht zur Bauteilachse bestimmt sich der Knicklängenbeiwert β. Bei idealer Lagerung ist er anhand der vier Eulerfälle einfach zu bestimmen:

β (theoretisch):          2,0                            1,0                           0,7                              0,5
β (realistisch):           2,2                            1,0                           0,76                             0,59

Die realistischen Beiwerte β berücksichtigen den Sachverhalt, dass eine unendlich feste Einspannung in der Praxis nicht existiert. Auch bei einer sehr steifen Einspannung sind immer geringe Verformungen nötig, um das entsprechende Einspannmoment zu aktivieren.

Für die Praxis reichen die angegebenen 4 Grundfälle allerdings nicht aus, oft sind die Stützen elastisch eingespannt, Teil eines Rahmens oder eines verschieblichen Gesamtsystems. Bei einem verschieblichen System, also senkrecht zur Bauteilachse gegeneinander verschieblichen Endauflagern, sind die Knicklängen in der Realität stets größer als die Stablänge [vgl. ]. Ein verschiebliches und ein unverschiebliches System mit ihren dazugehörigen Knicklängen sind in folgender Abbildung gezeigt.

Das Flächenträgheitsmoment des Riegels ist hier als unendlich groß beschrieben, woraus für die Rahmenstiele an beiden Enden eine starre Einspannung resultiert. In der Praxis kommt es weder zu einem unendlich großen Flächenträgheitsmoment des Riegels am Endpunkt eines Stiels noch zu einer 100%igen starren Einspannung (siehe oben).
Zur Ermittlung des Knickbeiwertes wird demnach grundsätzlich nach Verschieblichkeit unterschieden und der Einfluss der angeschlossenen Bauteile am Stützenende, genauer gesagt die Elastizität jener im Verhältnis zur Steifigkeit der Stütze, berücksichtigt.
Der Eurocode 2 gibt zwei Gleichungen zur Ermittlung der Knicklänge bei „üblichen“ Rahmen vor:

für unverschiebliche Rahmen:

${{l}_{0}}=0,5\cdot l\cdot {\sqrt {\left(1+{\frac {{k}_{1}}{0,45+{{k}_{1}}}}\right)\cdot \left(1+{\frac {{k}_{2}}{0,45+{{k}_{2}}}}\right)}}$

für verschiebliche Rahmen:

${{l}_{0}}=l\cdot \max \left\{{\sqrt {1+10\cdot {\frac {{{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}}}\ ;\ \left(1+{\frac {{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}}}\right)\cdot \left(1+{\frac {{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}}}\right)\right\}$
mit

${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ - den jeweils bezogener Einspanngrade an den Enden 1 und 2
l – der lichten Höhe des Druckglieds zwischen den Endeinspannungen.

Die Einspanngrade berechnen sich am Knotenpunkt der Stabenden aus dem Verhältnis der Stabsteifigkeit und dem Drehwiderstandsmoment infolge einer Knotendrehung $\varphi$ (Einheitsdrehung $\varphi$ = 1):

${{k}_{i}}={\frac {\Sigma E{{I}_{col}}/{{l}_{col}}}{\Sigma {{M}_{R,i}}}}$

mit
E – dem Elastizitätsmodul
${{I}_{col}}$ – dem Flächenträgheitsmoment der Stütze
${{l}_{col}}$ – der Länge der Stütze
${{M}_{R,i}}$ – dem Drehwiderstandsmoment (mit Index Resistance).

Die folgende Abbildung zeigt die Auswertung der beiden Gleichung des Eurocode 2 in Form eines Nomogramms:

Bei der Verwendung des Nomogramms kann das Flächenträgheitsmoment der anschließenden Stützen voll angesetzt werden, wohingegen wegen zu erwartender Rissbildung das der Riegel zur Hälfte angesetzt wird. Bei einer gelenkigen Lagerung wäre der Betrag für k = ∞, der Dividend also null, vergleichbar mit einem Riegel ohne jegliche Steifigkeit. Eine starre Einspannung entspräche einem k von 0 resultierend aus einem unendlich großen Dividenden (Drehsteifigkeit). Da, wie bereits erwähnt, eine absolut starre Einspannung praktisch nicht existiert, wird ein k kleiner als 0,1 nicht empfohlen.

Quellen

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