Treppen auf Platten, Beispiel 1 - Treppenhaus in einem mehrgeschossigen Wohnhaus, Treppenlauf biegesteif an Podest angeschlossen

´´Treppen auf Platten, Beispiel 1 - Treppenhaus in einem mehrgeschossigen Wohnhaus, Treppenlauf biegesteif an Podest angeschlossen´´

Aufgabenstellung

zur Verfügung stehender Grundriss

Für den gegebenen Grundriss eines Treppenhauses in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen soll eine gegenläufige Treppe entworfen und bemessen werden. Baustoffe, Umgebungsbedingungen und die Bauteilabmessungen wurden vorab festgelegt. Der Bauherr verzichtet auf ein besonderes Maß des Schallschutzes. Als Treppenlaufbelag wurde ein Natursteinplattenbelag gewählt. Oberhalb und unterhalb wird die Treppe mit einem Gipsputz versehen. Gewählt wurde eine Ausführung mit Arbeitsfuge. Die Podestplatten werden im Rahmen des Beispiels als einachsig gespannte Platten betrachtet. Die Berechnung dient als Vergleich zu der Berechnung mit dem mb Modul.

Vorgaben

Geschosshöhe $h$:	2,72m
Plattenstärke $h_L$:	20 cm
Natursteinplattenstärke $N_s$:	6,0 cm
Gipsputz $G_s$:	1,5 cm
Treppenform:	Gegenläufige Treppe
Expositionsklasse:	XC1 - trocken, ständig nass
Betonfestigkeitsklasse:	C25/30
Betonstahl:	B500

Anforderungen an Treppenkonstruktionen

geometrische Bestimmung

Zu Entwerfen ist eine Treppe für ein Treppenhaus in einem mehrgeschossigen Wohnhaus mit sechs Wohnungen. Da die Treppe zu einem nicht zu ebener Erde liegenden Geschoss führt, spricht man von einer baurechtlich notwendigen Treppe.

Grenzmaße

	1	2	3	4	5	6	7
	Gebäudeart	Treppenart	minimale nutzbare Laufbreite (b) [cm]	Steigung (s) [cm]		Auftritt (a) [cm]
				min.	max.	min.	max.
1	Gebäude im Allgemeinen (Fertigmaße im Endzustand)	Baurechtlich notwendige Treppe	100	14	19	26	37
2		Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)	50	14	21	21	37
3	Wohngebäude mit bis zu zwei Wohnungen und innerhalb von Wohnungen	Baurechtlich notwendige Treppe	80	14	20	23	37
4		Baurechtlich nicht notwendige (zusätzliche)	50	14	21	21	37

minimale nutzbare Laufbreite $b$

$b\le \underset{\_}{100cm}$.

Steigung $s$

Um die Geschosshöhe von 272 cm zu überbrücken, wurde eine gegenläufige Treppe mit jeweils 8 Steigungen pro Treppenlauf gewählt.

$s=\frac{h}{\text{Anzahl Steigungen}}=\frac{272cm}{16}=\underset{\_}{17cm}$

$14cm\le \underset{\_}{s=17}\le 19cm$

Auftritt $a$

$a-s\approx 12cm$	$|+s$
$a\approx s+12cm$	$|mit:s=17cm$
$a\approx 17cm+12cm$
$a\approx 29cm$
$26cm\le \underset{\_}{a=29cm}\le 37cm$

Überprüfung Schrittmaß

$59cm\le 2\cdot s+a\le 65cm$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:a=29cm$
$59cm\le 2\cdot 17cm+29\le 65cm$
$59cm\le \underset{\_}{63cm}\le 65cm$

Treppenaugebreite $b^{\text{'}}$

Es wird ein Treppenauge von 25 cm gewählt

$20cm\le b^{\text{'}}=25\le 30cm$

• Steigungswinkel

$\alpha =ta{n}^{-1}(\frac{s}{a})$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:a=29cm$
$\alpha =ta{n}^{-1}(\frac{17cm}{29cm})$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \alpha \approx 30,38° }

Schallschutz

Da der Bauherr keine privatrechtlichen Anforderungen gestellt hat, ist bei der Planung lediglich das Mindestschallniveau nach DIN 4109 einzuhalten. Die Konstruktion dieser Treppe entspricht dem typischen Beispiel für die Mindestanforderungen des Schallschutzes. Treppenlauf und Treppenpodest werden biegesteif miteinander verbunden. Die Treppenpodeste werden hierbei mit schwimmendem Estrich ausgestattet. Des Weiteren wird der Lauf schalltechnisch mit einer Fugenplatte von den Wänden entkoppelt.

Brandschutz

Es werden keine besonderen Anforderungen an den Brandschutz gestellt. Daher reicht die normale Betondeckung nach EC2 aus.

Lösung für den Treppenlauf

Einwirkungen

Teilsicherheiten

${\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,50$
${\gamma }_{\mathrm{G}}=1,35$

Ständige

Die ständigen Lasten werden auf den Grundriss bezogen.

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$

$g_k=g_k^{*}+g_k^{**}$

$g_k^{**}=\frac{s\cdot {\gamma }_2}{2}$	$|mit:s=17cm$
	$|mit:{\gamma }_2=24\frac{kN}{m^3}$
$g_k^{**}=\frac{0,17m\cdot 24\frac{kN}{m^3}}{2}$
$g_k^{**}=2.04\frac{kN}{m^2}$

$g_k^{*}=\frac{h\cdot {\gamma }_1+{\gamma }_{G_s=1,5cm}+N_s\cdot {\gamma }_{Naturstein}}{cos(\alpha )}$	$|mit:h=20cm$
	$|mit:{\gamma }_1=25\frac{kN}{m^3}$
	$|mit:{\gamma }_{G_s=1,5cm}=0,18\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{Naturstein}=0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:N_s=6cm$
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \alpha = 30,38° }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g^{*}_{k} = \frac{ 0,20m \cdot 25 \frac{kN}{m^{3}} + 0,18 \frac{kN}{m^{2}}+ 6 cm \cdot 0,3 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} }{cos(30,38°)} }
$g_k^{*}\approx 8,09\frac{kN}{m^2}$

$g_k=g_k^{*}+g_k^{**}$	$|mit:g_k^{*}=8,09\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_k^{**}=2.04\frac{kN}{m^2}$
$g_k=8,09\frac{kN}{m^2}+2.04\frac{kN}{m^2}$
$g_k=10,13\frac{kN}{m^2}$

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{G}}=1,5$
	$|mit:g_k=10,13\frac{kN}{m^2}$
$g_d=10,13\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$g_d=15,2\frac{kN}{m^2}$

Veränderliche

Lotrechte Nutzlasten für Treppen

	1		2	3	4	5
	Kategorie		Nutzung	Beispiele	$q_k[\frac{kN}{m^2}]$	$Q_k[kN]$
1	T	T1	Treppen und Treppenpodeste	Treppen und Treppenpodeste in Wohngebäuden, Bürogebäuden und von Arztpraxen ohne schweres Gerät	3,0	2,0
2		T2		alle Treppen und Treppenpodeste, die nicht in TI oder T3 eingeordnet werden können	5,0	2,0
3		T3		Zugänge und Treppen von Tribünen ohne feste Sitzplätze, die als Fluchtwege dienen	7,5	3,0

$\underset{\_}{q_k=3,0\frac{kN}{m^2}}$

$q_d=q_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{Q}}$	$|mit:q_k=3,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,5$
$q_d=3,0\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$

Gesamtlasten

$f_d=g_d+q_d$	$|mit:q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_d=15,2\frac{kN}{m^2}$
$f_d=15,2\frac{kN}{m^2}+4,5\frac{kN}{m^2}$
$f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$

Statisches System

statisches System der Laufplatte

$l_L=8\cdot a$	$|mit:a=29cm$
$l_L=8\cdot 29cm$
$l_L=2,32m$

Schnittgrößen

maximales Feldmoment

$M_{Ed,F}=f_d\cdot \frac{l_L^2}{8}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$M_{Ed,F}=19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m^2}{8}$
$M_{Ed,F}=13.25\frac{kNm}{m}$

Stützmoment

$M_{Ed,S}=-f_d\cdot \frac{l_L^2}{16}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$M_{Ed,S}=-19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m^2}{16}$
$M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$

Auflagekraft

$C_{Ed}=f_d\cdot \frac{l_L}{2}$	$|mit:f_d=19,7\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:l_L=2,32m$
$C_{Ed}=19,7\frac{kN}{m^2}\cdot \frac{2,32m}{2}$
$C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$

Maximale Normalkraft

$extrn=\pm C_{Ed}\cdot sin(\alpha )$	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \alpha = 30,38° }
	$|mit:C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle extr n = \pm 22.86 \frac{kN}{m} \cdot sin( 30,38° ) }
$extrn=\pm 11,56\frac{kN}{m}$

Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Materialparameter

$f_{cd}=\frac{{\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}}{{\gamma }_C}$	$|mit:{\gamma }_C=1.5$
	$|mit:{\alpha }_{cc}=0.85$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
$f_{cd}=\frac{0.85\cdot 25\frac{kN}{c{m}^2}}{1.5}$
$f_{cd}=14,2\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}$	$|mit:f_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\gamma }_s=1.15$
$f_{yd}=\frac{50\frac{kN}{c{m}^2}}{1,15}$
$f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Biegebemessung

Feldbereich des Lauf´s

Vorbemessung

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_L=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,F}=13.25\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}-0kN\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}$

$A_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=13.25\frac{kNm}{m}$
$A_{s,est}=\frac{1325\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,55\frac{kN}{c{m}^2}}$
$A_{s,est}\approx 2,03\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R257 ø7/15cm, $a_s=2,57\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=7mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=17mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 17mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=7mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{7mm}{2}$
$d_1=23,5mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=27mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,5mm$
$d=176,5mm\approx 17,6cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,F}=1325\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{1325\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,6cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,03012$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,03012$
	$|mit:{\omega }_2=0,0410$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0312$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,03$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,04$
$\omega =0,0306+\frac{0,0410-0,0306}{0,04-0,03}\cdot (0,03012-0,03)$
$\omega =0,0307$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0307$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,3cm$#
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0kN$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0307\cdot 100cm\cdot 17,3cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0kN)$
$a_{s,1}=1,73\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt:R257 ø7/15cm, $a_{sw}=2,57\frac{c{m}^2}{m}$

Bereich der Arbeitsfuge Kopfpunkt

Vorbemessung

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_L=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=-11,56\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}-(-11,56\frac{kN}{m})\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=8.36\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=-11,56\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{8.36\frac{kNm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{-11,56\frac{kN}{m}}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 1,02\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=6mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=16mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 16mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=6mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{6mm}{2}$
$d_1=23,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=23mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,0mm$
$d=177mm=17,7cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,7cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,7cm$

$M_{Eds}=M_{Ed,S}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,7cm$
	$|extrn=(-11,56)\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed,S}=663\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=663\frac{kNcm}{m}-(-11,56)\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=752,01\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=752,01\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{752,01\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,7cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0169$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0101$
	$|mit:{\omega }_2=0,0203$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0169$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,01$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,02$
$\omega =0,0101+\frac{0,0203-0,0101}{0,02-0,01}\cdot (0,0169-0,01)$
$\omega =0,01714$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,01714$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=(-11,56)\frac{kN}{m}$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0151\cdot 100cm\cdot 17,7cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+(-11,56)\frac{kN}{m})$
$a_{s,1}=0,61\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

konstruktive Bewegungsführung in der Arbeitsfuge

${\sigma }_{sd}=\frac{a_{s,erf}}{a_{s,vorh}}\cdot f_{yd}$	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:a_{s,1,vorh}=1,88\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:a_{s,1,erf}=0,61\frac{c{m}^2}{m}$
${\sigma }_{sd}=\frac{0,61\frac{c{m}^2}{m}}{1,88\frac{c{m}^2}{m}}\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
${\sigma }_{sd}=14,11\frac{kN}{c{m}^2}$

$l_{brqd}=\frac{{\sigma }_{sd}\cdot {\varnothing }_s}{4\cdot f_{bd}}$	$|mit:{\sigma }_{sd}=141,1\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\varnothing }_s=6mm$
	$|mit:f_{bd}=2,69\frac{N}{m{m}^2}\cdot 0,7=1,88\frac{N}{m{m}^2}$
$l_{brqd}=\frac{141,1\frac{N}{m{m}^2}\cdot 0,6cm}{4\cdot 1,88\frac{N}{m{m}^2}}$
$l_{brqd}=11,25cm$

Daraus folgt, dass die Feldbewehrung aus dem Lauf mindestens 12 cm in das Podest und die Podestbewehrung 12 cm in den Lauf einbinden muss.

Bereich der Arbeitsfuge Fußpunkt

Vorbemessung

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_L=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=11,56\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=6.63\frac{kNm}{m}-11,56\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=4.9\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=11,56\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed,est}=4.9\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{490\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{11,56\frac{kN}{m}}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 1,02\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=6mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=16mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 16mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=6mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{6mm}{2}$
$d_1=23,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=23mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,0mm$
$d=177mm=17,7cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,7cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,7cm$

$M_{Eds}=M_{Ed,S}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,7cm$
	$|extrn=11,56\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed,S}=663\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=663\frac{kNcm}{m}-11,56\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=573.988\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=573.99\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{573.99\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,7cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0129$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0101$
	$|mit:{\omega }_2=0,0203$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0129$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,01$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,02$
$\omega =0,0101+\frac{0,0203-0,0101}{0,02-0,01}\cdot (0,0169-0,01)$
$\omega =0,01306$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,01306$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=extrn=11,56\frac{kN}{m}$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0151\cdot 100cm\cdot 17,7cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+11,56\frac{kN}{m})$
$a_{s,1}=1,02\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

konstruktive Bewegungsführung in der Arbeitsfuge

${\sigma }_{sd}=\frac{a_{s,erf}}{a_{s,vorh}}\cdot f_{yd}$	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:a_{s,1,vorh}=1,88\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:a_{s,1,erf}=1,01\frac{c{m}^2}{m}$
${\sigma }_{sd}=\frac{1,01\frac{c{m}^2}{m}}{1,88\frac{c{m}^2}{m}}\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
${\sigma }_{sd}=23,37\frac{kN}{c{m}^2}$

$l_{brqd}=\frac{{\sigma }_{sd}\cdot {\varnothing }_s}{4\cdot f_{bd}}$	$|mit:{\sigma }_{sd}=233,7\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\varnothing }_s=6mm$
	$|mit:f_{bd}=2,69\frac{N}{m{m}^2}\cdot 0,7=1,88\frac{N}{m{m}^2}$
$l_{brqd}=\frac{233,7\frac{N}{m{m}^2}\cdot 0,6cm}{4\cdot 1,88\frac{N}{m{m}^2}}$
$l_{brqd}=19cm$

Daraus folgt, dass die Feldbewehrung aus dem Lauf mindestens 19 cm in das Podest und die Podestbewehrung 19 cm in den Lauf einbinden muss.

Querkraftbemessung

Bauteile ohne Querkraftbewehrung

$V_{Ed}=C_{Ed}\cdot cos(\alpha )$	$|mit:C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \alpha = 30,38° }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle V_{Ed} = 22.86 \frac{kN}{m} \cdot cos( 30,38° ) }
$V_{Ed}=19.72\frac{kN}{m}$

$C_{Rdc}=\frac{0,15}{{\gamma }_c}$	$|mit:{\gamma }_c=1,5$
$C_{Rdc}=\frac{0,15}{1,5}$
$C_{Rdc}=0,1$

$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \le 2,0\end{array}$
	$|mit:d=177mm$
$k=1+\sqrt{\frac{200}{177}}$
$k=2,06$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \ge 2,0\end{array}$
$k=2$

${\rho }_l=\frac{A_{sl}}{b_w\cdot d}$	$\le 0,02$
	$|mit:A_{sl}=1,88\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:b_w=100cm$
	$|mit:d=17,7cm$
${\rho }_l=\frac{1,88\frac{c{m}^2}{m}}{100cm\cdot 17,7cm}$
${\rho }_l=1,06\cdot 10^{-3}$	$\le 0,02$

$A_c=A-A_s$	$|mit:A=b_w\cdot h_L=b_w\cdot h_L=1000mm\cdot 200mm=200000$
	$|mit:A_{s,R188,R257}=188\frac{m{m}^2}{m}+257\frac{m{m}^2}{m}=445\frac{m{m}^2}{m}$
$A_c=200000m{m}^2-445m{m}^2$
$A_c=199555m{m}^2$

${\sigma }_{cp}=\frac{N_{Ed}}{A_c}$	$|mit:N_{Ed}=extrn=\pm 11560\frac{N}{m}$
	$|mit:A_c=199555m{m}^2$
${\sigma }_{cp}=\frac{11560\frac{N}{m}}{199555m{m}^2}$
${\sigma }_{cp}\approx 0,06\frac{N}{m\cdot m{m}^2}$

$V_{Rd,c}=[C_{Rdc}\cdot k\cdot {(100\cdot {\rho }_l\cdot f_{ck})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot {\sigma }_{cp}]\cdot b_w\cdot d$	$|mit:{\sigma }_{cp}=0,06\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\rho }_l=1,06\cdot 10^{-3}$
	$|mit:k=2$
	$|mit:C_{Rdc}=0,1$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:b_w=1000mm$
	$|mit:d=177mm$
$V_{Rd,c}=[0,1\cdot 2\cdot {(100\cdot 1,06\cdot 10^{-3}\cdot 25\frac{N}{m{m}^2})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot 0,06\frac{N}{m{m}^2}]\cdot 1000mm\cdot 177mm$
$V_{Rd,c}=50261N$	$\ge V_{Ed}$
$V_{Rd,c}=50,26kN$	$\ge 19.72kN$

Weitere Bemessung Hinsichtlich der Querkraft für dieses Bauteil nicht erforderlich da der Nachweis erfüllt ist .

Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Begrenzung der Biegeschlankheit des Treppenlauf

$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$		für: $\rho \le {\rho }_0$
$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho -{\rho }_{\text{'}}}+\frac{1}{12}\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_{\text{'}}}{{\rho }_0}{)}^{1/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$		für: $\rho >{\rho }_0$

${\rho }_0=10^{-3}\cdot \sqrt{f_{ck}}$	$|mit:f_{ck}=25\frac{N}{m{m}^2}$
${\rho }_0=10^{-3}\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}$
${\rho }_0=5\cdot 10^{-3}$

$\rho =\frac{A_{s1}}{b\cdot d}$	$|mit:A_{s1}=2,57\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:d=17,3cm$
	$|mit:b=100cm$
$\rho =\frac{2,57\frac{c{m}^2}{m}}{100cm\cdot 17,3cm}$
$\rho =1,49\cdot 10^{-3}$	$\le {\rho }_0$

$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=\frac{l}{d}$	$|mit:d=0,173m$
	$|mit:l=\sqrt{(8\cdot 0,29m{)}^2+(8\cdot 0,17m{)}^2}=2,69m$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=\frac{2,69m}{0,173m}$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=15,55$

${\frac{l}{d}}_{zul}=K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]$	$|mit:K_{Innenfeld}=1,5$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:\rho =1,49\cdot 10^{-3}$
	$|mit:{\rho }_0=5\cdot 10^{-3}$
${\frac{l}{d}}_{zul}=1,5[11+1,5\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}\cdot \frac{5\cdot 10^{-3}}{1,49\cdot 10^{-3}}+3,2\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}\cdot (\frac{5\cdot 10^{-3}}{1,49\cdot 10^{-3}}-1{)}^{3/2}]$
${\frac{l}{d}}_{zul}=155.64$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}\le \{\begin{array}{l}K\cdot 35\\ K^2\cdot \frac{150}{l}\end{array}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}K\cdot 35$	$|mit:K_{Innenfeld}=1,5$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=1,5\cdot 35$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=52,5$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l}$	$|mit:K_{Innenfeld}=1,5$
	$|mit:l=\sqrt{(8\cdot 0,29m{)}^2+(8\cdot 0,17m{)}^2}=2,69m$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=1,5^2\cdot \frac{150}{2,69m}$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=125,46$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

Vergleich MB

Lösung des Zwischenpodest

Das Zwischenpodest wird in diesem Beispiel anders als das Hauptpodest als Dreiseitig gelagert und somit zweiseitig gespannt betrachtet

Einwirkungen

Teilsicherheiten

${\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,50$
${\gamma }_{\mathrm{G}}=1,35$

Ständige

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$

$g_k=h\cdot {\gamma }_1+{\gamma }_{G_s=1,5cm}+N_s\cdot {\gamma }_{Naturstein}+{\gamma }_{Estrich}\cdot d_{Estrich}$	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:{\gamma }_1=25\frac{kN}{m^3}$
	$|mit:{\gamma }_{G_s=1,5cm}=0,18\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{Naturstein}=0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:N_s=3cm$
	$|mit:{\gamma }_{Estrich}=22\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:d_{Estrich}=4cm$
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \gamma_{Trittschalldämmung} = 0,01 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} }
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: d_{Trittschalldämmung} = 4 cm }
$g_k=0,20m\cdot 25\frac{kN}{m^3}+0,18\frac{kN}{m^2}+3cm\cdot 0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}+0,01\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}\cdot 4cm+0,22\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}\cdot 4cm$
$g_k=7\frac{kN}{m^2}$

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{G}}=1,5$
	$|mit:g_k=7\frac{kN}{m^2}$
$g_d=7\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$g_d=10,5\frac{kN}{m^2}$

Veränderliche

Lotrechte Nutzlasten für Treppen

	1		2	3	4	5
	Kategorie		Nutzung	Beispiele	$q_k[\frac{kN}{m^2}]$	$Q_k[kN]$
19	T	T1	Treppen und Treppenpodeste	Treppen und Treppenpodeste in Wohngebäuden, Bürogebäuden und von Arztpraxen ohne schweres Gerät	3,0	2,0
20		T2		alle Treppen und Treppenpodeste, die nicht in TI oder T3 eingeordnet werden können	5,0	2,0
21		T3		Zugänge und Treppen von Tribünen ohne feste Sitzplätze, die als Fluchtwege dienen	7,5	3,0

$\underset{\_}{q_k=3,0\frac{kN}{m^2}}$

$q_d=q_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{Q}}$	$|mit:q_k=3,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,5$
$q_d=3,0\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$

Gesamt Einwirkungen

$F_d=g_d+q_d$	$|mit:q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_d=10,5\frac{kN}{m^2}$
$F_d=10,5\frac{kN}{m^2}+4,5\frac{kN}{m^2}$
$F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$

$F_0=C_{Ed}$	$|mit:C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$
$F_0=22.86\frac{kN}{m}$

$m_0=M_{Ed,S}$	$|mit:M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_0=6.63\frac{kNm}{m}$

Statisches System

Es wurde sich im Rahmen dieses Beispiels für eine Zwischenpodestplatte mit dreiseitig frei drehbar gelagerten Rändern entschieden.

$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{h_P}{2}\\ \frac{t}{2}\end{array}$
	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:t_1=36,5cm$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{20cm}{2}\\ \frac{36,5cm}{2}\end{array}$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}10cm\\ 18,25cm\end{array}$
$a_1=10cm$

$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{h_P}{2}\\ \frac{t}{2}\end{array}$
	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:t_2=24cm$
$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{20cm}{2}\\ \frac{24cm}{2}\end{array}$
$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}10cm\\ 12cm\end{array}$
$a_2=10cm$

$b_P=2\cdot b+b^{\text{'}}+a_2+a_2$	$|mit:b=1,0m$
	$|mit:a_1=0,1m$
	$|mit:a_2=0,1m$
	$|mit:b^{\text{'}}=0,25m$
$b_P=2\cdot 1,0m+0,25m+0,1m+0,1m$
$b_P=2,45m$

$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{h_P}{2}\\ \frac{t}{2}\end{array}$
	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:t_1=12,5cm$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{20cm}{2}\\ \frac{12,5cm}{2}\end{array}$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}10cm\\ \approx 6cm\end{array}$
$a_1=6cm$

$t_P=ln+a_1+a_2$	$|mit:b=1,0m$
	$|mit:a_1=0,1m$
	$|mit:a_2=0m$
$t_P=1,0m+0,06m+0m$
$t_P=1,06m$

Schnittgrößen

Verhältnis Podesttiefe zu Podestbreite feststellen

$\frac{t_P}{b_P}$	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:t_P=1,06m$
$\frac{t_P}{b_P}=\frac{1,06m}{2,45m}$
$\frac{t_P}{b_P}\approx 0,4$

Ermittnlung der Momente über Tabelle

Tafel zur Schnittgrößen Ermittlung von Podestplatten mit dreiseitig frei drehbar gelagerten Rändern

	1	2	3
	Belastungsvariante	$\frac{t_P}{b_P}$	0,4
			$\chi$
1	I	$m_{x,m}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	8,04
2		$m_{y,m}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	10,5
3		$m_{x,r}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	4,41
4	II	$m_{x,m}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	10,5
5		$m_{x,m}=-\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	91,0
6		$m_{x,r}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	5,60
7	III	$m_{y,m}=\frac{m_0}{\chi }$	5,70
8		$m_{y,m}=-\frac{m_0}{\chi }$	2,20
9		$m_{x,r}=\frac{m_0}{\chi }$	2,35
$\chi$ = Wert in der Tabelle in Belastungsvariante I wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich durch eine Gleichflächenlast $F_d$ belastet ist in Belastungsvariante II wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich Streckenlast $F_0$ am Rand aus der Auflagerkraft des Treppenlaufs belastet ist in Belastungsvariante III wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich Streckenmoment $m_0$ aus der elastischen Einspannung des Treppenlaufs belastet ist

m_{x,m}

$m_i=m_{i,I}+m_{i,II}+m_{i,III}$

$m_{x,m,I}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	$|mit:\chi =8,04$
	$|mit:t_P=1,06m$
	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
$m_{x,m,I}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot (1,06m{)}^2}{8,04}$
$m_{x,m,I}\approx 2,1\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m,II}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =10,5$
	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{x,m,II}=\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,45m}{10,5}$
$m_{x,m,II}\approx 5,33\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m,III}=\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =5,70$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m,III}=\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{5,70}$
$m_{x,m,III}\approx 1,16\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m}=m_{x,m,I}+m_{x,m,II}+m_{x,m,III}$	$|mit:m_{x,m,I}=2,1\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,m,II}=5,33\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,m,III}=1,16\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m}=2,1\frac{kNm}{m}+5,33\frac{kNm}{m}+1,16\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m}=8,59\frac{kNm}{m}$

m_{y,m}

$m_i=m_{i,I}+m_{i,II}+m_{i,III}$

$m_{y,m,I}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	$|mit:\chi =10,5$
	$|mit:t_P=1,06m$
	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
$m_{y,m,I}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot (1,06m{)}^2}{10,5}$
$m_{y,m,I}\approx 1,61\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m,II}=-\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =91,0$
	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{y,m,II}=-\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,45m}{91,0}$
$m_{y,m,II}\approx -0,62\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m,III}=-\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =2,20$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m,III}=-\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{2,20}$
$m_{y,m,III}\approx -3,01\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m}=m_{y,m,I}+m_{y,m,II}+m_{y,m,III}$	$|mit:m_{y,m,I}=1,61\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{y,m,II}=-0,62\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{y,m,III}=-3,01\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m}=1,61\frac{kNm}{m}-0,62\frac{kNm}{m}-3,01\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m}=-2,02\frac{kNm}{m}$

m_{x,r}

$m_{x,r}=\frac{F_d\cdot t_P^2}{\chi }$	$|mit:\chi =4,41$
	$|mit:t_P=1,06m$
	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
$m_{x,r}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot (1,06m{)}^2}{4,41}$
$m_{x,r}\approx 3,82\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r,II}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =5,60$
	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{x,r,II}=\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,45m}{5,60}$
$m_{x,r,II}\approx 10,0\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r,III}=\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =2,35$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r,III}=\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{2,35}$
$m_{x,r,III}\approx 2,82\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r}=m_{x,r,I}+m_{x,r,II}+m_{x,r,III}$	$|mit:m_{x,r,I}=3,82\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,r,II}=10,0\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,r,III}=2,82\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r}=3,82\frac{kNm}{m}+10,0\frac{kNm}{m}+2,82\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r}=16,64\frac{kNm}{m}$

Ermittnlung der maximalen Querkraft

$V_{Ed}=\frac{F_d\cdot b_P}{2}+\frac{F_0\cdot 2\cdot t_P}{2}$	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:F_0=22.86\frac{kN}{m}$
	$|mit:t_P=1,06m$
$V_{Ed}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot 2,45m}{2}+\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2\cdot 1,06m}{2}$
$V_{Ed}=42,61\frac{kN}{m^2}$

Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Materialparameter

$f_{cd}=\frac{{\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}}{{\gamma }_C}$	$|mit:{\gamma }_C=1.5$
	$|mit:{\alpha }_{cc}=0.85$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
$f_{cd}=\frac{0.85\cdot 25\frac{kN}{c{m}^2}}{1.5}$
$f_{cd}=14,2\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}$	$|mit:f_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\gamma }_s=1.15$
$f_{yd}=\frac{50\frac{kN}{c{m}^2}}{1,15}$
$f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Biegebemessung m_{x,m}

Vorbemessung m_{x,m}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{x,m}=8,59\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=8,59\frac{kNm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=8,59\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=8,59\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{859\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 1,32\frac{kNcm}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie m_{x,m}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=6mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=16mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 16mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=6mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{6mm}{2}$
$d_1=23,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=23mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-23,0mm$
$d=177mm=17,7cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren m_{x,m}

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,7cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,7cm$

$M_{Eds}=M_{Ed,S}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,7cm$
	$|extrn=0$
	$|mit:M_{Ed,S}=m_{x,m}=859\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=859\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=859\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=m_{x,m}=859,0\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{859,0\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,7cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0193$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0101$
	$|mit:{\omega }_2=0,0203$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0193$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,01$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,02$
$\omega =0,0101+\frac{0,0203-0,0101}{0,02-0,01}\cdot (0,0193-0,01)$
$\omega =0,0196$

$a_{s,1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0196$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
$a_{s,1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0196\cdot 100cm\cdot 17,7cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0\frac{kN}{m})$
$a_{s,1}=1,13\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: R188 ø6/15cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Biegebemessung m_{y,m}

$a_{s,est,m_{y,m}}=0,2\cdot a_{s,est,m_{x,m}}$

gewählt:R188 ø6/25cm, $a_s=1,88\frac{c{m}^2}{m}$

Biegebemessung m_{x,r}

Vorbemessung m_{x,r}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{x,m}=16,64\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=16,64\frac{kNm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=16,64\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=16,64\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{1664\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 2,55\frac{kNcm}{m}$

gewählt: ø 8/15cm, $a_s=3,35\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie m_{x,r}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=8mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=18mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 16mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=8mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{8mm}{2}$
$d_1=24,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=24mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-24,0mm$
$d=176mm=17,6cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren m_{x,r}

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,6cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,6cm$

$M_{Eds}=M_{Ed}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,7cm$
	$|extrn=0$
	$|mit:M_{Ed,S}=m_{x,m}=1664\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=1664\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=1664\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,7cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=1664\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{1664\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,7cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0378$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0306$
	$|mit:{\omega }_2=0,0410$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0378$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,03$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,04$
$\omega =0,0306+\frac{0,0410-0,0306}{0,04-0,03}\cdot (0,0378-0,03)$
$\omega =0,0387$

$a_{sx,r}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0306$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
$a_{sx,r}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0387\cdot 100cm\cdot 17,6cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0\frac{kN}{m})$
$a_{sx,r}=2,20\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: ø8 / 20cm, $a_{sx,r}=2,51\frac{c{m}^2}{m}$

$a_{sy,r}=0,2\cdot a_{sx,r}$	$|mit:a_{sx,r}=2,20\frac{c{m}^2}{m}$
$a_{sy,r}=0,2\cdot 2,20\frac{c{m}^2}{m}$
$a_{sy,r}=0,44\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: ø6 / 25cm, $a_{sy,r}=1,13\frac{c{m}^2}{m}$

Querkraftbemessung

Bauteile ohne Querkraftbewehrung

$V_{Ed}=42,61\frac{kN}{m^2}$

$C_{Rdc}=\frac{0,15}{{\gamma }_c}$	$|mit:{\gamma }_c=1,5$
$C_{Rdc}=\frac{0,15}{1,5}$
$C_{Rdc}=0,1$

$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \le 2,0\end{array}$
	$|mit:d=176mm$
$k=1+\sqrt{\frac{200}{176}}$
$k=2,07$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \ge 2,0\end{array}$
$k=2$

${\rho }_l=\frac{A_{sl}}{b_w\cdot d}$	$\le 0,02$
	$|mit:A_{sl}=a_{sx,r}=2,51\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:b_w=100cm$
	$|mit:d=17,6cm$
${\rho }_l=\frac{2,51\frac{c{m}^2}{m}}{100cm\cdot 17,6cm}$
${\rho }_l=1,43\cdot 10^{-3}$	$\le 0,02$

$A_c=A-A_s$	$|mit:A=b_w\cdot h_L=b_w\cdot h_L=1000mm\cdot 200mm=200000$
	$|mit:A_{s,a_{sx,r},a_{sy,r}}=251\frac{m{m}^2}{m}+113\frac{m{m}^2}{m}=364\frac{m{m}^2}{m}$
$A_c=200000m{m}^2-364m{m}^2$
$A_c=199636m{m}^2$

${\sigma }_{cp}=\frac{N_{Ed}}{A_c}$	$|mit:N_{Ed}=0\frac{N}{m}$
	$|mit:A_c=199636m{m}^2$
${\sigma }_{cp}=\frac{0\frac{N}{m}}{199636m{m}^2}$
${\sigma }_{cp}=0\frac{N}{m\cdot m{m}^2}$

$V_{Rd,c}=[C_{Rdc}\cdot k\cdot {(100\cdot {\rho }_l\cdot f_{ck})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot {\sigma }_{cp}]\cdot b_w\cdot d$	$|mit:{\sigma }_{cp}=0\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\rho }_l=1,43\cdot 10^{-3}$
	$|mit:k=2$
	$|mit:C_{Rdc}=0,1$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:b_w=1000mm$
	$|mit:d=176mm$
$V_{Rd,c}=[0,1\cdot 2\cdot {(100\cdot 1,43\cdot 10^{-3}\cdot 25\frac{N}{m{m}^2})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot 0\frac{N}{m{m}^2}]\cdot 1000mm\cdot 176mm$
$V_{Rd,c}=53823N$	$\ge V_{Ed}$
$V_{Rd,c}=53,82kN$	$\ge 42,61\frac{kN}{m^2}$

Weitere Bemessung Hinsichtlich der Querkraft für dieses Bauteil nicht erforderlich da der Nachweis erfüllt ist .

Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchs

Begrenzung der Biegeschlankheit des Treppenlauf

$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$		für: $\rho \le {\rho }_0$
$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho -{\rho }_{\text{'}}}+\frac{1}{12}\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_{\text{'}}}{{\rho }_0}{)}^{1/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$		für: $\rho >{\rho }_0$

${\rho }_0=10^{-3}\cdot \sqrt{f_{ck}}$	$|mit:f_{ck}=25\frac{N}{m{m}^2}$
${\rho }_0=10^{-3}\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}$
${\rho }_0=5\cdot 10^{-3}$

$\rho =\frac{A_s}{b\cdot d}$	$|mit:A_s=a_{sx,r}=2,51\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
$\rho =\frac{2,51\frac{c{m}^2}{m}}{100cm\cdot 17,6cm}$
$\rho =1,43\cdot 10^{-3}$	$\le {\rho }_0$

$\frac{l}{d}\le K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]\le {\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=\frac{l}{d}$	$|mit:d=0,176m$
	$|mit:l=b_P=2,45m$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=\frac{2,45m}{0,176m}$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}=13,92$

${\frac{l}{d}}_{zul}=K[11+1,5\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot \frac{{\rho }_0}{\rho }+3,2\cdot \sqrt{f_{ck}}\cdot (\frac{{\rho }_0}{\rho }-1{)}^{3/2}]$	$|mit:K_{Einfeldplatte}=1$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:\rho =1,43\cdot 10^{-3}$
	$|mit:{\rho }_0=5\cdot 10^{-3}$
${\frac{l}{d}}_{zul}=1[11+1,5\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}\cdot \frac{5\cdot 10^{-3}}{1,43\cdot 10^{-3}}+3,2\cdot \sqrt{25\frac{N}{m{m}^2}}\cdot (\frac{5\cdot 10^{-3}}{1,43\cdot 10^{-3}}-1{)}^{3/2}]$
${\frac{l}{d}}_{zul}=100.34$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}\le \{\begin{array}{l}K\cdot 35\\ K^2\cdot \frac{150}{l}\end{array}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}K\cdot 35$	$|mit:K_{Einfeldplatte}=1$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=1\cdot 35$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=35$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=K^2\cdot \frac{150}{l}$	$|mit:K_{Einfeldplatte}=1$
	$|mit:l=b_P=2,45m$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=1^2\cdot \frac{150}{2,45m}$
${\left(\frac{l}{d}\right)}_{max}=61,22$	$\ge {\left(\frac{l}{d}\right)}_{vorh}$

Lösung für das Hauptpodest

Das Hauptpodest wird als zweiseitig gelagert also einachsig gespannt

Das Zwischenpodest wird in diesem Beispiel anders als das Hauptpodest als Dreiseitig gelagert und somit zweiseitig gespannt betrachtet

Einwirkungen

Teilsicherheiten

${\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,50$
${\gamma }_{\mathrm{G}}=1,35$

Ständige

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$

$g_k=h\cdot {\gamma }_1+{\gamma }_{G_s=1,5cm}+N_s\cdot {\gamma }_{Naturstein}+{\gamma }_{Estrich}\cdot d_{Estrich}$	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:{\gamma }_1=25\frac{kN}{m^3}$
	$|mit:{\gamma }_{G_s=1,5cm}=0,18\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{Naturstein}=0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:N_s=3cm$
	$|mit:{\gamma }_{Estrich}=22\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}$
	$|mit:d_{Estrich}=4cm$
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: \gamma_{Trittschalldämmung} = 0,01 \frac{\frac{kN}{m^{2}}}{cm} }
	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: d_{Trittschalldämmung} = 4 cm }
$g_k=0,20m\cdot 25\frac{kN}{m^3}+0,18\frac{kN}{m^2}+3cm\cdot 0,3\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}+0,01\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}\cdot 4cm+0,22\frac{\frac{kN}{m^2}}{cm}\cdot 4cm$
$g_k=7\frac{kN}{m^2}$

$g_d=g_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{G}}$	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{G}}=1,5$
	$|mit:g_k=7\frac{kN}{m^2}$
$g_d=7\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$g_d=10,5\frac{kN}{m^2}$

Veränderliche

Lotrechte Nutzlasten für Treppen

	1		2	3	4	5
	Kategorie		Nutzung	Beispiele	$q_k[\frac{kN}{m^2}]$	$Q_k[kN]$
19	T	T1	Treppen und Treppenpodeste	Treppen und Treppenpodeste in Wohngebäuden, Bürogebäuden und von Arztpraxen ohne schweres Gerät	3,0	2,0
20		T2		alle Treppen und Treppenpodeste, die nicht in TI oder T3 eingeordnet werden können	5,0	2,0
21		T3		Zugänge und Treppen von Tribünen ohne feste Sitzplätze, die als Fluchtwege dienen	7,5	3,0

$\underset{\_}{q_k=3,0\frac{kN}{m^2}}$

$q_d=q_k\cdot {\gamma }_{\mathrm{Q}}$	$|mit:q_k=3,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:{\gamma }_{\mathrm{Q}}=1,5$
$q_d=3,0\frac{kN}{m^2}\cdot 1,5$
$q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$

Gesamt Einwirkungen

$F_d=g_d+q_d$	$|mit:q_d=4,5\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:g_d=10,5\frac{kN}{m^2}$
$F_d=10,5\frac{kN}{m^2}+4,5\frac{kN}{m^2}$
$F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$

$F_0=C_{Ed}$	$|mit:C_{Ed}=22.86\frac{kN}{m}$
$F_0=22.86\frac{kN}{m}$

$m_0=M_{Ed,S}$	$|mit:M_{Ed,S}=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_0=6.63\frac{kNm}{m}$

Statisches System

$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{h_P}{2}\\ \frac{t}{2}\end{array}$
	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:t_1=18cm$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{20cm}{2}\\ \frac{18cm}{2}\end{array}$
$a_1=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}10cm\\ 9cm\end{array}$
$a_1=9cm$

$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{h_P}{2}\\ \frac{t}{2}\end{array}$
	$|mit:h_P=20cm$
	$|mit:t_2=24cm$
$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}\frac{20cm}{2}\\ \frac{24cm}{2}\end{array}$
$a_2=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\begin{array}{l}10cm\\ 12cm\end{array}$
$a_2=10cm$

$b_P=2\cdot b+b^{\text{'}}+a_2+a_2$	$|mit:b=1,0m$
	$|mit:a_1=0,09m$
	$|mit:a_2=0,1m$
	$|mit:b^{\text{'}}=0,25m$
$b_P=2\cdot 1,0m+0,25m+0,09m+0,1m$
$b_P=2,44m$

$t_P=ln+a_1+a_2$	$|mit:ln=1,5m$
	$|mit:a_1=0m$
	$|mit:a_2=0m$
$t_P=1,50m+0m+0m$
$t_P=1,50m$

Schnittgrößen

Verhältnis Podesttiefe zu Podestbreite feststellen

$\frac{t_P}{b_P}$	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:t_P=1,50m$
$\frac{t_P}{b_P}=\frac{1,50m}{2,44m}$
$\frac{t_P}{b_P}\approx 0,6$

Ermittnlung der Momente über Tabelle

Tafel zur Schnittgrößen Ermittlung von Podestplatten mit gegenüberliegenden frei drehbar gelagerten Rändern

	1	2	6
	Belastungsvariante	$\frac{t_P}{b_P}$	0,6
			$\chi$
1	I	$m_{x,m}=\frac{F_d\cdot b_P^2}{8}$
2		$m_{y,m}=0,2\cdot m_{x,m}$
3	II	$m_{x,m}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	4,88
4		$m_{y,m}=-\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	26,4
5		$m_{x,r1}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	3,45
6		$m_{x,r2}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	6,85
7	III	$m_{x,m}=-\frac{m_0}{\chi }$	26,4
8		$m_{y,m}=-\frac{m_0}{\chi }$	3,00
9		$m_{x,r1}=\frac{m_0}{\chi }$	3,34
10		$m_{x,r2}=-\frac{m_0}{\chi }$	5,96
$\chi$ = Wert in der Tabelle in Belastungsvariante I wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich durch eine Gleichflächenlast $F_d$ belastet ist in Belastungsvariante II wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich Streckenlast $F_0$ am Rand aus der Auflagerkraft des Treppenlaufs belastet ist in Belastungsvariante III wird eine Podestplatte betrachtet die ausschließlich Streckenmoment $m_0$ aus der elastischen Einspannung des Treppenlaufs belastet ist

m_{x,m}

$m_i=m_{i,I}+m_{i,II}+m_{i,III}$

$m_{x,m,I}=\frac{F_d\cdot b_P^2}{8}$	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
$m_{x,m,I}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot (2,44m{)}^2}{8}$
$m_{x,m,I}\approx 11,16\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m,II}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =4,88$
	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{x,m,II}=\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,44m}{4,88}$
$m_{x,m,II}=11,43\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m,III}=-\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =26,4$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m,III}=-\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{26,4}$
$m_{x,m,III}\approx -0,25\frac{kNm}{m}$

$m_{x,m}=m_{x,m,I}+m_{x,m,II}+m_{x,m,III}$	$|mit:m_{x,m,I}=11,16\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,m,II}=11,43\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,m,III}=-0,25\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m}=11,16\frac{kNm}{m}+11,43\frac{kNm}{m}-0,25\frac{kNm}{m}$
$m_{x,m}=22,34\frac{kNm}{m}$

m_{y,m}

$m_i=m_{i,I}+m_{i,II}+m_{i,III}$

$m_{y,m,I}=0,2\cdot m_{x,m,I}$	$|mit:m_{x,m}=22,34\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m,I}=0,2\cdot 22,34$
$m_{y,m,I}\approx 4,47\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m,II}=-\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =26,4$
	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{y,m,II}=-\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,44m}{26,4}$
$m_{y,m,II}\approx -2,11\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m,III}=-\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =3,00$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m,III}=-\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{3,00}$
$m_{y,m,III}\approx -2,21\frac{kNm}{m}$

$m_{y,m}=m_{y,m,I}+m_{y,m,II}+m_{y,m,III}$	$|mit:m_{y,m,I}=4,47\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{y,m,II}=-2,11\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{y,m,III}=-2,21\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m}=4,47\frac{kNm}{m}-2,11\frac{kNm}{m}-2,21\frac{kNm}{m}$
$m_{y,m}=0,15\frac{kNm}{m}$

m_{x,r1}

$m_{x,r1,II}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =3,45$
	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{x,r1,II}=\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,44m}{3,45}$
$m_{x,r1,II}\approx 16,17\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r1,III}=\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =3,34$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r1,III}=\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{3,34}$
$m_{x,r1,III}\approx 1,99\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r1}=m_{x,r1,II}+m_{x,r1,III}$	$|mit:m_{x,r1,II}=16,17\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,r1,III}=1,99\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r1}=16,17\frac{kNm}{m}+1,99\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r1}=18,16\frac{kNm}{m}$

m_{x,r2}

$m_{x,r2,II}=\frac{F_0\cdot b_P}{\chi }$	$|mit:\chi =6,85$
	$|mit:b_P=2,44m$
	$|mit:F_d=22.86\frac{kN}{m}$
$m_{x,r2,II}=\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2,44m}{6,85}$
$m_{x,r2,II}\approx 8,14\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r2,III}=\frac{m_0}{\chi }$	$|mit:\chi =5,96$
	$|mit:m_0=6.63\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r2,III}=\frac{6.63\frac{kNm}{m}}{5,96}$
$m_{x,r2,III}\approx 1,11\frac{kNm}{m}$

$m_{x,r2}=m_{x,r1,II}+m_{x,r1,III}$	$|mit:m_{x,r1,II}=8,14\frac{kNm}{m}$
	$|mit:m_{x,r1,III}=1,11\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r2}=8,14\frac{kNm}{m}+1,11\frac{kNm}{m}$
$m_{x,r2}=9,25\frac{kNm}{m}$

Ermittnlung der maximalen Querkraft

$V_{Ed}=\frac{F_d\cdot b_P}{2}+\frac{F_0\cdot 2\cdot t_P}{2}$	$|mit:F_d=15,0\frac{kN}{m^2}$
	$|mit:b_P=2,45m$
	$|mit:F_0=22.86\frac{kN}{m}$
	$|mit:t_P=1,06m$
$V_{Ed}=\frac{15,0\frac{kN}{m^2}\cdot 2,45m}{2}+\frac{22.86\frac{kN}{m}\cdot 2\cdot 1,06m}{2}$
$V_{Ed}=42,61\frac{kN}{m^2}$

Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Materialparameter

$f_{cd}=\frac{{\alpha }_{cc}\cdot f_{ck}}{{\gamma }_C}$	$|mit:{\gamma }_C=1.5$
	$|mit:{\alpha }_{cc}=0.85$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
$f_{cd}=\frac{0.85\cdot 25\frac{kN}{c{m}^2}}{1.5}$
$f_{cd}=14,2\frac{kN}{c{m}^2}$

$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{{\gamma }_s}$	$|mit:f_{yk}=500\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\gamma }_s=1.15$
$f_{yd}=\frac{50\frac{kN}{c{m}^2}}{1,15}$
$f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$

Biegebemessung m_{x,m}

Vorbemessung m_{x,m}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{x,m}=22,34\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=22,34\frac{kNm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=22,34\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=22,34\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{2234\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 3,42\frac{kNcm}{m}$

gewählt: ø10/20cm, $a_s=3,93\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie m_{x,m}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=10mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=10mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=20mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 20mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=10mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{10mm}{2}$
$d_1=25,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=25mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-25,0mm$
$d=175mm=17,5cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren m_{x,m}

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,5cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,5cm$

$M_{Eds}=M_{Ed,S}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,5cm$
	$|extrn=0$
	$|mit:M_{Ed,S}=m_{x,m}=22,34\frac{kNm}{m}$
$M_{Eds}=2234\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=2234\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=m_{x,m}=2234\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{2234\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,5cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0514$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0515$
	$|mit:{\omega }_2=0,0621$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0514$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,05$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,06$
$\omega =0,0515+\frac{0,0621-0,0515}{0,06-0,05}\cdot (0,0514-0,05)$
$\omega =0,0530$

$a_{s,1,m_{x,m}}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0530$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
$a_{s,1,m_{x,m}}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0530\cdot 100cm\cdot 17,5cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0\frac{kN}{m})$
$a_{s,1,m_{x,m}}=3,02\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: ø10/25cm, $a_s=3,14\frac{c{m}^2}{m}$

Biegebemessung m_{y,m}

Vorbemessung m_{y,m}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{y,m}=0,15\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=15\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=15\frac{kNcm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=15\frac{kNcm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{15\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$	$\ge 0,2\cdot a_{s,est,m_{x,m}}$
$a_{s,est}\approx 0,023\frac{kNcm}{m}$	$<0,2\cdot 3,14\frac{kNcm}{m}=0,628\frac{kNcm}{m}$

gewählt: ø8/25cm, $a_s=2,01\frac{c{m}^2}{m}$

Biegebemessung m_{x,r1}

Vorbemessung m_{x,r1}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{x,r1}=18,16\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=18,16\frac{kNm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=18,16\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=18,16\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{1816\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 2,78\frac{kNcm}{m}$

gewählt: ø 10/25cm, $a_s=3,14\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie m_{x,r1}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=7mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=10mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=20mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 20mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=10mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{10mm}{2}$
$d_1=25,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=25mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-25,0mm$
$d=175mm=17,5cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren m_{x,r1}

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,5cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,5cm$

$M_{Eds}=M_{Ed}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,5cm$
	$|extrn=0$
	$|mit:M_{Ed,S}=m_{x,r1}=1816\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=1816\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=1816\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=1816\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{1816\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,5cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0418$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0410$
	$|mit:{\omega }_2=0,0515$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0418$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,04$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,05$
$\omega =0,0410+\frac{0,0410-0,0306}{0,05-0,04}\cdot (0,0418-0,04)$
$\omega =0,0387$

$a_{sx,r1}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0429$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,5cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
$a_{sx,r1}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0429\cdot 100cm\cdot 17,5cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0\frac{kN}{m})$
$a_{sx,r1}=2,45\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: ø8 / 20cm, $a_{sx,r1}=2,51\frac{c{m}^2}{m}$

Biegebemessung m_{x,r2}

Vorbemessung m_{x,r2}

$z_{est}=0,75\cdot h$	$|mit:h=h_p=20cm$
$z_{est}=0,75\cdot 20cm$
$z_{est}=15cm$

$M_{Ed,est}=M_{Ed}-N_{Ed}\cdot z_{s1,est}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:N_{Ed}=0\frac{kN}{m}$
	$|mit:M_{Ed}=m_{x,r2}=9,25\frac{kNm}{m}$
$M_{Ed,est}=9,25\frac{kNm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 0,15m$
$M_{Ed,est}=9,25\frac{kNm}{m}$

$a_{s,est}=\frac{M_{Ed,est}}{z_{s1,est}\cdot f_{yd}}+\frac{N_{Ed}}{f_{yd}}$	$|mit:z_{s1,est}=15cm$
	$|mit:f_{yd}=43,5\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:N_{Ed}=0$
	$|mit:M_{Ed,est}=9,25\frac{kNm}{m}$
$a_{s,est}=\frac{925\frac{kNcm}{m}}{15cm\cdot 43,5\frac{kN}{c{m}^2}}+\frac{0}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}$
$a_{s,est}\approx 1,42\frac{kNcm}{m}$

gewählt: ø 8/25cm, $a_s=2,01\frac{c{m}^2}{m}$

Querschnittsgeometrie m_{x,r2}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{cases}“): {\displaystyle c_{v}=\mathrm{max}\begin{cases} C_{nom,dur} \\ C_{nom,b,Bü} \\ C_{nom,b,L} \end{cases}}

$C_{nom,dur}=C_{min,dur}+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,dur}=10mm$ für XC1
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
$C_{nom,dur}=10mm+10mm$
$C_{nom,dur}=20mm$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = C_{min,b,Bü} + \Delta C_{dev} }	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle | mit: C_{min,b,Bü} = 0 mm }
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 0 mm + 10 mm }
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle C_{nom,b,Bü} = 10 mm }

$C_{nom,b,L}=C_{min,b,L}-\varnothing bue+\mathrm{\Delta }{C}_{dev}$	$|mit:C_{min,b,L}=8mm$
	$|mit:\mathrm{\Delta }{C}_{dev}=10mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
$C_{nom,b,L}=8mm-0mm+\mathrm{\Delta }10mm$
$C_{nom,b,L}=18mm$

$c_v=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\begin{array}{l}20mm\\ 10mm\\ 18mm\end{array}$

$d_1=c_v+\varnothing bue+\frac{\varnothing L}{2}$	$|mit:c_v=20mm$
	$|mit:\varnothing bue=0mm$
	$|mit:\varnothing L=10mm$
$d_1=20mm+0mm+\frac{8mm}{2}$
$d_1=24,0mm$

$d=h_L-d_1$	$|mit:d_1=24mm$
	$|mit:h_L=200mm$
$d=200mm-24,0mm$
$d=176mm=17,6cm$

Bemessung mit dem ω-Verfahren m_{x,r2}

$z_s=d-\frac{h_L}{2}$	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:h_L=20cm$
$z_s=17,6cm-\frac{20cm}{2}$
$z_s=7,6cm$

$M_{Eds}=M_{Ed}-extrn\cdot z_s$	$|mit:z_s=7,6cm$
	$|extrn=0$
	$|mit:M_{Ed,S}=m_{x,r2}=925\frac{kNcm}{m}$
$M_{Eds}=925\frac{kNcm}{m}-0\frac{kN}{m}\cdot 7,7cm$
$M_{Eds}=925\frac{kNcm}{m}$

${\mu }_{Eds}=\frac{M_{Eds}}{b\cdot d^2\cdot f_{cd}}$	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:M_{Eds}=925\frac{kNcm}{m}$
${\mu }_{Eds}=\frac{925\frac{kNcm}{m}}{100cm\cdot (17,6cm{)}^2\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}}$
${\mu }_{Eds}=0,0210$

$\omega ={\omega }_1+\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\mu }_{Eds,2}-{\mu }_{Eds,1}}\cdot ({\mu }_{Eds}-{\mu }_{Eds,1})$	$|mit:{\omega }_1=0,0203$
	$|mit:{\omega }_2=0,0306$
	$|mit:{\mu }_{Eds}=0,0210$
	$|mit:{\mu }_{Eds,1}=0,02$
	$|mit:{\mu }_{Eds,2}=0,03$
$\omega =0,0203+\frac{0,0306-0,0210}{0,03-0,02}\cdot (0,0210-0,02)$
$\omega =0,0227$

$a_{sx,r2}=\frac{1}{{\sigma }_{sd}}\cdot (\omega \cdot b\cdot d\cdot f_{cd}+N_{Ed})$	$|mit:\omega =0,0228$
	$|mit:f_{cd}=1,42\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:d=17,6cm$
	$|mit:b=100cm$
	$|mit:N_{Ed}=0$
$a_{sx,r2}=\frac{1}{43,5\frac{kN}{c{m}^2}}\cdot (0,0228\cdot 100cm\cdot 17,6cm\cdot 1,42\frac{kN}{c{m}^2}+0\frac{kN}{m})$
$a_{sx,r2}=1,30\frac{c{m}^2}{m}$

gewählt: ø8 / 25cm, $a_{sx,r2}=2,01\frac{c{m}^2}{m}$

Querkraftbemessung

Bauteile ohne Querkraftbewehrung

$V_{Ed}=42,61\frac{kN}{m^2}$

$C_{Rdc}=\frac{0,15}{{\gamma }_c}$	$|mit:{\gamma }_c=1,5$
$C_{Rdc}=\frac{0,15}{1,5}$
$C_{Rdc}=0,1$

$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \le 2,0\end{array}$
	$|mit:d=176mm$
$k=1+\sqrt{\frac{200}{176}}$
$k=2,07$	$\{\begin{array}{l}\ge 1,0\\ \ge 2,0\end{array}$
$k=2$

${\rho }_l=\frac{A_{sl}}{b_w\cdot d}$	$\le 0,02$
	$|mit:A_{sl}=a_{sx,r1}=2,51\frac{c{m}^2}{m}$
	$|mit:b_w=100cm$
	$|mit:d=17,6cm$
${\rho }_l=\frac{2,51\frac{c{m}^2}{m}}{100cm\cdot 17,6cm}$
${\rho }_l=1,43\cdot 10^{-3}$	$\le 0,02$

$A_c=A-A_s$	$|mit:A=b_w\cdot h_L=b_w\cdot h_L=1000mm\cdot 200mm=200000$
	$|mit:A_{s,a_{sx,r},a_{sy,r}}=251\frac{m{m}^2}{m}+113\frac{m{m}^2}{m}=364\frac{m{m}^2}{m}$
$A_c=200000m{m}^2-364m{m}^2$
$A_c=199636m{m}^2$

${\sigma }_{cp}=\frac{N_{Ed}}{A_c}$	$|mit:N_{Ed}=0\frac{N}{m}$
	$|mit:A_c=199636m{m}^2$
${\sigma }_{cp}=\frac{0\frac{N}{m}}{199636m{m}^2}$
${\sigma }_{cp}=0\frac{N}{m\cdot m{m}^2}$

$V_{Rd,c}=[C_{Rdc}\cdot k\cdot {(100\cdot {\rho }_l\cdot f_{ck})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot {\sigma }_{cp}]\cdot b_w\cdot d$	$|mit:{\sigma }_{cp}=0\frac{N}{m{m}^2}$
	$|mit:{\rho }_l=1,43\cdot 10^{-3}$
	$|mit:k=2$
	$|mit:C_{Rdc}=0,1$
	$|mit:f_{ck}=25\frac{kN}{c{m}^2}$
	$|mit:b_w=1000mm$
	$|mit:d=176mm$
$V_{Rd,c}=[0,1\cdot 2\cdot {(100\cdot 1,43\cdot 10^{-3}\cdot 25\frac{N}{m{m}^2})}^{\frac{1}{3}}+0,12\cdot 0\frac{N}{m{m}^2}]\cdot 1000mm\cdot 176mm$
$V_{Rd,c}=53823N$	$\ge V_{Ed}$
$V_{Rd,c}=53,82kN$	$\ge 42,61\frac{kN}{m^2}$

Weitere Bemessung Hinsichtlich der Querkraft für dieses Bauteil nicht erforderlich da der Nachweis erfüllt ist .

Quellen

Normen

Fachliteratur

Links

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