Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
 
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
  
* l<sub>eff</sub>=10m
+
* l<sub>eff</sub>=6m
* <math>p_{Ed,perm}=40\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
+
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
 
* b/h=35cm/75cm  
 
* b/h=35cm/75cm  
 
* d=70cm
 
* d=70cm
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'''Ermittlung des quasi-ständigen Moments'''
 
'''Ermittlung des quasi-ständigen Moments'''
  
<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{40\cdot10^2}{8}=500kNm</math>
+
<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot6^2}{8}=299,25kNm</math>
  
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
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<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
 
<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
  
<math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot70^3}{12}=1000417cm^4</math>
+
<math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230468cm^4</math>
  
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1000417}{37,5}=5869kNcm</math>
+
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1230468}{37,5}=7219kNcm</math>
  
 
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
 
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
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<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
 
<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
  
<math>\kappa_I = \frac{50000}{1000\cdot1000417 }=5\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=5\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
+
<math>\kappa_I = \frac{29925}{1000\cdot1230468 }=2,43\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=2,43\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
  
 
'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
  
<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}=\frac{50000}{19,64\cdot\left(70-\frac{29,95}{3}\right)}=42,42\frac{kN}{cm^2}</math>
+
<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}=\frac{29925}{19,64\cdot\left(70-\frac{29,95}{3}\right)}=25,39\frac{kN}{cm^2}</math>
  
<math>\varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s}=\frac{42,42}{20000}=2,121\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>\varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s}=\frac{25,39}{20000}=1,27\cdot 10^{-3}</math>
  
 
<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
 
<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
  
<math>\kappa_{II} = \frac{2,121\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=5,3\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=5,3\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
+
<math>\kappa_{II} = \frac{1,27\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=3,17\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=3,17\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
  
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
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<math>\beta=1,0</math>
 
<math>\beta=1,0</math>
  
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{5869}{50000}\right)^2=0,986</math>
+
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{7219}{29925}\right)^2=0,942</math>
  
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,986\cdot5,3\cdot 10^{-3}+\left(1-0,986\right)\cdot5\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>
  
<math>\underline{\kappa_m=5,3\cdot 10^{-3}}</math>
+
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,942\cdot3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,942\right)\cdot2,43\cdot 10^{-3}</math>
 +
 
 +
<math>\underline{\kappa_m=3,13\cdot 10^{-3}}</math>
  
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
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<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
 
<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
  
<math>I_{I}=1000417cm^4</math>
+
<math>I_{I}=1230468cm^4</math>
  
 
<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
 
<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
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<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
 
<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
  
<math> \kappa_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{638,3}{1000417}=5,1\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,1\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
+
<math> \kappa_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{638,3}{1230468}=4,15\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=4,15\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
  
 
'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
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<math> k_{II}=1</math>
 
<math> k_{II}=1</math>
  
<math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot1000417=1000417</math>
+
<math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot1230468=1230468</math>
  
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
  
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1000417}=6,3\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=6,3\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
+
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1230468}=5,11\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,11\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
  
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
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<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
 
<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
  
<math>\kappa_{cs,m}=0,986\cdot6,3\cdot 10^{-4}+\left(1-0,986\right)\cdot5,1\cdot 10^{-4}</math>
+
<math>\kappa_{cs,m}=0,942\cdot5,11\cdot 10^{-4}+\left(1-0,942\right)\cdot4,15\cdot 10^{-4}</math>
  
<math>\underline{\kappa_{cs,m}=6,28\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math>
+
<math>\underline{\kappa_{cs,m}=5,05\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math>
  
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
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<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
 
<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
  
<math>\kappa_{m,tot}=5,3\cdot 10^{-3}+6,28\cdot 10^{-4}</math>
+
<math>\kappa_{m,tot}=3,13\cdot 10^{-3}+5,05\cdot 10^{-4}</math>
  
<math>\underline{\kappa_{m,tot}=5,93\cdot 10^{-3}}</math>
+
<math>\underline{\kappa_{m,tot}=3,64\cdot 10^{-3}}</math>
  
 
=Ermittlung der Durchbiegung=
 
=Ermittlung der Durchbiegung=
Zeile 130: Zeile 132:
 
<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
 
<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
  
<math>w=0,125\cdot 10^2\cdot5,93\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>w=0,125\cdot 6^2\cdot3,64\cdot 10^{-3}</math>
  
<math>\underline{\underline{w=0,0741m=7,41cm}}</math>
+
<math>\underline{\underline{w=0,016m=1,6cm}}</math>
  
 
=Quellen=
 
=Quellen=

Aktuelle Version vom 14. Juni 2024, 17:05 Uhr

Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

  • leff=6m
  • (Kurzzeitbelastung)
  • b/h=35cm/75cm
  • d=70cm
  • B500A
  • Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
  • C 20/25
  • εcs=0,4‰
  • φ (∞,t0)=2

Festigkeiten

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des quasi-ständigen Moments

Ermittlung des Rissbildungsmoments

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

Ermittlung der Druckzonenhöhe

Ermittlung der Krümmung

Krümmung im Zustand I

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden

Krümmung im Zustand I

Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II[1]

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Gesamtkrümmung

Ermittlung der Durchbiegung

=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER [2] vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)

k=0,125

Quellen

  1. Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425
  2. Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995


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