Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen
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=Aufgabenstellung= | =Aufgabenstellung= | ||
+ | Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln. | ||
+ | * l<sub>eff</sub>=6m | ||
+ | * <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung) | ||
+ | * b/h=35cm/75cm | ||
+ | * d=70cm | ||
+ | * B500A | ||
+ | * Längsbewehrung: 4⌀25 (A<sub>s,vorh</sub>=19,64cm²) | ||
+ | * C 20/25 | ||
+ | * ε<sub>cs</sub>=0,4‰ | ||
+ | * φ (∞,t<sub>0</sub>)=2 | ||
+ | =Festigkeiten= | ||
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+ | <math>f_{ctm}=2,2 \frac{N}{mm^2}=0,22\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
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+ | =Vorbereitende Berechnung= | ||
+ | '''Ermittlung des quasi-ständigen Moments''' | ||
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+ | <math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot6^2}{8}=299,25kNm</math> | ||
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+ | '''Ermittlung des Rissbildungsmoments''' | ||
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+ | <math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math> | ||
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+ | <math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230468cm^4</math> | ||
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+ | <math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1230468}{37,5}=7219kNcm</math> | ||
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+ | '''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul''' | ||
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+ | <math>E_{cm}=30000\frac{N}{mm^2}</math> | ||
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+ | <math>E_{c,eff}=\frac{E_{cm}}{1+\phi_{\infty,t_0}}=\frac{30000}{1+2}=10000\frac{N}{mm^2}=1000\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
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+ | '''Ermittlung der Druckzonenhöhe''' | ||
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+ | <math> \alpha_e=\frac{E_s}{E_{c,eff}}=\frac{200000}{10000}=20 </math> | ||
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+ | <math> \rho_l=\frac{A_s}{b\cdot d}=\frac{19,64}{35\cdot 70}=0,008 </math> | ||
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+ | <math> \rho_l\cdot \alpha_e=20\cdot0,008=0,16 </math> | ||
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+ | <math>x=\xi\cdot d=d\cdot\left(-\alpha_e\cdot\rho_l+\sqrt{(\alpha_e\cdot\rho_l)^2+2\cdot\alpha_e\cdot\rho_l}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>x=70\cdot\left(-0,16+\sqrt{0,16^2+2\cdot0,16}\right)</math> | ||
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+ | <math>x=29,95cm</math> | ||
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+ | =Ermittlung der Krümmung= | ||
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+ | '''Krümmung im Zustand I''' | ||
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+ | <math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math> | ||
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+ | <math>\kappa_I = \frac{29925}{1000\cdot1230468 }=2,43\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=2,43\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Krümmung im Zustand II''' | ||
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+ | <math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}=\frac{29925}{19,64\cdot\left(70-\frac{29,95}{3}\right)}=25,39\frac{kN}{cm^2}</math> | ||
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+ | <math>\varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s}=\frac{25,39}{20000}=1,27\cdot 10^{-3}</math> | ||
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+ | <math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math> | ||
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+ | <math>\kappa_{II} = \frac{1,27\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=3,17\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=3,17\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math> | ||
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+ | '''Krümmung - wahrscheinlicher Wert''' | ||
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+ | <math>\beta=1,0</math> | ||
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+ | <math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{7219}{29925}\right)^2=0,942</math> | ||
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+ | <math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math> | ||
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+ | <math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,942\cdot3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,942\right)\cdot2,43\cdot 10^{-3}</math> | ||
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+ | <math>\underline{\kappa_m=3,13\cdot 10^{-3}}</math> | ||
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+ | =Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden= | ||
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+ | '''Krümmung im Zustand I''' | ||
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+ | [[Datei:Direkte_Verformungsberechnung_-_Näherungsverfahren_(Bsp.)_1.jpg|300px|thumb|right|Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II<ref>Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425</ref>]] | ||
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+ | <math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math> | ||
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+ | <math>I_{I}=1230468cm^4</math> | ||
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+ | <math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math> | ||
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+ | <math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math> | ||
+ | |||
+ | <math> \kappa_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{638,3}{1230468}=4,15\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=4,15\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math> | ||
+ | |||
+ | '''Krümmung im Zustand II''' | ||
+ | |||
+ | <math> \kappa_{cs,II}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_{II}}{I_{II}} </math> | ||
+ | |||
+ | <math> k_{II}=1</math> | ||
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+ | <math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot1230468=1230468</math> | ||
+ | |||
+ | <math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math> | ||
+ | |||
+ | <math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1230468}=5,11\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,11\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math> | ||
+ | |||
+ | '''Krümmung - wahrscheinlicher Wert''' | ||
+ | |||
+ | <math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\kappa_{cs,m}=0,942\cdot5,11\cdot 10^{-4}+\left(1-0,942\right)\cdot4,15\cdot 10^{-4}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{\kappa_{cs,m}=5,05\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math> | ||
+ | |||
+ | =Ermittlung der Gesamtkrümmung= | ||
+ | |||
+ | <math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math> | ||
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+ | <math>\kappa_{m,tot}=3,13\cdot 10^{-3}+5,05\cdot 10^{-4}</math> | ||
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+ | <math>\underline{\kappa_{m,tot}=3,64\cdot 10^{-3}}</math> | ||
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+ | =Ermittlung der Durchbiegung= | ||
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+ | =>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER <ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref> vgl. [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile]]) | ||
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+ | k=0,125 | ||
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+ | <math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math> | ||
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+ | <math>w=0,125\cdot 6^2\cdot3,64\cdot 10^{-3}</math> | ||
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+ | <math>\underline{\underline{w=0,016m=1,6cm}}</math> | ||
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+ | =Quellen= | ||
+ | <references /> | ||
+ | <br /> | ||
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Aktuelle Version vom 14. Juni 2024, 17:05 Uhr
Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.
Aufgabenstellung
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
- leff=6m
- (Kurzzeitbelastung)
- b/h=35cm/75cm
- d=70cm
- B500A
- Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
- C 20/25
- εcs=0,4‰
- φ (∞,t0)=2
Festigkeiten
Vorbereitende Berechnung
Ermittlung des quasi-ständigen Moments
Ermittlung des Rissbildungsmoments
Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul
Ermittlung der Druckzonenhöhe
Ermittlung der Krümmung
Krümmung im Zustand I
Krümmung im Zustand II
Krümmung - wahrscheinlicher Wert
Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden
Krümmung im Zustand I
Krümmung im Zustand II
Krümmung - wahrscheinlicher Wert
Ermittlung der Gesamtkrümmung
Ermittlung der Durchbiegung
=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER [2] vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)
k=0,125
Quellen
Seiteninfo
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