Direkte Verformungsberechnung - Näherungsverfahren (Bsp.): Unterschied zwischen den Versionen

Aus Baustatik-Wiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen
K
 
(4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
 
Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.
  
* l<sub>eff</sub>=10m
+
* l<sub>eff</sub>=6m
* <math>p_{Ed,perm}=40\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
+
* <math>p_{Ed,perm}=66,5\frac{kN}{m}</math> (Kurzzeitbelastung)
 
* b/h=35cm/75cm  
 
* b/h=35cm/75cm  
 
* d=70cm
 
* d=70cm
Zeile 20: Zeile 20:
 
'''Ermittlung des quasi-ständigen Moments'''
 
'''Ermittlung des quasi-ständigen Moments'''
  
<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{40\cdot10^2}{8}=500kNm</math>
+
<math>M_{Ed,perm}=\frac{p_{Ed,perm}\cdot l^2}{8}=\frac{66,5\cdot6^2}{8}=299,25kNm</math>
  
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
 
'''Ermittlung des Rissbildungsmoments'''
Zeile 26: Zeile 26:
 
<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
 
<math>z_{I}=\frac{75}{2}=37,5cm</math>
  
<math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot70^3}{12}=1000417cm^4</math>
+
<math>I_{I}=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{35\cdot75^3}{12}=1230468cm^4</math>
  
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1000417}{37,5}=5869kNcm</math>
+
<math>M_{cr}=f_{ctm}\cdot\frac{I_I}{z_I}=0,22\cdot\frac{1230468}{37,5}=7219kNcm</math>
  
 
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
 
'''Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul'''
Zeile 56: Zeile 56:
 
<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
 
<math>\kappa_I = \left(\frac{1}{r}\right)_{I} = \frac{M_{Ed}}{E_{c,eff}\cdot I_I}</math>
  
<math>\kappa_I = \frac{50000}{1000\cdot1000417 }=5\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=5\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
+
<math>\kappa_I = \frac{29925}{1000\cdot1230468 }=2,43\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=2,43\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
  
 
'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
  
<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}=\frac{50000}{19,64\cdot\left(70-\frac{29,95}{3}\right)}=42,42\frac{kN}{cm^2}</math>
+
<math>\sigma_s=\frac{M_{Ed}}{A_s\cdot\left(d-\frac{x}{3}\right)}=\frac{29925}{19,64\cdot\left(70-\frac{29,95}{3}\right)}=25,39\frac{kN}{cm^2}</math>
  
<math>\varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s}=\frac{42,42}{20000}=2,121\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>\varepsilon_s=\frac{\sigma_s}{E_s}=\frac{25,39}{20000}=1,27\cdot 10^{-3}</math>
  
 
<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
 
<math>\kappa_{II} = \left(\frac{1}{r}\right)_{II} = \frac{\varepsilon_s}{d-x}</math>
  
<math>\kappa_{II} = \frac{2,121\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=5,3\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=5,3\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
+
<math>\kappa_{II} = \frac{1,27\cdot 10^{-3}}{70-29,95}=3,17\cdot 10^{-5}\frac{1}{cm}=3,17\cdot 10^{-3}\frac{1}{m}</math>
  
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
Zeile 72: Zeile 72:
 
<math>\beta=1,0</math>
 
<math>\beta=1,0</math>
  
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{5869}{50000}\right)^2=0,986</math>
+
<math>\zeta=1-\beta\cdot\left(\frac{M_{cr}}{M_{Ed}}\right)^2=1-1\cdot\left(\frac{7219}{29925}\right)^2=0,942</math>
  
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,986\cdot5,3\cdot 10^{-3}+\left(1-0,986\right)\cdot5\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{I}</math>
  
<math>\underline{\kappa_m=5,3\cdot 10^{-3}}</math>
+
<math>\kappa_m=\left(\frac{1}{r}\right)_m=0,942\cdot3,17\cdot 10^{-3}+\left(1-0,942\right)\cdot2,43\cdot 10^{-3}</math>
 +
 
 +
<math>\underline{\kappa_m=3,13\cdot 10^{-3}}</math>
  
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
 
=Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden=
Zeile 86: Zeile 88:
 
<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
 
<math> \kappa_{cs,I}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs}=\varepsilon_{cs}\cdot\alpha_e\cdot\frac{S_I}{I_I} </math>
  
<math>I_{I}=1000417cm^4</math>
+
<math>I_{I}=1230468cm^4</math>
  
 
<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
 
<math> z_{s1}=\frac{h}{2}-(h-d)=\frac{75}{2}-(75-70)=32,5cm </math>
Zeile 92: Zeile 94:
 
<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
 
<math> S_I=A_s\cdot z_{s1}=19,64\cdot 32,5=638,3cm^3 </math>
  
<math> \kappa_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{638,3}{1000417}=5,1\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,1\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
+
<math> \kappa_{cs,I}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{638,3}{1230468}=4,15\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=4,15\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
  
 
'''Krümmung im Zustand II'''
 
'''Krümmung im Zustand II'''
Zeile 100: Zeile 102:
 
<math> k_{II}=1</math>
 
<math> k_{II}=1</math>
  
<math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot1000417=1000417</math>
+
<math> I_{II}=k_{II}\cdot I_I=1\cdot1230468=1230468</math>
  
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
 
<math> S_{II}=A_s\cdot \left(d-x\right)=19,64\cdot\left(70-29,95\right)=786,58cm^3 </math>
  
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1000417}=6,3\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=6,3\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
+
<math> \kappa_{cs,II}=\frac{0,4}{1000}\cdot20\cdot\frac{786,58}{1230468}=5,11\cdot 10^{-6}\frac{1}{cm}=5,11\cdot 10^{-4}\frac{1}{m} </math>
  
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
 
'''Krümmung - wahrscheinlicher Wert'''
Zeile 110: Zeile 112:
 
<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
 
<math>\kappa_{cs,m}=\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}=\zeta\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,II}+\left(1-\zeta\right)\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,I}</math>
  
<math>\kappa_{cs,m}=0,986\cdot6,3\cdot 10^{-4}+\left(1-0,986\right)\cdot5,1\cdot 10^{-4}</math>
+
<math>\kappa_{cs,m}=0,942\cdot5,11\cdot 10^{-4}+\left(1-0,942\right)\cdot4,15\cdot 10^{-4}</math>
  
<math>\underline{\kappa_{cs,m}=6,28\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math>
+
<math>\underline{\kappa_{cs,m}=5,05\cdot 10^{-4}\frac{1}{m}}</math>
  
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
 
=Ermittlung der Gesamtkrümmung=
Zeile 118: Zeile 120:
 
<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
 
<math>\kappa_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}=\left(\frac{1}{r}\right)_{m}+\left(\frac{1}{r}\right)_{cs,m}</math>
  
<math>\kappa_{m,tot}=5,3\cdot 10^{-3}+6,28\cdot 10^{-4}</math>
+
<math>\kappa_{m,tot}=3,13\cdot 10^{-3}+5,05\cdot 10^{-4}</math>
  
<math>\underline{\kappa_{m,tot}=5,93\cdot 10^{-3}}</math>
+
<math>\underline{\kappa_{m,tot}=3,64\cdot 10^{-3}}</math>
  
 
=Ermittlung der Durchbiegung=
 
=Ermittlung der Durchbiegung=
Zeile 126: Zeile 128:
 
=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER <ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref> vgl. [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile]])
 
=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER <ref>Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995</ref> vgl. [[Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile]])
  
k=0,125
+
<math>k=\frac{5}{48}</math>
  
 
<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
 
<math>w=k\cdot l^2\cdot\left(\frac{1}{r}\right)_{m,tot}</math>
  
<math>w=0,125\cdot 10^2\cdot5,93\cdot 10^{-3}</math>
+
<math>w=\frac{5}{48}\cdot 6^2\cdot3,64\cdot 10^{-3}</math>
 +
 
 +
<math>\underline{\underline{w=0,014m=1,4cm}}</math>
 +
 
 +
=Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration=
 +
 
 +
Auf der Seite zur [[Direkte Verformungsberechnung - numerische Integration (Bsp.)|direkten Verformungsberechung mittels numerischer Integration]] wird das hier vorgestellte Beispiel mit der numerischen Integration wiederholt.
  
<math>\underline{\underline{w=0,0741m=7,41cm}}</math>
 
  
 
=Quellen=
 
=Quellen=

Aktuelle Version vom 25. Juni 2024, 23:18 Uhr

Auf dieser Seite wird die Anwendung des Näherungsverfahren zur direkten Verformungsberechnung nach EC2 an einem ausgewählten Beispiel dargestellt. Die theoretischen Grundlagen der direkten Verformungsberechnung werden auf einer gesonderten Seite dargestellt.

Aufgabenstellung

Ein Balken mit Rechteckquerschnitt wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch eine Gleichlast in Höhe von 40 kN/m belastet. Der Beton hat eine Festigkeitsklasse C20/25. Für das gegebene Bauteil ist unter gegebener Belastung die Verformung in Balkenmitte zu ermitteln.

  • leff=6m
  • (Kurzzeitbelastung)
  • b/h=35cm/75cm
  • d=70cm
  • B500A
  • Längsbewehrung: 4⌀25 (As,vorh=19,64cm²)
  • C 20/25
  • εcs=0,4‰
  • φ (∞,t0)=2

Festigkeiten

Vorbereitende Berechnung

Ermittlung des quasi-ständigen Moments

Ermittlung des Rissbildungsmoments

Ermittlung des effektives Elastizitätsmodul

Ermittlung der Druckzonenhöhe

Ermittlung der Krümmung

Krümmung im Zustand I

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Krümmung infolge Schwinden

Krümmung im Zustand I

Steifigkeitsbeiwert für den Zustand II[1]

Krümmung im Zustand II

Krümmung - wahrscheinlicher Wert

Ermittlung der Gesamtkrümmung

Ermittlung der Durchbiegung

=>Einfeldträger, Gleichlast (Beiwert nach LITZNER [2] vgl. Direkte Verformungsberechnung - biegebeanspruchte Bauteile)

Vergleich der direkten Verformungsberechnung mit dem Näherungsverfahren und der numerischen Integration

Auf der Seite zur direkten Verformungsberechung mittels numerischer Integration wird das hier vorgestellte Beispiel mit der numerischen Integration wiederholt.


Quellen

  1. Deutscher Aussschuss für Stahlbeton: Bemessungshilfen zu Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton und Spannbetonwerken; DAfStb Heft 425
  2. Litzner, H.-U.: Grundlagen der Bemessung nach Eurocode 2, BK 1995


Seiteninfo
Quality-flag-white.gif
Status: in Bearbeitung