Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

Tragmodell

Als Bemessungsmodell für Bauteile ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung findet das Bogen-Zugband-Modell Verwendung.

Die Traganteile dieses Modells sind folgende:

A - Bogentragwirkung (Querkraft-Tragfähigkeit des Betons) mit folgenden Einflussfaktoren: Betonfestigkeit, Bauteilquerschnitt, Längskräfte (Druckzonenhöhe)

B - Dübelwirkung der Biegezugbewehrung (Scherwirkung) mit folgenden Einflussfaktoren: Bewehrungsquerschnitt, Einspannwirkung der Betondeckung

C - Rissverzahnung und Einspannwirkung der Betonzähne mit folgenden Einflussfaktoren: Betonzugfestigkeit, Längskräfte, Nutzhöhe

Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung

Auch ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung zu einer begrenzten Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ergibt sich hierbei durch die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne.

Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:

${{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac {1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\geq {{V}_{Rd,c,\min }}$

wobei:

${{C}_{Rdc}}={\frac {0,15}{{\gamma }_{c}}}$

$k=1+{\sqrt {\frac {200}{d}}}\left\{{\begin{matrix}\geq 1,0\\\leq 2,0\\\end{matrix}}\right\}$ Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt) mit d in [mm]

${{\sigma }_{cp}}={\frac {{N}_{Ed}}{{A}_{c}}}\leq 0,2\cdot {{f}_{cd}}$ Einwirkende Längsspannungen, Druck hierbei positiv einzusetzen

${{\rho }_{l}}={\frac {{A}_{sl}}{{{b}_{w}}\cdot d}}\leq 0,02$ geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung

b_w - Kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone(mit Index w für width)]

d - Statische Nutzhöhe

f_ck - Charakteristische Betondruckfestigkeit

f_cd - Bemessungswert der Betondruckfestigkeit

A_c - Betonfläche

A_sl - Fläche der Zugbewehrung

γ_c = 1,5 bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation

γ_c = 1,3 bei außergewöhnlicher Bemessungssituation

Die Gleichung ist nicht dimensionsrein. Für ein richtiges Ergebnis setzt man am besten alle Werte in [N] und [mm] oder in [MN] und [m] ein.
Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.
Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. ] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig (Druck) oder ungünstig (Zug) wirkenden Längskräfte.

Mindestquerkrafttragfähigkeit V_Rd,c,min

Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.
Sie formuliert sich zu

${{V}_{Rd,c,\min }}=\left[{\frac {{\kappa }_{1}}{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left({{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}}\right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}\right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d$

wobei:

κ₁ = 0,0525 für d ≤ 60cm>

κ₁ = 0,0375 für d ≥ 80cm (Zwischenwerte sind zu interpolieren)

zusätzlicher Nachweis der Beanspruchbarkeit des Betons

Für die Beanspruchbarkeit des Betons wird eine zusätzlicher Nachweis geführt. Der Nachweis entfällt für Bauteile ohne nennenswerte Längskräfte.

${{V}_{Ed}}\leq 0,5\cdot {{b}_{w}}\cdot d\cdot \nu \cdot {{f}_{cd}}$

wobei:

ν = 0,675 (nach EC 2-1-1/NA)