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| − | Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung
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| − | <math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math>
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| − | <br /><br />
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| − | erfüllt.<br />
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| − | Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie. Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen: mit der Betondruckzone als Druckgurt, der Längsbewehrung als Zuggurt, Druckdiagonalen im Beton und gegebenenfalls angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstreben.<br /><br />
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| − | [[File:Querkraftbemessung_1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| | <br /> | | <br /> |
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| − | Es sind die Druckdiagonalen unter einem Winkel Θ und die Zugstreben unter einem angeordneten Winkel α nachzuweisen. Dabei kann die aufnehmbare Querkraft durch eine der drei folgenden Werte bestimmt sein:<br /><br />
| + | ==Allgemeines== |
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| − | - <math>{{V}_{Rd,c}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne rechnerische Querkraftbewehrung (mit Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)<br /><br />
| + | Bauteile werden nicht nur durch Längskräfte und Biegemomente, sondern auch durch Querkräfte beansprucht. Die Querkräfte erzeugen Schubspannungen in Querrichtung. Die Querkraftbemessung ist auf Grundlage eines Fachwerksmodells mit unterschiedlich geneigten |
| − | - <math>{{V}_{Rd,s}}</math> der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft mit angeordneter Querkraftbewehrung als Zugstrebe (mit Index s für steel). Die aufnehmbare Querkraft ist hierbei begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung<br /><br />
| + | Druckstreben entwickelt worden.<br /> |
| − | - <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> der Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Be-tondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.
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| − | == Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==
| + | Bei der Querkraftbemessung werden die Querkrafttragfähigkeit '''V<sub>Rd</sub>''' des Bauteils und der Bemessungswert der Querkraft '''V<sub>Ed</sub>''' miteinander verglichen. Es gilt: |
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| − | Ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung dennoch zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:
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| | + | <math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math> |
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| − | <math>{{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac{1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\ge {{V}_{Rd,c,\min }}</math>
| + | Das Vorgehen bei der Bemessung ist dabei ähnlich der Biegebemessung: Unter der Prämisse, dass die Querkrafttragfähigkeit im GZT vollständig ausgeschöpft wird - d.h. V<sub>Ed</sub> = V<sub>Rd,c</sub> - wird die erforderliche Bewehrungsmenge zur Abtragung der Zugkräfte ermittelt. Parallel dazu muss überprüft werden, ob der Betonquerschnitt die Druckkräfte aufnehmen kann.<ref name = "Q2">Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier. Bemessung im konstruktiven Betonbau. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, S. 219-272, 2006</ref><br /> |
| − | <br /><br /> | |
| − | mit<br />
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| − | <math>{{C}_{Rdc}}=\frac{0,15}{{{\gamma }_{c}}}</math>
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| − | <math>k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}\le 2</math> [mm]<br />
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| − | <math>{{b}_{w}}~</math> - der kleinsten Querschnittsbreite (mit Index w für width)<br />
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| − | d - der statischen Nutzhöhe<br />
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| − | <math>{{f}_{ck}}~</math> - der charakkteristische Betonzylinderdruckfestigkeit<br />
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| − | <math>{{\sigma }_{cp}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}}</math>, Druck hierbei positiv einzusetzen<br />
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| − | <math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}\cdot d}\le 0,02</math><br />
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| − | <math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> bei ständige und vorübergehender Bemessungskombination<br />
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| − | <math>{{\gamma }_{c}}=1,3~</math> bei außergewöhnlicher Bemessungskombination.<br /><br />
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| − | Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.<br />
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| − | Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.<br />
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| − | Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. <ref>Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013</ref>] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.<br />
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| − | Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.<br />
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| − | Sie formuliert sich zu
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| − | <math>{{V}_{Rd,c,\min }}=\left[ \frac{{{\kappa }_{1}}}{{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left( {{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}} \right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}} \right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d</math>
| + | Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein: |
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| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|V<sub>Rd,c</sub>]]''' - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)<br /> |
| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Maximale Querkrafttragfähigkeit|V<sub>Rd,s</sub>]]''' - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).<br /> |
| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Maximale Querkrafttragfähigkeit|V<sub>Rd,max</sub>]]''' - Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein. |
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| − | mit<br />
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| − | <math>{{\kappa }_{1}}=0,0525~</math> für <math>d\le 60cm</math><br /> | + | Für den Fall, dass '''V<sub>Ed</sub> ≤ V<sub>Rd,c</sub>''' ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.<br /> |
| − | <math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math>, Zwischenwerte dürfen interpoliert werden.<br /><br />
| + | Bei Balken und Platten mit b/h ≤ 5,0 ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.<br /> |
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| − | Auf [[Mindestbewehrung|Mindestbewehrung]] darf bei eingehaltenem Querkraftbemessungswiderstand bei Platten und ähnlich förmigen Bauteilen mit <math>b/h>5</math> oder bei „Bauteilen von untergeordneter Bedeutung, die nicht wesentlich zur Gesamttragfähigkeit oder Gesamtstabilität des Tragwerkes beitragen“ <ref>DIN EN 1992: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken</ref> verzichtet werden. Bei ersterem erfolgt eine Lastverteilung in Querrichtung.<br />
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| − | Ansonsten ist stets eine Mindestquerkraftbewehrung anzuordnen. Sie berechnet sich mit<br /><br />
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| − | <math>\min \ {{a}_{sw}}={{b}_{w}}\cdot \sin \alpha \cdot \min {{\rho }_{w}}</math> | + | Wenn '''V<sub>Ed</sub> > V<sub>Rd,c</sub>''' muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.<br /> |
| − | <br /><br />
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| − | mit<br />
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| − | α – dem Winkel der Bügelbewehrung in Grad zur Horizontalen<br />
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| − | <math>\min {{\rho }_{w}}~</math> - dem Mindestschubbewehrungsgrad in Dezimalzahl
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| − | [[File:Querkraftbemessung 2.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]]<br />
| + | Der Bemessungswert der Querkraft '''V<sub>Ed</sub>''' darf den Bemessungswiderstand '''V<sub>Rd,max</sub>''' keinesfalls überschreiten. |
| − | <br /> | |
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| − | == Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung == | + | ==Einfluss der Lagerungsbedingungen für den Bemessungswert V<sub>Ed</sub>== |
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| − | Hierbei wird bei vorangegangener Überschreitung von <math>{{V}_{Rd,c}}</math> ist die einzulegende Bügelbewehrung auszurechnen und die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachzuweisen.<br />
| + | Für die Ermittlung des Bemessungswerts der Querkraft spielt die [[Direkte/Indirekte Lagerung|Lagerung]] des Bauteils eine wichtige Rolle.<br /> |
| − | Die Neigung der Druckstreben Θ darf bei der Berechnung von <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> frei gewählt werden, solange sie nicht 45° (cot Θ = 1,0) übersteigt und mindestens<br /><br />
| + | Bei einer direkten Auflagerung darf der Bemessungswert der Querkraft V<sub>Ed</sub> abgemindert werden: |
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| | + | *'''Direkte Lagerung mit einer Gleichlast''' |
| | + | [[Datei:Direkte Lagerung Gleichlast.jpg]] |
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| − | <math>\cot \Theta =\frac{1,2-1,4\cdot \frac{{{\sigma }_{cp}}}{{{f}_{cd}}}}{1-\frac{{{V}_{Rd,cc}}}{{{V}_{Ed}}}}\le \left\{ \begin{matrix}
| + | *'''Direkte Lagerung mit einer Einzellast''' |
| − | 3,0\quad f\ddot{u}r\ Normalbeton \\
| + | [[Datei:Querkraftbemessung (2).jpg]] |
| − | 2,0\quad f\ddot{u}r\ Leichtbeton \\
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| − | \end{matrix} \right\}\ge \left\{ \begin{matrix}
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| − | 1,0\quad f\ddot{u}r\ lotrechte\ B\ddot{u}gel \\
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| − | 0,58\quad f\ddot{u}r\ geneigte\ B\ddot{u}gel \\
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| − | \end{matrix} \right\}</math>
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| − | <br />
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| − | mit<br />
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| − | <math>{{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac{1}{3}}\cdot \left( 1-1,2\cdot \frac{{{\sigma }_{cd}}}{{{f}_{cd}}} \right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z</math><br />
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| − | <math>{{f}_{cd}}~</math> - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit<br /><br />
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| − | eingehalten ist. Bei geneigter Bügelbewehrung ist ein unterer Grenzwert von <math>\cot \Theta =0,58</math> zulässig.<br />
| + | Hierfür gilt:<br /> |
| − | Vereinfachend kann <br />
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| − | <math>\cot \Theta =1,2~</math> <br /> | + | <math>{{V}_{Ed}}=\beta\cdot max{{V}_{Ed,F}}</math><br /> |
| − | - für reine Biegung<br />
| + | |
| − | - für Biegung und Längsdruckkraft und<br /><br />
| + | wobei:<br /> |
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| − | <math>\cot \Theta =1,0~</math> <br /> | + | :<math>\beta={{a}_{v}}/2,0\cdot d</math> |
| − | - für Biegung mit Längszugkraft<br /><br />
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| − | angenommen werden.<br />
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| − | Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe ergibt sich zu<br /><br />
| + | ==Beispiel: Querkraftbemessung eines Stahlbetonbalkens== |
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| − | <math>{{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot \frac{\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^\text{2}\Theta }</math>
| + | Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite: '''[[Querkraftbemessung (Bsp.)|Querkraftbemessung (Bsp.)]]''' |
| − | <br /><br />
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| − | mit
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| − | <math>{{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left( 1,1-\frac{{{f}_{ck}}}{500} \right)\le 0,75</math>
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| − | Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich zu<br /><br />
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| − | <math>{{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )</math>
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| − | <br /><br />
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| − | mit<br />
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| − | <math>{{a}_{sw}}~</math>- der Querbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit<br />
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| − | <math>{{f}_{yd}}~</math> - dem Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und<br />
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| − | z - deminnerer Hebelarm der Kräfte<br />
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| − | <br />
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| | ==Quellen== | | ==Quellen== |
| | + | <references /> |
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| − | <references />
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| − | [[Kategorie:Grundlagen/Begriffe]] | + | [[Kategorie:Grundlagen/Begriffe-Stahlbetonbau]] |
Allgemeines
Bauteile werden nicht nur durch Längskräfte und Biegemomente, sondern auch durch Querkräfte beansprucht. Die Querkräfte erzeugen Schubspannungen in Querrichtung. Die Querkraftbemessung ist auf Grundlage eines Fachwerksmodells mit unterschiedlich geneigten
Druckstreben entwickelt worden.
Bei der Querkraftbemessung werden die Querkrafttragfähigkeit VRd des Bauteils und der Bemessungswert der Querkraft VEd miteinander verglichen. Es gilt:
Das Vorgehen bei der Bemessung ist dabei ähnlich der Biegebemessung: Unter der Prämisse, dass die Querkrafttragfähigkeit im GZT vollständig ausgeschöpft wird - d.h. VEd = VRd,c - wird die erforderliche Bewehrungsmenge zur Abtragung der Zugkräfte ermittelt. Parallel dazu muss überprüft werden, ob der Betonquerschnitt die Druckkräfte aufnehmen kann.[1]
Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein:
- VRd,c - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)
- VRd,s - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).
- VRd,max - Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.
Für den Fall, dass VEd ≤ VRd,c ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.
Bei Balken und Platten mit b/h ≤ 5,0 ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.
Wenn VEd > VRd,c muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.
Der Bemessungswert der Querkraft VEd darf den Bemessungswiderstand VRd,max keinesfalls überschreiten.
Einfluss der Lagerungsbedingungen für den Bemessungswert VEd
Für die Ermittlung des Bemessungswerts der Querkraft spielt die Lagerung des Bauteils eine wichtige Rolle.
Bei einer direkten Auflagerung darf der Bemessungswert der Querkraft VEd abgemindert werden:
- Direkte Lagerung mit einer Gleichlast
- Direkte Lagerung mit einer Einzellast
Hierfür gilt:
wobei:
Beispiel: Querkraftbemessung eines Stahlbetonbalkens
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite: Querkraftbemessung (Bsp.)
Quellen
- ↑ Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier. Bemessung im konstruktiven Betonbau. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, S. 219-272, 2006
Seiteninfo
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