Verankerung am Endauflager (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. April 2022, 22:18 Uhr

Berechnungsbeispiel zur Verankerung am Endauflager

Aufgabenstellung

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Für das dargestellte Endauflager eines Balkens soll die Zugbewehrung am Endauflager verankert werden.

Folgende Daten sind gegeben:

Beton: C
Betonstabstahl: B500B
Expositionsklasse:
cot theta =, cot alpha =

Lösung

Verbundfestigkeit

Bewehrung unten → guter Verbund

→ C30/37 → $f_{bd}=3,04N/mm^{2}=0,304kN/cm^{2}$

Versatzmaß

$z=0,9\cdot d=0,9\cdot 62,5cm=56,25cm$

$a_{L}=z\cdot (cot{\theta }-cot{\alpha })=56,25cm\cdot (2,09-0)=58,8cm$

Randzugkraft

$F_{sd}=V_{Ed}\cdot {\frac {a_{L}}{z}}+N_{Ed}=303,24kN\cdot {\frac {58,8cm}{56,25cm}}+0kN=316,97kN$

$F_{sd}=316,97kN\,{\geq }\,{\frac {V_{Ed}}{2}}={\frac {303,24kN}{2}}=151,62kN$

Erforderliche Bewehrung

$A_{s,erf}={\frac {F_{sd}}{f_{yd}}}={\frac {316,97kN}{43,5kN/cm^{2}}}=7,29cm^{2}$

Vorhandene Bewehrung

5 Ø 20 → $A_{s,vorh}=15,71cm^{2}$

Stahlspannung

${\sigma }_{sd}=f_{yd}\cdot {\frac {A_{s,erf}}{A_{s,vorh}}}=43,5kN/cm^{2}\cdot {\frac {7,29cm^{2}}{15,71cm^{2}}}=20,19kN/cm^{2}$

Grundwert der Verankerungslänge

$l_{b,rqd}={\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {{\sigma }_{sd}}{f_{bd}}}={\frac {2,0cm}{4}}\cdot {\frac {20,19kN/cm^{2}}{0,304kN/cm^{2}}}=33,21cm$

Ersatzverankerungslänge

$l_{b,eq}={\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot l_{b,rqd}$

Formgebung: Gerades Stabende → ${\alpha }_{1}=1,0$

Angeschweißte Querstäbe: Keine → ${\alpha }_{4}=1,0$

Querdruck: Aus Auflagerkraft → ${\alpha }_{5}=2/3$

$l_{b,eq}=1,0\cdot 1,0\cdot 2/3\cdot 33,21cm='''22,14cm'''$

Mindestverankerungslänge

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot {\alpha }_{1}\cdot {\alpha }_{4}\cdot {\alpha }_{5}\cdot \left({\frac {\emptyset _{s}}{4}}\cdot {\frac {f_{yd}}{f_{bd}}}\right)\\10\cdot {\alpha }_{5}\cdot \emptyset _{s}\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}0,3\cdot 1,0\cdot 1,0\cdot 2/3\cdot \left({\frac {2,0cm}{4}}\cdot {\frac {43,5kN/cm^{2}}{0,304kN/cm^{2}}}\right)\\10\cdot 2/3\cdot 2,0cm\end{matrix}}\right\}$

$l_{b,min}=max\left\{{\begin{matrix}14,31cm\\13,33cm\end{matrix}}\right\}$

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 <math>F_{sd} = V_{Ed} \cdot \frac{a_L}{z} + N_{Ed} = 303,24 kN \cdot \frac{58,8 cm}{56,25 cm} + 0 kN = 316,97 kN</math>
-<math>316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>
+<math>F_{sd} = 316,97 kN \, {\geq} \, \frac{V_{Ed}}{2} = \frac{303,24 kN}{2} = 151,62 kN</math>
 === Erforderliche Bewehrung ===
 <math>A_{s,erf} = \frac{F_{sd}}{f_{yd}} = \frac{316,97 kN}{43,5kN/cm^2} = 7,29 cm^2</math>
+=== Vorhandene Bewehrung ===
+Ø 20 → <math>A_{s,vorh} = 15,71 cm^2</math>
 === Stahlspannung ===
+<math>{\sigma}_{sd} = f_{yd} \cdot \frac{A_{s,erf}}{A_{s,vorh}} = 43,5 kN/cm^2 \cdot \frac{7,29 cm^2}{15,71 cm^2} = 20,19 kN/cm^2</math>
 === Grundwert der Verankerungslänge ===
+<math>l_{b,rqd} = \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{{\sigma}_{sd}}{f_{bd}} = \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{20,19 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} = 33,21 cm</math>
 === Ersatzverankerungslänge ===
+<math>l_{b,eq} = {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot l_{b,rqd}</math>
+Formgebung: Gerades Stabende → <math>{\alpha}_1 = 1,0</math>
+Angeschweißte Querstäbe: Keine → <math>{\alpha}_4 = 1,0</math>
+Querdruck: Aus Auflagerkraft → <math>{\alpha}_5 = 2/3</math>
+<math>l_{b,eq} = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot 33,21 cm = '''22,14 cm'''</math>
 === Mindestverankerungslänge ===
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot {\alpha}_1 \cdot {\alpha}_4 \cdot {\alpha}_5 \cdot \left( \frac{\O_s}{4} \cdot \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \right)  \\ 10 \cdot {\alpha}_5 \cdot \O_s \end{matrix}} \right\} </math>
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 0,3 \cdot 1,0 \cdot 1,0 \cdot 2/3 \cdot  \left( \frac{2,0 cm}{4} \cdot \frac{43,5 kN/cm^2}{0,304 kN/cm^2} \right) \\ 10 \cdot 2/3 \cdot 2,0 cm \end{matrix}} \right\} </math>
+<math>l_{b,min} = max\left\{ {\begin{matrix} 14,31 cm \\ 13,33 cm \end{matrix}} \right\} </math>
 === Nachweis der Verankerungslänge ===
 === Überprüfung ===