Biegebemessung mit dem omega-Verfahren (Bsp.)

Auf dieser Seite wird die Anwendung des ω-Verfahrens an ausgewählten Beispielen dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der Biegebemessung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm; h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=80,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=180,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 80+1,5\cdot 180=378kNm=37800kNcm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=1,35\cdot 30+1,5\cdot 50=115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}=\alpha _{cc}\cdot {\frac {f_{ck}}{\gamma _{c}}}=0,85\cdot {\frac {20}{1,5}}=11,33{\frac {N}{mm^{2}}}=1,13{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yd}={\frac {f_{yk}}{\gamma _{s}}}={\frac {500}{1,15}}=435{\frac {N}{mm^{2}}}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=37800-115,5\cdot 33,5$

$M_{Eds}=33930,75kNcm$

$\mu _{Eds}={\frac {M_{Eds}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\frac {33930,75}{35\cdot 71^{2}\cdot 1,13}}$

$\mu _{Eds}=0,17<0,296$

Da $\mu _{Eds}<0,296$ ist keine Druckbewehrung erforderlich. Der Wert für $\omega$ wird aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen. Die $\omega$-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden.

$\omega =0,1882$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der vereinfachten Stahlkennlinie

$A_{s1}={\frac {1}{\sigma _{sd}}}\cdot \left(\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left(0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=14,8cm^{2}}}}$

Ermittlung der Bewehrungsquerschnittsfläche mit der genaueren Stahlkennlinie

Der genauere Wert für $\sigma _{sd}$ kann ebenfalls in Abhängigkeit von $\mu _{Eds}$abgelesen werden.

$\sigma _{sd}=44,4{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$A_{s1}={\frac {1}{\sigma _{sd}}}\cdot \left(\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{44,4}}\cdot \left(0,1882\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13+115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=14,5cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt (b=35cm;h=75cm) wird durch ein Moment $M_{gk}=160,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{gk}=-30kN$ aus ständigen Lasten und ein Moment $M_{qk}=360,0kNm$ sowie eine Normalkraft $N_{qk}=-50kN$ aus veränderlichen Lasten beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 160+1,5\cdot 360=756kNm=75600kNcm$

$N_{Ed}=\gamma _{g}\cdot N_{gk}+\gamma _{q}\cdot N_{qk}$

$N_{Ed}=-1,35\cdot 30-1,5\cdot 50=-115,5kN$

Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}=\alpha _{cc}\cdot {\frac {f_{ck}}{\gamma _{c}}}=0,85\cdot {\frac {20}{1,5}}=11,33{\frac {N}{mm^{2}}}=1,13{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yd}={\frac {f_{yk}}{\gamma _{s}}}={\frac {500}{1,15}}=435{\frac {N}{mm^{2}}}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

$z_{s1}=33,5cm$

$d_{2}=4cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=75600-(-115,5)\cdot 33,5$

$M_{Eds}=79469,25kNcm$

$\mu _{Eds}={\frac {M_{Eds}}{b\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\frac {79469,25}{35\cdot 71^{2}\cdot 1,13}}$

$\mu _{Eds}=0,40>0,296$

Da $\mu _{Eds}>0,296$ ist Druckbewehrung erforderlich. Der Werte für $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ werden aus der Tafel für Rechteckquerschnitte mit Druckbewehrung abgelesen. Die $\omega$-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden. Um den Anforderungen zur Sicherstellung der Duktilität nach DIN EN 1992-1-1 zu entsprechen, wird eine Tafel mit $\xi =0,45$ verwendet.

${\frac {d_{2}}{d}}={\frac {4}{71}}=0,056\thickapprox 0,05$

$\omega _{1}=0,474$

$\omega _{2}=0,109$

$A_{s1}={\frac {1}{f{yd}}}\cdot \left(\omega _{1}\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left(0,474\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13-115,5\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=27,94cm^{2}}}}$

$A_{s2}={\frac {1}{f_{yd}}}\cdot \left(\omega _{2}\cdot b\cdot d\cdot f_{cd}\right)$

$A_{s2}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left(0,109\cdot 35\cdot 71\cdot 1,13\right)$

${\underline {\underline {A_{s2}=7,04cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

Plattenbalkenquerschnitte

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Plattenbalkenquerschnitt wird durch ein Moment aus ständigen Lasten $M_{gk}=300kNm$ und ein Moment aus veränderlichen Lasten $M_{qk}=450kNm$ beansprucht. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Auf die Vorbemessung wird im Rahmen dieses Beispiels verzichtet, die statische Nutzhöhe beträgt 71cm.

Gesucht ist die erforderliche Längsbewehrung.

Beanspruchungen und Festigkeiten

$M_{Ed}=\gamma _{g}\cdot M_{gk}+\gamma _{q}\cdot M_{qk}$

$M_{Ed}=1,35\cdot 300+1,5\cdot 450=1080kNm=108000kNcm$
Es handelt sich um einen überwiegend biegebanspruchten Querschnitt, auf den Nachweis soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden.
$f_{cd}=\alpha _{cc}\cdot {\frac {f_{ck}}{\gamma _{c}}}=0,85\cdot {\frac {20}{1,5}}=11,33{\frac {N}{mm^{2}}}=1,13{\frac {kN}{cm^{2}}}$

$f_{yd}={\frac {f_{yk}}{\gamma _{s}}}={\frac {500}{1,15}}=435{\frac {N}{mm^{2}}}=43,5{\frac {kN}{cm^{2}}}$

Querschnittswerte

$d=71cm$

Auf die Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite soll im Rahmen dieses Beispiels verzichtet werden. Es wird angenommen, dass die mitwirkende Plattenbreite der Plattenbreite entspricht.

$b_{e}ff=80cm$

Bemessung

$M_{Eds}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1}$

$M_{Eds}=M_{Ed}=108000kNcm$

Die Ermittlung des bezogenen Moments erfolgt mit derselben Gleichung wie für Rechteckquerschnitte. Die Breite entspricht dabei der mitwirkenden Plattenbreite.

$\mu _{Eds}={\frac {M_{Eds}}{b_{eff}\cdot d^{2}\cdot f_{cd}}}$

$\mu _{Eds}={\frac {108000}{80\cdot 71^{2}\cdot 1,13}}$

$\mu _{Eds}=0,24<0,296$

Da $\mu _{Eds}<0,296$ ist keine Druckbewehrung erforderlich.

Für die Überprüfung der Lage der Nulllinie im Querschnitt wird $\xi$ aus der Tafel für Rechteckquerschnitte ohne Druckbewehrung abgelesen und mit dem Verhältnis von Plattenhöhe zu statischer Nuthöhe $h_{f}/d$ verglichen

$\xi =0,24<0,346$

${\frac {h_{f}}{d}}={\frac {20}{71}}=0,282$

${\frac {h_{f}}{d}}=0,282>0,346=\xi$ => die Nullinie liegt im Steg

Da die Spannungsverteilung in der Druckzone nicht mehr rechteckförmig ist, da die Spannungsnulllinie im Steg liegt, ist der Wert für $\omega$ aus der Tafel für Plattenbalkenquerschnitte abzulesen. Die $\omega$-Tafeln lassen sich z.B. in Schneider Bautabellen finden.

${\frac {h_{f}}{d}}={\frac {20}{71}}=0,28\thickapprox 0,3$

${\frac {b_{eff}}{b_{w}}}={\frac {80}{30}}=2,6\thickapprox 3$

$\Rightarrow \omega _{1}=0,2801$

$A_{s1}={\frac {1}{f{yd}}}\cdot \left(\omega _{1}\cdot b_{eff}\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed}\right)$

$A_{s1}={\frac {1}{43,5}}\cdot \left(0,2801\cdot 80\cdot 71\cdot 1,13\right)$

${\underline {\underline {A_{s1}=41,33cm^{2}}}}$

Im Folgenden wäre noch zu überprüfen, ob die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität maßgebend wird. Darauf wird hier verzichtet, die Ermittlung der Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität soll in einem separaten Beispiel erläutert.

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