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| | ==Allgemeines== | | ==Allgemeines== |
| − | Der Nachweis der ausreichenden Querkrafttragfähigkeit ist mit der Bedingung
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| − | <math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math> | + | Bauteile werden nicht nur durch Längskräfte und Biegemomente, sondern auch durch Querkräfte beansprucht. Die Querkräfte erzeugen Schubspannungen in Querrichtung. Die Querkraftbemessung ist auf Grundlage eines Fachwerksmodells mit unterschiedlich geneigten |
| | + | Druckstreben entwickelt worden.<br /> |
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| − | erfüllt.<br />
| + | Bei der Querkraftbemessung werden die Querkrafttragfähigkeit '''V<sub>Rd</sub>''' des Bauteils und der Bemessungswert der Querkraft '''V<sub>Ed</sub>''' miteinander verglichen. Es gilt: |
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| − | Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein:
| + | <math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd}}</math> |
| − | :V<sub>Rd,c</sub> - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)<br />
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| − | :V<sub>Rd,s</sub> - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).<br />
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| − | :V<sub>Rd,max</sub> - Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.
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| | + | Das Vorgehen bei der Bemessung ist dabei ähnlich der Biegebemessung: Unter der Prämisse, dass die Querkrafttragfähigkeit im GZT vollständig ausgeschöpft wird - d.h. V<sub>Ed</sub> = V<sub>Rd,c</sub> - wird die erforderliche Bewehrungsmenge zur Abtragung der Zugkräfte ermittelt. Parallel dazu muss überprüft werden, ob der Betonquerschnitt die Druckkräfte aufnehmen kann.<ref name = "Q2">Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier. Bemessung im konstruktiven Betonbau. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, S. 219-272, 2006</ref><br /> |
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| − | Für den Fall, dass V<sub>Ed</sub> ≤ V<sub>Rd,c</sub> ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.<br />
| + | Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein: |
| − | Bei Balken und Platten mit b/h ≤ 5,0 ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.<br />
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| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung|V<sub>Rd,c</sub>]]''' - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)<br /> |
| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Maximale Querkrafttragfähigkeit|V<sub>Rd,s</sub>]]''' - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).<br /> |
| | + | *'''[[Querkraftbemessung - Maximale Querkrafttragfähigkeit|V<sub>Rd,max</sub>]]''' - Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein. |
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| − | Wenn V<sub>Ed</sub> > V<sub>Rd,c</sub> muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.<br />
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| | + | Für den Fall, dass '''V<sub>Ed</sub> ≤ V<sub>Rd,c</sub>''' ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.<br /> |
| | + | Bei Balken und Platten mit b/h ≤ 5,0 ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.<br /> |
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| − | Der Bemessungswert der Querkraft V<sub>Ed</sub> darf den Bemessungswiderstand V<sub>Rd,max</sub> keinesfalls überschreiten.
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| − | ==Bemessungsmodelle==
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| − | Die Bemessung erfolgt auf der Grundlage einer Fachwerkanalogie.<br />
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| − | Dabei wird von einem Fachwerkmodell im klassischen Stahlbetonbalken ausgegangen:<br />
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| − | - Betondruckzone als Druckgurt<br />
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| − | - Längsbewehrung als Zuggurt<br />
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| − | - Druckdiagonalen im Beton<br />
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| − | - gegebenenfalls angeordnete Querkraftbewehrung als Zugstreben.<br /><br />
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| − | [[File:Querkraftbemessung_1.jpg|rahmenlos|rand|tumb|1000px|Baustatik-Wiki]]<br />
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| − | <br />
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| − | == Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==
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| − | Auch ohne Bügelbewehrung kommt es durch die Kornverzahnung in den Rissen und der Dübelwirkung der Längsbewehrung zu begrenzter Querkrafttragfähigkeit. Die Grenze ist hierbei die Betonzugfestigkeit in den Einspannungen der sich ausgebildeten Betonzähne. Zum Nachweis gehört folgende Gleichung:
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| − |
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| − |
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| − | <math>{{V}_{Rd,c}}=[{{C}_{Rdc}}\cdot k\cdot {{(100\cdot {{\rho }_{l}}\cdot {{f}_{ck}})}^{\frac{1}{3}}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}}]\cdot {{b}_{w}}\cdot d\ge {{V}_{Rd,c,\min }}</math>
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| − | <br /><br />
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| − | mit<br />
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| − |
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| − | <math>{{C}_{Rdc}}=\frac{0,15}{{{\gamma }_{c}}}</math>
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| − |
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| − | <math>k=1+\sqrt{\frac{200}{d}} \left\{ \begin{matrix}
| |
| − | \ge 1,0 \\
| |
| − | \le 2,0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right\}</math> [mm] Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe (Maßstabseffekt)<br />
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| − |
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| − | <math>{{b}_{w}}~</math> - der kleinsten Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone(mit Index w für width) [mm]<br />
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| − | <math>d~</math> - der statischen Nutzhöhe [mm]<br />
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| − | <math>{{f}_{ck}}~</math> - der charakkteristische Betondruckspannung [N/mm²]<br />
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| − | <math>{{\sigma }_{cp}}=\frac{{{N}_{Ed}}}{{{A}_{c}}} \le 0,2\cdot {{f}_{cd}}</math> [N/mm²] einwirkende Längsspannungen, Druck hierbei positiv einzusetzen<br />
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| − | <math>{{\rho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}\cdot d}\le 0,02</math> geometrischer Bewehrungsgrad der Längsbewehrung<br />
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| − | <math>{{\gamma }_{c}}=1,5~</math> bei ständiger und vorübergehender Bemessungssituation<br />
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| − | <math>{{\gamma }_{c}}=1,3~</math> bei außergewöhnlicher Bemessungssituation<br /><br />
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| − |
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| − | Die Gleichung ist nicht dimensionsrein.<br />
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| − | Manche Formeln der Fachliteratur beinhalten dabei noch einen zusätzlichen Faktor, der die Querkrafttragfähigkeit bei Leichtbeton abmindert.<br />
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| − | Die der Querkraft entgegenwirkende Verzahnung und Dübelwirkung ist in der Formel mit enthalten. Weiterhin berücksichtigt der Faktor k eine Abminderung der Tragfähigkeit bei wachsender Bauteilhöhe [vgl. <ref>Goris, A.: Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, Band 1: Grundlagen, Bemessung, Beispiele, Siegen 2013</ref>] und σ die gegebenenfalls auftretenden, günstig wirkenden Längsdruckkräfte.<br />
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| − | Eine Mindestquerkrafttragfähigkeit wird bei geringeren Längsbewehrungsgraden maßgebend, da die ursprüngliche Gleichung zu sichere Ergebnisse ausgibt.<br />
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| − | Sie formuliert sich zu
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| − |
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| − | <math>{{V}_{Rd,c,\min }}=\left[ \frac{{{\kappa }_{1}}}{{{\gamma }_{c}}}\cdot {{\left( {{k}^{3}}\cdot {{f}_{ck}} \right)}^{0,5}}+0,12\cdot {{\sigma }_{cp}} \right]\cdot {{b}_{w}}\cdot d</math>
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| − |
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| − | mit<br />
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| − | <math>{{\kappa }_{1}}=0,0525~</math> für <math>d\le 60cm</math><br />
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| − | <math>{{\kappa }_{1}}=0,0375~</math> für <math>d\ge 80cm</math> (Zwischenwerte sind zu interpolieren)<br /><br />
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| − | == Bauteile mit rechnerisch erforderliche Querkraftbemessung ==
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| − |
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| − | Wenn im vorrangegangenen Nachweis <math>{{V}_{Ed}}\le {{V}_{Rd,c}}</math> ist, muss eine Bügelbewehrung ausgerechnet werden.<br />
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| − | Außerdem ist die Tragfähigkeit der Druckstrebe <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> nachzuweisen.<br />
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| − | Der Neigungswinkel der Druckstrebe Θ darf bei der Berechnung von <math>{{V}_{Rd,\max }}</math> frei gewählt werden, solange er 45° (cot Θ = 1,0) nicht übersteigt.<br />
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| − | Außerdem gilt:<br />
| + | Wenn '''V<sub>Ed</sub> > V<sub>Rd,c</sub>''' muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.<br /> |
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| − | <math>\cot \Theta =\frac{1,2-1,4\cdot \frac{{{\sigma }_{cp}}}{{{f}_{cd}}}}{1-\frac{{{V}_{Rd,cc}}}{{{V}_{Ed}}}}\le \left\{ \begin{matrix}
| |
| − | 3,0\quad f\ddot{u}r\ Normalbeton \\
| |
| − | 2,0\quad f\ddot{u}r\ Leichtbeton \\
| |
| − | \end{matrix} \right\}\ge \left\{ \begin{matrix}
| |
| − | 1,0\quad f\ddot{u}r\ lotrechte\ B\ddot{u}gel \\
| |
| − | 0,58\quad f\ddot{u}r\ geneigte\ B\ddot{u}gel \\
| |
| − | \end{matrix} \right\}</math>
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| − | mit<br />
| + | Der Bemessungswert der Querkraft '''V<sub>Ed</sub>''' darf den Bemessungswiderstand '''V<sub>Rd,max</sub>''' keinesfalls überschreiten. |
| − | <math>{{V}_{Rd,cc}}=0,5\cdot 0,48\cdot f_{ck}^{\frac{1}{3}}\cdot \left( 1-1,2\cdot \frac{{{\sigma }_{cd}}}{{{f}_{cd}}} \right)\cdot {{b}_{w}}\cdot z</math><br />
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| − | <math>{{f}_{cd}}~</math> - dem Bemessungswert der Betonzylinderdruckfestigkeit<br /><br /> | |
| | | | |
| − | Vereinfachend kann <br />
| + | ==Einfluss der Lagerungsbedingungen für den Bemessungswert V<sub>Ed</sub>== |
| | | | |
| − | <math>\cot \Theta =1,2~</math> <br />
| + | Für die Ermittlung des Bemessungswerts der Querkraft spielt die [[Direkte/Indirekte Lagerung|Lagerung]] des Bauteils eine wichtige Rolle.<br /> |
| − | - für reine Biegung<br />
| + | Bei einer direkten Auflagerung darf der Bemessungswert der Querkraft V<sub>Ed</sub> abgemindert werden: |
| − | - für Biegung und Längsdruckkraft und<br /><br />
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| | | | |
| − | <math>\cot \Theta =1,0~</math> <br />
| + | *'''Direkte Lagerung mit einer Gleichlast''' |
| − | - für Biegung mit Längszugkraft<br /><br />
| + | [[Datei:Direkte Lagerung Gleichlast.jpg]] |
| | | | |
| − | angenommen werden.<br />
| + | *'''Direkte Lagerung mit einer Einzellast''' |
| | + | [[Datei:Querkraftbemessung (2).jpg]] |
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| − | ==Maximale Querkrafttragfähigkeit bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung==
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| − | Der Bemessungswiderstand basierend auf die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe berechnet sich wie folgt:<br />
| + | Hierfür gilt:<br /> |
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| − | <math>{{V}_{Rd,\max }}={{\nu }_{1}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot {{b}_{w}}\cdot z\cdot \frac{\cot \Theta +\cot \alpha }{1+\cot {}^\text{2}\Theta }</math> | + | <math>{{V}_{Ed}}=\beta\cdot max{{V}_{Ed,F}}</math><br /> |
| | + | |
| | + | wobei:<br /> |
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| − | mit
| + | :<math>\beta={{a}_{v}}/2,0\cdot d</math> |
| | | | |
| − | <math>{{\nu }_{1}}=0,75\cdot \left( 1,1-\frac{{{f}_{ck}}}{500} \right)\le 0,75</math>
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| | | | |
| − | Der Bemessungswert der Querkraftbewehrung ergibt sich aus<br />
| + | ==Beispiel: Querkraftbemessung eines Stahlbetonbalkens== |
| − | | |
| − | <math>{{V}_{Rd,s}}={{a}_{sw}}\cdot {{f}_{yd}}\cdot \sin \alpha \cdot z\cdot (\cot \Theta +\cot \alpha )</math>
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| − | <br /><br />
| |
| − | mit<br />
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| − | <math>{{a}_{sw}}~</math> - Querkraftbewehrungsfläche je laufender Längeneinheit<br />
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| − | <math>{{f}_{yd}}~</math> - Bemessungswert der Stahlstreckgrenze und<br />
| |
| − | <math>z~</math> - Hebelarm der inneren Kräfte<br />
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| | + | Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite: '''[[Querkraftbemessung (Bsp.)|Querkraftbemessung (Bsp.)]]''' |
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| | ==Quellen== | | ==Quellen== |
| | + | <references /> |
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| − | <references />
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| − | <br />
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| | {{Seiteninfo | | {{Seiteninfo |
Allgemeines
Bauteile werden nicht nur durch Längskräfte und Biegemomente, sondern auch durch Querkräfte beansprucht. Die Querkräfte erzeugen Schubspannungen in Querrichtung. Die Querkraftbemessung ist auf Grundlage eines Fachwerksmodells mit unterschiedlich geneigten
Druckstreben entwickelt worden.
Bei der Querkraftbemessung werden die Querkrafttragfähigkeit VRd des Bauteils und der Bemessungswert der Querkraft VEd miteinander verglichen. Es gilt:
Das Vorgehen bei der Bemessung ist dabei ähnlich der Biegebemessung: Unter der Prämisse, dass die Querkrafttragfähigkeit im GZT vollständig ausgeschöpft wird - d.h. VEd = VRd,c - wird die erforderliche Bewehrungsmenge zur Abtragung der Zugkräfte ermittelt. Parallel dazu muss überprüft werden, ob der Betonquerschnitt die Druckkräfte aufnehmen kann.[1]
Die aufnehmbare Querkraft kann durch die drei folgenden Werte bestimmt sein:
- VRd,c - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft ohne Schubbewehrung (Index c für concrete, da die Zugstreben durch die Rissverzahnung zwischen den Betonzähnen ersetzt werden)
- VRd,s - Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft (begrenzt auf die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung) mit Schubbewehrung als Zugstrebe (Index s für steel).
- VRd,max - Bemessungswert der Querkraft, begrenzt durch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe. Diese Bedingung muss in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein.
Für den Fall, dass VEd ≤ VRd,c ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich.
Bei Balken und Platten mit b/h ≤ 5,0 ist eine Mindestbewehrung vorzusehen.
Wenn VEd > VRd,c muss die Querkraftbewehrung bemessen werden.
Der Bemessungswert der Querkraft VEd darf den Bemessungswiderstand VRd,max keinesfalls überschreiten.
Einfluss der Lagerungsbedingungen für den Bemessungswert VEd
Für die Ermittlung des Bemessungswerts der Querkraft spielt die Lagerung des Bauteils eine wichtige Rolle.
Bei einer direkten Auflagerung darf der Bemessungswert der Querkraft VEd abgemindert werden:
- Direkte Lagerung mit einer Gleichlast
- Direkte Lagerung mit einer Einzellast
Hierfür gilt:
wobei:
Beispiel: Querkraftbemessung eines Stahlbetonbalkens
Ein Berechnungsbeispiel findet man auf der Seite: Querkraftbemessung (Bsp.)
Quellen
- ↑ Konrad Zilch, Gerhard Zehetmaier. Bemessung im konstruktiven Betonbau. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, S. 219-272, 2006
Seiteninfo
- Status: Seite fertig, ungeprüft
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